Funkcije več spremenljivk

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "Funkcije več spremenljivk"

Transkripcija

1 Poglavje 1 Funkcije več spremenljivk 1.1 kalarne funkcije Funkcija n spremenljivk f : R n R je funkcija, ki vsaki točki (x 1, x 2,..., x n ) R n priredi realno število. f : (x 1, x 2,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x n ) Množica je definicijsko območje funkcije f. Graf funkcije f : R n R je množica točk v R n+1, označujemo Γ(f), za katero velja Γ(f) = {(x 1, x 2,..., x n, y) (x 1, x 2,..., x n ), y = f(x 1, x 2,..., x n )}. Naj bo f : R n R in naj bo a R. Nivojnica N a je množica N a = {(x 1, x 2,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x n ) = a}. Prerez dobimo tako, da si izberemo neko krivuljo v in gledamo, kako se funkcija obnaša nad to krivuljo. Naj bo (a 1, a 2,..., a n ) R n in δ > 0. Tedaj je odprta krogla okoli točke (a 1, a 2,..., a n ) množica δ (a 1, a 2,..., a n ) = {(x 1, x 2,..., x n ) R n (a 1 x 1 ) 2 + (a 2 x 2 ) (a n x n ) 2 < δ}. Naj bo f : R n R in (a 1, a 2,..., a n ). Število L je limita funkcije f v točki (a 1, a 2,..., a n ), pišemo L = lim f(x 1, x 2,..., x n ), če za vsak ɛ > 0 obstaja tak δ > 0, da iz (x 1,x 2,...,x n) (a 1,a 2,...,a n) (x 1, x 2,..., x n ) δ (a 1, a 2,..., a n ), (x 1, x 2,..., x n ) (a 1, a 2,..., a n ), sledi f(x 1, x 2,..., x n ) L < ɛ. Funkcija več spremenljivk f : R n R je zvezna v točki (a 1, a 2,..., a n ), če za vsak ɛ > 0 obstaja tak δ > 0, da za vsak (x 1, x 2,..., x n ) δ (a 1, a 2,..., a n ) velja f(x 1, x 2,..., x n ) f(a 1, a 2,..., a n ) < ɛ. Izrek 1.1 Funkcija več spremenljivk f : R n R je zvezna v točki (a 1, a 2,..., a n ) natanko tedaj, ko je lim (x 1,x 2,...,x n) (a 1,a 2,...,a n) f(x 1, x 2,..., x n ) = f(a 1, a 2,..., a n ). V primeru f : R 2 R je včasih lažje preučevati zveznost funkcije s pomočjo polarnih koordinat, tj. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, kjer je r > 0 in argument ϕ [0, 2π). Funkcija f : R 2 R zvezna v točki (a, b), če za vsak ɛ > 0 obstaja tak δ > 0, da za vsak r < δ velja f(a + r cos ϕ, b + r sin ϕ) f(a, b) < ɛ. 1

2 Naj bo f : R n R in (a 1, a 2,..., a n ). Če obstaja limita diferenčnega kvocienta f(a 1,..., a i + h,..., a n ) f(a 1,..., a i,..., a n ) lim, h 0 h tedaj jo imenujemo parcialni odvod funkcije f po spremenljivki x i v točki (a 1, a 2,..., a n ). Ta odvod označimo s f x i (a 1, a 2,..., a n ) ali f xi (a 1, a 2,..., a n ). Nadalje, funkcija f : R n R je parcialno odvedljiva na, če je parcialno odvedljiva v vsaki točki območja i je zvezno parcialno odvedljiva, če so parcialni odvodi zvezne funkcije. Gradient funkcije f : R n R je grad f = (f x1, f x2,..., f xn ). Funkcija f : R n R je v točki (a 1, a 2,..., a n ) diferenciabilna, če obstajajo vsi parcialni odvodi f xi (a 1, a 2,..., a n ), i = 1, 2,..., n, in je lim (h 1,h 2,...,h n) (0,0,...,0) f(a 1 + h 1, a 2 + h 2,..., a n + h n ) f(a 1, a 2,..., a n ) n i=1 f x i (a 1, a 2,..., a n ) h i h h = 0. h2 n Izraz imenujemo totalni diferencial. n df = f xi (a 1, a 2,..., a n )) h i i=1 Izrek 1.2 Naj bo funkcija f : R 2 R diferenciabilna in naj bo z = f(x, y). premenljivki x in y naj bosta odvedljivi funkciji parametra t, torej x = x(t), y = y(t). Tedaj je z(t) = f(x(t), y(t)) posredna funkcija parametra t, katere odvod je enak z (t) = f x x (t) + f y y (t). Posledica 1.3 (Verižno pravilo) Naj bo funkcija f : R 2 R diferenciabilna in naj bo z = f(x, y). premenljivki x in y pa naj bosta diferenciabilni funkciji novih spremenljivk u in v, torej x = x(u, v) in y = y(u, v). Potem je z posredno odvisna od spremenljivk u in v ter velja z u = f x x u + f y y u z v = f x x v + f y y v. Naj bo f : R n R funkcija. Odvod funkcije f v točki (a 1, a 2,..., a n ) v smeri enotskega vektorja s = (s 1, s 2,..., s n ), oznaka f s (a 1, a 2,..., a n ), je lim h 0 Ta odvod lahko izračunamo tudi takole f(a 1 + hs 1, a 2 + hs 2,..., a n + hs n ) f(a 1, a 2,..., a n ). h f s (a 1, a 2,..., a n ) = (gradf(a 1, a 2,..., a n )) (s 1, s 2,..., s n ). Funkcija f : R n R ima parcialne odvode drugega reda, če obstajajo odvodi f xix j = 2 f x i x j, 1 i, j n. 2 Matevž Črepnjak

3 Vsi parcialni odvodi drugega reda funkcije f sestavljajo Hessejevo matriko H, ki je kvadratna matrika reda n f x1x 1 f x1x 2 f x1x n f x2x H = 1 f x2x 2 f x2x n f xnx 1 f xnx 2 f xnx n Izrek 1.4 Naj bodo f : R 2 R dvakrat parcialno odvedljiva funkciji in naj bosta f xy in f xy zvezni funkciji. Tedaj sta mešana parcialna odvoda enaka f xy = f yx. Zgornji izrek laho reduciramo tudi na konkretno točko (a, b) za funkcijo f : R 2 R. Podobno bi razširili izrek na funkcije več spremenljivk. Izrek 1.5 (Taylorjeva formula) Funkcija f : R 2 R naj bo n + 1 krat zvezno parcialno odvedljiva na obe spremeljivki v okolici točke (a, b). Tedaj velja f(a + h, b + h) = f(a, b) + (f x (a, b) h + f y (a, b) k) + kjer je R n = 1 ( fxx (a, b) h 2 + 2f xy (a, b) hk + f yy (a, b) k 2) + 2! 1 ( fxxx (a, b) h 3 + 3f xxy (a, b) h 2 k + 3f xyy (a, b) hk 2 + f yyy (a, b) k 3) + + 3! 1 n! 1 (n + 1)! ( n i=0 n+1 ( n + 1 i i=0 Opomba: ( ) n i = n! (n i)!i! je binomski koeficent. ( ) ) n n f i x n i y i (a, b) hn i k i + R n, ) n+1 f x n+1 i y i (a + ϑh, b + ϑk) hn+1 i k i, 0 < ϑ < 1. Ostanek R n je napaka, ki jo naredimo, če vrednost funkcije f(a+h, b+k) ocenimo z vsoto členov reda do n v Taylorjevi formuli. Če je funkcija f(x, y) neskončnokrat parcialno odvedljiva na obe spremenljivki in je lim n R n = 0, tedaj lahko Taylorjevo formulo nadomestimo s Taylorjevo vrsto ( 1 n ( ) ) n n f f(a + h, b + k) = n! i x n i y i (a, b) hn i k i n=0 Zgornje formule lahko razširimo tudi za funkcije f : R n R. Zvezna funkcija f : R n R zavzame v točki (a, b) i=0 1. lokalni minimum, če obstaja tak δ > 0, da je za vsako točko (x, y) δ (a, b), f(x, y) f(a, b) 0. 3 Matevž Črepnjak

4 2. lokalni maksimum, če obstaja tak δ, da je za vsako točko (x, y) δ (a, b). f(x, y) f(a, b) 0 Lokalni ekstrem je lokalni minimum ali lokalni maksimum. Izrek 1.6 (potrebni pogoj) Naj bo f : R 2 R odvedljiva funkcija v točki (a, b). Če je (a, b) lokalni ekstrem funkcije f, tedaj je f x (a, b) = 0 in f y (a, b) = 0. Izrek 1.7 (zadostni pogoj) Točka (a, b) naj bo stacionarna točka dvakrat zvezno parcialno odvedljive funkcije f : R 2 R. Nadalje, naj bo f xx (a, b) = A, f xy (a, b) = B, f yy (a, b) = C in H(a, b) Hessejeva matrika funkcije f v točki (a, b). Potem velja: (i) če je H(a, b) = AC B 2 > 0, tedaj je v (a, b) lokalni minimum, če je A > 0 in lokalni maksimum, kadar je A < 0, (ii) če je H(a, b) = AC B 2 < 0, tedaj je v (a, b) sedlo, (iii) če je H(a, b) = AC B 2 = 0, tedaj na podlagi drugih parcialnih odvodov ne morem sklepati o obstoju lokalnega ekstrema v (a, b). efinicija 1.8 Naj bo A simetrična matrika reda n. Če za vsak (x 1, x 2,..., x n ) R n \{(0, 0,..., 0)} velja A(x 1, x 2,..., x n )(x 1, x 2,..., x n ) > 0 pravimo, da je matrika A pozitivno definitna. Če je rečemo, da je matrika A negativno definitna. A(x 1, x 2,..., x n )(x 1, x 2,..., x n ) < 0 Izkaže se, da na pozitivno oz. negativno definitnost matrike vplivajo njene lastne vrednosti in sicer je matrika pozitivno definitna, če ima same pozitivne lastne vrednosti in negativno definitna, če so le-te negativne. Izrek 1.9 Naj bo f : R n R zvezna in zvezno parcialno odvedljiva do odvodov drugega reda. Nadalje naj bo (a 1, a 2,..., a n ) stacionarna točka funkcije f. Tedaj velja: (i) če je H(a 1, a 2,..., a n ) pozitivno definitna matrika, tedaj ima funkcija f v točki a lokalni minimum, (ii) če je H(a 1, a 2,..., a n ) negativno definitna matrika, tedaj ima funkcija f v točki a lokalni maksimum. Izrek 1.10 Ekstreme funkcije f : R n R pri pogojih g 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0,..., g m (x 1, x 2,..., x n ) = 0 iščemo tako, da na običajen način iščemo ekstreme funkcije F (x 1, x 2,..., x n, λ 1, λ 2,..., λ m ) = f(x 1, x 2,..., x n ) λ 1 g(x 1, x 2,..., x n ) λ 2 g(x 1, x 2,..., x n )... λ m g(x 1, x 2,..., x n ). tem dobimo vse kandidate za ekstreme razen tistih, za katere je g(a 1, a 2,..., a n ) = 0, g xi (a 1, a 2,..., a n ) = 0, i = 1, 2,..., n. 4 Matevž Črepnjak

5 1.2 Večkratni integrali Naj bosta f, g : R 2 R integrabilni na območju in c R. Tedaj velja 1. c f(x, y) d = c f(x, y) d 2. (f(x, y) + g(x, y)) d = f(x, y) d + 1 g(x, y) d 3. če je = 1 2, 1 2 =, f(x, y) d = f(x, y) d + f(x, y) d. Izrek 1.11 Naj bosta p, q : [a, b] R osekoma zvezni funkciji in naj velja p(x) q(x) za vsak x [a, b]. Naj bo še = {(x, y) a x b, p(x) y q(x)} in f omejena, integrabilna funkcija. Tedaj je f(x, y) d = b a 2 q(x) dx f(x, y) dy. p(x) V primeru zgornjega izreka bomo rekli, da integriramo po x najprej. Če je f : R 2 R pozitivna integrabilna funkcija, tedaj je njen dvojni integral na območju enak prostornini telesa med grafom funkcije f in ravnino z = 0. Ploščino območja lahko s pomočjo drugega integrala izračunamo na naslednji način 1 d. Uvedba novih spremenljivk Naj bo območje v ravnini, ki je opremljeno s spremenljivkama x in y. Recimo, da sedaj vpeljemo x = x(u, v) in y = y(u, v), kjer sta u, v takšna parametra, da je z njuno vpeljavo opisano območje in za vsako točko (x, y) obstaja natanko ena (u, v), da je (x, y) = (x(u, v), y(u, v)). Recimo še, da smo vpeljali tako, da obstajata parcialni odovodi x u, x v, y u, y v. Tedaj je Jacobijeva determinanta x J = u x v y u Recimo, da območje je tisto območje v ravnini, ki nam ob zvezi x = x(u, v) in y = y(u, v) s spremenljivkama u in v opiše. Tedaj se dvojni integral v novih spremenljivkah u in v izraža na naslednji način f(x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v)) J dudv. Polarne koordinate: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, kjer sta r 0 in ϕ [0, 2π]. Jacobijeva determinanta J = r. 1.3 Eulerjevi funkciji Gama in Beta Funkcija Γ je za vsak x > 0 definirana kot Γ(x) = 0 e t t x 1 dt. Veljajo naslednje lastnosti 1. Γ(1) = 1, y v V tem primeru je 5 Matevž Črepnjak

6 2. Γ(n + 1) = n!, za poljuben n N, 3. Γ(x + 1) = xγ(x), za poljuben x > 0, 4. Γ( 1 2 ) = π, 5. Γ(x)Γ(1 x) = π sin(πx), za poljuben x (0, 1). Funkcija B, je za poljubna x, y > 0 definirana s predpisom B(x, y) = 1 0 tx 1 (1 t) y 1 dt. Veljajo naslednje lastnosti 1. B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y), 2. B(x, y) = 0 t x 1 (t+1) x+y dt, za poljubna x, y > 0, 3. π 2 0 cos2p 1 ϕ sin 2q 1 ϕ dϕ = 1 2B(p, q), za poljubna p, q > 0. Trojni integral računamo podobno kot dvojni integral. Povejmo le nekatere standardne nove spremenljivke in Jacobijeve determinante. Cilindrične koordinate: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, kjer so r 0, ϕ [0, 2π], z R. Pri tem je J = r. ferne koordinate: x = r cos ϕ cos ϑ, y = r sin ϕ cos ϑ, z = r sin θ, kjer so r 0, ϕ [0, 2π], ϑ [ π 2, π 2 ]. Pri tem je J = r2 cos ϑ. Volumen območja G R 3 se s pomočjo trojnega integrala izračuna kot 1 dv. Masa telesa, katerega gostota je funkcija ρ : G R 3 R +, je enaka m = ρ(x, y, z) dv. Težišče telesa (x T, y T, z T ) z gostoto ρ : G R 3 R +, je enako x T = 1 x ρ(x, y, z) dv m G G G y T = 1 m G z T = 1 m G y ρ(x, y, z) dv z ρ(x, y, z) dv, kjer je m masa telesa. V primeru, da je telo homogeno, tedaj je ρ = m V, kjer je m masa telesa, V pa volumen telesa. V tem primeru se zgornje formule poenostavijo. 6 Matevž Črepnjak

7 Poglavje 2 iferencialna geometrija v prostoru 2.1 rivulje rivulja v prostoru je definirana z zvezno funkcijo r : [a, b] R 3, kjer je r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Funkciji r pravimo tudi parametrizacija krivulje. Pri tem so x, y, z funkcije, ki slikajo iz [a, b] v R. rivulja je lahko podana tudi kot presek ploskev, ki sta podana implicitno, npr. F (x, y, z) = 0 in G(x, y, z) = 0. Naj bo krivulja dana s parametrizacijo r : [a, b] R 3, r(t) = (x(t), y(t), z(t)), in naj bo T = r(x 0 ). Če obstaja limita r(x 0 + h) r(x 0 ) lim, h 0 h je ta limita vektor, ki ga imenujemo tangentni vektor na krivuljo v točki x 0. Označimo ga s r(a). Opomba: Če so funkcije x, y, z : [a, b] R odvedljive v t, tedaj je r(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)). Naj bo krivulja dana s parametrizacijo r : [a, b] R 3, r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Premico, ki poteka skozi točko T = r(x 0 ) v smeri vektorja r(x 0 ), imenujemo tangenta na krivuljo v točki x 0. Enačba tangente se tako izraža x = x(x 0 ) + ẋ(x 0 )λ y = y(x 0 ) + ẏ(x 0 )λ z = z(x 0 ) + ż(x 0 )λ, λ R Opomba: premica je podana v parametrični obliki. Parametrizacija r : [a, b] R 3 krivulje je regularna, če je r(t) 0 za vsak t [a, b]. Če je krivulja podana kot presek ploskev, ki sta podana implicitno z enačbama F (x, y, z) = 0 in G(x, y, z) = 0, tedaj se smerni vektor tangente v točki T (x 0, y 0, z 0 ) izračuna kot grad(f (x 0, y 0, z 0 )) grad(g(x 0, y 0, z 0 )). Opomba: Naj bosta a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) R kalarni produkt vektorjev a in b je 2. Vektorski produkt vektorjev a in b je a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ). 7

8 Normalna ravnina krivulje v točki T je ravnina, ki poteka skozi točko T in je pravokotna na tangentni vektor. Normala krivulje v točki T je vsaka premica, ki leži v normalni ravnini in poteka skozi točko T. Opomba: splošna enačba ravnine se izraža kot ax + by + cz = d. Pri tem je vektor (a, b, c) vektor, ki je pravokoten na ravnino ax + by + cz = d. Naj bo krivulja podana s parametrizacijo r : [a, b] R 3. Tedaj je dolžina loka krivulje, l(), enaka b l() = r(t) r(t) dt. 2.2 Ploskve Ploskev je lahko podana 1. parametrično r : R 2 R 3, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), 2. implicitno z enačbo F (x, y, z) = 0, 3. eksplicitno z enačbo z = f(x, y). a Naj bo ploskev podana s parametrizacijo r : R 2 R 3. Naj bo (u 0, v 0 ) R 2 poljubna točka in naj bo parameter v = v 0 konstanten. Potem vse točke, za katere je v = v 0 ležijo na krivulji r(u, v 0 ). Podobno točke, za katere je u konstanten, leže na krivulji r(u 0, v). Ti dve krivulji imenujemo koordinatni krivulji. Odvod koordinatnih krivulj je enak r(u, v 0 ) r u (u, v 0 ) = (x u (u, v 0 ), y u (u, v 0 ), z u (u, v 0 )) r(u 0, v) r v (u 0, v) = (x v (u 0, v), y v (u 0, v), z v (u 0, v)) Parcialna odvoda sta tangentna vektorja ustrezne koordinatne krivulje v točki r(u 0, v 0 ). Pravimo, da je parametrizacija ploskve regularna, če so funkcije x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) zvezno parcialno odvedljive in v vsaki točki (u, v) velja r u (u, v) r v (u, v) 0. Naj bo ploskev podana z regularno parametrizacijo r : R 2 R 3. Normalni vektor ploskve v točki T = r(u 0, v 0 ), n(u 0, v 0 ) je enak n(u 0, v 0 ) = r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ). Ravnino skozi točko T z normalo n imenujemo tangentna ravnina ploskve v točki T. V primeru, da imamo ploskev hkrati podano v implicitni obliki z enačbo F (x, y, z) = 0 in s pomočjo parametrizacije r, tedaj velja grad F = λ( r u r v ). Premica skozi točko T na ploskvi v smeri normalnega vektorja se imenuje normala na ploskev v točki T. Naj bo ploskev podana z regularno parametrizacijo r : R 2 R 3. Tedaj je površina ploskve EG Pov() = F 2 du dv, kjer je E = r u r u, F = r u r v, G = r v r v. 8 Matevž Črepnjak

9 Poglavje 3 rivuljni in ploskovni integral rivulja je gladka, če je r v vsaki točki zvezno odvedljiva funkcija in njen odvod r 0. Za nadaljevanje predpostavimo, da so krivulje gladke. 3.1 rivuljni integral skalarne funkcije Naj bo f : R 3 R skalarna funkcija in krivulja parametrizirana z regularno parametrizacijo r : [a, b]. Tedaj je krivuljni integral skalarne funkcije f na enak b f(x, y, z) ds = f( r(t)) r(t) r(t) dt. Pri teh predpostavkah veljajo naslednje lastnosti: 1. krivuljni integral je neodvisen od izbire smeri krivulje, 2. če je = 1 2 in 1 2 = 1, tedaj fds = fds velja linearnost: če λ, µ R in če sta f, g : R 3 R skalarni funkciji (λ f + µ g) ds = λ f ds + µ g ds. a Naj bo krivulja podana parametrično r : [a, b] R 3 in naj bo gostota podana s funkcijo ρ : R 3 R. Tedaj se masa krivulje izračuna kot m = ρds. 3.2 rivuljni integral vektorske funkcije po usmerjeni poti Naj bo F : R 3 R 3 vektorska funkcija in krivulja parametrizirana z regularno parametrizacijo r : [a, b]. Tedaj je krivuljni integral vektorske funkcije f po usmerjeni krivulji od točke r(a) do točke r(b) enak b F (x, y, z) d r = F ( r(t)) r(t) dt. Pri teh predpostavkah veljajo naslednje lastnosti. a 2 9

10 1. V primeru sklenjene krivulje podamo orientacijo krivulje s smerjo obhoda in sicer velja, da je krivulja pozitivno orientirana, ko se premikamo v smeri nasprotni urinemu kazalcu oziroma pri premikanju mora biti območje na levi strani. V nasprotnem je sklenjena krivulja negativno orientirana. 2. Če je = 1 2 in 1 2 = 1 ter je orientiracija krivulj 1 in 2 usklajena z orientacijo, tedaj F d r = F d r + F d r Če je orientirana krivulja in krivulja z nasprotno orientacijo, tedaj je F d r = F d r Velja linearnost: če λ, µ R in če sta F, G : R 3 R vektorski funkciji (λ F + µ G) d r = λ F d r + µ G d r. 5. Za F (x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)) lahko krivuljni integral po krivulji zapišemo F (x, y, z) d r = f 1 (x, y, z) dx + f 2 (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz. 3.3 Orientacija ploskve Ploskev je gladka, ko ima v vsaki točki tangentno ravnino in je odsekoma gladka, če jo lahko razdelimo na končno mnogo gladkih ploskev. Lokalno gledano lahko za vsako ploskev rečemo, da ima dve strani. Če izberemo eno od teh dveh strani pravimo, da smo ploskev v neki točki orientirali. To pomeni, da v točki izberemo eno od dveh normal, ki sta si med seboj nasprotno usmerjeni. Natančneje, če v točki T izberemo normalo n in se premikamo po sklenjeni krivlji na ploskvi, moramo pri vrnitvi v točko T spet dobiti n (in ne n). Ploskev je orientabilna, ko ji je mogoče določiti orientacijo. Rob ploskve,, tvorijo krivulje, ki omejujejo ploskev. Naj bo orientirana ploskev in naj bo odsekoma gladka krivulja. Orientacija ploskve določa orientacijo roba in sicer, če se postavimo na tako, da stojimo v smeri izbrane normale, je orientacija oziroma usmerjenost roba taka, da je območje na sprehajalčevi levi strani. 3.4 Ploskovni integral skalarne funkcije Naj bo R 3 gladka ploskev, r : R 2 njena regularna parametrizacija in f : R zvezna funkcija. Tedaj je ploskovni integral skalarne funkcije f po ploskvi enak f(x, y, z) dp = f( r(u, v)) EG F 2 du dv, kjer je E = r u r u, F = r u r v, G = r v r v. Pri zgornjih predpostavkah veljajo naslednje lastnosti 10 Matevž Črepnjak

11 1. če je = 1 2 ter se ploskvi 1 in 2 sekata v neki krivulji, teda f dp = f dp + f dp 2. velja linearnost: če λ, µ R in če sta f, g : P R 3 R skalarni funkciji (λ f + µ g) dp = λ f dp + µ g dp Ploskovni integral vektorske funkcije po orientirani ploskvi Naj bo ploskev, r : R 2 njena regularna parametrizacija, pri čemer je ploskev orientirana z normalo n = r u (u, v) r v (u, v), ter F : R 3 vektorsko polje. Tedaj je ploskovni integral funkcije F po ploskvi oziroma pretok polja F skozi enak F dp = F ( r(u, v)) ( r u (u, v) r v (u, v)) du dv. 2 Pri zgornjih predpostavkah veljajo naslednje lastnosti. 1. Če je = 1 2 ter se ploskvi 1 in 2 sekata v neki krivulji, teda F dp = F dp + F dp Velja linearnost: če λ, µ R in če sta F, G : P R 3 R vektorski funkciji (λ F + µ G) dp = λ F dp + µ F dp. 3. Za vektorsko polje F = (f 1, f 2, f 3 ) lahko ploskovni integral po orientrirani ploskvi zapišemo tudi kot F dp = f 1 dy dz + f 2 dx dz + f 3 dx dy. 4. Če spremenimo orientacijo ploskve, tedaj F dp = F d P. 3.6 Operacije na skalarnih in vektorskih poljih Vpeljimo diferencialni operator ( = Gradient x, y, z ). Naj bo f : R 3 R parcialno odvedljiva funkcija. Tedaj je gradient funkcije f, oznaka graf(f), definiran kot graf(f) = f = (f x, f y, f z ). 11 Matevž Črepnjak

12 Naj bo F : R 3 R 3 tako vektorsko polje, da obstaja skalarno polje f tako, da je F = grad f. Tedaj je vektorsko polje F potencialno polje, skalarno polje f pa njegov potencial. Naj bo F : R 3 R 3 zvezno potencialno polje in krivulja, ki se jo da parametrizirati z regularno parametrizacijo z začetno točko v A in končno točko v B, A, B. Če je f potencial polja F, tedaj je F d r = f(b) f(a). Opomba: pri predpostavkah zgornjega izreka in će sklenjena krivulja, tj. A = B, tedaj je F d r = 0. ivergenca Naj bo F vektorsko polje. Tedaj je divergenca vektorskega polja F definirana kot Rotor Rotor vektorskega polja F je definiran kot div F = F. rot F = F. Naj bo F : G R 3 R 3 zvezno in odvedljivo vektorsko polje. Tedaj so naslednje trditve ekvivalentne. (i) F je potencialno polje. (ii) rot F = 0. (iii) Če sta A, B in je orientirana krivulja z začetkov v A in koncem v B, potem je F d r neodvisen od krivulje in odvisen samo od točk A in B. 3.7 Integralski izreki Gaussov izrek: Naj bo G omejeno območje v R 3 katerega rob G je sestavljen iz ene ali več disjunktnih ploskev, ki jh lahko parametriziramo z regularno parametrizacijo in je orientiran z zunanjo normalo. Nadalje naj bo F zvezno in odvedljivo vektorsko polje v okolici G G. Tedaj je ploskovni integral vektorske funkcije F po G enak trojnemu integralu divergence polja F po G F dp = divf dv. G tokesov izrek: Naj bo orientirana ploskev z normalo n, katere rob je sestavljen iz končno mnogo gladkih krivulj in orientiran skladno s. Nadalje naj bo F zvezno in odvedljivo vektorsko polje v okolici. Tedaj je krivuljni integral polja F po robu enak ploskovnemu integralu rotorja F po F dr = rotf dp. G 12 Matevž Črepnjak

13 Greenov izrek: Naj bo omejeno območje v ravnini katerega rob je sestavljen iz končno mnogo gladkih krivulj in je pozitivno orientiran. Nadalje naj bo F = (f 1, f 2 ) zvezno in odvedljivo vektorsko polje v okolici. Tedaj je ( f2 f 1 dx + f 2 dy = x f ) 1 dx dy. y 13 Matevž Črepnjak

14 Poglavje 4 Laplaceova transformacija Naj bo f : (0, ) R funkcija. Če obstaja integral F (z) = 0 e z t f(t) dt, z C, tedaj je F Laplaceova transformiranka funkcije f. Pišemo F (z) = L(f(t))(z). Predpis L : f(t) F (z) imenujemo Laplaceova transformacija. Originalno funkcijo f imenujemo inverz Laplaceove transformiranke ali krajše inverz od F in pišemo f(t) = L 1 (F (z)). Predpis L 1 : F (z) f(t) je inverzna Laplaceova transformacija. Opomba: Laplaceova transformiranka F je kompleksna funkcija kompleksne spremenljivke. Funkcija f : [0, ) R je eksponentnega tipa, če obstajata taki realni števili M > 0 in c, da je f(t) M e c t. Naj bo f (vsaj) odsekoma zvezna funkcija eksponentnega tipa. Tedaj Laplaceova transformiranka F funkcije f obstaja za vsa kompleksna števila z, za katera je Re(z) > c. Veljajo naslednje formule Tabela 1: Osnovne Laplaceove transformiranke: f(t) L(f(t))(z) f(t) L(f(t))(z) 1 1 z e at 1 z a t 1 z 2 e at cos(ωt) z a (z a) 2 + ω 2 t 2 2 z 3 e at sin(ωt) ω (z a) 2 + ω 2 t n n! z n+1 e at ch(ωt) z a (z a) 2 ω 2 t a, a > 1 Γ(a + 1) z a+1 e at sh(ωt) ω (z a) 2 ω 2 14

15 Tabela 2: Lastnosti Laplaceove transformacije: L(λ f(t) + µ g(t))(z) = λ L(f(t))(z) + µ L(g(t))(z) L(e at f(t))(z) = L(f(t))(z a) L(f(at))(z) = 1 a L(f(t))( z a ), a > 0 L(f(t k))(z) = e kz L(f(t))(z) L(f (n) (t))(z) = z n L(f(t))(z) z n 1 f(0) z n 2 f (0) zf (n 2) (0) f (n 1) (0) L(f (t))(z) = zl(f(t))(z) f(0) L(t n f(t))(z) = ( 1) n L (n) (f(t))(z) L( t 0 f(τ)dτ)(z) = 1 z L(f(t))(z) Naj bosta f, g zvezni funkciji. Tedaj je konvolucija funkcij f in g, f g, enaka (f g)(t) = t 0 f(τ)g(t τ) dτ. Pri zgornjih predpostavkah velja naslednji izrek L((f g)(t))(z) = L(f(t))(z)L(g(t))(z). 15 Matevž Črepnjak

16 Tabela osnovnih integralov: x r dx = xr+1 r+1 + C, r 1 sh x dx = ch x + C dx x = ln x + C chx dx = sh x + C a x dx = ax ln a + C tanx dx = ln cos x + C e x dx = e x + C cotx dx = ln sin x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C dx sin 2 x = cot x + C dx cos 2 x = tan x + C dx = arcsin x a 2 x 2 a + C dx a 2 x 2 = 1 2a a+x ln a x + C, ( x < a) dx = ln x + x x 2 + a 2 + C 2 +a 2 dx = ln x + x2 x 2 a 2 + C a 2 dx a 2 +x = 1 2 a atan x a + C dx x 2 a = 1 2 2a x a ln x+a + C, ( x > a) 16 Matevž Črepnjak