Racionalna funkcija. Mišo Krog
|
|
- Ciril Sever
- pred 3 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Racionalna funkcija Mišo Krog
2 Srednje strokovno izobraževanje: Kmetijski tehnik, tehniki Modul: MATEMATIKA Naslov: Racionalna funkcija Gradivo za 3letnik SSI Avtor: Mišo Krog Strokovni recenzent: Janja Barber Rojc, prof mat Lektor: Severin drekonja, dipl komp Šempeter pri Gorici, 2011 Avtorske pravice ima Ministrstvo za šolstvo in šport Republike Slovenije Gradivo je sofinancirano iz sredstev projekta Biotehniška področja, šole za življenje in razvoj ( ) Operacijo delno financira Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada ter Ministrstvo za šolstvo in šport Operacija se izvaja v okviru operativnega programa razvoja človeških virov za obdobje , razvojne prioritete: Razvoj človeških virov in vseživljenjskega učenja, prednostna usmeritev Izboljšanje kakovosti in učinkovitosti sistemov izobraževanja in usposabljanja Vsebina tega dokumenta v nobenem primeru ne odraža mnenja Evropske unije Odgovornost za vsebino dokumenta nosi avtor
3 Kazalo vsebine Racionalna funkcija5 Lastnosti racionalnih funkcij6 VAJE7 Asimptota racionalne funkcije8 Risanje grafa racionalne funkcije9 VAJE14 Racionalna neenačba15 VAJE17 Povzetek18 3
4 Kazalo ilustracij Slika 1: Funkcija x 1 6 Slika 2: Funkcija x 2 6 Slika 3: Zgled 310 Slika 4: Zgled 411 Slika 5: Zgled 512 Slika 6: Zgled 613 Slika 7: Številska premica15 Slika 8: Zgled 816 Slika 9: Zgled 916 4
5 Racionalna funkcija Racionalna funkcija je količnik (kvocient) dveh polinomov: p(x) q(x) Polinoma, ki nastopata v izrazu, sta si tuja v nasprotnem primeru bi imeli konstantno funkcijo Izraz je prav tako okrajšan količnik Splošno ga lahko zapišemo tudi tako: = p(x) q(x) a n x n + a n 1 x n 1 + a 0 b m x m + b m 1 x m 1 + b 0 : Racionalna funkcija je definirana le za neničelne vrednosti polinoma q(x) 6= 0 Drugače povedano: imenovalec racionalne funkcije mora biti 5 različen od nič ( 0 = 1 ) Točko, kjer je imenovalec racionalne funkcije enak nič ( q(x) = 0), imenujemo pol racionalne funkcije V polih ima graf racionalne funkcije navpično asimptoto Ä Pomni Vrednost ulomka: a 0 = 1 ne obstaja Ä Pomni Racionalna funkcija ima ničle takrat, ko je vrednost polinoma Vrednost ulomka: 0 oziroma ko je števec racionalne funkcije enak nič b = 0 Ničle poiščemo tako, da rešimo polinomsko enačbo p(x) = 0 p(x) = 0 ZGLED 1: Zapišimo definicijsko območje in ničle racionalne funkcije x2 1 3x + 5 Ker je racionalna funkcija definirana za neničele imenovalce izrazov, poiščemo ničlo imenovalca: 3x + 5 = 0 ) x = 5 3 Torej je definicijsko območje: = Rnf 5 3 g D f 5
6 Racionalna funkcija ima vrednost nič, kadar je imenovalec enak 0: x 2 1 = 0 Ničle: (x 1)(x + 1) ) x 1 = 1; x 2 = 1 Lastnosti racionalnih funkcij: Povedali smo že, kako poiščemo kritične točke racionalne funkcije (ničle in pole) Te so pa lahko poljubne stopnje Podobno kot za polinome velja, da racionalna funkcija spremeni predznak v ničlah lihe stopnje (tam preide skozi abcisno os) Prav tako racionalna funkcija spremeni predznak skozi pole lihe stopnje (v polu se racionalna funkcija pretrga) Pri polih lihe stopnje gredo točke z ene strani proti polu k vrednostim + 1, z druge strani pa proti polu k vrednostim 1 Ko pa je pol sode stopnje, gredo vrednosti z obeh strani pola proti 1 ZGLED 2: Narišimo grafa 1 in g(x) = 1 x x 2 Funkcija f (x) imenovalec enak nič): nima ničel, njen pol pa je (ko je Funkcija pa sta: g(x) prav tako nima ničel, njena pola x = 0 Njen graf je: Njen graf je: x 2 = 0 ) x 1;2 = 0 Slika 1: Funkcija x 1 Slika 2: Funkcija x 2 6
7 Vidimo, da graf preko pola spremeni predznak Z leve strani proti polu gredo vrednosti proti 1, z desne proti polu pa gredo vrednosti + 1 proti Vidimo, da graf preko pola ne spremeni predznak Z leve strani proti polu gredo vrednosti proti polu + 1, prav tako z desne proti VAJE: 2 x x x 2 + 6x x x 5 x Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 2 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 3 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 4 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 5 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije x x 2 + x Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije x 4 8 x 2 x 20 7 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije x2 + 3x 10 x 3 µ 1 log x µ x 2 4x 5 ln x 2 + x 2 s µ 1 log x Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 9 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 10 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 11 Zapišite ničle in definicijsko območje funkcije 7
8 Asimptota racionalne funkcije Do sedaj smo spoznali, kako se racionalna funkcija vede v okolici ničel in polov, povejmo še, kaj določa njeno obnašanje daleč stran od njenega izhodišča Da bi znali narisati graf racionalne funkcije, moramo poznati njeno obnašanje, ko vrednosti spremenljivke x rastejo/padajo v neskončnost Ločimo tri primere: Ä Stopnja polinoma v števcu je manjša kot stopnja polinoma v imenovalcu Naj za racionalno funkcijo p(x) velja, da je polinom p(x) nižje stopnje kot polinom q(x) q(x) Potem velja, da ko teče spremenljivka x proti 1, vrednosti polinoma v imenovalcu hitreje naraščajo kot vrednosti polinoma v števcu, zato velja, da gre količnik (vrednost ulomka) proti 0 Npr: 1 asimptota: x ) y = 0 ) Pravimo, da je takrat asimptota vodoravna premica z enačbo y = 0 Ä Stopnja polinoma v števcu je enaka stopnji polinoma v imenovalcu Naj za racionalno funkcijo p(x) velja, da je (stopnji q(x) = a n x n + + a 0 m = n b m x n + + b 0 sta enaki) Potem velja, da ko teče spremenljivka x proti 1, je vrednost racionalne a n funkcije odvisna od količnika koeficientov, h kateremu se vrednosti racionalne funkcije b m takrat približujejo Npr: 5x3 asimptota 4x ) y = Pravimo, da je takrat asimptota vodoravna premica z enačbo y = a n ) b m Ä Stopnja polinoma v števcu je večja od stopnje polinoma v imenovalcu Naj za racionalno funkcijo p(x) velja, da je polinom p(x) višje stopnje kot polinom q(x) q(x) Potem velja, da ko teče spremenljivka x proti 1, vrednosti polinoma v števcu hitreje naraščajo kot vrednosti polinoma v imenovalcu, zato takrat vrednosti racionalne p(x) o(x) funkcije tečejo proti količniku = k(x) + q(x) q(x) Npr: x2 + x 1 ) asimptota: y = x + 1 x Pravimo, da je takrat asimptota količnik, ki ga dobimo, ko delimo polinom p(x) s ) 8
9 polinomom q(x) Asimptota je y = k(x) Risanje grafa racionalne funkcije Graf racionalne funkcije je (preko polov) pretrgana krivulja Če jo želimo narisati moramo poznati (če obstaja) njeno začetno vrednost, ničle, pole in njeno asimptoto Racionalno funkcijo ponavadi narišemo v 4-5 korakih 1 korak: Začetna vrednost je točka, kjer racionalna funkcija seka ordinatno os To je točka, ko je x = 0, zato lahko, če obstaja (ne obstaja kadar je x = 0 pol), njene koordinate izračunamo tako: a n 0 n + a n 1 0 n a 0 = b m 0 n + b m 1 0 m b 0 a 0 = : b 0 µ Začetna vrednost je zato točka N 0; a 0 p(x) 2 korak: Ničle racionalne funkcije so ničle števca, zato rešimo enačbo p(x) = 0 Za nje q(x) velja enako kot za ničle polinoma Če je ničla lihe stopnje, graf racionalne funkcije seka abcisno os, sicer pa ne f (0) = p(x) 3 korak: Poli racionalne funkcije so ničle imenovalca, zato rešimo enačbo q(x) = 0 q(x) Narišemo jih kot navpične (črtkane) asimptote Graf racionalne funkcije se polom približuje, vendar jih nikoli ne seka - preko polov se graf pretrga Če je pol lihe stopnje, se preko pola spremeni predznak, sicer pa ne p(x) q(x) p(0) q(0) b 0 4 korak: Asimptoto poiščemo glede na stopnjo števca in imenovalca (glej stran 7) Racionalna funkcija v okolici koordinatnega izhodišča lahko seka asimptoto, ko pa x teče daleč v 1, pa se graf približuje asimptoti (je ne seka) 9
10 5 korak: Racionalno funkcijo po potrebi tabeliramo, da lažje ugotovimo potek grafa racionalne funkcije ZGLED 3: Za funkcijo 2x + 6 x 2 4 in enačbo asimptote Narišimo njen graf poiščimo začetno vrednost, ničle, pole, zapišimo definicijsko območje Začetna vrednost funkcije f (x) je fočka, ko je x = 0: f (0) = = 6 4 = 3 2 N (0; 3 2 ) Ničle poiščemo tako, da rešimo enačbo p(x) = 0: 2x + 6 = 0 x = 3 ) M 1 ( 3; 0) Poli so ničle imenovalca Rešimo enačbo: x 2 4 = 0 (x 2)(x + 2) = 0 x 1 = 2; x 2 = 2 Slika 3: Zgled 3 Definicijsko območje je množica realnih števil brez polov Zapišemo: = Rnf 2; 2g D f Asimotota je vodoravna premica y = 0, saj je stopnja polinoma v števcu (= 1) manjša od stopnje polinoma v imenovalcu (= 2) Vse izračunano narišemo v koordinatni sistem (Slika 3) Graf bo potekal od ( 1 ; 3) pod 10
11 abcisno osjo (ob asimptoti) Med ( 3; 2) se bo ob polu vzpenjal v 1 Ker je x 2 = 2, pol lihe stopnje preko pola graf spremeni predznak in preko pola "pride" iz 1 Med poli nimamo nobene ničle, zato se obrne in gre nazaj ob polu x 1 = 2 v 1, kar pomeni, da je graf na intervalu ( 2; 2) vedno negativen Preko pola x 1 = 2 spremeni predznak in nato na intervalu (2; 1 ) pada iz 1 proti asimptoti y = 0 ZGLED 4: Za funkcijo x2 x 2 x 2 2x + 1 območje in enačbo asimptote Narišimo njen graf poiščimo začetno vrednost, ničle, pole, zapišimo definicijsko Začetna vrednost funkcije f (x) je fočka, ko je x = 0: f (0) = = 2 1 = 2 N (0; 2) Ničle poiščemo tako, da rešimo enačbo p(x) = 0: x 2 x 2 = 0 (x 2)(x + 1) = 0 x 1 = 2; x 2 = 1 ) M 1 (2; 0); M 2 ( 1; 0) Poli so ničle imenovalca Rešimo enačbo: 11 Slika 4: Zgled 4
12 x 2 2x + 1 = 0 (x 1) 2 = 0 x 1;2 = 1 Definicijsko območje je množica realnih števil brez polov Zapišemo: = Rnf 1g D f Asimptota je vodoravna premica y = 1, saj sta stopnji polinomov v imenovalcu in števcu enaki v obeh primerih sta stopnji 2 Asimptota je zato y = a n = 1 b m 1 = 1 Vse izračunano narišemo v koordinatni sistem (Slika 4) Graf bo potekal od asimptote y = 1 do absisne osi, in bo v M 2 ( 1; 0) prešel pod abcisno os in nadaljeval do pola x 1;2 = 1 proti 1 Preko pola se bo prelomil in ker je pol sode stopnje, preko pola ne bo spreminjal predznaka Od (1; 2) je graf negativen, od (2; 1 ) pa gre proti asimptoti y = 1 (ki jo pri x = 3 tudi seka) ZGLED 5: Za funkcijo x3 + 5x 2 4x 20 x 2 + x 12 definicijsko območje in enačbo asimptote Narišimo njen graf ( 1 ; 1) poiščimo začetno vrednost, ničle, pole, zapišimo od Začetna vrednost funkcije f (x) je fočka, ko je x = 0: f (0) = = 5 3 ) N (0; 5 3 ) Ničle poiščemo tako, da rešimo enačbo p(x) = 0: x 3 + 5x 2 4x 20 = 0 x 2 (x + 5) 4(x + 5) = 0 (x + 5)(x + 2)(x 2) = 0 x 1 = 5; x 2 = 2; x 3 = 2 ) M 1 ( 5; 0); M 2 ( 2; 0) M 3 (2; 0) 12 Slika 5: Zgled 5
13 Poli so ničle imenovalca Rešimo enačbo: x 2 + x 12 = 0 (x + 4)(x 3) = 0 x 1 = 4, x 2 = 3 Definicijsko območje je množica realnih števil brez polov Zapišemo: = Rnf 4; 3g D f Asimptota je premica y = x + 4, saj je stopnja števca (= 3) višja kot stopnja imenovalca (= 2), zato je asimptota količnik pri deljenju števca z imenovalcem, ki je v našem primeru k(x) = x + 4 Vse izračunano narišemo v koordinatni sistem (Slika 5) Graf bo potekal od ( 1 ; 4) tako, da bo pri x = 5 prešel abcisno os Do 5 bo potekal ob asimptoti med 5 do 4 pa poteka proti + 1 ob polu Preko pola (x 1 = 4) spremeni predznak in se na itervalu ( 4; 3) obrne nazaj navzdol (podobno kot parabola) Na intervalu ( 3; 1 ) pa pride ob polu iz 1 se obrne in se, ko x raste čez vse meje, približuje asimptoti y = x + 4 ZGLED 6: Za funkcijo x2 1 x in enačbo asimptote Narišimo njen graf poiščimo začetno vrednost, ničle, pole, zapišimo definicijsko območje Začetna vrednost funkcije f (x) je fočka, ko je x = 0: f (0) = 1 2 = 1 2 ) N (0; 1 2 ) Ničle poiščemo tako, da rešimo enačbo p(x) = 0: x 2 1 = 0 (x + 1)(x 1) = 0 ) M 1 ( 1; 0); M 2 (1; 0) Slika 6: Zgled 6 13
14 Poli so ničle imenovalca Rešimo enačbo: x = 0 Enačba nima realnih rešitev, zato racionalna funkcija nima polov Definicijsko območje je množica realnih števil Zapišemo: = R D f Asimptota je vodoravna premica y = 0, saj je stopnja polinoma v števcu (= 2) nižja od stopnje polinoma v imenovalcu (= 4) Vrišemo začetno vrednost in ničle v koordinatni sistem Graf te funkcije poteka nad abcisno osjo ob asimptoti y = 0 do ničle x = 1, kjer preide pod abcisno os in je tam vse do ničle x = 1, kjer spet spremeni predznak in nato nadaljuje ob asimptoti nad abcisno osjo Lahko bi rekli, da so vrednosti grafa za x 2 ( 1; 1) negativne, ko je x = 1, so vrednosti nič, za vse ostale x pa so pozitivne in zelo blizu nič VAJE: 12 Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 13 Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 14 Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 2 x x x 2 + 6x x Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf x + 1 x 1 16 Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf x 5 x Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf x 3 x Za funkcijo poiščite 14
15 definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 19 Za funkcijo f(x)= poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 20 Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 21 Za funkcijo poiščite začetno vrednost, ničle, pole, zapišite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 22 Za funkcijo poiščite začetno vrednost, ničle, pole, zapišite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 23 Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf x 3 x 2 2x + 1 x3 + 2x 2 x 2 1 5x2 + 5x 10 3x 2 + 3x 18 2x2 12x x 2 + 5x 1 + x 1 1 x 2 24 Za funkcijo 3 4x 1 + x 2 poiščite začetno vrednost, ničle, pole, zapišite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf x3 27 2x Za funkcijo poiščite definicijsko območje in enačbo asimptote Narišite njen graf 15
16 Racionalna neenačba Racionalno neenačbo oblike: p 1 (x) p 2 (x) p 3 (x) p 4 (x) ali za ; < ; > rešujemo tako, da imenovalca združimo (enačbo preoblikujemo) v enačbo oblike: p 1 (x) p 4 (x) p 2 (x) p 3 (x) p 2 (x) p 3 (x) 0 Nato poiščemo ničle in pole racionalne funkcije, ki jo dobimo, ko poenostavimo dobljeni izraz Pole in ničle označimo na številsko premico in izračunamo vrednost v neki točki Po poznanih pravilih risanja grafov določimo predznake na nastalih intervalih številske premice (intervali na številski premici so nastali, ko smo označili ničle in pole) Slika 7: Številska premica Še enkrat: racionalna funkcija spremeni predznak v ničlah in polih lihe stopnje ZGLED 7: 1 Rešimo neenačbo x 1 > 0 Števec ni nikoli enak 0, zato neenačbi pripadajoča racionalna funkcija nima ničel Neenačba ima pol lihe stopnje: x 1 = 0 ) x = 1 Ker ima samo en pol, spremeni predznak samo enkrat (preko pola) Ko je x = 0, je vrednost izraza negativna, kar pomeni, da so za x < 1 vrednosti izraza negativne, na desno preko pola pa so pozitivne (narišite pripadajočo racionalno funkcijo) Rešitev: x 2 (1; 1 ) 16
17 ZGLED 8: x x 2 x 1 Rešimo neenačbo Ulomka združimo: x x + 2 x 1 0 (x + 1)(x 1) + 2(3 3x) (3 3x)(x 1) 0 x 2 6x + 5 3(x 1) 2 0 (x 5) 3(x 1) 0 Za pripadajočo racionalno funkcijo izračunamo ničle in pole: x = 5 x = 1 ničla:, pol: x = 0 ) Izračunamo vrednost, ko je Vrišemo vse na številsko premico in določimo predznake na dobljenih intervalih: ( 1 ; 1); (1; 5); (5; 1 ) 5 3 Ker vemo, da je na intervalu ( 1 ; 1) je pol lihe stopnje, zato bo na intervalu x = 5 Slika 8: Zgled 8 izraz negativen, bo ta interval spadal v rešitev neenačbe Pri (1; 5) izraz pozitiven in ta interval ne bo v rešitvi neenačbe Ko je, nastopi ničla lihe stopnje in funkcija preko ničle spremeni predznak Interval vključno z ničlo ( zato pišemo [5; 1 )) spada v rešitev neenačbe x 2 ( 1 ; 1) [ x 2 (5; 1 ) Rešitev je unija intervalov: (5; 1 ) x = 1 ZGLED 9: 4 x 2 3x 1 Rešimo neenačbo 4 x 2 3x x 2 + 3x x 2 3x 0 (x 4)(x + 1) x(x 3) 0 Ugotovimo, da sta pola pri in, ničli pa sta in x = 4 x = 0 x = 3 3 Funkcija ima pri x= 1 vrednost: (izračunajte) x = 1 Ničle in pole narišemo na številsko premico in določimo predznake na posameznih intervalih (Slika 9) 17
18 Slika 9: Zgled 9 Rešitev: VAJE: x 2 [ 1; 0) [ x 2 (3; 4] 1 x + 1 > 0 5 x 2 4 > 0 3 x x 6 < 1 x + 2 2x Rešite neenačbo: 27 Rešite neenačbo: 28 Rešite neenačbo: 29 Rešite neenačbo: 4x 2 36 x x x 2 2 < 1 x x x 2 1 > x 2 x 3 30 Rešite neenačbo: 31 Rešite neenačbo: 32 Rešite neenačbo: x x x x x 1 > 1 1 x Rešite neenačbo: 34 Rešite neenačbo: x + x2 x x 3 > 2x Rešite neenačbo: 18
19 Povzetek Ä Racionalna funkcija je količnik (kvocient) dveh polinomov: p(x) q(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a 0 b n x m + b m 1 x m 1 + b 0 Ä Začetna vrednost (če obstaja) racionalne funkcije je µ točka: N 0; a 0 b 0 f (0) = p(0) q(0) = a 0 b 0 Ä Ničle racionalne funkcije so vrednosti, za katere velja, da je števec izraza enak nič: p(x) = 0 Ä Poli racionalne funkcije (navpične asimptote) nastopijo, ko je imenovalec izraza enak nič: q(x) = 0 Ä Kako se racionalna funkcija obnaša daleč stran od izhodišča (h katerim vrednostim gre graf funkcije), nam pove asimptota Glede na stopnjo polinoma v števcu (n) in polinoma v imenovalcu (m) določimo asimptoto tako: n < m ) n = m ) n > m ) asimptota je premica y = 0 asimptota je premica y = a n b m p(x) asimptota je količnik pri deljenu polinomov, y = k(x) q(x) Ä Racionalna funkcija spremeni predznak le preko ničlel ali polov lihe stopnje 19
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Ljubljana, 2004 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi
Prikaži večBojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih
Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večjj
PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog je določil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na 60. seji 27. 8. 2003 in se uporablja v programih za pridobitev
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večjj
Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 04, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večLehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM
Prikaži večPriloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito
Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito KAZALO 1 UVOD... 3 2 IZPITNI CILJI... 4 3 ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA... 5 3.1 Shema izpita... 5 3.2 Tipi nalog in vrednotenje...
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži večDel 1 Limite
Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večINDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n
INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večNamesto (x,y)R uporabljamo xRy
RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večIskanje ničel funkcij z metodo bisekcije Imejmo podano funkcijo f(x), ki ji želimo poiskati ničle, to je presečišča z x-osjo, kjer je vrednost f(x)=0.
Iskanje ničel funkcij z metodo bisekcije Imejmo podano funkcijo f(x), ki ji želimo poiskati ničle, to je presečišča z x-osjo, kjer je vrednost f(x)=0. Včasih lahko ničle določimo analitično, pogosto pa
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večNumeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k
Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večOSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk
OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večVIDEOANALIZA GIBANJ Za kratke projektne naloge lahko dijaki z domačimi digitalnimi fotoaparati posnamejo nekaj sekundne videofilme poljubnih gibanj. U
VIDEOANALIZA GIBANJ Za kratke projektne naloge lahko dijaki z domačimi digitalnimi fotoaparati posnamejo nekaj sekundne videofilme poljubnih gibanj. Uporabni so skoraj vsi domači digitalni fotoaparati.
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večVsebinska struktura predmetnih izpitnih katalogov za splošno maturo
Ljubljana 017 MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 019, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v
Prikaži večJerneja Čučnik Merjenje in uporaba kondenzatorja Gimnazija Celje Center LABORATORIJSKA VAJA Merjenje in uporaba kondenzatorja Ime in priimek:
1. LABOATOJSKA VAJA Merjenje in uporaba me in priimek: azred: 4. b Šola: Gimnazija elje ener Menor: Boru Namesnik, prof. Daum izvedbe vaje: 17.12.29 1 VOD in POTEK DELA 1.a Polnjenje Kondenzaor priključimo
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večUvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek
Prikaži večMATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140
MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško
Prikaži večSPLOŠNA MATURA IZ PREDMETA MATEMATIKA V LETU 2017 Poročilo DPK SM za matematiko Vsebina 1 Struktura kandidatov Struktura kandidatov pri sploš
SPLOŠNA MATURA IZ PREDMETA MATEMATIKA V LETU 2017 Poročilo DPK SM za matematiko Vsebina 1 Struktura kandidatov... 2 1.1 Struktura kandidatov pri splošni maturi primerjava po letih... 3 1.2 Struktura kandidatov
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večMicrosoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2
Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 12. junij 2013 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večFORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija 2 2 Razdalja dveh točk v ravnini: d( A, B) ( x2 x1) ( y2 y1) y2 y1 Linearna funk
FORMULE. Pravokoti koordiati sistem v ravii, lieara fukcija Razdalja dveh točk v ravii: d( A, B) ( ) ( ) Lieara fukcija: f ( ) k Smeri koeficiet: k k k Nakloski kot premice: k ta Kot med premicama: ta
Prikaži večSIV_praktikum.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SISTEMI IN VODENJE praktikum Gregor Klančar Ljubljana, 2013 Kazalo 1. Uvod v sisteme vodenja 1 1.1 Primeri... 1 1.2 Naloge... 5 1.3 Dodatnenaloge... 7 2.
Prikaži večOdvodFunkcijEne11.dvi
III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java_spremenljivke
Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večIdentifikacija Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja Vprašalnik za učitelje Matematika International Association for the Eval
Identifikacija Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja Vprašalnik za učitelje Matematika International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA, 2008
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži večFGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - IPPU-V2.ppt
Informatizacija poslovnih procesov v upravi VAJA 2 Procesni pogled Diagram aktivnosti IPPU vaja 2; stran: 1 Fakulteta za upravo, 2006/07 Procesni pogled Je osnova za razvoj programov Prikazuje algoritme
Prikaži večREED-SOLOMONOVE KODE Aleksandar Jurišić Arjana Žitnik 6. junij 2004 Math. Subj. Class. (2000): 51E22, 94B05?, 11T71 Reed-Solomonove kode so izjemno us
REED-SOLOMONOVE KODE Aleksandar Jurišić Arjana Žitnik 6 junij 2004 Math Subj Class (2000): 51E22, 94B05?, 11T71 Reed-Solomonove kode so izjemno uspešne na področju hranjenja podatkov (CD, DVD) ter prenašanja
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži večDiapozitiv 1
Pogojni stavek Pogojni (if) stavek Tip bool Primerjanje Uranič Srečo If stavek Vsi dosedanji programi so se izvajali zaporedoma, ni bilo nobenih vejitev Program razvejimo na osnovi odločitev pogojnega
Prikaži večMicrosoft Word - Seštevamo stotice.doc
UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večUČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR , Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi ci
UČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR 1.9.2016, Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi cilji opredelimo namen učenja in poučevanja matematike.
Prikaži večSlide 1
Opolnomočenje učencev z izboljšanjem bralne pismenosti in dostopa do znanja PREDSTAVITEV ZA STARŠE ŠOLSKO LETO 2011/12 Operacijo delno financira Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada ter Ministrstvo
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večMicrosoft Word - Astronomija-Projekt19fin
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april
Prikaži večMicrosoft Word - A-3-Dezelak-SLO.doc
20. posvetovanje "KOMUNALNA ENERGETIKA / POWER ENGINEERING", Maribor, 2011 1 ANALIZA OBRATOVANJA HIDROELEKTRARNE S ŠKOLJČNIM DIAGRAMOM Klemen DEŽELAK POVZETEK V prispevku je predstavljena možnost izvedbe
Prikaži več