Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Verjetnost v fiziki 2012/13 tutorstvo #1 Kombinatorika Avtorja: Peter Ferjančič, Boštjan Kokot
|
|
- Andrejka Kokalj
- pred 5 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Verjetnost v fiziki 2012/13 tutorstvo #1 Kombinatorika Avtorja: Peter Ferjančič, Boštjan Kokot Mentor: izr. prof. dr. Simon Širca 4. oktober
2 1 Cardanov met dveh kock 1.1 Ozadje Girolamo Cardano, po izobrazbi zdravnik, je bil rojen okoli leta 1500 v Milanu in je bil patološki hazarder (mimogrede, beseda hazard izhaja iz arabske besede "al zahr", ki pomeni kocke), ki jih je kot amaterski matematik tudi rad raziskoval. V svojem življenju je napisal 131 tiskanih del, trdil je da jih je spisal, a zažgal, še 170 in zapustil ob svoji smrti še 111 neobjavljenih rokopisov. Bil je tudi eden prvih ljudi, ki je napisal avtobiografijo. Naslovljena je bila De vita propria liber (Življenja mojega knjiga) in je omenjala pojem poštene kocke v svojih delih. Kot prvi je uvedel uporabo ulomkov za zapis verjetnosti nekega dogodka, kar se uporablja še dandanes. 1.2 Naloga: Uvod v met kocke Sledimo njegovim ugotovitvam s sledečimi vprašanji na temo poštene šeststrane kocke (njegov zapis z ulomki je simpatičen): Kolikšna je verjetnost, da vržemo na pošteni igralni kocki 1 ali 2? Koliko je verjetnost, da vržemo 1 ali 2 piki trikrat zapored? Koliko je verjetnost, da vržemo 1 ali 2 piki vsaj v enem od dveh metov kocke? Pri metu dveh kock, katera vsota pik na obeh kockah je najbolj pogosta? 1.3 Rešitev 1 3 ( 1 3 )3 = = 5 9 ali 1 ( 2 3 )2 = 5 9 naverjetnejši met 7, z verjetnostjo Chevalier de Méré 2.1 Ozadje Antoine Gombaud, znan predvsem kot Chevalier de Méré, je bil francoski pisatelj 17. stoletja. Prevzel ga je Paciolijev problem (naslednja naloga) in z močno intuicijo za verjetnost se ga je poskušal lotiti. Svoje izkušnje je prenesel na naslednji primer: 2.2 Naloga: Met šestic Klasična kockarska igra v tistih časih je imela sledeča pravila: dva igralca (recimo jima napadalec in branilec) sta stavila enaki vsoti. Napadalec je vrgel igralno kocko štirikrat in če je v vsaj enem metu padla šestica, je pobral celotno vsoto, drugače jo je pobral branilec. Izračunaj, kdo ima boljšo verjetnost za zmago. 2
3 2.3 Rešitev Najlažje izračunamo verjetnost, da napadalec ne vrže šestice v štirih metih. Verjetnost za nekaj takega je ( 5 6 )4 = , torej malenkost pod 0.5. V tej igri ima torej napadalec malenkost boljše možnosti za zmago. 2.4 Kako je de Méré ustvaril novo igro Chevalier de Méré ni bil zadovoljen s to različice igre, saj je le štirikratni met kocke dopuščal precej statistične svobode v kolikor se šestica nebi pojavila recimo 20 metov zapored, bi napadalec hitro izgubil precejšnjo vsoto. Da bi omejil možnost za lastno izgubo, je razmišljal tako: Verjetnost, da vrže napadalec dve šestici zapored (P = 1/36) je 1/6 verjetnosti, da vrže eno šestico (P = 1/6). V prejšnjem delu naloge smo pokazali, da so za napadalčevo prednost potrebni štirje meti, česar se je de Méré dobro zavedal. Sklepal je torej, da če stavi na met dveh šestic naenkrat v 4 6 = 24 metih bo z dosti večjo zanesljivostjo zaslužil. 2.5 Naloga: Ali je de Méré obogatel? Preveri njegovo razmišljanje. Kolikšna je verjetost, da v 24 metih vržeš dve šestici naenkrat z dvema kockama? 2.6 Rešitev Nalogo rešujemo identično kot 3. točko 1. naloge: verjetnost, da ne vrže dveh šestic, je = , torej malenkost več kot pol. 2.7 Naloga: Kdaj bi de Méré obogatel? De Méré je s to igro izgubil zadosti denarja, da je empirično dokazal svojo napako. Na koliko metov bi moral staviti, da bi statistično zmagoval igre? 2.8 Rešitev Velja: ( )n = 0.5. Torej: n = log(0.5) log( ) = 24.6 Moral bi torej staviti na 25 metov. So close and yet so far away. 3 Paciolijev problem 3.1 Ozadje Luca Pacioli je bil frančiškanski menih in eden najboljših matematikov svojega časa ( ), ki je med drugim tudi postavil temelje računovodstva. Njegovo najbolj znano pisano delo je Summa de arithmetica, geometria et proportionalita. Med svojim delom širom Evrope je srečal Leonarda da Vincija, s katerim sta hitro postala dobra prijatelja. Leonardo je sicer imel močno intuicijo za geometrijo in razmerja, ampak šele Pacioli ga je uvedel v svet prave matematike. Paciolli je v svoji knjigi postavil problem, znan pod imenom "Problem of points", ki je predstavljal nerešljiv problem za matematike nadaljnih slabih dvesto let, ko sta ga s skupnimi močmi rešila Blaise Pascal in Piere de Fermat. 3
4 3.2 Naloga: Problem of the points A in B igrata pošteno igro na srečo. Dogovorila sta se, da igrata dokler eden od njiju ne zmaga šestih iger, ko pobere celoten nagradni izkupiček. Igro zaključita predčasno, ko A zmaga pet iger in B tri. Poskušaj v manj kot 200 letih ugotoviti, kako naj si pošteno razdelita dobitke. 3.3 Rešitev V trenutku, ko končata z igro, je rezultat 5-3, torej A potrebuje še eno, B pa tri zmage da pobere skupni dobitek. Poglejmo, kako se lahko igra odvija naprej. 5-3 P=0.5 P= P=0.25 P= P= P=0.125 Torej: verjetnost, da zmaga igralec B (modri) je 0.125, verjetnost da zmaga A (rdeči) je Pravično je, da si v takem razmerju tudi razdelita dobitek. 4 Izpit iz VF , 3. naloga 4.1 Naloga Zastopanost krvnih skupin 0, A, B oziroma AB v celotni populaciji je 0 : 44%; A : 42%; B : 10%; AB : 4% a) Iz populacije naključno izberemo dve osebi. Kolikšna je verjetnost, da imata osebi enako krvno skupino, in kolikšna verjetnost, da imata drugačni skupini? b) Iz populacije naključno izberemo štiri osebe. Izračunaj verjetnost, da je v tej četverici zastopanih natanko k različnih krvnih skupin, kjer je k = 1, 2, 3, Rešitev a P = =
5 4.2.2 b Za k = 1: i< j P = = za k = 2: imamo možnosti da so 3 A skupine in 1 B skupina, ali pa 2 A in 2 B: ( ) 4 ( ) 4 P 2 = p 2i 2 p2j + p 3 i 3 p1 j i j = 6(p 2 1 p2 2 + p2 1 p2 3 + p2 1 p2 4 + p2 2 p2 3 + p2 2 p2 4 + p2 3 p2 4 ) +4(p 1 p p 1p p 1p p 2p p 2p p 2p p 3p p 3p p 3p p 4p p 4p p 4p 3 3 ) = = za k = 4: za k = 3 P 4 = p 1 p 2 p 3 p 4 4! = P 3 = 1 P 1 P 2 P 4 = Koze in avti 5.1 Naloga V znanem primeru iz knjige The curious incident of the dog in the nighttime je predstavljena TV igra, kjer lahko tekmovalec zadne avto (dobro) ali kozo (slabo). Tekmovalec ima v igri na voljo na izbiro troja vrata: A, B in C. za enimi izmed njih se nahaja avto, za dvemi pa je koza. Tekmovalec ne ve, kje se kaj nahaja, voditelj oddaje pa ve. Ko si igralec izbere ena vrata (npr. A) mu voditelj oddaje pokaže kaj je za enimi izmed vrat, ki jih tekmovalec ni izbral (v tem primeru torej B ali C, recimo da odpre vrata C), za katerimi ve, da je koza. Po tem ima tekmovalec možnost, da zamenja vrata za še neodprta (B) ali pa ostane pri prvotno izbranih (A). Kaj se tekmovalcu bolj splača? Ali zamenjava sploh vpliva na verjetnost zadetka nagrade? 5.2 Rešitev Tekmovalcu se seveda bolj splača zamenjati vrata. Da izbere pravilna vrata takoj na začetku ima verjetnost 1 3. Takrat voditelj oddaje odpre ena vrata, za katerimi je zagotovo koza, torej imajo vrata, ki so zaprta in neizbrana verjetnost 2 3 da se za njimi nahaja avto. Torej samo v primeru, ko takoj na začetku tekmovalec izbere vrata z avtom (P = 1/3) bo ob zamenjavi dobil kozo, v ostalih primerih pa bo ob zamenjavi dobil avto. 6 Risk domača naloga 6.1 Naloga Pri strateški družabni namizni igri Risk je cilj zavojevanje sveta preko bitk. Ob zadostnem številu vključenih figur napadalec vrže 3 igralne kocke, branilec pa 2. V parih se ločeno primerja najvišja meta napadalca in branilca, ter druga najvišja meta obeh igralcev. V kolikor je napadalec vrgel več kot branilec, le-ta izgubi figuro, če pa je met branilca enak ali večji metu napadalcu, figuro izgubi napadalec. Primer: Napadalec vrže 2, 4, 5, branilec vrže 3, 5. Najprej primerjamo najvišja meta, torej 5 in 5 in eno enoto izgubi napadalec. Druga najvišja meta sta 4 in 3 in enoto izgubi branilec. 5
6 Če bi meti bili 4, 5, 6 ter 5, 6 bi napadalec izgubil 2 enoti, če bi meti bili 3, 4, 5 in 3, 4 bi dve enoti izgubil branilec. Poskušaj ugotoviti, kaj se v tej igri bolj splača, braniti ali napadati? 6.2 Rešitev Malenkost bolj se splača napadati. 6
VST: 1. kviz
jsmath Učilnica / VST / Kvizi / 1. kviz / Pregled poskusa 1 1. kviz Pregled poskusa 1 Končaj pregled Začeto dne nedelja, 25. oktober 2009, 14:17 Dokončano dne nedelja, 25. oktober 2009, 21:39 Porabljeni
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večJože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič Skrivnosti števil in oblik Vsebinsko izpopolnjeno podpoglavje VERJETNOST 9
Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič Skrivnosti števil in oblik Vsebinsko izpopolnjeno podpoglavje VERJETNOST 9 Podpoglavje Verjetnost (poglavje Obdelava podatkov) se v učbeniku Skrivnosti števil
Prikaži večPowerPointova predstavitev
U K 20 P K U P M 2 0 1 2 12 M OBLIKOVANJE POJMA ŠTEVILO PRI OTROKU V 1. RAZREDU Sonja Flere, Mladen Kopasid Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Oblikovanje
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večHOKEJSKA ZVEZA SLOVENIJE Celovška LJUBLJANA Slovenija DRŽAVNO PRVENSTVO MLADINCEV U-18 v sezoni 2016/17 V tekmovanju za DP mladincev nastopajo
HOKEJSKA ZVEZA SLOVENIJE Celovška 25 1000 LJUBLJANA Slovenija DRŽAVNO PRVENSTVO MLADINCEV U-18 v sezoni 2016/17 V tekmovanju za DP mladincev nastopajo naslednja moštva: 1. Hk Triglav Kranj 2. Hk Olimpija
Prikaži večMicrosoft Word - Delac_napad Union Olimpije v sezoni 2005_06.doc
Teddy DELAČ Napadalne kombinacije KK UNION OLIMPIJA proti osebni obrambi na začetku sezone 2005/06 Uvod V tekmovalni sezoni 2005/06 je prišlo v člansko ekipo KK Union Olimpije veliko novih igralcev, zato
Prikaži večRC MNZ - kategorija U12 in U13 TRENING 3-4 SKLOP: Igra 1:1 USMERITEV TRENINGA: CILJ: Igra 1:1 v napadu Utrjevanje uspešnosti igre 1:1 v napadu UVODNI
RC MNZ - kategorija U12 in U13 TRENING 3-4 SKLOP: Igra 1:1 USMERITEV TRENINGA: CILJ: Igra 1:1 v napadu Utrjevanje uspešnosti igre 1:1 v napadu UVODNI DEL (20 minut) 1. NAVAJANJE NA ŽOGO (12 minut) S klobučki
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večMicrosoft Word - Kolaric_napad krozeci prst.doc
Marko KOLARIČ ZNAČILNOSTI NAPADA»KROŽEČI PRST«ČLANSKE EKIPE KK PARKLJI BEŽIGRAD 1 UVOD V članku bom predstavil enega izmed napadov, ki jih je članska ekipa KK Parklji Bežigrad najpogosteje uporabljala
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večuntitled
2. poglavje: Povprečni dosežki po področjih matematike PODPOGLAVJA 2.1 Kakšne so razlike v dosežkih po posameznih področjih matematike? 2.2 Razlike med učenci in učenkami v dosežkih po področjih matematike
Prikaži večPOVOD
RAZPIS 21. VAŠKA OLIMPIJADA OBČINE GORIŠNICA Športna zveza občine Gorišnica prireja 21. vaško olimpijado, ki bo v soboto, 13. julija 2019 s pričetkom ob 8.30 uri v Športnem parku Gorišnica TEKMOVANJA Tekmovanja
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večSlide 1
SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l?
Prikaži večNAVODILA ZA IGRANJE IGER NA PRODAJNIH MESTIH 1
NAVODILA ZA IGRANJE IGER NA PRODAJNIH MESTIH 1 Kazalo KAZALO STAVE... 4 Športne stave...4 Stave na številke...5 Cifra plus...5 Top 6...7 Virtualni športi...8 IGRE S SKUPNIM SKLADOM... 10 TOTOGOL...10
Prikaži večUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna
Prikaži večDiapozitiv 1
IGRE NA SREČO IN NEVARNOSTI ZASVOJENOSTI Pripravile: FKPV - Komerciala I IGRALNIŠTVO Seminarska naloga Marec 2012 HAZARDERSTVO: RAZVADA, BOLEZEN, POSEL? Iskanje tveganja in tveganje prekletstva Magična
Prikaži več1
ROKOMET IGRIŠČE Igrišče je pravokotnik, dolg 40m in širok 20m. Sestavljen je iz dveh enakih polj za igro in dveh vratarjevih prostorov. Daljši stranici se imenujeta vzdolžne črte, krajše pa prečne črte
Prikaži večBYOB Žogica v vesolju Besedilo naloge Glavna ideja igre je paziti, da žoga ne pade na tla igralne površine, pri tem pa zbrati čim več točk. Podobno ig
BYOB Žogica v vesolju Besedilo naloge Glavna ideja igre je paziti, da žoga ne pade na tla igralne površe, pri tem pa zbrati čim več točk. Podobno igro najdemo tudi v knjigi Scratch (Lajovic, 2011), vendar
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Mocnik.pptx
MATEMATIČNA PISMENOST IN MATEMATIČNI PROBLEMI Metoda Močnik in Alenka Podbrežnik KAJ NAS JE ZANIMALO? ugotoviti, v kolikšni meri so učenci uspešni pri samostojnem, nevodenemreševanju matematičnih besedilnih,
Prikaži večLIONEL MESSI
LIONEL MESSI OSEBNA IZKAZNICA Polno ime: Luis Lionel Andrés Messi Datum rojstva: 24. junij 1987 ( Rosario, Argentina ) Državljanstvo: argentinsko Drugo državljanstvo: špansko Višina: 169 cm Teža: 67 kg
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večZavod ŠKL Ljubljana Brezovce Trzin Šolsko leto PRAVILA TEKMOVANJA ŠKL TEE BALL Tee ball je športni program, namenjen otrokom od 6 do
Zavod ŠKL Ljubljana Brezovce 9 1230 Trzin Šolsko leto 2015-2016 PRAVILA TEKMOVANJA ŠKL TEE BALL Tee ball je športni program, namenjen otrokom od 6 do 12 leta. Vodilo tega programa je: zabava in učenje
Prikaži več5
PRAVILNIK EKIPNIH REKREATIVNIH TENIŠKIH LIG 1.0. SPLOŠNO Ta pravila določajo način igranja rekreativnih teniških lig GERTL Gorenjske ekipne rekreativne teniške lige (v nadaljnjem besedilu GERTL). Podroben
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večprelom celoten_tisk.indd
UVOD V PRIROČNI Priročnik je namenjen igralcem, ki igrajo igro Loto /39. V njem lahko najdete sto najrazličnejših sistemov, tako za tiste stare izkušene igralce, kakor tudi za tiste, ki bodo v igri sodelovali
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Izobraºevalna matematika Pisni izpit pri predmetu K
31. januar 2014 1. [25] V kino dvorano z 10 vrstami po 10 o²tevil enih sedeºev vstopi 100 ljudi. Od tega je 40 deklet in 60 fantov. Na koliko na inov se lahko posedejo, (a) e ni nobenih omejitev? (b) e
Prikaži večLoterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 PRAVILA IGRE NA SREČO LOTO (prečiščeno besedilo) Prečiščeno besedilo pravil igre na srečo loto
Loterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 PRAVILA IGRE NA SREČO LOTO (prečiščeno besedilo) Prečiščeno besedilo pravil igre na srečo loto vsebuje pravila igre na srečo loto številka 133/02
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večSPREJEM UDARCA
METODIČNI ALGORITMI SPREJEM UDARCA gibanje v nizki preži (orisovanje kvadrata) podajanje žoge (z obema rokama iz polčepa) in sledenje podani žogi (gibanje po prostoru) pomočnik hitro spreminja let žoge
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večDN080038_plonk plus fizika SS.indd
razlage I formule I rešeni primeri I namigi I opozorila I tabele Srednješolski Plonk+ Fizika razlage formule rešeni primeri namigi opozorila tabele Avtor: Vasja Kožuh Strokovni pregled: dr. Gorazd Planinšič
Prikaži večREŠENE NALOGE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: 11. junij 2019
REŠENE NALOGE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: junij 209 Kazalo Osnove kombinatorike 3 2 Elementarna verjetnost 5 3 Pogojna verjetnost 0 4 Slučajne spremenljivke 7 5 Slučajni
Prikaži večMEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIJADA - BANGKOK 2011 Od 10. do 18. julija je v Bangkoku na Tajskem potekala 42. mednarodna fizikalna olimpijada. Slovenijo s
MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIJADA - BANGKOK 2011 Od 10. do 18. julija je v Bangkoku na Tajskem potekala 42. mednarodna fizikalna olimpijada. Slovenijo sta skupaj z dvema dijakoma iz Gimnazije Bežigrad in
Prikaži večVerjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC
Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večPRIROČNIK JEZIKOVNIH IZZIVOV ZA TAJNE AGENTE SL
PRIROČNIK JEZIKOVNIH IZZIVOV ZA TAJNE AGENTE SL DRAGI TAJNI AGENTI, SOOČITE SE S 50+1 JEZIKOVNIM IZZIVOM IN POSTANITE NAJBOLJŠI MED TAJNIMI AGENTI kot mednarodni tajni agenti boste obiskali veliko novih
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - UN_OM_G03_Marketinsko_raziskovanje
.: 1 od 10 :. Vaja 3: MARKETINŠKO KO RAZISKOVANJE Marketinško ko raziskovanje Kritičen del marketinškega informacijskega sistema. Proces zagotavljanja informacij potrebnih za poslovno odločanje. Relevantne,
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večMARIE SKŁODOWSKA CURIE ( )
MARIE SKŁODOWSKA CURIE (1867-1934) OTROŠTVO Rodila se je v Varšavi 7. 11. 1867 kot Marya Salomee Skłodowska, kot peti otrok v družini učiteljev Imela je neverjeten spomin, pri petih letih je znala brati
Prikaži večStrokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok
Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike
Prikaži večBilten - Zaključni turnir ciklusa turnirjev mladih _docx
ZAKLJUČNI turnir MLADIH 2017/2018 Komenda; 15. 6. 2018 Pripravil in razmnožil: Franc Poglajen I. PRAVILNIK 1. Šahovski klub Komenda organizira CIKLUS ŠAHOVSKIH TURNIRJEV MLADIH. 2. Ciklus šahovskih turnirjev
Prikaži večPravila Prve stave
Pravila igre na srečo»prve STAVE«1 /41 PRAVILA IGRE NA SREČO»PRVE STAVE«... 4 I. SPLOŠNE DOLOČBE... 4 1.1. prireditelj... 4 1.2. možnosti igranja igre... 4 1.3. udeleženci igre... 4 1.4. potrdilo o vplačilu...
Prikaži večLayout 1
PREIZKUS IZ MATEMATIKE - Višja srednja šola - Drugi razred Preverjanje znanja Šolsko leto 2011 2012 PREIZKUS IZ MATEMATIKE Višja srednja šola Drugi razred Prostor za samolepilno etiketo NAVODILA V snopiču
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večII. Olimpijada krajevnih skupnosti Novega mesta II. OLIMPIJADA KRAJEVNIH SKUPNOSTI NOVEGA MESTA PRAVILA TEKMOVANJA IN PROGRAM KS Drska, 18. maj 2019
II. OLIMPIJADA KRAJEVNIH SKUPNOSTI NOVEGA MESTA PRAVILA TEKMOVANJA IN PROGRAM KS Drska, 18. maj 2019 UVOD Krajevna skupnost Drska organizira 2. Olimpijado KS Novega mesta. Vabljeni vsi rekreativci in ostali
Prikaži večPowerPoint Presentation
V pomurski regiji bliže k izboljšanju razumevanja motenj razpoloženja Novinarska konferenca, 14. maj 2019 Partnerja programa: Sofinancer programa: Novinarsko konferenco so organizirali: Znanstvenoraziskovalni
Prikaži več(Microsoft Word - U\350enje telegrafije po Kochovi metodi.doc)
MORSE UČENJE PO KOCHOVI METODI Računalniški program za učenje skupaj z nekaterimi dodatnimi datotekami dobite na spletni strani avtorja: http://www.g4fon.net/. Zanimive strani so tudi: - http://www.qsl.net/n1irz/finley.morse.html
Prikaži večMicrosoft Word - 021_01_13_Pravilnik_o_zakljucnem delu
Na podlagi 64. člena Pravil o organizaciji in delovanju Fakultete za humanistične študije, št. 011-01/13 z dne 27. 6. 2013, je Senat Univerze na Primorskem Fakultete za humanistične študije na svoji 4.
Prikaži več"50. srečanje mladih raziskovalcev Slovenije 2016" Osnovna šola Janka Padeţnika Maribor, Iztokova 6, 2000 Maribor AMIDA Raziskovalno področje: MATEMAT
"50. srečanje mladih raziskovalcev Slovenije 2016" Osnovna šola Janka Padeţnika Maribor, Iztokova 6, 2000 Maribor AMIDA Raziskovalno področje: MATEMATIKA Raziskovalna naloga Mentorici: Doroteja ANČEV Suzana
Prikaži večAlbert Einstein in teorija relativnosti
Albert Einstein in teorija relativnosti Rojen 14. marca 1879 v judovski družini v Ulmu, odraščal pa je v Münchnu Obiskoval je katoliško osnovno šolo, na materino željo se je učil igrati violino Pri 15
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži večGHOSTBUSTERS navodila za učitelje O PROJEKTU S tem projektom se učenci sami naučijo izdelati igro. Ustvariti morajo več ikon (duhcov ali kaj drugega)
GHOSTBUSTERS navodila za učitelje O PROJEKTU S tem projektom se učenci sami naučijo izdelati igro. Ustvariti morajo več ikon (duhcov ali kaj drugega) in za vsako napisati svojo kodo. Dve ikoni imata isto
Prikaži več4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar
4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, 6.4.29 Grafi II Jure Senčar Relativna sila krčenja - F/Fmax [%]. Naloga Nalogo sem delal v Excelu. Ta ima vgrajeno funkcijo, ki nam vrne logaritemsko
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večMicrosoft Word - posast201112
MATHEMA ZAVOD ZA POPULARIZACIJO MATEMATIKE R A Z P I S šolsko leto 2011/12 10. TEKMOVANJE ZA LOGIČNO POŠAST (dopolnjena verzija z dne 24. 8.2011) MATHEMA 1 ZGODOVINA TEKMOVANJA Tekmovanje je do sedaj (9
Prikaži večPoročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo
Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefonih. Obstaja precej različic, sam pa sem sestavil meni
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večMicrosoft Word - N _moderacija.docx
2 N151-401-2-2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo, da moderirano različico navodil za vrednotenje dosledno upoštevate. Če učenec pravilno reši nalogo na svoj način (ki je matematično korekten) in je to razvidno
Prikaži večDodatek Skupne napovedi Napovedi Colossus
DODATEK K PRAVILOM IGRE NA SREČO»SKUPNE NAPOVEDI«NA NAPOVEDI COLOSSUS...1 1. SPLOŠNE DOLOČBE... 1 1.1. igra... 1 1.2. prirejanje igre... 1 1.3. način igranja... 1 1.4. napovedna lista... 2 1.5. napaka
Prikaži večTLAK PLOŠČINA 1. Zapiši oznako in enoto za ploščino. 2. Zapiši pretvornik pri ploščini in po velikosti zapiši enote od mm 2 do km Nariši skico z
TLAK PLOŠČINA 1. Zapiši oznako in enoto za ploščino. 2. Zapiši pretvornik pri ploščini in po velikosti zapiši enote od mm 2 do km 2. 3. Nariši skico za kvadrat in zapiši, kako bi izračunal ploščino kvadrata.
Prikaži večLEONARDO DA VINCI
LEONARDO DA VINCI ŽIVLJENJE Italijanski renesančni arhitekt,izumitelj,inženir,kipar in slikar. Rojen* 15. april 1452 Vinci, Toskana, Italija Umrl 2. maj 1519 Cloux, Francija Starši oče- Ser Piero da Vinci,
Prikaži večLoterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 Pravila igre na srečo TikiTaka Številka: Ljubljana, VLADA REPUBLIKE SLOV
Loterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 Pravila igre na srečo TikiTaka Številka: 333-16-22 Ljubljana, 23. 8. 2016 VLADA REPUBLIKE SLOVENIJE JE DNE 21. 5. 2015 IZDALA ODLOČBO ŠT. 46101-7/2015/4,
Prikaži večMicrosoft Word - Seštevamo stotice.doc
UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:
Prikaži večPowerPoint Presentation
Napovedno oglaševanje Kombiniranje internih in eksternih podatkov za boljšo učinkovitost oglaševanja Miloš Suša, iprom Andraž Zorko, Valicon Mojca Pesendorfer, Atlantic Grupa Ljubljana, 22.10.2018 PREDIKTIVNO
Prikaži večN
Državni izpitni center *N19141132* 9. razred FIZIKA Ponedeljek, 13. maj 2019 NAVODILA ZA VREDNOTENJE NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9. razredu Državni izpitni center Vse pravice pridržane. 2 N191-411-3-2
Prikaži večPowerPointova predstavitev
SKLOP 1: EKONOMIKA KMETIJSKEGA GOSPODARSTVA Upravljanje kmetijskih gospodarstev Tomaž Cör, KGZS Zavod KR Vsem značilnostim kmetijstva mora biti prilagojeno tudi upravljanje kmetij. Ker gre pri tem za gospodarsko
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži več2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki
2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,
Prikaži večVLOGA ZA UDELEŽBO DIJAKA/DIJAKINJE NA NAGRADNI STROKOVNI EKSKURZIJI za šolsko leto 2016/2017, rojen(a), (ime in priimek) (datum rojstva) dijak(inja) o
VLOGA ZA UDELEŽBO DIJAKA/DIJAKINJE NA NAGRADNI STROKOVNI EKSKURZIJI za šolsko leto 2016/2017, rojen(a), (ime in priimek) (datum rojstva) dijak(inja) oddelka v šolskem letu 2016/2017 se želim udeležiti
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večMicrosoft Word - Bilten - XVIII odprto prvenstvo Komenda pdfMachine from Broadgun Software, a great PDF writer utility!
ŠK KOMENDA XVIII. ODPRTO PRVENSTVO KOMENDE 2004 Komenda: 23. 27. 8. 2004 Pripravil in razmnožil: Franc Poglajen Franc BILTEN Stran 24 od 24 1. PRAVILNIK 1. XVIII. ODPRTO PRVENSTVO KOMENDE prireja Šahovski
Prikaži večMicrosoft Word - IPIN slovenska navodila za pridobitev
IPIN MEDNARODNA IDENTIFIKACIJSKA ŠTEVILKA IGRALCA Spoštovani igralec tenisa! Vsak, ki želi igrati na tekmovanjih pod okriljem mednarodne teniške zveze (ITF), mora pridobiti mednarodno identifikacijsko
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večPravila škofjeloške poletne teniške lige 2019 Splošno o ligi pravica nastopa, formiranje skupin, igrišča in uradna žoga 1. Pravico igranja imajo (v ko
Pravila škofjeloške poletne teniške lige 2019 Splošno o ligi pravica nastopa, formiranje skupin, igrišča in uradna žoga 1. Pravico igranja imajo (v kolikor tekmovalna komisija na podlagi prijav ne odloči
Prikaži večMicrosoft Word - Avditorne.docx
1. Naloga Delovanje oscilatorja je odvisno od kapacitivnosti kondenzatorja C. Dopustno območje izhodnih frekvenc je podano z dopustnim območjem kapacitivnosti C od 1,35 do 1,61 nf. Uporabljen je kondenzator
Prikaži večNAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite
NAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite vzorčne strani iz DELOVNIH LISTOV 1 v štirih delih
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večMATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več
MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več ZBIRKA ZNAM ZA VEČ imatematika 9+ Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Avtorici: Jana Draksler
Prikaži večMicrosoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc
ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov
Prikaži večPowerPointova predstavitev
RAZISKOVANJE PRI MATEMATIKI V 1. VZGOJNOIZOBRAŽEVALNEM OBDOBJU Barbara Oder Leonida Novak Izhodišče1: - Kako učinkovito utrjevati osnovne postopke /računske operacije?? Izhodišče 2 Pouk matematike bi moral
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Geometrijska telesa Opomba: pri nalogah, kjer računaš maso jeklenih teles, upoštevaj gostoto jekla 7,86 g / cm ; gostote morebitnih ostalih materialov pa so navedene pri samih nalogah! Fe 1)
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večRAZPIS ZA ORGANIZATORJE TEKMOVANJ TZS NOVEMBER 2015/APRIL 2016 Teniška zveza Slovenije objavlja razpis za organizatorje teniških tekmovanj v zimski se
RAZPIS ZA ORGANIZATORJE TEKMOVANJ TZS NOVEMBER 2015/APRIL 2016 Teniška zveza Slovenije objavlja razpis za organizatorje teniških tekmovanj v zimski sezoni 2015/2016. V ta namen vam pošiljamo gradivo, ki
Prikaži več3
3.5 Radiologija Stopnja izobrazbe: Strokovni naslov: visoka strokovna izobrazba diplomirana inženirka radiologije, okrajšava dipl.inž.rad. diplomirani inženir radiologije, okrajšava dipl.inž.rad. Študentje
Prikaži večMicrosoft Word - ZIS-F.docx
Številka: 470-01/18-2/ Datum: 20. marec 2018 EPA 2540-VII DRŽAVNI ZBOR JE NA SEJI 20. 3. 2018 SPREJEL ZAKON O SPREMEMBAH IN DOPOLNITVAH ZAKONA O IGRAH NA SREČO (ZIS-F) V NASLEDNJEM BESEDILU: Z A K O N
Prikaži večDopolni stavek iz Svetega pisma: Glejte, zdaj je tisti milostni čas! *********** Glejte, zdaj je dan rešitve! Dopolni stavek iz Svetega pisma: Nosíte
Glejte, zdaj je tisti milostni čas! Glejte, zdaj je dan rešitve! Nosíte bremena drug drugemu... in tako boste izpolnili Kristusovo postavo. Tistemu, ki te udari po enem licu,... nastavi še drugo. Kar koli
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži več