UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2013

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2013"

Transkripcija

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 013

2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FIZIKA IN MATEMATIKA POLONA LUŽNIK Mentor: dr. MARKO RAZPET, izr. prof. PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 013

3 Povzetek V diplomskem delu je podrobneje obravnavana tema petkotniških števil. Najprej je nekaj besed namenjenih figurativnim številom in matematikom, ki so o njih pisali prvi. Delo obsega splošne lastnosti petkotniških števil, načine, kako lahko petkotniška števila dobimo s pomočjo računanja in štetja pik pri grafični ponazoritvi ter kako lahko preverimo, ali je neko dano naravno število petkotniško ali ni. Ključne besede: figurativna števila, petkotniška števila, grafična ponazoritev petkotniških števil, lastnosti petkotniških števil. Abstract My graduate thesis contains a detailed examination of pentagonal nubers. In the beginning, I concentrate on figurate numbers and the mathematicians, who were the first to describe them. The work includes the basic characteristis of pentagonal numbers, how we can obtain them through calculating and counting of dots in graphic illustrtions and how we are able to check if a certain prime number is a pentagonal number or not. Keywords: figurate numbers, pentagonal numbers, graphical illustration of pentagonal numbers, characteristics of pentagonal numbers

4 Zahvala Za strokovno pomoč, usmerjanje in nasvete pri izdelavi diplomskega dela se iskreno zahvaljujem mentorju dr. Marku Razpetu. Posebno zahvalo izrekam vsem domačim, še posebej staršem, ki so mi omogočili študij, me pri njem spodbujali in razumeli. Prav tako se zahvaljujem Matjažu za vse spodbudne besede in razumevanje skozi vsa leta študija.

5 Kazalo 1 Uvod 1 Figurativna števila 3 Kratka zgodovina figurativnih števil Matematiki, pri katerih je med prvimi moč najti pojem figurativnih števil Petkotniška števila Grafična ponazoritev petkotniškega števila Kako do petkotniškega števila Štetje pik Računanje Lastnosti petkotniških števil Kako preveriti, ali je dano število petkotniško Aritmetično zaporedje in figurativna števila Izbrane povezave med figurativnimi števili Zgleda Povezave Zaključek 4

6 Slike 1 Ponazoritev prvih treh kvadratnih števil: 1, 4, Število deset, ponazorjeno s trikotnikom Število dvanajst, ponazorjeno petkotniško Ponazoritev prvih treh trikotniških števil: 1, 3, Ponazoritev gnomonov pri kvadratnih številih Ponazoritev petkotniškega števila 1 in gnomonov Diofant Pierre de Fermat Ponazoritev prvega petkotniškega števila: P 1 = Ponazoritev drugega petkotniškega števila: P = Ponazoritev tretjega petkotniškega števila: P 3 = Ponazoritev četrtega petkotniškega števila, kjer so pike razporejene v obliki pravilnega petkotnika Ponazoritev osnovnega k-kotniškega figurativnega števila Ponazoritev petkotniškega števila, do katerega lahko pridemo s štetjem pik Vzorca pik

7 1 Uvod Danes o figurativnih številih ne slišimo skoraj ničesar, kot da bi nanje pozabili. V preteklosti pa so se ljudje, predvsem matematiki, kar dosti ukvarjali z njimi, največ pa s trikotniškimi števili. Figurativna števila so odkrili že antični Grki, potem pa so se matematiki ukvarjali z njimi ter iskali razne zakonitosti in povezave med njimi. Sama o figurativnih številih med svojim izobraževanjem nisem slišala prav dosti. Moram priznati, da niti nisem vedela, kaj figurativna ali mnogokotniška števila sploh so, dokler si nisem ravno te teme izbrala za diplomsko delo. V osnovnošolskem in srednješolskem programu se figurativna števila sploh ne omenjajo, saj jih niti ni v učnem načrtu in tako se ni čuditi, da marsikdo niti ne ve, da tako poimenovana števila obstajajo. Ker pa so me števila vedno zanimala in zelo rada iščem povezave med njimi, sem se tudi odločila za takšno temo diplomskega dela, ki je najbližje številom. Menim, da je tema zelo zanimiva za tiste, ki se radi ukvarjajo s števili na kakršenkoli način, zato bo branje tega diplomskega dela zanje zanimivo. 1

8 Figurativna števila Figurativno ali mnogokotniško število je v matematiki število, ki ga lahko predstavimo s številom točk, razporejenih v dogovorjeno mnogokotniško geometrijsko strukturo. Podobno kot poznamo več vrst mnogokotnikov oziroma večkotnikov (trikotniki, štirikotniki, petkotniki,..., k-kotniki), poznamo več vrst mnogokotniških števil. Med mnogokotniška ali figurativna števila štejemo trikotniška, kvadratna, petkotniška, šestkotniška,..., k-kotniška figurativna števila. Lahko bi rekli, da figurativna števila predstavljajo usklajenost med števili in geometrijsko obliko. Splošno k-kotniško število označimo z M n (k) in ga imenujemo tudi n-to figurativno število reda k. Pri tem vzamemo, da sta k in n celi števili, pri čemer je k 3 ter n 0. Za posamezna k-kotniška števila vpeljemo posebne oznake, kjer izpuščamo k, saj nam že sama oznaka pove, za katera figurativna števila gre. V spodnji tabeli so zapisane oznake prvih štirih k-kotniških števil. k M n (k) figurativno število oznaka 3 M n (3) trikotniško T n 4 M n (4) kvadratno Q n 5 M n (5) petkotniško P n 6 M n (6) šestkotniško H n Oznaka T izhaja iz prve črke grške besede za trikotnik. Oznaka Q izhaja iz prve črke latinske besede za kvadrat. Oznaka P izhaja iz prve črke besede za petkotnik. Oznaka H izhaja iz prvega izgovorjenega glasu grške besede za šestkotnik. Do osnovnih k-kotniških figurativnih števil M (k) pridemo tako, da preštejemo oglišča (pravilnega) k-kotnika. Figurativna števila, ki niso osnovna, torej n-ta figurativna števila, kjer je n vsaj tri, lahko dobimo na več načinov. Podrobneje bom te načine opisala na primeru petkotniških števil v poglavju o petkotniških številih. Zaradi udobne obravnave vzamemo M (k) 0 = 0 in M (k) 1 = 1. Na sliki 1 je na sredini grafično ponazorjeno osnovno kvadratno število, pred njim prvo kvadratno število in za njim tretje kvadratno število.

9 Slika 1: Ponazoritev prvih treh kvadratnih števil: 1, 4, 9 Poraja se nam vprašanje, koliko pik potrebujemo, da lahko ponazorimo n- to k-kotniško figurativno število. Na to vprašanje bom odgovorila v poglavju o grafični ponazoritvi petkotniških števil. 3 Kratka zgodovina figurativnih števil Že antični matematiki so ugotovili, da lahko število enakih reči (kamenčki, semena,... ) razvrstimo na posebne načine. Tako so ugotovili, da lahko 10 reči razvrstimo v trikotnik, kot je razvidno iz slike. Slika : Število deset, ponazorjeno s trikotnikom Števila dvanajst pa ne moremo predstaviti trikotniško, lahko pa ga predstavimo petkotniško, kot je prikazano na sliki 3. Največja zasluga pri odkrivanju figurativnih števil gre prav gotovo grškim matematikom, saj so se poleg teorije razmerij, mehanike in astronomije veliko ukvarjali z geometrijo in lastnostmi števil. Ravno tu pa so prvi zametki figurativnih števil. Precej pomembna značilnost pitagorejske šole je bila prikazovanje stvarnosti s števili. Svet so poimenovali oz. opisali s stavkom Število je vse. Trdili so, da se vsaka stvar da izmeriti ali prešteti in menili, da bi naj bilo 3

10 Slika 3: Število dvanajst, ponazorjeno petkotniško število osnova za fizični obstoj stvari. Stvarnost in števila so povezali na več načinov, med drugim so vpeljali figurativna števila (trikotniška, kvadratna, petkotniška... ). Ker pa figurativna števila predstavljajo vez med aritmetiko in geometrijo, so bili pitagorejci nad njimi še posebej navdušeni. Seveda pa so liki obstajali veliko prej kot figurativna ali mnogokotniška števila, saj se nekateri pojavljajo že na neolitskih lončarskih izdelkih. Pitagorejci so že poznali nekaj lastnosti pravilnih mnogokotnikov. [9, 11] 3.1 Matematiki, pri katerih je med prvimi moč najti pojem figurativnih števil V tem poglavju bom na kratko omenila matematike, pri katerih se je med prvimi pojavljal pojem figurativnih števil in vse ostalo, kar je z njimi povezano. Pitagora Veljal naj bi za enega prvih, ki se je ukvarjal s trikotniškimi števili. Prvi je odkril, da je vsota n zaporednih naravnih števil enaka n-temu trikotniškemu številu T n. Matematično zapisano je torej T n = n = 1 n(n + 1). Teon iz Smirne Uporabljal je termin gnomon v tesni povezanosti s figurativnimi števili. Gnomon je del, ki ga moramo dodati figurativnemu številu, da ga pretvorimo 4

11 Slika 4: Ponazoritev prvih treh trikotniških števil: 1, 3, 6 v naslednje, večje figurativno število. Povedano drugače, število, ki ga dodamo nekemu k-kotniškemu številu, da dobimo naslednje k-kotniško število, je Teon poimenoval gnomon. Za lažje razumevanje si poglejmo naslednja primera. Kvadratna števila in gnomoni: Za pretvorbo iz kvadrata velikosti n v kvadrat velikosti n + 1 dodamo prvemu zgoraj in desno še toliko pik (gnomon), da dobimo nov kvadrat. Prvo kvadratno število je število 1. Ponazorimo ga s piko in mu dodamo 3 pike (gnomon), da dobimo naslednje kvadratno število, ki je število 4. Temu zopet dodamo gnomon, število 5, da dobimo tretje kvadratno število, število 9. In tako nadaljujemo (glej sliko 5). Dobimo zaporedje lihih števil, ki smo jih po vrsti dodajali kvadratnim številom. To zaporedje števil je 3, 5, 7,..., (n+1). Slika 5: Ponazoritev gnomonov pri kvadratnih številih [14] Gnomoni petkotniških števil: Število 1 je prvo petkotniško število. Temu številu moramo dodati 4, da dobimo število 5, ki je naslednje, osnovno petkotniško število. Če postopek nadaljujemo, moramo temu številu dodati 7, da dobimo naslednje, tretje 5

12 petkotniško število, število 1. Tako dobimo zaporedje gnomonskih števil: 4, 7, 10,... Slika 6 prikazuje petkotniško število P 3 gnomonski števili, število 4 in število 7. = 1, kjer sta razvidni obe Slika 6: Ponazoritev petkotniškega števila 1 in gnomonov Nikomah Obravnaval je mnogokotniška in piramidna števila. To je vplivalo na srednjeveško matematiko, še posebej z izročilom Boetija, ki je njegovo delo, imenovano Aritmetika, prevedel v latinščino. Nikomah je prvi pisal o nezadostnih in obilnih številih ter navedel do takrat štiri znana popolna števila. V zapisih je moč najti, da je že poznal trikotniška, kvadratna, petkotniška in druga figurativna števila. Hipsiklej Starogrški matematik in astronom, ki je proučeval čase vzhoda in zahoda ozvezdij živalskega kroga. Ker ni imel orodij sferne geometrije, je te probleme reševal s približki ter pri tem uporabljal figurativna števila. Njegovo definicijo figurativnih števil je potem navedel Diofant v delu Aritmetika. Definicijo danes zapišemo takole: M (k) n = n((k )(n 1) + ). 6

13 Diofant Slika 7: Diofant [1] Grški matematik. Med drugim je napisal razpravo O mnogokotniških številih, kjer je pisal o mnogokotniških številih. Nam so najbolj poznane diofantske enačbe, do katerih nas pripelje raziskovanje figurativnih števil. Jakob Bernoulli Bil je švicarski matematik in fizik, ki je sešteval tako imenovane figurativne vrste: a A + b B +... Pri tem so A, B, C,... členi geometrijskega zaporedja, a, b, c,... pa so figurativna števila. Fermat Francoski pravnik, matematik in fizik. Spodaj je zapisana njegova znana trditev o figurativnih številih. Trditev: Za izrazitev naravnega števila z vsoto k-kotniških števil potrebujemo kvečjemu k teh števil. 7

14 Slika 8: Pierre de Fermat [13] Zgled: števil. Število 013 je mogoče zapisati kot vsoto petih ali manj petkotniških Kot vsoto petih petkotniških števil se da število 013 zapisati na naslednji način: 013 = Izrazitev pa ni zmeraj enolična, tako včasih zadostuje že manj kot pet sumandov. Tako lahko kot vsoto štirih petkotniških števil zapišemo število 013 na naslednji način: 013 = Da ta trditev velja za trikotniška števila, je leta 1796 dokazal Gauss. Pozneje pa sta dokazala Jacobi in Lagrange, da trditev velja tudi za kvadratna števila. Da pa trditev velja v celoti, je leta 1813 dokazal Cauchy. (Fermatovega dokaza te trditve namreč niso nikoli našli.) Fermatovo trditev je dopolnil Legendre: Trditev: Naj bosta m in N naravni števili ter m = k 3 in N 8m 3. Tedaj velja: Če je m liho število, je N vsota štirih k-kotniških števil. Če je m sodo število, je N vsota največ petih k-kotniških števil. Če je m liho število in N 8m 3, lahko N zmeraj izrazimo z vsoto štirih k-kotniških števil. Seveda pa je mogoče N izraziti kot vsoto, ki vsebuje manj kot štiri k-kotniška števila. [, 1, 3, 8, 7] 8

15 4 Petkotniška števila Petkotniško število (peterokotniško ali pentagonalno število) je figurativno število. Poljubno petkotniško število za dani nenegativni celi indeks n dobimo s formulo: P n = n(3n 1). (1) Vsako petkotniško število določa število točk, ki so po nekem pravilu razporejene v obliki petkotnika. Petkotniška števila lahko zapišemo tudi kot zaporedje naravnih števil: [6] P = (P n ) n=0 = (0, 1, 5, 1,, 35, 51, 70, 9, 117, 145, 176,...). 4.1 Grafična ponazoritev petkotniškega števila Petkotniška števila grafično prikažemo kot točke v mreži, potrebni za oglišča petkotnika ustreznega nivoja. Dogovor je, da petkotnik prvega nivoja definiramo kot eno točko. Število P 0 = 0 ustreza prazni množici. Prvo petkotniško število je, kot že vemo, ena. Grafično ga ponazorimo s piko: Slika 9: Ponazoritev prvega petkotniškega števila: P 1 = 1 Do drugega petkotniškega števila pridemo tako, da narišemo štiri poltrake iz prve točke, ki predstavlja prvo petkotniško število. Dobljeno število bo število na drugem nivoju. Pri tem pazimo, da se krajna dva poltraka sekata pod kotom, ki je manjši od 180. (Za ponazoritev števil M n (k) rišemo k 1 poltrakov.) Na vsakem poltraku narišemo po eno točko, ki je na poljubni razdalji od prve točke. Na naslednji sliki so dodatne pike, pike drugega nivoja (gnomona), prikazane z modro barvo: 9

16 Slika 10: Ponazoritev drugega petkotniškega števila: P = 5 Da dobimo tretje petkotniško število, na vsakem poltraku narišemo po eno piko, pri čemer je druga pika ravno na polovici med prvo in tretjo piko. Dodamo še po eno piko na razpolovišču daljice med dvema sosednjima, zadnjima točkama na sosednjih poltrakih. Spet so dodatne pike, pike tretjega nivoja, na sliki 11 prikazane z modro barvo: Slika 11: Ponazoritev tretjega petkotniškega števila: P 3 = 1 Tako nadaljujemo z dodajanjem pik in pridemo do n-tega petkotniškega števila, ki ga želimo grafično ponazoriti. Če poltrake in pike lepo razporedimo, dobimo pravilni petkotnik, kot je razvidno na sliki 1. Če pri grafičnem ponazarjanju petkotniških števil sproti zapisujemo števila, ki jih dobimo, pridemo do zaporedja petkotniških števil, ki smo ga že zapisali: P = (P n ) n=0 = (0, 1, 5, 1,, 35, 51, 70, 9, 117, 145, 176,...). Sedaj pa odgovorimo še na vprašanje, koliko naravnih števil potrebujemo, da lahko sestavimo n-to k-kotniško figurativno število. Kot lahko vidimo na sliki 13, v osnovnem (drugem) trikotniškem številu nastopata števili prvega in drugega nivoja. Torej število ena in število dva, vsota je število tri, ki je tretje naravno število. 10

17 Slika 1: Ponazoritev četrtega petkotniškega števila, kjer so pike razporejene v obliki pravilnega petkotnika Slika 13: Ponazoritev osnovnega k-kotniškega figurativnega števila V osnovnem (drugem) kvadratnem številu nastopata prav tako števili prvega in drugega nivoja, katerih vsota je ravno število štiri, ki je četrto naravno število. V osnovnem (drugem) petkotniškem številu pa, kot smo že videli, nastopata števili ena in štiri, katerih vsota je število pet, ki je peto naravno število. Zato lahko sklepamo, da v osnovnem (drugem) k-kotniškem številu nastopa ravno k-to naravno število (vsota števil na prvem in drugem nivoju). V figurativnih številih od vključno osnovnega naprej nastopajo torej vsa naravna števila, ki jih ima že njihov predhodnik, in vsa števila, ki jih dobimo z novimi točkami pri povečevanju nivojev. V n-tem figurativnem številu nastopajo naravna števila, ki jih ima že predhodnik n 1, in še vsa števila, ki jih pridobimo z novimi točkami, ki smo jih dodali na račun povečanja nivoja. Novih točk, ki jih dodamo n-temu k-kotniškemu številu, je (k )n + 1. Torej ima k-kotniško število v svoji strukturi vseh naravnih števil skupaj 11

18 ravno ali [1] k + ((k ) + 1) + ((k )3 + 1) + + ((k )n + 1) ( ) n(n + 1) k + (k ) 1 + (n 1). 4. Kako do petkotniškega števila Do poljubnega petkotniškega števila lahko pridemo na več načinov. Ker lahko petkotniško število grafično ponazorimo, lahko torej preštejemo pike in pridemo do petkotniškega števila, ki je grafično ponazorjeno. Za petkotniška števila velja tudi formula (1), ki smo jo zapisali pri opredelitvi petkotniških števil. Torej lahko pridemo do petkotniškega števila tudi z računanjem. Seveda pa je dobro izbrati najprimernejšo pot. Štetje pik je lahko zelo zamudno, še posebej, če imamo opravka z n-tim figurativnim številom, kjer je n veliko naravno število in je tudi red k veliko naravno število Štetje pik Na sliki 14 je ponazorjeno petkotniško število, do katerega bomo prišli s štetjem pik. Ker je na sliki oblika petkotnika 1, že takoj vidimo, da je grafično ponazorjeno petkotniško število. Katero petkotniško število je ponazorjeno, pa ugotovimo tako, da preštejemo pike na eni od stranic petkotnika. Na eni stranici petkotnika, ki je na sliki 14, so štiri pike (n = 4), kar pomeni, da nam ta figura oziroma ta petkotnik ponazarja četrto petkotniško število. Da pa pridemo do četrtega petkotniškega števila, preštejemo vse pike na sliki 14. Hitro ugotovimo, da je pik, torej je četrto petkotniško število enako, torej P 4 =. 1 Lahko si pomagamo tudi s številom poltrakov (jih dorišemo), saj smo rekli, da jih v splošnem rišemo k 1, ali pa preštejemo oglišča lika, da dobimo število k. 1

19 Slika 14: Ponazoritev petkotniškega števila, do katerega lahko pridemo s štetjem pik 4.. Računanje Kako priti do n-tega petkotniškega števila z računanjem, nam pove formula (1). Če nas zanima, katero je petinštirideseto petkotniško število, vstavimo n = 45 v formulo n(3n 1) P n = in dobimo iskano petkotniško število 45(3 45 1) P 45 = = Torej je petinštirideseto petkotniško število enako Seveda je to število veliko in če bi tudi imeli grafično upodobitev tega števila, bi bilo nekoliko nerodno in nesmiselno šteti pike. Na zgoraj opisana načina lahko pridemo do kateregakoli petkotniškega števila in v splošnem do kateregakoli k-kotniškega števila. Seveda pa je od števil n in k odvisno, katero pot bomo izbrali, saj je za posamezno število, ki ga iščemo, dobro izbrati najkrajšo oz. najlažjo pot. 4.3 Lastnosti petkotniških števil 1. Trditev: Za petkotniška števila P n veljata rekurzivna zveza in splošna formula P n = P n 1 + 3n, n 1, () 13

20 P n = n(3n 1), n 0. (3) Dokaz: S pomočjo matematične indukcije pokažemo, da formula (3) res velja za vsako naravno število n. Najprej dokažemo za n = 0. Vstavimo n = 0 v enačbo (3): torej P 1 = 1, kar tudi že vemo. P 0 = 0, Sedaj izvedemo indukcijski korak. Prevzamemo veljavnost enačbe (3) in upoštevamo rekurzivno formulo: n n + 1: P n+1 = P n (n+1) = P n +3n+1 = n(3n 1) +3n+1 = = n(3n 1) + (3n + 1) = 3n + 5n +. Dobimo ravno formulo za petkotniško število nivoja n + 1: P n+1 = (n+1)(3(n+1) 1) = 3n +5n+.. Vsako petkotniško število je tretjina nekega trikotniškega števila, natančneje: P n = 1 3 T 3n 1. Da bi dokazali zgornjo enakost, je dovolj dokazati, da velja enakost 3P n = T 3n 1. Formulo za petkotniška števila poznamo, trikotniška števila pa dobimo s pomočjo formule T m = m(m+1). Zato je T 3n 1 = (3n 1)(3n 1 + 1) n(3n 1) = 3 = 3P n. 14

21 3. Vsota n-tega kvadratnega števila in (n 1)-ega trikotniškega števila je n-to petkotniško število: P n = Q n + T n 1, n 1. Dokaz: Ker poznamo formuli za (n 1)-vo trikotniško in n-to kvadratno število, velja: Q n + T n 1 = n + 1 (n 1)n = = n + n n = 3n n n(3n 1) = = P n. Zgled: P 5 = Q 5 + T 4 = = 35. = 4. Vsota recipročnih vrednosti petkotniških števil je konvergentna, in sicer velja = 3 ln 3 π 3. Dokaz te lastnosti izpuščam. [10] 4.4 Kako preveriti, ali je dano število petkotniško Vemo, da je petkotniško število podano s formulo (1). V večini primerov za neko pozitivno naravno število N ne moremo kar na pamet reči, ali je petkotniško ali ne. Najlažja pot za ugotovitev, ali je neko dano naravno število N petkotniško ali ne, je ta, da rešimo preprosto kvadratno enačbo, ki jo dobimo, ko preoblikujemo enačbo N = n(3n 1). To je preprosto narediti za naravna števila N, ki so majhna. Za lažje odkrivanje, ali je neko število petkotniško, pa si pomagamo, kot je opisano spodaj. To lastnost navajam zgolj kot zanimivost. Izpeljava te enakosti zahteva poznavanje potenčnih vrst in operacij z njimi. 15

22 Formulo za petkotniška števila preoblikujemo in tako dobimo kvadratno enačbo 3n n N = 0. Ta kvadratna enačba nam da rešitvi: n 1, = 1 ± 1 + 4N. 6 Rešitev, v kateri je pred znakom korena minus, ne pride v poštev, ker nam da negativen rezultat. Da bo N petkotniško število, mora biti število 1+4N popolni kvadrat, denimo M, in število M + 1 deljivo s 6. 5 Aritmetično zaporedje in figurativna števila Raziskovanje figurativnih številih nas pripelje tudi do aritmetičnega zaporedja. Najprej bomo to pojasnili na trikotniških, nato pa na kvadratnih in na koncu še na petkotniških številih. S pomočjo ugotovljenih lastnosti bomo povedali še, kako je v splošnem. Aritmetično zaporedje zapišemo kot zaporedje A(a 0, d) = (a 0, a 0 + d, a 0 + d, a 0 + 3d,... ). Pri tem je a 0 začetni člen, d pa diferenca (razlika) danega aritmetičnega zaporedja. 1. Trikotniška števila dobimo za dano naravno število n s pomočjo formule: n(n + 1) T n =. Podobno kot za petkotniška števila (pri poglavju o petkotniških številih) zapišemo zaporedje trikotniških števil, vključno s številom nivoja nič (0-tim trikotniškim številom): T = (T n ) n=0 = (0, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 8, 36, 45, 55, 66, 78,... ). 16

23 Dobimo ari- Sedaj pa gledamo razlike sosednjih členov zaporedja. tmetično zaporedje z razliko 1: A(1, 1) = (1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,... ). Če sedaj zapišemo razlike zaporedja A(1, 1), spet dobimo aritmetično zaporedje A(1, 0) = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... ), kjer je razlika 0. Zaporedje, kjer so členi med seboj enaki, imenujemo konstantno zaporedje.. Kvadratno figurativno število za dano naravno število n dobimo s pomočjo formule: K n = n. Če zapišemo kvadratna števila v zaporedje, dodamo: Q = (Q n ) n=0 = (0, 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, 81, 100,... ). Podobno kot pri zgornjem zaporedju T zapišemo razliko sosednjih členov zaporedja. Tako dobimo aritmetično zaporedje z razliko : A(1, ) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... ). Če sedaj pogledamo razliko med sosednjimi členi zaporedja B, dobimo spet konstantno zaporedje: A(, 0) = (,,,,,,...). 3. Podobno kot za trikotniška in kvadratna števila zapišemo še zaporedje petkotniških števil: P = (P n ) n=0 = (0, 1, 5, 1,, 35, 51, 70, 9, 117, 145, 176,... ). Če pogledamo razliko sosednjih členov v zaporedju, dobimo ravno aritmetično zaporedje z razliko 3: A(1, 3) = (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,, 5, 8, 31,... ). 17

24 Če nadalje gledamo spet razliko med sosednjimi členi tega zaporedja, dobimo: A(3, 0) = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,... ). Če povzamemo, je pri trikotniških številih razlika prvega aritmetičnega zaporedja, ki ga dobimo, 1, pri kvadratnih in pri petkotniških 3. Razlika je torej ravno k, prvi člen zaporedja A(1, k ) pa je 1. V splošnem torej lahko figurativna števila predstavimo z aritmetičnim zaporedjem, kjer je prvi člen enak 1 in razlika k, pri tem pa mora biti k naravno število in k : 1 + (1 + (k )) (1 + (n 1)(k )). Vsoto prvih n členov tega zaporedja označimo z M (k) n : M (k) n = 1 + (1 + (k )) (1 + (n 1)(k )). (4) M (k) n imenujemo n-to mnogokotniško število reda k (k-kotniško število). Splošna formula za vsoto s n aritmetičnega zaporedja s splošno formulo a n = a 1 + (n 1)d (od vključno prvega do n-tega) je s n = n(a 1 + a n ). (5) Tako s pomočjo formule (5) dobimo n-ti člen zaporedja k-kotniških števil: M (k) n = = n( (n 1)(k )) n( + (n 1)(k ) = = 18

25 = Rezultat preoblikujemo v obliko: n + n(n 1)(k ). M (k) n = n + n(n 1)(k ). (6) 5.1 Izbrane povezave med figurativnimi števili Za vse spodaj naštete povezave predpostavimo, da so m, n in k naravna števila ter k Zgleda 1. Pri fiksnem k 3 veljajo enakosti: M (k) 1 = 1, M (k) = k, M (k) 3 = 3k 3, M (k) 4 = 6k 8,... (7) Po (6) so to vrednosti spodnjega polinoma za n = 1,, 3, 4,... n = k n k 4 n. M (k). Pri fiksnem n pa velja: * M (3) n = T n = n(n+1) Ta formula predstavlja ravno vsoto prvih n naravnih števil: n = n(n+1). * M (4) n = Q n = n Formula za kvadratna števila predstavlja vsoto prvih n členov zaporedja lihih števil: (n 1) = n. 19

26 * M n (5) = P n = 3n n Formula za petkotniška števila predstavlja vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja A(1, 3): (3n ) = 3n n. * M (6) n = H n = n n Formula za šestkotniška števila predstavlja vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja A(1, 4): (4n 3) = n n Povezave 1. M (k) m+n = M m (k) + M n (k) + mn(k ) Dokaz: S pomočjo formule za vsoto členov zaporedja mnogokotniških števil izračunamo levo in desno stran povezave: L: M (k) (m + n)(m + n 1)(k ) m+n = m + n + = (m(m + n 1) + n(m + n 1))(k ) = m + n + = = m + n + (m(m + n 1 + n) + (n n))(k ) = (m(m 1 + n) + n(n 1))(k ) = m + n +. D: M (k) m + M (k) n + mn(k ) = m(m 1)(k ) n(n 1)(k ) = m + + n + + mn(k ) = (m(m 1) + n(n 1) + mn)(k ) = m + n + = (m(m 1 + n) + n(n 1))(k ) = m + n +. 0

27 Vidimo torej, da velja enakost L = D.. M n (k) + M (3) n 1 = M n (k+1) Dokaz je analogen zgornjemu, zato ga izpuščamo. 3. M (k) n = M (3) n + (k 3)M (3) n 1 Dokaz je analogen zgornjemu, zato ga izpuščamo. 4. M n (k) +M (k) n +...+M mn (k) = M n (k) M m (3) +n (k )(M (3) 1 +M (3) +...+M m 1) (3) (8) Dokaz: Za dokaz te povezave moramo najprej dokazati enakost M (3) 1 + M (3) M (3) m 1 = 1 (m 1)m(m + 1), (9) 6 ki jo upoštevamo pri nadaljnjem dokazovanju (8). To enakost dokažemo s pomočjo popolne matematične indukcije: m = 3: M (3) 1 + M (3) = 1 (3 1)3(3 + 1). 6 Iz enakosti, ki smo jih zapisali pod (7), razberemo vrednosti za M (3) 1 in M (3), tako pridemo do iskane enakosti = , 4 = 4. Torej ta enakost velja za m = 3. Sedaj naredimo še indukcijski korak: 1

28 m m + 1: M (3) 1 + M (3) + + M (3) (m+1) 1 = M (3) 1 + M (3) + + M (3) m 1 + M (3) m = = 1 6 (m 1)m(m + 1) + 1 m(m + 1) = 1 m(m + 1)(m + ). 6 S tem smo dokazali, da velja enakost (9) za vsako naravno število m. Sedaj pa se lotimo dokaza za 4. Posebej izračunamo oziroma poenostavimo levo stran enačbe in posebej desno stran enačbe ter rezultata primerjamo. L: M (k) n + M (k) n M (k) mn = n(n 1)(k ) = n+ +n+ = n+n+ +mn+ n = n ( m) + }{{} 1++ +m= m(m+1) = n(1++ +m)+ = mn(m + 1) + n(n 1)(k ) mn(mn 1)(k ) + +mn+ ) ( (n 1)(k )+(n 1)(k )+ +m(mn 1)(k ) ( ) n(k ) (n 1)+(n 1)+ +m(mn 1) = ( n(k ) ( m) }{{} 1++ +m= m(m+1) ( n(k ) m(m + 1) + n (n + 1)(n + 1) 6 = = ) +n ( m ) }{{} m = m(m+1)(m+1) 6 ) = mn(m + 1) mn(k )(m + 1) = + n m(m + 1)(m + 1)(k ) = 4 1 ( mn(m + 1) = 1 k ) n(m + 1)(k ) +. 6 =

29 D: M (k) n M (3) m + n (k )(M (3) 1 + M (3) M (3) m 1) = = ( n+ )( n(n 1)(k ) m+ ) m(m 1) +n (k ) 1 (m 1)m(m + 1) = } 6 {{} (9) n( + (n 1)(k )) = m( + (m 1)) +n (k ) 1 6 (m 1)m(m+1) = = n m(m + 1) ( + (n 1)(k )) + n (k ) 1 (m 1)m(m + 1) = 6 ( ) mn(m + 1) + (n 1)(k ) n(k )(m 1) = + = 3 ( ) mn(m + 1) (n 1)(k ) n(k )(m 1) = = 3 ( ( )) mn(m + 1) (k ) n 3 + nm = 1 + = 3 ( ( )) mn(m + 1) (k ) n(1 + m) = = 3 = mn(m + 1) ( (k ) 1 + n(m + 1)(k ) 6 ). Tako smo dokazali, da sta leva in desna stran enačbe enaki, torej povezava 4. velja. [] 3

30 6 Zaključek Med prebiranjem in študiranjem literature sem ugotovila, da se s figurativnimi števili vendarle srečamo že zgodaj. Figurativna števila in njihovo raziskovanje so uporabna tudi v mojem bodočem poklicu. Figurativna števila je moč najti v osnovnošolskem izobraževanju, vendar tam ne govorimo o figurativnih številih, ampak o vzorcih iz pik. Vzorci so v učnem načrtu vse od začetka osnovnošolskega programa, vendar je težavnost prilagojena določeni stopnji. Vzorce najdemo predvsem na področju razvedrilne matematike. Vzorci iz pik so primeri grafične ponazoritve figurativnih števil. Na sliki 15 vidimo vzorce iz pik, ki grafično ponazarjajo različna k-kotniška števila. V prvi vrsti so po vrsti iz leve proti desni grafično ponazorjena: prvo trikotniško število, drugo trikotniško število, tretje trikotniško število in četrto trikotniško število. V drugi vrsti število pik ponazarja kvadratna števila. Iz leve proti desni so grafično ponazorjena: prvo kvadratno število, tretje kvadratno število, peto kvadratno število in sedmo kvadratno število. [5] Slika 15: Vzorca pik 4

31 Literatura [1] D. Bezek, Figurativna števila, Presek, letnik 5, številka 3, stran 159 [] J. Grasselli, Enciklopedija števil, DMFA- založništvo, Ljubljana 008 [3] T. Heath, A history of Greek Mathematics vol. 1, Oxford 191 [4] T. Heath, A history of Greek Mathematics vol., Oxford 191 [5] A. Orton in ostali, Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics, London: Cassell 1999 [6] (1. marca 013) [7] (. maja 013) [8] (1. marca 013) [9] (1. marca 013) [10] pentagonal-numbers-calculator.html (1. marca 013) [11] pitagora.htm (7. februarja 013) [1] =hp&biw=180&bih=675&q=diofant&oq=diofant&gs_l=img. 3..0i19l j ac.1.5.img.Df6cT_DT0c8#imgrc=IAWJkH05nARJqM%3A% 3BuOawEZMo9uNsPM%3Bhttp%53A%5F%5F %3Bhttp%53A%5F%5Fwww.mathos.unios.hr%5F~mpavlov1%5F moj_jquery.html%3b319%3b368 (1. marca 013) [13] wiki: (1. marca 013) 5

32 [14] CK6690/Figurate%0Numbers.html (30. junija 013) 6

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE

Prikaži več

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015 Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10

Prikaži več

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam 1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske

Prikaži več

PowerPointova predstavitev

PowerPointova predstavitev Obravnava kotov za učence s posebnimi potrebami Reading of angles for pupils with special needs Petra Premrl OŠ Danila Lokarja Ajdovščina OSNOVNA ŠOLA ENAKOVREDNI IZOBRAZBENI STANDARD NIŽJI IZOBRAZBENI

Prikaži več

rm.dvi

rm.dvi 1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v

Prikaži več

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni

Prikaži več

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,

Prikaži več

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih

Prikaži več

Osnove matematicne analize 2018/19

Osnove matematicne analize  2018/19 Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko

Prikaži več

Microsoft Word - Seštevamo stotice.doc

Microsoft Word - Seštevamo stotice.doc UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:

Prikaži več

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6 SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu

Prikaži več

Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja

Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I

Prikaži več

Poslovilno predavanje

Poslovilno predavanje Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12

Prikaži več

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft

Prikaži več

DN5(Kor).dvi

DN5(Kor).dvi Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n

Prikaži več

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru 6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta

Prikaži več

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI 3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.

Prikaži več

Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok

Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike

Prikaži več

Vrste

Vrste Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je

Prikaži več

NAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite

NAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite NAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite vzorčne strani iz DELOVNIH LISTOV 1 v štirih delih

Prikaži več

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje

Prikaži več

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z

Prikaži več

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so

Prikaži več

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx 4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in

Prikaži več

M

M Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Prikaži več

POPOLNI KVADER

POPOLNI KVADER List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,

Prikaži več

STAVKI _5_

STAVKI _5_ 5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na

Prikaži več

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter 2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih

Prikaži več

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov

4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov 4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,

Prikaži več

Identifikacija TIMSS 2011 Vprašalnik za učiteljice in učitelje Matematika 8. razred Pedagoški inštitut Center za uporabno epistemologijo Gerbičeva 62

Identifikacija TIMSS 2011 Vprašalnik za učiteljice in učitelje Matematika 8. razred Pedagoški inštitut Center za uporabno epistemologijo Gerbičeva 62 Identifikacija TIMSS 2011 Vprašalnik za učiteljice in učitelje Matematika 8. razred Pedagoški inštitut Center za uporabno epistemologijo Gerbičeva 62 1000 Ljubljana IEA, 2011 Vprašalnik za učiteljice in

Prikaži več

MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140

MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško

Prikaži več

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................

Prikaži več

INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n

INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 Pogojni stavek Pogojni (if) stavek Tip bool Primerjanje Uranič Srečo If stavek Vsi dosedanji programi so se izvajali zaporedoma, ni bilo nobenih vejitev Program razvejimo na osnovi odločitev pogojnega

Prikaži več

Brownova kovariancna razdalja

Brownova kovariancna razdalja Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti

Prikaži več

Srednja šola za oblikovanje

Srednja šola za oblikovanje Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

BiokemInfo - Pregled funkcij

BiokemInfo - Pregled funkcij Navodila veljajo tako za Microsoft Excel (v slednjem so pripravljeni tudi prikazani primeri) kot tudi za OpenOffice Calc. Med obema programoma obstajajo malenkostne, a ne bistvene razlike. Celice naslavljamo

Prikaži več

PowerPointova predstavitev

PowerPointova predstavitev U K 20 P K U P M 2 0 1 2 12 M OBLIKOVANJE POJMA ŠTEVILO PRI OTROKU V 1. RAZREDU Sonja Flere, Mladen Kopasid Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Oblikovanje

Prikaži več

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.

Prikaži več

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,

Prikaži več

Osnove verjetnosti in statistika

Osnove verjetnosti in statistika Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna

Prikaži več

N

N Državni izpitni center *N19141132* 9. razred FIZIKA Ponedeljek, 13. maj 2019 NAVODILA ZA VREDNOTENJE NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9. razredu Državni izpitni center Vse pravice pridržane. 2 N191-411-3-2

Prikaži več

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek

Prikaži več

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik

Prikaži več

VOLILNA ŠTEVILA

VOLILNA ŠTEVILA List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 2 Strani 98 105 Bojan Hvala: VOLILNA ŠTEVILA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija:

Prikaži več

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi

Prikaži več

MERE SREDNJE VREDNOSTI

MERE SREDNJE VREDNOSTI OPIS PODATKOV ENE SPREMENLJIVKE frekvenčne porazdelitve in mere srednje vrednosti as. dr. Nino RODE Uni-Lj. Fakulteta za socialno delo O ČEM BOMO GOVORILI NAMEN OPISNE STATISTIKE Kako opisati podatke OPIS

Prikaži več

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v

Prikaži več

Računalniški praktikum Projektna naloga - Izdelava spletne strani Avtor: Matej Tekavčič Skupina: Matej Tekavčič - koordinator Simon Vrhovnik Tine Kavč

Računalniški praktikum Projektna naloga - Izdelava spletne strani Avtor: Matej Tekavčič Skupina: Matej Tekavčič - koordinator Simon Vrhovnik Tine Kavč Računalniški praktikum Projektna naloga - Izdelava spletne strani Avtor: Matej Tekavčič Skupina: Matej Tekavčič - koordinator Simon Vrhovnik Tine Kavčič Matjaž Jerman 8. februar 2006 Kazalo 1 Uvod 2 2

Prikaži več

(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])

(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode]) 8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih

Prikaži več

Microsoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2

Microsoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2 Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 12. junij 2013 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero

Prikaži več

Vektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč

Vektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)

Prikaži več

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati

Prikaži več

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo 11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija

Prikaži več

FGG13

FGG13 10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega

Prikaži več

MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir

MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje priročno programsko okolje tolmač interpreter (ne prevajalnik)

Prikaži več

Microsoft Word - N _moderacija.docx

Microsoft Word - N _moderacija.docx 2 N151-401-2-2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo, da moderirano različico navodil za vrednotenje dosledno upoštevate. Če učenec pravilno reši nalogo na svoj način (ki je matematično korekten) in je to razvidno

Prikaži več

NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to

NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - Standardi znanja in kriteriji ocenjevanja 2 r.ppt [Samo za branje] [Združljivostni način]

Microsoft PowerPoint - Standardi znanja in kriteriji ocenjevanja 2  r.ppt [Samo za branje] [Združljivostni način] STANDARDI ZNANJA PO PREDMETIH IN KRITERIJI OCENJEVANJA 2. razred SLOVENŠČINA 1 KRITERIJI OCENJEVANJA PRI SLOVENŠČINI POSLUŠANJE -Poslušanje umetnostnega besedilo, določanja dogajalnega prostora in časa,

Prikaži več

Učni načrti, s katerimi je bil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje seznanjen na svoji 139. seji, z dne in svoji 140. seji, z dne 17.2

Učni načrti, s katerimi je bil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje seznanjen na svoji 139. seji, z dne in svoji 140. seji, z dne 17.2 Učni načrti, s katerimi je bil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje seznanjen na svoji 139. seji, z dne 27.1.2011 in svoji 140. seji, z dne 17.2.2011. Učni načrt MATEMATIKA osnovna šola Redakcijsko

Prikaži več

MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več

MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več ZBIRKA ZNAM ZA VEČ imatematika 9+ Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Avtorici: Jana Draksler

Prikaži več

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,

Prikaži več

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zg

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zg Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, april 2019 Vsebina Seznam

Prikaži več

PowerPointova predstavitev

PowerPointova predstavitev RAZISKOVANJE PRI MATEMATIKI V 1. VZGOJNOIZOBRAŽEVALNEM OBDOBJU Barbara Oder Leonida Novak Izhodišče1: - Kako učinkovito utrjevati osnovne postopke /računske operacije?? Izhodišče 2 Pouk matematike bi moral

Prikaži več

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn 5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R

Prikaži več

glava.dvi

glava.dvi Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo

Prikaži več

2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki

2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki 2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,

Prikaži več

Microsoft Word - Astronomija-Projekt19fin

Microsoft Word - Astronomija-Projekt19fin Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - Mocnik.pptx

Microsoft PowerPoint - Mocnik.pptx MATEMATIČNA PISMENOST IN MATEMATIČNI PROBLEMI Metoda Močnik in Alenka Podbrežnik KAJ NAS JE ZANIMALO? ugotoviti, v kolikšni meri so učenci uspešni pri samostojnem, nevodenemreševanju matematičnih besedilnih,

Prikaži več

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša

Prikaži več

Posebne funkcije

Posebne funkcije 10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije

Prikaži več

Funkcije in grafi

Funkcije in grafi 14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V

Prikaži več

MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE

MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE 1. UVOD: V tej vaji je bilo potrebno narediti pet nalog, povezanih z lečami. 2. NALOGA: -Na priloženih listih POTREBŠČINE: -Na priloženih listih A. Enačba zbiralne leče

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - Java_spremenljivke

Microsoft PowerPoint - Java_spremenljivke Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo

Prikaži več

Zgledi:

Zgledi: a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf

Prikaži več

Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo

Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefonih. Obstaja precej različic, sam pa sem sestavil meni

Prikaži več

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi

Prikaži več

P182C10111

P182C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

Microsoft Word - M docx

Microsoft Word - M docx Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M15245112* JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik in računalo.

Prikaži več

DZS, d. d. Spoštovani, pred vami je vzorčno poglavje dnevnih priprav. Priprave so uporabnikom na voljo v celoti in v obliki, ki omogoča urejanje in pr

DZS, d. d. Spoštovani, pred vami je vzorčno poglavje dnevnih priprav. Priprave so uporabnikom na voljo v celoti in v obliki, ki omogoča urejanje in pr DZS, d. d. Spoštovani, pred vami je vzorčno poglavje dnevnih priprav. Priprave so uporabnikom na voljo v celoti in v obliki, ki omogoča urejanje in prilagajanje. Komplet sestavljajo: učbenik in delovni

Prikaži več

Smc 8.indd

Smc 8.indd SVET MATEMATIČNIH ČUDES 8 UČNI LISTI 7 UČNI LISTI ZA DIFERENCIACIJO PRI POUKU I. Sklop Stran v učbeniku I. 7 II. 8 5 III. 6 69 IV. 70 89 V. 90 5 VI. 6 Oznake ravni zahtevnosti... minimalna raven... temeljna

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - Java-rekurzija.ppt

Microsoft PowerPoint - Java-rekurzija.ppt Pesmica Živel je mož, imel je psa, lepo ga je učil. Nekoč ukradel mu je kos mesa, zato ga je ubil. Postavil mu je spomenik in nanj napisal: Živel je mož, imel je psa, lepo ga je učil. Nekoč ukradel mu

Prikaži več

P181C10111

P181C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

Microsoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_11. junij 2104

Microsoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_11. junij 2104 Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 11. junij 2014 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero

Prikaži več