Biometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s š

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "Biometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s š"

Transkripcija

1 Biometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s številom posameznih vrednosti (dogodkov) ali z deleži (pogostnostjo). Porazdelitve lahko prikazujemo v preglednicah ali grafih. Pri opisu opazujemo: 1. Število ekstremov: unimodalna (z enim vrhom), bimodalna (z dvema vrhovoma), več modalna Zalogo vrednosti: najmanjša in največja vrednost, zveznost ali diskretnost 3. Sploščenost: sploščena, koničasta 4. Asimetričnost: simetrična, levo asimetrična, desno asimetrična 5. Oblika: je to ena od znanih porazdelitev? Porazdelitve z več vrhovi: doba od pripusta do pregonitve, interim obdobje (doba od odstavitve do prvega pripusta pri prašičih), servis perioda (doba od poroda do uspešnega pripusta). 1.1 Opis porazdelitve a) s sliko Predstavitev porazdelitve s sliko je zelo nazorna. Tega se pogosto poslužimo, ko predstavljamo rezultate ali ko porazdelitve neke lastnosti ne poznamo. Pri diskretnih spremenljivkah preštejemo dogodke pri posameznih vrednostih. Pri porazdelitvi velikosti gnezda pri prašičih enostavno preštejemo števil prasitev z 0, 1, 2, 3,..., 20 in več živorojenimi pujski v gnezdu in narišemo graf. Pri zveznih spremenljivkah ne moremo ubrati iste poti. Vrednosti, ki jih meritev lahko zasede je nesknčno mnogo, natančno ena vrednost se zgodi zelo redko. Kljub temu pa so na določenem intervalu vrednosti bolj pogoste, zgoščene. Grafično zadevo naredimo tako, da spremenljivko razdelimo v "primerne" razrede in potem narišemo. b) s parametri porazdelitve Parametre posameznih porazdelitev in njihove značilnosti bomo obravnavali pri posameznih porazdelitvah. Pri navajanju parametrov smemo izbrati le tiste, ki dobro opisujejo porazdelitev. 1.2 Porazdelitev diskretnih naključnih spremenljivk Diskretna naključna spremenljivka je tista, ki ima končno zalogo vrednosti ali neskončno zalogo vrednosti iz množice celih števil. Primer s končno zalogo vrednosti predstavlja število potomcev pri sesalcih, z neskončno zalogo vrednosti pa število odloženih jajčec pri čebelah. Dogodek iz zaloge vrednosti ima pripadajočo verjetnost. Vzemimo primer za velikost gnezda pri prašičih (1.2). V gnezdu pri modernih, mesnatih pasmah je lahko od 0 do 22 živorojenih pujskov. Tako je verjetnost, da so v gnezdu samo mrtvorojeni pujski (1.1), enaka ali 1.26 %. Najpogostejša so gnezda z 11 (1.2) in 12 (1.3) živorojenimi pujski. Gnezda z 19 živorojenimi pujski so izredno redka (1.4). P(X = 0) = [1.1]

2 2 Biometrija Yveyne poraydelitve Dnevni prirast Debelina hrbtne slanine Neyveyne poraydelitve Slika 1.1: {tevilo Različne rojenih porazdelitve jagnjet {tevilo /ivorojenih pujskov Tabela 1.1: Porazdelitev gnezd pri prašičih z ozirom na število živorojenih pujskov v gnezdu Št. živ. puj./gn. Delež (%) Št. živ. puj./gn. Delež (%) Št. živ. puj./gn. Delež (%)

3 Biometrija Dele¾ gnezd z n-pujski (%) < tevilo ¾ivorojenih pujskov Slika 1.2: Distribucija gnezd pri prašičih z ozirom na število živorojenih pujskov pri prašičih P(X = 11) = [1.2] P(X = 12) = [1.3] P(X = 19) = [1.4] Oznaka P (X = x i ) ali samo P (x i ) predstavlja verjetnost, da naključna spremenljivka X zavzame natanko vrednost x i. Vsekakor pa lahko izraz posplošimo. Tako oznaka P (X < x i ) predstavlja verjetnost, da naključna spremenljivka X zavzame katerokoli vrednost manjšo od x i. Za ponazoritev ponovno vzemimo primer za velikost gnezda pri prašičih. Izračunajmo verjetnost, da so v gnezdu manj kot trije živorojeni pujski (1.5). Zanima nas torej verjetnost, da je v gnezdu nič, eden ali dva živorojena pujska. Ker se dve možnosti ne moreta zgoditi hkrati, je verjetnost P (X < 3) enaka kar vsoti verjetnosti za tri možne dogodke. P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = = [1.5] Sedaj pa izračunajmo verjetnost še za nekaj primerov. Pri tem imamo več možnosti, prikazali pa bomo le po eno za vsak primer. P(X < 5) = P(X < 3)+ P(X = 3)+ P(X = 4) = = [1.6] P(X 10) = P(X < 5)+P(X = 6)+...+P(X = 10) = = [1.7] P(X 10) = P(X = 10) + P(X = 11) +... = = [1.8] V vseh predhodnih primerih se dogodki ne prekrivajo. V gnezdu je lahko samo 0, 1, 2 3,... živorojenih pujskov. Nikakor ne more biti v istem gnezdu hkrati npr. 5 ali 8 živorojenih pujskov. Dogodki so neodvisni. Verjetnosti neodvisnih dogodkov lahko kar seštejemo. P(X < 5 X 10) = P(X < 5) + P(X 10) = = [1.9] 3

4 4 Biometrija Prav tako sta neodvisna dogodka v zadnjem primeru (1.9). Iščemo verjetnost, da je v gnezdu manj kot 5 živorojenih pujskov ali 10 oziroma več živorojenih pujskov. Če jih je manj kot 5, jih ne more biti hkrati (v istem gnezdu) več ali enako 10. Dogodka sta torej tudi neodvisna. Sedaj pa poglejmo še naslednji primer (enačba 1.10): poiskati želimo verjetnost, da je v gnezdu manj kot 5 (prvi dogodek) ali 10 oziroma manj pujskov (drugi dogodek). Če je v gnezdu 5, 6, 7, 8, 9 ali 10 pujskov se je gotovo zgodil drugi dogodek. Ko pa imamo v gnezdu 0, 1, 2, 3 ali 4 pujske, pa sta se zgodila tako prvi kot drugi dogodek hkrati. Prvi dogodek je torej podmnožica drugega dogodka, zato je verjetnost, da se zgodita oba dogodka enaka verjetnosti, da se je zgodil drugi dogodek. Prvi in drugi dogodek nista več neodvisna, saj kadarkoli se zgodi prvi dogodek, se zgodi hkrati tudi drugi. P(X < 5 X 10) = P(X 10) = [1.10] V enačbi 1.11 želimo ugotoviti, kolikšna je verjetnost, da je v gnezdu manj kot 5 živorojenih pujskov ali pa je v gnezdo od vključno 3 do vključno 11 pujskov. P(X < 5 (3 X 11)) [1.11] Problem v enačbi 1.11 je, da se pri prvem (X < 5) in drugem (3 X 11) dogodku prekrivajo možnosti, da bi imela svinja v gnezdu 3 ali 4 pujske. To lahko rešimo vsaj na dva načina. Če bi verjetnosti, da se zgodi prvi ali drugi dogodek samo sešteli, bi bila vsota prevelika. Dogodka, da so v gnezdu 3 ali 4 pujski, bi upoštevali dvakrat. Tako moramo verjetnost, da se ta dva dogodka zgodita, še odšteti. Enačba 1.12 nazorno pokaže, da dogodka iz enačbe 1.11 nista neodvisna. = P(X < 5) + P(3 X 11) P(3 X < 5) [1.12] V drugem načinu (1.13) smo iz enega dogodka izbrisali tiste dogodke, ki so v prvem že upoštevani. Spodnji primer tudi da pravilen rezultat, je pa nekoliko skrito, da sta dogodka odvisna. = P(X < 5) + P(5 X 11) [1.13] Izvrednotimo še enačbo 1.14, ki zahteva, da se zgodita oba dogodka hkrati. P(X < 5 (3 X 11)) = P(X = 3) + P(X = 4) [1.14] 1.3 Porazdelitev zveznih naključnih spremenljivk Gostota verjetnosti ali verjetnostna funkcija (probability density function) Porazdelitvena funkcija (distribution function) Porazdelitvena funkcija za slučajno spremenljivko f (y i ) f (y 1, y 2,..., y n ) = n f (y i ) i=1 4

5 Biometrija Bernullijeva porazdelitev Naključna spremenljivka X ima Bernullijevo porazdelitev, če lahko zavzema vrednosti 0 in 1 z verjetnostjo p in q = 1 p. Vrednosti se izključujeta. Verjetnostna funkcija je prikazana v enačbi (1.15). { Br (x p) = p P (X = x) = x (1 p) 1 x 0, za x = 1, 2 za ostale vrednosti x [1.15] Verjetnost p naj bi bila poznana, v modelih pa je pogosto nepoznana in jo ocenjujemo. Pričakovana vrednost je enaka verjetnosti za uspešni (p) dogodek. µ = E (X) = 1 xp x (1 p) 1 x = (0) (1 p) + (1) (p) = p [1.16] x=0 Varianca (1.17) je produkt verjetnosti za uspešni (p) in neuspešni (1 p) dogodek. σ 2 = var (X) = 1 (x p) 2 p x (1 p) 1 x = p 2 (1 p) + (1 p) 2 p = p (1 p) [1.17] x=0 Z Bernullijevo porazdelitvijo lahko opišemo tiste meritve, ki imajo samo dve vrednosti. Sem štejemo težavnost telitve, če imamo samo dve možnosti. Tudi podatki o oplojenosti jajca, uspešnost oziroma neuspešnost pripusta. Pri tem imamo samo za en dogodek, en poskus. Če je nanizanih več Bernullijevih poskusov, dobimo binomsko porazdelitev. 1.5 Binomska porazdelitev Binomska porazdelitev ima samo dve vrednosti, ki pa se n-krat ponovi. Opišemo jo z dvema parametroma in sicer številom poskusov (n) in verjetnostjo (p), da se je zgodil prvi možni dogodek. Vrednost p variira lahko med 0 in 1. Drugi možni dogodek se je zgodil natanko z verjetnostjo q = 1 p. Verjetnostno funkcijo prikazujemo v enačbi (1.18). Funkcijo grafično ponazorimo s histogramom. ( n Bi (x p, n) = P (X = x) = x 0 ) p x (1 p) 1 x, za x = 1, 2,... n v ostale vrednosti x [1.18] PRIMER: Poiščite verjetnostno funkcijo za naključno spremenljivko X, ki predstavlja število ženskih živali pri treh zaporednih rojstvih pri govedu. Predpostavimo, da je p znan in ima vrednost P(X = 0) = Bi(0 0.49, 3) = [1.19] P(X = 1) = Bi(1 0.49, 3) = [1.20] P(X = 2) = Bi(2 0.49, 3) = [1.21] P(X = 3) = Bi(3 0.49, 3) = [1.22] Binomsko porazdelitev imajo torej vse naključne spremenljivke, ki opisujejo dogodke s samo dvema možnostima, ki se ponovijo večkrat. Torej: posamezni dogodek ima Bernullijevo porazdelitev, opazujemo pa več dogodkov hkrati. 5

6 6 Biometrija PRIMERI: 1. Poiščite verjetnostno funkcijo za naključno spremenljivko X, ki predstavlja število uspešnih osemenitev pri 500 pripustih. Predpostavimo, da je p znan in ima vrednost P(X = y) = Bi(y 0.80, 500) == ( 500 y ) 0.80 y (1 0.80) 1 y = g (y) [1.23] 2. Prelux-G piščance vzrejajo kot nesnice za kmečko rejo. V valilnici vložijo po 1000 jajc naenkrat. Verjetnost, da se izvali piščanec, je Kolikšna je verjetnost, da se izvali natanko 450 piščancev? 3. Med izvaljenimi piščanci je 0.50 ženskih živali. Kolikšna je verjetnost, da se bo iz 1000 vloženih jajc izvalilo 500 ženskih živali? Izračunajte srednjo vrednost, varianco in standardni odklon! 4. Narišite gostoto verjetnosti za število preživelih (odstavljenih) pujskov! Verjetnost, da pujsek do odstavitve pogine je Za izhodišče vzemite tri možne velikosti gnezda ob prasitvi: 5, 10 in Narišite Bi (16, 0.2), Bi (16, 0.5), Bi (16, 0.7) in Bi (16, 0.90)! 6. V jati je patentno okuženih 15 % rac. Privzemimo, da so dogodki neodvisni. Naključna spremenljivka X predstavlja število okuženih rac med 20 naključno izbranimi racami. Napišite gostoto verjetnosti in jo upodobite na grafu! 1.6 Poissonova porazdelitev Pri nekaterih poskusih štejemo frekvenco posameznih dogodkov v danem časovnem intervalu ali na danem fizičnem objektu. Lahko štejemo število telefonskih klicev med 7. in 11. uro, število kupcev kart na blagajni zadnjo uro pred predstavo. Lahko preštejemo število obolelih živali v čredi, število živorojenih pujskov v gnezdu, število izmerjenih klavnih trupov na liniji klanja v eni uri, število žretij med 7. in 9. uro zjutraj, število agresij med 7. uro zjutraj in zvečer. Vzemimo, da štejemo dogodke (spremembe), ki se zgodijo na danem zveznem intervalu. Pri tem dobimo približno Poissonov proces s parametrom λ > 0, če je izpolnjeno naslednje: (i) (ii) (iii) Število sprememb, ki se zgodijo na neprekrivajočih se intervalih, je neodvisno. Verjetnost natanko ene spremembe na zadosti kratkem intervalu dolžihe h je približno λh. Verjetnost dveh ali več sprememb na zadosti kratkem intervalu je praktično nič. Da bi našli zadostno majhen interval, celotni interval razdelimo na n podintervalov. Število podintervalov naj bo zadostno večji od števila preštetih sprememb oziroma dogodkov. Verjetnost enega dogodka na tem intervalu je približno λ/n. Verjetnost, da se je dogodek zgodil ali pa ne, je pravzaprav Bernullijev proces. Z binomsko porazdelitvijo lahko predstavimo približek za P (X = x) = n! x! (n x)! ( ) λ x ( 1 λ ) n x n n Če s približkom nismo zadovoljni, povečajmo n in poiščemo limito naslednjega izraza. ( lim n n! x! (n x)! ( ) λ x ( 1 λ ) n x ), x = 0, 1, 2,... n n 6

7 Biometrija 7 Brez dokaza bomo navedli gostoto verjetnosti za Poissonovo porazdelitev, pričakovano vrednost in varianco. f (x) = λx e λ x! µ = E (X) = λ σ 2 = var (X) = λ Tako pri opazovanju živali naredimo raster, ki je dovolj kratek, da se ne moreta zgoditi dva dogodka hkrati. Potem preštevamo število posameznih oblik obnašanja. 1. Naključna spremenljivka X ima Poissonovo porazdelitev z λ = 5. Navedite pričakovano vrednost in varianco. Narišite histogram gostote verjetnosti. 2. Narišite histograme za porazdelitveno funkcijo za Poissonove naslednje porazdelitve λ = 0.7, λ = 1.3, λ = 6.5 in λ = Naključna spremenljivka X predstavlja frekvenco pitja. Opazovanja smo opravili na 100 živalih. Preverimo, ali lahko privzamemo Poissonovo porazdelitev! Izid (x) Pogostnost (f) fx fxx Skupaj Povprečje v tem primeru je 5.59, varianca pa znaša Vrednosti so dovolj blizu, zato bi smeli distribucijo opisati s Poissonovo porazdelitvijo. Poissonova porazdelitev ni pomembna samo zaradi nje same. Zelo uporabna je tudi kot približek za binomsko porazdelitev, ko je n zadosti velik in p sorazmerno majhen. λ x e λ x! ( n x ) p x (1 p) 1 x λ = np Približek je zadostno natančen, če je n 100 in p

8 8 Biometrija 1.7 Enakomerna (uniformna) porazdelitev Gostota verjetnosti f (x) = 1 b a, a x b [1.24] Porazdelitvena funkcija F (x) = 0, x < a a x b 1, b x x a b a, [1.25] Srednja vrednost µ = a + b 2 [1.26] Varianca σ 2 = (b a)2 12 [1.27] 1.8 Normalna porazdelitev Normalna porazdelitev je morda najpomembnejša porazdelitev v statistiki. Tudi v živinoreji je veliko lastnosti, ki jih proučujemo, vsaj približno normalno porazdeljenih. Pomembna pa je tudi vloga normalne porazdelitve v izreku centralne limite (ang. Central Limit Theorem). Naključna (slučajna) spremenljivka y ima normalno porazdelitev, če je gostota verjetnosti (p. d. f) definirana z enačbo f (y) = ] 1 [ σ 2π exp (y µ)2 2σ 2, < y < [1.28] Parametra µin σpredstavljata srednjo vrednost in standardni odklon. Srednja vrednost se nahaja na intervalu od negativne neskončnosti do pozitivne neskončnosti 1.29, standardni odklon pa ima pozitivno vrednost (1.30). < µ < 0 < σ < [1.29] [1.30] Na kratko predstavimo normalno porazdelitev naključne spremenljivke tudi v naslednji obliki (1.31). y i N ( µ, σ 2) [1.31] Normalno porazdelitev prepoznamo po zvončasti obliki Gaussove porazdelitvene funkcije. Povsem zadostno jo opišemo z dvema parametroma: s srednjo vrednostjo µ, tudi pričakovana vrednost) in z varianco (σ 2 ) oz. s standardnim odklonom (σ, standardna deviacija). Povprečje predstavlja lokacijski parameter, varianca pa opiše razpršenost. Vemo namreč, da bomo pri normalno porazdeljeni spremenljivki na intervalu med µ σ in µ + σ našli kar 68 % meritev, na intervalu med µ 2σ in µ + 2σ kar 8

9 Biometrija 9 3 s m Slika 1.3: Normalna porazdelitev 95 %, na intervalu med µ 2.56σ in µ σ pa kar 99 %. Izven intervala µ 3σ in µ + 3σ pa skoraj ni opazovanj, čeprav je Gaussova porazdelitvena funkcija navzdol in navzgor neomejena. Posebno vlogo ima standardna normalna porazdelitev. Za naključno spremenljivko z rečemo, da ima standardno normalno porazdelitev, če je srednja vrednost enaka 0 in standardni odklon 1 (1.32). z N (0, 1) [1.32] Verjetnostna funkcija PRIMER: Napišite gostoto verjetnosti za naključno spremenljivko y, ki ima porazdelitev prikazano v enačbi y N ( 7, 16) [1.33] Gostota verjetnosti je prikazana v enačbi Srednjaa vrednost porazdelitve je 7, standardni odklon pa znaša 4. f (y) = ] 1 (y + 7)2 exp [, < y < [1.34] 32π 32 Veliko gospodarsko pomembnih lastnosti je porazdeljeno normalno. To velja za maso pri določeni starosti, starost pri določeni masi, dnevni prirasti in konverzija krme na izbranem intervalu rasti, debelina hrbtne slanine, telesne mere, mase klavnih kosov, odstotek mesnatosti, klavnost, površina hrbtne mišice in pripadajoče slanine, razmerje meso:slanina, itd... V izjemnih primerih te lastnosti niso več normalno porazdeljene. Tako npr. po uspešni selekciji na mesnatost lahko postane slanina nagnjena s strmino proti 0 mm in "tolstim repom" proti višjim vrednostim. Srednja vrednost in standardni odklon ne opisujeta porazdelitve več zadovoljivo. Primerneje je poiskati vrh oziroma modus porazdelitve, za razpršenost pa nimamo primernejšega parametra kot je standardni odklon. Če želimo biti natančni, uporabimo pri teh porazdelitvah merilo za nagnjenost - skewness in sploščenost - kutosis. Da pa bi bili razumljivi, porazdelitev raje narišemo. 1.9 Ostale porazdelitve Nekatere lastnosti pa ne moremo uvrstiti v nobeno od omenjenih porazdelitev. Lahko so zelo nenavadnih oblik: nikakor pa jih ne moremo predstaviti z nekaj parametri, kot smo to storili v prej omenjenih porazdelitvah. So pa v živinoreji vredne, da jih podrobneje spoznamo. Redkeje te lastnosti opisujejo proizvodne lastnosti, večkrat pa so v povezavi z lastnostmi obnašanja, počutja, senzoričnimi lastnostmi 9

10 10 Biometrija µ Slika 1.4: Bimodalna porazdelitev Tabela 1.2: Podatki o testiranju mladic na rast in zamaščenost Žival Pasma Mesec Masa (kg) Debelina slanine (mm) Dnevni prirast (g/dan) 1 SL JAN SL JAN SL FEB SL FEB LW JAN LW FEB LW FEB NL JAN NL JAN NL FEB NL FEB proizvodov. Tudi subjektivne ocene, kjer niso dobro postavljene skale, se lahko sprevržejo v "neurejene" porazdelitve. Take porazdelitve nikakor ne opisujemo s parametri, omenjenimi pri porazdelitvah znanih oblik. Pri naslednji porazdelitvi se srednja vrednost nahaja na mestu, kjer meritev najmanj pričakujemo, med obema vrhovoma Enorazsežne in večrazsežna porazdelitev Vzemimo, da imamo dve spremenljivki y 1 in y 2, ki so porazdeljene N (Xβ, R) p ( y 1, y 2 β 1, β 2, R ) = ( (2π) n 1 +n 2 R ) 1 } {{ } integraci jska konstanta exp { 1 [ ] [ ]} y 1 2 β 1 X 1 y 2 β 2 X 2 R 1 y1 X 1 β 1 y 2 X 2 β 2 } {{ } jedro 1.11 Vaje Datoteka s podatki o testiranju mladic na rast in mesnatost vsebuje 11 zapisov (1.2). Izmerjenih je bilo 11 mladic (živali), treh pasem v mesecih januar in februar. Mase pri merjenju so bile med 96 in 105 kg. Slanino so merili z dvema ponovitvama, dnevni prirast pa je izračunan iz podatkov o starosti in masi pri merjenju. Pri obdelavah bomo uporabljali tri različna porekla (1.3). V prvem poreklu (poreklo 0) bomo imeli primer, ko poreklo pri živalih ni znano. Običajno v takih primerih predpostavimo, da so predniki nesorodni 10

11 Biometrija 11 Tabela 1.3: Poreklo za mladice Poreklo 0 Poreklo A Poreklo B Žival Mati Oče Žival Mati Oče Žival Mati Oče Tabela 1.4: Podatki o preizkusu mladic na rast in zamaščenost z manjkajočimi podatki Žival Rejec Mesec Masa (kg) Debelina slanine (mm) Dnevni prirast (g/dan) 1 1 JAN JAN FEB FEB JAN FEB FEB JAN JAN FEB FEB in različni. Lahko bi imeli tudi drugačne primere. Morda vemo, da se v enem letu ali paritveni sezoni uporablja na kmetiji samo en samec. Čeprav številke nimamo, se pač za to žival izmislimo novo oznako in jo uporabljamo. V takem primeru bomo potem lahko določili, da imajo vsi mladiči rojeni po teh pripustih istega očeta, porekla očeta pa ne bomo več vedeli. V drugem primeru (poreklo A) bomo imeli nekaj prednikov znanih, nekaj neznanih. Znane prednike moramo dopisati na koncu seznama in jim poiščemo prednike. Postopke ponavljamo, dokler nimamo več novih, dodanih staršev. V našem primeru smo dodali samo tri starše: dve materi in enega očeta. Vsaka žival ima samo eno vrstico. V drugem poreklu so bila izvedena vsa parjenja tako, da sorodnih živali nismo parili. V tretje poreklo (poreklo B) smo dodali še eno žival, ki je skupen prednik (mati) svinji 13 in merjascu 14. Parjenje med svinjo 13 in merjascem 14, ki sta sestra in brat, je parjenje sorodnikov. Potomci so inbridirani. Takih parjenj v živinoreji praviloma ne izvajamo in so celo zakonsko prepovedana. Tule pa smo jih uporabili samo zato, da bomo lahko prikazali vpliv pri obdelavi podatkov. Če bi imeli bolj oddaljene skupne prednike, bi morali dodati preveč živali iz porekla. Mi pa želimo, da so primeri obvladljivi. Izračunajte: 11

12 12 Biometrija Število meritev Povprečje Varianca Standardni odklon Modus Mediana Minimum Maksimum Masa Dnevni prirast Debelina slanine Ali lahko opišete porazdelitve za naslednje lastnosti: "učni uspeh pri etologiji (skala 1 do 10)" samo za opravljene izpite, "učni uspeh pri etologiji (skala 1 do 10)" za vse poskuse, "telesna višina (cm)", "prisotnost na vajah (%)", "izostanek na vajah (%)", "prisotnost na predavanjih (%)" pri študentih drugega letnika univerzitetnega študija zootehnike? Ali lahko opišete porazdelitve za proizvodne lastnosti domačih živali? Kjer lahko, pripišite srednjo vrednost, standardni odklon, minimalno in maksimalno vrednost? Pri tem si pomagajte z viri informacij, ki ste jih spoznali pri predmetu Informatika! dnevna količina mleka (kg), količina mleka v standardni laktaciji (kg), dnevni prirast pri rastočih živalih (g/dan) doba od pripusta do pregonitve (dni) velikost gnezda dolžina brejosti (dni) uspešnost pripustov (uspešni, neuspešni) delež uspešnih pripustov (%) valilnost jajc (%) dnevna poraba krme (kg/dan) konverzija krme količina proizvedenega medu po panju (kg) Vajo ponovite pri različnih vrstah domačih živalih, kjer se to da! Dopolnjujte seznam lastnosti! Preverite definicije lastnosti! Katera porazdelitvena funkcija je primerna? Katere parametre je najbolje navesti pri opisovanju te lastnosti? Poiščite ocene parametrov, ki veljajo za slovenske populacije! 12

LaTeX slides

LaTeX slides Statistični modeli - interakcija - Milena Kovač 23. november 2007 Biometrija 2007/08 1 Število živorojenih pujskov Biometrija 2007/08 2 Sestavimo model! Vplivi: leto, farma Odvisna spremenljivka: število

Prikaži več

glava.dvi

glava.dvi Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo

Prikaži več

Pasma:

Pasma: Biotehniška fakulteta Oddelek za zootehniko Groblje 3 SI-1230 DOMŽALE Ministrstvo za kmetijstvo gozdarstvo in prehrano Dunajska 22 SI-1000 LJUBLJANA Rodica, 30.1.2019 Spremljanje izvajanja potrjenega rejskega

Prikaži več

LaTeX slides

LaTeX slides Model v matri ni obliki ena ba modela Milena Kova 13 november 2012 Biometrija 2012/13 1 Nomenklatura Skalarji: tako kot doslej, male tiskane, neodebeljene Vektorji: male tiskane, odebeljene rke (y) ali

Prikaži več

Microsoft Word - SI_vaja1.doc

Microsoft Word - SI_vaja1.doc Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 1 Naloge 1. del: Opisna statistika

Prikaži več

Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC

Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met

Prikaži več

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je

Prikaži več

od_la_nuk.eps

od_la_nuk.eps Poglavje 1 Pietrain Karmen Ložar 1, Irena Ule 1, Špela Malovrh 1, Milena Kovač 1,2 1.1 Pregled rej V poročilo je vključena populacija pasme pietrain (44). Status smo konec leta 2005 podelili dvema vzrejnima

Prikaži več

MERE SREDNJE VREDNOSTI

MERE SREDNJE VREDNOSTI OPIS PODATKOV ENE SPREMENLJIVKE frekvenčne porazdelitve in mere srednje vrednosti as. dr. Nino RODE Uni-Lj. Fakulteta za socialno delo O ČEM BOMO GOVORILI NAMEN OPISNE STATISTIKE Kako opisati podatke OPIS

Prikaži več

Osnove matematicne analize 2018/19

Osnove matematicne analize  2018/19 Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat

Prikaži več

Statistika, Prakticna matematika, , izrocki

Statistika, Prakticna matematika, , izrocki Srednje vrednosti Srednja vrednost...... številske spremenljivke X je tako število, s katerim skušamo kar najbolje naenkrat povzeti vrednosti na posameznih enotah: Polovica zaposlenih oseb ima bruto osebni

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l?

Prikaži več

Osnove verjetnosti in statistika

Osnove verjetnosti in statistika Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven

Prikaži več

Kondicija in prehrana plemenskih svinj Darja PREVALNIK 1, Peter PRIBOŽIČ 1, Janja URANKAR 2, Špela MALOVRH 2 Uvod Prašičereja kljub večletnemu upadanj

Kondicija in prehrana plemenskih svinj Darja PREVALNIK 1, Peter PRIBOŽIČ 1, Janja URANKAR 2, Špela MALOVRH 2 Uvod Prašičereja kljub večletnemu upadanj Kondicija in prehrana plemenskih svinj Darja PREVALNIK 1, Peter PRIBOŽIČ 1, Janja URANKAR 2, Špela MALOVRH 2 Uvod Prašičereja kljub večletnemu upadanju proizvodnje še vedno predstavlja drugo najpomembnejšo

Prikaži več

LaTeX slides

LaTeX slides Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni

Prikaži več

Vrste

Vrste Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - p_TK_inzeniring_1_dan_v5_shortTS.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - p_TK_inzeniring_1_dan_v5_shortTS.ppt [Compatibility Mode] Telekomunikacijski inženiring dr. Iztok Humar Vsebina Značilnosti TK prometa, preprosti modeli, uporaba Uvod Značilnosti telekomunikacijskega prometa Modeliranje vodovno komutiranih zvez Erlang B Erlang

Prikaži več

NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to

NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti

Prikaži več

Microsoft Word - mlecnost_koze_2018_final.doc

Microsoft Word - mlecnost_koze_2018_final.doc Oddelek za zootehniko Jamnikarjeva 101, 1000 Ljubljana Slovenija telefon: 01 320 38 47 fax: 01 724 10 05 www.bf.uni-lj.si Druga priznana organizacija pri reji drobnice MLEČNOST KOZ V KONTROLIRANIH TROPIH

Prikaži več

2. LINEARNA ALGEBRA

2. LINEARNA ALGEBRA UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje (OPISNA ) 1 Cilj tega sklopa predavanja je predstaviti obvladovanje računskih spretnosti pri reševanju logističnih problemov in pri

Prikaži več

Microsoft Word - SI_vaja5.doc

Microsoft Word - SI_vaja5.doc Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 5 Naloge 1. del: t test za

Prikaži več

(Microsoft Word - 3. Pogre\232ki in negotovost-c.doc)

(Microsoft Word - 3. Pogre\232ki in negotovost-c.doc) 3.4 Merilna negotovost Merilna negotovost je parameter, ki pripada merilnem rezltat. Označje razpršenost vrednosti, ki jih je mogoče z določeno verjetnostjo pripisati merjeni veličini. Navaja kakovost

Prikaži več

Rejski program za prašiče Milena Kovač

Rejski program za prašiče Milena Kovač Rejski program za prašiče Milena Kovač Selekcijski program Opis sistema proizvodnje Postavitev selekcijskih ciljev Izbira pasem in selekcijske piramide ( w ) Izračun parametrov populacije in ekonomskih

Prikaži več

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z

Prikaži več

Funkcionalni hlevi: vzreja in pitanje

Funkcionalni hlevi:      vzreja in pitanje Univerza v Ljubljani Biotehniška fakulteta Oddelek za zootehniko Funkcionalni hlevi: vzreja in pitanje Milena Kovač Projekt financirata MKO in ARRS Uspešnost vzreje in pitanja Povečanje prireje Boljši

Prikaži več

1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x

1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x 1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,

Prikaži več

Tehnološka kakovost prašičjega mesa za predelavo v izdelke višje kakovosti

Tehnološka kakovost prašičjega mesa za predelavo v izdelke višje kakovosti CRP V4-1417 Delavnica s predavanji:»pitanje prašičev na višje teže in predelava v izdelke višje kakovosti«ekološka prašičereja Slika: M. ŠKRLEP Dejan ŠKORJANC, Maja PREVOLNIK POVŠE in Maksimiljan BRUS

Prikaži več

KME-DEC SEZNAM VPRAŠANJ IN NAVODILA, KI VAM BODO V POMOČ PRI TELEFONSKEM ANKETIRANJU ZA LETNO STATISTIČNO RAZISKOVANJE ŽIVINOREJE IN POSEJANIH POVRŠIN

KME-DEC SEZNAM VPRAŠANJ IN NAVODILA, KI VAM BODO V POMOČ PRI TELEFONSKEM ANKETIRANJU ZA LETNO STATISTIČNO RAZISKOVANJE ŽIVINOREJE IN POSEJANIH POVRŠIN KME-DEC SEZNAM VPRAŠANJ IN NAVODILA, KI VAM BODO V POMOČ PRI TELEFONSKEM ANKETIRANJU ZA LETNO STATISTIČNO RAZISKOVANJE ŽIVINOREJE IN POSEJANIH POVRŠIN V JESENSKI SETVI, DECEMBER 2013 Namen statističnega

Prikaži več

2. Model multiple regresije

2. Model multiple regresije 2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov

Prikaži več

00main.dvi

00main.dvi UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za elektrotehniko Vitomir Štruc, Simon Dobrišek INFORMACIJA IN KODI DOPOLNILNI UČBENIK Z VAJAMI UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM II. STOPNJE ELEKTROTEHNIKA - AVTOMATIKA IN

Prikaži več

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE

Prikaži več

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj

Prikaži več

Poskusi s kondenzatorji

Poskusi s kondenzatorji Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.

Prikaži več

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik

Prikaži več

Brownova kovariancna razdalja

Brownova kovariancna razdalja Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti

Prikaži več

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,

Prikaži več

3. Preizkušanje domnev

3. Preizkušanje domnev 3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija

Prikaži več

4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar

4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar 4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, 6.4.29 Grafi II Jure Senčar Relativna sila krčenja - F/Fmax [%]. Naloga Nalogo sem delal v Excelu. Ta ima vgrajeno funkcijo, ki nam vrne logaritemsko

Prikaži več

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov

Prikaži več

Na podlagi 10. in 12. člena Zakona o kmetijstvu (Uradni list RS, št. 45/08, 57/12 in 90/12 ZdZPVHVVR, 26/14 in 32/15) izdaja Vlada Republike Slovenije

Na podlagi 10. in 12. člena Zakona o kmetijstvu (Uradni list RS, št. 45/08, 57/12 in 90/12 ZdZPVHVVR, 26/14 in 32/15) izdaja Vlada Republike Slovenije Na podlagi 10. in 12. člena Zakona o kmetijstvu (Uradni list RS, št. 45/08, 57/12 in 90/12 ZdZPVHVVR, 26/14 in 32/15) izdaja Vlada Republike Slovenije U R E D B O o ukrepu dobrobit živali iz Programa razvoja

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - cigre_c2_15.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - cigre_c2_15.ppt [Compatibility Mode] Univerza v Mariboru Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Boštjan Polajžer, Drago Dolinar, Jožef Ritonja (FERI) bostjan.polajzer@um.si Andrej Semprimožnik (ELES) KAZALNIKI KAKOVOSTI

Prikaži več

Microsoft Word - RAZISKAVA_II._del.doc

Microsoft Word - RAZISKAVA_II._del.doc DEJAVNIKI VARNOSTI CESTNEGA PROMETA V SLOVENIJI Raziskava II. del Inštitut za kriminologijo pri Pravni fakulteti v Ljubljani Ljubljana, avgusta 2010 Vodja raziskave: dr. Dragan Petrovec Izvajalci in avtorji:

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik L

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik L UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik Ljubljana, Marec 2007 Povzetek Najpreprostejši model

Prikaži več

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v

Prikaži več

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx 4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in

Prikaži več

Številka:

Številka: OSNUTEK 5. 11. 2015 Na podlagi 10. in 12. člena Zakona o kmetijstvu (Uradni list RS, št. 45/08, 57/12 in 90/12 ZdZPVHVVR, 26/14 in 32/15) izdaja Vlada Republike Slovenije U R E D B O o ukrepu Dobrobit

Prikaži več

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0 PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

Microsoft Word - M docx

Microsoft Word - M docx Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M15245112* JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik in računalo.

Prikaži več

ENV2:

ENV2: . Kazalo. KAZALO.... UVOD... 3. ANALIZA POPULACIJE DRŽAV EU...5 4. VSEBINSKE UGOTOVITVE...8 5. LITERATURA... . Uvod Vir podatkov za izdelavo statistične naloge je Eurostat ali Statistični urad Evropske

Prikaži več

Predstavitev projekta

Predstavitev projekta Emisije toplogrednih plinov v kmetijstvu Emisije TGP v govedoreji Jože Verbič, Janez Jeretina, Tomaž Perpar Kmetijski inštitut Slovenije CRP V4-1816 Zmanjševanje izpustov toplogrednih plinov in amonijaka

Prikaži več

ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA

ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA Navdih Poizvedovanje po BD podatkovnih virih, ki imajo časovno dimenzijo in so dostopni. Večji promet pomeni večje število dobrin in močnejšo

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.

Prikaži več

FGG13

FGG13 10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega

Prikaži več

Osnove statistike v fizični geografiji 2

Osnove statistike v fizični geografiji 2 Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka

Prikaži več

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek

Prikaži več

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo 11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija

Prikaži več

VST: 1. kviz

VST: 1. kviz jsmath Učilnica / VST / Kvizi / 1. kviz / Pregled poskusa 1 1. kviz Pregled poskusa 1 Končaj pregled Začeto dne nedelja, 25. oktober 2009, 14:17 Dokončano dne nedelja, 25. oktober 2009, 21:39 Porabljeni

Prikaži več

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati

Prikaži več

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6 SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu

Prikaži več

Raziskovalna naloga MASA ŠOLSKIH TORB Področje: biologija Osnovna šola Frana Albrehta Kamnik Avtorja: Jan Maradin in Jaka Udovič, 9. razred Mentorica:

Raziskovalna naloga MASA ŠOLSKIH TORB Področje: biologija Osnovna šola Frana Albrehta Kamnik Avtorja: Jan Maradin in Jaka Udovič, 9. razred Mentorica: Raziskovalna naloga MASA ŠOLSKIH TORB Področje: biologija Osnovna šola Frana Albrehta Kamnik Avtorja: Jan Maradin in Jaka Udovič, 9. razred Mentorica: Danica Mati Djuraki Somentorica: Tadeja Česen Šink

Prikaži več

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih

Prikaži več

MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE

MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE 1. UVOD: V tej vaji je bilo potrebno narediti pet nalog, povezanih z lečami. 2. NALOGA: -Na priloženih listih POTREBŠČINE: -Na priloženih listih A. Enačba zbiralne leče

Prikaži več

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano

Prikaži več

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave

Prikaži več

Microsoft Word - Astronomija-Projekt19fin

Microsoft Word - Astronomija-Projekt19fin Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na

Prikaži več

Main14.dvi

Main14.dvi Poglavje 8 Uporaba informacijskega sistema v praksi Janja Urankar 1,2, Sonja Vahen 1, Darja Čop Sedminek 1, Špela Malovrh 1, Milena Kovač 1 Izvleček Dosedanji centralni vnos podatkov želimo prenesti v

Prikaži več

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru 6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta

Prikaži več

(Microsoft PowerPoint - Spletno orodje \(KOKRA\) za ra\350unanje obrokov za krave molznice [Samo za branje] [Zdru\236ljivostni na\350in])

(Microsoft PowerPoint - Spletno orodje \(KOKRA\) za ra\350unanje obrokov za krave molznice [Samo za branje] [Zdru\236ljivostni na\350in]) Spletno orodje (KOKRA) za računanje obrokov za krave molznice Drago BABNIK, Jože VERBIČ, Tomaž ŽNIDARŠIČ, Janez JERETINA, Janez JENKO, Tomaž PERPAR, Boris IVANOVIČ Interaktivni spletni program za načrtovanje

Prikaži več

NASLOV

NASLOV Relacija oskrbovalec žival Ravnanje s prašiči Odnos do živali Oskrbovalec Obnašanje & ravnanje Hemsworth and Coleman (1998, 2011) Žival Stres Produktivnost Strah & dobrobit Špela Malovrh, Milena Kovač,

Prikaži več

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna

Prikaži več

Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr

Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje

Prikaži več

Poglavje 1 Izbor ustreznih hibridov za gospodarno rejo prašičev Milena Kovač 1,2, Špela Malovrh 1, Stanka Pavlin 1 Izvleček V prispevku želimo prikaza

Poglavje 1 Izbor ustreznih hibridov za gospodarno rejo prašičev Milena Kovač 1,2, Špela Malovrh 1, Stanka Pavlin 1 Izvleček V prispevku želimo prikaza Poglavje 1 Izbor ustreznih hibridov za gospodarno rejo prašičev Milena Kovač 1,2, Špela Malovrh 1, Stanka Pavlin 1 Izvleček V prispevku želimo prikazati sheme križanja ter kriterije za izbor pasem in hibridov.

Prikaži več

Microsoft Word - vprasalnik_AZU2007.doc

Microsoft Word - vprasalnik_AZU2007.doc REPUBLIKA SLOVENIJA Anketa o zadovoljstvu uporabnikov statističnih podatkov in informacij Statističnega urada RS 1. Kako pogosto ste v zadnjem letu uporabljali statistične podatke in informacije SURS-a?

Prikaži več

REŠENE NALOGE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: 11. junij 2019

REŠENE NALOGE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: 11. junij 2019 REŠENE NALOGE IZ VERJETNOSTI IN STATISTIKE Martin Raič Datum zadnje spremembe: junij 209 Kazalo Osnove kombinatorike 3 2 Elementarna verjetnost 5 3 Pogojna verjetnost 0 4 Slučajne spremenljivke 7 5 Slučajni

Prikaži več

Microsoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc

Microsoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve

Prikaži več

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015 Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10

Prikaži več

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša

Prikaži več

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1

Prikaži več

Trg proizvodnih dejavnikov

Trg proizvodnih dejavnikov Trg proizvodnih dejavnikov Pregled predavanja Trg proizvodov KONKURENCA Popolna Nepopolna Trg proizvodnih dejavnikov Popolna Individualna k. Panožna k. Povpraševanja Individualna k. Panožna k. Povpraševanja

Prikaži več

Microsoft Word - Avditorne.docx

Microsoft Word - Avditorne.docx 1. Naloga Delovanje oscilatorja je odvisno od kapacitivnosti kondenzatorja C. Dopustno območje izhodnih frekvenc je podano z dopustnim območjem kapacitivnosti C od 1,35 do 1,61 nf. Uporabljen je kondenzator

Prikaži več

Poslovilno predavanje

Poslovilno predavanje Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12

Prikaži več

Številka:

Številka: apple REPUBLIKA SLOVENIJA MINISTRSTVO ZA KMETIJSTVO, GOZDARSTVO IN PREHRANO Dunajska cesta 22, 1000 Ljubljana T: 01 478 90 00 F: 01 478 90 21 E: gp.mkgp@gov.si www.mkgp.gov.si Številka: 007-16/2016 Ljubljana,

Prikaži več

Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj

Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod

Prikaži več

STATISTIKA - zbiranje podatkov - obdelava podatkov - analiza in prikaz podatkov Z besedo statistika označujemo sistematično zbrane številske podatke.

STATISTIKA - zbiranje podatkov - obdelava podatkov - analiza in prikaz podatkov Z besedo statistika označujemo sistematično zbrane številske podatke. STATISTIKA - zbiranje podatkov - obdelava podatkov - analiza in prikaz podatkov Z besedo statistika označujemo sistematično zbrane številske podatke. Te podatke obdelamo, analiziramo in prikažemo z različnimi

Prikaži več

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:

Prikaži več

Matematika 2

Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo

Prikaži več

Prevodnik_v_polju_14_

Prevodnik_v_polju_14_ 14. Prevodnik v električnem polju Vsebina poglavja: prevodnik v zunanjem električnem polju, površina prevodnika je ekvipotencialna ploskev, elektrostatična indukcija (influenca), polje znotraj votline

Prikaži več

PRILOGA 2 Minimalni standardi kakovosti oskrbe za izbrane dimenzije kakovosti oskrbe in raven opazovanja posameznih parametrov kakovosti oskrbe 1. NEP

PRILOGA 2 Minimalni standardi kakovosti oskrbe za izbrane dimenzije kakovosti oskrbe in raven opazovanja posameznih parametrov kakovosti oskrbe 1. NEP PRILOGA 2 Minimalni standardi kakovosti oskrbe za izbrane dimenzije kakovosti oskrbe in raven opazovanja posameznih parametrov kakovosti oskrbe 1. NEPREKINJENOST NAPAJANJA 1.1. Ciljna raven neprekinjenosti

Prikaži več

1 EKSPERIMENTALNI DEL 1.1 Tkanina Pri pranju smo uporabili pet tkanin, od katerih je bila ena bela bombažna tkanina (B), preostale tkanine (E101, E111

1 EKSPERIMENTALNI DEL 1.1 Tkanina Pri pranju smo uporabili pet tkanin, od katerih je bila ena bela bombažna tkanina (B), preostale tkanine (E101, E111 1 EKSPERIMENTALNI DEL 1.1 Tkanina Pri pranju smo uporabili pet tkanin, od katerih je bila ena bela bombažna tkanina (B), preostale (E101, E111, E114 in E160) pa so bile zamazane z različnimi umazanijami

Prikaži več

AKCIJSKO RAZISKOVANJE INOVACIJSKI PROJEKT ZA ZNANJE IN SPOŠTOVANJE Udeleženci: Učenci 2. c Razredničarka: Irena Železnik, prof. Učni predmet: MAT Učna

AKCIJSKO RAZISKOVANJE INOVACIJSKI PROJEKT ZA ZNANJE IN SPOŠTOVANJE Udeleženci: Učenci 2. c Razredničarka: Irena Železnik, prof. Učni predmet: MAT Učna AKCIJSKO RAZISKOVANJE INOVACIJSKI PROJEKT ZA ZNANJE IN SPOŠTOVANJE Udeleženci: Učenci 2. c Razredničarka: Irena Železnik, prof. Učni predmet: MAT Učna vsebina: Ustno seštevanje in odštevanje do 20 sprehodom

Prikaži več

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,

Prikaži več

VAJE

VAJE UČNI LIST Geometrijska telesa Opomba: pri nalogah, kjer računaš maso jeklenih teles, upoštevaj gostoto jekla 7,86 g / cm ; gostote morebitnih ostalih materialov pa so navedene pri samih nalogah! Fe 1)

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V

Prikaži več