UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za fiziko MAGISTRSKO DELO Uroš Jagodič Maribor, 2014

Transkripcija

1 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za fiziko MAGISTRSKO DELO Uroš Jagodič Maribor, 2014

2

3 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za fiziko Magistrsko delo SMEKTIČNA A STRUKTURA V PRISOTNOSTI VSILJENE UPOGIBNE DEFORMACIJE Master Thesis SMECTIC A STRUCTURE UNDER THE INFLUENCE OF FORCED BEND DEFORMATION Mentor: doc. dr. Robert Repnik Kandidat: Uroš Jagodič Somentor: red. prof. dr. Samo Kralj Maribor, 2014

4 Zahvala: Na tem mestu bi se rad zahvalil mentorjema, ki sta mi tekom študija nudila podporo, znanje ter v meni prebudila zanimanje za fiziko. Posebej bi se rad zahvalil Evi, ki mi je vedno stala ob strani.

5

6 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisani Uroš Jagodič, rojen , izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom Struktura smektične A faze v prisotnosti vsiljene upogibne deformacije, pri mentorju doc. dr. Robert Repniku in somentorju red. prof. dr. Samu Kralju avtorsko delo. V magistrskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni. Maribor, september 2014 Uroš Jagodič

7 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Jagodič U.: Struktura smektične A faze v prisotnosti vsiljene upogibne deformacije Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za fiziko, IZVLEČEK Superprevodne kovine lahko delimo na dva tipa, ki jih karakteriziramo s tipičnimi razdaljami sistema. V analogiji lahko tudi za smektične tekoče kristale uvedemo podobno delitev. Smektike tipa I in tipa II ločimo s t. i. Ginzburgovim parametrom. V magistrski nalogi bomo preučevali odziv obeh tipov smektikov na vsiljeno upogibno deformacijo. Ta je v sistemu povzročena s t. i. strukturo ribje kosti na površini. Z naklonom brazd strukture vsiljujemo lokalne napetosti v sistemu, kar posledično vpliva na urejanje molekul tekočega kristala znotraj posamezne smektične plasti. V teoretični obravnavi problema zapišemo prosto energijo sistema s pomočjo Landau de Gennesovega fenomenološkega pristopa. Prosto energijo bomo enodimenzionalno parametrizirali za primer strukture ribje kosti in zapisali Euler Lagrangeovi enačbi, ki ju rešujemo numerično. Raziskali bomo odziv smektikov tipa I in tipa II na vsiljeno upogibno deformacijo znotraj strukture ribje kosti. Ključne besede: tekoči kristali, smektična A faza, topološki defekti, struktura ribje kosti, Ginzburgov smektični parameter, smektiki tipa I in tipa II

8 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Jagodič U.: Structure of the smectic A phase under the influence of forced bend deformation Master thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Department of Physics, Abstract Superconducting metals can be divided into two types which are characterized by typical distances of the system. In analogy one can also introduce similar division in smectic liquid crystals. The division of smectics type I and type II is characterized by the Ginzburg smectic parameter. In this master thesis we will examine the response of both types of smectics on a forced bend deformation which will be applied to the system with a so called herringbone structure. The slope of the latter structure imposes local stresses in the system which consequently affects the ordering of liquid crystal molecules within an individual smectic layer. In this theoretical research of the problem the free energy of the system is written according to the Landau de Gennes phenomenological approach. We parametrize the free energy in one dimension for the herringbone structure and derive Euler Lagrange equations which we solve numerically. We will investigate the response of the type I and type II smectics on forced bend deformation in the herringbone structure. Key words: liquid crystals, smectic A phase, topological defects, herringbone structure, Ginzburg smectic parameter, smectics type I and type II

9 Kazalo vsebine 1 Uvod Tekoči kristali Smektični tekoči kristali Smektiki tipa I in II Topološki defekti Defekti v smektični A fazi Fenomenološki model Struktura ribje kosti Enodimenzionalna parametrizacija Rezultati Odziv smektikov tipa I Odziv smektikov tipa II Ocena meje taljenja Povzetek Viri in literatura Priloge Programska koda numerične simulacije Primer vhodne datoteke Primer izhodne datoteke... 47

10 1 Uvod V šoli smo se učili, da obstajajo tri agregatna stanja oz. faze snovi, in sicer trdnine (kristali), kapljevine ter plini, ki se med sabo nedvomno ločijo po svojih temeljnih lastnostih. Nekatere organske spojine pa ne poznajo tako ostre delitve na zgolj tri faze ter tako izražajo številne dodatne faze med tekočo (kapljevinsko) ter trdno fazo in jih imenujemo tekoče kristalne faze [1, 2]. Gre za faze, v katerih tekoči kristal [material] izraža tipične lastnosti tako kristalne kakor tudi tekoče faze. Tako na primer tekoči kristali zavzemajo obliko posode, v kateri se nahajajo, kar je tipično za kapljevine in hkrati kažejo izrazito dvolomnost, ki pa je tipična lastnost kristalov [1 3]. Slednji pojav je posledica zloma simetrije sistema anizotropnih molekul [4]. Primer anizotropnih molekul so paličaste, v obliki banan, diskaste itd. [1,2,5] Tekoče kristale delimo na dve skupini, in sicer na termotropne, kjer so lastnosti sistema odvisne od temperature, ter liotropne, kjer je koncentracija tekočega kristala ključen parameter [1]. V TK fazah opisujemo različne lastnosti sistema s parametri. Eden takšnih je urejenost, na primer orientacijska in pozicijska urejenost molekul. Orientacijska urejenost nam pove, v kolikšni meri so bližnje anizotropne molekule podobno usmerjene. Pozicijska urejenost nam pove v kolikšni meri so težišča molekul v posebni smeri periodično urejena. Tipična lastnost sistemov z zlomljeno simetrijo so prav tako topološki defekti (TD), ki predstavljajo področja v snovi, kjer urejenost molekul ni enolično določena [6,7]. Prav zaradi tega je fizika sistemov, ki izražajo TD, izjemno bogata, saj je bila na primer prva teorija dinamike TD razvita v kozmologiji za razlago pojavov v mladem vesolju [8]. Prav tako so pomembne raziskave TD na področju superprevodnikov [9]. TD so bili opaženi tudi v nekaterih tekočih kristalih, kjer lahko zaradi enostavne eksperimentalne zasnove relativno preprosto opazujemo TD, ki jih sicer v drugih fizikalnih sistemih bistveno težje ali pa jih ne moremo [10 12]. Tekoči kristali so zaradi številnih analognih lastnostih z drugimi fizikalnimi sistemi primerni za njihovo preučevanje, zato jim včasih pravimo tudi»laboratorij fizike«[13 16].

11 Različne tekočekristalne faze med seboj delimo glede na vrsto urejenosti, kar vpliva na lastnosti sistema. Najenostavnejša tekočekristalna faza je tako imenovana nematična faza, kjer nematični tekoči kristal ali krajše nematik izkazuje zgolj orientacijsko urejenost. Translacijska urejenost je ključna pri urejanju molekul v sloje v smektičnih tekočih kristalih ali krajše smektikih, kjer se molekule znotraj slojev obnašajo kot dvodimenzionalna tekočina, prehodi molekul med sloji pa so v primerjavi z gibanjem znotraj sloja energijsko potratnejši. Molekule smektika se znotraj posameznih slojev lahko različno orientirajo. Tako se na primer molekule v vseh slojih smektika A (SmA) usmerijo pravokotno na mejo med plastmi, v smektiku C pa so nagnjene v vseh slojih za določen kot od pravokotnice na meje med plastmi. Poznamo tudi smektike, kjer se usmerjenost molekul v različnih slojih razlikuje. Glede na odziv na napetosti v sistemu pa smektike delimo na smektike tipa I in II. Smektiki tipa I se v področju največjih lokaliziranih napetosti odzovejo z lokalnim taljenjem v višjo simetrijsko fazo, za razliko od tega pa se smektiki tipa II odzovejo z elastično deformacijo sloja. Smektiki se na napetosti v sistemu odzovejo s spremembo strukture sistema, pri tem se podobno kot TD v nematikih lahko pojavijo elastične deformacije, robne in zvite dislokacije ali njihova kombinacija. Pojem dislokacije poznamo predvsem iz fizike trdne snovi, kjer podobno kot v smektikih z njimi opišemo lokalne napake v uniformni pozicijski urejenosti gradnikov v kristalni mreži. Dislokacije v sistemu smektikov je izjemno težko nadzorovati na nanometrski skali razen s pomočjo mikroskopa na atomsko silo. Sistem zaradi medsebojnih sil med molekulami s časom išče energijsko najugodnejše stanje, ki pa je lahko pogojeno s temperaturo, koncentracijo, geometrijskimi lastnostmi sistema, površinskimi pojavi, zunanjim poljem itd. Razmere na površini lahko vsiljujejo drugačno debelino smektičnih plasti, kot je sicer značilna za določen neograjen smektik. Študij takšnih primerov je zelo pomemben ravno zaradi apliciranja nanodelcev v tekočekristalni sistem [17,18]. Izvedenih je bilo več raziskav v zvezi s takšnimi strukturami [19 24]. Eksperimentalno relativno enostavno doseglijiva je struktura ribjih kosti [21], kjer s konico mikroskopa na atomsko silo v poliimidno podlago včrtamo brazde, v katere se urejeno polegajo 2

12 molekule SmA. Strukturo SmA v tem primeru poleg lastnosti samega smektika pogojujejo še širina in oblika brazde ter vrsta sidranja molekul v brazdah. Smektik tipa I in tipa II se pri ustreznih pogojih na površini (širina in oblika brazde, sidranje) v temperaturnem območju tik pod temperaturo faznega prehoda med smektično in nematično fazo nanje kvalitativno različno odzovejo. Področja največjih napetosti v obeh tipih smektikov delujejo kot atraktorji nanodelcev, vendar slednji v posameznem smektiku na podlagi istega mehanizma [17] ne rezultirajo v enako strukturo [18]. Za opis dogajanja znotraj strukture smo s pomočjo fenomenološkega Landau de Gennesovega pristopa [25] razvili teoretični opis dogajanja znotraj strukture ribje kosti v prisotnost vsiljene upogibne deformacije. V ta namen smo zapisali prosto energijo sistema v strukturi ribje kosti. V skladu z analogijo s superprevodniki smo karakterizirali dogajanje znotraj strukture s tipičnimi dolžinami, na katerih se snov odziva na lokalne napetosti. Magistrsko delo je sestavljeno sledeče. V začetku opišemo za potrebe naloge nekaj pomembnih lastnosti smektične A tekočekristalne faze s poudarkom na delitvi glede na Ginzburgov smektični parameter [26]. Nadalje predstavimo fenomenološki model [23], ki ga nadgradimo tako, da opisuje prosto energijo smektične faze v tako imenovani strukturi ribje kosti. Nakar uvedemo opis obravnavane strukture v eni dimenziji. Nato podamo rezultate funkcijskih odvisnosti ključnih parametrov smektika od oblike brazde. Sledi opredelitev meje med možnima režimoma, pomembnima za urejanje nanodelcev v sistemu. Nazadnje povzamemo ključne ugotovitve in podamo ideje za nadaljnjo delo. 2 Tekoči kristali Organske anizotropne molekule pri prehodu med trdno in kapljevinsko fazo lahko preidejo še skozi tako imenovano tekočekristalno fazo. Slednja izraža tipične lastnosti obeh faz. Snovi, ki se nahajajo v tekočekristalni fazi, kot kapljevina zavzemajo obliko posode, v kateri se nahajajo in kot trdnina izkazujejo na primer translacijsko in orientacijsko urejenost osnovnih gradnikov. Pri tem poznamo dve različni skupini tekočih kristalov, in sicer termotropne tekoče kristale, kjer so ključne snovne lastnosti, 3

13 odvisne od temperature sistema, ter liotropne tekoče kristale, kjer pa so lastnosti snovi odvisne od koncentracije tekočega kristala v snovi. V našem delu se bomo omejili na termotropne tekoče kristale. Slednji lahko ob spremembi temperature preidejo v eno ali skozi več tekočekristalnih faz, ki se med seboj ločijo glede na mero translacijske in orientacijske urejenosti, kot je prikazano na sliki (Slika 1). Pri ohlajanju tekočega kristala iz izotropne (I) faze preko nematične (N) in smektične (Sm) faze preide v kristalno (K) fazo ter pri tem izkazuje različne vrste in stopnje urejenosti. Tako so na primer gradniki snovi v nematični fazi orientacijsko urejeni, hkrati pa ne kažejo translacijske urejenosti. Slednja igra ključno vlogo pri smektikih, kjer so težišča anizotropnih molekul snovi periodično urejena, zato se molekule urejajo v smektične sloje. Slika 1. Z nižanjem temperature snov preide skozi več tekočekristalnih faz. V tem primeru iz izotropne (I) faze preko nematične (N) in smektične (Sm) tekočekristalne faze v kristalno (K) fazo, kjer je snov v trdnem stanju. V izotropni fazi anizotropne molekule ne izkazujejo nobene urejenosti. V nematični fazi molekule težijo k skupni usmerjenosti glede na preferirano smer, ki jo zaznamujemo s tako imenovanim nematičnim direktorjem. Stopnjo urejenosti dolgih osi molekul glede na nematični direktor opišemo z nematičnim ureditvenim parametrom S kot: S cos 1, (1) 2 kjer je kot med dolgo osjo posamezne molekule in nematičnim direktorjem ter... povprečenje po celotnem prostoru. Tipično S zavzema vrednosti med 1 in -1/2. 4

14 Visoke vrednosti ureditvenega parametra zasledimo v izjemno urejenih sistemih, kot je na primer trdna faza. Nematični ureditveni parameter pa postane ničeln z bližanjem faznemu prehodu v višjo simetrijsko izotropno fazo, kjer so vse smeri v sistemu enakovredne in se molekule razporedijo in usmerijo popolnoma naključno. V nasprotju z nematiki se v smektikih anizotropne organske molekule ne urejajo zgolj orientacijsko, temveč sledi urejanje težišč molekul snovi periodični funkciji, kar je značilno za translacijsko urejenost. 2.1 Smektični tekoči kristali Tekočekristalno fazo, kjer se anizotropne organske molekule, ne le orientacijsko, temveč tudi translacijsko urejajo, imenujemo smektična tekoča kristalna faza ali kratko smektiki. Pri tem težišča molekul sledijo periodični funkciji v posebni smeri, kar ima za posledico njihovo urejanje v t. i. smektične plasti. Debelina slednjih je primerljiva z dolžino molekul. Podobno kot v nematikih, lahko tudi v smektikih definiramo kompleksni ureditveni parameter, ki opisuje postavitev težišč molekul kot: i ( r) r e. 1(2) Pri tem z označimo smektični translacijski ureditveni parameter, ki opisuje stopnjo urejenosti znotraj smektičnih plasti ter z ( r) fazo, ki opisuje položaj smektičnih plasti. Vrednost smektičnega translacijskega ureditvenega parametra bomo v delu opisali kot»smektična urejenost«. Translacijska urejenost vpliva na urejanje molekul v sloje v smektikih. Znotraj slojev se molekule obnašajo kot dvodimenzionalna tekočina, prehodi med sloji pa so izjemno redki, saj je energija, potrebna za prehod molekule med sloji veliko večja kot energija potrebna za premik molekule znotraj sloja. Orientacija molekul znotraj posameznih slojev se lahko razlikuje, kar posledično vpliva na ključne lastnosti sistema. Tako se na primer molekule v vseh slojih smektika A (SmA) usmerijo pravokotno na mejo med plastmi, v smektiku C pa so nagnjene v vseh slojih za določen kot glede na pravokotnico na mejo med plastmi. Poznamo tudi 5

15 smektike, kjer se usmerjenost molekul v različnih slojih razlikuje. Glede na odziv na napetosti v sistemu pa smektike nadalje delimo na smektike tipa I in tipa II. Na primer smektiki tipa I se v področju največjih lokaliziranih napetosti odzove z lokalnim taljenjem v višjo simetrijsko fazo. Smektiki tipa II pa se v področju največje lokalizirane napetosti lahko odzovejo drugače: vzpostavijo elastične deformacije v sistemu. 2.2 Smektiki tipa I in II Leta 1972 je Nobelov nagrajenec Pierre-Gilles de Gennes pokazal, da obstaja analogija med faznim prehodom iz nematične faze v SmA fazo tekočih kristalov in faznim prehodom iz superprevodnega v običajno prevodno stanje kovin [25]. Iz analogije sledi, da če obstajata dva kvalitativno različna tipa superprevodnikov, potem morata obstajati tudi dve vrsti smektikov. V primeru tako smektikov kakor tudi superprevodnikov pa se ključna razlika med tipom I in II nahaja v tipičnih razdaljah, na katerih se snov odzove na lokalne motnje v sistemu. V superprevodnikih je prva tipična dolžina tako imenovana Londonova penetracijska globina [9], ki nam pove penetracijsko globino magnetnega polja. Podobno vlogo igra pri smektikih nematična penetracijska dolžina [1,25], ki opisuje na kolikšni tipični razdalji se motnje v direktorskem polju izničijo. Prav tako lahko povežemo magnetno energijo superprevodnikov [9] s Frank Oseenovo [5,25] elastično energijo, ki opisuje vpliv deformacij na prosto energijo tekočih kristalov. Pri superprevodnosti znan Meissnerjev pojav [9], kjer superprevodnik izključi iz svoje notranjosti magnetno polje, lahko povežemo s tendenco smektikov, da tudi ti»izvržejo«variacije iz nematičnega direktorskega polja. Druga ključna dolžina v superprevodnikih je koherenčna dolžina, ki opisuje na kolikšni dolžini se spremembe v ureditvi superprevodne faze izrazijo. V smektikih pa analogno dolžino predstavlja smektična korelacijska dolžina, ki nam pove na kolikšni razdalji od lokalne motnje v sistemu ureditveni parameter zopet postane homogen. 6

16 Obe dolžini nam povesta tipičen odziv snovi na lokalno motnjo v sistemu. Ključen parameter, ki loči tip I in tip II smektikov, je razmerje med omenjenima dolžinama. Tako lahko vpeljemo Ginzburg Landauov parameter [26] kot razmerje med velikostjo penetracijske ( ) ter korelacijske dolžine ( ). Vpeljemo ga sledeče:, (3) kjer z vrednostmi parametra kvalitativno ločimo dva tipa smektikov. Tekoči kristali, za katerega vrednost je manjša od imenujemo smektik tipa I [26]. Pri slednjem velikost korelacijske dolžine presega velikost penetracijske dolžine, kar ima za posledico taljenje v prisotnosti lokaliziranih napetosti v sistemu. Vrednosti, večje od mejne vrednosti pa pripisujemo smektikom tipa II, v katerih je velikost penetracijske dolžine tipično večja ali enaka kakor velikost korelacijske dolžine. Posledično se v sistemu smektika tipa II pojavijo staljena področja šele pri visokih lokaliziranih napetostih. Sistem pa se lahko na slednje odzove tudi s pojavom plastične deformacije, kjer so robne in zvite dislokacije najpogostejši pojavi. 3 Topološki defekti TD se pojavljajo skoraj neizogibno v sistemih z zlomljeno simetrijo. Slednji pojav je zelo pogost in ima za posledico izjemno pestrost fizikalnih pojavov ter struktur v naravi. TD se pojavijo na področjih lokalnih odstopanj v urejenosti glede na okolico, ki jih omogoči zlomljena struktura sistema in so energijsko izjemno potratne. Ker pa fizikalni procesi v naravi vedno težijo k energijskemu minimumu, se sistem poskuša izogniti omenjenim odstopanjem. Slednje lokalno povzročijo topološko strukturo, ki se ji sistem ne morem izogniti z lokalnimi zveznimi transformacijami brez spremembe okolice. Pojavijo se TD. Posledično se lahko število defektov spremeni le preko medsebojnega izničevanja t. i. defektov in antidefektov. Pri tem TD razvrščamo glede na njihov topološki naboj, ki ima diskretne vrednosti in je topološka invarianta. Za topološki naboj velja podoben ohranitveni zakon kakor za električni naboj. 7

17 Kot zgled nastanka TD analiziramo nenadni prehod tekočega kristala iz kapljevinske izotropne v nematično fazo v neograjenem sistemu. Pri tem faznem prehodu pride do zloma v stopnji orientacijskega reda. V kapljevinski fazi ima sistem izotropno simetrijo, kjer so vse smeri enakovredne. V nematični fazi se tekočekristalne molekule želijo postaviti lokalno vzporedno, kjer orientacijo običajno podajamo z nematičnim direktorjem. Toda v splošnem se molekule TK v različnih delih usmerijo v različne smeri in posledično se lahko pojavijo TD. V centrih defektov ni enolično določen. Zaradi močnih lokalnih distorzij se sistem lahko lokalno stali v višjo simetrijsko (v tem primeru izotropno) fazo. Topološki naboj defektov najnazorneje opišemo v 2D, kjer je naboj kar enak navojnemu številu m. Slednjega definiramo s zasukom direktorskega polja okoli topološkega defekta. Na primer, če se direktorsko polje okoli topološkega defekta zasuka za kot 2π v nasprotni smeri urinega kazalca, potem ima defekt topološki naboj +1 in enak zasuk v nasprotni smeri naboj -1, če pa se direktorsko polje zasuka za manjši kot, kot je 2π potem imamo lahko defekte +1/2, -1/2 itd., kot je prikazano na sliki (2). Slika 2. Topološki defekti s celoštevilskim topološkim nabojem ter polovičnim nabojem v dvodimenzionalnem sistemu. TD se izražajo na mestih, kjer direktorsko polje ni enolično določeno. Slednje vpliva na optične lastnosti sistema, kar se jasno vidi, če takšen vzorec opazujemo pod polarizacijskim mikroskopom. V vzorcih nematičnih tekočih kristalov vidimo barvne strukture nitastih defektov tam, kjer direktorsko polje ni enolično določeno, kot je prikazano na sliki (Slika 3). 8

18 Slika 3. Tipični primer nematičnega tekočega kristala z nitastimi defekti kot videno pod polarizacijskem mikroskopu [27]. 3.1 Defekti v smektični A fazi Doslej predstavljeni TD ustrezajo frustracijam v orientacijskem redu. V smektični fazi se molekule translacijsko uredijo v smektične sloje, kjer se na primer v SmA fazi postavijo pravokotno na mejo plasti. Nezlomljena struktura smektičnih slojev se vzpostavi samo v neograjenih sistemih in kjer lahko zanemarimo vpliv površin. Če pa sistem omejimo ali ga izpostavimo vplivu zunanjega magnetnega ali električnega polja potem se v sistemu pojavijo napetosti, na kar se sistem odzove s plastičnimi deformacijami z jedri na področjih z največjo lokalno napetostjo. Deformacije v translacijski urejenost smektične strukture imenujemo dislokacije, ki se obnašajo podobno kot defektne strukture v nematikih. Za obravnavo dislokacij v smektičnih tekočih kristalih zapišemo pozicijsko funkcijo težišč molekul v upognjenih smektičnih slojev kot: 2 k z u x, _(4) q 0 kjer u(x) predstavlja polje zamika, ki je funkcija vseh komponent pozicijskega vektorja x v eni dimenziji. Če upoštevamo, da je lahko vrednost parametra k samo celo število ali nič potem bo za poljubno vrednost k gostotna porazdelitvena funkcija ostala nespremenjena. Ker z u označimo premik v z-smeri, vse možne vrednosti u predstavljajo mrežo težišč možnih smektičnih plasti, kar lahko zapišemo s pomočjo Burgerjevega vektorja kot [5]: 9

19 b x kde, (5) z kjer lahko s setom Burgerjevih vektorjev opišemo ravnovesni položaj smektičnih slojev. Tako lahko zapišemo na primer linijski defekt kot: du b kde z, _(6) kjer ima u v splošnem smer, ki lahko vpliva na naravo defekta. Pri tem primerjamo njegovo usmerjenost glede na usmerjenost Burgerjevega vektorja. Če je usmerjenost jedra vzporedna z z-osjo potem je prostorska variacija u(x) v xy ravnini. Če se u spremeni za +d v enem obratu okoli jedra defekta, potem lahko opišemo pozicije smektičnih slojev kot: _(7) ter y x. _(8) 1 x, y tan Iz enačbe je razvidno, da bo sloj, v katerem se nahaja pozitivna x-os pri z=0 začel naraščati in bo obšel jedro defekta v smeri nasprotno od urinega kazalca. Pri polnem obratu se bo višina sloja spremenila za d, tako da sloj, ki je bil na začetku v točki z=0 in imel kot 0 preide v točko z=d ter 2. Torej sloj se vrti okoli jedra defekta kot vijak za kar takšnemu defektu pripišemo ime vijačna dislokacija. Podobno kot pri nematičnih tekoči kristalih se lahko tudi dislokacije z +d in d anihilirajo in vzpostavijo enotno postavitev smektičnih slojev. 10

20 Slika 4. V primeru, da sta linijski defekt in Burgerjevega vektor vzporedna, se v sistemu vzpostavijo zvite dislokacije, kjer lahko v sistemu podobno kot v nematikih najdemo defekte in antidefekte. Dislokacijske črte se morajo izničiti na robu vzorca ali tvoriti zaključene zanke znotraj sistema. Zaključene zanke znotraj ene xy-ravnine se imenujejo robne dislokacije in opisujejo dodajanje in izločanje dodatnih slojev v zanki. Površina, ki pokriva takšno zanko, zaznamuje točke, v kateri u kaže dislokacijo v b. Slika 5. V primeru, da sta linijski defekt in Burgejev vektor med seboj pravokotna, se v sistemu vzpostavijo robne dislokacije. 11

21 4 Fenomenološki model Dogajanje blizu faznega prehoda med smektično in nematično fazo je že leta 1972 opisal de Gennes z uporabo fenomenološke teorije, kjer sistem opiše na mezoskopski ravni [25]. Teorija je bila razvita za primer faznega prehoda med superprevodno fazo in običajno prevodno fazo kovin. Ključna razlika, ki prispeva k fizikalni pestrosti, je anizotropija. Slednja je odgovorna za kompleksnost, saj za fenomenološki opis sistema potrebujemo mnogo več parametrov kot v superprevodnikih [26]. Posledica vseh parametrov, ki opisujejo strukturo TK faz, je pojav široke palete novih faz, ki do tedaj še niso bile eksperimentalno opazovane. S pomočjo analogije med TK in superprevodniki je de Gennes napovedal nastanek zvitih in upogibnih deformacij v SmA fazi. Slednji vplivata na nematični direktor smektične faze in s tem na prosto energijo sistema, ki predstavlja termodinamski potencial potreben za opis dogajanja na meji med nematično in SmA fazo. Za opis se poslužujemo Landau de Gennesove teorije faznih prehodov [1], kjer lahko zapišemo prosto energijo sistema kot: ( s) ( n) 3 2 h e e p, _(9) F f f f d r f d r kjer predstavlja homogen člen gostote proste energije, ter predstavljata elastični člen v zapisu gostote proste energije ter predstavlja površinski prispevek gostote proste energije, ki pa v primeru neograjenega vzorca ne vpliva na prosto energijo sistema in ga lahko zato zanemarimo. Homogen člen proste energije lahko zapišemo v Taylerjevo vrsto z razvojem po smektičnem ureditvenem parametru ψ kot: 1 1 f A B A B h......, _(10) 12

22 kjer sta A in B snovni konstanti, pri čimer je A pri temperaturi faznega prehoda enak 0 ter pozitiven za višje temperature, kar lahko opišemo kot: A T c A0 Tc T. _(11) Tako lahko vstavimo v enačbo (10) predpis za A in izrazimo najvišjo vrednost ureditvenega parametra pri dani temperaturi kot: rav A T T, _(12) B Tc 0 c T kjer lahko parametra A in B združimo v temperaturno neodvisen ureditveni parameter kot: A 0. _(13) B Elastičen člen gostote proste energije opisuje odziv sistema pri spremembi urejenosti molekul v smektičnih slojih. Na elastično energijo sistema vplivata dva prispevka, in sicer nematična in smektična. Nematični prispevek opišemo s Frank Oseenovo formulo kot [1]: ( n) fe K11( n ) K22( n( n)) K33( n ( n)) 2, _(14) kjer, ter predstavljajo snovne konstante za opis pahljačaste, zvojne ter upogibno deformacijo, predstavljeno na sliki (Slika 6). 13

23 Slika 6. Pahljačasta zvojna ter upogibna deformacija v nematičnem tekočem kristalu. Pri naši obravnavi bomo upoštevali zgolj deformacije znotraj posameznih slojev, ki so večinoma pahljačaste. Slednje prispevajo k prosti energiji sistema kot: f K 2 ( n) 2 e n, _(15) kjer lahko namesto zapišemo splošen. Smektičen prispevek k elastični prosti energiji sistema pa lahko zapišemo kot: ( s) e 2 2 ll ( i 0) ( ), (16) f C n q C n kjer sta C ll ter C elastični konstanti povezani s smektično stisljivostjo ter upogibom. Prvi člen v enačbi (16) skuša stisniti smektične plasti na konstantno razdaljo d 2 / q 0 0. Drugi člen želi poravnati normalni vektor smektičnih plasti q z lokalnim nematičnim direktorjem n. 4.1 Struktura ribje kosti Ključne makroskopske lastnosti tekočih kristalov so pogosto vezane na mikroskopske lastnosti, ki jih vzpostavi orientacijsko ter translacijsko urejanje molekul v snovi. Eden ključnih parametrov je nematični direktor, ki predstavlja lokalno povprečje usmerjenosti molekul. Slednje je izjemno težko nadzorovati na skalah, primerljivih s samo dolžino molekul. Pri večini eksperimentalnih postopkov, delujemo na celoten vzorec hkrati, s čimer ne moramo zagotoviti direktnega vpliva na urejanje posameznih 14

24 molekul [23]. Tak pristop je na primer poskus ustvarjanja struktur knjižnih polic, kjer z ograjevanjem sistema poskušamo doseči uniformno postavitev smektičnih plasti, pravokotno na ograditev [23], kjer pa zaradi nasprotno delujočih urejevalnih sil pride do preurejanja molekul ter do zloma strukture v sredini celice, kar poznamo kot shevronsko strukturo. Slednja je izrazitega pomena pri preučevanju elastičnih vplivov na direktorsko polje, saj lahko s preprostimi parametri, kot je naklon strukture v prelomnici nadzorujemo obnašanje znotraj le-te. Procesi, ki dovedejo do vzpostavitve shevronske strukture, so izjemno težko eksperimentalno nadzorljivi, kar onemogoča dolgotrajno natančno nadzorovanje urejanja molekul znotraj strukture. Možen način nadzorovanja urejanja molekul znotraj smektičnih plasti na mikroskopski ravni prav tako predstavlja vzpostavitev strukture ribje kosti [21]. Slednja samo s svojo geometrijo vpliva na lokalno ureditev molekul v smektičnih slojih. Zaradi debeline strukture, primerljive z debelino smektičnih slojev, lahko predpostavimo enako urejanje tako znotraj brazd strukture kakor znotraj smektičnega sloja. Kot je za smektično A fazo značilno, se molekule znotraj brazd uredijo pravokotno glede na mejo med brazdami, kar privede do lokalnih napetosti v prelomnici strukture. Tako je smektična urejenosti molekul znotraj brazd strukture ribje kosti odvisna zgolj od naklona strukture ribje kosti na prelomnici, kar dokaj preprosto eksperimentalno kontroliramo. Slednje dosežemo s pomočjo mikroskopa na atomsko silo, kjer s tipalom mikroskopa izdolbemo brazde pod določenim naklonom [31] prikazano na sliki (Slika 7). 15

25 Slika 7. Shematski prikaz strukture ribje kosti, kjer s tipalom mikroskopa na atomsko silo izdolbemo brazde v mehko poliimidno podlago, kar vpliva na urejanje TK molekul znotraj brazd [10]. V naši teoretični obravnavi sistema definiramo ključne geometrijske parametre. To so debelina smektičnega sloja d 0, debelino sloja na vrhu strukture d ter kot naklona brazde t, kakor je prikazano na sliki (Slika 8). Prav tako definiramo tipičen položaj molekul glede na oddaljenost pravokotno na prelomnico strukture kot Δρ ter oddaljenost molekule pravokotno na vrh strukture ribje kosti kot Δu. Slika 8. Geometrijski parametri strukture ribje kosti. Z naklonom ( t ) in debelino brazde d, d 0 definiramo strukturo samo (levo) ter z Δρ ter Δu, pozicijo molekul znotraj brazd strukture (desno). 16

26 4.2 Enodimenzionalna parametrizacija V delu se osredotočimo na opis obnašanja molekul smektičnega tekočega kristala znotraj strukture ribje kosti. Slednja na površini brazd vsiljuje planarno sidranje molekul s čimer lahko variacije direktorskega polja v navpični z-smeri zanemarimo. Ker je debelina brazd strukture ribjih kosti primerljiva s samo debelino smektičnih slojev, lahko predpostavimo, da se znotraj brazd nahaja zgolj ena sama plast molekul v smektični A fazi. Kot je za slednjo značilno, molekule znotraj sloja težijo k pravokotni postavitvi glede na mejo med posameznimi sloji, zato lahko predpostavimo pravokotno postavitev molekul glede na stene brazd. Posebej zanimivo je področje prelomnice strukture, kjer se zaradi geometrijskih razlogov debelina brazde iz d 0 poveča na d, kar posledično vsiljuje smektično upogibno deformacijo v urejanju molekul znotraj brazd strukture (Slika 9). Slika 9. Prelomnica strukture ribje kosti, s naklonom brazde ter debelino brazde d na prelomnici. t, debelino brazde d 0 Vpliv deformacije na strukturo smektične A faze fenomenološko opišemo s Landau de Gennesovo [1] teorijo, kjer zapišemo prosto energijo sistema kot termodinamski potencial. V naši obravnavi se osredotočimo na dogajanje znotraj posamezne brazde, kar lahko opišemo z enodimenzionalno parametrizacijo proste energije sistema. v našem modelu se osredotočimo zgolj na volumski prispevek k prosti energiji sistem ter zanemarimo vpliv površinskih efektov [28,30]. 17

27 Tako lahko zapišemo gostoto proste energije kot: f f f f, (17) ( s) ( n) h e e kjer lahko zapišemo kondenzacijski člen kot: n fh A( TC T ) nrav ( n ), _ (18) 2 kjer n rav predstavlja ravnovesno vrednost ureditvenega parametra, n pa predstavlja normalizacijo ureditvenega parametra n n n / rav. K prosti energiji sistema prav tako prispevata smektični ter nematični elastični člen. Slednja lahko v posebnem primeru strukture ribje kosti zapišemo kot: f Cn n iq n ( s) e rav ( 0 ) ( ), _ (19) kjer predstavlja ravnovesno vrednosti smektičnega ureditvenega parametra, enotno konstanto C pa uporabimo v primeru, ko sta vrednosti C ll in C enaki. Podobno lahko poenostavimo nematični elastični člen proste energije za sistem strukture ribje kosti. Molekule so znotraj brazd omejene ter planarno sidrane, kar onemogoča tridimenzionalno variacijo nematičnega direktorja. V sistemu se tako ne morejo vzpostaviti zvite ter upogibne deformacije v nematični ureditvi, temveč zgolj pahljačaste. Slednje lahko opišemo z enodimenzionalno variacijo kota molekul glede na smektično mejo v odvisnosti od razdalje od vrha strukture. Nematični elastičen člen tako zapišemo kot: f ( n) e 2 K _ 2 x, (20) 18

28 kjer predstavlja elastično konstanto pahljačaste deformacije. Enodimenzionalno obliko proste energije sistema v strukturi ribje kosti lahko zapišemo kot: f A0 ( Tc T ) eq ( ) K 0 2 C eq n iq n 2 x. _(21) Enačbo lahko nadalje poenostavimo z definicijo tipičnih dolžin sistema. V ta namen delimo celotno enačbo s parametri pred homogenim ter smektičnim členom. Tako definiramo korelacijsko dolžino sistema kot: C _ ( ) (22) A0 Tc T ter penetracijsko dolžino kot: K _ (23) C q 2 2 eq 0 Vidimo, da sta tipični razdalji na katerih se sistem odzove na lokalne deformacije odvisni zgolj od snovnih parametrov. S pomočjo tipičnih dolžin sistema lahko gostoto proste energije zapišemo kot: f A0 ( Tc T ) eq 2, q0 2 n i2 n 2 d 0 2 d0 _(24) 19

29 kjer definiramo vse razdalje s pomočjo debeline smektičnih plasti ( d 0 ) z vpeljavo brezdimenzijske dolžine x/ d 0. Nadalje se osredotočimo na smektični prispevek k elastični energiji sistema. Z upoštevanjem definicije smektičnega ureditvenega parametra ( zapišemo posamezne komponente člena kot: i e ) lahko 2 i i n n e i n e * C. C n n _(25) ter n i n n q. _ (26) S tem se smektičen prispevek h gostoti proste energije preoblikuje v obliko: ( s) e 0 f n n n n q. _ (27) Zaradi vzporedne ureditve molekul glede na površino brazd strukture ribje kosti, lahko zapišemo nematični direktor kot: n ( sin,0,cos ). (28) Prav tako lahko v strukturi ribje kosti definiramo položaj molekul znotraj smektičnih plasti z fazo smektičnega ureditvenega parametra kot: z u( ) (29) kjer je položaj molekule glede na višino strukture. 20

30 Tako lahko zapišemo člene smektičnega prispevka k elastični prosti energiji sistema sledeče: sin 0 cos n cos, _(30) 0 0 sin 0 cos u n 2 cos sin u, _(31) 0 1 sin n 0 0 sin cos 0 _(32) u sin n u 2 sin cos, 1 cos _(33) pri čemer je brezdimenzijski parameter, ki podaja razmerje med debelino smektičnega sloja d 0 in debelino sloja na prelomnici strukture d (Slika 9). Pri velikih razdaljah od prelomnice (x>>1) zavzema parameter vrednost d / d cos. 0 Smektični prispevek h gostoti proste energije v sistemu ribje kosti tako zapišemo kot: 21

31 2 2 ( s) fe cos 4 cos sin, sin 4 sin cos ( 1) _(34) kar lahko poenostavimo v izraz: f 2 ( cos ) ( s) 2 2 e _(35) Celotno prosto energijo sistema ribje kosti tako zapišemo kot: frk _(36) ( cos ) 2. 2 S pomočjo Euler Lagrangeovih enačb bomo poiskali vrednosti smektičnega ureditvenega parametra ter naklona molekul v odvisnosti od, pri čemer bo prosta energija sistema minimalna. V ta namen smo definirali brezdimenzijski parameter, s katerim opišemo oddaljenost molekule od vrha strukture ribje kosti v smeri x. Tako lahko zapišemo Euler Lagrangeovi enačbi za odvisnost ureditvenega parametra kot: f ( cos ) 2 2 _(37) ter 2 f 2 2. _ (38) 2 Funkcijsko spreminjanje drugega odvoda ureditvenega parametra brezdimenzijski oddaljenosti lahko zapišemo kot: po 22

32 2 2 2 ( cos ) 2 2 ( 1). _(39) Euler Lagrangeovi enačbi za odvisnost od kota zapišemo kot: f cos sin _ (40) ter 2 f _ (41) 2 Funkcijo spreminjanja drugega odvoda kota po brezdimenzijski oddaljenosti lahko zapišemo kot: cos sin. _(42) Enačbi (39) in (42) sta nehomogeni sklopljeni diferencialni enačbi drugega reda, ki nam podata smektične urejenosti molekul ter vrednosti naklona molekul glede na pravokotnico meje smektičnih slojev v odvisnosti od oddaljenosti molekul od vrha prelomnice strukture ribje kosti. 23

33 5 Rezultati Zanima nas dogajanje znotraj posameznega sloja strukture ribje kosti v prisotnosti vsiljene upogibne deformacije. V ta namen smo s pomočjo Landau de Gennesovega fenomenološkega pristopa zapisali prosto energijo tekočega kristala v bližini faznega prehoda med smektično in nematično fazo. Zaradi enostavnosti smo se omejili na enodimenzionalen opis dogajanja v posamezni brazdi strukture. Tako smo zapisali prosto energijo kot seštevek prispevkov homogenega ter smektičnega in nematičnega elastičnega člena kot funkcije kota molekul glede na mejo med smektičnimi plastmi ter oddaljenosti od vrha prelomnice strukture. Z uvedbo tipičnih razdalj sistema λ in ξ ter brezdimenzijskih parametrov numerično reševanje problema. ter σ smo sistem poenostavili in olajšali Za določitev ravnovesnih pogojev proste energije sistema izpeljemo Euler- Lagrangeove enačbe, ki nam podajo sklopljeni nehomogeni diferencialni enačbi (39) ter (42) smektičnega ureditvenega parametra ter kota molekul glede na pravokotnico na mejo smektičnih plasti. Vrednosti podamo kot absolutne vrednosti ureditvenega parametra ter usmerjenosti molekul v vsaki točki v brazdi strukture ribje kosti klasificirani s oddaljenostjo od prelomnice strukture. Za določitev območja na katerem vidimo spremembe v sistemu podamo tudi normalizirane vrednosti / 0 ter / kjer sta 0 0 ter 0 maksimalni vrednosti smektičnega ureditvenega parametra ter usmerjenosti molekul znotraj brazd strukture ribje kosti. Na tako dobljenih grafih bomo pozorni na spreminjanje vrednosti parametra v odvisnosti od oddaljenosti od prelomnice strukture, kar nam poda stopnjo urejenosti na vsaki točki sistema. Parameter zavzema vrednost 1 za popolnoma urejen sistem ter vrednost 0 za sistem, ki je staljen v višjo simetrijsko fazo. Prav tako opazujemo vrednost parametra, ki nam poda stopnjo usmerjenosti molekul glede na pravokotnica na mejo smektičnih plasti. Slednji parameter zavzema vrednost 0 za molekule pravokotno usmerjene na mejo smektičnih plasti ter vrednost 1 za molekule, ki so maksimalno odmaknjene od ravnovesne lege. Prav tako lahko podamo grafe 24

34 / 0 ter / 0, kjer lahko iz grafov razberemo efektivno dolžino, na kateri se sistem odzove na lokalne napetosti zaradi vsiljene upogibne deformacije na prelomnici strukture. Da lahko govorimo o spremembi urejenosti sistema, si najprej oglejmo začetne tipične vrednosti smektičnega ureditvenega parametra ter usmerjenosti molekul znotraj sloja brez prelomnice, kar je prikazano na sliki (Slika 10). Ker v sistemu ni prisotnih lokalnih napetosti, sta vrednosti obeh parametrov konstantni znotraj celotnega sloja. Vrednost usmerjenosti, torej kota molekul glede na pravokotnico na mejo smektičnih plasti zavzema vrednost 0 kar je pričakovano za SmA fazo. Prav tako vrednost brez napetosti v sistemu, ki bi vplivala na urejenost molekul, po vsem prostoru zavzema vrednost 1. Slika 10. Urejenost in usmerjenost molekul znotraj tipičnega sloja SmA faze brez lokalnih napetosti. Vrednost parametrov ter je v vsaki točki konstanta kar priča na pravokotno usmerjenost molekul glede na mejo smektičnih plasti ter na visoko stopnjo urejenosti sistema. Podali bomo funkcijske odvisnosti za primer smektikov tipa I ter tipa II, pri čimer bomo poleg Ginzburgovega smektičnega parametra variirali tudi naklon brazd 25

35 strukture ribjih kosti t. S večanjem tega naklona neposredno vsiljujemo upogibne deformacije, kar posledično povzroči lokalne napetosti, ki pa so največje na sami prelomnici sistema. 5.1 Odziv smektikov tipa I Najprej bomo analizirali odziv smektikov tipa I na vsiljeno upogibno deformacijo. Smektike tipa I karakteriziramo s pomočjo Ginzburgovega smektičnega parametra, ki je analogno kot v sistemu superprevodnikov tipa I in II definiran kot razmerje med korelacijsko ter penetracijsko dolžino sistema. Vrednost Ginzburgovega smektičnega parametra 1/ 2 predstavlja mejno vrednosti med smektiki tipa I ter tipa II, pri smektikih tipa I so vrednosti tipično manjše od mejne vrednosti. Tako bomo najprej obravnavali sistem smektika z vrednostjo Ginzburgovega smektičnega parametra 0,1. Slednja predstavlja sistem, za katerega je vrednost smektične penetracijske dolžine 10 krat manjša kakor vrednost smektične korelacijske dolžine. Zanima nas odziv sistema pri različnih vrednostih naklona brazd t, kar je prikazano na slikah (Slike 10 13). S pomočjo normaliziranih funkcijskih odvisnosti pa bomo podali efektivne vrednosti razdalje sistema, na katerih usmerjenost doseže polovično vrednost ter na katerih razdaljah se sistem popolnoma uredi. 26

36 Slika 11. Smektik tipa I z Ginzburgovim smektičnim parametrom 0,1 ter kotom naklona brazde 1. Prikazana funkcijska odvisnost t od razdalje od prelomnice strukture (levo), kaže na majhen porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča z oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost pa kaže na upad smektične urejenosti na prelomnici strukture. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da naklon molekul doseže polovično vrednost na razdalji 60 enot. Slika 12. Smektik tipa I z Ginzburgovim smektičnim parametrom 0,1 ter kotom naklona brazde t 3. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča z oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost pa kaže na upad smektične urejenosti na prelomnici strukture na vrednost 0,92. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da naklon molekul doseže polovično vrednost na razdalji 63 enot ter da se sistem uredi na razdalji 140 enot. 27

37 Slika 13. Smektik tipa I s Ginzburgovim smektičnim parametrom 0,1 ter kotom naklona brazde θt 5. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča s oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost pa kaže na izrazit upad smektične urejenosti na prelomnici strukture na vrednost 0,38. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da naklon molekul doseže polovično vrednost na razdalji 65 enot ter, da se sistem uredi na razdalji 180 enot. 28

38 Slika 14. Smektik tipa I s Ginzburgovim smektičnim parametrom 0,1 ter kotom naklona brazde strukture t 10. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture kaže na majhen porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča z oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost pa kaže, da je sistem v celoti staljen v višjo simetrijsko fazo. Nadalje bomo obravnavali sistem smektika z vrednostjo Ginzburgovega smektičnega parametra 0, 2. Slednja vrednost predstavlja sistem, za katerega je vrednost smektične penetracijske dolžine 5 krat manjša kakor vrednost smektične korelacijske dolžine. Zanima nas odziv sistema pri različnih vrednostih naklona brazd t, kar je prikazano na slikah (Slika 14 17). S pomočjo normaliziranih funkcijskih odvisnosti pa bomo podali efektivne vrednosti razdalje sistema na katerih usmerjenost doseže polovično vrednost, ter na katerih razdaljah se sistem popolnoma uredi. 29

39 Slika 15. Smektik tipa I z Ginzburgovim smektičnim parametrom 0, 2 ter kotom naklona brazde t 1. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na majhen porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča z oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost pa kaže na majhen upad smektične urejenosti na prelomnici strukture. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da naklon molekul doseže polovično vrednost pri razdalji 60 enot. Slika 16. Smektik tipa I z Ginzburgovim smektičnim parametrom 0, 2 ter kotom naklona brazde t 5. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na majhen porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča z oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost η pa kaže na upad smektične urejenosti na prelomnici strukture na vrednost 0,84. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da 30

40 naklon molekul doseže polovično vrednost pri razdalji 43 enot ter, da se sistem uredi na razdalji 100 enot. Slika 17. Smektik tipa I z Ginzburgovim smektičnim parametrom 0, 2 ter kotom naklona brazde t 10. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na majhen porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča s oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost η pa kaže na upad smektične urejenosti na prelomnici strukture, kjer se sistem na razdalji 50 enot popolnoma stali v višjo simetrijsko fazo. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da naklon molekul doseže polovično vrednost pri razdalji 65 enot ter, da se sistem uredi na razdalji 180 enot. Slika 18 Smektik tipa I z Ginzburgovim smektičnim parametrom 0, 2 ter kotom naklona brazde t 15. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice 31

41 strukture levo, kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča s oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost η pa kaže, da je sistem v celoti staljen v višjo simetrijsko fazo. 5.2 Odziv smektikov tipa II Nadalje bomo analizirali odziv smektikov tipa II na vsiljeno upogibno deformacijo. Za smektike tipa II je značilno, da je vrednost Ginzburgovega smektičnega parametra, ki predstavlja razmerje med penetracijsko ter korelacijsko dolžino sistema, večja od1/ 2, ki velja za mejno vrednosti med smektiki tipa I ter II. Tako bomo najprej obravnavali sistem smektika z vrednostjo Ginzburgovega smektičnega parametra 1. Slednja vrednosti Ginzburgovega smektičnega parametra predstavlja sistem, za katerega je vrednost smektične penetracijske dolžine enaka vrednosti smektične korelacijske dolžine. Zanima nas odziv sistema pri različnih vrednostih naklona brazd strukture, prikazano na slikah (Slika 18, Slika 19, Slika 20, Slika 21). S pomočjo normaliziranih funkcijskih odvisnosti pa bomo podali efektivne vrednosti razdalje sistema na katerih usmerjenost doseže polovično vrednost ter na katerih razdaljah se sistem poponoma uredi. Slika 19. Smektik tipa II s Ginzburgovim smektičnim parametrom 1 ter kotom naklona brazde θt 5. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture levo, kaže na majhen porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča s oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska 32

42 odvisnost η pa kaže na majhen upad smektične urejenosti na prelomnici strukture na vrednost η 0,99. Iz normalizirane funkcijske odvisnost, desno, pa lahko razberemo, da naklon molekul doseže polovično vrednost pri razdalji 40 enot. Slika 20. Smektik tipa II s Ginzburgovim smektičnim parametrom naklona brazde t 10 1ter kotom. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture levo, kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki se ustali na vrednost =0,15. Funkcijska odvisnost η pa kaže na upad smektične urejenosti na prelomnici strukture na vrednost 0,88. Iz normalizirane funkcijske odvisnost, desno, pa lahko razberemo, da se naklon molekul stabilizira na razdalji 100 enot ter, da se sistem prav tako popolnoma uredi na razdalji 100 enot. Slika 21. Smektik tipa II s Ginzburgovim smektičnim parametrom 1ter kotom naklona brazde t 20. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture levo, kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki se ustali na vrednost 0, 35. Funkcijska odvisnost η pa kaže na taljenje 33

43 smektične urejenosti na prelomnici strukture. Iz normalizirane funkcijske odvisnost, desno, pa lahko razberemo, da se naklon molekul stabilizira na razdalji 80 enot ter, da je sistem staljen v višjo simetrijsko fazo na razdalji 20 enot ter da se uredi na razdalji 80 enot. Slika 22. Smektik tipa II s Ginzburgovim smektičnim parametrom 1ter kotom naklona brazde t 30. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture levo, kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki se ustali na vrednost =0,50. Funkcijska odvisnost η pa kaže na taljenje smektične urejenosti na prelomnici strukture. Iz normalizirane funkcijske odvisnost, desno, pa lahko razberemo, da se naklon molekul stabilizira na razdalji 100 enot ter, da je sistem staljen v višjo simetrijsko fazo na razdalji 60 enot ter da se uredi na razdalji 100 enot. Nadalje bomo obravnavali sistem smektika z vrednostjo Ginzburgovega smektičnega parametra 2. Slednja vrednosti Ginzburgovega smektičnega parametra predstavlja sistem, za katerega je vrednost smektične penetracijske dolžine pol manjša kakor vrednost smektične korelacijske dolžine. Zanima nas odziv sistema pri različnih vrednostih naklona brazd strukture t, prikazano na slikah (Slika 22 25). S pomočjo normaliziranih funkcijskih odvisnosti pa bomo podali efektivne vrednosti razdalje sistema na katerih usmerjenost doseže polovično vrednost ter na katerih razdaljah se sistem poponoma uredi. 34

44 Slika 23. Smektik tipa II s Ginzburgovim smektičnim parametrom naklona brazde t 5 2 ter kotom. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na majhen porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki narašča s oddaljevanjem od vrha prelomnice strukture. Funkcijska odvisnost η pa kaže na izjemno majhen upad smektične urejenosti na prelomnici strukture. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da naklon molekul doseže polovično vrednost pri razdalji 50 enot. Slika 24. Smektik tipa II s Ginzburgovim smektičnim parametrom 2 ter kotom naklona brazde t 15. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki se ustali na vrednost =0,25. Funkcijska odvisnost η pa kaže na upad smektične urejenosti na prelomnici strukture na vrednost 0,85. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da se naklon molekul stabilizira na razdalji 80 enot ter, da se sistem popolnoma uredi na razdalji 40 enot. 35

45 Slika 25. Smektik tipa II z Ginzburgovim smektičnim parametrom naklona brazde t 25 2 ter kotom. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki se ustali na vrednost 0, 40. Funkcijska odvisnost η pa kaže na taljenje smektične urejenosti na prelomnici strukture. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da se naklon molekul stabilizira na razdalji 60 enot ter, da je sistem staljen v višjo simetrijsko fazo na razdalji 10 enot ter da se uredi na razdalji 30 enot. Slika 26. Smektik tipa II z Ginzburgovim smektičnim parametrom 2 ter kotom naklona brazde strukture t 40. Prikazana funkcijska odvisnost od razdalje od prelomnice strukture (levo) kaže na porast naklona molekul glede na pravokotnico na mejo brazde, ki se ustali na vrednost 0,70. Funkcijska odvisnost η pa kaže na taljenje smektične urejenosti na prelomnici strukture. Iz normalizirane funkcijske odvisnosti (desno) pa lahko razberemo, da se naklon molekul stabilizira na razdalji 60 enot ter, da je sistem staljen v višjo simetrijsko fazo na razdalji 40 enot ter da se uredi na razdalji 60 enot. 36

46 5.3 Ocena meje taljenja Kot smo pokazali, se smektiki tipa I in tipa II kvalitativno različno odzovejo na vsiljeno upogibno deformacijo v smektični translacijski urejenosti. Pri tem v smektikih tipa II opažamo dva kvalitativno različna režima na sami prelomnici strukture ribje kosti, kjer zaradi vsiljene upogibne deformacije pride do taljenja v višjo simetrijsko fazo ali pa vrinjenja novih smektičnih slojev in s tem do pojava robnih dislokacij [29]. Taljenje na območju prelomnice strukture ribje kosti privede do spremembe energije sistema ( ), ki je približno enaka: F C ( q q ) h C (1 cos ) q h, t 0 i t 0 (43) d0 pri čemer je h, in je tista kritična debelina smektične plasti pri razširjanju, 1 cos kjer se vrine nova smektična plasti. Energija sistema se zaradi vrinjenja smektičnih slojev in s tem vzpostavitvijo robnih dislokacij v sistemu spremeni, zapišemo jo kot: 2 2 Fd 2ab Tc T, (44) kjer moramo zaradi vzpostavitve robnih dislokacij na obeh straneh vrinjenih smektičnih slojev upoštevati dvojno vrednost spremembe energije. Slika 27. Smektiki tipa II se na napetosti v sistemu odzovejo s taljenjem v višjo simetrijsko fazo na prelomnici strukture, kjer se pojavijo lokalno največje napetosti v 37

47 sistemu. Pri višanju naklona strukture in s tem lokalnih napetosti se lahko v sistem vrinejo novi smektični sloji, ki jih omejujejo robne dislokacije. Na meji, kjer se v sistem začenjajo vrinjati smektični sloji in se s tem vzpostavljajo robne dislokacije, sta energijska prispevka približno enaka. Slednji pogoj zapišemo kot: a T b c 2 2 T (1 cos t ) q0 h, C (45) kjer vidimo, da če uporabimo enakost a T b c C T 1, 2 (46) lahko podamo mejni kot naklona strukture ribje kosti z izrazom: 1cos 2 1 d 0 t, 2 q0d0 2 (47) kjer je mejni kot sorazmeren s karakterističnimi lastnostmi snovi, kot je debelina smektičnih slojev ter penetracijska dolžina snovi. Mejni kot naklona strukture ribje kosti t nam ločuje med dvema kvalitativno različnima režimoma v smektikih tipa II. Navedena ocena mejnega kota naklona je podana za tridimenzionalne strukture. Ker v našem enodimenzionalnem primeru ne moremo opisati robnih dislokacij, ocene mejnega kota nismo aplicirali. 38

48 6 Povzetek V delu smo obravnavali SmA strukturo v primeru vsiljene upogibne deformacije. Strukturo smo na mezoskopskem nivoju opisali s pomočjo smektičnega ureditvenega parametra ter nematičnega direktorja. Sistem smo opredelili tudi glede na tipične dolžine s katerimi je moč opisati lastnosti sistema. Omejili smo se na tako imenovane strukture ribjih kosti, ki smo jih karakterizirali s kotom, ki opisuje naklon smektičnih slojev. Pri tem smo obravnavali smektike tipa I in tipa II, ki se kvalitativno različno odzivajo na vsiljene deformacije v smektični urejenosti. Najprej smo obravnavali strukture, ki jih lahko opišemo z enodimenzionalno variacijo kompleksnega smektičnega translacijskega ureditvenega parametra. Pokazali smo, da lahko pride do taljenja smektične urejenosti v področju prelomnice strukture ribjih kosti praviloma samo v smektikih tipa I že pri majhnih kotih naklona smektičnih slojev. Pri čimer se v sistemu usmerjenost molekul uravna na razmeroma veliki dolžini. Nasprotno obnašanje smo opazili pri smektikih tipa II, kjer smo dobili staljeno strukturo šele pri izjemno velikih kotih naklona brazd. Pri slednjih se območje blizu vrha strukture staljeno, z oddaljevanje od vrha strukture se pa sistem razmeroma hitro zopet uredi. Oceno smo naredili za tipične predstavnike smektikov tipa I ter tipa II ter podali odvisnosti smektične urejenosti ter usmerjenosti molekul v odvisnosti od oddaljenosti od vrha strukture. Ker pa v sistemu smektikov tipa II pričakujemo pojav dislokacij, ki pa jih ne moramo opisati v eni dimenziji, smo na koncu podali analitično oceno mejnega kota, kjer se sistem na lokalne napetosti v sistemu lahko vzpostavijo robne dislokacije. Omenjene strukture so zanimive za nanotehnologijo. Namreč, področja močnih elastičnih deformacij praviloma delujejo kot atraktorji za ustrezne nanodelce. Pri čemer strukture ribjih kosti s staljeno prelomnico predstavljajo atraktorje za dvodimenzionalno stensko postavitev nanodelcev. V nasprotju s tem strukture z robnimi dislokacijami vsiljujejo mrežo linearno urejenih nanodelcev. 39

49 Viri in literatura [1] P. G. d. Gennes in J. Prost, The Physics of Liquid Crystals, Oxford: Clarendon Press, [2] S. Sight, Liquid Crystals Fundamentals, Singapore: World Scientific, [3] L. D. Landau in E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity, Oxford: Pergamon Press, [4] T. W. B. Kibble, J. Phys. A, p. 1387, [5] P. M. Chaikin in T. C. Lubensky, Principles of condensed matter physics, Cambridge: Cambridge University Press, [6] W. F. Brinkman in P. E. Cladis, Phys. Today, Izv. 35, p. 48, [7] L. Hazelwood, Defects in Liquid Crystals, Southampton, [8] W. H. Zurek, Cosmological experiments in superfluid helium, Nature, Izv. 317, pp , [9] A. A. Abrikosov, J. Phys. Chem. Solids, Izv. 2, p. 199, [10] ] I. Chuang et al., Science, Izv. 251, p. 1336, [11] R. Wang, I. M. Syed, G. Carbone, R. G. Petschek in C. Rosenblatt, Izv. 97, [12] R. Repnik, A. R. Siahkal, V. Šimonka, M. Ambrožič, Z. Bradač in S. Kralj, J. Phys., Condensed matter, Izv. 25, [13] R. Repnik, L. Malthelitsch, M. Svetec in S. Kralj Eur. J. of Phys., Izv. 24, pp , [14] U. Jagodič, J. Staines, R. Repnik in S. Kralj, Sprejeto v objavo. [15] U. Jagodič, R. Repnik in S. Kralj, Maribor: Predstavitev na mednarodni znanstveni konferenci, [16] U. Jagodič, J. Staines, R. Repnik in S. Kralj, Phodes: Predstavitev na mednarodni znanstveni konferenci, [17] G. Cordoyiannis, V. S. R. Jampani, S. Kralj, S. Dhara, V. Tzitzios, G. Basina, G. Nounesis, Z. Kutnjak, C. S. P. Tripathi, P. Losada-Pérez, D. Jesenek, C. Glorieux, I. Muševič, A. Zidanšek, H. Ameinitsch in J. Thoen, Soft Matter, Izv. 40

50 9, p. 3956, [18] U. Jagodič, S. Kralj, G. Cordoyiannis, Z. Kutjak in E. Lacaze, Dublin Ireland: Predstavitev na mednarodni znanstveni konferenci, [19] M. Slavinec, Površinsko inducirani defekti v smektičnih A tekočih kristalih : doktorska disertacija, Ljubljana, [20] N. Vaupotič, Landau - de Gennesov opis strukture v površinsko stabiliziranih celicah SmC: doktorska disertacija, Ljubljana, [21] B. Wen, M. P. Mahajan in C. Rosenblatt, Appl. Phys. Lett., Izv. 76, p. 1240, [22] M. Slavinec et al., Phys. Rev. E, Izv. 63, p , [23] S. Kralj in T. J. Sluckin, Phys. Rev. E, Izv. 50, [24] S. Kralj in T. J. Sluckin, Phys. Rev. E, Izv. 48, [25] P. G. d. Gennes, Solid State Commun., Izv. 10, p. 753, [26] H. S. Kitzerow in C. Bahr, Chirality in Liquid Crystals, New York: Springer, [27] U. Jagodič, Temperaturno induciran fazni prehod nematičnega tekočega kristala: diplomski seminar, Maribor: Univerza v Mariboru, [28] M. Vilfan in M. Čopič, Phys. Rev. E, Izv. 68, [29] S. R. Renn in T. C. Lubensky, Phys. Rev. A, Izv. 38, p. 2132, [30] M. Ambrožič, S. Kralj in S. Žumer, Eur. Phys. J. E, Izv. 8, pp , [31] M. Rüetschi, P. Grütter, J. Fünfschilling in H. J. Güntherodt, Science, Izv. 252, p. 512,

51 7 Priloge 7.1 Programska koda numerične simulacije program Herringbone; uses SysUtils, Math; const NN=1000; type izbor=real; vek = array[1..nn] of izbor; bes = string[10]; var txt,txt1,txt2,txt3:text; cc,ccb,cc1,cc2,cc3:bes; Nx,itmax,ipisi,iberi,it,nap,ii,NL:integer; eps,kor,umax,lam,xi,xi2,du,kot0,kotr,pi,s,xir,lar,lmi,lma,dl,kapa:izbor; uv,kv,mv:vek; procedure BeriFile; var i:integer; r:izbor; txt:text; begin assign(txt,ccb); reset(txt); for i:=1 to Nx do readln(txt,r,mv[i],kv[i]); close(txt); end; procedure init; var i:integer; begin case iberi of 0: BeriFile; 1:begin {herringbone} for i:=1 to Nx do begin mv[i]:=1; Kv[i]:=kot0; end; for i:=1 to 5 do begin mv[i]:=0; kv[i]:=0; end; 42

52 end; end; procedure funm(i:integer; var mm:izbor; var nap:integer); var k,m,ele,dele,mnew,m2x:izbor; begin k:=kv[i]; m:=mv[i]; if i>1 then begin m2x:=(mv[i+1]+mv[i-1]-2*mv[i])/sqr(du); end else begin m2x:=2*(mv[2]-mv[1])/sqr(du); end; ele:= sqr(2*pi)*m*sqr(s-cos(k))+m*(sqr(m)-1)/xi2-m2x; dele:= sqr(2*pi)*sqr(s-cos(k))+(3*sqr(m)-1)/xi2+2/sqr(du); Mnew:=m-kor*ele/dele; if Abs(Mnew-m)>eps then nap:=nap+1; mm:=mnew; end; procedure funk(i:integer; var kk:izbor; var nap:integer); var k,m,ele,dele,knew,k2x:izbor; begin k:=kv[i]; m:=mv[i]; k2x:=(kv[i+1]+kv[i-1]-2*kv[i])/sqr(du); ele:=2*sqr(m/lam)*(s*sin(k)-cos(k)*sin(k))-k2x; dele:= 2*sqr(m/Lam)*(s*cos(k)-cos(2*k))+2/sqr(du); Knew:=k-kor*ele/dele; if Abs(Knew-k)>eps then nap:=nap+1; kk:=knew; end; procedure iter(var it,nap:integer); var i:integer; Kpop,Mpop:izbor; begin nap:=1; it:=0; while (nap>0) and (it<itmax) do begin it:=it+1; nap:=0; funm(1,mpop,nap); mv[1]:=mpop; 43

53 for i:=2 to Nx-1 do begin funk(i,kpop,nap); Kv[i]:=Kpop; funm(i,mpop,nap); mv[i]:=mpop; end; mv[nx]:=mv[nx-1]; kv[nx]:=kv[nx-1]; if ipisi=1 then writeln(it,' ',nap); end; {while} end; procedure iterxi(var it,nap:integer); var i:integer; Kpop,Mpop:izbor; begin nap:=1; it:=0; while (nap>0) and (it<itmax) do begin it:=it+1; nap:=0; for i:=2 to Nx-1 do begin funm(i,mpop,nap); mv[i]:=mpop; end; if ipisi=1 then writeln(it,' ',nap); end; {while} end; procedure iterla(var it,nap:integer); var i:integer; Kpop,Mpop:izbor; begin nap:=1; it:=0; while (nap>0) and (it<itmax) do begin it:=it+1; nap:=0; for i:=2 to Nx-1 do begin funk(i,kpop,nap); Kv[i]:=Kpop; end; if ipisi=1 then writeln(it,' ',nap); end; {while} end; procedure razdalje(var ksir,lamr:izbor); var i,j,ii:integer; mi,ma,etab,etam,kotm: izbor; begin j:=1; mi:=100; ma:=0; for i:=1 to Nx do { min, max} 44

54 begin etab:=mv[i]; if etab<mi then mi:=etab; if etab>ma then ma:=etab; end; writeln('min=',mi:8:6,' ','max=',ma:8:6); etam:=mi+(ma-mi)/2; ii:=1; for i:=1 to Nx do {correlation distance} begin etab:=mv[i]; if etab<etam then ii:=i; end; writeln('ksi=',ii); ksir:=uv[ii]; ma:=0; {max} for i:=1 to Nx do if kv[i]>ma then ma:=kv[i]; kotm:=ma/2; ii:=1; {penetration distance} for i:=1 to Nx do if kv[i]<kotm then ii:=i; lamr:=uv[ii]; end; procedure pisi; var i:integer; txt:text; begin assign(txt,cc); rewrite(txt); for i:=1 to Nx do begin writeln(txt,uv[i]:8:4,' ',mv[i]:12:8,' ',Kv[i]:12:8); end; close(txt); end; procedure pisieta; var i:integer; begin for i:=1 to Nx do write(txt2,mv[i]:6:4,' '); writeln(txt2); end; procedure pisik; var i:integer; begin for i:=1 to Nx do write(txt3,kv[i]:6:4,' '); 45

55 writeln(txt3); end; begin Pi:=4*ArcTan(1); assign(txt,'herringone.i'); reset(txt); readln(txt,itmax,eps,ipisi,kor); readln(txt,iberi); readln(txt,ccb); readln(txt,nx,umax); readln(txt,lmi,lma,nl); {lambda_mi/d0, max/d0, Nkorakov} readln(txt,kapa,kot0); {kapa, tilt} kot0:=kot0*pi/180; kotr:=kotr*pi/180; s:=cos(kot0); readln(txt,cc); readln(txt,cc1); readln(txt,cc2); readln(txt,cc3); close(txt); du:=umax/(nx-1); for ii:=1 to Nx do uv[ii]:=(ii-1)*du; if NL>1 then dl:=(lma-lmi)/(nl-1) else dl:=0; init; assign(txt1,cc1); rewrite(txt1); assign(txt2,cc2); rewrite(txt2); assign(txt3,cc3); rewrite(txt3); for ii:=1 to NL do begin Lam:=(ii-1)*dL+Lmi; xi:=lam/kapa; xi2:=sqr(xi); if itmax>0 then iter(it,nap); razdalje(xir,lar); writeln('nap=',nap,' it=',it); writeln('xi=',xir:8:6,' Lambda=',LaR:8:6); writeln(txt1,xi:8:6,' ',xir:8:6,' ',Lam:8:6,' ',LaR:8:6); pisieta; pisik; end; close(txt1);close(txt2);close(txt3); pisi; writeln('konec'); end. 46

56 7.2 Primer vhodne datoteke 7.3 Primer izhodne datoteke 47