resitve.dvi

Transkripcija

1 FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so naloge. Naloge so 4, vsaka ima dva dela, ki sta skupaj vredna 25 tock. Na razpolago imate 9 min. Naloga a. b. Skupaj Skupaj

2 . (25) Funkcija f : R 3! R naj bo dvakrat zvezno odvedljiva in naj zadosca pogoju x f 2 2 f + = : a. (5) Pokazite, da funkcija g : R 3! R, denirana s predpisom zadosca enacbi (x; y; z) 7! g f (e x ; e y ; e z ) ; 2 g = : 2 Resitev: Odvajamo po pravilih za odvajanje sestavljenih funkcij. (x; y; (ex ; e y ; e z ) e x : Odvajajmo se enkrat parcialno na x. Dobimo 2 2 (x; y; 2 (ex ; e y ; e z ) e (ex ; e y ; e z ) e x : Podobno dobimo druge parcialne odvode na y in na z. dokazati, sledi s sestevanjem. { Odvajanje po x: 3 tocke. { Pravilno vstavljanje argumentov: 3 tocke. { Odvajanje po x se enkrat: 3 tocke. { Pravilno vstavljanje argumentov: 3 tocke. { Sesstevanje: 3 tocke. Enakost, ki jo moramo b. () Naj bo h : R! R odvedljiva in naj velja h () = h () =. Denirajte funkcijo s predpisom Izracunajte (). t 7! f (e h(t) ; e h(t) ; e h(t) ) : Resitev: Zapisemo lahko (t) = g(h(t); h(t); h(t)). Odvajamo po t in dobimo Odvajajmo po t se enkrat. (t) = g x h + g y h + g z h : (t) = (g xx + g xy + g xz ) (h ) 2 + g x h + (g xy + g yy + g yz ) (h ) 2 + g x h + (g xz + g yz + g zz ) (h ) 2 + g x h Upostevajmo, da je h () = h () = in dobimo () =. { Opazanje, da dovajamo g(h(t); h(t); h(t)): 2 tocki. { Prvo posredno odvajanje: 2 tocki. { Drugo posredno odvajanje: 2 tocki. { Upostevanje h () = : 2 tocki. { Razultat: 2 tocki. 2

3 2. (25) Funkciji f; g : U R 3! R 3, denirani na odprti mnozici U = f(x; y; z) : x > ; y > ; z > g, sta dani s predpisoma in (x; y; z) 7! f (xy; xz; yz) (u; v; w) 7! g ( uv=w; uw=v; vw=u) : a. () Izracunajte matriki Df (; ; ) in Dg(; ; ). Resitev: Po deniciji je (i; j)-ti clen v matriki Df i, kjer je f i komponenta funkcije, x j pa j-ta spremenljivka po vrsti. V nasem primeru je recimo f (x; y; z) = xy. Dobimo Df (x; y; z) = Vstavimo tocko (; ; ) in dobimo Df (; ; ) = B@ y x z x z y B@ Podobno dobimo Dg(; ; ) = B@ =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 { Formula za (i; j)-ti clen: 2 tocki. { Kaj je f i : 2 tocki. { Po kateri spremenljicki parcialno odvajamo kje: 2 tocki. { Df(x; y; z): 2 tocki. { Vstavljanje: 2 tocki. b. (5) Izracunajte odvod sestavljene funkcije g(f (x)) v poljubni tocki x 2 U. Resitev: Po formuli za odvajanje sestavljenih funkcij je odvod sestavljene funkcije enak Dg(xy; xz; yz) Df (x; y; z) : Drugo matriko v produktu smo ze izracunali v a. Izracunamo se Dg(u; v; w) = B@ v=uw=2 w=uv=2 uw=v 3 =2 vw=u 3 =2 u=vw=2 uv=w 3 =2 w=uv=2 u=vw=2 v=uw=2 3

4 Dobimo Dg(xy; xz; yz) = B@ 2y 2x z 2xy 2z y 2xz 2x x 2yz 2z 2y Zmnozimo in ugotovimo, da je Dg(xy; xz; yz) Df (x; y; z) = I. { Formula za odvod sestavljene funkcije: 3 tocke. { Pravilno vstavljanje: 3 tocke. { Komponente g: 3 tocke. { Parcialni odvodi: 3 tocke. { Rezultat: 3 tocke. 4

5 3. (25) Dana naj bo funkcija f : R 3! R s predpisom f (x; y; z) = x 2 + y 2 + 3z 2 + 2xz + 2yz : a. () Pokazite, da na neki okolici U tocke (x ; y ) = (; ) obstaja zvezno parcialno odvedljiva funkcija g : U R 2! R, taka da je g(; ) = in f (x; y; g(x; y)) = za vse (x; y) 2 U. Izracunajte se g x (; ) in g y (; ). Resitev: Obstoj iskane funkcije nam bo zagotavljal izrek o implicitni funkciji. Zlahka preverimo, da je f (; ; ) =. Preveriti moramo se f z (; ; ) = 2 6=. Torej taka funkcija g obstaja na neki okolici (x ; y ). Za izracun parcialnih odvodov uporabimo znani formuli g x (; ) = f x(; ; ) f z (; ; ) in g y (; ) = f y(; ; ) f z (; ; ) : Ugotovimo, da je f x (; ; ) = in f y (; ; ) =, torej je g x (; ) = in g y (; ) =. { Preverjanje f(x ; y ; z ) = : 2 tocki. { Preverjanje fz(x ; y ; z ) 6= : 2 tocki. { Citiranje izreka o implicitni funkciji: 2 tocki. { Formuli za gx in gy : 2 tocki. { Rezultata: 2 tocki. b. (5) Izracunajte Hessovo matriko funkcije g v tocki (; ) in sklepajte, da ima v (; ) funkcija g lokalni minimum. Resitev: Izracunati moramo druge parcialne odvode g xx, g xy in g yy. Enakost f (x; y; g(x; y)) = odvajamo dvakrat po x na levi in desni. Dobimo f x + f z g x = in f xx + f xz g x + (f xz + f zz g x ) g x + f z g xx = : Ker je g x (; ) = g y (; ) =, sledi, da je f xx (; ; ) + f z (; ; ) g xx (; ) = ; torej g xx (; ) =. Podobno dobimo f yy (; ; ) + f z (; ; ) g yy (; ) = ; torej g yy (; ) =. Potrebujemo se g xy (; ). S posrednim odvajanjem dobimo f xy (; ; ) + f z (; ; ) g xy (; ) = ; 5

6 torej g xy (; ) =. Dobimo Hf (; ) =! : Lastni vrednosti Hessejeve matrike sta ocitno pozitivni, zato je dana tocka lokalni minimum. { Prvo posredno odvajanje: 3 tocke. { Drugo posredno odvajanje: 3 tocke. { Upostavanje gx(; ) = gy(; ) = : 3 tocke. { Vsi drugi parialni odvodi: 3 tocke. { Pozitivna denitnost Hessejeve matrike in sklep: 2 tocki. 6

7 4. (25) Skatla v obliki kvadra (brez vrhnje ploskve) ima stranice x, y in z kot na sliki. Povrsina skatle je dana in enaka a, torej xy + 2xz + 2yz = a. Iscemo skatlo s to povrsino in najvecjo mozno prostornino. z x y Slika Skatla s stranicami x, y in z. a. () Izpeljite, da iscemo vezani ekstrem funkcije f (x; y; z) = xyz pri pogoju g(x; y; z) = xy + 2xz + 2yz a = in se prepricajte, da mora veljati 3xyz = 2a. Resitev: Ocitno je prostornina skatle enaka V = xyz. Ker ni zgornje ploskve, je povrsina enaka xy + 2xz + 2yz. Ker je povrsina dana, mora biti vez enaka g(x; y; z) = xy + 2xz + 2yz a =. Iscemo vezani ekstrem funkcije f (x; y; z) = xyz pri pogoju g(x; y; z) = xy + 2xz + 2yz a = : Po Lagrangeovem pravilu sestavimo novo funkcijo F (x; y; z) = xyz (xy + 2xz + 2yz a) : Odvajamo parcialno na vse tri spremenljivke @z = yz (y + 2z) = xz (x + 2z) = xy (2x + 2y) Parcialne odvode izenacimo z in poskusamo najti resitev, ki ustreza tudi pogoju. Prvo enacbo pomnozimo z x, drugo z y in tretjo z z in sestejemo. Dobimo 3xyz (2xy + 4xz + 4yz) = : Sledi, da bo 3xyz = 2a. 7

8 { Vez in funkcija, ki jo maksimiziramo: 2 tocki. { Lagrangeova funkcija: 2 tocki. { Parcialni odvodi: 2 tocki. { Ideja z mnozenjem enacb: 2 tocki. { Enakost 3xyz = 2a: 2 tocki. b. (5) Poiscite dolzine stranic, za katere bo imela skatla pri zgornjem pogoju najvecjo prostornino V = xyz. Resitev: Iz a. vemo, da moramo poiskati @z = yz (y + 2z) = xz (x + 2z) = = xy (2x + 2y) = ki ustreza tudi pogoju g(x; y; z) =. Vemo, da bo 3xyz = 2a. Iz prvih dveh enacb sledi xyz (xy + 2xz) = xyz (xy + 2yz) = Sledi, da je x = y. Iz tretje enacbe dobimo x 2 2x3 z 2a = ; torej xz = yz = a=6. Upostevajmo se, da mora veljati 2xz + 2yz + xy = a. Sledi torej ali x = y = 2a a=3 in z = p 3a= a 6 + x2 = a ; Opomba: Ves cas privzemamo, da nobena od spremenljivk x, y ali z ni enaka, saj je v nasprotnem primeru prostornina, kar gotovo ni najvecja mozna prostornina. { Enacbe: 3 tocke. { Opazanje, da je x = y: 3 tocke. { Enacba, ki povezuje x in z: 3 tocke. { Kvadratna enacba za x: 3 tocke. { Resitev: 3 tocke. 8