OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk"

Transkripcija

1 OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero lahko rečemo, da je pravilna ali nepravilna (resnična ali neresnična). Oznake: A, B, C, I 1, I, I 3 Pravilnost, resničnost: p, 1 Nepravilnost, neresničnost: n, 0 Negacija izjave je izjava, ki trdi ravno nasprotno kot dana izjava. Negacija je pravilna, če je dana izjava nepravilna in obratno. Konjunkcija izjav je izjava, ki jo dobimo tako, da dve ali več izjav povežemo z besedo in. Konjunkcija je pravilna, če so vse izjave, iz katerih je sestavljena, pravilne. Disjunkcija izjav je izjava, ki jo dobimo tako, da dve ali več izjav povežemo z besedico ali. Disjunkcija izjav je pravilna, če je vsaj ena od izjav pravilna.. Kaj je implikacija izjav? Kaj je ekvivalenca izjav? Kako je s pravilnostjo implikacije in ekvivalence? Implikacija izjav ali posledična vez je zveza dveh takšnih izjav, da iz prve sledi druga. Implikacija je nepravilna samo, kadar je pogoj pravilen, posledica pa nepravilna. Ekvivalenca izjav je zveza dveh takšnih izjav, da iz prve sledi druga in iz druge prva. Pravimo tudi, da sta izjavi ekvivalentni ali enakovredni. Ekvivalenca izjav je pravilna, kadar sta obe izjavi pravilni ali pa obe nepravilni.

2 MNOŽICE 1. Kaj je prazna množica? Kaj je univerzalna množica? Kaj je komplement množice? Kaj je razlika dveh množic? Prazna množica je množica, ki nima nobenega elementa. Univerzalna množica je množica vseh elementov, za katere se v danem primeru zanimamo oz. na katere se v danem primeru omejimo. Komplement množice je množica tistih elementov, ki so v univerzalni množici, pa niso v dani množici. A c = U\A = {x; x U x A} Razlika množic je množica tistih elementov iz prve množice, ki niso v drugi množici. A\B = A B = {x; x A x B}. Kdaj sta dve množici enaki? Kaj je podmnožica? Kaj je unija in kaj presek množic? Množica A ima n elementov, množica B pa m elementov. Koliko elementov imata lahko A B in A B? Množici sta enaki, če imata iste elemente. Množica A je podmnožica množice B, če je vsak element iz množice A vsebovan v množici B. Velja: A = B A B A B Unija množic je množica tistih elementov, ki so vsaj v eni množici. A B = {x; x A x B} Presek množic, presečna množica je množica tistih elementov, ki so hkrati v obeh (vseh) množicah. A B = {x; x A x B} A B ima lahko največ toliko elemetov, kot je vsota števila elementov množic A in B. To velja, če je A B = (če sta tuji množici). A B ima najmanj elementov, če je ena množica podmnožica druge. Takrat ima A B toliko elementov, kot jih ima večja množica. A B lahko ima največ toliko elemetov, kot je moč manjše množice. To velja, če je ena množica podmnožica druge. Najmanj elementov je 0, če sta množici tuji.

3 3. Kaj je kartezični produkt dveh množic? Kako lahko grafično predstavimo kartezični produkt? Množica A ima n elementov, množica B pa m elementov. Koliko elementov ima A B? Kartezični produkt dveh množic A in B je množica vseh urejenih parov, ki imajo na prvem mestu element iz množice A in na drugem mestu element iz množice B. Označimo ga z A B. A B = {(a, b); a A b B} Če ima množica A m elementov, množica B pa n elementov, ima kartezični produkt m n elementov. Grafično lahko kartezični produkt prikažemo: z mrežo: s šahovnico: s koordinatnim sistemom (V bistvu je to mreža.) 4. Kaj je potenčna množica? Koliko podmnožic ima množica z n elementi? Potenčna množica k množici A je množica vseh podmnožic množice A. Množica z n elementi ima n podmnožic. Potenčna množica ima torej n elementov. PA = {B; B A}

4 ŠTEVILSKE MNOŽICE Naravna števila in cela števila 1. Navedite osnovne računske operacije za računanje v množicah N in Z in njihove lastnosti. Seštevanje ali adicija 1. a + b = b + a komutativnost. (a + b) + c = a + (b + c) asociativnost 3. Obstaja nevtralno število za seštevanje 0, da je a + 0 = a, za vsako število a. 4. K vsakemu celemu številu a obstaja natanko določeno nasprotno število a, da je a + ( a) = 0. (3. in 4. veljata v Z, ne pa v N.) Množenje ali multiplikacija 1. ab = ba komutativnost. (ab)c = a(bc) asociativnost 3. (a + b)c = ac + bc distributivnost 4. Obstaja nevtralno število za množenje 1, da je a 1 = a, za vsako število a. Odštevanje je nasprotna operacija od seštevanja: a b = c b + c = a. Odštevanje v množici N ni vedno izvedljivo, v množici Z pa je. Deljenje je obratna operacija od množenja: a b = c b c = a, b 0. Deljenje v množicah N in Z ni vedno izvedljivo.. Definirajte soda in liha števila. Pokažite: a) Vsota dveh lihih števil je sodo število. b) Kvadrat lihega števila je liho število. Soda števila so števila, ki dajo pri deljenju z ostanek 0, liha pa tista, ki dajo ostanek 1. Soda števila so torej vsi večkratniki števila. a) Naj bosta m + 1 in n + 1, m, n N 0, lihi števili. Vsota je m n + 1 = m + m + = (m + n + 1). To število je večkratnik števila, torej je sodo število. (Lahko sta m, n ε Z.) b) Naj bo m + 1, m N 0, liho število. (m + 1) = 4m + 4m + 1 = (m + m) + 1 je liho število. (Lahko je m ε Z.)

5 3. Definirajte praštevilo in sestavljeno število. Zapišite množico vseh praštevil manjših od 0. Opišite razcep naravnega števila na prafaktorje. Praštevilo je naravno število, ki ima točno dva delitelja, samega sebe in število 1. Sestavljeno število je tisto število, ki ima več kot dva delitelja. Število 1 ni ne praštevilo ne sestavljeno število. Praštevila, manjša od 0, so, 3, 5, 7, 11, 13, 17 in 19. Vsako sestavljeno število lahko zapišemo kot produkt praštevil natanko na en način. Temu rečemo praštevilska faktorizacija ali razcep števila na prafaktorje. Npr = Razložite načelo popolne indukcije. Če neka trditev (formula...), ki je odvisna od naravnih števil, velja za naravno število 1 in če lahko iz pravilnosti te trditve (formule...) za naravno število n sklepamo na pravilnost te trditve (formule...) za naravno število n + 1, potem ta trditev (formula...) velja za vsa naravna števila. Preveriti moramo pravilnost trditve za naravno število 1 in dokazati hipotetični sklep: Če trditev velja za poljubno naravno število n, potem velja tudi za naslednje naravno število n + 1. Če velja trditev za n = 1, potem po dokazanem hipotetičnem sklepu velja za n + 1 =. Ker velja za n =, velja tudi za n + 1 = 3 5. Definirajte deljivost (a b) v N in naštejte njene lastnosti. Število a deli število b natanko takrat, ko obstaja k N, da velja b = k a. Lastnosti: 1. Vsako naravno (ali celo) število, razen 1, ima vsaj dva delitelja: 1 in samo sebe.. Refleksivnost: a a Velja, ker je a = a Antisimetričnost: a b b a a = b 4. Tranzitivnost: a b b c a c 5. Če a deli b in c, potem deli tudi njuno vsoto in razliko. a b a c a (b + c) a (b c) Posledica: Če a deli vsoto b + c in enega od členov, deli tudi drugega. a (b + c) a b a c 6. Če a deli enega od faktorjev, deli tudi produkt. a b a bc

6 6. Definirajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil. Kako ju lahko izračunamo? Kdaj sta si števili tuji? Največji skupni delitelj danih števil je največje število, ki deli vsa dana števila. Najmanjši skupni večkratnik danih števil je najmanjše število, ki je deljivo z vsemi danimi števili. Izračunamo ju lahko s pomočjo razcepa na praštevila. Največji skupni delitelj D dveh števil a in b lahko izračunamo tudi z Evklidovim algoritmom. Najmanjši skupni večkratnik v dveh števil a in b lahko izračunamo s pomočjo zveze Dv = ab, ki velja za poljubni naravni števili. Dve števili sta tuji, če je njun največji skupni delitelj število 1. Torej nimata nobenega skupnega delitelja, razen Kaj je Evklidov algoritem in za kaj ga uporabljamo? Evklidov algoritem je postopek, s katerim poiščemo največji skupni delitelj naravnih števil. Poiščimo največji skupni delitelj števil 175 in 17: D(175,17). Uporabimo osnovni izrek o deljenju celih števil. 17 = = = 6 7 Največji skupni delitelj števil 175 in 17 je zadnji ostanek, ki je različen od 0. V tem primeru je to Povejte osnovni izrek o deljenju. Kaj lahko poveste o številih a in b, če je ostanek pri deljenju števila a s številom b enak 0? Osnovni izrek o deljenju: Za poljubni naravni števili a in b obstajata taki enolično določeni števili k N {0} in r N {0}, da velja: a = k b + r; 0 r < b. Pišemo a b = k (ost r). (a je deljenec, b je delitelj, k je količnik, r je ostanek) Če je ostanek pri deljenju števila a s številom b enak 0, je število a večkratnik števila b, torej b a. 9. Navedite kriterije deljivosti z, 3, 4, 5, 6, 9, 10. Izpeljite kriterija deljivosti za deljivost z in 4. Število je deljivo z, če so enice sodo število. Število je deljivo s 3, če je vsota vseh števk deljiva s 3. Število je deljivo s 4, če je dvomestni konec tega števila deljiv s 4. Število je deljivo s 5, če so enice 0 ali 5. Število je deljivo s 6, če je deljivo z in s 3. Število je deljivo z 9, če je vsota vseh števk deljiva z 9. Število je deljivo z 10, če so enice 0. Kriterij za deljivost z : a = a n a n 1 a a 1 a 0 = a n 10 n + a n 1 10 n a 10 + a a 0 = = 10(a n 10 n 1 + a n 1 10 n + + a 10 + a 1 )+a 0 Ker je 10 deljivo z, velja a a 0.

7 Kriterij za deljivost s 4: a = a n a n 1 a a 1 a 0 = a n 10 n + a n 1 10 n a 10 + a a 0 = = 100(a n 10 n + a n 1 10 n a ) + a a 0 Ker je 100 deljivo s 4, velja 4 a 4 10a 1 + a 0 = a 1 a 0. Racionalna števila 10. Kaj je ulomek? Kdaj ulomka predstavljata isto racionalno število? Definirajte računske operacije z ulomki in naštejte njihove lastnosti. Ulomek je rezultat deljenja dveh celih števil, pri čemer delitelj oziroma imenovalec ne sme biti 0. m n ; m Z, n N (ali m, n Z, n 0) Ulomka m in p n q mq = np. imata isto vrednost oz. predstavljata isto racionalno število natanko takrat, ko je 1. Seštevanje in odštevanje: m n ± r s. Množenje: m n r s = mr ns = ms ± rn ns 3. Deljenje: m n r s = m n s r Lastnosti za seštevanje ali adicijo: a, b, c Q 1. a + b = b + a komutativnost. (a + b) + c = a + (b + c) asociativnost 3. Obstaja nevtralno število za seštevanje 0, da je a + 0 = a, za vsako število a. 4. K vsakemu celemu številu a obstaja natanko določeno nasprotno število a, da je a + ( a) = 0. Lastnosti za množenje ali multiplikacijo: a, b, c Q 1. ab = ba komutativnost. (ab)c = a(bc) asociativnost 3. (a + b)c = ac + bc distributivnost 4. Obstaja nevtralno število za množenje 1, da je a 1 = a, za vsako število a. 5. K vsakemu racionalnemu številu a, razen k 0, obstaja natanko določeno inverzno število a 1, da je a a 1 = 1.

8 11. Kako je urejena množica Q? Pokažite, da je med dvema racionalnima številoma vsaj še eno racionalno število. Množica racionalnih števil je urejena z relacijo manjše ali manjše ali enako (večje ali večje ali enako). Lastnosti relacije <: 1. a a irefleksivnost. a < b b a asimetričnosti 3. (a < b) (b < c) a < c tranzitivnost 4. a < b a + c < b + c 5. (a < b) (c > 0) ac < bc Lastnosti relacije : 1. a a refleksivnost. (a b) (b a) a = b antisimetričnost 3. (a b) (b c) a c tranzitivnost 4. a b a + c b + c 5. (a b) (c > 0) ac bc Med dvema poljubnima različnima racionalnima številoma je vsaj še eno racionalno število. Dejansko jih je vmes neskončno mnogo. Rečemo, da so racionalna števila gosta na številski premici. Dokaz: Naj bo a < b; a, b Q. Potem je tudi število, kar pomeni, da je a < a+b da je a+b a+b < b. Iz tega sledi, da je a < vsaj še eno racionalno število. a+b a+b b a Q. Ker je a < b, je razlika a = pozitivno pozitivno število, kar pomeni,. Prav tako je razlika b a+b = b a < b. Med dvema poljubnima racionalnima številoma je zato 1. Kako racionalno število zapišemo v decimalni obliki? Kdaj je ta zapis končen? Racionalna števila zapišemo z decimalnim zapisom tako, da števec ulomka delimo z imenovalcem. Prvo decimalno mesto za decimalno vejico (ali piko) pomeni desetine, drugo mesto stotine, tretje mesto tisočine,... Če se deljenje ne izide, pride vedno do ponavljanja decimalk. Ponavljajočo skupino decimalk imenujemo perioda, označimo pa jo z vodoravno črto nad to skupino decimalk. Zapis je lahko končen ali periodično neskončen. Zapis je končen, če sta v praštevilski faktorizaciji imenovalca okrajšanega ulomka le faktorja ali 5. V tem primeru lahko ulomek razširimo tako, da je v imenovalcu potenca števila 10. Če so v praštevilski faktorizaciji imenovalca okrajšanega ulomka še kakšni drugi faktorji, je decimalni zapis periodično neskončen.

9 13. Razložite pojme: razmerje, osnova, delež, relativni delež in odstotek. Razmerje števil je količnik teh dveh števil. Osnova: celota, staro stanje: o Delež: del celote, sprememba ali novo stanje: d Relativni delež: razmerje med deležem in osnovo: r = d o Odstotek ali procent: razmerje med deležem in osnovo pomnoženo s 100: p = d 100 o Realna števila 14. Katera realna števila so racionalna in katera iracionalna? Kakšen decimalni zapis imajo prva in druga? Racionalna števila so ulomki. Delimo jih na končna decimalna števila in neskončna periodična decimalna števila (pozitivna in negativna). Iracionalna števila: večina korenov, število π, število e To so neskončna neperiodična decimalna števila. 15. Navedite primere iracionalnih števil. Kako jih zapišemo z decimalnimi števili? Dokažite, da ni racionalno število. Primeri iracionalnih števil: večina korenov, π, e, log 3... Iracionalna števila so neskončna neperiodična decimalna števila (pozitivna in negativna). Izrek: ni racionalno število. Dokaz: S protislovjem. Recimo da je Q. Potem je = m. Ulomek naj bo okrajšan, torej m in n naj bosta tuji n števili. = m je takšno število, da je ( ) =. n = m n m = n m je sodo število. Zato je tudi m sodo število: m = k. (k) = n n = 4k n = k n je sodo število. Zato je tudi n sodo število, m in n sta obe sodi števili, torej nista tuji. protislovje Q je iracionalno število.

10 16. Definirajte številsko premico. Kako ponazorimo racionalna in realna števila na številski premici? Številska premica je premica, na kateri izberemo dve točki, ki predstavljata števili 0 in 1. Točko 0 imenujemo izhodišče številske premice, razdaljo med točkama 0 in 1 pa enota. Vsako realno število lahko predstavimo kot točko na številski premici in obratno, vsaki točki na številski premici lahko priredimo natanko določeno realno število. Cela števila narišemo s prenašanjem enote po številski premici. Racionalna števila narišemo s pomožno premico in uporabo Talesovega izreka. Kvadratne korene narišemo z uporabo Pitagorovega, višinskega ali Evklidovega izreka. 17. Kaj so intervali (definicija in ponazoritev na številski premici, vrste intervalov)? Omejen interval je množica vseh realnih števil (točk na številski premici) med dvema realnima številoma (dvema točkama). Interval je zaprt, če krajišči spadata k intervalu. [a, b] = {x R; a x b} Interval je odprt, če krajišči ne spadata k intervalu. a b (a, b) = {x R; a < x < b} Interval je polodprt ali polzaprt, če eno krajišče spada k intervalu, drugo pa ne. a b [a, b) = {x R; a x < b} (a, b] = {x R; a < x b} a b Neomejen interval je na eni ali obeh straneh neomejen. Na primer: a b [a, ) = {x R; x a} (a, ) = {x R; x > a} (, b] = {x R; x b} (, b) = {x R; x < b} (, ) = R a a b b 18. Definirajte absolutno vrednost realnega števila in naštejte osnovne lastnosti. Absolutna vrednost realnega števila je (enočlena) operacija, ki pozitivna števila in število 0 ohranja, negativna števila pa spremeni v nasprotna pozitivna števila. Lastnosti: a ; a 0 a = { a ; a < 0 1. a grafično pomeni oddaljenost točke a od izhodišča številske premice.. a 0, a = 0 a = 0 3. a = a Nasprotni števili imata enako absolutno vrednost.

11 4. a b = a b Absolutna vrednost produkta je enaka produktu absolutnih vrednosti posameznih faktorjev. 5. a b = a b, b 0 6. a + b a + b Trikotniška neenakost. Absolutna vrednost kvocienta je enaka kvocientu absolutnih vrednosti deljenca in delitelja oz. števca in imenovalca. 19. Kaj je absolutna in kaj relativna napaka približka? Naj bo a točna vrednost izmerjene količine, A pa njen približek. Absolutna vrednost razlike obeh števil A a je absolutna napaka približka A. Običajno poznamo le oceno za absolutno napako, denimo A a < ε, kar pomeni, da se A za manj kot ε razlikuje od a oziroma a ε < A < a + ε. To pogosto zapišemo tudi A = a ± ε. Relativna napaka približka A je razmerje med absolutno napako približka A in absolutno vrednostjo točne vrednosti a, torej r = A a. a Če točne vrednosti za a ne poznamo, tudi relativne napake ne moremo izračunati natančno, ampak jo zgolj ocenimo navzgor (ocena navzdol je 0). (Včasih izračunamo kar r A a.) A Kompleksna števila 0. Povejte razloge za vpeljavo kompleksnih števil in definirajte množico C. Kompleksna števila uvedemo zato, da lahko rešimo kvadratne enačbe z negativno diskriminanto (npr. x = 1, x = 4, x x + 1 = 0 ) oz. da lahko računamo sode korene iz negativnih števil. To so imaginarna števila. i = 1... imaginarna enota Imaginarna števila I = {bi; b R }. Kompleksno število je vsota realnega in imaginarnega števila. C = { a + bi; a, b R } Realna števila so kompleksna števila, ki imajo imaginarno komponento nič. Torej je R C. Imaginarna števila so kompleksna števila, ki imajo realno komponento nič. Torej je I C. 1. Naštejte računske operacije v C in razložite njihove lastnosti. Seštevanje in odštevanje: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i Kompleksni števili seštejemo ali odštejemo tako, da seštejemo ali odštejemo realni komponenti skupaj in imaginarni komponenti skupaj.

12 Množenje realnega in kompleksnega števila: a(c + di) = ac + adi Kompleksno število pomnožimo z realnim tako, da s tem realnim številom pomnožimo realno in imaginarno komponento tega kompleksnega števila. Množenje kompleksnih števil: (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i Kompleksni števili pomnožimo kot dvočlenika in upoštevamo, da je i = 1. Lastnosti so enake kot v množici racionalnih števil. Lastnosti za seštevanje ali adicijo: z, v, w C 1. z + v = v + z komutativnost. (z + v) + w = z + (v + w) asociativnost 3. Obstaja nevtralno število za seštevanje 0, da je z + 0 = z, za vsako število z. 4. K vsakemu celemu številu z obstaja natanko določeno nasprotno število z, da je z + ( z) = 0. Lastnosti za množenje ali multiplikacijo: z, v, w C 1. zv = vz komutativnost. (zv)w = z(vw) asociativnost 3. (z + v)w = zw + vw distributivnost 4. Obstaja nevtralno število za množenje 1, da je z 1 = z, za vsako število z. 5. K vsakemu racionalnemu številu z, razen k 0, obstaja natanko določeno inverzno število z 1, da je z z 1 = 1. Deljenje kompleksnih števil: (a + bi) (c + di) = a + bi (a + bi)(c di) (ac + bd) + ( ad + bc)i = c + di c + d = c + d, c + di 0. Definirajte absolutno vrednost kompleksnega števila in naštejte njene lastnosti. Absolutna vrednost kompleksnega števila z = a + bi je nenegativno realno število, določeno s predpisom: z = z z = (a + bi)(a bi) = a + b. V kompleksni ravnini je absolutna vrednost kompleksnega števila razdalja točke, ki predstavlja to kompleksno število od izhodišča kompleksne ravnine oz. dolžina krajevnega vektorja, ki predstavlja to kompleksno število. Lastnosti absolutne vrednosti: 1. z 0, z = 0 z = 0.. Absolutna vrednost nasprotne vrednosti kompleksnega števila z je enaka absolutni vrednosti kompleksnega števila z: z = z. 3. Absolutna vrednost konjugiranega kompleksnega števila k številu z je enaka absolutni vrednosti kompleksnega števila z: z = z.

13 4. Absolutna vrednost produkta dveh kompleksnih števil je enaka produktu absolutnih vrednosti posameznih faktorjev: z 1 z = z 1 z. 5. Absolutna vrednost kvocienta dveh kompleksnih števil je enaka kvocientu absolutnih vrednosti posameznih števil: z 1 = z 1 ; z z z Absolutna vrednost vsote dveh kompleksnih števil je manjša ali enaka vsoti absolutnih vrednosti posameznih členov (trikotniška neenakost): z 1 + z 1 z 1 + z. Enakost velja le, če je z = k z 1, k R Definirajte konjugirano kompleksno število z in naštejte lastnosti konjugiranja. Konjugirano kompleksno število k danemu kompleksnemu številu je število, ki ima isto realno komponento in nasprotno imaginarno komponento. z = a + bi z = z = z = a bi... konjugirano kompleksno število Lastnosti: 1. z = z. z + w = z + w Konjugirano število vsote je enako vsoti konjugiranih števil posameznih členov. 3. z w = z w 4. z 1 = (z ) 1, z 0 5. ( z ) z = w w, w 0 Konjugirano število produkta je enako produktu konjugiranih števil posameznih faktorjev. Konjugirano število inverznega števila je enako inverznemu številu konjugiranega števila. Konjugirano število kvocienta je enako kvocientu konjugiranih števil deljenca in delitelja. 4. Pokažite, da je konjugirana vrednost vsote dveh kompleksnih števil enaka vsoti njunih konjugiranih vrednosti. z = a + bi, w = c + di Lastnost: z + w = z + w z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i = (a + c) (b + d)i = (a bi) + (c di) = z + w 5. Pokažite, da je konjugirana vrednost produkta dveh kompleksnih števil enaka produktu njunih konjugiranih vrednosti. z = a + bi, w = c + di Lastnost: zw = z w zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci bd = (ac bd) + (ad + bc)i = (ac bd) (ad + bc)i = (a bi)(c di) = z w

14 6. Kako upodobimo kompleksna števila v kompleksni ravnini? Ponazorite v kompleksni ravnini osnovne operacije v C: seštevanje, množenje (z 1), množenje s pozitivnim realnim številom, konjugiranje. Kompleksna števila lahko ponazorimo kot točke ali kot krajevne vektorje v kompleksni ali Gaussovi ravnini. Realna števila so na vodoravni premici (realni osi), imaginarna števila so na navpični premici (imaginarni osi). (Skice) Seštevanje: seštevanje krajevnih vektorjev. z = a + bi = (a, b) Množenje z 1: zrcaljenje preko izhodišča. b Množenje z realnim številom: razteg. a Konjugiranje: zrcaljenje preko realne osi. v z + v v z v z z 3z z z z z z

15 7. V kompleksni ravnini določite množico vseh kompleksnih števil z: a) dano absolutno vrednostjo, b) dano realno komponento, c) dano imaginarno komponento, d) realno komponento, enako imaginarni komponenti. a) Dana absolutna vrednost: z = c, z = x + yi x + y = c Krožnica z enačbo x + y = c. Središče v izhodišču in polmer c. c b) Dana realna komponenta: Re z = a, z = x + yi Premica z enačbo x = a. a c) Dana imaginarna komponenta: Im z = b, z = x + yi bi Premica z enačbo y = b. d) Realna komponenta enaka imaginarni komponenti: Re z = Im z, z = x + yi Premica z enačbo y = x.

16 ALGEBRSKI IZRAZI, ENAČBE IN NEENAČBE 1. Razcepite izraz a n b n, (n N) in se prepričajte o pravilnosti tega razcepa. a n b n = (a b)(a n 1 + a n b + a n 3 b + + a b n 3 + ab n + b n 1 ), n N Utemeljitev: (a b)(a n 1 + a n b + a n 3 b + + ab n + b n 1 ) = = a n + a n 1 b + a n b + + ab n 1 a n 1 b a n b ab n 1 b n = a n b n Če pomnožimo vsak člen z vsakim, se po dva člena, razen prvega in zadnjega, odštejeta.. Razcepite izraz a n + b n, n je liho naravno št. in se prepričajte o pravilnosti tega razcepa. Zapišite razcep tega izraza za n = 3 in n = 5. a n + b n = (a + b)(a n 1 a n b + a n 3 b ab n + b n 1 ) Utemeljitev: (a + b)(a n 1 a n b + a n 3 b ab n + b n 1 ) = = a n a n 1 b + a n b + ab n 1 + a n 1 b a n b + ab n 1 + b n = a n + b n Če pomnožimo vsak člen z vsakim, se po dva člena, razen prvega in zadnjega, odštejeta. n = 3: a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) n = 5: a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 a 3 b + a b ab 3 + b ) 3. Kaj je rešitev enačbe? Kdaj sta dve enačbi ekvivalentni (enakovredni)? Opišite postopke, ki dano enačbo prevedejo v ekvivalentno enačbo. Rešitev ali koren enačbe je takšna vrednost za neznanko, za katero je leva stran enačbe enaka desni strani. Dve enačbi sta ekvivalentni ali enakovredni, če imata isto množico rešitev. Pravila za reševanje enačb: 1. Na obeh straneh enačaja lahko prištejemo ali odštejemo isto število. Dobimo ekvivalentno enačbo.. V enačbi lahko prenesemo kakšen člen z ene strani enačaja na drugo z nasprotnim predznakom. Dobimo ekvivalentno enačbo. 3. Na obeh straneh enačaja lahko pomnožimo ali delimo z istim od nič različnim številom. Dobimo ekvivalentno enačbo. 4. a b = 0 (a = 0) (b = 0)

17 4. Kaj je rešitev neenačbe? Opišite postopke za reševanje neenačb. Rešitev neenačbe je takšna vrednost za neznanko, za katero je leva stran neenačbe <, >,, od desne strani. Pravila za reševanje neenačb: 1. Na obeh straneh neenačaja lahko prištejemo ali odštejemo isto število.. V neenačbi lahko prenesemo kakšen člen z ene strani neenačaja na drugo z nasprotnim predznakom. 3. Na obeh straneh neenačaja lahko pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom. Če pomnožimo z istim negativnim številom, moramo neenačaj obrniti. 4. Neenačbe višjih stopenj: Neenačbe uredimo tako, da vse člene prenesemo na eno stran neenačaja, na drugi strani ostane samo 0. Izraze razstavimo in reševanje neenačbe prevedemo na reševanje sistemov linearnih neenačb. Grafično reševanje: Neenačbo uredimo kot v prejšnjem primeru, narišemo graf funkcije, ki ima za funkcijski predpis izraz iz neenačbe, iz grafa razberemo, kje je funkcija pozitivna, negativna Neenačbo uredimo kot prej, na številski premici narišemo ničle funkcije, ki ima za funkcijski predpis izraz iz neenačbe ter ugotovimo predznake funkcije na posameznih intervalih.

18 POTENCE IN KORENI 1. Naštejte in utemeljite pravila za računanje s potencami z naravnimi eksponenti. Naj bo a R in n N. Definiramo a n = a a a. Pravila: 1. Seštevanje potenc n faktorjev a 3 + b 5 ne gre, a 3 + b 3.ne gre, a 3 + a.ne gre a 3 + a 3 = a 3 Seštevamo lahko le potence z enakimi osnovami in eksponenti.. Množenje potenc a m a n = a m+n Potence z enakimi osnovami množimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo. 3. Potenciranje potenc (a m ) n = a m n Potenco potenciramo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa pomnožimo. 4. Potenciranje produkta (ab) n = a n b n Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej. 5. Potenciranje nasprotnega števila ( a) n = a n ( a) n 1 = a n 1 6. Potenciranje ulomka oz. kvocienta ( a b )n = an b n, b 0 Ulomek potenciramo tako, da potenciramo števec in imenovalec posebej.. Definirajte potenco z negativnim celim eksponentom in naštejte pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti. Za število n N definiramo a n = 1 a n, a 0. Definiramo še a0 = 1, a 0. Izraz 0 0 ni definiran. Naj bo a R, a 0, m, n Z. Pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti: 1. a m a n = a m+n Potence z enakimi osnovami množimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo.

19 . (a m ) n = a m n Potenco potenciramo tako, da osnovo prepišemo, eksponenta pa zmnožimo. 3. (a b) n = a n b n Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej. 4. a m : a n = a m n Potence z enakimi osnovami delimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa odštejemo. 5. ( a b )n = an b n, b 0 Ulomek potenciramo tako, da potenciramo števec in imenovalec posebej. 3. Definirajte n-ti koren. Naštejte pravila za računanje s koreni. Korenjenje je obratna operacija od potenciranja: kvadratni koren od kvadriranja, tretji koren od tretje potence... n-ti koren od n-te potence. n a = x x n = a, a 0 Imena: a osnova ali baza korena ali korenjenec, n stopnja korena ali korenski eksponent Pri korenih lihe stopnje je lahko a < 0. Naj bosta števili a, b 0 in m Z, n N. (Za m < 0 mora biti osnova različna od 0.) Pravila za računanje s koreni: n 1. a n n = a, ( a) n = a Zvezi veljata, ker sta korenjenje in potenciranje obratni operaciji. n. ( a) m n = a m nr 3. a mr n = a m Vrstni red korenjenja in potenciranja je poljuben. Potenčni in korenski eksponent lahko krajšamo ali razširimo. n 4. a n b n = ab in n a n b n = a b, b > 0 Množimo in delimo lahko korene z enakimi korenskimi eksponenti. Množimo in delimo jih tako, da koren prepišemo, števili pod korenom pa pomnožimo ali delimo. n m 5. a nm = a Koren iz korena izračunamo tako, da število pod korenom prepišemo, korenska eksponenta pa pomnožimo. 4. Definirajte potenco s pozitivno osnovo in racionalnim eksponentom ter povejte pravila za računanje s takimi potencami. Potenca z racionalnim eksponentom: a m n n = a m, a > 0, m Z, n N. Vsako potenco z racionalnim eksponentom in pozitivno osnovo lahko spremenimo v koren in obratno. Števec eksponenta je potenčni eksponent, imenovalec eksponenta pa korenski eksponent. Pravila za računanje s potencami z racionalnimi eksponenti so enaka pravilom za potence s celimi eksponenti.

20 Naj bosta p in q racionalni števili, a in b pa poljubni pozitivni realni števili. 1. a p a q = a p+q Potence z enakimi osnovami množimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo.. (a p ) q = a p q Potenco potenciramo tako, da osnovo prepišemo, eksponenta pa zmnožimo. 3. (a b) p = a p b p Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej. 4. a p = 1 ap, a 0 5. a p a q = a p q Potence z enakimi osnovami delimo tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa odštejemo. 6. ( a b )p = ap b p, b 0 Ulomek potenciramo tako, da potenciramo števec in imenovalec posebej.

21 GEOMETRIJA V RAVNINI IN PROSTORU 1. Naštejte nekaj osnovnih zakonov, ki povezujejo osnovne geometrijske elemente: točko, premico in ravnino. Dve različni točki določata natanko eno premico. Aksiom o vzporednici: K dani premici poteka skozi dano točko natanko ena vzporednica. Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino. Če ima premica z ravnino dve različni skupni točki, potem leži vsaka točka te premice v tej ravnini. Dve različni ravnini, ki imata eno skupno točko, imata eno skupno premico.. Kdaj sta premici vzporedni? Katere lastnosti ima vzporednost premic v ravnini? Povejte aksiom o vzporednici. Premici sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke ali če se prekrivata. (Vsaka premica je vzporedna sama sebi.) Oznaka: p q Vzporednost je ekvivalenčna relacija. Torej je: refleksivna: p p simetrična: p q q p tranzitivna: (p q) (q r) (p r) Aksiom o vzporednici: K dani premici obstaja skozi dano točko natanko ena vzporednica. 3. Kakšne so možne medsebojne lege: a) dveh premic v prostoru, b) dveh ravnin v prostoru, c) premice in ravnine v prostoru? a) Dve premici sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke in ležita v isti ravnini ali pa, če se pokrivata. Če imata dve različni premici eno skupni točko, se sekata. Če nimata nobene skupne točke, sta mimobežnici. Med mimobežnici spadata tudi vzporedni premici. b) Če imata dve ravnini eno skupno točko, imata skupno celo premico in se sekata. Če se ne sekata, sta vzporedni. c) Če imata premica in ravnina dve različni skupni točki, potem premica leži v ravnini. Če premica ne leži v ravnini, je lahko vzporedna z ravnino ali jo seka v eni točki. Vzporedna je, če nima z ravnino nobene skupne točke.

22 4. Definirajte daljico in dolžino daljice, nosilko daljice in simetralo daljice (v ravnini). Kaj je poltrak, polravnina, polprostor? Daljica je množica točk na premici, omejena z dvema točkama. Dolžina daljice AB je razdalja med točkama A in B. Za dolžino rabimo enoto: 1 m. Nosilka daljice je premica na kateri daljica leži. Simetrala daljice je premica, ki je pravokotna na daljico in jo razpolavlja. Poltrak je množica točk na premici, omejena na eni strani. Polravnina: Vsaka premica razdeli ravnino na dve polravnini. Polprostor: Vsaka ravnina razdeli prostor na dva polprostora. 5. Definirajte pravokotno projekcijo: a) točke na premico, b) daljice na premico, če daljica in premica ležita v isti ravnini, c) točke na ravnino, d) daljice na ravnino. a) Pravokotna projekcija točke T na premico p je presečišče premice p in pravokotnice na premico p skozi točko T. b) Pravokotna projekcija daljice AB na premico p je daljica, katere krajišči sta pravokotni projekciji točk A in B na premico p. c) Pravokotna projekcija točke T na ravnino je presečišče te ravnine in pravokotnice nanjo, ki poteka skozi točko T. d) Pravokotna projekcija daljice AB na ravnino je daljica, katere krajišči sta pravokotni projekciji točk A in B na to ravnino. 6. Kaj je množica vseh točk v ravnini, ki so: a) za a oddaljene od dane točke te ravnine, b) enako oddaljene od dveh točk te ravnine, c) za a oddaljene od dane premice iz te ravnine? a) Množica točk v ravnini, ki so za a oddaljene od dane točke te ravnine, je krožnica s središčem v dani točki in polmerom a. b) Množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od dveh točk te ravnine je simetrala daljice med danima točkama. c) Množica točk v ravnini, ki so za a oddaljene od dane premice iz te ravnine sta dve vzporednici z dano premico, ki sta za a oddaljeni od dane premice.

23 7. Definirajte toge premike v ravnini. Naštejte toge premike in jih ponazorite s primeri. Togi premik je preslikava v ravnini, ki ohranja medsebojne razdalje točk. Togi premik preslika daljice v skladne daljice, premice v premice, like v skladne like. Osnovni togi premiki so: vzporedni premik ali translacija za nek vektor, vrtenje ali rotacija okrog dane točke za nek kot, zrcaljenje preko premice in zrcaljenje preko točke. Togi premiki so tudi kompozitumi teh osnovnih togih premikov. Primeri togih premikov: a) Vzporedni premik za vektor a je preslikava v ravnini, ki vsaki točki T priredi točko T, tako da je TT = a. Vzporedni premik za vektor a preslika trikotnik ABC v skladen enako orientiran trikotnik A B C. b) Zasuk ali rotacija za kot φ okrog dane točke O v pozitivni ali negativni smeri. Z zasukom trikotnika ABC okrog izbrane točke za dani kot dobimo skladen enako orientiran trikotnik A B C. c) Zrcaljenje čez premico p preslika poljubno točko T v točko T, ki leži na pravokotnici na premico p skozi točko T in je enako oddaljena od premice p kot točka T. Zrcaljenje čez premico p preslika trikotnik ABC v skladen nasprotno orientiran trikotnik A B C. d) Zrcaljenje preko točke O preslika točko T v točko T, ki leži na premici skozi točki T in O in je razdalja T O = TO. Zrcaljenje naredi isto kot zasuk okoli točke O za kot 180. Zrcaljenje trikotnika ABC preko točke O ohranja orientacijo trikotnika. 8. Kdaj tri točke določajo ravnino? Kako lahko tudi drugače določimo ravnino v prostoru? Aksiom: Skozi tri točke, ki ne ležijo na isti premici, poteka natanko ena ravnina. Izreki: Skozi premico in točko, ki ne leži na tej premici, poteka natanko ena ravnina. Skozi dve sekajoči se premici poteka natanko ena ravnina. Skozi dve različni vzporedni premici poteka natanko ena ravnina. 9. Definirajte pojem kota in pojasnite izraze: krak, vrh, ničelni, pravi, iztegnjeni in polni kot, ostri in topi kot. Katere enote za merjenje kotov poznate? Kot je del ravnine, ki ga omejujeta dva poltraka s skupnim izhodiščem. Poltraka, ki omejujeta kot imenujemo kraka kota, skupno izhodišče krakov vrh kota. Ničelni kot je kot, pri katerem se oba kraka kota pokrivata. Ničelni kot je ta skupni poltrak. Pravi kot (90, πrd, 100gr ) je polovica iztegnjenega kota. Iztegnjeni kot (180, π rd, 00 gr ) je kot, pri katerem se oba kraka združita v premico. Polni kot (360, π rd, 400 gr ) je kot, pri katerem se oba kraka prekrivata. Polni kot je cela ravnina.

24 Ostri kot je kot, ki je manjši od pravega kota. Topi kot je kot, ki je večji od pravega in manjši od iztegnjenega. Enote za merjenje kotov: Stopinje, minute in sekunde: - stopinja: 1 = 1 polnega kota minuta: 1 = 1 stopinje 60 Polni kot meri sekunda: 1 = 1 60 minute Radiani: 1 rd je središčni kot nad lokom, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. Polni kot meri π rd. Grad: 1 gr = 1 polnega kota 400 Polni kot meri 400 gr. 10. Definirajte skladnost kotov. Kaj velja za pare kotov z vzporednimi in pravokotnimi kraki? Dva kota sta skladna, če obstaja togi premik, ki preslika en kot v drugega. Kota z vzporednima krakoma sta ali skladna ali suplementarna. skladna kota suplementarna kota suplementarna kota skladna kota

25 Če oba para krakov kažeta v isto smer ali pa oba v nasprotno smer, sta kota skladna. Če en par krakov kaže v isto smer, drugi par pa v nasprotno smer, sta kota suplementarna. Kota s pravokotnima krakoma sta skladna ali suplementarna. Kota sta skladna, saj je vsota kotov Kota sta suplementarna, saj je vsota v trikotnikih 180. kotov štirikotniku Definirajte kot med premicama, kot med premico in ravnino ter kot med ravninama. Kdaj sta dve ravnini pravokotni? Kot med premicama, ki se sekata, je manjši kot φ, ki ga tvorita premici. Kot med premicama je najmanj 0, premici sta vzporedni, in največ 90, premici sta pravokotni. Kot med premicama, ki se ne sekata, je kot med vzporednicama tema dvema premicama, ki se sekata. Kot ψ med premico in ravnino je kot med premico in njeno pravokotno projekcijo na ravnino. Kot ω med ravninama je kot med pravokotnicama na presečišče ravnin. Ena pravokotnica je v eni ravnini, druga pa v drugi ravnini. Dve ravnini sta pravokotni, če sta pravokotnici na presečišče teh dveh ravnin med seboj pravokotni.

26 1. Kdaj je premica pravokotna na ravnino? Kaj lahko poveste o: a) dveh premicah, pravokotnih na isto ravnino, b) dveh ravninah, pravokotnih na isto ravnino? Premica je pravokotna na ravnino, če je njena pravokotna projekcija na ravnino točka. a) Dve premici, ki sta pravokotni na isto ravnino, sta med seboj vzporedni. b) Ravnina je pravokotna na drugo ravnino, če je njena pravokotna projekcija na to ravnino premica. Kot med dvema ravninama, ki sta pravokotni na isto ravnino, je lahko poljuben. Lahko sta med seboj vzporedni ali pa se sekata v premici, ki je pravokotna na dano ravnino. 13. Kaj je trikotnik? Kdaj so lahko tri števila dolžine stranic trikotnika? Kakšen je odnos med stranicami in njim nasprotnimi koti? Trikotnik je lik, omejen s tremi daljicami. a + b > c a + c > b b + c > a Vsota dveh stranic je večja od tretje stranice. a b < c a c < b Razlika dveh stranic je manjša od tretje stranice. b c < a Daljši stranici leži večji kot nasproti. Večjemu kotu leži daljša stranica nasproti. V enakokrakem trikotniku sta kota ob osnovnici enaka. Enakim stranicam nasproti ležita enaka kota. 14. Definirajte: notranji in zunanji kot trikotnika. Pokažite, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180. Kolikšna je vsota zunanjih kotov trikotnika? Notranji kot trikotnika je kot, ki ima vrh v oglišču trikotnika, stranici trikotnika pa ležita na krakih kota. Vsota notranjih kotov trikotnika je 180⁰. Po aksiomu o vzporednici poteka skozi C natanko ena vzporednica k stranici c. Dobimo tri kote z vrhom v oglišču C. Poleg kota γ sta to še kota α in β. Po izreku o kotih z vzporednima krakoma je kot med vzporednico in stranico b enak α, kot med vzporednico in stranico a pa β. Vsota vseh treh kotov pri oglišču C je α + β + γ = 180. Zunanji kot trikotnika je sokot notranjega kota trikotnika. Vsota notranjega in zunanjega kota pri istem oglišču je 180. Vsota zunanjih kotov trikotnika je 360⁰. α + α + β + β + γ + γ = α + β + γ + α + β + γ = α + β + γ = α + β + γ = 360

27 15. Opredelite pojme v trikotniku: težiščnica, višina, simetrala stranice, simetrala kota, središče včrtanega kroga, središče očrtanega kroga, težišče in višinska točka. Težiščnica je daljica, ki povezuje oglišče trikotnika in razpolovišče nasprotne stranice. Višina je daljica, ki povezuje oglišče s pravokotno projekcijo tega oglišča na nosilko nasprotne stranice. Simetrala stranice je premica, ki je pravokotna na stranico in jo razpolavlja. Vsaka točka na simetrali stranice je enako oddaljena od krajišč stranice. Simetrala kota je premica, ki poteka skozi vrh kota in kot razpolavlja. Vsaka točka na simetrali kota je enako oddaljena od krakov kota. Vse tri simetrale notranjih kotov trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku včrtanega kroga. Vse tri simetrale stranic trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku očrtanega kroga. Vse tri težiščnice trikotnika se sekajo v isti točki. To točko imenujemo težišče trikotnika. Vse tri višine trikotnika ali njihove nosilke se sekajo v isti točki. To točko imenujemo višinska točka trikotnika. 16. Opišite konstrukcijo trikotniku a) očrtanega kroga, b) včrtanega kroga. a) Trikotniku očrtan krog: Simetrala daljice je premica, ki daljico razpolavlja in je nanjo pravokotna. Vse točke na simetrali daljice so enako oddaljene od obeh krajišč daljice. Vse simetrale stranic trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku očrtanega kroga. b) Trikotniku včrtan krog: Simetrala kota je premica, ki kot razpolavlja. Točke na simetrali kota so enako oddaljene od obeh krakov kota. Vse simetrale kotov trikotnika se sekajo v isti točki. To je središče trikotniku včrtanega kroga. 17. V pravokotnem trikotniku narišemo višino na hipotenuzo. Koliko podobnih trikotnikov nastane? Odgovor utemeljite. Izpeljite Evklidov izrek. Nastaneta dva manjša podobni trikotnika. Oba sta podobna celemu trikotniku. Vsi trije so podobni zato, ker imajo vsi kote α, β in 90. C Naj bo točka E pravokotna projekcija oglišča C na hipotenuzo c. Daljici AE in EB sta pravokotni projekciji β α katet b in a na hipotenuzo c. Označimo jih AE = b 1 in b v a EB = a 1. Velja a 1 + b 1 = c. α β EBC ABC A b 1 E a 1 B a 1 a = a c in zato a = a 1 c c = a 1 + b 1 Podobno izpeljemo tudi b = b 1 c.

28 To sta Evklidova izreka. Kvadrat katete pravokotnega trikotnika je enak produktu pravokotne projekcije te katete na hipotenuzo in hipotenuze. 18. V pravokotnem trikotniku narišemo višino na hipotenuzo. Koliko podobnih trikotnikov nastane? Odgovor utemeljite. Izpeljite višinski izrek. Če v pravokotnem trikotniku narišemo višino na hipotenuzo, dobimo tri podobne trikotnike. Ti so si podobni, ker se ujemajo v vseh treh notranjih kotih α, β in 90. C Naj bo točka E pravokotna projekcija oglišča C na hipotenuzo c. Daljici AE in EB sta pravokotni projekciji β α katet b in a na hipotenuzo c. Označimo jih AE = b 1 in b v a EB = a 1. Velja a 1 + b 1 = c. α β AEC EBC A b 1 E a 1 B v a 1 = b 1 v in zato v = a 1 b 1 c = a 1 + b 1 To je višinski izrek. Kvadrat višine na hipotenuzo je enak produktu pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo. 19. Povejte izreke o skladnosti trikotnikov. Definicija: Trikotnika sta skladna, če obstaja togi premik, ki en trikotnik preslika v drugega. Izreki: a) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v vseh treh stranicah. b) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu med njima. c) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v eni stranici in priležnih kotih. d) Trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži daljši stranici nasproti. 0. Kdaj sta dva trikotnika podobna? Naštejte nekaj izrekov o podobnih trikotnikih. Kako je z obsegom in ploščino podobnih trikotnikov? Definicija: Dva trikotnika sta podobna, če se ujemata paroma v vseh treh kotih. Dovolj je, če se ujemata v dveh kotih. Talesov izrek o podobnih trikotnikih : Stranice podobnih trikotnikov so v enakih razmerjih. a a = b b = c c ali a = ka, b = kb, c = kc Obsega podobnih trikotnikov sta v enakem razmerju kot stranice obeh trikotnikov. Ploščini podobnih trikotnikov sta v kvadratnem razmerju kot stranice obeh trikotnikov. o = ko, S = k b

29 1. Navedite kosinusi izrek in Pitagorov izrek. Kdaj ju uporabljamo? Kosinusni izrek: a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ Kosinusni izrek rabimo v poljubnem trikotniku, če je podano: - dve stranici in kot med njima, - vse stranice. Če je trikotnik pravokoten, dobimo iz kosinusnega izreka Pitagorov izrek c = a + b, a = c b ali b = c a. V kosinusni izrek vstavimo γ = 90 ali cos α = b c ali cos β = a c. Pitagorov izrek rabimo v pravokotnem trikotniku, če imamo podani dve kateti ali eno od katet in hipotenuzo.. Dokažite kosinusni izrek. V kaj preide kosinusni izrek v pravokotnem trikotniku? C b a Izrazimo: a = c + b = b c α Skalarni produkt: b c = bc cos α A c B Potem je a = a a = (b c )(b c ) = b b c b c + c = b b c + c = b + c bc cos α. Dobili smo kosinusni izrek za stranico a: a = b + c bc cos α. Iz te formule dobimo bc cos α = b + c a in zato cos α = b +c a. Kosinusni izrek v pravokotnem trikotniku preide v Pitagorov izrek. V kosinusni izrek za stranico c vstavimo γ = 90. Dobimo c = a + b ab cos 90 = a + b. Lahko pa v kosinusni izrek za stranico a ali b vstavimo ali cos α = b ali cos β = a. Dobimo c c a = b + c bc b = c c b. Dobimo Pitagorov izrek c = a + b, a = c b in b = c a. bc 3. Povejte sinusni izrek. Kdaj ga uporabljamo? a sin α = b sin β = c sin γ = R Sinusni izrek rabimo za računanje stranic in kotov v trikotniku, če je podano: - dve stranici in kot, ki leži eni od teh dveh stranic nasproti, - dva kota (vsi trije koti) in katerakoli stranica.

30 4. Dokažite, da v trikotniku ABC velja enakost a = b sin α sin β = c sinγ = R. V trikotniku ABC je kot γ ( ACB) obodni kot nad lokom AB, kot ASB pa središčni kot nad istim lokom. Zato je ta središčni kot γ. Trikotnik ABS je enakokrak, zato višina na osnovnico razpolavlja osnovnico c in kot pri vrhu γ. c Iz sin γ = dobimo c = R sin γ in zato c = R. R sinγ Podobno, z upoštevanjem obodnega kota α ( BAC) nad lokom BC in enakokrakega trikotnika SBC ter obodnega kota β ( ABC) nad lokom AC in enakokrakega trikotnika a b ASC, dokažemo = R in = R. sinα sinβ Zato je a = b sin α sin β = c sinγ = R. 5. Definirajte paralelogram. Naštejte posebne primere. Paralelogram je štirikotnik, ki ima po dve in dve nasprotni stranici vzporedni. Po dve in dve nasprotni stranici paralelograma sta enako dolgi. Diagonali se razpolavljata. Nasprotna kota paralelograma sta skladna, sosedna kota sta suplementarna. Posebni primeri: pravokotnik, romb, kvadrat, romboid. Pravokotnik je paralelogram, ki ima vse notranje kote prave. Romb je paralelogram, ki ima vse štiri stranice enako dolge. Kvadrat je paralelogram, ki ima vse štiri stranice enako dolge in vse kote prave. Je pravokotnik, ki ima vse štiri stranice enake. Je romb, ki ima vse kote prave. Romboid je paralelogram, ki ni ne pravokotnik, ne romb in ne kvadrat. 6. Dokažite, da se diagonali v paralelogramu razpolavljata. Dokaz s skladnimi trikotniki: Trikotnika ABS in DCS sta skladna, saj se ujemata v eni stranici (AB CD) in kotih ob njej ( SAB SCD in ABS CDS, saj sta para kotov z vzporednima krakoma). Zato je AS SC in BS SD, kar pomeni, da se diagonali razpolavljata. Dokaz z vektorji: Vektorja AB = a in AD = b naj bosta baza ravnine. Potem je AS = mac = m(a + b ) in AS = a + BS = a + nbd = = a + n( a + b ). Izenačimo m(a + b ) = a + n( a + b ) in uredimo (m + n 1)a + (m n)b = 0.

31 Ker sta bazna vektorja a in b linearno neodvisna oz. nekolinearna, morata biti oba koeficienta enaka 0. Iz m + n 1 = 0 in m n = 0 dobimo m = n = 1. Zato je AS = 1 AC in BS = 1 BD. Diagonali se razpolavljata. 7. Dokažite, da sta diagonali v rombu pravokotni. Dokaz s skladnimi trikotniki: Dokaz z vektorji: Romb ima vse štiri stranice enako dolge. Trikotnika ABC in ACD sta skladna enakokraka trikotnika. Imata skupno stranico AC, drugi dve stranici pa sta stranici romba. Zato so skladni koti BAS SAD BCS SCD. Skladna sta tudi trikotnika ABD in BCD. Zato so skladni tudi koti ABS SBC CDS SDA. Skladna sta tudi trikotnika ABS in ASD, saj se ujemata v eni stranici (AB AD) in kotih ob njej ( BAS SAD in ABS SDA. Ta dva trikotnika imata zato skladna kota pri oglišču S ( BSA ASD). Ker kota skupaj tvorita iztegnjeni kot, sta to prava kota. Diagonali se sekata pod pravim kotom. Vektorja AB = a in AD = b naj bosta baza ravnine. Njuni dolžini sta enaki dolžini stranice a romba. Potem je AC = a + b in BD = a + b. Skalarni produkt teh veh vektorjev je AC BD = (a + b )( a + b ) = a + a = 0. Vektorja AC in BD sta pravokotna. Diagonali se sekata pod pravim kotom. 8. Definirajte trapez in enakokraki trapez ter naštejte njune lastnosti. Kaj je srednjica trapeza? Kako izračunamo ploščino trapeza? Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Vzporedni stranici sta osnovnici, drugi dve pa kraka trapeza. Notranja kota ob istem kraku sta suplementarna: α + δ = 180 in β + γ = 180. Enakokraki trapez je trapez, ki ima skladna kraka. V enakokrakem trapezu sta diagonali skladni, skladna sta tudi kota α in β ter γ in δ. Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči krakov. Vzporedna je osnovnicama, njena dolžina je enaka aritmetični sredini dolžin osnovnic. Če sta a in b dolžini osnovnic trapeza, je dolžina srednjice s = a+c. Če sta a in b dolžini osnovnic trapeza, v pa njegova višina, je ploščina trapeza S = (a+c)v.

32 9. Kolikšna je vsota notranjih kotov poljubnega n-kotnika? Koliko diagonal ima konveksni n-kotnik? Definirajte pravilni n-kotnik. Izpeljite obrazec za število diagonal konveksnega n-kotnika. n-kotnik je večkotnik, ki je omejen z n daljicami. Razdelimo ga lahko na n trikotnikov. Notranji koti vseh trikotnikov tvorijo ravno notranje kote večkotnika. Vsota notranjih kotov n-kotnika je zato (n )180. Število diagonal v konveksnem n-kotniku je d = n(n 3). Pravilni n-kotnik je n-kotnik, ki ima skladne vse stranice in skladne vse notranje kote. Pravilnemu nkotniku lahko očrtamo in včrtamo krožnico. Pravilni n-kotnik lahko razdelimo na n skladnih enakokrakih trikotnikov, ki imajo skupen vrh v središču očrtane oz. včrtane krožnice. Število diagonal konveksnega n-kotnika: Iz vsakega oglišča n-kotnika lahko potegnemo n 3 diagonal, do vseh oglišč, razen do samega sebe in do dveh sosednjih oglišč. Daljici do sosednjih oglišč sta stranici. Vseh oglišč je n, vendar je v številu n(n 3) vsaka diagonala šteta dvakrat. Zato je vseh diagonal n(n 3). 30. Definirajte krožnico. Opišite vse mogoče medsebojne lege dveh krožnic v ravnini. Za te lege poiščite zveze med polmeroma in razdaljo med središčema krožnic. Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od središča. Naj bo Φ ravnina, S Φ središče krožnice, oddaljenost od središča polmer naj bo r. Krožnica K = {T Φ; d(s, T) = r}. Naj bo S 1 središče in r 1 polmer ene krožnice ter S središče in r polmer druge krožnice. Krožnici sta lahko koncentrični, če imata skupno središče. Središči S 1 in S se pokrivata, d(s 1, S ) = 0. Če je r 1 = r, gre za isto krožnico, če je r 1 r, nimata krožnici nobene skupne točke. Naj imata krožnici enak polmer r 1 = r = r. - Če je d(s 1, S ) > r, krožnici nimata skupnih točk. - Če je d(s 1, S ) = r, se krožnici dotikata. - Če je 0 < d(s 1, S ) < r, imata krožnici dve različni skupni točki. - Če je d(s 1, S ) = 0, se krožnici pokrivata (koncentrični krožnici). Naj imata krožnici različna polmera, npr. r < r 1. - Če je d(s 1, S ) < r 1 r, krožnici nimata skupnih točk. Središče S druge krožnice je znotraj prve krožnice. - Če je d(s 1, S ) = r 1 r, se krožnici dotikata. Središče S druge krožnice je znotraj prve krožnice.

33 - Če je r 1 r < d(s 1, S ) < r 1 + r, imata krožnici dve različni skupni točki. Če je r 1 r < d(s 1, S ) < r 1, je središče S druge krožnice znotraj prve krožnice, če je d(s 1, S ) = r 1, je središče S druge krožnice na prvi krožnici, če je r 1 < d(s 1, S ) < r 1 + r, je središče S druge krožnice zunaj prve krožnice. - Če je d(s 1, S ) = r 1 + r, se krožnici dotikata z zunanje strani. - Če je d(s 1, S ) > r 1 + r, krožnici nimata skupnih točk. Središče S druge krožnice je zunaj prve krožnice. Če je r 1 < r, se samo vlogi krožnic iz prejšnje točke zamenjata. 31. V kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica, ki ležita v isti ravnini? Kaj je tangenta na krožnico? Kako konstruiramo tangento na krožnico v dani točki krožnice? Premica in krožnica: - Nimata nobene skupne točke. Premica je mimobežnica krožnice. - Imata eno skupno točko. Premica je tangenta krožnice. - Imata dve različni skupni točki. Premica je sekanta krožnice. Tangenta na krožnico je premica, ki se dotika krožnice v eni točki. Tangenta je pravokotna na polmer krožnice v dotikališču. Tangento v točki T na krožnici konstruiramo tako, da točko T povežemo s središčem S krožnice. Skozi točko T narišemo pravokotnico na zveznico ST. 3. Kako konstruiramo tangento na krožnico iz dane točke? Katere primere ločimo? Konstrukcijo utemeljite. Če je točka T znotraj krožnice, tangenta na krožnico skozi točko T ne obstaja. Če je točka T na krožnici, obstaja ena tangenta skozi točko T. Tangento konstruiramo tako, da točko T povežemo s središčem S krožnice. Ker je tangenta pravokotna na polmer, narišemo skozi točko T pravokotnico na zveznico ST.

34 Če je točka T zunaj krožnice, obstajata dve tangenti na krožnico skozi točko T. Konstruiramo ju tako, da to točko T povežemo s središčem S. Daljico ST razpolovimo. Narišemo novo krožnico, ki ima središče v razpolovišču daljice ST in poteka skozi točko T in središče S. Presečišči D 1 in D te nove krožnice z dano krožnico sta dotikališči tangent s krožnico. Po Talesovem izreku o obodnem kotu nad polkrogom sta kota SD 1 T in SD T prava kota. Nosilki daljic TD 1 in TD sta pravokotni na polmer, zato sta to tangenti na krožnico. 33. Definirajte središčni in obodni kot v krogu. V kakšni zvezi sta, če ležita nad istim lokom? Navedite Talesov izrek o kotu v polkrogu. Dokažite Talesov izrek o kotu v polkrogu. Središčni kot nad lokom (kot α = ASB nad lokom AB) je kot z vrhom v središču kroga in kraki, ki potekata skozi krajišči loka. Obodni kot nad lokom (kot β = ACB = AC B nad lokom AB) je kot z vrhom v točki na krožnici in kraki, ki potekata skozi krajišči loka. Vsi obodni koti nad istim lokom so enaki. Središčni kot je dvakrat večji od obodnega nad istim lokom. Talesov izrek o kotu nad polkrogom: Obodni kot nad polkrogom je pravi kot. Če je ena stranica trikotnika premer kroga, tretje oglišče pa leži nekje na krožnici, potem je ta trikotnik pravokoten. Dokaz: Točka S je središče krožnice. Ker je SA = SB = SC, sta trikotnika ASC in SBC enakokraka. Od tod sledi enakost kotov SAC = SCB = α in SBC = SCB = β. Vsota kotov v trikotniku ABC je α + β = 180. Zato je kot pri oglišču C: γ = α + β = 90. Dokažemo lahko hitreje: Kot γ pri oglišču C je obodni kot nad lokom AB. Ker je središčni kot nad tem lokom 180, je obodni kot γ = 180 = 90.

35 GEOMETRIJSKI LIKI IN TELESA 1. Navedite formule za ploščine paralelograma, trikotnika, deltoida in trapeza. Paralelogram: S = av a = bv b, S = ab sin α = ab sin β Trikotnik: S = av a = bv b = cv c, S = ab sin γ = ac sin β = bc sin α Heronov obrazec: s = a+b+c, S = s(s a)(s b)(s c) - Enakostranični trikotnik: S = a Pravokotni trikotnik: S = ab Deltoid: S = ef Romb: S = av a, S = a sin α = a sin β, ker je paralelogram S = ef, ker je deltoid Trapez: S = (a+c)v. Izpeljite formuli za ploščino paralelograma in trapeza. Ploščina paralelograma: V paralelogramu narišemo višino, vzporedno premaknemo trikotnik in iz paralelograma naredimo pravokotnik s stranicama a in v a ali pa stranicama b in v b. S = av a = bv b α + β = 180 β = 180 α V pravokotnem trikotniku izračunamo sin α = v a b. Iz v a = b sin α in sin β = sin(180 α) = sin α dobimo S = ab sin α = ab sin β. Ploščina trapeza: Trapez razdelimo na paralelogram s stranico c in višino v ter trikotnik s stranico a c in višino v. S = S 1 + S = cv + (a c)v S 1 S = cv+av cv = (a+c)v =

36 3. Izpeljite formuli za ploščino trikotnika in deltoida. Ploščina trikotnika: Trikotnik dopolnimo do paralelograma tako, da narišemo vzporednici k stranicama. Dodali smo skladni trikotnik, zato je ploščina trikotnika polovica ploščine paralelograma. Če podobno izrazimo v a in v b, dobimo S = Ploščina deltoida: ab sin γ = S = cv c Za stranici paralelograma lahko vzamemo drugi dve stranici trikotnika. Dobimo S = av a = bv b = cv c. Ker je sin α = v c b je S = cv c ac sin β = = bc sin α bc sin α. oz. v c = b sin β, Deltoid razdelimo na dva trikotnika ACB in ABD. Oba imata skupno stranico e. Diagonalo f razdelimo na dela f 1 in f, zato je f 1 + f = f. Ker se diagonali sekata pravokotno, sta f 1 in f višini teh dveh trikotnikov. Zato je S = S 1 + S = ef 1 + ef = e(f 1+f ) = ef. Ploščina deltoida je S = ef.. 4. Navedite formule za izračun ploščin kvadrata, pravokotnika, romba, enakostraničnega trikotnika in pravokotnega trikotnika. Kvadrat: S = a, S = d, d diagonala kvadrata: d = a Pravokotnik: S = a b Romb: S = av a, S = a sin α = a sin β, ker je paralelogram S = ef, ker je deltoid Enakostranični trikotnik: S = a 3, višina enakostraničnega trikotnika: v = a 3 4 Pravokotni trikotnik: S = ab

37 5. Navedite formuli za ploščino in obseg kroga. Kako izračunamo dolžino krožnega loka in ploščino krožnega izseka? Obseg kroga: o = πr Dolžina krožnega loka: 360 πr α l Ploščino kroga: S = πr l = πrα = πrα Ploščina krožnega izseka: 360 πr α S iz S iz = πr α 360 = πrα r 180 = lr 6. Pravilni n-kotnik je včrtan krogu s polmerom R. Izrazite njegovo stranico in ploščino z danim polmerom. Polmer očrtanega kroga naj bo R, stranica pravilnega večkotnika pa a. Pravilni n-kotnik je sestavljen iz n enakokrakih trikotnikov. Kot φ pri vrhu enakokrakega trikotnika meri φ = 360. Višina v enakokrakega n trikotnika razdeli trikotnik na dva skladna pravokotna trikotnika. Potem je sin φ = a R = a R Ploščina n-kotnika je Ploščino lahko izračunamo tudi z višino. Velja cos φ = v R Ploščina n-kotnika je S = n S = n av = n R sin 180 n in zato a = R sin 180 n. R R sin φ S = n S = n = n R sin 360. n in zato v = R cos 180 n. cos 180 n = n R sin 360 n. 7. Opišite prizmo. Kdaj je prizma: a) pokončna, b) enakoroba, c) n-strana, d) pravilna? Navedite formuli za prostornino prizme in površino pokončne prizme. Prizma je množica točk, omejenih z dvema osnovnima ploskvama in plaščem. Osnovni ploskvi prizme sta skladna večkotnika, ki ležita v vzporednih ravninah in imata vzporedne robove. Vse stranske ploskve (to so paralelogrami) tvorijo plašč prizme. a) Prizma je pokončna, kadar so stranski robovi pravokotni glede na osnovno ploskev.

38 b) Enakoroba prizma je prizma, ki ima vse robove enake (stranske in osnovne). c) n-strana prizma je prizma, ki ima za osnovni ploskvi skladna n-kotnika. d) Pravilna prizma je pokončna prizma, ki ima za osnovno ploskev pravilni večkotnik. Prostornina prizme: V = S v S ploščina osnovne ploskve, v višina prizme Površina prizme: P = S + S pl S pl ploščina oz. površina plašča Površina pokončne prizme: P = S + S pl, S pl = o v o obseg osnovne ploskve 8. Opišite pokončni krožni valj. Kaj je presek takega valja z ravnino, ki vsebuje os valja? Kaj je presek valja z ravnino, ki je pravokotna na os? Navedite formuli za površino in prostornino pokončnega krožnega valja. Valj je množica točk med dvema osnovnima ploskvama in plaščem. Osnovni ploskvi sta dva skladna lika, ki ležita v vzporednih ravninah tako, da dobimo eno osnovno ploskev iz druge z vzporednim premikom. Stranica valja je daljica ki povezuje dve enakoležni točki na obeh osnovnih ploskvah. Pokončni krožni valj je valj, ki ima za osnovni ploskvi dva skladna kroga in je stranica pravokotna glede na osnovno ploskev. Presek pokončnega krožnega valja z ravnino, ki vsebuje os valja, je pravokotnik. Za poševni valj je ta presek paralelogram. Presek pokončnega krožnega valja z ravnino, ki je pravokotna na os, je krog. Površina pokončnega valja: P = S + S pl, S pl = o v S ploščina osnovne ploskve, S pl ploščina oz. površina plašča, o obseg osnovne ploskve, v višina P = πr + πrv Prostornina valja: V = S v = πr v 9. Opišite piramido. Opišite piramido, ki je: a) pokončna, b) enakoroba, c) n-strana, d) pravilna. Navedite formuli za površino in prostornino pravilne piramide.

39 Piramida je oglato telo, ki ima za osnovno ploskev večkotnik, za stranske ploskve pa trikotnike, ki se stikajo v skupni točki. Tej točki rečemo vrh piramide. Piramida je torej telo, ki je omejeno z eno osnovno ploskvijo in stranskimi ploskvami. Stranske ploskve tvorijo plašč piramide. Stranice osnovne ploskve so osnovni robovi. V osnovnem robu se stikata osnovna in stranska ploskev. Rob, v katerem se stikata dve stranski ploskvi, je stranski rob. Stranski robovi se stikajo v vrhu piramide. Višina piramide je razdalja med vrhom od osnovne ploskve. Stranske višine so višine stranskih ploskev piramide. a) Piramida je pokončna, če so vsi stranski robovi enako dolgi. b) Piramida je enakoroba, če so vsi njeni robovi (osnovni in stranski) enako dolgi. c) Piramida je n-strana, če je osnovna ploskev n-kotnik. d) Piramida je pravilna, če je pokončna in je osnovna ploskev pravilni večkotnik. Stranske ploskve so skladni enakokraki trikotniki. Vse stranske višine so enake. Površina piramide: P = S + S pl S ploščina osnovne ploskve, S pl ploščina oz. površina plašča Površina pravilne piramide: P = S + S pl, S pl = o v 1 o obseg osnovne ploskve, v 1 stranska višina Prostornina piramide: V = S v 3 v višina piramide Ta formula za prostornino velja za poljubno piramido. 10. Opišite pokončni krožni stožec. Navedite formuli za površino in prostornino. Kaj veste o presekih stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi? Kaj je presek takega stožca z ravnino, ki vsebuje os stožca? Pokončni krožni stožec je množica točk med osnovno ploskvijo in plaščem. Osnovna ploskev je krog. Najvišjo točko stožca imenujemo vrh stožca. Zveznice vrha s poljubno točko na robu osnovne ploskve so stranice stožca. Premico skozi vrh in središče osnovne ploskve imenujemo os stožca. Pri pokončnem stožcu je os pravokotna na osnovno ploskev. Vse stranice pokončnega krožnega stožca so enako dolge. Površina pokončnega krožnega stožca: P = S + S pl = πr + πrs S ploščina osnovne ploskve, S pl ploščina oz. površina plašča, r polmer osnovne ploskve, s stranica Prostornina pokončnega stožca: V = Sv 3 = πr v 3 v višina stožca

40 Presek krožnega stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi, je krog. Čim bližje vrhu je ravnina, tem manjši je polmer kroga. Presek stožca z ravnino, ki poteka skozi os stožca, je osni presek. Osni presek pokončnega krožnega stožca je enakokraki trikotnik z osnovnico r in krakom s. Če je osni presek stožca enakostranični trikotnik, je stožec enakostraničen (s = r). 11. Katero geometrijski telo dobimo, če za 360 zavrtimo: a) pravokotnik okoli ene od stranic, b) pravokotni trikotnik okoli ene od katet, c) polkrog okoli premera? a) Če zavrtimo pravokotnik za 360 okoli ene od stranic, dobimo pokončni krožni valj, ki ima za višino stranico, okoli katere vrtimo, drugo stranico pa za polmer osnovne ploskve. b) Če zavrtimo pravokotni trikotnik za 360 okoli ene od katet, dobimo pokončni krožni stožec, ki ima za višino kateto, okrog katere vrtimo, drugo kateto za polmer osnovne ploskve, hipotenuzo pa za stranico. c) Če zavrtimo polkrog za 360 okoli premera, dobimo kroglo z enakim polmerom, kot ga ima polkrog. 1. Kaj je krogla? Navedite formuli za površino in prostornino. Krogelna lupina ali obla ali sfera je množica točk v prostoru, ki so enako oddaljene od središča. Krogla je množica točk na sferi in znotraj nje. Površina: P = 4πr r polmer krogle Prostornina: V = 4πr3 3

41 VEKTORJI V RAVNINI IN PROSTORU 1. Kdaj sta dva vektorja enaka? Kaj je ničelni vektor in kaj nasprotni vektor? Kako (grafično) seštevamo in kako odštevamo vektorje? Dva vektorja sta enaka, ko sta vzporedna, imata enako dolžino in sta enako usmerjena. Ničelni vektor je vektor z dolžino 0. Nasprotni vektor k danemu vektorju je vektor, ki je z danim vektorjem vzporeden, ima enako dolžino in nasprotno usmeritev. Vektorje seštevamo in odštevamo po paralelogramskem ali po trikotniškem pravilu. Vektorja lahko odštejemo tudi tako, da prištejemo nasprotni vektor. Paralelogramsko pravilo: - vsota a + b - razlika a b = c a = b + c b a + b b a b a a Trikotniško pravilo: - vsota a + b - razlika a b = a + ( b ) a + b a b a b a b. Definirajte množenje vektorja s številom (skalarjem) in naštejte lastnosti te operacije. Kdaj sta vektorja kolinearna? Kaj je enotski vektor? Produkt vektorja a s skalarjem m je vektor z naslednjimi lastnostmi: 1. Vektor ma je vzporeden vektorju a.. Dolžina vektorja ma je m -krat daljša od dolžine vektorja a. Torej je ma = m a. 3. Če je m > 0, ima vektor ma isto usmeritev kot vektor a. Če je m = 0, je ma ničelni vektor. Če je m < 0, ima vektor ma nasprotno usmeritev kot vektor a.

42 Lastnosti: - asociativnost v skalarnem faktorju: m(na ) = n(ma ) = (mn)a - distributivnost v skalarnem faktorju: (m + n)a = ma + na - distributivnost v vektorskem faktorju: m(a + b ) = ma + mb Vektorja sta kolinearna (vzporedna), če ležita na vzporednih premicah. Če jih premaknemo v skupno začetno točko, ležita na isti premici. Enotski vektor je vektor, ki ima dolžino Definirajte linearno kombinacijo. Kaj je baza ravnine (prostora)? Na koliko načinov lahko izrazimo vektor kot linearno kombinacijo danih baznih vektorjev v ravnini (v prostoru)? Kaj je ortonormirana baza? Naj bosta a in b dva vektorja ter m in n realni števili. Linearna kombinacija vektorjev a in b je vektor ma + nb. Števili m in n imenujemo koeficienta ali komponenti linearne kombinacije. Linearna kombinacija treh vektorjev a, b in c je vektor ma + nb + oc. m, n in o so realna števila. Imenujemo jih koeficienti ali komponente linearne kombinacije. Naj bodo a 1, a,, a n vektorji in m 1, m,, m n realna števila. Linearna kombinacija danih vektorjev je vektor m 1 a 1 + m a + + m n a n. Baza ravnine sta dva nekolinearna vektorja. Vsak vektor v ravnini lahko izrazimo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev a in b natanko na en način: c = ma + nb. Baza prostora so trije nekomplanarni vektorji. Vsak vektor v prostoru lahko izrazimo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev a, b in c natanko na en način: d = ma + nb + oc. Ortonormirano bazo sestavljajo enotski vektorji, ki so med seboj paroma pravokotni. V ravnini označimo dva enotska, med seboj pravokotna vektorja i in j. Tvorita ortonormirano bazo v ravnini. Velja i j = 0 in i i = j j = 1. Poljuben vektor v ravnini lahko zapišemo z linearno kombinacijo a = a 1 i + a j. Zapis poenostavimo a = a 1 i + a j = (a 1, a ). Vektorje ortonormirane baze v prostoru označimo navadno z i, j in k. So torej med seboj pravokotni enotski vektorji. Zato je i j = i k = j k = 0 in i i = j j = k k = 1. Poljuben vektor v prostoru lahko zapišemo z linearno kombinacijo a = a 1 i + a j + a 3 k. Zapis poenostavimo a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ). 4. Definirajte linearno kombinacijo vektorjev. Kdaj so vektorji v ravnini (v prostoru) linearno neodvisni? Kaj je baza ravnine (prostora)? Na koliko načinov lahko izrazimo vektor kot linearno kombinacijo danih baznih vektorjev v ravnini (v prostoru)? Naj bosta a in b dva vektorja ter m in n realni števili. Linearna kombinacija vektorjev a in b je vektor ma + nb. Števili m in n imenujemo koeficienta ali komponenti linearne kombinacije. Linearna kombinacija treh vektorjev a, b in c je vektor ma + nb + oc. m, n in o so realna števila. Imenujemo jih koeficienti ali komponente linearne kombinacije.

43 Naj bodo a 1, a,, a n vektorji in m 1, m,, m n vektorjev je vektor m 1 a 1 + m a + + m n a n. realna števila. Linearna kombinacija danih Definicija: Dani vektorji so med sabo linearno neodvisni, če se nobenega izmed njih ne da zapisati kot linearno kombinacijo ostalih. Izrek: Vektorja a in b sta linearno neodvisna natanko takrat, ko je linearna kombinacija ma + nb = 0 samo, če je m = n = 0. Vektorji a, b in c so linearno neodvisni natanko takrat, ko je linearna kombinacija ma + nb + oc = 0 samo, če je m = n = o = 0. Baza ravnine sta dva poljubna nevzporedna oz. nekolinearna vektorja. Ravnina je dvorazsežna. Baza prostora so trije poljubni vektorji, ki ne ležijo v isti ravnini oz. trije nekomplanarni vektorji. Prostor je trirazsežen. Vsak vektor lahko izrazimo kot linearno kombinacijo danih baznih vektorjev na natanko en način. 5. Opišite pravokotni koordinatni sistem v prostoru. Kaj je krajevni vektor točke A? Zapišite krajevni vektor točke A v ortonormirani bazi. Kakšna je zveza s koordinatami točke A? Koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri med seboj pravokotne premice, ki se sekajo v isti točki. To točko imenujemo izhodišče koordinatnega sistema. Premice imenujemo os x ali abscisna os, os y ali ordinatna os in os z ali aplikatna os. Na vsaki osi si izberemo enoto. Vsaki točki prostora lahko priredimo natanko določeno urejeno trojico števil in obratno, vsaki urejeni trojici števil pripada natanko ena točka v prostoru. Krajevni vektor točke A je vektor r A, ki ima začetno točko v izhodišču koordinatnega sistema, končno točko pa v točki A. Naj bo A(a 1, a, a 3 ) točka v prostoru, potem je krajevni vektor točke A: r A = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ). Komponente krajevnega vektorja so enake koordinatam končne točke tega vektorja. 6. Izrazite koordinate razpolovišča daljice AB (v prostoru) s koordinatami krajišč A in B. Formulo izpeljite z vektorji. Krajišči daljice AB naj bosta točki A(a 1, a, a 3 ) in B(b 1, b, b 3 ), razpolovišče daljice pa naj bo točka S. Točka O naj bo izhodišče koordinatnega sistema. Krajevni vektor točke S lahko izrazimo r S = r A + 1 AB = r A = (a 1 + b 1 a 1 r S = ( a 1+b 1 = (a 1, a, a 3 ) + 1 (b 1 a 1, b a, b 3 a 3 ) =, a +b Zato je S ( a 1+b 1, a + b a, a 3+b 3 )., a +b, a 3+b 3 )., a 3 + b 3 a 3 ) =

44 7. Izrazite koordinate težišča trikotnika ABC (v prostoru) s koordinatami oglišč A, B in C. Formulo izpeljite z vektorji. Oglišča trikotnika ABC naj bodo točke A(a 1, a, a 3 ), B(b 1, b, b 3 ) in C(c 1, c, c 3 ). Točka O naj bo izhodišče koordinatnega sistema, točka E razpolovišče stranice BC in točka T težišče trikotnika. Potem je E ( b 1+c 1, b +c, b 3+c 3 ). Težišče T razdeli težiščnico AE v razmerju AT TE = 1. Krajevni vektor težišča T lahko izrazimo r T = r A + AT = r A + AE = 3 = (a 1, a, a 3 ) + 3 (b 1+c 1 = (a 1 + b 1+c 1 a 1 3 r A = ( a 1+b 1 +c 1 3, a +b +c 3 r T Zato je T ( a 1+b 1 +c 1 3 a 1, b +c, a + b +c a, a 3+b 3 +c 3 ). 3, a +b +c 3 a, b 3+c 3 a 3 ) =, a 3 + b 3+c 3 a 3 ) =, a 3+b 3 +c 3 ) Definirajte skalarni produkt in naštejte njegove lastnosti. Navedite kriterij za ugotavljanje pravokotnosti dveh vektorjev. Skalarni produkt vektorjev a in b je produkt dolžin vektorjev a in b in kosinusa vmesnega kota: a b = a b cosφ = ab cos φ. Skalarni produkt vektorjev a in b je realno število. Skalarni produkt vektorjev a in b je enak tudi produktu dolžine vektorja a in pravokotne projekcije vektorja b na smer vektorja a, prav tako pa tudi produktu dolžine vektorja b in pravokotne projekcije vektorja a na smer vektorja b : a b = a proj a b = b proj b a. b b φ proj a b a proj a b a φ proj a b = b cos φ proj a b > 0 proj a b < 0 Predznak skalarnega produkta je odvisen od velikosti kota φ. Če je kot 0 φ < 90, je a b > 0, če je kot 90 < φ 180, je a b < 0, če je kot φ = 90, je a b = 0.

45 Pravila za računanje in lastnosti skalarnega produkta: a b = b a komutativnost Skalarni produkt ni asociativen. (ma ) b = a (mb ) = m(a b ) homogenost (a + b ) c = a c + b c distributivnost Ker je a a = a, je dolžina vektorja a = a = a a. Kot med vektorjema je cos φ = a b. a b Vektorja sta pravokotna natanko takrat, ko je njun skalarni produkt enak nič. 9. Kako izračunamo skalarni produkt vektorjev, izraženih z ortonormirano bazo? Kako izračunamo dolžino vektorja in kot med vektorjema v tem primeru? Naj bosta a = (a 1, a, a 3 ) in b = (b 1, b, b 3 ) vektorja, izražena z ortonormirano bazo. Skalarni produkt vektorjev a in b je a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3. Dolžina vektorja a je a = a = a a = a 1 + a + a 3. Kot med vektorjema izračunamo po formuli cos φ = a b a b = a 1 b 1 +a b +a 3 b 3 a 1 +a +a 3 b 1 +b +b3.

46 PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI 1. Opišite pravokotni koordinatni sistem v ravnini in izpeljite formulo za računanje razdalje med dvema točkama. Koordinatni sistem v ravnini tvorita dve med seboj pravokotni premici. Njuno presečišče imenujemo izhodišče koordinatnega sistema. Premici imenujemo koordinatni osi, eno os x ali abscisna os in drugo os y ali ordinatna os. Na obeh oseh si izberemo enoto. Vsaki točki ravnine lahko priredimo natanko določen urejen par števil in obratno, vsakemu urejenemu paru števila pripada natanko ena točka v prostoru. Naj bosta točki A(x 1, y 1 ) in B(x, y ) poljubni točki v koordinatnem sistemu. Razdalja med točkama: AB = AB = d(a, B) Po Pitagorovem izreku je d(a, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ). Zato je d = d(a, B) = AB = (x x 1 ) + (y y 1 ).. Kaj je množica vseh točk T(x, y) v ravnini, ki ustrezajo posameznim pogojem: a) y = 0, b) x > 0, c) x 0 in y 0, d) x =, e) y 4, f) x + y 4?

47 a) Abscisna os. b) Desna polravnina koordinatnega c) Drugi kvadrant koordinatnega sistema brez ordinatne osi. sistema vključno z osema. d) Premica, vzporedna ordinatni e) Pas, vzporeden osi x, med f) Krog s središčem v izhodišču osi, ki poteka skozi točko premicama y = in y = 4 koordinatnega sistema s M(, 0). vključno s tema premicama. polmerom vključno s krožnico.

48 FUNKCIJE 1. Opredelite pojem funkcije (preslikave, transformacije) f A B ter njenega definicijskega območja in zaloge vrednosti. Kaj je graf funkcije? Funkcija, preslikava ali transformacija množice A v množico B je predpis, ki vsakemu elementu iz množice A priredi natanko določen element iz množice B. Definicijsko območje D f je množica vseh originalov funkcije. D f = A Zaloga vrednosti Z f funkcije f je množica vseh slik dane funkcije. Z f = {f(x); x A} Graf funkcije je množica vseh urejenih parov, pri katerih je na prvem mestu element prve množice, na drugem pa ustrezna slika. G f = {(x, y); x A y = f(x)}. Kdaj je funkcija f A B injektivna, surjektivna, bijektivna? Funkcija f A B je injektivna (injekcija), če se vsaka dva različna elementa prve množice preslikata v dva različna elementa druge množice. Funkcija f A B je surjektivna (surjekcija), če je vsak element druge množice slika vsaj enega elementa prve množice. Funkcija f A B je bijektivna (bijekcija), če je injektivna in surjektivna. Vsak element druge množice je slika natanko enega elementa prve množice. 3. Kdaj je realna funkcija realne spremenljivke naraščajoča, padajoča, omejena, neomejena? (Pojme lahko razložite na primerih.) Funkcija je naraščajoča na nekem intervalu, če za vsaka x 1 in x s tega intervala velja: x 1 < x f(x 1 ) f(x ). (strogo naraščajoča x 1 < x f(x 1 ) < f(x )) Primer: f(x) = x 3. Funkcija je padajoča na nekem intervalu, če za vsaka x 1 in x s tega intervala velja: x 1 < x f(x 1 ) f(x ). (strogo padajoča x 1 < x f(x 1 ) > f(x )) Primer: f(x) = x + 5. Funkcija je navzgor omejena, če obstaja realno število M, da za vsak x D f velja f(x) M. Primer: f(x) = x. Funkcija je navzdol omejena, če obstaja realno število m, da za vsak x D f velja f(x) m. Primer: f(x) = x 4. Funkcija je omejena, če je omejena navzgor in navzdol, torej če obstajata realni števili m in M, da za vsak x D f velja m f(x) M. Primer: f(x) = arc sin x.

49 4. Kdaj je funkcija soda in kdaj liha? Kakšni so grafi teh funkcij? Funkcija je soda, če za vsak x iz definicijskega območja velja f( x) = f(x) (za negativna števila ima enake vrednosti kot za nasprotna pozitivna števila). Graf sode funkcije je simetričen glede na os y. f(x) = 1 (x4 4x ) f(x) = 1 (x3 4x) Funkcija je liha, če za vsak x iz definicijskega območja velja f( x) = f(x) (za negativna števila ima nasprotne vrednosti kot za nasprotna pozitivna števila). Graf lihe funkcije je simetričen glede na izhodišče koordinatnega sistema. 5. Opredelite pojem inverzne funkcije. Kdaj inverzna funkcija obstaja? Navedite vsaj dva para inverznih funkcij. Inverzna ali obratna funkcija k dani funkciji je funkcija, ki preslika ravno obratno kot dana funkcija. Če dana funkcija preslika f A B, f x y, potem inverzna funkcija preslika f 1 B A, f 1 y x. Da inverzna funkcija obstaja, mora biti dana funkcija bijektivna. Če ni surjektivna, skrčimo kodomeno na zalogo vrednosti, da postane funkcija surjektivna. Če ni injektivna, skrčimo definicijsko območje tako, da postane funkcija injektivna (odločiti se moramo za eno možnost). f(x) = x + 5 f 1 (x) = x 5 f(x) = sin x f 1 (x) = arc sin x g(x) = x 3 g 1 (x) = 3x g(x) = 3 x g 1 (x) = log 3 x h(x) = x 5 h 1 5 (x) = x 6. Opišite, kako iz grafa y = f(x) dobimo grafe: a) y = f(x), b) y = f( x), c) y = f(x) + c, d) y = f(x c), e) y = k f(x), c, k R + a) Graf y = f(x) prezrcalimo preko os x. b) Graf y = f(x) prezrcalimo preko osi y. c) Graf y = f(x) vzporedno premaknemo za c navzgor, če je c > 0.

50 d) Graf y = f(x) vzporedno premaknemo za c v desno, če je c > 0. e) Graf y = f(x) raztegnemo k-krat v smeri osi y. 7. Opišite sestavljeno funkcijo g f, če je f A B, g B C Naj funkcija f preslika A B, funkcija g pa B C, lahko tudi Zf C. Sestavljena funkcija ali kompozitum funkcij g f preslika A C. Preslika tako, kot bi najprej funkcije f vsakemu elementu x množice A priredila natanko določen element f(x) množice B, nato pa bi funkcija g vsaki sliki f(x) iz množice B priredila natanko določen element g(f(x)) množico C. f: A B g f: A C g: Zf C (g f)(x) = g(f(x)) 8. Opredelite pojem limita funkcije in navedite pravila za računanje limite vsote, razlike, produkta in kvocienta funkcij. lim f(x) = b, če k vsaki okolici te točke b, obstaja takšna okolica točke a, da je za vsak x iz te okolice x a točke a, x a, funkcijska vrednost f(x) v izbrani okolici točke b. lim f(x) = b, če za vsako pozitivno število ε > 0, obstaja pozitivno število δ > 0, da za vsak x: x a x a in x a < δ velja, da je f(x) b < ε. Pravila za računanje: Limita vsote, razlike, produkta funkcij je vsota, razlika, produkt limit posameznih funkcij, če posamezne limite obstajajo. lim(f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) x a x a x a lim(f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) x a x a x a Limita kvocienta funkcij je enaka kvocientu limit posameznih funkcij, če ti dve limiti obstajata in je limita imenovalca (delitelja) različna od nič. f(x) lim f(x) lim x a g(x) = x a lim g(x), x a lim g(x) 0 x a 9. Razložite pojem zveznosti funkcije. Navedite primer funkcije, ki je nezvezna samo v eni točki. Funkcija je v točki a zvezna, če je v tej točki definirana in je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti: f(x) = f(a) lim x a Graf je v tej točki nepretrgana krivulja. Za majhne spremembe neodvisne spremenljivke se vrednost funkcije malo spremeni. Funkcija je zvezna na intervalu, če je zvezna v vsaki točki tega intervala. Graf take funkcije je na celem intervali nepretrgana krivulja. Primer funkcije, ki je nezvezna samo v eni točki: racionalna funkcija, npr. f(x) = x 3x x za x =.

51 10. Kaj lahko sklepate o grafu funkcije f, če je: a) lim f(x) = a ali lim f(x) = a, x x b) lim f(x) = ali lim f(x) =, x b x b c) lim f(x) = f(c)? x c a) To je limita v neskončnosti. Graf ima vodoravno asimptoto y = a. b) To je neskončna limita. Graf ima pol sode stopnje x = b. c) Ta funkcija ima limito, ki je enaka funkcijski vrednosti v dani točki. Funkcija je v točki c zvezna. Linearna funkcija 11. Definirajte linearno funkcijo. Kaj je njen graf? Kako je graf odvisen od smernega koeficienta? Kakšna sta grafa dveh linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma? Linearna funkcija je funkcija, ki realna števila preslika v realna števila in je podana s predpisom f(x) = kx + n. x neodvisna spremenljivka k, n R dani števili, koeficienta k smerni koeficient n začetna vrednost ali odsek na ordinatni osi Graf linearne funkcije je premica. Graf linearne funkcije je lahko katerakoli premica, razen vzporednice z osjo y. Smerni koeficient pove naklon premice. Če je smerni koeficient pozitiven, je funkcija naraščajoča, če pa je negativen, je funkcija padajoča. Če je smerni koeficient enak 0, je funkcija konstantna, graf je vzporednica z osjo x. Grafa dveh linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma sta vzporedni premici. 1. Napišite implicitno, eksplicitno in odsekovno enačbo premice. Enačbe katerih premic lahko zapišemo v teh oblikah? Implicitna oblika: ax + by c = 0, a, b, c R, a in b nista hkrati 0 Eksplicitna oblika: y = kx + n, k, n R odsekovna ali segmentna oblika: x m + y n = 1, m, n R, m, n 0 V implicitni obliki lahko zapišemo enačbe vseh premic. V eksplicitni obliki ne moremo zapisati enačb premic, ki so vzporedne ordinatni osi. Te imajo enačbo x = a. V odsekovni obliki ne moremo zapisati enačb premic, ki so ali vzporedne s koordinatnima osema ali pa potekajo skozi koordinatno izhodišče.

52 13. Kako računamo kot med premicama v danem koordinatnem sistemu v ravnini? Kdaj sta premici vzporedni in kdaj pravokotni? Naklonski kot premice je kot med pozitivnim poltrakom abscisne osi in premico, merjen v pozitivni smeri. Za naklonski kot α velja tan α = y y 1 x x 1 = k. Tangens naklonskega kota premice je enak smernemu koeficientu premice. Kot φ med premicama s smernima koeficientoma k 1 in k izračunamo po formuli tan φ = k 1 k 1 + k 1 k = k k k 1 k. Premici sta vzporedni: φ = 0 tan φ = 0 k 1 = k Premici sta pravokotni: φ = 90 tan φ ne obstaja 1 + k 1 k = 0 k = 1 k Zapišite družino vseh tistih premic v ravnini, ki: a) potekajo skozi točko T 0 (x 0, y 0 ), b) so vzporedne dani premici. a) To je šop premic: premice y y 0 = k(x x 0 ), k R in vzporednica z ordinatno osjo x = x 0. b) To je snop premic oz. množica premic z enakim smernim koeficientom k: y = kx + n, n R. 15. Koliko rešitev ima enačba ax + b = 0 glede na različne vrednosti a in b. Enačba ax + b = 0, a, b R, je linearna enačba z eno neznanko. Če je a 0 in b R, je enačba enolično rešljiva: x = b. a Če je a = 0 in b 0, enačba nima nobene rešitve. Če je a = 0 in b = 0, so rešitve enačbe vsa realna števila. 16. Kako rešujemo linearne neenačbe z eno neznanko? Kaj so množice rešitev? Pravila za reševanje neenačb: Na obeh straneh neenačaja lahko prištejemo ali odštejemo isto število. Kakšen člen lahko prestavimo z ene strani neenačaja na drugo stran z nasprotnim predznakom. Na obeh straneh neenačaja lahko pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom. Če na obeh straneh pomnožimo z istim negativnim številom, moramo neenačaj obrniti. Rešitve linearne neenačbe: poltrak rešitev: poltrak v levo ali v desno, vsako realno število je rešitev, neenačba nima nobene rešitve.

53 17. Obravnavajte linearno neenačbo ax + b 0 (ax + b 0). Linearno neenačbo ax + b 0 (ax + b 0) rešujemo jo tako, da jo prevedemo v obliko ax b (ax b), potem pa obravnavamo glede na število a. Če je a > 0, delimo z a, neenačaj se ohrani. Rešitev je poltrak [ b a, ) ((, b a ]). Če je a = 0, imamo dve možnosti: ni rešitve, če je b < 0 (b > 0), vsa realna števila rešijo neenačbo, če je b 0 (b 0). Če je a < 0, delimo z a, neenačaj se obrne. Rešitev je poltrak (, b ] ([ b, ) ). a a 18. Zapišite sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Kako rešujemo take sisteme? Koliko rešitev ima sistem? Razložite njegov geometrijski pomen. Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama Takšne sisteme rešujemo: z načinom nasprotnih koeficientov, z zamenjalnim načinom, s primerjalnim načinom, z determinantami, grafično. ax + by = e cx + dy = f Če a in b nista hkrati 0 ter c in d nista hkrati 0, pomenita enačbi dve premici v ravnini. Rešitev sistema sta koordinati presečišča teh dveh premic. Rešitve so lahko: Ena rešitev: premici se sekata v eni točki. Sistem nima rešitve: premici sta vzporedni ali pa je vsaj ena od enačb oblike 0x + 0y = e, e 0. Nešteto rešitev: vse točke na premici (njihove abscise in ordinate), če enačbi pomenita isto premico ali pa ena enačba pomeni premico, druga pa je oblike 0x + 0y = 0. Neskončno rešitev: vse točke v ravnini (njihove abscise in ordinate), če je sistem oblike 0x + 0y = 0 0x + 0y = 0.

54 Potenčna in korenska funkcija 19. Definirajte potenčno funkcijo z naravnim (sodim, lihim) eksponentom. Narišite grafa za eksponenta n =, 3 in navedite njune osnovne lastnosti. Potenčna funkcija z naravnim eksponentom je podana s predpisom: f(x) = x n, n N Potenčna funkcija z naravnim sodim in lihim eksponentom je definirana za vsa realna števila. Potenčna funkcija s sodimi eksponenti: D f = R, Z f = [0, ) grafi so parabole, y = x potekajo skozi T 1 ( 1,1), T (0,0) in T 3 (1,1), y = x 4 so pozitivne funkcije, razen x = 0 je ničla, y = x 6 na intervalu (-, 0) so padajoče, na intervalu (0, ) so naraščajoče, so sode funkcije; grafi so simetrični glede na os y, niso niti injektivne niti surjektivne funkcije. Potenčna funkcija z lihimi eksponenti: D f = R, Z f = R, grafi so parabole, razen za f(x) = x (graf te je premica), grafi potekajo skozi T 1 ( 1, 1), T (0,0) in T 3 (1,1), na intervalu (-, 0) so negativne, na intervalu (0, ) pa pozitivne funkcije, so naraščajoče funkcije, so lihe funkcije; grafi so simetrični glede na y = x izhodišče koordinatnega sistema, y = x 3 so bijektivne funkcije. y = x 5 0. Definirajte potenčno funkcijo z naravnim eksponentom. Pokažite, katere potenčne funkcije so lihe oziroma sode, ter z odvodom poiščite intervale naraščanja in padanja za te funkcije. Potenčna funkcija stopnje n, n N, je preslikava f: R R, dana s predpisom f(x) = x n. Potenčne funkcije z lihim eksponentom: f(x) = x n 1 - So lihe funkcije: f( x) = ( x) n 1 = x n 1 = f(x), x R. - Odvod funkcije f(x) = x je f (x) = 1. Zato je funkcija povsod strogo naraščajoča.

55 - Ker je eksponent odvoda f (x) = (n 1) x n sodo število, je odvod potenčne funkcije za vsak x 0 pozitiven. Zato je funkcija strogo naraščajoča na celotni realni osi, razen za x = 0. Ker je f (0) = 0, je točka 0 stacionarna točka in sicer prevoj te funkcije. Potenčne funkcije s sodim eksponentom: f(x) = x n - So sode funkcije: f( x) = ( x) n = x n = f(x), x R. - Eksponent odvoda potenčne funkcije s sodim eksponentom f (x) = n x n 1 je liho število. Odvod je na intervalu (, 0) negativen, zato je na tem intervalu potenčna funkcija strogo padajoča. Na intervalu (0, ) je odvod pozitiven, zato je na tem intervalu potenčna funkcija strogo naraščajoča. Ker je f (0) = 0, je točka 0 stacionarna točka in sicer minimum te funkcije. 1. V istem koordinatnem sistemu narišite grafe potenčnih funkcij za eksponente n = 1,, 3 in navedite njihove osnovne lastnosti. Kaj imajo skupnega vse potenčne funkcije z negativnim eksponentom? Potenčne funkcije z negativnimi lihimi eksponenti: - D f = R \{0}, Z f = R\{0}, y = x 1 - grafi so hiperbole, y = x - grafi potekajo skozi točki T 1 ( 1, 1) in T (1,1), y = x 3 - x = 0 je pol teh funkcij, - os x je asimptota, - na intervalu (, 0) so negativne, na intervalu (0, ) so pozitivne funkcije, - so padajoče funkcije na intervalih (, 0) in (0, ), - so lihe funkcije; grafi so simetrični glede na izhodišče koordinatnega sistema, - si injektivne funkcije, niso pa surjektivne. Potenčne funkcije z negativnimi sodimi eksponenti: - D f = R \{0}, Z f = (0, ), - grafi so hiperbole, - grafi potekajo skozi točki T 1 ( 1,1) in T (1,1), - x = 0 je pol teh funkcij, - os x je asimptota, - so pozitivne funkcije, - na intervalu (, 0) so naraščajoče, na intervalu (0, ) so padajoče funkcije, - so sode funkcije; grafi so simetrični glede na ordinatno os, - niso niti injektivne niti surjektivne funkcije.

56 n. Definirajte korensko funkcijo f(x) = x (n N). Narišite graf za n =, n = 3 in navedite njuni definicijski območji in zalogi vrednosti. Korenska funkcija je inverzna k potenčni funkciji z naravnim eksponentom. n Torej je y = x y n = x, n N. f(x) = x Funkcija f(x) = x: D f = [0, ), Z f = [0, ) 3 f(x) = x 3 Funkcija f(x) = x: D f = R, D f = R Kvadratna funkcija 3. Kaj je kvadratna funkcija? Kaj je njeno definicijsko območje? Naštejte tri najpogostejše oblike zapisa kvadratne funkcije in opišite pomen posameznih parametrov (konstant). Kvadratna funkcija je realna funkcija, podana s predpisom f(x) = ax + bx + c, a 0. a, b, c R koeficienti, a vodilni koeficient Definicijsko območje je D f = R. Najpogostejše oblike: f(x) = ax + bx + c, a 0 splošna oblika f(x) = a(x p) +q, a 0 temenska oblika f(x) = a(x x 1 )(x x ), a 0... Viètovo pravilo, ničelna oblika, razcepna ali faktorizirana oblika Če je: Če je: a > 0: funkcija je konveksna, graf oz. parabola je obrnjena navzgor a < 0: funkcija je konkavna, graf oz. parabola je obrnjena navzdol a velik: graf funkcije je strm (vrednosti funkcije hitro naraščajo ali padajo) a majhen: graf funkcije je položnejši (vrednosti funkcije počasi naraščajo ali padajo) Parameter c pove presečišče grafa z osjo y. Presečišče je točka T 0 (0, c). Točka T(p, q) je teme kvadratne funkcije. Za x = p ima funkcija največjo ali najmanjšo vrednost q. x 1 in x sta ničli funkcije.

57 4. Zapišite splošno kvadratno funkcijo. Opišite pomen vodilnega koeficienta, prostega člena in diskriminante kvadratne funkcije. Narišite graf funkcije f(x) = ax, a 0. Splošna oblika kvadratne funkcije: f(x) = ax + bx + c, a 0, a, b, c R y = 1 x y = x Graf kvadratne funkcije je parabola. y = 3x Oblika parabole je odvisna od vodilnega koeficienta a. Če je: a > 0: funkcija je konveksna, graf oz. parabola je obrnjena navzgor a < 0: funkcija je konkavna, y = 1 3 x graf oz. parabola je obrnjena navzdol y = x y = x Če je: a velik: graf funkcije je strm (vrednosti funkcije hitro naraščajo ali padajo) a majhen: graf funkcije je položnejši (vrednosti funkcije počasi naraščajo ali padajo) Parameter c pove presečišče grafa z osjo y. Presečišče je točka T 0 (0, c). Z diskriminanto D = b 4ac ugotovimo število ničel kvadratne funkcije. Če je: D > 0: kvadratna funkcija ima dve ničli oz. graf ima dve presečišči z osjo x, D = 0: kvadratna funkcija ima eno ničlo šteto dvakrat oz. graf se dotika osi x, D < 0: kvadratna funkcija nima ničel oz. graf nima presečišč z osjo x. 5. Kako izračunamo teme kvadratne funkcije? Zapišite temensko obliko kvadratne funkcije. Izpeljite temensko obliko kvadratne funkcije. Teme kvadratne funkcije T(p, q) izračunamo tako, da zapišemo funkcijski predpis v temenski obliki f(x) = a(x p) + q, a 0. Lahko pa teme T(p, q) izračunamo s formulami: p = b a, q = D 4a, D = b 4ac Pretvorimo splošno obliko kvadratne funkcije v temensko: f(x) = ax + bx + c = a (x + b x + c b ) = a ((x + a a a ) b + c ) = 4a a = a ((x + b a ) b 4ac 4a pri čemer je p = b a, q = D 4a ) = a (x + b a ) b 4ac 4a = a(x p) + q, a 0,

58 6. Zapišite kvadratno enačbo. Kako jo rešimo? Kako je z rešljivostjo v R in kako v C? Kvadratna enačba: ax + bx + c = 0, a 0, a, b, c R Kvadratno enačbo lahko rešimo z razcepom oz. Viètovim pravilom. Iz enačbe a(x x 1 )(x x ) = 0 dobimo rešitvi x 1 in x. Lahko pa enačbo rešimo po formuli D = b 4ac x 1, = b± D a. Rešitve kvadratne enačbe z realnimi koeficienti so odvisne od diskriminante. Če je: D > 0, ima enačba dve različni realni rešitvi, D = 0, ima enačba dve enaki realni rešitvi oz. eno rešitev šteto dvakrat, D < 0, enačba nima realnih rešitev. Ima dve konjugirani kompleksni rešitvi. V okviru C ima vsaka kvadratna enačba dve rešitvi. 7. Povejte Viètovi formuli za kvadratno enačbo f(x) = ax + bx + c, a 0 in ju dokažite. Če sta x₁ in x₂ ničli kvadratne funkcije f(x) = ax + bx + c, a 0, oziroma rešitvi kvadratne enačbe ax + bx + c = 0, a 0, potem velja: x 1 + x = b a, x 1 x = c a in ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Dokaz: Ničli funkcije oz. rešitvi enačbe sta x 1 = b+ D Potem je in x 1 x = x 1 + x = b + D a b + D a a in x = b D a b D + = b a a = b a, b D = ( b) D a 4a = b b + 4ac 4a = c a, kjer je D = b 4ac. a(x x 1 )(x x ) = a(x (x 1 + x )x + x 1 x ) = a (x + b a x + c a ) = ax + bx + c. 8. Kako rešujemo kvadratne neenačbe? Kaj je množica rešitev? Pomagajte si s sliko. Kvadratna neenačba ima obliko ax + bx + c > 0, ax + bx + c 0, ax + bx + c < 0 ali ax + bx + c 0, a 0. Kvadratno neenačbo vedno preoblikujemo v eno od zgornjih neenačb. Izraze poenostavimo, vse člene prenesemo na eno stran neenačaja, na drugi strani naj bo samo 0. Če je a < 0, lahko na obeh straneh neenačaja pomnožimo z 1. S tem dosežemo, da je vodilni koeficient pozitiven. Neenačbo lahko rešimo:

59 Kvadratni izraz razstavimo in kvadratno neenačbo prevedemo v reševanje sistemov linearnih neenačb. Če izraza ne moremo razstaviti na pamet, izračunamo rešitvi x 1 in x kvadratne enačbe ax + bx + c = 0 po formulah za reševanje kvadratne enačbe in uporabimo Viètovo pravilo ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Kvadratni izraz razstavimo kot v prejšnjem primeru, narišemo na številski premici rešitvi x 1 in x kvadratne enačbe in ugotovimo, na katerih intervalih je izraz pozitiven, nenegativen Izračunamo ničli in narišemo graf kvadratne funkcije f(x) = ax + bx + c ter iz grafa ugotovimo, na katerih intervalih je f(x) > 0, f(x) 0, f(x) < 0 ali f(x) 0. Rešitve kvadratne neenačbe so lahko: odprt ali zaprt interval na realni osi, unija dveh poltrakov, eno samo realno število, vsa realna števila razen enega števila, vsa realna števila, nobeno realno število ni rešitev. Množica rešitev kvadratne neenačbe je odvisna od neenačaja in od diskriminante kvadratnega izraza. V kvadratni neenačbi naj bo neenačaj poljuben, vodilni koeficient naj bo a > 0 in ustrezna kvadratna funkcija f(x) = ax + bx + c. Če je: D > 0 Kvadratna funkcija f ima dve različni realni ničli x 1 in x. Naj bo x 1 < x. Za f(x) > 0 (f(x) 0) je rešitev unija dveh poltrakov (, x 1 ) (x, ) ((, x 1 ] [x, )). x 1 x Za f(x) < 0 (f(x) 0) je rešitev interval ( x 1, x ) ([x 1, x ]). D = 0 Kvadratna funkcija f ima dve enaki realni ničli oz. eno dvakrat šteto ničlo x 1,. x 1, Za f(x) > 0 (f(x) 0) so rešitve vsa realna števila razen x 1,, torej R {x 1, } (vsa realna števila). Za f(x) < 0 (f(x) 0) neenačba nima rešitev (število x 1, ). D < 0 Kvadratna funkcija f nima realnih ničel. Za f(x) > 0 ali f(x) 0 je rešitev množica vseh realnih števil. Za f(x) < 0 ali f(x) 0 neenačba nima rešitve.

60 9. Za katere x doseže kvadratna funkcija ekstremno vrednost? Koliko je ta ekstremna vrednost in kdaj je to minimum in kdaj maksimum? Kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost za x = p = b a. Ekstremna vrednost je toliko, kolikor je funkcijska vrednost kvadratne funkcije za x = p. Ta ekstremna vrednost je y = q = D 4a. Na grafu kvadratne funkcije je ta točka teme T(p, q), torej T ( b a, D 4a ). Ekstremna vrednost je minimum, če je a > 0. Funkcija je konveksna. V temenu je minimum. Ekstremna vrednost je maksimum, če je a < 0. Funkcija je konkavna. V temenu je maksimum. Eksponentna in logaritemska funkcija 30. Definirajte eksponentno funkcijo, povejte njeno definicijsko območje in zalogo vrednosti. Narišite njen graf in opišite njene osnovne lastnosti. Eksponentna funkcija je funkcija f: R R, podana s predpisom f(x) = a x, kjer je osnova a > 0, a 1. Definicijsko območje je D f = R, zaloga vrednosti je Z f = R + = (0, ). Lastnosti eksponentne funkcije: - začetna vrednost funkcije je 1, - graf poteka skozi točke ( 1, 1 ), (0,1) in (1, a), a - za vsak realen x je pozitivna, - je navzgor neomejena in navzdol omejena, - če je a > 1, je strogo naraščajoča, - če je 0 < a < 1 je strogo padajoča, - abscisna os je vodoravna asimptota grafa eksponentne funkcije, - je injektivna, - je konveksna funkcija. y = x y = 3 x y = 4 x y = ( 1 5 )x y = ( 1 3 )x y = ( 1 )x

61 31. Definirajte logaritemsko funkcijo z osnovo a (a > 0, a 1), povejte njeno definicijsko območje in zalogo vrednosti. Narišite njen graf in opišite njene osnovne lastnosti. Logaritemska funkcija f(x) = log a x z osnovo a > 0, a 1, je inverzna funkcija k eksponentni funkciji g(x) = a x z isto osnovo. y = log a x a y = x, a > 0, a 1 Definicijsko območje je D f = R + = (0, ), zaloga vrednosti je Z f = R. Graf logaritemske funkcije f(x) = log a x dobimo z zrcaljenjem grafa eksponentne funkcije g(x) = a x preko simetrale lihih kvadrantov. Lastnosti logaritemske funkcije f(x) = log a x ; a > 1: - ima ničlo x = 1, - je naraščajoča, - za 0 < x < 1 je negativna, za x > 1 je pozitivna, - ordinatna os je navpična asimptota grafa, - graf logaritemske funkcije poteka skozi točke T 1 ( 1 a, 1), T (1,0) in T 3 (a, 1), - je konkavna, - je injektivna in surjektivna torej bijektivna funkcija. Lastnosti logaritemske funkcije f(x) = log a x ; 0 < a < 1: - ima ničlo x = 1, - je padajoča, - za 0 < x < 1 je pozitivna, za x > 1 je negativna, - ordinatna os je navpična asimptota grafa, - graf logaritemske funkcije poteka skozi točke y = log x y = log 5 x T 1 ( 1 a, 1), T (1,0) in T 3 (a, 1), - je konveksna, - je injektivna in surjektivna torej bijektivna funkcija. y = log1 x 3 y = log1 x 3. Navedite pravila za računanje z logaritmi. Pravila: log a 0 ne obstaja. Pišemo pa log a 0 =, za a > 1 in log a 0 = za 0 < a < 1. log a 1 = 0, ker je a 0 = 1 log a a = 1, ker je a 1 = a log a a x = x in a log a x = x Formuli veljata, ker sta y = a x in y = log a x inverzni funkciji.

62 log a 1 x = log a x Logaritem obratnega števila je nasprotna vrednost logaritma danega števila. log a xy = log a x + log a y Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev. x log a = log y a x log a y Logaritem ulomka (kvocienta) razlika logaritmov števca in imenovalca (deljenca in delitelja). log a x r = r log a x Logaritem potence je produkt eksponenta in logaritma osnove potence. 33. Dokažite (a > 0, a 1): a) log a x m = m log a x, b) log a x + log a y = log a xy. a) Naj bo log a x m = z. Po definiciji logaritma je a z = x m. Uporabimo pravilo za računanje z logaritmom a log a x = x in pravilo za potenciranje potence: a z = x m = (a log a x ) m = a m log a x. Ker imata potenci enaki osnovi, imata tudi enaka eksponenta. Torej je z = m log a x in zato log a x m = m log a x. b) Naj bo log a xy = z. Po definiciji logaritma je a z = xy. Uporabimo pravilo za računanje z logaritmom a log a x = x in pravilo za množenje potenc z enakima osnovama: a z = xy = a log a x a log a y = a log a x+log a y. Ker imata potenci enaki osnovi, imata tudi enaka eksponenta. Torej je z = log a x + log a y in zato log a xy = log a x + log a y. 34. Navedite formulo za prehod k novi osnovi pri logaritmih in jo dokažite. Zveza med logaritmi oz. formula za prehod logaritma k novi osnovi: log a x = log b x log b a. Dokaz: Naj bo log a x = z. Po definiciji logaritma je a z = x. Enačbo logaritmiramo in uporabimo pravilo za logaritem potence: Torej je log a x = z = log b x log b a. log b a z = log b x z log b a = log b x z = log b x log b a.

63 35. Razložite uporabo eksponentne funkcije za opis naravne rasti. Za naravno rast ali naravno pojemanje gre takrat, ko je povečanje ali zmanjšanje količine snovi sorazmerna količini snovi. Količina eksponentno raste ali pada. Eksponentna ali naravna rast Več ko je snovi na začetku, hitreje se povečuje. Prirastek y(t) = y 0 e kt, k > 0. t čas, k konstanta, odvisna od snovi, y 0 količina na začetku, y(t) količina v času t Prirastek lahko zapišemo tudi y(t) = y 0 e kt = y 0 a t, a > 1. Primer eksponentne rasti: razmnoževanje bakterij v idealnih okoliščinah, ko razmnoževanja nič ne zavira Eksponentno pojemanje Količina snovi se zmanjšuje y(t) = y 0 e kt, k > 0. t čas, k konstanta, odvisna od snovi, y 0 količina na začetku, y(t) količina v času t Prirastek lahko zapišemo tudi y(t) = y 0 e kt = y 0 a t, a > 1. Primer eksponentnega pojemanja: razpad radioaktivnih izotopov Polinomske in racionalne funkcije 36. Definirajte polinom in opišite osnovne računske operacije s polinomi (seštevanje in množenje). Kdaj sta dva polinoma enaka? Polinom ali cela racionalna funkcija je funkcija f: R R, x... neodvisna spremenljivka f(x) = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0, a n 0 n N {0} stopnja polinoma: st(f(x)) = n a n, a n 1,, a 1, a 0 R lahko tudi C koeficienti polinoma, a n 0 vodilni koeficient, a 0 stalni, konstantni ali svobodni člen Oznake: f(x), p(x), q(x), k(x) Lahko uporabimo indekse: p 1 (x), p (x), p 3 (x) Operacije seštevanje in odštevanje polinomov, množenje polinomov s števili ter množenje polinomov Polinome seštevamo in odštevamo tako, da seštejemo oz. odštejemo koeficiente pri istih potencah. Rezultat je polinom. Stopnja vsote in razlike je manjša ali enaka stopnji polinoma v vsoti, ki ima najvišjo stopnjo. Pri seštevanju in odštevanju se lahko stopnja tudi zmanjša, saj se lahko členi odštejejo.

64 Polinom množimo s številom tako, da vsak koeficient polinoma pomnožimo s tem številom. Rezultat je polinom. Če pomnožimo s številom, različnim od 0, je stopnja produkta enaka stopnji prvotnega polinoma. Polinoma množimo tako, da pomnožimo vsak člen prvega polinoma z vsakim členom drugega polinoma. Rezultat je polinom. Tudi produkt več polinomov je polinom. Za produkt polinomov velja: - stopnja produkta je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov, - vodilni koeficient produkta je produkt vodilnih koeficientov posameznih polinomov, - konstantni člen produkta je produkt konstantnih členov posameznih polinomov. Za seštevanje in množenje polinomov veljajo enaka pravila kot v množici celih števil: - Za seštevanje in množenje veljata komutativnost in asociativnost, velja tudi distributivnost. - Obstajata nevtralna polinoma za seštevanje in množenje, za seštevanje je polinom n(x) = 0, za množenje polinom e(x) = 1. - K vsakemu polinomu p(x) obstaja natanko določen nasprotni polinom p(x). Ima nasprotne koeficiente kot polinom p(x) in velja p(x) + ( p(x)) = 0. V množici polinomov ne obstajajo inverzni polinomi k danim polinomom, razen h konstantnim neničelnim polinomom. Polinome zato ne moremo deliti. Lahko jih delimo z ostankom. Dva polinoma sta enaka, če imata za vsako neodvisno spremenljivko x enako vrednost. Izrek o enakosti polinomov: Polinoma sta enaka natanko takrat, ko imata isto stopnjo in enake vse koeficiente pri istih potencah. 37. Povejte osnovni izrek o deljenju polinomov. Opišite deljenje z linearnim polinomom. Osnovni izrek o deljenju polinomov: Za poljubna dva polinoma p(x) in q(x), kjer je stopnja polinoma p(x) večja ali enaka stopnji polinoma q(x), obstajata natanko določena polinoma k(x) in o(x), da velja: p(x) = k(x)q(x) + o(x), pišemo tudi p(x) q(x) = k(x) (ost o(x)), pri katerem mora biti stopnja polinoma o(x) manjša od stopnje polinoma q(x). p(x) deljenec, q(x) delitelj, k(x) količnik, o(x) ostanek Deljenje z linearnim polinomom: Ostanek pri deljenju polinoma z linearnim polinomom x x 1 je enak vrednosti polinoma v točki x 1. p(x): (x x 1 ) = k(x)(ost c), c = p(x 1 ) Polinom lahko zapišemo v obliki p(x) = k(x)(x x 1 ) + p(x 1 ).

65 38. Opišite (brez utemeljitve oziroma dokazovanja) Hornerjev algoritem in pojasnite njegovo uporabnost. Vrednost polinoma p(x) v točki x 1 : p(x 1 ) = a n x n 1 + a n 1 x n a x 1 + a 1 x 1 + a 0 = = (( ((a n x 1 + a n 1 )x 1 + a n )x a )x 1 + a 1 ) x 1 + a 0 Računanje vrednosti, kot je v. vrstici, navadno preoblikujemo v shemo a n a n 1 a n a 0 a n x 1 (a n x 1 + a n 1 )x 1 x 1 a n a n x 1 + a n 1 (a n x 1 + a n 1 )x 1 + a n p(x 1 ) Tej shemi rečemo Hornerjeva shema ali Hornerjev algoritem oz. postopek. V prvi vrstici so koeficienti polinoma, v zadnji vrstici pa v prvem stolpcu x 1, v drugem količnik pri deljenju polinoma p(x) z linearnim polinomom x x 1 in v tretjem stolpcu ostanek pri deljenju polinoma p(x) z linearnim polinomom x x 1, to pa je vrednost polinoma p(x 1 ). Shema je lahko tudi drugačna. Hornerjev algoritem uporabljamo za: - računanje vrednosti polinoma, - deljenje polinoma z linearnim polinomom x x Kaj je ničla polinoma? Koliko ničel ima polinom n-te stopnje? Kako zapišemo polinom, če poznamo vse njegove ničle? Ničla polinoma je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko, za katero ima polinom vrednost 0. Velja: Število x 1 je ničla polinoma p(x) natanko takrat, ko lahko polinom zapišemo v obliki p(x) = (x x 1 )k(x). Število x 1 je ničla stopnje r polinoma p(x), če lahko polinom zapišemo v obliki p(x) = (x x 1 ) r k(x), k(x 1 ) 0. Polinom n-te stopnje ima n kompleksnih ničel. Vsako ničlo štejemo tolikokrat, kot je njena stopnja. Tudi če ima polinom realne koeficiente, ima lahko manj realnih ničel, kot je njegova stopnja. Če poznamo vse ničle polinoma, potem lahko polinom zapišemo v obliki p(x) = a(x x 1 )(x x ) (x x n ), a = a n. V okviru množice kompleksnih števil lahko vsak polinom višje stopnje razcepimo na same linearne polinome.

66 40. Kaj je ničla polinoma (enostavna, večkratna)? Povejte osnovni izrek algebre. Koliko ničel ima polinom n-te stopnje? Kako zapišemo polinom, če poznamo vse njegove ničle? Ničla polinoma je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko, za katero ima polinom vrednost 0. Velja: Število x 1 je ničla polinoma p(x) natanko takrat, ko lahko polinom zapišemo v obliki p(x) = (x x 1 )k(x). Število x 1 je enostavna ničla, enojna ničla oz. ničla 1. stopnje polinoma p(x), če lahko polinom zapišemo v obliki p(x) = (x x 1 )k(x), k(x 1 ) 0. Število x 1 je ničla stopnje r oz. r-kratna ničla polinoma p(x), če lahko polinom zapišemo v obliki p(x) = (x x 1 ) r k(x), k(x 1 ) 0. Osnovni izrek algebre: Vsak nekonstanten polinom z realnimi ali kompleksnimi koeficienti ima vsaj eno kompleksno ničlo. Polinom n-te stopnje ima n kompleksnih ničel. Vsako ničlo štejemo tolikokrat, kot je njena stopnja. Tudi če ima polinom realne koeficiente, ima lahko manj realnih ničel, kot je njegova stopnja. Če poznamo vse ničle polinoma, potem lahko polinom zapišemo v obliki p(x) = a(x x 1 )(x x ) (x x n ), a = a n. V okviru množice kompleksnih števil lahko vsak polinom višje stopnje razcepimo na same linearne polinome. 41. Koliko realnih (kompleksnih) ničel ima polinom 3. stopnje in koliko ničel ima polinom 4. stopnje z realnimi koeficienti? Navedite vse možnosti. Odgovor utemeljite. Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih. Polinom lihe stopnje z realnimi koeficienti ima zato vsaj eno realno ničlo. Polinom 3. stopnje z realnimi koeficienti ima tri ničle v množici kompleksnih števil. Ima lahko: - 3 realne ničle, - 1 realno ničlo in konjugirano kompleksni ničli. Polinom 4. stopnje z realnimi koeficienti ima štiri ničle v množici kompleksnih števil. Ima lahko : - vse 4 ničle iz množice realnih števil, - realni in kompleksni ničli; kompleksni ničli sta par konjugiranih kompleksnih števil, - 4 kompleksne ničle; dva para konjugiranih kompleksnih števil. 4. Pokažite, da je mogoč razcep polinoma stopnje n 3 z realnimi koeficienti na dva faktorja z realnimi koeficienti, kakor hitro poznamo eno njegovo kompleksno ničlo a + bi, b 0. Polinom p(x) = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 naj ima realne koeficiente, kompleksno število z = a + bi, b 0, pa naj bo ničla tega polinoma. Torej je p(z) = 0. Potem za konjugirano število z = a bi velja

67 p(z) = a n z n + a n 1 z n a z + a 1 z + a 0 = = a n z n + a n 1 z n a z + a 1 z + a 0 = = a n z n + a n 1 z n a z + a 1 z + a 0 = = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 = = p(z) = 0 = 0, kar pomeni, da je tudi število z ničla tega polinoma. V dokazu smo uporabili lastnosti konjugirane vrednosti kompleksnega števila: konjugirana vrednost vsote kompleksnih števil je enaka vsoti konjugiranih vrednosti členov, konjugirana vrednost produkta kompleksnih števil je enaka produktu konjugiranih vrednosti faktorjev in konjugirana vrednost realnega števila je enaka temu številu. Dokazali smo izrek: Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih. Če ima polinom p(x) z realnimi koeficienti kompleksno ničlo z = a + bi, b 0, je ničla tega polinoma tudi z = a bi. Polinom je deljiv z (x (a + bi)) in (x (a bi)), zato je deljiv tudi s produktom teh dveh izrazov. Polinom lahko zapišemo p(x) = (x a bi)(x a + bi)k(x) = (x ax + a + b )k(x). Če ima polinom stopnjo večjo ali enako 3, je polinom k(x) vsaj linearen. Ker ima prvi faktor realne koeficiente, ima tudi količnik k(x) pri deljenju polinoma p(x) z (x ax + a + b ) realne koeficiente. Oba faktorja imata zato realne koeficiente. 43. Kako poiščemo cele in racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti? Odgovor utemeljite. Naj bo p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 polinom s celimi koeficienti. Cele ničle polinoma s celimi koeficienti so delitelji prostega člena a 0. Utemeljitev: Naj bo c Z ničla polinoma p(x). Potem je p(c) = 0, torej je Enačbo preoblikujemo v enačbo a n c n + a n 1 c n a 1 c + a 0 = 0. ali a n c n + a n 1 c n a 1 c = a 0 c(a n c n 1 + a n 1 c n + + a 1 ) = a 0. Ker c deli a 0, deli tudi a 0. Cela ničla torej deli prosti člen a 0. Če je racionalno število, kjer sta števec in imenovalec tuji števili, ničla polinoma s celimi koeficienti, potem števec deli prosti člen a 0, imenovalec pa vodilni koeficient a n. Utemeljitev: Naj bo okrajšani ulomek c Q ničla polinoma p(x), c in d sta tuji števili, torej d je p ( c d ) = 0 ali a n ( c d )n + a n 1 ( c d )n a 1 c d + a 0 = 0.

68 Potenciramo, pomnožimo z d n in dobimo enačbo a n c n + a n 1 c n 1 d + + a 1 cd n 1 + a 0 d n = 0. Če prenesemo člen a 0 d n na desno stran, na levi strani pa izpostavimo c, dobimo c(a n c n 1 + a n 1 c n d + + a 1 d n 1 ) = a 0 d n. To pomeni, da c deli a 0 d n, zato deli tudi a 0 d n. Ker sta števili c in d tuji, števec c ničle deli prosti člen a 0. Če na desno stran zgornje enačbe prenesemo člen a n c n in na levi strani izpostavimo d, dobimo d(a n 1 c n a 1 cd n + a 0 d n 1 ) = a n c n. To pomeni, da d deli a n c n, zato deli tudi a n c n. Ker sta števili c in d tuji, imenovalec d ničle deli vodilni koeficient a n. 44. Razložite metodo bisekcije pri iskanju realnih ničel polinoma oziroma pri reševanju enačb. Ali lahko z bisekcijo najdemo ničlo sode stopnje? Metoda bisekcije je preprosta metoda za iskanje ničel oz. približkov ničel polinoma ali kakšne druge zvezne funkcije. Naj bo p(x) polinom ali kakšna druga zvezna funkcija na intervalu [a, b]. Če ima polinom ali zvezna funkcija v krajiščih intervala nasprotno predznačeni vrednosti, ima polinom oz. funkcija na tem intervalu vsaj eno ničlo. V nadaljevanju bomo govorili o polinomu. Graf je na sliki. Pri metodi gre za ponavljanje treh korakov. 1. a) Ker je p(a) < 0 in p(b) > 0, je na intervalu [a, b] vsaj ena ničla. b) Prvi približek je aritmetična sredina x 1 = a+b, a x to je razpolovišče intervala [a, b]. x 1 b c) Vrednost polinoma p(x 1 ) > 0.. a) Ker je p(a) < 0 in p(x 1 ) > 0, je ničla na intervalu [a, x 1 ]. b) Drugi približek je aritmetična sredina x = a+x 1, to je razpolovišče intervala [a, x 1]. c) Vrednost polinoma p(x ) < a) Ker je p(x ) < 0 in p(x 1 ) > 0, je ničla na intervalu [x, x 1 ]. b) Tretji približek je aritmetična sredina x 3 = x +x 1. c) Izračunamo vrednost polinoma p(x 3 ). 4. a) Če je p(x 3 ) > 0, je ničla na intervalu [x, x 3 ]. b) Potem je približek x 4 = x +x 3 a) Če je p(x 3 ) < 0, je ničla na intervalu [x 3, x 1 ]. b) Potem je približek x 4 = x 3+x 1

69 S približki se postopno bližamo ničli polinoma. Postopek nadaljujemo tako dolgo, da smo zadovoljni s približkom. Ničle sode stopnje na ta način ne moremo poiskati, saj se v ničli sode stopnje predznak polinoma ne spremeni. Za metodo bisekcije mora imeti polinom v krajišču intervala nasprotno predznačeni vrednosti. Rešitve enačbe, na primer g(x) = h(x), kjer sta g in h poljubni zvezni funkciji, lahko tudi dva polinoma, poiščemo tako, da prenesemo h(x) na drugo stran enačaja in dobimo enačbo g(x) h(x) = 0. Rešitve te enačbe so ničle funkcije f(x) = g(x) h(x). Ničle lahko poiščemo z metodo bisekcije. 45. Razložite postopek risanja grafa polinoma. Kako vodilni koeficient in prosti člen vplivata na potek grafa polinoma? Kako se graf polinoma obnaša v okolici ničel? Graf polinoma p(x) = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0, a n 0, se za velike x»obnaša«kot prvi člen. Ko gre x, se graf polinoma vse bolj bliža grafu funkcije f(x) = a n x n. Potek grafa polinoma je odvisen od vodilnega koeficienta in stopnje polinoma. a n > 0, stopnja n polinoma soda a n < 0, stopnja n polinoma soda a n > 0, stopnja n polinoma liha a n < 0, stopnja n polinoma liha

70 Izračunamo začetno vrednost polinoma p(0) = a 0. Presečišče grafa polinoma z ordinatno osjo je točka T 0 (0, a 0 ). Izračunamo realne ničle polinoma. V ničlah lihe stopnje polinom spremeni predznak oz. graf preseka os x, v ničlah sode stopnje pa predznak ostane enak oz. graf se dotakne osi x. Čim višje stopnje je ničla, tem bolj položno se graf približa presečišču z osjo x. 46. Kje polinomska funkcija spremeni predznak? Kako rešujemo polinomske neenačbe? Polinomska funkcija oz. polinom spremeni predznak v ničlah lihe stopnje. V ničlah sode stopnje polinom ohranja predznak. Polinomske neenačbe rešujemo tako, da najprej vse člene prenesemo na eno stran neenačaja. Na eni strani dobimo polinom p(x), na drugi strani pa 0. Neenačbo preoblikujemo v neenačbo p(x) > 0, p(x) 0 Neenačbo lahko rešimo: Grafično: Narišemo graf polinoma p in iz grafa preberemo intervale, na katerih je polinom pozitiven, nenegativen S sistemi linearnih neenačb: Polinom razcepimo in reševanje polinomske neenačbe prevedemo na reševanje sistemov linearnih neenačb. Upoštevamo, da imajo nerazcepni kvadratni polinomi, polinomi z negativno diskriminanto, povsod konstanten predznak, da so izrazi (x x i ) k 0, če je k sodo število in da imajo izrazi (x x i ) k enak predznak kot izrazi x x i, če je k liho število. S številsko premico: Na številsko premico narišemo ničle polinoma in ugotovimo predznak polinoma na posameznih intervalih. Upoštevamo, da se vrednost polinoma v ničlah sode stopnje ohranja, v ničlah lihe stopnje pa se predznak spremeni. 47. Definirajte racionalno funkcijo. Kaj je ničla in kaj pol racionalne funkcije? Opišite vedenje grafa racionalne funkcije daleč od izhodišča. V katerih primerih ima racionalna funkcija vodoravno asimptoto in kako jo določimo? V katerih primerih ima racionalna funkcija poševno asimptoto in kako jo izračunamo? Racionalna funkcija je kvocient dveh polinomov p in q, pri čemer polinom v imenovalcu ni ničelni polinom. r(x) = p(x) q(x) = a nx n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b x, q 0 + b 1 x + b 0 Ničla racionalne funkcije r je ničla števca okrajšane racionalne funkcije. Pol racionalne funkcije r je ničla imenovalca okrajšane racionalne funkcije. Racionalna funkcija ni definirana v vseh ničlah imenovalca. Daleč od izhodišča se graf racionalne funkcije bliža asimptoti ali asimptotični krivulji. Če je stopnja števca p manjša od stopnje imenovalca q, je asimptota os x, torej premica y = 0. Če sta stopnji enaki,

71 je asimptota količnik vodilnih koeficientov y = a n b m. V teh dveh primerih ima racionalna funkcija vodoravno asimptoto. Če je stopnja števca p večja od stopnje imenovalca q, je asimptota količnik pri deljenju števca z imenovalcem p(x) q(x). Če je p(x) q(x) = k(x) (ost o(x)), je asimptota ali asimptotična krivulja y = k(x). Če je stopnja števca za 1 večja od stopnje imenovalca, je asimptota poševna premica. Če je stopnja števca več kot za 1 večja od stopnje imenovalca, se graf racionalne funkcije bliža asimptotični krivulji y = k(x). 48. Kje racionalna funkcija spremeni predznak? Kako rešujemo racionalne neenačbe? Racionalna funkcija spremeni predznak v ničlah in polih lihe stopnje. V ničlah in polih sode stopnje racionalna funkcija ohrani predznak. Racionalne neenačbe rešujemo tako, da najprej vse člene prenesemo na eno stran neenačaja. Na eni strani dobimo racionalno funkcijo r(x), na drugi strani pa 0. Neenačbo preoblikujemo v neenačbo r(x) > 0, r(x) 0 Neenačbo lahko rešimo: Grafično: Narišemo graf racionalne funkcije r in iz grafa preberemo intervale, na katerih je funkcija pozitivna, nenegativna S sistemi linearnih neenačb: Polinoma v števcu in imenovalcu razcepimo in reševanje racionalne neenačbe prevedemo na reševanje sistemov linearnih neenačb. Upoštevamo, da imajo nerazcepni kvadratni polinomi, polinomi z negativno diskriminanto, povsod konstanten predznak, da so izrazi (x x i ) k 0, če je k sodo število in da imajo izrazi (x x i ) k enak predznak kot izrazi x x i, če je k liho število. S številsko premico: Na številsko premico narišemo ničle in pole racionalne funkcije in ugotovimo predznak funkcije na posameznih intervalih. Upoštevamo, da se vrednost racionalne funkcije v ničlah in polih sode stopnje ohranja, v ničlah in polih lihe stopnje pa se predznak spremeni. Kotne funkcije 49. Definirajte funkcijo f(x) = sin x za poljuben kot x. Opišite lastnosti funkcije. Sinus poljubnega kota je ordinata točke, v kateri drugi krak kota seka enotsko krožnico. Za ostri kot se ta definicija ujema z definicijo v pravokotnem trikotniku. sin α = y 1 = y

72 Lastnosti: D f = R 1 y = sin α je omejena funkcija, 1 y 1, Z f = [ 1,1] α za kote α, 0 < α < π, je pozitivna, za kote α, π < α < π, je negativna funkcija za kote α, 0 < α < π in 3π < α < π je naraščajoča, π za kote α, < α < 3π, je padajoča funkcija je periodična funkcija, osnovna perioda je π je liha funkcija ničle: x = kπ, k Z minimum: x = π + kπ, k Z, m = 1 y = sin α 1 maksimum: x = π + kπ, k Z, M = 1 α 50. Definirajte funkcijo f(x) = cos x za poljuben kot x. Opišite lastnosti funkcije. Kosinus poljubnega kota je abscisa točke, v kateri drugi krak kota seka enotsko krožnico. Za ostri kot se ta definicija ujema z definicijo v pravokotnem trikotniku. Lastnosti: cos α = x 1 = x D f = R je omejena funkcija, 1 y 1, Z f = [ 1,1] za kote α, 0 < α < π in 3π < α < π je pozitivna, 1 π za kote α,, je negativna funkcija α za kote α, 0 < α < π, je padajoča, x = cos α za kote α, π < α < π, je naraščajoča funkcija je periodična funkcija, osnovna perioda je π je soda funkcija ničle: x = π + kπ, k Z minimum: x = π + kπ, k Z, m = 1 maksimum: x = kπ, k Z, M = 1 1 α x = cos α

73 51. Narišite graf funkcije f(x) = sin x. Zapišite ničle in ekstreme funkcije. Funkcija f (x) = sin x Ničle funkcije: y = sin x = 0: x = kπ, k Z Minimumi funkcije: y = sin x = 1: Maksimumi funkcije: y = sin x = 1: x = π + kπ, k Z x = π + kπ, k Z 5. Narišite graf funkcije f(x) = sin x. Za katere a R premica y = a seka graf funkcije f(x) = sin x? Zapišite presečišča. Funkcija f (x) = sin x Premica y = a seka graf funkcije f(x) = sinx, če je 1 a 1. Presečišča premice in grafa funkcije sinus: sin x = a, 1 a 1 x 1 = arc sin a + kπ, k Z x = π arc sin a + kπ, k Z Presečišča so točke: T 1 (arc sin a + kπ, a), k Z T (π arc sin a + kπ, a), k Z

74 53. Narišite graf funkcije f(x) = cos x. Zapišite ničle in ekstreme funkcije. Funkcija f(x) = cos x Ničle funkcije: y = cos x = 0: x = π + kπ, k Z Minimumi funkcije: y = cos x = 1: Maksimumi funkcije: y = cos x = 1: x = π + kπ, k Z x = kπ, k Z 54. Narišite graf funkcije f(x) = cos x. Za katere a R premica y = a seka graf funkcije f(x) = cos x? Zapišite presečišča. Funkcija f(x) = cos x Premica y = a seka graf funkcije f(x) = cosx, če je 1 a 1. Presečišča premice in grafa funkcije kosinus: cos x = a, 1 a 1 x 1 = arc cos a + kπ, k Z x = arc cos a + kπ, k Z Presečišča so točke: T 1 (arc cos a + kπ, a), k Z T ( arc cos a + kπ, a), k Z

75 55. Definirajte funkcijo f(x) = tan x za poljuben kot x. Opišite lastnosti funkcije. Tangens poljubnega kota je ordinata točke na tangenti na enotsko krožnico v točki (1,0), v kateri seka drugi krak kota x ali njegovo nosilko. Za ostri kot se ta definicija ujema z definicijo v pravokotnem trikotniku. Lastnosti: tan α = z 1 = z z = tan α funkcija je definirana povsod, razen α za x = π + kπ, k Z, D f = R { π + kπ, k Z} je neomejena funkcija, Z f = R za kote α, 0 < α < π in π < α < 3π je pozitivna, π za kote α, < α < π in 3π < α < π je negativna funkcija je naraščajoča funkcija na vseh intervalih, na katerih je definirana je periodična funkcija, osnovna perioda je π je liha funkcija ničle: x = kπ, k Z α z = tan α 56. Narišite graf funkcije f(x) = tan x. Zapišite definicijsko območje in ničle funkcije. Funkcija f(x) = tan x D f = R \ { π + kπ; k Z} Ničle funkcije: y = tan x = 0 sin x = 0 : x = kπ, k Z

76 57. Narišite graf funkcije f(x) = tan x. Za katere a R premica y = a seka graf funkcije f(x) = tan x? Zapišite presečišča. Funkcija f(x) = tan x Premica y = a seka graf funkcije f(x) = tanx za poljuben a R. Presečišča premice in grafa funkcije tangens: tan x = a x = arc tan a + kπ, k Z Presečišča so točke: T(arc tan a + kπ, a), k Z 58. Povejte in utemeljite zveze med kotnimi funkcijami komplementarnih, suplementarnih in nasprotnih kotov. Zveze za komplementarne kote: sin α = cos(90 α) 90 α cos α = sin(90 α) α 90 α 90 α tan α = cot(90 α) α 90 α cot α = tan(90 α) Sinus kota je enak kosinusu komplementarnega kota. Kosinus kota je enak sinusu komplementarnega kota. Tangens kota je enak kotangensu komplementarnega kota. Enakosti sledijo iz skladnosti Kotangens kota je enak tangensu komplementarnega kota. trikotnikov v enotski krožnici.

77 Zveze za suplementarne kote: sin α = sin(180 α) cos α = cos(180 α) tan α = tan(180 α) α 180 α cot α = cot(180 α) α 180 α Sinusa suplementarnih kotov sta enaka. Kosinusa, tangensa in kotangensa suplementarnih kotov sta nasprotna. Zveze za nasprotne kote: sin( α) = sin α cos( α) = cos α tan( α) = tan α cot( α) = cot α α α α α Kosinus je soda funkcija. Sinus, tangens in kotangens so lihe funkcije. 59. Definirajte kotne funkcije ostrega kota v pravokotnem trikotniku in izpeljite osnovne zveze med njimi. Sinus ostrega kota je razmerje med nasprotno kateto in hipotenuzo v pravokotnem trikotniku. sin α = a c, sin β = b c Kosinus ostrega kota je razmerje med priležno kateto in hipotenuzo v pravokotnem trikotniku. cos α = b c, cos β = a c Tangens ostrega kota je razmerje med nasprotno in priležno kateto v pravokotnem trikotniku. tan α = a b, tan β = b a Kotangens ostrega kota je razmerje med priležno in nasprotno kateto v pravokotnem trikotniku. cot α = b a, cot β = a b

78 Osnovne zveze: zveza med sinusom in kosinusom: sin α + cos α = 1 sin α + cos α = ( a c ) + ( b c ) = a + b c zveza med tangensom in kotangensom: tan α cot α = 1 tan α cot α = a b b a = 1 = c c = 1 tangens in kotangens, izražena s sinusom in kosinusom: tan α = tan α = a a b = c sin α = b cos α, cot α = b a = c b c cos α a = sin α c sin α cos α zveza med kosinusom in tangensom ter med sinusom in kotangensom: tan α + 1 = 1 cos α, cot α + 1 = 1 sin α, cot α = cos α sin α sin α + cos α = 1 /: cos α sin α cos α +1 = 1 tan α + 1 = cos α 1 cos α sin α + cos α = 1 /: sin α 1 + cos α sin α = 1 cot α + 1 = sin α 1 sin α 60. S kotno funkcijo sinus izrazite druge tri kotne funkcije za kote α: a) 0 < α < π, b) π < α < π. a) Izrazimo kotne funkcije kota α, 0 < α < π, s sin α: cos α = 1 sin α tan α = sin α cos α = sin α 1 sin α cot α = cos α = 1 sin α sin α sin α b) Izrazimo kotne funkcije kota α, π < α < π, s sin α: cos α = 1 sin α sin α tan α = = cos α sin α 1 sin α cot α = cos α = 1 sin α sin α sin α 61. Povejte adicijska izreka za sinus in kosinus. Izpeljite formuli za sinus in kosinus dvojnega kota. Adicijska izreka za sinus in kosinus: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β

79 Sinus in kosinus dvojnega kota: sin x = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = sin x cos x cos x = cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x = cos x sin x 6. V istem koordinatnem sistemu narišite grafa funkcij sinus in kosinus ter izračunajte koordinate njunih presečišč. Funkciji f (x) = sin x in g (x) = cos x Presečišča: Presečišča so točke: x = π 4 T ( π 4 f(x) = g(x) sin x = cos x tan x = 1 + kπ, k Z, y = + kπ, ), k Z 63. Opišite, kako narišemo grafe naslednjih funkcij: a) f(x) = a sin x, a R b) f(x) = sin kx, k N c) f(x) = sin(x b), b R d) f(x) = sin x + c, c R a) Narišemo graf funkcije f(x) = sin x in naredimo: če je a > 0: razteg s faktorjem a v smeri osi y (za a > 1: razteg, za 0 < a < 1: skrčitev), če je a = 0: dobimo funkcijo f(x) = 0, če je a < 0: razteg s faktorjem a v smeri osi y in zrcaljenje grafa preko osi x. b) Narišemo graf funkcije f(x) = sin x in naredimo skrčitev s faktorjem k v smeri osi x. c) Narišemo graf funkcije f(x) = sin x in ga vzporedno premaknemo: če je b > 0: za b v desno, če je b = 0: ostane funkcija f(x) = sin x, če je b < 0: za b v levo.

80 d) Narišemo graf funkcije f(x) = sin x in ga vzporedno premaknemo: če je c > 0: za c navzgor, če je c = 0: ostane funkcija f(x) = sin x, če je c < 0: za c navzdol. 64. Kotne funkcije so periodične funkcije. Razložite in utemeljite to lastnost. Funkcija f je periodična, če obstaja realno število ω, da je za vsak x iz D f velja f(x) = f(x + ω). Za periodično funkcijo f velja f(x) = f(x + kω), k Z. Število ω imenujem perioda funkcije f. Periode funkcije f so tudi vsa števila kω, k Z. Najmanjši periodi rečemo osnovna perioda. Če neodvisni spremenljivki periodične funkcije prištejemo periodo, se vrednost funkcije ne spremeni. Graf periodične funkcije se ponovi na vsakem intervalu širine ω. Kotni funkciji sinus in kosinus sta periodični funkciji z osnovno periodo π. Če kotu prištejemo π, se vrednost funkcij sinus in kosinus ne spremeni. sin x = sin(x ± π) = sin(x + kπ), k Z cos x = cos(x ± π) = cos(x + kπ), k Z Da se vrednost funkcij sinus in kosinus ne spremeni, če kotu prištejemo π oz. 360, sledi iz definicije teh dveh funkcij v enotski krožnici. Kotni funkciji tangens in kotangens sta periodični funkciji z osnovno periodo π. Če kotu prištejemo π, se vrednost funkcij tangens in kotangens ne spremeni. tan x = tan(x ± π) = tan(x + kπ), k Z cot x = cot(x ± π) = cot(x + kπ), k Z Da se vrednost funkcij tangens in kotangens ne spremeni, če kotu prištejemo π oz. 180, sledi iz definicije teh dveh funkcij v enotski krožnici. 65. Definirajte funkcijo f(x) = arcsin x. Kaj je njeno definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti? Narišite graf funkcije f. Funkcija arkus sinus je inverzna funkcija k funkciji sinus. y = arc sin x sin y = x, 1 x 1, π y π Definicijsko območje: D y = [ 1,1] Zaloga vrednosti: Z y = [ π, π ] Ker je funkcija f(x) = arc sin x inverzna funkcija k funkciji sinus, je graf y = arc sin x zrcalna slika grafa funkcije sinus na intervalu [ π, π ] glede na simetralo lihih kvadrantov.

81 66. Definirajte funkcijo f(x) = arccos x. Kaj je njeno definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti? Narišite graf funkcije f. Funkcija arkus kosinus je inverzna funkcija k funkciji kosinus. y = arc cos x cos y = x, 1 x 1, 0 y π Definicijsko območje: D y = [ 1,1] Zaloga vrednosti: Z y = [0, π] Ker je funkcija f(x) = arc cos x inverzna funkcija k funkciji kosinus, je graf y = arc cos x zrcalna slika grafa funkcije kosinus na intervalu [0, π ] glede na simetralo lihih kvadrantov. 67. Definirajte funkcijo f(x) = arctan x. Kaj je njeno definicijsko območje in kaj zaloga vrednosti? Narišite graf funkcije f. Funkcija arkus tangens je inverzna funkcija k funkciji tangens. y = arc tan x tan y = x, x R, π < y < π Definicijsko območje: D y = R Zaloga vrednosti: Z y = ( π, π ) Ker je funkcija f(x) = arc tan x inverzna funkcija k funkcije tangens, je graf y = arc tan x zrcalna slika grafa funkcije tangens na intervalu ( π, π ) glede na simetralo lihih kvadrantov.

82 STOŽNICE 1. Naštejte in skicirajte stožnice. Razložite ime stožnica. Krožnica Elipsa Hiperbola Parabola

83 Tem krivuljam rečemo stožnice, ker jih lahko dobimo kot presek enojnega ali dvojnega neskončnega stožca z ravnino. Krožnica nastane, če neskončni stožec presekamo z ravnino, ki je vzporedna z «osnovno ploskvijo«stožca. krožnica Elipsa nastane, če stožec presekamo z ravnino pod kotom, ki je manjši od naklonskega kota stranice stožca. Hiperbola nastane, če dvojni stožec s skupnim vrhom presekamo z ravnino, ki je pravokotna na»osnovno ploskev«stožca. Parabola nastane, če je naklonski kot ravnine, s katero presekamo stožec, proti osnovni ploskvi enak naklonskemu kotu med stranico stožca in»osnovno ploskvijo«.. Povejte geometrijsko definicijo krožnice. Zapišite enačbo krožnice, ki ima središče v točki S(p, q) in polmer r. Krožnica je množica točk T(x, y) v ravnini, ki so za r oddaljene od izbrane točke S. Točka S je središče krožnice, r pa polmer krožnice. Enačba krožnice s središčem v točki S(p, q) in polmerom r: (x p) + (y q) = r 3. Povejte geometrijsko definicijo krožnice. Izpeljite enačbo krožnice, ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in polmer r. Zapišite enačbo krožnice, ki ima središče v točki S (p,q) in polmer r. Kdaj enačba x + y + ax + by + c = 0 predstavlja krožnico? Krožnica je množica točk T(x, y) v ravnini, ki so za r oddaljene od izbrane točke S. Točka S je središče krožnice, r pa polmer krožnice. Enačbe krožnice s središčem S(0,0) in polmerom r: Ne glede na lego točke T(x, y) na krožnici lahko uporabimo Pitagorov izrek: r y x + y = r y x r x

84 Enačba krožnice s središčem v točki S(p, q) in polmerom r: (x p) + (y q) = r Enačba x + y + ax + by + c = 0 lahko predstavlja krožnico, točko ali prazno množico. Enačbo x + y + ax + by + c = 0 preoblikujmo v enačbo (x p) + (y q) = r. Preoblikujmo x + ax + y + by + c = 0 (x + a) a + (y + b) b + c = 0 (x + a) + (y + b) = a + b c Krožnica je, če je desna stran enačbe a + b > c. Koren a + b c je polmer krožnice. Če je a + b = c, enačba prestavlja točko T( a, b). Vsota kvadratov je 0, če sta oba člena 0, torej x = a in y = b. Če je a + b < c, enačbi ne ustreza nobena točka, saj vsota kvadratov ne more biti negativna. 4. Povejte geometrijsko definicijo elipse in zapišite enačbo elipse, katere osi ležita na koordinatnih oseh. Skicirajte to elipso. Zapišite enačbo elipse, ki ima središče v točki S(p, q) in osi vzporedni s koordinatnima osema. Elipsa je množica točk T(x, y) v ravnini, za katere je vsota razdalj do izbranih točk gorišč konstantna. Naj bosta F 1 in F gorišči. Potem je d(t, F 1 ) + d(t, F ) = konst. Ta konstanta je dvakratnik daljše polosi elipse. Elipsa, ki ima osi na koordinatnih oseh, ima središče S(0,0). Njena enačba: x + y a = 1, a, b polosi b Goriščna razdalja e = a b, če je a > b. Goriščna razdalja e = b a, če je a < b. a > b a < b x 4 + y = 1 Gorišči sta na osi x. x + y 4 9 = 1 Gorišči sta na osi y. Enačba elipse s središčem v S(p, q) in osema, vzporednima koordinatnima osema: (x p) a + (y q) b = 1

85 5. Povejte geometrijsko definicijo hiperbole in zapišite enačbo hiperbole, katere osi ležita na koordinatnih oseh. Skicirajte to elipso. Zapišite enačbo hiperbole, ki ima središče v točki S(p, q). Hiperbola je množica točk T(x, y) v ravnini s konstantno razliko razdalj do dveh izbranih točk gorišč. Naj bosta F 1 in F gorišči. Potem je d(t, F 1 ) d(t, F ) = konst. Ta konstanta je dvakratnik realne polosi hiperbole. Hiperbola, ki ima osi na koordinatnih oseh, ima središče S(0,0). Njeni enačbi: x y y a b = 1 ali x = 1, a, b polosi Goriščna razdalja b a e = a + b x 4 y 9 = 1 y x 4 = 1 Gorišči sta na osi x. Gorišči sta na osi y. Enačba hiperbole s središčem v S(p, q) in osema, vzporednima koordinatnima osema: (x p) a (y q) b = 1 ali (y q) b (x p) a = 1 6. Povejte geometrijsko definicijo parabole in zapišite njeno temensko enačbo. Zapišite koordinati gorišča in premice vodnice za primer y = px. Zapišite enačbo parabole, ki ima središče v točki T(r, d). Parabola je množica točk T(x, y) v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke gorišča in od izbrane premice vodnice. Enačba parabole, ki ima teme v izhodišču koordinatnega sistema, njena os pa je: os x: y = px Gorišče: F ( p, 0), premica vodnica: x = p os y: x = py Gorišče: F (0, p ), premica vodnica: y = p

86 y = px x = py x = 4y y = 6x Enačba parabole, ki ima teme v točki T(r, d), njena os pa je: vzporedna z osjo x: (y d) = p(x r) vzporedna z osjo y: (x r) = p(y d) 7. Katere množice točk v ravnini lahko predstavlja enačba Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0, če je vsaj eden od parametrov A ali C različen od 0? Enačba Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0, če je vsaj eden od parametrov A ali C različen od 0, lahko v ravnini predstavlja: Če je A = C 0, je enačba nerazcepna. Predstavlja lahko: - krožnico, - točko, - prazno množico. Če sta A 0 in C 0, imata pa isti predznak, je enačba nerazcepna. Predstavlja lahko: - elipso, ki ima osi na koordinatnih oseh ali na vzporednicah s koordinatnima osema, - točko, - prazno množico. Če sta A 0 in C 0, imata pa nasprotni predznak, je enačba lahko: - nerazcepna. Predstavlja hiperbolo, ki ima osi na koordinatnih oseh ali na vzporednicah s koordinatnima osema. - razcepna. Predstavlja dve premici, ki se sekata.

87 Če je eden od parametrov A ali C enak 0, drugi pa različen od 0, je enačba lahko: - nerazcepna. Predstavlja lahko: o parabolo, ki ima os eno od koordinatnih osi ali pa vzporednico z eno od koordinatnih osi, o prazno množico. - razcepna. Predstavlja lahko: o dve različni vzporedni premici. Vzporedni sta eni od koordinatnih osi. o eno premico, šteto dvakrat, vzporedno eni od koordinatnih osi.

88 ZAPOREDJA IN VRSTE 1. Kaj je ε-okolica točke na številski premici? Napišite pogoj, da število x leži v ε-okolici števila a. ε-okolica dane točke na številski premici je odprt interval, ki to točko vsebuje in ima krajišči enako oddaljeni od dane točke. ε-okolica točke a je odprt interval O ε (a) = (a ε, a + ε) = {x R; a ε < x < a + ε} = {x R; x a < ε }. Točka leži v ε-okolici: x 0 ε (a) a ε < x < a + ε x a < ε.. Kaj je zaporedje? Kdaj narašča (pada), kdaj je omejeno? Zaporedje je funkcija iz množice naravnih števil v množico realnih števil. Vsakemu naravnemu številu n priredi neko realno število a n. Zaporedje f: N R, f: 1 a 1 a 3 a 3 n a n D f = N, Z f = {a 1, a, a 3 a n } R Zaporedje je naraščajoče (strogo naraščajoče), če za vsak n N velja: a n+1 a n (a n+1 > a n ). Zaporedje je naraščajoče (strogo naraščajoče), če za vsak n N velja: a n+1 a n 0 (a n+1 a n > 0). Za pozitivno zaporedje, pri katerem so vsi členi zaporedja pozitivna števila, velja, da je naraščajoče (strogo naraščajoče), če za vsak n N velja: a n+1 a n 1 ( a n+1 a n > 1 ). Zaporedje je padajoče (strogo padajoče), če za vsak n N velja: a n+1 a n (a n+1 < a n ). Zaporedje je padajoče (strogo padajoče), če za vsak n N velja: a n+1 a n 0 (a n+1 a n < 0). Za pozitivno zaporedje velja, da je padajoče (strogo padajoče), če za vsak n N velja: a n+1 a n 1 ( a n+1 a n < 1 ). Zaporedje je omejeno navzgor, če obstaja realno število M, tako da za vsak n N velja a n M. Število M imenujemo zgornja meja zaporedja. Če je zaporedje navzgor omejeno, obstaja neskončno zgornjih mej. Najmanjši med njimi pravimo natančna zgornja meja ali supremum zaporedja. Supremum je lahko člen zaporedja ali ne. Če obstaja člen, ki je enak supremumu, ga imenujemo maksimum zaporedja.

89 Zaporedje je omejeno navzdol, če obstaja realno število m, tako da za vsak n N velja a n m. Število m imenujemo spodnja meja zaporedja. Če je zaporedje navzdol omejeno, obstaja neskončno spodnjih mej. Največji med njimi pravimo natančna spodnja meja ali infimum zaporedja. Infimum je lahko člen zaporedja ali ne. Če obstaja člen, ki je enak infimumu, ga imenujemo minimum zaporedja. Zaporedje je omejeno, če je omejeno navzgor in navzdol. 3. Kaj je limita zaporedja? Navedite pravila za računanje z limitami konvergentnih zaporedij. Število a je limita zaporedja, če se v vsaki njegovi okolici, ki je lahko poljubno majhna, nahajajo skoraj vsi členi tega zaporedja. V vsaki njegovi okolici je neskončno členov, zunaj okolice pa končno. Število a je limita zaporedja, če k vsakemu pozitivnemu številu ε, ki je lahko poljubno majhno, obstaja naravno število N, da je za vsako naravno število n > N: a n a < ε. Pišemo Pravila za računanje: lim a n = a. n Če konvergentnemu zaporedju dodamo ali odvzamemo končno členov, dobimo zaporedje, ki je tudi konvergentno in ima isto limito kot prvotno zaporedje. Vsako neskončno podzaporedje konvergentnega zaporedja je konvergentno zaporedje in ima isto limito kot dano zaporedje. lim c = c n 1 lim = 0, lim n n n 1 = 0, kεn nk lim n an = 0, 0 < a < 1, lim a n = 1, a = 1 n Limita vsote, razlike, produkta, kvocienta zaporedij je enaka vsoti, razliki, produktu, kvocientu limit, če limite obstajajo. Pri kvocientu mora biti limita imenovalca različna od nič. lim (1 + 1 n n n n ) = e lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n a n lim lim = n b n n a n lim n b n, lim n b n 0 4. Kdaj je zaporedje aritmetično? Zapišite splošni člen in obrazec za vsoto prvih n členov. Kaj je aritmetična sredina dveh pozitivnih števil? Zaporedje je aritmetično, če je razlika med poljubnim členom in njegovim neposrednim predhodnikom konstantna, a n+1 a n = d, n N. Splošni člen aritmetičnega zaporedja: a n = a 1 + (n 1)d

90 Vsota prvih n členov aritmetičnega zaporedja: s n = n (a 1 + (n 1)d) Aritmetična sredina dveh pozitivnih števil a in b je število a+b. 5. Kdaj je zaporedje geometrijsko? Zapišite splošni člen in vsoto prvih n členov. Kaj je geometrijska sredina dveh pozitivnih števil? Zaporedje je geometrijsko, če je kvocient med poljubnim členom in njegovim neposrednim predhodnikom konstanten, a n+1 a n = q, n N. Splošni člen geometrijskega zaporedja: a n = a 1 q n 1 Vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja: s n = a 1 (qn 1), q 1. q 1 Geometrijska sredina pozitivnih števil a in b je število a b. 6. Dokažite, da je geometrijska sredina dveh pozitivnih števil manjša ali enaka aritmetični sredini istih dveh števil. Pri katerih pogojih sta obe sredini enaki? Naj bosta a in b dve pozitivni realni števili. Potem je Zato je a+b a + b ab = a + b ab = a ab + b = ( a b) 0. ab. Aritmetična sredina dveh pozitivnih realnih števil je torej večja od njune geometrijske sredine. Obe sredini sta enaki, če je njuna razlika nič. Iz zgornjega računa vidimo, da razlika nič, če sta števili a in b enaki. 7. Kaj je vrsta in kdaj je konvergentna? Vrsta je vsota neskončno členov zaporedja: s = a 1 + a + a 3 +. Vsota vrste je limita zaporedja delnih vsot, če ta limita obstaja. Zaporedje delnih vsot: s 1 = a 1 s = a 1 + a s 3 = a 1 + a + a 3 s n = a 1 + a + + a n Vsota vrste: s = lim n s n Če je zaporedje delnih vsot konvergentno (ima limito), je vrsta konvergentna (ima vsoto.)

91 8. Kdaj obstaja vsota neskončnega geometrijskega zaporedja in kolikšna je? Vsota neskončnega geometrijskega zaporedja obstaja oz. neskončna geometrijska vrsta je konvergentna, če je absolutna vrednost količnika manjša od 1, q < 1. Vsota neskončne geometrijske vrste: s = a 1, 1 < q < 1 1 q 9. Zapišite in razložite osnovne pojme in obrazce za navadno in obrestno obrestovanje. Denarni znesek, ki ga obrestujemo, imenujemo glavnica ali kapital. Lahko je: vloga, če ga vložimo v banko, zavarovalnico dolg, če si ga izposodimo. Če gre za vlogo, prejmemo od banke oz. tistega, ki razpolaga z našim denarjem, obresti. Če pa si denar izposodimo, plačamo obresti posojilodajalcu. Obresti so odvisne od: glavnice (G 0 ), časa obrestovanja, obrestne mere p, ki je izražena v odstotkih. Čas med dvema zaporednima pripisoma obresti imenujemo obrestovalno ali kapitalizacijsko obdobje, obrestovalna ali kapitalizacijska doba, lahko tudi obrestovalni ali kapitalizacijski čas. To je lahko eno leto, pol leta, en mesec, en dan... Obrestna mera p je letna. Če kapitalizacijska doba ni leto, moramo obrestno mero prilagoditi tej dobi. Obresti po enem letu oz. enem obrestovalnem obdobju so G 0 p Pri navadnem obrestovanju ves čas obrestujemo le začetno glavnico. Zneski tvorijo aritmetično zaporedje, ki ima za diferenco obresti v enem obrestovanju obdobju: G 0, G 1 = G 0 + G 0 p, G 100 = G 0 + G 0 p,, G 100 n = G 0 + n G 0 p 100. Pri obrestnem obrestovanju se ob koncu kapitalizacijskega obdobja nastale obresti pripišejo h glavnici in se naprej obrestujejo skupaj z glavnico. Obrestovalni ali kapitalizacijski faktor: r = 1 + Zneski pri obrestnem obrestovanju tvorijo geometrijsko zaporedje, ki ima za količnik obrestovalni faktor r: G 0, G 1 = G 0 r, G = G 0 r,, G n = G 0 r n p 100

92 DIFERENCIALNI RAČUN 1. Kaj je odvod funkcije f v dani točki in kakšen geometrijski pomen ima? Odvod funkcije f v dani točki je limita diferenčnega količnika te funkcije v tej točki, ko gre sprememba neodvisne spremenljivke proti nič, če ta limita obstaja. f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Odvod funkcije f v točki x je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije v točki T(x, f(x)). Pomeni naklon krivulje v tej točki oz. hitrost spreminjanja vrednosti funkcije. Če je: Če je: f (x) velika, se vrednost funkcije v točki x hitro spreminja. Graf funkcije v točki T(x, f(x)) je strm. f (x) majhna, se vrednost funkcije v točki x počasi spreminja. Graf funkcije v točki T(x, f(x)) je položen. f (x) > 0, je funkcija naraščajoča. f (x) < 0, je funkcija padajoča. f (x) = 0, je x stacionarna točka funkcije. Tangenta na graf funkcije v točki T(x, f(x)) je vodoravna. Stacionarna točka je lahko maksimum, minimum ali prevoj.. Navedite pravila za računanje odvoda vsote, produkta in kvocienta funkcij ter odvod produkta funkcije s številom. Izpeljite formulo za odvod produkta funkcije s številom. Če sta funkciji f in g odvedljivi v točki x, sta v točki x odvedljivi tudi njuna vsota in razlika. Odvod vsote ali razlike funkcij je enak vsoti ali razliki odvodov posameznih funkcij. Velja (f ± g) = f ± g. Če sta funkciji f in g odvedljivi v točki x, je v točki x odvedljiv tudi njun produkt. Velja (fg) = f g + fg. Če sta funkciji f in g odvedljivi v točki x in je g(x) 0, je v točki x odvedljiv tudi njun kvocient f(x) g(x). Velja (f g ) = f g fg, g g(x) 0. Odvod funkcije pomnožene s konstanto: (cf) = cf. Odvod funkcije pomnožene s konstanto: (cf) = cf. Uporabimo pravilo za odvod produkta funkcij in upoštevamo, da je odvod konstantne funkcije enak 0. (cf(x)) = 0 f(x) + cf (x) = cf (x)

93 3. Opredelite pojem lokalnega ekstrema funkcije in ekstrema funkcije na danem območju. Kako določimo globalne ekstreme odvedljive funkcije na danem zaprtem intervalu? Funkcija f ima v točki x 0 lokalni maksimum M, če obstaja okolica točke x 0, da je za vsak x iz te okolice f(x) M. Funkcija f ima v točki x 0 lokalni minimum m, če obstaja okolica točke x 0, da je za vsak x iz te okolice f(x) m. Odvedljiva funkcija f ima v točki x 0 lokalni maksimum, če je f (x 0 ) = 0, levo od x 0 odvod f (x) > 0, desno od x 0 pa odvod f (x) < 0. Odvedljiva funkcija f ima v točki x 0 lokalni minimum, če je f (x 0 ) = 0, levo od x 0 odvod f (x) < 0, desno od x 0 pa odvod f (x) > 0. Dvakrat odvedljiva funkcija f ima v točki x lokalni ekstrem, če je f (x) = 0 in f (x) 0. Če je f (x) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je f (x) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. (Večkrat odvedljiva funkcija f ima v točki x lokalni ekstrem tudi, če je f (x) = f (x) = f (x) = 0 in f (4) (x) 0. Če je f (4) (x) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je f (4) (x) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. Funkcija ima ekstrem tudi v točki, v kateri je še več odvodov enakih 0, prvi odvod, ki je v tej točki različen od 0, je sode stopnje. Če je ta negativen, je v tej točki lokalni maksimum, če je pozitiven, je v tej toči lokalni minimum.) Funkcija f ima na nekem območju maksimum M, če za vsak x iz tega območja velja, da je f(x) M. Funkcija f ima na nekem območju minimum m, če za vsak x iz tega območja velja, da je f(x) m. Globalni ekstrem odvedljive funkcije na zaprtem intervalu je lahko v eni od stacionarnih točk ali pa v krajiščih intervala. Globalni maksimum na zaprtem intervalu je največja vrednost med lokalnimi maksimumi na tem intervalu ter funkcijskima vrednostma v krajiščih intervala. Globalni minimum na zaprtem intervalu je najmanjša vrednost med lokalnimi minimumi na tem intervalu ter funkcijskima vrednostma v krajiščih intervala. 4. Kaj je stacionarna točka? Kako z odvodom ugotovimo, ali funkcija na danem intervalu narašča ali pada? Kako z odvodom ugotovimo, ali je v stacionarni točki ekstrem? Stacionarna točka je vrednost neodvisne spremenljivke x, za katero je odvod f (x) = 0. Stacionarna točka je lahko ekstrem (maksimum ali minimum) ali prevoj. Funkcije f je na danem intervalu naraščajoča, če je za vsak x iz tega intervala odvod f (x) > 0. Funkcije f je na danem intervalu padajoča, če je za vsak x iz tega intervala odvod f (x) < 0. Odvedljiva funkcija f ima v stacionarni točki x 0 lokalni maksimum, če je f (x 0 ) = 0, levo od x 0 odvod f (x) > 0, desno od x 0 pa odvod f (x) < 0. Odvedljiva funkcija f ima v stacionarni točki x 0 lokalni minimum, če je f (x 0 ) = 0, levo od x 0 odvod f (x) < 0, desno od x 0 pa odvod f (x) > 0. Če za odvedljivo funkcijo f velja, da je f (x 0 ) = 0, levo in desno od x 0 pa ima odvod f isti predznak, je v stacionarni točki x 0 prevoj.

94 Dvakrat odvedljiva funkcija f ima v točki x lokalni ekstrem, če je f (x) = 0 in f (x) 0. Če je f (x) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je f (x) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. (Večkrat odvedljiva funkcija f ima v točki x lokalni ekstrem tudi, če je f (x) = f (x) = f (x) = 0 in f (4) (x) 0. Če je f (4) (x) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je f (4) (x) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. Funkcija ima ekstrem tudi v točki, v kateri je še več odvodov enakih 0, prvi odvod, ki je v tej točki različen od 0, je sode stopnje. Če je ta negativen, je v tej točki lokalni maksimum, če je pozitiven, je v tej toči lokalni minimum.) 5. Izračunajte odvode funkcij: f(x) = ax n n + b, g(x) = c x m, h(x) = cos ax, u(x) = e x ln x, a, b, c R, n, m N Odvodi danih funkcij: f(x) = ax n + b n g(x) = c x m h(x) = cos ax u(x) = e x ln x f (x) = nax n 1 g (x) = c m n xm n 1 h (x) = a sin ax u (x) = e x ln x + ex x 6. Kako izračunamo kot med grafom funkcije f in abscisno osjo? Kako izračunamo kot med grafoma funkcij f in g? Kot med grafom funkcije f in abscisno osjo izračunamo tako, da: Izračunamo ničle funkcije oz. presečišče grafa funkcije z abscisno osjo. Naj bo presečišče točka T(x 0, 0). Lahko jih je več. Kot izračunamo za vsako točko posebej. Izračunamo odvod funkcije f v presečišču z osjo x: f (x 0 ). Odvod v točki x 0 je enak smernemu koeficientu tangente na graf dane funkcije v presečišču z osjo x, ta pa tangensu naklonskega kota tangente: f (x 0 ) = k t = tan α. Kot med grafom funkcije in abscisno osjo je kot med tangento na graf v presečišču in osjo x. To je ostri kot oz. največ kot 90. Če je naklonski kot tangente α topi kot, je kot med grafom funkcije in abscisno osjo suplementarni kot kotu α. Ta ostri kot lahko dobimo iz enakosti tan α = k t = f (x 0 ). V točki T 1 je naklonski kot tangente ostri kot α 1. To je tudi kot med grafom funkcije in abscisno osjo. V točki T je naklonski kot tangente topi kot α. Kot med grafom funkcije in abscisno osjo je ostri kot π α.

95 Kot med grafoma funkcij f in g izračunamo tako, da: Izračunamo presečišče grafov teh dveh funkcij. Naj bo presečišče točka T(x 0, y 0 ). Lahko jih je več. Kot izračunamo za vsako točko posebej. Izračunamo odvoda obeh funkcij v tem presečišču: f (x 0 ) in g (x 0 ). Odvoda funkcij v točki x 0 sta enaka smernima koeficientoma tangent na grafa teh dveh funkcij v tem presečišču: f (x 0 ) = k 1 in g (x 0 ) = k. Kot med grafoma funkcij v presečišču je kot med tangentama na grafa v tem presečišču. Tega pa izračunamo po formuli za kot med premicama tan φ = k 1 k 1+k 1 k. 7. Kaj je stacionarna točka? Kako z drugim odvodom ugotovimo, ali je v stacionarni točki ekstrem? Opišite konveksne in konkavne funkcije. Stacionarna točka je vrednost neodvisne spremenljivke x, za katero je odvod f (x) = 0. Stacionarna točka je lahko ekstrem (maksimum ali minimum) ali prevoj. Odvedljiva funkcija f ima v stacionarni točki x 0 lokalni maksimum, če je f (x 0 ) = 0, levo od x 0 odvod f (x) > 0, desno od x 0 pa odvod f (x) < 0. Odvedljiva funkcija f ima v stacionarni točki x 0 lokalni minimum, če je f (x 0 ) = 0, levo od x 0 odvod f (x) < 0, desno od x 0 pa odvod f (x) > 0. Če za funkcijo f velja, da je f (x 0 ) = 0, levo in desno od x 0 pa ima odvod f isti predznak, je v stacionarni točki x 0 prevoj. Dvakrat odvedljiva funkcija f ima v točki x lokalni ekstrem, če je f (x) = 0 in f (x) 0. Če je f (x) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je f (x) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. (Večkrat odvedljiva funkcija f ima v točki x lokalni ekstrem tudi, če je f (x) = f (x) = f (x) = 0 in f (4) (x) 0. Če je f (4) (x) < 0, ima funkcija v tej točki lokalni maksimum. Če je f (4) (x) > 0, ima funkcija v tej točki lokalni minimum. Funkcija ima ekstrem tudi v točki, v kateri je še več odvodov enakih 0, prvi odvod, ki je v tej točki različen od 0, je sode stopnje. Če je ta negativen, je v tej točki lokalni maksimum, če je pozitiven, je v tej toči lokalni minimum.) Funkcija je v točki x konveksna, če obstaja okolica točke x, v kateri leži graf funkcije nad tangento ali na njej oz. natanko takrat, ko je drugi odvod funkcije v tej točki pozitiven. Funkcija je v točki x konkavna, če obstaja okolica točke x, v kateri leži graf funkcije pod tangento ali na njej oz. natanko takrat, ko je drugi odvod funkcije v tej točki negativen.

96 INTEGRALSKI RAČUN 1. Kaj je nedoločeni integral funkcije f? Kako izračunamo nedoločeni integral vsote oziroma razlike dveh funkcij in nedoločeni integral produkta funkcije s številom? Nedoločeni integral funkcije f je vsaka funkcija F, katere odvod je funkcija f. F(x) = f(x)dx F (x) = f(x) Nedoločeni integral ni natanko določen. Vsaki funkciji, katere odvod je funkcija f, rečemo primitivna funkcija k funkciji f. Nedoločeni integral je družina oz. množica vseh primitivnih funkcij, ki se med seboj razlikujejo po aditivni ali integracijski konstanti. Integral vsote oz. razlike: (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx Integral vsote oz. razlike funkcij je enak vsoti oz. razliki integralov posameznih funkcij. Integral produkta funkcije s številom: cf(x)dx = c f(x)dx Pomnoženo konstanto lahko postavimo pred integralski znak.. Pojasnite geometrijski pomen določenega integrala zvezne funkcije na danem intervalu in osnovno formulo integralskega računa (Newton-Leibnizova formula). Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] je limita spodnjih in zgornjih vsot, ko delitve gostimo, če limita obstaja. Določeni integral je število. Če je funkcija zvezna in nenegativna na nekem intervalu, je določeni integral te funkcije na tem intervalu ploščina lika med grafom funkcije in abscisno osjo.

97 Delitev intervala [a, b]: a = x 0, x 1, x x n = b, širine podintervalov [x i 1, x i ]: x i = x i x i 1, minimumi m i in maksimumi M i funkcije f na podintervalih [x i 1, x i ]. Spodnje vsote S n so vsote ploščin pravokotnikov s stranicami x i in m i, zgornje vsote Z n so vsote ploščin pravokotnikov s stranicami x i in M i. Ploščina lika med grafom funkcije f in abscisno osjo na intervalu [a, b] naj bo S. Limita spodnjih in zgornjih vsot, ko delitve gostimo, če limita obstaja, je določeni integral funkcije f. Če je funkcija zvezna in nenegativna, je določeni integral enak ploščini S: Newton-Leibnizova formula: n S n = m i x i i=1 b S = f(x)dx a n Z n = M i x i Če je f zvezna funkcija na intervalu [a, b], in je F njen nedoločeni integral oz. katerakoli primitivna funkcija, potem je b f(x)dx = F(b) F(a) = F(x) b a a i=1 3. Navedite nedoločene integrale funkcij: f(x) = ax + b (a, b R), g(x) = mx n (m, n R), h(x) = sin x, u(x) = e kx (k R). Integrali danih funkcij: f(x) = ax + b g(x) = mx n h(x) = sin x u(x) = e kx f(x)dx = ax + bx + C g(x)dx = m xn+1 n+1 + C h(x)dx = cos x + C u(x)dx = ekx k + C 4. Navedite in pojasnite formulo za prostornino rotacijskega telesa. Lik, omejen z grafom nenegativne zvezne funkcije na intervalu [a, b] in abscisno osjo, zavrtimo za 360 okrog osi x. Telo, ki ga dobimo, imenujemo rotacijsko telo ali vrtenina. Prostornina tega rotacijskega telesa: b V = π (f(x)) dx a Delitev intervala [a, b]: a = x 0, x 1, x x n = b, širine podintervalov [x i 1, x i ]: x i = x i x i 1, minimumi m i in maksimumi M i funkcije f na podintervalih [x i 1, x i ]. Če lik, omejen z grafom funkcije na intervalu [a, b] in abscisno osjo, zavrtimo za 360 okrog osi x, so spodnje vsote S n vsote prostornin valjev, ki imajo za polmere osnovnih ploskev minimume m i in višine x i, zgornje vsote Z n pa vsote prostornin valjev, ki imajo za polmere osnovnih ploskev maksimume M i in višine x i. Prostornina rotacijskega telesa naj bo V.

98 Ko delitve gostimo, se spodnje in zgornje vsote bližajo določenemu integralu, ki predstavlja prostornino vrtenine: n S n = πm i x i i=1 V = π (f(x)) dx a b n Z n = πm i x i i=1 5. Kako z določenim integralom izračunamo ploščino lika, omejenega z grafoma dveh funkcij? Naj bosta f in g zvezni funkciji. Njuna grafa naj se sekata v točkah z abscisama a in b. Ploščina lika, omejenega z grafoma Ploščina lika, omejenega z grafoma funkcij f in g, je funkcij f in g, je b b c S = (f(x) g(x))dx. S = (f(x) g(x))dx + (g(x) f(x))dx. a a b

99 6. Na primeru razložite uvedbo nove spremenljivke pri računanju nedoločenega in določenega integrala. Primer računanja nedoločenega integrala funkcije: Nova spremenljivka: x + 1 = t Diferencial: x dx = dt (x + 1) 3 x dx = t 3 dt = t4 4 + C = (x + 1) 4 + C 4 Primer računanja določenega integrala funkcije: π t 1 sin x cos x dx = t dt = 0 1 = 8 0 = Nova spremenljivka: sin x = t Novi meji: sin π 6 = 1 Diferencial: cos x dx = dt in sin 0 = 0 Lahko pa najprej izračunamo nedoločeni integral in vstavimo v nedoločeni integral prvotne meje sin x cos x dx = t dt = t + C = sin x π 6 sin x cos x dx = 0 sin x π 6 1 = 8 0 = C 7. Zapišite formulo za integracijo per partes. Naj bosta u in v odvedljivi funkciji. Potem je udv = uv vdu. Integracijo per partes uporabljamo za računanje integralov funkcij: x sin x, x n cos x, x n e x, n N, e x sin x, x n ln x, ln x Primer računanja nedoločenega integrala funkcije po metodi integracije po delih: x cos x dx = x sin x sin x dx = x sin x + cos x + C Izberemo: x = u in cos x dx = dv Potem je: dx = du in sin x = v

100 KOMBINATORIKA 1. Povejte osnovni izrek kombinatorike in pravilo vsote. Kaj je kombinatorično drevo? Osnovni izrek kombinatorike ali pravilo produkta: Če poteka izbira ali proces odločanja v k fazah, pri čemer je v 1. fazi možnih n 1 izbir ali odločitev, v. fazi n izbir ali odločitev... v k-ti fazi n k izbir ali odločitev in je število izbir ali odločitev v posamezni fazi neodvisno od izbir ali odločitev v prejšnjih fazah, potem je vseh možnih izbir ali odločitev Pravilo vsote: n = n 1 n n k. Če izbiramo med n 1 možnostmi prvega izbora ali n možnostmi drugega izbora... ali n k možnostmi k-tega izbora in so vsi ti izbori nezdružljivi (ne morejo nastopiti hkrati), je vseh možnih izbir n = n 1 + n + + n k. Kombinatorično drevo je shematski prikaz možnih izbir oz. odločitev, če proces odločanja poteka v več fazah. Shematski prikazi so lahko različni. Kombinatorično drevo. Kaj so permutacije brez ponavljanja in koliko jih je? Kaj so permutacije s ponavljanjem? Koliko jih je? Permutacija brez ponavljanja je razporeditev končnega števila različnih elementov v vrsto. Zelo pomemben je vrstni red. Če vrstni red dveh elementov zamenjamo, dobimo drugo permutacijo. Permutacija je tudi bijektivna preslikava končne množice same vase.

101 Število vseh permutacij brez ponavljanja n različnih elementov je P n = n (n 1) (n ) 3 1 = n! Permutacija s ponavljanjem je razporeditev končnega števila elementov, lahko tudi enakih, v vrsto. Zelo pomemben je vrstni red. Če zamenjamo vrstni red dveh različnih elementov, dobimo drugo permutacijo. Če zamenjamo vrstni red enakih elementov, dobimo isto permutacijo. Med n elementi v vrsti naj bo r 1, r,, r k enakih. Prvi element naj se ponovi r 1 -krat, drugi r -krat,..., k-ti r k -krat. Torej je r 1 + r + + r k = n. Število takih permutacij s ponavljanjem je P n r 1,r, r k = n! r 1! r! r k! 3. Kaj so variacije brez ponavljanja in kaj variacije s ponavljanjem ter koliko je prvih in koliko drugih? Variacije reda r brez ponavljanja iz n elementov je razporeditev r različnih elementov v vrsto oz. niz r različnih elementov, ki jih izbiramo izmed n različnih elementov, r n. Zelo pomemben je vrstni red. Če vrstni red dveh elementov zamenjamo, dobimo drugo variacijo. Število vseh variacij reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov je V n r = n (n 1) (n ) (n r + 1) = n! (n r)! Variacije reda r s ponavljanjem iz n elementov je razporeditev r elementov, lahko tudi enakih, v vrsto oz. niz r elementov, lahko enakih, ki jih izbiramo izmed n različnih elementov. Zelo pomemben je vrstni red. Če vrstni red dveh različnih elementov zamenjamo, dobimo drugo variacijo. Število vseh variacij reda r s ponavljanjem iz n različnih elementov je (p) r V n = n r 4. Kaj so kombinacije in koliko jih je? Kaj je binomski simbol in kako ga izračunamo? Navedite lastnosti binomskih simbolov. Pri permutacijah in variacijah je pomemben vrstni red elementov. Če zamenjamo vrstni red različnih elementov, dobimo drugo permutacijo ali variacijo. Pri kombinacijah nas zanima le razdelitev elementov v skupine, ne pa vrstni red elementov. Kombinacije reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov so podmnožice z močjo r množice z močjo n. Število vseh kombinacij reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov je C n r = V n r r! = n (n 1) (n ) (n r + 1) r! Število vseh kombinacij brez ponavljanja označimo tudi C n r = simbol ali binomski koeficient. = n! r! (n r)! n! = (n ) in ga imenujemo binomski r!(n r)! r

102 Če izbiramo hkrati iz množice z n 1 elementi r 1 elementov, iz množice z n elementi r elementov... in iz množice z n k elementi r k elementov, kjer vrstni red izbranih elementov ni pomemben, rečemo takim izborom vezane kombinacije. Število vezanih kombinacij je r C 1,r,,r k n1,n,,n k = ( n 1 r ) ( n 1 r ) ( n k r ) k Pri kombinacijah s ponavljanjem vrstni red elementov ni pomemben, lahko pa se elementi ponavljajo. Število vseh kombinacij reda r s ponavljanjem iz n različnih elementov je Lastnosti binomskih simbolov: 1. ( n 0 ) = 1, (n n ) = 1. ( n n ) = n, ( 1 n 1 ) = n 3. ( n r ) = ( n n r ) (p) 4. ( n r ) + ( n r + 1 ) = (n + 1 ), n r + 1 r + 1 C r n = C r n + r 1 n = ( ) r 5. Povejte binomski izrek. Koliko podmnožic ima množica z n elementi? Utemeljite odgovor na zadnje vprašanje. Z binomskim izrekom lahko izračunamo potenco dvočlenika ali binoma. (a + b) n = ( n 0 ) an + ( n 1 ) an 1 b + ( n ) an b + + ( n n 1 ) abn 1 + ( n n ) bn = Množica z n elementi ima n podmnožic. n = ( n r ) a n r b r r=0 Binomski simbol ( n ) pomeni število kombinacij reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov r oz. število podmnožic z močjo r množice z močjo n. Naj ima množica A n elementov. Množico vseh podmnožic množice A imenujemo potenčna množica PA množice A. Potenčna množica vsebuje eno (1 = ( n 0 )) prazno množico, n = (n 1 ) množic z enim elementom, (n ) množic z dvema elementoma... in eno (1 = ( n )) celo množico A. Z upoštevanjem binomskega izreka, n za a in b vstavimo vrednost a = b = 1, ugotovimo, da je vseh množic ( n 0 ) + (n 1 ) + (n ) + + (n n ) = (1 + 1)n = n. To je število elementov potenčne množice PA oz. število podmnožic množice A.

103 6. Opišite Pascalov trikotnik in pojasnite zvezo z binomskimi simboli (0) (1) () (3) (4) (5) (6) (7) Vrstice Pascalovega trikotnika so koeficienti v razvoju potenc dvočlenikov ali binomov oz. koeficienti v binomskem izreku. To so binomski simboli. S seštevanjem dveh koeficientov v vrstici dobimo koeficient v naslednji vrstici. To sledi iz lastnosti binomskih simbolov ( n r ) + ( n r + 1 ) = (n + 1 ), n r + 1. r Primerjajte variacije brez ponavljanja s kombinacijami. Kakšna je povezava med številoma V n r in C n r? Pri variacijah je pomemben vrstni red elementov. Če zamenjamo vrstni red različnih elementov, dobimo drugo variacijo. Pri kombinacijah nas zanima le razdelitev elementov v skupine, ne pa vrstni red elementov. Variacije reda r brez ponavljanja iz n elementov je razporeditev r različnih elementov v vrsto oz. niz r različnih elementov, ki jih izbiramo izmed n različnih elementov, r n. Kombinacije reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov so podmnožice z močjo r množice z močjo n. Število vseh variacij reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov je V n r = n (n 1) (n ) (n r + 1) = Število vseh kombinacij reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov je C n r = V n r r! = n (n 1) (n ) (n r + 1) r! n! (n r)! = n! r! (n r)! Povezava med številom kombinacij in variacij reda r brez ponavljanja iz n različnih elementov je C n r = V n r r! ali V n r = C n r r!

104 VERJETNOSTI RAČUN 1. Opišite osnovne pojme verjetnostnega računa: poskus, dogodek (nemogoč, gotov, slučajni, elementarni, sestavljeni) in definirajte verjetnost dogodka. Poskus je vsako dejanje, ki ga opravimo v natanko določenih pogojih. Če kakšen pogoj spremenimo, ni več isti poskus. Dogodek je pojav, ki se v poskusu lahko zgodi ali pa se ne zgodi. Dogodek vedno proučujemo v okviru natanko določenega poskusa. Gotov dogodek je dogodek, ki se v vsaki ponovitvi poskusa gotovo zgodi. Nemogoč dogodek je dogodek, ki se v nobeni ponovitvi poskusa ne more zgoditi. Slučajni dogodek je dogodek, ki se v nekaterih ponovitvah poskusa zgodi, v nekaterih ponovitvah pa ne. Dogodek je sestavljen, če ga lahko izrazimo kot vsoto vsaj dveh med seboj nezdružljivih dogodkov, od katerih ni nobeden nemogoč dogodek. Elementarni dogodek ali izid je dogodek, ki ni sestavljen. Oznaka E... ali E 1, E... Statistična definicija verjetnosti Verjetnost dogodka A v proučevanem poskusu je število P(A), pri katerem se ustali relativna frekvenca dogodka A v dovolj velikem številu ponovitev tega poskusa. Klasična definicija verjetnosti Verjetnost dogodka A v nekem poskusu je razmerje med številom ugodnih elementarnih dogodkov za nastop danega dogodka in številom vseh elementarnih dogodkov v tem poskusu. m število ugodnih elementarnih dogodkov za nastop dogodka A n število vseh elementarnih dogodkov v poskusu P(A) = m n Pogoj, da je ta definicija v redu je, da imajo vsi elementarni dogodki enako verjetnost. Pravimo, da je popoln sistem elementarnih dogodkov simetričen.. Kaj je vsota dogodkov in kaj je nasprotni dogodek? Kako izračunamo verjetnost nasprotnega dogodka in verjetnost vsote dogodkov? Vsota ali unija dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če se zgodi vsaj eden od danih dogodkov. Oznaka: A B ali A B C... Negacija dogodka ali nasprotni dogodek k danemu dogodku je dogodek, ki se zgodi, če se dani dogodek ne zgodi. Oznaka A. Velja: A A = N in A A = G Vsota verjetnosti dogodka in njegove negacije je enaka 1. P(A) + P(A ) = 1, P(A) = 1 P(A )

105 Verjetnost vsote nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti posameznih dogodkov. A B = N P(A B) = P(A) + P(B) Verjetnost vsote poljubnih dogodkov: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 3. Kaj je produkt dogodkov? Kako izračunamo verjetnost produkta? Kdaj sta dogodka neodvisna? Kako izračunamo verjetnost produkta neodvisnih dogodkov? Produkt ali presek dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če se zgodijo vsi dani dogodki hkrati. Oznaka: A B ali A B C... Velja: A B A in A A B A B B in B A B Dogodka A in B sta neodvisna, če je pogojna verjetnost P(A/B) = P(A) ali P(B/A) = P(B). (Pogoja P(A/B) = P(A) in P(B/A) = P(B) sta vedno izpolnjena hkrati. To sledi iz verjetnosti produkta dogodkov.) Verjetnost produkta neodvisnih dogodkov je produkt verjetnosti posameznih dogodkov. P(A B) = P(A)P(B) Dogodka A in B sta odvisna, če je P(A/B) P(A) ali P(B/A) P(B). Za odvisna dogodka moramo verjetnost produkta računati s pogojno verjetnostjo. Verjetnost produkta je P(A B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B). 4. Definirajte pogojno verjetnost. Kdaj sta dogodka neodvisna? Kako izračunamo verjetnost produkta neodvisnih dogodkov? Naj bo popoln sistem elementarnih dogodkov simetričen. Verjetnosti dogodka A pri pogoju, da se je zgodil nek drug dogodek B, rečemo pogojna verjetnost dogodka A glede na dogodek B oz. pri pogoju B. Oznaka: P(A/B) Pogojna verjetnost dogodka A pri pogoju B: P(A/B) = P(A B) P(B) Če sta dogodka A in B nezdružljiva, je A B = N in zato P(A/B) = 0. Dogodka A in B sta neodvisna, če je pogojna verjetnost P(A/B) = P(A) ali P(B/A) = P(B). (Pogoja P(A/B) = P(A) in P(B/A) = P(B) sta vedno izpolnjena hkrati. To sledi iz verjetnosti produkta dogodkov.) Verjetnost produkta neodvisnih dogodkov: P(A B) = P(A)P(B)

106 5. Opišite Bernoullijevo zaporedje. Kako izračunamo verjetnost dogodka v Bernoullijevem zaporedju? Bernoullijevo zaporedje je zaporedje neodvisnih poskusov, pri katerih se v vsakem poskusu zanimamo le za to, ali se zgodi dani dogodek A ali pa njegova negacija A. Dogodek A naj ima verjetnost P(A) = p. Dogodek A ima torej verjetnost P(A ) = 1 p = q. Verjetnost dogodka, da se v n ponovitvah poskusa dogodek A, ki ima v posamezni ponovitvi poskusa verjetnost p, zgodi natanko k-krat, dogodek A pa (n k)-krat: P(n; p; k) = ( n k ) pk q n k = ( n k ) pk (1 p) n k Bernoullijev obrazec

107 STATISTIKA 1. Na primeru opišite osnovne statistične pojme: populacija, vzorec, statistična enota, statistični znak, statistični parameter. Populacija ali statistična množica je množica, ki jo proučujemo. Vzorec je del populacije, ki jo proučimo. Statistična enota je posamezen element populacije. Statistični znak ali statistična spremenljivka ali podatek je tista značilnost populacije, ki nas v konkretnem proučevanju zanima. Statistični parametri so značilnosti populacije kot celote. Primer: Nadmorska višina slovenskih mest. Populacija: Vsa slovenska mesta. Vzorec: Vzorec so lahko kar vsa slovenska mesta, če nas zanimajo vsa. Sicer je vzorec množica tistih mest, ki ji dejansko proučimo. Statistična enota: Posamezno mesto. Statistični znak: Nadmorska višina mesta. Statistični parameter: Povprečna nadmorska višina slovenskih mest ali kakšna druga ugotovitev o nadmorski višini slovenskih mest.. Kaj pomenijo aritmetična sredina, mediana in modus in kako jih izračunamo? Aritmetična sredina dveh števil a in b je a+b. Aritmetična sredina ali povprečna vrednost števil x 1, x,, x N je μ = x = x 1+x + +x N N = N i=1 x i. N Če je več enakih vrednosti, npr. f 1 vrednosti x 1, f vrednosti x, f r vrednosti x r, izračunamo aritmetično sredino ali povprečno vrednost μ = x = f 1x 1 +f x + +f r x r = r i=1 f ix i. N N Če številske podatke razvrstimo po velikosti, je mediana podatek, od katerega je polovica podatkov manjših, polovica pa večjih. Če je podatkov liho število, je mediana ravno srednji podatek (podatek na N+1 tem mestu). Če je podatkov sodo število, je mediana aritmetična sredina srednjih dveh podatkov. Modus je podatek, ki se največkrat pojavi. Modusov je lahko tudi več, če najbolj pogost podatek ni samo eden, ampak se več podatkov pojavi enakokrat.

108 3. Opišite prikaz statističnih podatkov na tri različne načine. Načine prikazovanja predstavimo na primeru. Oddaljenosti domov dijakov od šole v km: N = 30, 4, 7, 11, 11, 14, 9, 18, 1, 4, 1, 1, 1, 6, 1, 17, 18, 1, 11, 11, 5, 3, 9, 16, 10, 14, 10, 13, 3, 5 Uredimo podatke po velikosti: 1, 1, 1,, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 1, 13, 14, 14, 16, 17, 18, 18, 1, 1, 4, 9 Populacija: dijaki šole, vzorec: dijaki enega razreda, statistična enota: posamezni dijak, statistični znak, podatek, spremenljivka: oddaljenost od šole Prikaz podatkov: Tabela: Podatke združimo v razrede Razred Oddaljenost (v km) Sredina (v km) Število dijakov (f k ) Delež dijakov (f 0 k ) 1 0 5,5 7 0, ,5 5 0, ,5 10 0, ,5 4 0, ,5 3 0, ,5 1 0,033 Skupaj 30 Frekvenčni poligon Oddaljenost od šole Število dijakov Oddaljenost v km

109 Frekvenčni histogram, stolpčni diagram Število dijakov Oddaljenost od šole Oddaljenost v km Število dijakov Oddaljenost od šole Oddaljenost v km Frekvenčni kolač ali strukturni krog Oddaljenost od šole 13% 10% 3% 34% 3% 17%

110 4. Razložite pojme: variacijski razmik, standardni odklon in medčetrtinski razmik? Variacijski razmik ali razpon je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo statistične spremenljivke: R = x max x min Variacijski razmik je torej izračunan iz obeh skrajnih vrednosti statistične spremenljivke, ne glede na to, kako so razporejene vrednosti vmes. Lahko so razporejene enakomerno, lahko je večina bližje najmanjši vrednosti, lahko je večina bližje največji vrednosti. Iz variacijskega razmika ne moremo razbrati, kako so posamezne vrednosti razporejene med najmanjšo in največjo vrednostjo. Medčetrtinski razmik ali interkvartilni rang je razlika med tretjim in prvim kvartilom IR = Q 3 Q 1 Prvi kvartil je mediana prve polovice podatkov (od prvega podatka do mediane celega niza podatkov), tretji kvartil pa je mediana druge polovice podatkov (od mediane celega niza podatkov do zadnjega podatka). Variacijski razmik, mediano, kvartile in medčetrtinski razmik lahko zelo nazorno ponazorimo s škatlo z brki ali diagramom kvartilov. Disperzija ali varianca ter standardni odklon povesta, kako so posamezne vrednosti razpršene okrog srednje vrednosti. Če sta majhna, so vrednosti blizu srednje vrednosti, če sta velika, pa so posamezne vrednosti bolj oddaljene od srednje vrednosti. Disperzija ali varianca je povprečje kvadratov odklonov posameznih vrednosti od povprečne vrednosti. Standardni odklon ali standardna deviacija σ je koren iz disperzije. Če so vrednosti x 1, x,, x N in srednja vrednost μ, je disperzija σ = D = (x 1 μ) +(x μ) + +(x N μ) N = N i=1 (x i μ). N Če je več enakih vrednosti, npr. f 1 vrednosti x 1, f vrednosti x, f r vrednosti x r in srednja vrednost μ, izračunamo disperzijo Disperzijo lahko izračunamo tudi Standardni odklon je σ = D = f 1(x 1 μ) +f (x μ) + +f r (x r μ) N = r i=1 f i(x i μ). N σ = D = x 1 +x + +x N μ ali σ = D = f 1x 1 +f x + +f r x r μ. N N σ = D = (x 1 μ) +(x μ) + +(x N μ) N ali σ = D = f 1(x 1 μ) +f (x μ) + +f r (x r μ). N

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6 SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu

Prikaži več

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih

Prikaži več

4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov

4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov 4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,

Prikaži več

MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140

MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško

Prikaži več

Srednja šola za oblikovanje

Srednja šola za oblikovanje Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen

Prikaži več

INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n

INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo

Prikaži več

Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.

Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih

Prikaži več

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z

Prikaži več

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI 3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.

Prikaži več

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam 1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske

Prikaži več

M

M Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Prikaži več

Osnove matematicne analize 2018/19

Osnove matematicne analize  2018/19 Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko

Prikaži več

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................

Prikaži več

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015 Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10

Prikaži več

Vektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč

Vektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)

Prikaži več

DN5(Kor).dvi

DN5(Kor).dvi Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n

Prikaži več

Vsebinska struktura predmetnih izpitnih katalogov za splošno maturo

Vsebinska struktura predmetnih izpitnih katalogov za splošno maturo Ljubljana 017 MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 019, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v

Prikaži več

jj

jj PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog je določil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na 60. seji 27. 8. 2003 in se uporablja v programih za pridobitev

Prikaži več

UČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR , Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi ci

UČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR , Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi ci UČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR 1.9.2016, Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi cilji opredelimo namen učenja in poučevanja matematike.

Prikaži več

Gregor Rabič, janja čeh Ploščina štirikotnika Vsebina dokumenta je avtorsko zaščitena. Gradivo je v dani obliki dostopno brezplačno in povsem in brez

Gregor Rabič, janja čeh Ploščina štirikotnika Vsebina dokumenta je avtorsko zaščitena. Gradivo je v dani obliki dostopno brezplačno in povsem in brez Gregor Rabič, janja čeh Ploščina štirikotnika Vsebina dokumenta je avtorsko zaščitena. Gradivo je v dani obliki dostopno brezplačno in povsem in brez omejitev uporabnikom na voljo za osebno uporabo kot

Prikaži več

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na

Prikaži več

Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja

Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so

Prikaži več

Vrste

Vrste Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,

Prikaži več

Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito

Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito KAZALO 1 UVOD... 3 2 IZPITNI CILJI... 4 3 ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA... 5 3.1 Shema izpita... 5 3.2 Tipi nalog in vrednotenje...

Prikaži več

PowerPointova predstavitev

PowerPointova predstavitev Obravnava kotov za učence s posebnimi potrebami Reading of angles for pupils with special needs Petra Premrl OŠ Danila Lokarja Ajdovščina OSNOVNA ŠOLA ENAKOVREDNI IZOBRAZBENI STANDARD NIŽJI IZOBRAZBENI

Prikaži več

jj

jj Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 04, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat

Prikaži več

Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok

Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike

Prikaži več

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter 2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih

Prikaži več

Smc 8.indd

Smc 8.indd SVET MATEMATIČNIH ČUDES 8 UČNI LISTI 7 UČNI LISTI ZA DIFERENCIACIJO PRI POUKU I. Sklop Stran v učbeniku I. 7 II. 8 5 III. 6 69 IV. 70 89 V. 90 5 VI. 6 Oznake ravni zahtevnosti... minimalna raven... temeljna

Prikaži več

Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr

Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje

Prikaži več

Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit

Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori

Prikaži več

P182C10111

P182C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE

Prikaži več

Matematika 2

Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo

Prikaži več

Rešene naloge iz Linearne Algebre

Rešene naloge iz Linearne Algebre UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana

Prikaži več

Posebne funkcije

Posebne funkcije 10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije

Prikaži več

P181C10111

P181C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

VAJE

VAJE UČNI LIST Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku 1) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje in minute ali obratno: a),2 d) 19,1 8,9 e) 28 c) 2 f) 8 2) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje

Prikaži več

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni

Prikaži več

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več

MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več ZBIRKA ZNAM ZA VEČ imatematika 9+ Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Avtorici: Jana Draksler

Prikaži več

Poslovilno predavanje

Poslovilno predavanje Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12

Prikaži več

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,

Prikaži več

Zgledi:

Zgledi: a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf

Prikaži več

Funkcije in grafi

Funkcije in grafi 14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk

Prikaži več

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn 5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R

Prikaži več

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov

Prikaži več

Layout 1

Layout 1 PREIZKUS IZ MATEMATIKE - Višja srednja šola - Drugi razred Preverjanje znanja Šolsko leto 2011 2012 PREIZKUS IZ MATEMATIKE Višja srednja šola Drugi razred Prostor za samolepilno etiketo NAVODILA V snopiču

Prikaži več

CpE & ME 519

CpE & ME 519 2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj

Prikaži več

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1

Prikaži več

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:

Prikaži več

rm.dvi

rm.dvi 1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v

Prikaži več

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj

Prikaži več

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0 PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8

Prikaži več

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo

Prikaži več

KOTNE FUNKCIJE Kotne funkcije uporabljamo le za pravokotni trikotnik! Sinus kota α je enak razmerju dolžin kotu nasprotne katete in hipotenuze. sin α

KOTNE FUNKCIJE Kotne funkcije uporabljamo le za pravokotni trikotnik! Sinus kota α je enak razmerju dolžin kotu nasprotne katete in hipotenuze. sin α KOTNE FUNKCIJE Kotne funkije uporljmo le z prvokotni trikotnik! Sinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu nsprotne ktete in hipotenuze. sin α = Kosinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu priležne ktete in hipotenuze.

Prikaži več

Del 1 Limite

Del 1 Limite Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.

Prikaži več

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx 4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

Matematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A

Matematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je

Prikaži več

Učni načrti, s katerimi je bil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje seznanjen na svoji 139. seji, z dne in svoji 140. seji, z dne 17.2

Učni načrti, s katerimi je bil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje seznanjen na svoji 139. seji, z dne in svoji 140. seji, z dne 17.2 Učni načrti, s katerimi je bil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje seznanjen na svoji 139. seji, z dne 27.1.2011 in svoji 140. seji, z dne 17.2.2011. Učni načrt MATEMATIKA osnovna šola Redakcijsko

Prikaži več

POPOLNI KVADER

POPOLNI KVADER List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - Java_spremenljivke

Microsoft PowerPoint - Java_spremenljivke Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat

Prikaži več

FGG14

FGG14 Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,

Prikaži več

Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s

Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,

Prikaži več

Microsoft Word - N doc

Microsoft Word - N doc Š i f r a u ~ e n c a/-k e : Dr`avni izpitni center *N05140131* REDNI ROK MATEMATIKA PISNI PREIZKUS Ponedeljek, 9.maj 005 / 60 minut Dovoljeno gradivo in pripomo~ki: u~enec prinese s seboj modro ali ~rno

Prikaži več

Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja

Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 Pogojni stavek Pogojni (if) stavek Tip bool Primerjanje Uranič Srečo If stavek Vsi dosedanji programi so se izvajali zaporedoma, ni bilo nobenih vejitev Program razvejimo na osnovi odločitev pogojnega

Prikaži več

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =

Prikaži več

Izpit iz GEOMETRIJE 17. junij 2004 Vpisna ²tevilka: Vrsta: Ime in priimek: Sedeº: 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, prem

Izpit iz GEOMETRIJE 17. junij 2004 Vpisna ²tevilka: Vrsta: Ime in priimek: Sedeº: 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, prem 17. junij 2004 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, premice z = 0 v to ki (1, 1, 0) in premice y = 0 v to ki (1, 0, 1). 2. V projektivni ravnini so dane premice p 1 : 4x 3y z

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje

Prikaži več

Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t

Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)

Prikaži več

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,

Prikaži več

VAJE

VAJE UČNI LIST Geometrijska telesa Opomba: pri nalogah, kjer računaš maso jeklenih teles, upoštevaj gostoto jekla 7,86 g / cm ; gostote morebitnih ostalih materialov pa so navedene pri samih nalogah! Fe 1)

Prikaži več

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave

Prikaži več

ZveznostFunkcij11.dvi

ZveznostFunkcij11.dvi II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2013

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FIZIKA IN MATEMATIKA POLONA LUŽNIK Mentor: dr. MARKO RAZPET,

Prikaži več

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja 3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.

Prikaži več

Prostor

Prostor 8 Prostor Dolžina Podobni trikotniki Pravokotni trikotnik Krog, lok in kot Kotna razmerja Triangulacija Splošni trikotnik Zemljemerstvo Ploščina Prostornina Velikost Zemlje Do nebesnih teles Sončni sistem

Prikaži več

Osnove statistike v fizični geografiji 2

Osnove statistike v fizični geografiji 2 Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka

Prikaži več

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,

Prikaži več

FGG13

FGG13 10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega

Prikaži več

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama

Prikaži več

7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor o

7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor o 7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor ovrednoten z 2 točkama; če ni obkrožen noben odgovor

Prikaži več

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zg

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zg Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, april 2019 Vsebina Seznam

Prikaži več

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija' Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1

Prikaži več

Brownova kovariancna razdalja

Brownova kovariancna razdalja Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti

Prikaži več

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ: matematika - računalništvo NEŽKA RUGELJ

Prikaži več

Microsoft Word - N _moderacija.docx

Microsoft Word - N _moderacija.docx 2 N151-401-2-2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo, da moderirano različico navodil za vrednotenje dosledno upoštevate. Če učenec pravilno reši nalogo na svoj način (ki je matematično korekten) in je to razvidno

Prikaži več

Naloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za

Naloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti

Prikaži več