LaTeX slides

Transkripcija

1 Model v matri ni obliki ena ba modela Milena Kova 13 november 2012

2 Biometrija 2012/13 1 Nomenklatura Skalarji: tako kot doslej, male tiskane, neodebeljene Vektorji: male tiskane, odebeljene rke (y) ali pod rtamo (ỹ) Stolpi ni vektorji: y, β, u Vrsti ni vektorji: y 1xn, β 1xp, u 1xq ali yt, β T, u T Matrike: velike tiskane, odebeljene rke (X nxp ) ali pod rtamo (X ) Red matrike oz vektorja: A vrsticaxstol pec, X nxp, y nx1, y 1xn pri vektorjih lahko tudi izpustimo 1, ker smo dolo ili vrsti ni oz stolpi ni vektor z dogovorom

3 Biometrija 2012/13 2 Primer: preizkus mladic šival Pasma Mesec Farma Masa(kg) DP (g/dan) DHS(mm) 1 SL JAN A SL JAN B SL FEB C SL FEB A LW JAN B LW FEB C LW FEB A NL JAN B NL JAN C NL FEB A NL FEB B

4 Biometrija 2012/13 3 Ena bi modela za preizkus mladic v skalarni obliki Dnevni prirast y i jkl = µ + P i + M j + F k + u i jkl + e i jkl Debelina hrbtne slanine y i jklm = µ + P i + M j + F k + +b i (x i jkl 100) + u i jkl + e i jklm Pri dnevnem prirastu ne izvedemo korekcije na 100 kg, ker je izra unan iz mase ("ista" lastnost v drugi obliki) Pri DHS korekcijo opravimo znotraj pasme

5 Biometrija 2012/13 4 Vektor opazovanj za dnevni prirast y = vse meritve razvrstimo v stolpi ni vektor

6 Biometrija 2012/13 5 Vektor neznanih parametrov a) za sistematske vplive β = [ µ P 1 P 2 P 3 M 1 M 2 F 1 F 2 F 3 ] V modelu so sistematski vplivi samo kvalitativni (z razredi) Vektor vsebuje srednjo vrednost in vse parametre za sistematske vplive Indeksi ozna ujejo nivoje posameznih vplivov pasma (i = 1, 2, 3) in farma (k = 1, 2, 3) imata po tri nivoje mesec dva nivoja (j = 1, 2) V vektorjih / matrikah lahko nakaºemo posamezne skupine

7 Biometrija 2012/13 6 y Matrika dogodkov za sistematske vplive β [ ] µ P 1 P 2 P 3 M 1 M 2 F 1 F 2 F X Opi²e pogoje, v katerih se je dogodek zgodil

8 Biometrija 2012/ Matrika dogodkov za sistematske vplive [ ] µ P1 P 2 P 3 M 1 M 2 F 1 F 2 F Vpra²anje: Ali podatek y i jkl pripada parametru (razredu) na vrhu stolpca Odgovorite: DA (=1) ali NE (=0)

9 Biometrija 2012/ Matrika dogodkov za sistematske vplive [ ] µ P1 P 2 P 3 M 1 M 2 F 1 F 2 F Matrike in vektorje vedno ozna ite in poimenujte ƒe izpustimo vrednost, je vrednost 0, vrstice in stolpci morajo biti poravnani

10 Biometrija 2012/13 9 u = {u i jkl } Vektor neznanih parametrov a) za naklju ne vplive Vektor vsebuje vse parametre za naklju ne vplive u = [ u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 ] Vpliv ºivali ozna imo tudi z a a = [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 +sorodniki ] Pri naklju nih vplivih lahko nivoje ozna imo kar z zaporedjem Pri ºivalih dodamo tudi sorodnike iz porekla Lahko so tudi prisotni tudi drugi nivoji Nakaºemo lahko posamezne skupine parametrov, npr po naklju nih vplivih

11 Biometrija 2012/13 10 Matrika dogodkov za naklju ne vplive u [ u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 ] y Z V katerem razredu se je dogodek (podatek) zgodil? Pri vsakem naklju nem vplivu se pojavi 1 samo enkrat

12 Biometrija 2012/13 11 Matrika dogodkov za naklju ne vplive u [ ] u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u Izjemoma je matrika identi na, ker ima vsaka ºival po eno opazovanje in ºivali brez meritev (samo iz porekla) ni!

13 Biometrija 2012/13 12 dnevni prirast y = Xβ + Zu + e kjer pomeni: red y - vektor opazovanj za dnevni prirast 11 β - vektor parametrov za sistem vplive 9 u - vektor parametrov za naklju ne vpl 11 X - matrika dogodkov za sistem vplive 11 x 9 Z - matrika dogodkov za naklju ne vpl 11 x 11 e - vektor ostankov; e = {e i jkl } 11

14 Biometrija 2012/13 13 Pomni! Model Ena ba Opomba Sistematski y = Xβ + e vsi sistematski vplivi skupaj y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + e sistematske vplive lo imo Me²ani y = Xβ + Zu + e y = Xβ + Z u u + Z a a + e naklju ne vplive lo imo Naklju ni y = 1µ + Zu + e ima srednjo vrednost y = µ + Zu + e 1 = [ ] µ = [ µ µ µ µ µ µ µ ]

15 Biometrija 2012/13 14 Pomni! e = {e i jkl } e i jkl element stolpi nega vektorja e X = {x j } x j j-ti stolpec matrike X X = {x i} x i i-ta vrstica matrike X X = {x i j } x i j element iz i-te vrstice in j-tega stolpca matrike X

16 Biometrija 2012/13 15 dnevni prirast - prva lastnost y 1 = X 1 β 1 + Z 1 u 1 + e 1 kjer pomeni: red y 1 - vektor opazovanj za DP (y 1 = {y 1i jkl }) 11 β 1 - vektor parametrov za sistem vplive 9 u 1 - vektor parametrov za naklju ne vpl 11 X 1 - matrika dogodkov za sistem vplive 11 x 9 Z 1 - matrika dogodkov za naklju ne vplive 11 x 11 e 1 - vektor ostankov e 1 = {e 1i jkl } 11

17 Biometrija 2012/13 Opazovanja - debelina hrbtne slanine y 2 = ali y 3 =

18 Biometrija 2012/13 17 Opazovanja - debelina hrbtne slanine Vrstni red podatkov v vektorju opazovanj je lahko razli en Poleg prikazanih vektorjev opazovanj so ²e drugi Prikazana vektorja opazovanj sta razli na zaradi vrstnega reda elementov: y 2 y 3 Pri nastavljanju matrik dogodkov moramo paziti na vrstni red, ki smo ga izbrali v vektorju opazovanj in vektorjih neznanih parametrov za sistematske in naklju ne vplive

19 Biometrija 2012/13 18 Vektor neznanih parametrov a) za sistematske vplive y 2i jklm = µ 2 + P 2i + M 2 j + F 2k + b 2i (x i jkl 100) + u 2i jkl + e 2i jklm model podoben, vendar so parametri razli ni dodajmo oznako za lastnost y 2 = X 2 β 2 + Z 2 u 2 + e 2 β 2 = β S = druga lastnost [ µ2 P 21 P 22 P 23 M 21 M 22 F 21 F 22 F 23 b 21 b 22 b 23 ] ali debelina hrbtne slanine [ µs P S1 P S2 P S3 M S1 M S2 F S1 F S2 F S3 b S1 b S2 b S3 ]

20 Biometrija 2012/13 19 DHS - prva ponovitev [ µ2 P 21 P 22 P 23 M 21 M 22 F 21 F 22 F 23 b 21 b 22 b 23 ] Parametre smo ozna ili z indeksom za drugo lastnost

21 Biometrija 2012/13 20 DHS - obe ponovitvi Vektor opazovanj y in matriko dogodkov X nadaljujemo na naslednjih dveh slikah zaradi dolºine Posamezni del razdeljenega vektorja - delni vektor Posamezni del razdeljene matrike - delna matrika Pri vplivih z razredi sta vrednosti 1 (da) in 0 (ne) Pri regresijskih koecientih uporabimo (spremenjeno) neodvisno spremenljivko: (x i jkl 100) Ugotovili bomo, da sta delni matriki dogodkov za prve in druge ponovitve izjemoma enaki

22 Biometrija 2012/13 21 DHS - prva ponovitev [ ] µ2 P 21 P 22 P 23 M 21 M 22 F 21 F 22 F 23 b 21 b 22 b

23 Biometrija 2012/13 22 DHS - druga ponovitev [ µ2 P 21 P 22 P 23 M 21 M 22 F 21 F 22 F 23 b 21 b 22 b 23 ] pri drugi ponovitvi se vrstice ponavljajo, ker so te ponovitve bile izmerjene po istimi pogoji (pod istimi nivoji)

24 Biometrija 2012/ DHS - druga ponovitev [ ] µ2 P 21 P 22 P 23 M 21 M 22 F 21 F 22 F 23 b 21 b 22 b sedaj pa matriko X ²e sestavino

25 Biometrija 2012/13 24 Matrika dogodkov za sistematske vplive Vrednosti 0 smo zaradi preglednosti izpustili Obdrºali smo jo samo pri regresiji

26 Biometrija 2012/13 25 Vektor neznanih parametrov a) za naklju ne vplive u 2 = [ u21 u 22 u 23 u 24 u 25 u 26 u 27 u 28 u 29 u 2A u 2B ] vektor vsebuje vse parametre za naklju ne vplive (vpliv ºivali) za drugo lastnost vpliv ºivali ozna imo tudi z a a 2 = [ a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 28 a 29 a 2A a 2B ] prvi indeks ozna uje drugo lastnost, drugi indeks pa ºivali po vrsti (A=10, B=11) imamo samo dve ponovitvi, ki pa jih rabimo za eno plemensko vrednost na ºival

27 Biometrija 2012/13 26 Matrika dogodkov za naklju ne vplive - prvi del u 2 [ ] u 21 u 22 u 23 u 24 u 25 u 26 u 27 u 28 u 29 u 2A u 2B zaradi pomanjkanja prostora je prikazana samo del matrike, ki se nana²a na prvo meritev

28 Biometrija 2012/13 27 Matrika dogodkov za naklju ne vplive - drugi del u 2 [ ] u 21 u 22 u 23 u 24 u 25 u 26 u 27 u 28 u 29 u 2A u 2B zaradi pomanjkanja prostora je prikazana samo del matrike, ki se nana²a na drugo meritev

29 Biometrija 2012/13 28 Model: debelina hrbtne slanine y 2 = X 2 β 2 + Z 2 u 2 + e 2 kjer pomeni: red y 2 - vektor opazovanj za DHS 22 β 2 - vektor parametrov za sistem vplive 12 u 2 - vektor parametrov za naklju ne vpl 11 X 2 - matrike dogodkov za sistem vplive 22 x 12 Z 2 - matrika dogodkov za naklju ne vpl 22 x 11 e 2 - vektor ostankov; e 2 = {e 2i jklm } 22

30 Biometrija 2012/13 29 Modela za obe lastnosti - matri na oblika model za dnevni prirast (prvo lastnost) moramo popraviti: dodamo indeks y 1 = X 1 β 1 + Z 1 u 1 + e 1 y 2 = X 2 β 2 + Z 2 u 2 + e 2 modela sta si na videz zelo podobna, a sta razli na: po redu vektorjev in matrik po vsebini vektorjev in matrik e uporabimo modela lo eno, bomo opravili enolastnostno analizo modela lahko tudi sestavimo za dvolastnostno analizo

31 Biometrija 2012/13 30 dvolastnostni modeli opazovanja sestavimo v skupni vektor [ y1 ] y = y 2 = zapi²imo model za y 1 v prvo vrstico in y 2 v drugo vrstico [ X1 β ] = X 2 β [ 2 Z1 u ] [ e1 ] Z 2 u 2 + e 2

32 Biometrija 2012/13 31 dvolastnostni modeli sedaj pa ena bo preuredimo [ X1 0 ][ β 1 ] y = 0 X 2 [ Z1 0 β 2 ][ u1 ] + [ e1 ] + 0 Z 2 u 2 + e 2 dobili smo dve (sestavljeni) matriki dogodkov ( X, Z) (sestavljena) vektorja parametrov za sistematske ( β) in naklju ne (u) vplive

33 Biometrija 2012/13 32 dvolastnostni modeli y = Xβ + Zu + e kjer pomeni: red y - vektor opazovanj za debelino hrbtne slanine 33 β - vektor parametrov za sistem vplive 21 u - vektor parametrov za naklju ne vpl 22 X - matrike dogodkov za sistem vplive 33 x 21 Z - matrika dogodkov za naklju ne vpl 33 x 22 e - vektor ostankov 33

34 Biometrija 2012/13 33 Opazovanja - dve lastnosti y = [ y1 y 2 ] najprej vse meritve za prvo lastnost in potem ²e za drugo

35 Biometrija 2012/13 34 Opazovanja - dve lastnosti y = [ y1 y 3 ] najprej vse meritve za prvo lastnost in potem ²e za drugo, pri drugi lastnosti so meritve v drugem vrstnem redu

36 Biometrija 2012/13 35 Opazovanja - dve lastnosti y = Meritve za posamezne ºivali so skupaj, najprej za prvo lastnost, nato za prvo in drugo meritev pri drugi lastnosti, itd Meritve so lahko tudi v drugem vrstnem redu

37 Biometrija 2012/13 36 Matrika dogodkov za sistematske vplive I [µ 11 P 11 P 12 P 13 M 11 M 12 F 11 F 12 F 13 µ21 P 21 P 22 P 23 M 21 M 22 F 21 F 22 F 23 b 21 b 22 b Oklepaji pri y in matriki X manjkajo zaradi prostora

38 Biometrija 2012/13 37 Matrika dogodkov za sistematske vplive II [µ 11 µ 21 P 11 P 21 P 12 P 22 P 13 P 23 M 11 M 21 M 12 M 22 F 11 F 21 F 12 F 22 F 13 F 23 b 21 b 22 b 23 ] Tudi to je pravilno! Pazite na spremenjen vektor β Dve lastnosti dva parametra za vsak nivo

39 Biometrija 2012/13 38 Matrika dogodkov za naklju ne vplive I [a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a a 17 a 18 a 19 a 1A a 1B a21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 28 a 29 a 2A Vsebuje vedno samo vrednosti 1 ali 0 (izjema: reducirani model ºivali)

40 Biometrija 2012/13 39 Matrika dogodkov za naklju ne vplive II [a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 14 a 24 a 15 a 25 a a 26 a 17 a 27 a 18 a 28 a 19 a 29 a 1A a 2A a 1B a 2B parametra za ºival sta skupaj dve lastnosti dve plemenski vrednosti

41 Biometrija 2012/13 40 Primer II: manjkajo e meritve in sorodstvo ºivali šival Gnezdo Pasma Mesec Farma Masa(kg) DP (g/dan) DHS(mm) 1 1 SL JAN A SL JAN B SL FEB C SL FEB A LW JAN B LW FEB C LW FEB A NL JAN B NL JAN C NL FEB A NL FEB B

42 Biometrija 2012/13 41 Poreklo ºivali šival O e Mati šival O e Mati

43 Biometrija 2012/13 42 Vaja I Vzemimo naslednjo skalarno obliko ena be modela y Si jklm = µ S + P Si + M S j + F Sk + PM Si j + a Si jkl + e Si jklm y Si jklm = µ S + P Si + M S j + F Sk + PM Si j + b S (x i jklm 100) + a Si jkl + e Si jklm Zapis ena be modela v matri ni obliki y D = X D β D + Z D u D + e D y S = X s β s + Z s u s + e s V modelu so lahko tudi samo sistematski vplivi Sedaj dolo imo skupaj ²e vektorje v modelu, nadaljujte z matrikami sami Odlo ite se lahko sami za na in nastavljanja, a mu ostanite zvesti skozi celo nalogo

44 Biometrija 2012/13 43 Vektorji v modelu Vektor opazovanj (brez manjkajo ih vrednosti): y s = [ ] 1x17 Vektor parametrov za sistematske vplive:β s = [ µs P S1 P S2 P S3 M S1 M S2 F S1 F S2 F S3 PM S11 PM S12 PM S21 PM S22 PM S31 PM S32 b S ] 1x Vektor parametrov za naklju ni vpliv (ºivali tudi iz porekla): a = [a S1 a S2 a S3 a S4 a S5 a S6 a S7 a S8 a S9 a S10 a S11 ºivali s podatki a S12 a S13 a S14 a S15 a S ] 1X ºivali iz porekla Vektor ostankov e = {e i jklm } 17x1

45 Biometrija 2012/13 44 Matrike dogodkov Matrika dogodkov za sistematske vplive (17 podatkov, parametrov) X = 17x Matrika dogodkov za naklju ne vplive (17 podatkov, ºivali v poreklu) s1 s2 s Z = x Matrika dogodkov ima rezervirane stolpce za ºivali iz porekla ( s1), vendar pa nimajo povezav s podatki

46 Biometrija 2012/13 45 Vaja II Vzemimo naslednjo skalarno obliko ena be modela y Di jkl = µ D + P Di + M D j + F Dk + MF D jk + e Di jkl y Si jkl = µ S + P Si + M S j + F Sk + PM Si j + b IS (x i jklm 100) + b IIS (x i jklm 100) 2 + e Si jkl Dopi²ite vse elemente statisti nega modela v skalarni obliki Zapi²ite vse elemente modela v matri ni obliki Dopi²ite vse elemente statisti nega modela v matri ni obliki Nastavite, ozna ite in poimenujte vse vektorje in matrike dogodkov v modelu (podatki z manjkajo imi meritvami in poreklom) Dolo ite red vektorjev in matrik

47 Biometrija 2012/13 46 Vaja III Vzemimo naslednjo ena be modela v skalarni obliki y Di jklm = µ D + P Di + M D j + F Dk + MF D jk + g Di jkl + a Di jklm + e Di jklm y Si jklmn = µ S +P Si +M S j +F Sk +PM Si j +b S j (x i jklm x)+g Si jkl +a Si jklm +e Si jklmn Dopi²ite vse elemente statisti nega modela v skalarni obliki Zapi²ite vse elemente modela v matri ni obliki Dopi²ite vse elemente statisti nega modela v matri ni obliki Nastavite, ozna ite in poimenujte vse vektorje in matrike dogodkov v modelu (podatki z manjkajo imi meritvami in poreklom) Dolo ite red vektorjev in matrik