DN5(Kor).dvi

Transkripcija

1 Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n a m Pravila korenjenja.. 4. { n a ; n = k an = a ; n = k n a n b = n ab n a b = n a n b n am = n p a m p n m a = nm a 8. a n b = n a n b a m n = n a m Pretvorba potenca koren Zgled : Za katera realna števila x veljajo naslednje enakosti: (a) x = x (b) x = x (c) x = x (d) x 4 = ( x) 4. Ker je { x ; x 0 x = x = x ; x < 0 in x = x, prvo enakost rešijo vsa nenegativna števila (x 0), drugo, razen x = 0 nobeno število, tretjo nepozitivna števila (x 0) in zadnjo spet nenegativna števila (x 0). V zadnjem primeru upoštevamo, da je koren x definiran le za x 0. Zgled : Izračunaj točno vrednost izraza = 64 7 = 64 7 = 4.

2 Zgled : Kaj je več: ali? Razširimo oba korena na eksponent 6. Dobimo: = = 6 = 6 8 = 6 8 in = = 6 = 6 = 6 9. Odtod pa ˇze vidimo <. Zgled 4: Poenostavi izraz: a a a a a = a = a a = 6 a = a = a. Zgled : Poenostavi izraz x x y 7 x y x y 6 Poiščemo skupni korenski eksponent in razširimo nanj vse korene: x x y 7 x x y = x y 7 6 x y 6 x 4 y 4 x y 6 Urejanje: = 6 x 6 y Krajšanje: = x y Delno korenjenje: = x y Spreminjanje v pozitivne eksponente: = x y y y Racionalizacija imenovalca: = x y y = xy

3 Zgled 6: Odpravi koren iz imenovalca ulomkov in a a. Če kvadratni koren mnoˇzimo s samim seboj, koren izgine: =. Zato v ulomku števec in imenovalec mnoˇzimo s in dobimo: = =. V primeru kubičnega korena (koren s korenskim eksponentom ) mnoˇzenje s samim korenom ne odpravi korena. V pravilu krajšanja odkrijemo recept. Kubični koren izgine, a če z njim korenimo potence, katerih eksponenti so večkratniki števila. Zato: = a a a a a = a a = a a a a = a. Zgled 7: Odpravi koren iz imenovalca v izrazu +. Način iz prejšnjega zgleda ne pripelje do rezultata. Uberemo drugačno pot. Spomnimo se enakosti (a b)(a+b) = a b in sklepajmo: če sta na levi strani zadnje enakosti a ali b ali pa celo oba izraza kvadratna korena, na desni po kvadriranju kvadratni koreni izginejo. Zato ulomek razširimo z (zamenjamo vmesni znak) ter dobimo: + = + = ( ) ( ) ( ) = ( ) = S podobnim razmišljanjem in zvezo a ± b = (a ± b)(a ab + b ) racionaliziramo lahko tudi kubične korene. Za primer: = ( 9+ +) ( )( 9+ +) = + 9+ Zakaj je sploh koristna racionalizacija? Iz prvega letnika vemo, da so iracionalna števila tista realna števila, ki imajo v svojem decimalnem zapisu neskončno mnogo neperiodičnih decimalnih števk. Primeri iracionalnih števil so npr., 4, π, itd. Ko z njimi računamo, vedno izberemo njihov bolj ali manj natančen racionalni pribliˇzek. Pri tem pridelamo napako. Absolutno vrednost razlike med pravo vrednostjo količine x in pribliˇzkom te količine imenujemo absolutna napaka in jo označimo z x. Če za izberemo pribliˇzek.7, napravimo absolutno napako, ki je na osem decimalnih mest enaka = Druga napaka, ki smo jo omenili v prvem letniku, je relativna napaka (r), ki je razmerje med absolutno napako in točno vrednostjo: r = x x. Običajno jo zapišemo v %. Za x = in pribliˇzek.7 je za izračunano absolutno napako r = 0.%. Pri računanju s pribliˇzki pridelamo še dodatne napake. Do največjih napak prihaja pri deljenju. Recimo:

4 Računalnik nam izračuna vrednost izraza 97 6 = , če pa za izberemo pribliˇzek.7, je izračun /(97 6.7) = 8.. Odkod tako velika absolutna napaka? Izkaˇze se, da je absolutna napaka pri deljenju odvisna od velikosti delitelja. Če je ta majhen (po absolutni vrednosti) je napaka velika, in obratno, če je velik, je napaka majhna. Če izraz 97 6 racionaliziramo v 97+6 in za izberemo pribliˇzek.7, bo računalnik izračunal = 9.88, kar pa je ˇze zelo blizu pravi vrednosti. Včasih je koristno racionalizirati števec, da postane imenovalec velik in s tem rezultat točnejši. Recimo: Če v izrazu 40 0 za 40 izberemo pribliˇzek 0, bo rezultat enak 0, če pa racionaliziramo števec, dobimo 40 0 =, kar s pribliˇzkom 40 =. 0 znese /40 = 0.0, kar je neprimerno bolj blizu točni 40+0 vrednosti Zgled 8: Poenostavi izraz(+ ) Poenostavimo vsak člen posebej. V prvem členu ( + ) 7, vstavimo izraz pred korenom pod koren. Pri tem moramo paziti na predznak izraza pred korenom (x y = x y). V končnem rezultatu upoštevamo tisti predznak, ki je enak predznaku števila x; v našem primeru je x = + > 0, zato bomo upoštevali pozitivni predznak: (+ ) 7 = (+ ) (7 ) = (7+ )(7 ) = 7 ( ) = V drugem členu odpravimo koren v imenovalcu: + = + (+ ) (+ ) = = V tretjem členu le delno korenimo: 0 = =. Poenostavljene izrčune vstavimo v začetni izraz in dobimo:(+ ) = +7+ = 8+7 Zgled 9: Izraz a b ba ( ) 8 a b preoblikuj do oblike: k a n b m ; k, m, n Z. V izrazu nastopajo potence in koreni. Računati znamo ali s samimi koreni ali pa s samimi potencami. Uberimo drugo pot. Vse korene zapišimo s potencami in uporabimo pravila za računanje s potencami: 4

5 a b ba ( ) 8 a b = a b 4 b a b a = + a b 4 + ( ) = a b Naloge. Zapiši števila, 4, 8, 6,, 0., 0. in 0. kot potenco z osnovo.. Zapiši števila, 9, 7, 8,, 0. in 0. kot potenco z osnovo.. Preveri pravilnost naslednje tabele: = 0, = 0, = 0, 6 8 = 0, 4 = 0, = 0, 008 = 0, 04 V tabeli so v prvi vrstici zapisani eksponenti, v prvem stolpcu osnove, v ostalih celicah tabele pa so izračunane ustrezne potence. 4. Zapiši izraze,, a kot potenco z osnovo a. a 4. Preveri naslednje enakosti: (a) (8xy 4 ) : (4x y 7 ) : (x y ) = y (b) (c) (d) ( a b b a ) : ( a ) = 7 a a n + a n b n a n + a n b n + b n : a n+ a n + b n = a = 6 6. Izračunaj točno vrednost izraza 4 a b 6a 6 4 b, če je a = in b =. [ ] 7. Poenostavi izraz x y 6 4 x y 6 xy : y. [ 4 x ] y

6 8. Poenostavi izraz x ( y 4 xy : x ) 4 xy y 6 [( xy ) 7] 9. Reši enačbo(x+ ) = (x+) [x = + 6] 0. Katera enakost ne velja? (A) + 0 = 9 (B)( )( +) = (C) 6 n 6 n = 4 6 n (D) 04 6 = Izračunaj ( Izračunaj brez uporabe računala: [D] ) [8] 6 +( 8 7 ) 0, ( ). [ 7] 9. Izračunaj brez uporabe računala 0,6 6 0,7 0 0, 49 0,. [ 7] 6