Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni

Transkripcija

1 Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama m in M m, ki sta med sabo oddaljeni za razdaljo R. Kakšno razmerje m/m da pri izbrani R največjo gravitacijsko silo med obema deloma? 2. Dve krogli z masama m 1 = 800 kg in m 2 = 600 kg sta med sabo oddaljeni za 0,25 m. Kakšna je skupna gravitacijska sila (velikost in smer) obeh krogel na kroglo z maso 2,0 kg, ki leži 0,20 m od m 1 in 0,15 m od m 2? 3. Tri krogle z masami m 1 = 800 g, m 2 = 100 g in m 3 = 200 g imajo težišča v vodoravni črti (razdalja med težiščema m 1 in m 3 je L = 12 cm, med m 1 in m 2 pa d = 4, 0 cm). Študent premakne drugo kroglo tako, da je razdalja med njenim težiščem in težiščem m 3 d = 4, 0 cm. a) Koliko dela prejme m 2 od študenta? b) Koliko dela prejme m 2 zaradi skupne gravitacijske sile m 1 in m 3 na m 2? L d d m 2 m 3 m 1 4. Na kakšni razdalji od središča Lune je točka, v kateri se gravitacijsko polje Zemlje in Lune izničita? Privzemi, da je masa Zemlje m z = 81m l in razdalja med Luno in Zemljo d = 60R z. 5. a) Kolikšno hitrost mora imeti satelit, da kroži okoli Zemlje na višini 160 km? b) Kolikšen je njegov obhodni čas? 6. Ena izmed možnosti za napad na satelit je, da spustimo v njegovo orbito spustimo roj peletov, ki krožijo v nasprotni smeri. Predpostavimo, da v satelit, ki kroži v orbiti 500 km nad Zemljinim površjem, trči pelet z maso 4,0 g. a) Kakšna je kinetična energija peleta glede na satelit? b) Kakšno je razmerje med to kinetično energijo in kinetično energijo izstrelka z maso 4,0 g in hitrostjo 950 m/s, ki jih uporablja sodobna vojska? 7. Določite polmer orbite stacionarnega satelita, ki miruje glede na svojo pravokotno projekcijo na Zemljino površje. Kakšna sta hitrost in pospešek satelita glede na središče Zemlje v inercialnem sistemu Zemlje? 1

2 8. V koordinatnem izhodišču se nahaja telo z maso 20 kg, telo z maso 10 kg pa na x-osi pri x = 0, 80 m. Telo z maso 10 kg spustimo iz mirovanja, medtem ko telo z maso 20 kg držimo na mestu. a) Kakšna je gravitacijska potencialna energija sistema mas v trenutku, ko spustimo drugo telo? b) Kakšna je kinetična energija drugega telesa, ko se to premakne za 0,20 m proti prvemu telesu? 9. Trdna krogla s polmerom R povzroča gravitacijski pospešek a g na svojem površju. Na kakšni razdalji od središča krogle je gravitacijski pospešek enak a g /3? (Namig: Upoštevaj razdalje znotraj in zunaj krogle.) 10. Spodnja skica prikazuje prečni presek Zemljine notranjosti (skica ni v pravilnem razmerju). Zemlja ni homogena celota, temveč je sestavljena iz treh plasti: skorje (3, kg), plašča (4, kg) in jedra (1, kg). Debeline posameznih plasti so navedene na skici. Zemlja ima maso 5, kg in polmer 6370 km. Predpostavimo, da je Zemlja okrogla, vrtenje zanemarimo. a) Izračunajte a g na površju. b) V Zemljino notranjost zvrtamo vrtino, ki sega do meje med skorjo in plaščem (do 25 km globine). Kakšna bi bila vrednost a g na dnu vrtine? c) Kakšna bi bila vrednost a g na dnu 25 km globoke vrtine, če bi bila Zemlja homogena krogla z enako maso in polmerom? 6345 km 25 km 3490 km Skica naloga 10. Skica naloga Komet, ki je priletel v naše osončje, v nekem trenutku leti s hitrostjo v 0. Vektor hitrosti v tem trenutku leži na premici, ki je od središča Sonca oddaljena za razdaljo l (glej skico). Poiščite najmanjšo razdaljo med kometom in Soncem. 12. Izračunajte gravitacijsko potencialno energijo in silo točkastega delca z maso m in tanke homogene palice z maso M in dolžino l, če ležita v ravni liniji na medsebojni razdalji a. 13. Planet se giblje po eliptični orbiti okoli Sonca. V nekem trenutku je na razdalji r 0 od Sonca in ima hitrost v 0. Kot med r 0 in v 0 je α. Poiščite najmanjšo in največjo razdaljo med planetom in Soncem na njegovi poti po orbiti. 14. Raketo izstrelimo s površja Zemlje. Kolikšna mora biti njena začetna hitrost, da bo raketa premagala zemeljsko težnost? 2

3 15. Izstrelek izstrelimo navpično navzgor s hitrostjo v = 5 km/s. Kolikšna je največja višina, ki jo izstrelek doseže? 16. a) Koliko energije potrebujemo, da raketa z maso 1500 kg, ki jo izstrelimo iz površja Zemlje navpično navzgor, doseže višino 300 km? b) Kolikšno energijo bi potrebovali, da raketo, ki smo jo izstrelili navpično navzgor, na višini 300 km utirimo v krožno orbito okrog Zemlje? 17. Koliko energije potrebujemo, če želimo v Zemljino orbito utiriti majhen asteroid z maso m in hitrostjo v, ki prileti na razdaljo r od središča Zemlje? 18. Vesoljsko plovilo leti s hitrostjo 10,4 km/s v x-smeri proti Saturnu, ki se giblje v negativni x- smeri s hitrostjo 9,6 km/s. Masa plovila je 825 kg, masa Saturna pa 5, kg. Gravitacijska sila Saturna na plovilo povzroči, da plovilo zavije okrog Saturna in nadaljuje svojo pot v negativni x-smeri. a) Kolikšna je končna hitrost plovila? b) Kolikšna bi bila končna hitrost plovila, če bi se Saturnu približevalo v negativni x-smeri, po interakciji s Saturnom pa bi pot nadaljevalo v pozitivni x-smeri? 19. Jupitrova luna Io potrebuje za en obhod okrog planeta 1,77 dneva. Kolikšna je masa Jupitra, če je velika polos orbite, po kateri kroži Io, dolga 4, m? 20. Predpostavimo, da je Jupiter edini planet v našem Osončju. Obhodni čas Jupitra okoli Sonca je 11,86 let, masa Jupitra 1, kg, masa Sonca pa 1, kg. Predpostavimo še, da se Jupiter giblje okrog Sonca po krožnici s polmerom 7, m. a) Kolikšen je prispevek Sonca k vrtilni količini sistema Sonce Jupiter? (Namig: Najprej določi razdaljo med Soncem in masnim težiščem sistema.) b) Kolikšen je prispevek Jupitra k skupni vrtini količini sistema? c) Vztrajnostni moment krogle z maso m in polmerom r zapišemo kot J = 2 5 mr2, če kroglo vrtimo okrog osi skozi njeno središče. Določi velikost vrtilne količine zaradi vrtenja okoli lastne osi ob predpostavki, da sta Sonce in Jupiter trdni krogli (kar seveda ne drži). Obhodni čas Sonca okrog lastne osi je 26 dni, polmer Sonca je 6, m, obhodni čas Jupitra okrog lastne osi je 10 ur, polmer Jupitra pa 6, m. d) Kateri del sistema Sonce - Jupiter največ prispeva k skupni vrtilni količini sistema? 21. Orbite kometov so običajno precej ekscentrične. Halleyev komet, ki ima obhodni čas 76 let, ima orbito z ekscentričnostjo 0,9673. a) Kolikšna je dolžina velike polosi take orbite? b) S pomočjo podatkov o kometu določi maso Sonca. c) Določi razdaljo med kometom in Soncem v periheliju in v apoheliju. d) Določi hitrost kometa v periheliju in apoheliju! e) Za koliko je kinetična energija kometa v periheliju večja od kinetične energije v apoheliju? A a b f P Matematični namig (lastnosti elipse): e = f a, f 2 = a 2 b 2 3

4 Nihanje 1. Klada z maso 0,10 kg niha naprej in nazaj v ravni črti po gladki vodoravni podlagi. Njen odmik od izhodišča opisuje enačba x = (10 cm) cos[(10 rad/s)t + π/2 rad]. a) Kakšna je frekvenca nihanja? b) Kolikšna je največja hitrost klade? Pri kateri vrednosti x jo klada doseže? c) Kolikšen je največji pospešek klade? Pri kateri vrednosti x ga klada doseže? d) Kakšna sila na klado povzroča njeno nihanje? 2. Dve kladi (m 1 = 1, 0 kg, m 2 = 10 kg) in vzmet (k = 200 N/m) so postavljeni na gladko vodoravno podlago. Koeficient lepenja med kladama je 0,40. Kolikšna je največja amplituda preprostega harmoničnega nihanja sistema vzmet - klada, če zgornja klada ne sme zdrsniti iz spodnje? Skica naloga Klada stoji na vrhu bata, ki niha v navpični smeri. a) Pri kakšni amplitudi nihanja se bosta bat in klada gibala ločeno, če je nihajni čas nihala 1,0 s? b) Kolikšna je največja frekvenca gibanja, če ima bat amplitudo 5,0 cm in sta klada in bat ves čas v stiku? 4. Vzmet brez mase visi s stropa in ima na spodnjem koncu pritrjen majhno telo. V začetni legi telesa y i je vzmet v ravnovesni legi. Telo nato spustimo, da niha v vertikalni smeri, tako da je najnižja lega telesa 10 cm pod y i. a) Kakšna je frekvenca nihanja? b) Kolikšna je hitrost telesa, ko je to 8,0 cm pod začetno lego? c) Ko na prvo telo pripnemo utež z maso 300 g, sistem niha s polovično frekvenco. Kolikšna je masa prvega telesa? d) Kje se nahaja nova ravnovesna lega nihala glede na y i? 5. Vzmet brez mase s konstanto 19 N/m visi navpično. Na prosti konec vzmeti obesimo telo z maso 0,20 kg in ga spustimo iz mirovanja. Pred spustom je bila vzmet v ravnovesni legi. a) Koliko pod začetno lego je najnižja točka, ki jo telo doseže? b) Kolikšna je frekvenca nihanja? c) Kolikšna je amplituda nihanja takega harmoničnega nihala? 6. Delec z maso 3,0 kg harmonično niha v eni dimenziji in se giblje po enačbi x = (5 m) cos[(π/3 rad/s)t + π/4 rad]. a) Pri kateri vrednosti x je potencialna energija delca enaka polovici njegove skupne energije? 4

5 b) Koliko časa potrebuje delec iz ravnovesne lege, da doseže to vrednost x? 7. Določi gravitacijski pospešek, če preprosto nihalo z dolžino 1,50 m naredi 72,0 nihajev v 180 s. 8. Nihalo je sestavljeno iz homogenega diska s polmerom 10,0 cm in maso 500 g, ki je pritrjen na homogeno palico dolžine 500 mm in mase 270 g. a) Izračunajte vztrajnostni moment nihala za vrtenje okoli osi skozi prosto krajišče palice. b) Kolikšna je razdalja med osjo vrtenja in težiščem nihala? c) Izračunajte nihajni čas nihala. Skica naloga 8. Skica naloga Palica dolžine L niha kot fizično nihalo okrog točke O (glej skico). a) Izpeljite izraz za nihajni čas glede na L in x, kjer je x razdalja med oporo in težiščem nihala. b) Za kakšno vrednost x/l je nihajni čas najkrajši? c) Pokaži, da je za L = 1, 00 m in g = 9, 80 m/s 2 najkrajši nihajni čas enak 1,53 s. 5