resitve.dvi

Transkripcija

1 FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer so naloge. Naloge so 4, vsaka ima dva dela, ki sta skupaj vredna 25 točk. Na razpolago imate 9 min. Naloga a. b. Skupaj Skupaj

2 1. (25) Naj bo {(x,y): x a, y a x}. a. (1) Izračunajte e x y dxdy. Rešitev: Računamo e x y dxdy a a a e x dx a x e y dy e x dx ( e y) a x e x( 1 e (a x)) dx ( e x e a) a 1 e a ae a. Prevedba na dvakratni integral: 2 točki. φ in ψ: 2 točki. Notranji integral: 2 točki. Zunanji integral: 2 točki. Rezultat: 2 točki. b. (15) Izračunajte Rešitev: Računamo xye x y dxdy a a a a xye x y dxdy. xe x dx a x ye y dy e x dx ( ye y e y) a x e x( 1 (a x)e (a x) e (a x)) dx ( e x (a x)e a e a) dx 1 e a ae a a2 2 e a. 2a

3 Prevedba na dvakratni integral: točke. φ in ψ: točke. Notranji integral: točke. Zunanji integral: točke. Rezultat: točke. a

4 2. (25) Lemniskata je dana z enačbo (x 2 +y 2 ) 2 2a 2 (x 2 y 2 ) za a >. Krivulja je na spodnji sliki. y x a. (15) Naj bo osenčeno območje na zgornji sliki. Izračunajte 2a2 x 2 y 2 dx dy. Rešitev: Zaradi simetrije je dovolj izračunati integral po desnem ušesu lemniskate. V polarnih koordinatah je področje oblike H {(r,φ): π/4 φ π/4, r a 2cos2φ}. To dobimo z vstavljanjem x rcosφ in y rsinφ v enačbo za lemniskato. Dvojni integral preide v 2a2 x 2 y 2 dx dy 2a2 r 2 rdr dφ a 9 H π/4 π/4 π/4 π/4 2a 2a a 2cos2φ dφ dφ 2a r 2a 2 r 2 dr (2 2(1 cos2φ)/2 ) π/4 (π 25/2 π/4 1 (π 27/2 sin φ dφ) 2/2 (1 u 2 )du) ( ) 2π. 4a

5 Transformacija področja: točke. Jacobian: točke. Uporaba Fubinijevega izreka: točke. Rezultat: 6 točk. b. (1) Izračunajte dx dy 2a2 x 2 y 2. Rešitev: Uvedemo polarne koordinate in dobimo podobno kot v a. dx dy r dr dφ 2a2 x 2 y 2 2a2 r2 H π/4 2a a 2cos2φ dφ π/4 π/4 π/4 r 2a2 r 2 dr dφ(1 sinφ ) 2a( π 2 ). Polarne koordinate: 2 točki. Transformacija področja: 2 točki. Jacobian: 2 točki. Uporaba Fubinijevega izreka: 2 točki. Rezultat: 2 točki. 5a

6 . (25) Potencialno energijo električnega polja E v delu prostora R izračunamo po formuli E p ǫ E 2 (x,y,z)dxdydz, 2 kjer je E(x,y,z) jakost električnega polja v točki (x,y,z), ǫ pa je dielektrična konstanta. a. (15) Naboj q v izhodišču generira električno polje z jakostjo E(x,y,z) q 1 4πǫ (x 2 +y 2 +z 2 ). Izračunajte E p za kroglo z izhodiščem v točki (,,2) in polmerom R 1. Kot znano privzemite, da je 1 r 2 dr (4 r 2 ) 4 log() Namig: Izhodišče koordinatnega sistema premaknite v točko (,, 2). Rešitev: Premaknimo izhodišče koordinatnega sistema v (,, 2) in uvedimo krogelne koordinate. Izračunati moramo integral ǫ π 2 ǫ 2 K (x 2 +y 2 +(z +2) 2 ) 2 dxdydz. S krogelnimi koordinatami integral preide v 2π 2 ǫ 2π 16πǫ q2 8πǫ dφ 1 1 π dr dr 16πǫ 1 r 2 dr (4 r 2 ) ( 2 ) 4 log(). 24 q2 8πǫ 1 r 2 dr sinθdθ (r rcosθ) 2 π sinθdθ (r rcosθ) [ ] 2 π 1 4r(r rcosθ) Translacija koordinatnega sistema: točke. Krogelne koordinate: točke. Prvi integral: točke. Drugi integrael: točke. Rezultat: točke. 6a

7 b. (1) Izračunajte še potencialno energijo polja zunaj neskončnega valja z osjo vzporedno osi z in polmerom R 1. Rešitev: Tokrat uvedemo cilindrične koordinate. Računamo E p 2π 2 ǫ q2 8πǫ 16πǫ q2 16ǫ. 2π dz dφ 1 [ 1 dz 2(r 2 +z 2 ) dz (1+z 2 ) 1 r dr (r 2 +z 2 ) ] 2 Cilindrične koordinate: 2 točki. Meje: 2 točki. Notranji integral: 2 točki. Zunanji integral: 2 točki. Rezultat: 2 točki. 7a

8 4. (25) Naj bo V valj, katerega osnovna ploskev leži v xy ravnini in ima središče v izhodišču koordinatnega sistema. Polmer osnovne ploskve naj bo R, višina valja pa h. V matematičnih oznakah je V {(x,y,z): x 2 +y 2 R 2, z h}. a. (15) Izračunajte V zdxdydz (x 2 +y 2 +z 2 ) /2. Rešitev: Uvedemo cilindrične koordinate in računamo zdxdydz 2π h R rdr dφ zdz V (x 2 +y 2 +z 2 ) /2 (r 2 +z 2 ) /2 h ( ) 2 R 2π zdz r2 +z 2 2π 4π h h z ( 1 ( ) 2 z 2 R2 +z 2 ) z dz R2 +z 2 4π (z ) h R 2 +z 2 4π (R+h ) R 2 +h 2. Cilindrične koordinate: točke. Meje: točke. Fubini: točke. Integriranje: točke. Rezultat: točke. b. (1) Izračunajte V z 2 dxdydz x2 +y 2 +z 2. Kot znano upoštevajte z 2 R 2 +z 2 dz 1 ( z R 8 2 +z 2( R 2 +2z 2) R 4 log (z + )) R 2 +z 2. 8a

9 Rešitev: Uvedemo cilindrične koordinate in računamo z 2 dxdydz 2π h R dφ z 2 rdr dz x2 +y 2 +z 2 r2 +z 2 V 2π h 2π R 16 ( ) z 2 R2 +z 2 R dz ( ( 2Rlog(R) 2Rlog R+ ) 2R +6 ) 2R. Cilindrične koordinate: 2 točki. Meje: 2 točki. Fubini: 2 točki. Integriranje: 2 točki. Rezultat: 2 točki. 9a