UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012"

Transkripcija

1 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012

2

3 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raunalnitvo Diplomsko delo NEENAKOSTI VIZINGOVEGA TIPA ZA RAZLIČNE DOMINACIJSKE INVARIANTE Mentor: dr. Boštjan Brešar, red. prof. Kandidatka: Vika Koban Maribor, 2012

4 ZAHVALA Longum iter est per praecepta, breve et efficax per exempla. Najprej se iskreno zahvaljujem svojemu mentorju, dr. Boštjanu Brešarju, ki me je usmerjal in strokovno vodil, ter bil vedno pripravljen priskočiti na pomoč. Hvala tudi za njegovo zanesljivost in dobrodušnost. Najlepša hvala tudi mami in omi, ki sta me spodbujali in verjeli vame, očetu za dobre gene, navdihe in podporo, ter sestri Evi.

5 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisana Vika Koban, rojena 9. januarja 1989, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa nepedagoška matematika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom NEENAKOSTI VIZINGOVEGA TIPA ZA RAZLIČNE DOMINACIJSKE INVARIANTE pri mentorju prof. dr. Boštjanu Brešarju avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev. Maribor, 1. junij 2012 Vika Koban

6 Neenakosti Vizingovega tipa za različne dominacijske invariante program diplomskega dela Osnovni vir: B. Brešar, P. Dorbec, W. Goddard, B. L. Hartnell, M. A. Henning, S. Klavžar, D. F. Rall. Vizing Conjecture: A survey and recent results, Journal of Graph Theory (July 30, 2009) str prof. dr. Boštjan Brešar

7 KOBAN, V.: Neenakosti Vizingovega tipa za različne dominacijske invariante. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalnitvo, IZVLEČEK Dominacija na grafih je intenzivno raziskovana veja v teoriji grafov. Leta 1963 je Vizing postavil domnevo, da je dominantno število kartezičnega produkta dveh grafov kvečjemu večje od produkta njunih dominantih števil. Mnogo delnih rezultatov je bilo dokazanih, vendar pa je le-ta še vedno eden izmed največjih odprtih problemov v študiju dominacije na grafih. V tem diplomskem delu so v ospredju obravnavani najbolj znani izreki Vizingovega tipa za različne dominacijske invariante. Na začetku predstavimo nekaj dejstev o dominaciji na kartezičnem produktu. Opišemo znan Clark-Suenov rezultat Vizingovega tipa in t.i. razstavljive grafe, za katere Vizingova domneva drži. Drugi del se nanaša na pet dominacijskih invariant; totalno, celoštevilsko, zgornjo, deljeno dominantno število in dominacijo po parih. Predstavljeni so izreki Vizingovega tipa za posamezne dominacijske parametre, kot na primer izrek za deljeno-dominantno število, Ho-jev izrek o totalnem dominantnem številu in izrek Vizingovega tipa za zgornje dominantno število. Ključne besede: dominantna množica, dominantno število, Vizingova domneva, dominacijske invariante. Math. Subj. Class. (2010): 05C96, 05C70, 05C75.

8 KOBAN, V.: Vizing-type inequalities for various domination graph invariants. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, ABSTRACT Domination in graphs is an extensively studied branch of graph theory. In 1963 Vizing conjectured that the domination number of the Cartesian product of two graphs is at least the product of their domination numbers. Several partial results have been proven, but the conjecture still remains one of the biggest open problems in the study of domination in graphs. In the thesis our main focus are some of the most important variations of Vizing s conjecture for various domination-type invariants. At the beginning we explain some facts about domination in Cartesian products. We present famous Clark-Suen Vizing-type result and the so-called decomposable graphs, for which Vizing s conjecture is true. In the last part we survey versions for five main domination invariants; total, integer, upper, fractional and paired. Further on we describe Vizing-type theorems for several domination parameters, for instance theorem for fractional domination number, conjecture for total domination number solved by Ho and Vizing-type theorem for upper domination number. Ključne besede: domination set, domination number, Vizing s conjecture, domination graph invariants. Math. Subj. Class. (2010): 05C96, 05C70, 05C75.

9 Kazalo 1 Uvod 2 2 Osnove o teoriji grafov Osnovni pojmi Specifični pojmi O dominaciji na kartezičnem produktu Meje za dominantno število Clark-Suenova neenakost Razstavljivi grafi Sorodne dominacijske invariante Totalna dominacija Dominacija po parih Zgornja dominacija Deljena dominacija Celoštevilska dominacija Literatura 43 1

10 Poglavje 1 Uvod Dominacija na grafih je eden izmed osnovnih problemov v teoriji grafov. V grafu je dominantna množica S taka podmnožica vozlišč, kjer je vsako vozlišče v S ali pa sosed vozlišča iz S. Medtem ko je kartezični produkt dveh grafov z n in m vozlišči graf z n m vozlišči in povezavami, za katere velja, da sta vozlišči produkta povezani s povezavo natanko tedaj, ko sta vozlišči v enem od grafov povezani, v drugem pa enaki. Ta pojma sta osnova za razumevanje dominacijske teorije na kartezičnem produktu in ju bomo podrobneje opisali v nadaljevanju. Osnovno idejo dominacijske teorije lahko predstavimo na enostaven način oziroma na način, iz katerega se je le-ta razvila; na primeru igre šah. V 19. stoletju se je pojavilo šahovsko vprašanje, kako namestiti najmanjše število kraljic na klasično 8 8 šahovnico tako, da bodo napadala vsa polja (kraljica se lahko premika vodoravno, navpično in diagonalno). Problem kraljic povežemo z dominacijo v grafih tako, da skontruiramo graf Q 8, ki ima 64 vozlišč, eno za vsako polje na šahovnici. Dve vozlišči sta med seboj povezani s povezavo, če se lahko kraljica iz polja, ki mu pripada neko vozlišče, premakne na drugo polje oziroma njegovo pripadajoče vozlišče. Desna stran slike 1.1 prikazuje šahovnico s šestimi kraljicami, ki skupaj napadajo oziroma dominirajo vsa polja šahovnice. Najmanjše število kraljic, ki lahko dominirajo vsa polja na klasični 8 8 šahovnici, je pet. Pri tem popularnem problemu iz 1850-tih let gre torej za iskanje dominantne množice petih kraljic. Podoben problem lahko zastavimo tudi s trdnjavami (njihovi premiki so lahko le horizontalni in vertikalni). Graf, ki nastane iz problema s trdnjavami, lahko interpretiramo kot kartezični produkt K 8 K 8. Dominacija na grafih ima uporabno vrednost na mnogih drugih področjih. Nastopi denimo pri lokacijskih problemih, kjer je število postaj (na primer bolnišnic, gasilskih postaj) fiksno in poskušamo minimizirati razdaljo potrebno za človeka, da pride do najbližje take postaje. Podoben problem se pojavi, ko je največja razdalja do postaje določena in poskušamo minimizirati število postaj potrebnih za pokritje vseh ljudi na danem območju. 2

11 Slika 1.1: Problem kraljic na šahovnici Dominacija je prav tako uporabna pri problemih, ki vključujejo iskanje reprezentativnih množic, v komunikacijskih ali električnih omrežjih. Eden začetkov razvoja matematične obravnave dominacije sega v leto 1968, ko je V. G. Vizing zastavil sledeč problem. Domneva 1.1 ([16]) Za poljuben par končnih grafov G in H velja γ(g H) γ(g)γ(h). Kot ponavadi je simbol γ oznaka za dominantno število in G H je notacija za kartezični produkt grafov G in H. Pravimo, da graf G zadošča Vizingovi domnevi, če gornja neenakost velja za vsak graf H. Vizingova domneva je verjetno glavni odprt problem na področju teorije dominacije. Problem je prejel nekoliko več pozornosti šele v poznih 1970-tih letih, ko je bilo objavljenih kar nekaj rezultatov in je bila med drugimi dokazana tudi resničnost Vizingove domneve za posebno skupino grafov oziroma za grafe, ki zadoščajo posebnim kriterijem. Enega izmed prvih rezultatov o resničnosti Vizingove domneve sta pokazala Barcalkin in German. Poiskana je bila velika skupina grafov, t.i. razstavljivih grafov, za katere Vizingova domneva drži. Njun izrek je še vedno eden najlepših delnih rezultatov o domnevi. Posledica tega izreka je odkritje, da Vizingova domneva drži za vse grafe, ki imajo dominantno število enako 2, grafe z dominantnih število enakim 2-pakirnem številu in drevesa. Leta 2004 je Liang Sun dokazal, da Vizingova domneva drži za vsak graf G z dominantnim številom γ(g) = 3. Skupaj z rezultatom Barcalkina in Germana to implicira, da slavna domneva drži za poljuben graf G z γ(g) 3. Drugačen poskus, kako se približati Vizingovi domnevi, je iskanje konstante c > 0, za katero velja γ(g H) cγ(g)γ(h). Leta 2000 sta Clark in Suen dokazala to neenakost 3

12 za vrednost konstante c = 1/2. Za poljuben par grafov G in H torej velja γ (G H) 1 γ (G) γ (H). 2 Dandanes poznamo mnogo različnih dominacijskih invariant v grafih. V tem delu si bomo podrobneje pogledali nekatere najbolj znane, kot so dominacija po parih, celoštevilska, totalna, zgornja in deljena dominacija; predvsem njihovo delovanje na kartezičnem produktu. Motivacija za vpeljavo {k}-dominantne funkcije je na primer, kako in kam najbolj optimalno postaviti gasilske postaje. Model tega problema lahko predstavimo z grafom, kjer vozlišča predstavljajo lokacije, dve vozlišči pa sta povezani s povezavo, če sta pripadajoči lokaciji (relativno) blizu. Če zahtevamo, da vsaka lokacija ali ima lastno gasilsko postajo ali pa je sosednja lokaciji z gasilsko postajo, se problem pretvori na iskanje najmanjše dominantne množice. Vendar pa je na nekaterih mestih lahko več gasilskih postaj na enaki lokaciji in več, kadarkoli zagori, pri gašenju sodeluje več kot le ena gasilska postaja. V tem primeru je bolj realistična zahtevka, da je vsaka lokacija varovana z določenim fiksnim številom gasilskih postaj. Medtem ko motivacija za vpeljavo dominacije po parih izhaja iz različice območnonadzornega problema, pri katerem je vsaka varovalna enota oziroma straža podprta ali varovana z drugo stražo (imamo torej pare straž, ki se med seboj varujejo). Vsak graf brez izoliranih vozlišč ima parno dominantno množico in problem iskanja najmanjše take množice je danes rešljiv v polinomskem času. 4

13 Poglavje 2 Osnove o teoriji grafov V tem poglavju bomo predstavili nekaj osnovnih definicij, potrebih za razumevanje nadaljnjih poglavij. V prvem razdelku poglavja so opisani splošni, osnovni pojmi iz teorije grafov, v nadaljevanju pa bolj specifični, ki se vseskozi uporabljajo v nadaljevanju diplomskega dela. 2.1 Osnovni pojmi Urejen par (V (G), E(G)) imenujemo graf G, pri čemer je V (G) neprazna končna množica vozlišč in E(G) množica povezav grafa G. Elementi množice povezav grafa so urejeni ali neurejeni pari vozlišč iz V (G). Kadar je par vozlišč iz V (G) urejen, pravimo, da je povezava grafa usmerjena in jo ponazorimo z puščico. Kadar ima graf vse povezave usmerjene, mu pravimo digraf ali usmerjen graf, ko pa povezave grafa niso usmerjene, pa neusmerjen graf. Elemente množice povezav E(G) označujemo z e = uv, kjer je povezava e določena z neurejenim parov vozlišč in jo imenujemo neusmerjena povezava. Povezavo e, ki je določena z urejenim parom vozlišč, pa zapišemo kot e = (u, v) in jo imenujemo usmerjena povezava. Vozlišči u in v imenujemo krajišči povezave. Kadar sta obe krajišči povezave isto vozlišče, dobimo zanko. Če pa sta vozlišči u in v v grafu G povezani z različnima povezavama, imamo v grafu večkratne povezave. Število vozlišč v grafu G se imenuje red grafa in ga označimo z V (G) = G. Povezani vozlišči u in v iz V (G) imenujemo sosednji vozlišči. Kadar imata povezavi skupno krajišče, pravimo, da sta incidenčni. 5

14 Število sosedov vozlišča v V (G) imenujemo stopnja vozlišča v in jo zapišemo na naslednja načina: d G (v) = N G (v) ali degv = N G (v). Največjo stopnjo (to je največja stopnja njegovih vozlišč) grafa G označimo z (G), najmanjšo (to je najmanjša stopnja njegovih vozlišč) pa z δ(g). Vozlišče, ki ima stopnjo enako 0, imenujemo izolirano vozlišče. Graf G je regularen, kadar so vsa njegova vozlišča iste stopnje. Torej, če imajo vsa vozlišča grafa stopnjo r, je graf regularen stopnje r ali r -regularen. Zaporedje povezav v grafu G, ki nas privede od vozlišča u do vozlišča v, imenujemo sprehod med vozliščema u in v. Sprehod imenujemo enostavni sprehod ali sled, če so v njem med seboj paroma različne vse povezave. Kadar pa so v enostavnem sprehodu razlišča vsa vozlišča, potem tak sprehod imenujemo pot. Graf G je povezan, če med poljubnim parom vozlišč obstaja pot. Sicer je nepovezan in je sestavljen iz vsaj dveh komponent. Zdaj vpeljimo razdaljo med vozliščema u in v iz grafa G in jo označimo kot d G (u, v) ali d(u, v). To je dolžina najkrajše poti med njima. Če taka pot ne obstaja, določimo, da je d(u, v) =. Diameter ali premer d(g) povezanega grafa G je največja razdalja med dvema vozliščema iz grafa G. Spoznali bomo, da je d(k n ) = 1, za n 2 in d(k n,m ) = 2, če je m + n 3. Upoštevali bomo tudi, da je d(q r ) = r. Pot, ki se začne in konča v istem vozlišču, imenujemo cikel. Povezan graf brez ciklov pa imenujemo drevo. Netrivialno drevo ima vsaj 2 vozlišči z stopnjama 2. V nadaljevanju si bomo pogledali nekaj posebnih tipov grafov. S P n označimo graf, ki ga imenujemo pot na n vozliščih. Pot na n vozliščih je graf z množico vozlišč V (P n ) = {v 1,..., v n } in množico povezav E(P n ) = {v 1 v 2,..., v n 1 v n }. Graf, ki ga dobimo tako, da poti P n dodamo povezavo v n v 1, imenujemo cikel na n vozliščih. Označimo ga z C n in definiramo kot V (C n ) = V (P n ) in E(C n ) = E(P n ) {v n v 1 }. Če je vsako vozlišče v grafu povezano z vsemi ostalimi vozlišči v tem istem grafu, takšen graf imenujemo polni graf. Polni graf na n vozliščih označimo s K n. Nasprotje polnega grafa na n vozliščih je prazni graf na n vozliščih, ki ga označimo z N n. Graf G se imenuje dvodelni, če lahko množico njegovih vozlišč V (G) razbijemo na dve 6

15 podmnožici V 1 in V 2 tako, da ima vsaka povezava grafa G eno krajišče v V 1 in drugo v V 2. O polnem dvodelnem grafu govorimo, če je vsako vozlišče iz V 1 sosednje z vozliščem iz V 2. Če je V 1 = n in V 2 = m, polni dvodelni graf označimo z K n,m. Kadar nas ne zanima vedno celotni graf, si pomagamo z manjšnimi in enostavnejšimi strukturami v njem. Te strukture imenujemo podgrafi, katerih definicija je naslednja: Podgraf H grafa G je graf, za katerega velja, da je V (H) V (G) in E(H) E(G). Poznamo več tipov podgrafov. Inducirani ali porojeni podgraf H grafa G dobimo z odstranjevanjem vozlišč iz V (G). Ko odstranimo vozlišče iz grafa G izginejo tudi povezave, katere imajo to vozlišče za krajišče in dobimo inducirani podgraf H. Torej gre za podgraf H grafa G, če je za vsak par vozlišč u, v H, tudi povezava uv v H natanko tedaj, ko je uv povezava v G. Slika 2.1: Inducirani podgraf grafa C 6 Okolica ali soseščina vozlišča v grafa G je podgraf grafa G, sestavljen iz vseh vozlišč sosednjih z v. Odprta okolica vozlišča v grafa G = (V, E) je množica N(v) = {u V ; uv E}, medtem ko okolico, kjer je vozlišče v vključeno, pa imenujemo zaprta okolica vozlišča v; torej množica N[v] = N(v) {v}. Podgrafu H grafa G, za katerega velja V (H) = V (G), pravimo vpeti podgraf. Vpeti podgraf H torej ohrani vsa vozlišča iz grafa G, manjka mu le nekaj povezav. Slika 2.2: Vpeti podgraf 7

16 Podgraf T povezanega grafa G je vpeto drevo grafa G, če je T vpeti podgraf in tudi drevo hkrati. Za vsak podgraf H grafa G, neenakost d H (u, v) d G (u, v) drži za vsak par Slika 2.3: Vpeto drevo vozlišč (u, v). Če za poljubni vozlišči u, v H velja d H (u, v) = d G (u, v), pravimo, da je H izometrični podgraf. Slika 2.4: Izometrični podgraf Grafa G = (V (G), E(G)) in H = (V (H), E(H)) sta izomorfna, oznaka G = H, če med njima obstaja taka bijektivna preslikava f : V (G) V (H), da velja uv E(G) f(u)f(v) E(H) za poljubni vozlišči u, v V (G). 8

17 2.2 Specifični pojmi Kartezični produkt G H grafov G in H je definiran na kartezičnem produktu množice vozlišč V (G H) = V (G) V (H), množica povezav E(G H) pa je množica vseh parov vozlišč [(u, v), (x, y)], za katere je u = x in vy E(H) ali pa je v = y in ux E(G). Tako je E(G H) = {[(u, v), (x, y)] ; u = x vy E(H) ali v = y ux E(G)}. Produkt Slika 2.5: Kartezični produkt grafov K 1,4 in P 4 G H je izomorfen produktu H G. Vozlišča grafa G H lahko razvrstimo v mrežo velikosti n m, kjer je n število vozlišč grafa G in m število vozlišč grafa H. Potem je sloj G h i definiran kot podgraf, induciran z V (G) {h i } (i-ti stolpec v grafu G H); sloj je torej induciran podgraf grafa G H izomorfen grafu G. Analogno definiramo sloj g j H podgraf, induciran z {g j } H (j-ta vrstica v grafu G H). Množico vozlišč, v kateri noben par vozlišč ni soseden, poimenujemo neodvisna množica vozlišč, neodvisna množica vozlišč največje velikosti pa je največja neodvisna množica. Poznamo tudi maksimalno neodvisno množico; to je neodvisna množica z lastnostjo, da če tej dodamo kakšno vozlišče, potem ni več neodvisna množica. Vsaka največja neodvisna množica vozlišč je tudi maksimalna. Tako so na primer množica {A, D}, {A, E} in {A, C, E} neodvisne množice spodnjega grafa na sliki 2.6, med njimi pa je samo {A, C, E} največja neodvisna množica, množica {F, C} pa primer maksimalne. Neodvisnostno število grafa G, ki ga označimo z α(g), je velikost največje neodvisne množice v grafu G. Prirejanje ali neodvisna množica povezav v grafu G je množica povezav G, v kateri noben par povezav nima skupnega krajišča. Maksimalno prirejanje imenujemo prirejanje M grafa G z lastnostjo, da če poljubno povezavo, ki ni v množici M, dodamo le-tej, potem M ni več prirejanje. To pomeni, da je M največja možna, če le ni prava podmnožica kakšnega drugega prirejanja v grafu G. Z drugimi besedami, prirejanje M 9

18 Slika 2.6: Največja neodvisna množica grafa v grafu G je maksimalno, če ima vsaka povezava v G neprazen presek (vsaj eno skupno vozlišče) z vsaj eno povezavo iz M. Slika 2.7 prikazuje primere maksimalnega prirejanja (rdeče obarvane povezave) na treh grafih. Največje prirejanje pa imenujemo prirejanje Slika 2.7: Maksimalno prirejanje grafov z največjim možnim številom povezav (slika 2.8). V grafu lahko obstaja več največjih prirejanj. Velikost največjega prirejanja v grafu G imenujemo število prirejanja in ga označimo z ν(g). Vsako največje prirejanje je tudi maksimalno, obratno pa ne drži vedno. Prirejanje, ki pokrije vsa vozlišča grafa, pa imenujemo popolno prirejanje. Na spodnji sliki so trije primeri največjega prirejanja, medtem ko je drugi graf tudi popolno prirejanje. Povezavno pokritje v grafu je množica povezav, za katero velja, da je vsako Slika 2.8: Največje prirejanje grafov vozlišče grafa krajišče vsaj ene povezave iz te množice. Pokritje povezav, ki vsebuje najmanjše možno število povezav, imenujemo najmanjše povezavno pokritje. Primera najmanjšega pokritja vidimo na sliki 2.9. Množico vozlišč S z lastnostjo, da je vsako vozlišče grafa ali v S ali pa je sosednje kakšnemu vozlišču iz S, imenujemo dominantna množica vozlišč. Dominantna množica vozlišč z najmanjšim možnim številom vozlišč pa je najmanjša dominantna množica. Število vozlišč v najmanjši dominantni množici grafa G je dominantno število grafa G, ki ga 10

19 Slika 2.9: Najmanjše pokritje povezav grafov označimo z γ(g). Na primer za 2 m n je γ(k m,n ) = 2 in γ(p n ) = n 3 = γ(cn ). Minimalna dominantna množica pa je dominantna množica z lastnostjo, da če odstranimo neko vozlišče iz te množice, potem množica ni več dominantna. Vsaka najmanjša dominantna množica je tudi minimalna, obratno pa ne drži. Najmanjša dominantna množica je torej minimalna dominantna množica grafa z najmanjšo kardinalnostjo. Na sliki 2.10 imamo tri primere dominantnih množic (rdeča vozlišča). Opazimo, da je vsako vozlišče sosednje z vsaj enim rdečim vozliščem in pravimo, da je črno vozlišče dominirano z rdečim, oziroma rdeče dominira sosednja vozlišča. Dominantno število teh grafov je 2 (primera (b) in (c) kažeta, da imamo dominantno množico z dvema vozliščema in lahko je preveriti, da ne obstaja dominantna množica z samo enim vozliščem za ta graf). Slika 2.10: Dominantne množice Izrek 2.1 Dominatna množica S je minimalna dominantna množica natanko tedaj, ko za vsako vozlišče u S velja eden izmed naslednjih pogojev: (a) u je izolirano vozlišče v S, (b) obstaja vozlišče v V S, za katerega velja N(v) S = {u}. Dokaz. Naj bo S minimalna dominantna množica za graf G. Potem za vsako vozlišče u S množica S {u} ni dominantna množica grafa. To pomeni, da obstajajo vozlišča v 11

20 iz (V S) {u}, ki niso dominirana z nobenim vozliščem iz S {u}. Sedaj za oba u = v, kjer je u izolirano vozlišče v S ali v V S. Če v ni dominirano od vozlišč iz S {u}, ampak od S, potem je v sosednje samo vozlišču u iz S, kar pomeni, da je N(v) S = {u}. Predpostavimo, da je S dominantna množica in za vsako vozlišče u S eden izmed pogojev izreka velja. Dokazujemo, da je S minimalna. Predpostavimo, da S ni minimalna dominantna množica; torej obstaja vozlišče u S, tako da je S {u} minimalna. Potem je u soseden vsaj enemu vozlišču iz S {u}, kar pomeni, da pogoj (a) ne drži. Tudi če je S {u} dominantna množica, potem je vsako vozlišče iz V S sosednje z vsaj enim vozliščem iz S {u}, kar pomeni, da pogoj (b) za vozlišče u ne drži. To nasprotuje naši predpostavki, da vsaj eden izmed pogojev izreka drži. Zato je S minimalna dominantna množica. Množica S vozlišč iz G, ki so paroma na razdalji večji od k, se imenuje k-pakiranje. Povedano drugače; če sta u, v S, potem je d G (u, v) > k. Potem je k-pakirno število grafa G, označeno z ρ k (G), maksimalna kardinalnost k-pakiranja v grafu G. 12

21 Poglavje 3 O dominaciji na kartezičnem produktu 3.1 Meje za dominantno število Iz definicije dominacije lahko opazimo, da mora imeti poljubna dominantna množica D grafa G neprazen presek z zaprto okolico kateregakoli vozlišča v G. To pomeni, če je x V (G), potem je D N[x] Ø. Ena pot za iskanje spodnje meje dominantnega števila je, da najdemo množico A vozlišč grafa G, za katero velja, da če sta u in v različna predstavnika množice A, potem mora biti presek njunih zaprtih okolic prazen. Iz tega sledi, da je moč dominantne množice vsaj toliko, kot je moč množice A. Takšna množica A se imenuje 2-pakiranje grafa G (v splošnem smo k-pakiranje že definirali v poglavju 2.2). 2-pakirno število, ki ga označimo z ρ 2 (G), pa je največja kardinalnost 2-pakiranja. Velja torej Trditev 3.1 Za vse grafe G velja γ(g) ρ 2 (G). Sedaj pa si malo podrobneje poglejmo problematiko dominacije na kartezičnem produktu. Naj bo G graf z vozlišči g 1,..., g n in H graf z vozlišči h 1,..., h m. Če hočemo, da neko vozlišče (g, h) dominira (g i, h j ) v G H, mora veljati, da je g i = g ali h j = h (torej je g v sloju G h j ali pa h v sloju g i H). Zato velja, da če ima A V (G H) manj kot min {m, n} vozlišč, potem imamo nujno nekaj vozlišč iz produkta, ki niso dominirane iz A. Iz tega sledi naslednja trditev. Trditev 3.2 Za poljuben par grafov G in H velja γ(g H) min { G, H }. Posledica 3.3 Naj bo H poljuben graf. Obstaja pozitivno celo število r = r(h), tako da za poljuben graf G z γ(g) r in G H velja γ(g H) γ(g)γ(h). 13

22 Dokaz. Vemo, da obstaja takšna konstanta c, za katero je γ(h) = c H in 0 < c 1 2. Naj bo r = 1 c. Sedaj za poljuben graf G, za katerega velja G H in γ(g) r po trditvi (3.2) sledi γ(g H) min { G, H } = H = 1 (c H ) rγ(h) γ(g)γ(h). c V nadaljevanju si poglejmo, kako lahko γ(g), kjer naj bo graf G povezan, omejimo. Če je x neko vozlišče v G, potem velja, da množica vozlišč V (G) N(x) dominira graf G. Če izberemo x tako, da je deg(x) = (G), vidimo, da je γ(g) G (G). Ker vozlišče u iz G vedno dominira samega sebe in N(u), potem za vsako dominantno množico D grafa G (tudi za najmanjšo) velja G N [u] = + 1) D ( (G) + 1). u D u D(deg(u) Iz tega pa sledi, da je G (G) + 1 γ(g). Sedaj lahko zapišemo spodnjo mejo za dominantno število kartezičnega produkta dveh grafov. Trditev 3.4 ([8]) Za poljubna grafa G in H je γ(g H) H (H) + 1 γ(g). Dokaz. Predpostavimo, da je G reda n in H reda m. Naj bo D najmanjša dominantna množica produkta G H, in za vsak 1 i m naj bo D i sestavljen iz tistih vozlišč v sloju, G h i, ki pripadajo D. Vozlišča produkta G H razvrstimo v mrežo velikosti n m tako, da i-ta vodoravna vrstica predstavlja sloj G h i in j-ti navpični stolpec sloj g j H. Pravimo, da je vozlišče (g, h i ), ki ni v D i, vodoravno nedominirano z D, če nobeno vozlišče iz D i ni sosednje z (g, h i ). Seveda je takšno vozlišče (g, h i ) sosednje vsaj enemu iz D g H. Označimo z S i tista vozlišča v G h i, ki so vodoravno nedominantna z D. Očitno je, da S i γ(g) D i. Če to ne bi veljalo, bi projekcija S i D i v G ustvarila dominantno množico grafa G, katere kardinalnost bi bila manjša od γ(g). Toda za dominacijo i S i mora obstajati dovolj povezav, ki so sosednje z vozlišči v D. Torej D (H) i S i m (γ(g) D i ) = mγ(g) D. i=1 Sledi, da je D (1 + (H)) mγ(g) 14

23 in zato sledi želeno: γ(g H) H 1 + (H) γ(g). Po drugi strani pa lahko dominantno množico produkta G H skontruiramo z uporabo kopij γ-množice za H v vsakem H-sloju ali z kopijami γ-množice za G v vsakem G-sloju. Tako dobimo naslednjo zgornjo mejo kartezičnega produkta. Izrek 3.5 Ta poljubna grafa G in H velja γ(g H) min {γ(g) H, γ(h) G }. Dominantne množice v grafu so natanko tiste podmnožice vozlišč, ki sekajo zaprto okolico vsakega vozlišča v grafu. V tem smislu se celoten študij dominacije grafov reducira na raziskovanje, kako se zaprte okolice prilegajo skupaj. Mesto, kjer je smiselno začeti, ko želimo omejiti dominantno število kartezičenga produkta, je da razmislimo o zaprtih okolicah v G H. Lema 3.6 ([6]) Če je D dominantna množica G H in x neko vozlišče grafa G, potem je D (N[x] V (H)) γ(h). Dokaz. Naj bo N[x] = {x, u 1,..., u k } in naj bo p : N[x] V (H) H x projekcija, definirana y p(u i, h) = (x, h). Ker je D dominantna množica za G H sledi, da p(d (N[x] V (H))) dominira x H. Toda x H = H, zato želeno sledi. Razmislimo na primeru grafa na sliki 3.1. Pomnožica vozlišč {u, x, z} je γ-množica za graf G. Tudi znotraj G lahko najdemo tri disjunktne zaprte okolice, na primer N[a], N[b] in N[c]. Naj bo H poljuben graf in predpostavimo, da je D dominantna množica za G H. Zaprta okolica za neko vozlišče v a H je podmnožica N[a] H. Podobno lahko trdimo za zaprte okolice vozlišč b H in c H. Toda N[a] H, N[b] H in N[c] H so disjunktne in po prejšnji lemi mora vsaka vsebovati vsaj γ(h) elementov iz D. Torej D 3γ(H) in tako G zadošča Vizingovi domnevi. Na primeru na sliki 3.1 je γ(g) = ρ 2 (G). Ker mora dominantna množica v poljubnem grafu imeti neprazen presek z vsako zaprto okolico sledi, da je ρ 2 (G) γ(g) za vsak graf G. Seveda, poljuben graf zahteva več vozlišč za dominacijo kot pa jih je vključenih v 2-pakiranje. Če je torej S = {h 1,..., h r } največje 2-pakiranje grafa H, potem je {V (G) N[h 1 ],..., V (G) N[h r ]} množica r paroma disjunktnih podmnožic grafa G H. Ta ugotovitev in prejšnja lema nam podata naslednjo spodnjo mejo. Trditev 3.7 ([6]) Za poljuben par grafov G in H velja γ(g H) max {γ(g)ρ 2 (H), γ(h)ρ 2 (G)}, kjer je ρ 2 (G) 2-pakirno število. 15

24 Slika 3.1: Graf G z ρ 2 (G) = γ(g) To mejo lahko nekoliko izboljšamo takole: Trditev 3.8 Za poljuben par grafov G in H velja γ(g H) γ(g)ρ 2 (H) + ρ 2 (G)(γ(H) ρ 2 (H)). V splošnem nam trditev 3.7 ne pokaže, da je Vizingova domneva za vse grafe resnična. Vendar pa vemo, da za vsako drevo T velja, da je ρ 2 (T ) = γ(t ). Iz tega sledi, da je Vizingova domneva resnična za vsa drevesa. Posledica 3.9 Če je T poljubno drevo, potem je γ(t H) γ(t )γ(h) za vsak graf H. 3.2 Clark-Suenova neenakost Edina doslej znana spodnja meja za γ(g H), ki se izraža v obliki dominantnih števil posameznih grafov pa je sledeča. Obstaja torej konstanta c > 0, za katero velja γ (G H) cγ (G) γ (H). Izrek 3.10 ([7]) Za poljuben par grafov velja γ (G H) 1 γ (G) γ (H) 2 Dokaz. Naj bo H graf z dominantnim številom γ(h) = k in naj bo {h 1, h 2,..., h k } najmanjša dominantna množica grafa H. Sestavimo razbitje {π 1, π 2,..., π k } množice vozlišč V (H) tako, da je h i π i in π i N [h i ] za vsak i {1,..., k}. Naj bo G i = V (G) π i. Za vozlišče g v grafu G naj bo množica vozlišč {g} π i imenovana H-celica, ko je razvidno iz slike Clark-Suenove delitve. Naj bo sedaj D najmanjša dominantna množica produkta G H. Za vsak i = 1, 2,..., k naj bo n i število H-celic v G i, kjer nobeno vozlišče iz H-celice ne pripada množici N[D G i ] (torej so ta vozlišča dominirana od D z vozlišči iz pripadajočega H-sloja). Potem je iz projekcije p G (D G i ) razvidno, da je D G i + n i γ(g) in iz tega vidimo, da je D + k n i = i=1 k ( D G i + ni) γ(g)γ(h). (3.1) i=1 16

25 Slika 3.2: Clark-Suenova delitev Po drugi strani pa nam projekcija p H (D g H) da naslednjo zvezo γ(h) D g H + (k m g ), kjer je m g število celic v g H, ki jih dominira D znotraj g H. Zato je D m g. (3.2) g G Ker smo H-celice šteli na dva načina, to sta k i=1 n i = g G m g, iz neenakosti (3.1) in (3.2) dobimo D = γ(g H) γ(g)γ(h) k n i = γ(h)γ(g) m g γ(g)γ(h) D g G i=1 zato sledi želeno; γ(g H) = D 1 2 γ(g)γ(h). 3.3 Razstavljivi grafi Če je G graf z γ(g) = k in V (G) lahko razbijemo na k podmnožic C 1,..., C k tako, da je vsak od induciranih podgrafov C i polni graf grafa G, potem pravimo, da je G razstavljiv. Opomba 3.11 ([1]) Naj bo G graf, ki zadošča Vizingovi domnevi, in naj bo G vpeti podgraf grafa G, za katerega velja γ(g ) = γ(g). Potem tudi G zadošča Vizingovi domnevi. 17

26 Seveda, če je H poljuben graf, potem γ(g )γ(h) = γ(g)γ(h) γ(g H) γ(g H). Navedena neenakost drži, saj je G H vpeti podgraf grafa G H. Sledi izrek o razstavljivih grafih. Izrek 3.12 ([1]) Če je K vpeti podgraf razstavljivega grafa in γ(k) = γ(g), potem za vsak graf H velja γ(k H) γ(k)γ(h). Dokaz izreka bomo izpustili, saj bi za to potrebovali poglobljeno znanje o razstavljivih grafih, kar pa presega temo tega diplomskega dela. 18

27 Poglavje 4 Sorodne dominacijske invariante Oglejmo si nekaj neenakosti Vizingovega tipa za različne dominacijske invariante, kot so totalna, celoštevilska, zgornja, deljena in dominacija po parih. 4.1 Totalna dominacija Definicija 4.1 Totalna dominantna množica grafa G brez izoliranih vozlišč je množica vozlišč S grafa G, kjer je vsako vozlišče sosednje z nekim vozliščem v S. Totalna dominantno število grafa G, označeno z γ t (G), je najmanjša kardinalnost totalne dominantne množice. Slika 4.1: Primer grafa G s totalno dominantno množico z γ t (G) = 3; γ(g) = 2 Pojavila se je domneva, da je produkt totalnih dominantnih števil dveh grafov brez izoliranih vozlišč navzgor omejen z dvakratnim totalnega dominantnega števila njunega kartezičnega produkta. Domnevo je leta 2003 rešil Ho. Pred tem pa si poglejmo rezultat o dominantnem številu kartezičnega produkta dveh grafov. Izrek 4.2 ([4]) Za poljubna grafa G in H brez izoliranih vozlišč velja γ t (G H) max {γ t (G)ρ 2 (H), γ t (H)ρ 2 (G)}. Dokaz. Naj bo S ρ 2 (G)-množica in D najmanjša totalna dominantna množica grafa G H. Naj bo a S in D a = D (N[a] V (H)). Trdimo, da je D a γ t (H). Da 19

28 to dokažemo, naj bo g : D a V (H) funkcija, definirana na sledeč način. Za vsak (a, x) D naj bo g((a, x)) = x. Za b N(a) in (b, y) D naj bo funkcija definirana sledeče. Naprej, če je (a, y) D, naj bo g((b, y)) = z, kjer je z V (H) poljuben sosed vozlišča y. Predpostavimo sedaj, da (a, y) / D. Če obstaja sosed w vozlišča y v H, tako da je (N[a] {w}) D 1, naj bo g((b, y)) = y. V nasprotnem primeru naj bo g((b, y)) = u, kjer je u skupen sosed vozlišča y in vozlišča v, kjer je (a, v) D. Takšno vozlišče v obstaja, saj je D dominantna množica grafa G H in tako morajo biti vozlišča iz {a} N(y) dominirana od {a} V (H). Potem je g(d a ) totalna dominantna množica grafa H in velja γ t (H) g(d a ) D a. Ker je S 2-pakiranje v G, so množice oblike D a, kjer je a S, paroma disjunktne, in tako je γ t (G H) = D = a S D a S γ t (H) = ρ 2 (G)γ t (H). Sedaj zapišimo Ho-jev izrek. Izrek 4.3 ([13]) Za vse grafe G in H brez izoliranih vozlišč velja γ t (G H) 1 2 γ t(g)γ t (H). Dokaz. Predpostavimo, da sta G in H povezana. Če to ne drži, bomo obravnavali njune povezane komponente. Naj bo D totalno dominantna množica grafa G H s kardinalnostjo γ t (G H). Dovolj je pokazati, da γ t (G)γ t (H) 2 D. (4.1) Naj bo { u 1, u 2,..., u γt(g)} totalno dominantna množica za G. Tvorimo particijo množice V (G), { π 1, π 2,..., π γt(g)}, tako da x πi pomeni, da je x soseden vozlišču u i. Ta particija množice V (G) inducira particijo { D 1, D 2,..., D γt(g)} množice D, kjer je D i = (π i V (H)) D. Naj bo P i projekcija množice D i na graf H. To pomeni P i = {v (u, v) D i za neki u π i }. Za vsak i {1, 2,..., γ t (G)} lahko konstruiramo totalno dominantno množico za H, katere moč je največ V (H) N H (P i ) + P i, kjer je N H (P i ) množica vozlišč iz V (H), ki so sosednja z vozlišči iz P i. Pravzaprav za v V (H) N H (P i ) izberemo vozlišče v V (H), ki je sosednje z v in ga označimo z u(v) (obstoj u(v) je zagotovljen, saj je H povezan). Naj bo A = {u(v) v V (H) N H (P i )}. Jasno je, da ima množica A največ V (H) N H (P i ) elementov. Še več, A P i je totalno dominantna množica grafa H. Iz tega sledi V (H) N H (P i ) γ t (H) P i. (4.2) 20

29 Za vse v V (H), naj bo Q v = D (V (G) {v}) = {(u, v) D u V (G)} in C naj bo podmnožica od {1, 2,..., γ t (G)} V (H) podana kot C = {(i, v) π i {v} N G H (Q v )}. Naj bo N = C. S štetjem na dva različna načina pridemo do zgornje in spodnje meje za N. Naj bo L i = {(i, v) C v V (H)} in R v = {(i, v) C 1 i γ t (G)}. Vidimo, da je N = γ t(g) i=1 L i = v V (H) R v. Če je v V (H) N H (P i ), potem morajo biti vozlišča v π i {v} sosednja z vozlišči v Q v, saj je D totalna dominantna množica za G H, kar pomeni (i, v) L i. To implicira, da je L i V (H) N H (P i ). Torej in iz neenakosti (4.2) sledi, da je N γ t(g) i=1 N γ t (G)γ t (H) V (H) N H (P i ) γ t (G)γ t (H) γ t(g) i=1 γ t(g) i=1 P i D i, saj je D i P i. Zato lahko dosežemo sledečo spodnjo mejo za N; N γ t (G)γ t (H) D. (4.3) Po drugi strani velja, da je R v Q v za vsak v V (H). Preverimo, da to drži, tako, da predpostavimo nasprotno; R v > Q v. Za (i, v) R v je, po definiciji, π i {v} N G H (Q v ). Torej, če je u π i, potem je u soseden nekaterim vozliščem v B v, kjer je B v projekcija Q v na G. Zato je B v {u i (i, v) / R v } totalno dominantna množica s kardinalnostjo B v + (γ t (G) R v ) = Q v + (γ t (G) R v ) < γ t (G), 21

30 saj je B v = Q v, kar pa je protislovje. Ta opazka nam pove, da je N = u V (H) R v v V (H) saj je R v Q v. Tako iz enačb (4.3) in (4.4) sledi iz česar dobimo željeno neenakost (4.1). γ t (G)γ t (H) D N D, Q v = D, (4.4) V primeru, ko je vsaj eden izmed grafov G in H netrivialno drevo, so le-ti grafi z lastnostjo γ t (G H) = 1 2 γ t(g)γ t (H) opisani v izreku 4.4. Izrek 4.4 ([12]) Naj bo G netrivialno drevo in H poljuben graf brez izoliranih vozlišč. Potem velja, da γ t (G H) = 1 2 γ t(g)γ t (H) natanko tedaj, ko je γ t (G) = 2γ(G) in je H sestavljen iz nepovezanih kopij polnega grafa K 2. Dokaz. Vemo že, da za vsako drevo T velja, da je γ(t ) = ρ 2 (T ). Ho-jevem izreku tudi zanj velja, da je γ t (G)γ t (H) 2γ t (G H). Predpostavimo, da je γ t (G)γ t (H) = 2γ t (G H). Naj bo S = { v 1,..., v γ(g) } največje 2-pakiranje grafa G. Potem so za i = 1,..., γ(g) množice N G [v i ] paroma disjunktne. Naj bo { V 1,..., V γ(g) } razbitje množice V (G) tako, da za vsak i = 1,..., γ(g) velja, da je N G [v i ] V i. Naj bo D najmanjša totalna dominantna množica G H. Za vsak i = 1,..., γ(g) naj bo D i = D (V i V (H)) in naj bo H i = {v i } V (H). Naj bo S i najmanjša množica vozlišč G H, ki totalno dominirajo H i in vsebujejo toliko vozlišč v H i, kolikor je le mogoče. Torej je S i V i V (H). Če S i vsebuje neko vozlišče x, ki ni v H i, potem x sama totalno dominira vozlišče x H i. Če zamenjamo x v množici S i s poljubnim sosedom vozlišča x v H i (takšno vozlišče obstaja, saj H nima izoliranih vozlišč), dobimo novo najmanjšo množico vozlišč G H, ki totalno dominira H i in vsebuje več vozlišč v H i kot S i. To pa je protislovje. Torej je S i H i, je S i totalno dominantna množica kopije H v G H, inducirana z množico H i. Sledi, da je S i γ t (H). Ker S i totalno dominira {v i } V (H), je D i S i in zato γ(g) γ(g) γ(g) γ t (G H) = D = D i S i γ t (G) = γ(g)γ t (H) 1 2 γ t(g)γ t (H) i=1 i=1 sledi, da je D i = S i = γ t (H) za vsak i = 1,..., γ(g) in γ t (G) = 2γ(G). i=1 In ker je γ(g) = ρ 2 (G) velja, da ima G eno samo tako γ(g)-množico S = { v 1,..., v γ(g) }, da je S 2-pakiranje v grafu G in vsako vozlišče iz S sosed od lista v grafu G. Naj bo i {1,..., γ(g)}. Naj bo u i list soseden z v i v grafu G in naj bo w i N(v i ) {u i }. Naj bo še H i,u = {u i } V (H) in H i,w = {w i } V (H), ter H i = {v i } V (H). 22 Če obstaja

31 vozlišče y D i (H i H i,u ), potem D i {y} totalno dominira H i,u in iz tega sledi, da je γ t (H) < D i, kar pa je protislovje. Zato je D i H i H i,u. To velja za vse i. Za totalno dominacijo H i,w moramo torej naprej doseči, da je H i D i. Posledično je D i = H i in tako D i = V (H). Če ima vsaj ena komponenta grafa H red vsaj 3 (in H nima izoliranih vozlišč), potem je γ t (H) < V (H) = D i protislovje. Torej mora biti H sestavljen iz disjunktnih kopij grafa K 2. Kakorkoli, še vedno pa obstaja odprt problem za karakterizacijo grafov G in H, ki dosežejo enakost v meji iz izreka

32 4.2 Dominacija po parih Definicija 4.5 Prirejanje v grafu G je množica neodvisnih povezav v grafu. Popolno prirejanje M v grafu G je prirejanje, ki zajame vsa vozlišča v grafu. To pomeni, da je vsako vozlišče krajišče natanko ene povezave iz M. Parno dominantna množica grafa G je dominantna množica S grafa G (ne nujno najmanjša), za katero podgraf G [S], induciran z množico S, vsebuje popolno prirejanje M (ne nujno inducirano). Vsak graf brez izoliranih vozlišč ima parno dominantno množico, ker krajišča poljubnega maksimalnega prirejanja tvorijo takšno množico. Parno dominantno število grafa G, označeno z γ pr (G), je najmanjša kardinalnost parno dominantne množice (to je moč najmanjše parno dominantne množice). Slika 4.2: Primer grafa G z najmanjšo parno dominantno množico z γ pr (G) = 4 Zapišimo dve opazki v zvezi s parno dominantnim številom grafa. Trditev 4.6 Za poljuben graf G brez izoliranih vozlišč velja, da je γ pr (G) 2γ(G). Dokaz sledi neposredno iz dejstva, da ima vsak graf brez izoliranih vozlišč najmanjšo dominantno množico S, v kateri za vsako vozlišče velja, da obstaja vozlišče w V (G) S, da je N(w) S = {v}. Trditev 4.7 Naj bo D najmanjša parno dominantna množica grafa G brez izoliranih vozlišč. Potem je D 2α(G[D]), kjer je α(g[d]) neodvisnostno število induciranega grafa G[D]. Dokaz. Naj bo D D največja neodvisna množica v G[D]. Ker ima vsako vozlišče v D partnerja, kjer so si ti partnerji disjunktni med seboj, velja, da je γ pr (G) = D 2 D = 2α(G[D]). Za začetek si poglejmo, kako lahko γ pr (G H) omejimo navzgor. Opazimo, da γ pr (G H) γ pr (G)γ pr (H) v splošnem ne velja. Če je n > 4 potem na primer za polnih grafih vidimo, da je γ pr (K n K n ) n in tudi γ pr (K n ) = 2. Opazimo pa sledeče: Trditev 4.8 Za poljuben par grafov G in H brez izoliranih vozlišč velja γ pr (G H) min {γ pr (G) V (H), γ pr (H) V (G) }. 24

33 Dokaz. Naj bo {u 1, v 1,..., u k, v k } γ pr (G)-množica, kjer u i in v i nastopata v parih (torej je γ pr (G) = 2k) in naj bo V (H) = {1, 2,..., h}. Potem je množica vseh vozlišč oblike (u i, j) in (v i, j), kjer je 1 i k in 1 j h, parno dominantne množice produkta G H ((u i, j) in (v i, j) nastopata v parih, sta partnerja), in tako je γ pr (G H) 2kh = γ pr (G) V (H). V nadaljevanju si bomo pogledali še en znan rezultat za parno dominantno število. V ta namen se spomnimo, da je za k 2 k-pakiranje v grafu G definirano kot množica S vozlišč iz G, ki so paroma na razdalji večji od k in k-pakirno število grafa G, označeno z ρ k (G), je moč največjega k-pakiranja v grafu G. Najprej opazimo, da ni res, da za vsak par grafov G in H velja γ pr (G H) max {γ pr (G)ρ 2 (H), γ pr (H)ρ 2 (G)}. Vzemimo primer, ko je graf G dobljen iz polnega grafa K 4 z k vsakemu vozlišču dodanim listom in graf H = C 9. γ pr (G H) 22 < 24 = γ pr (H)ρ 2 (G). Potem je ρ 2 (G) = 4 in γ pr (H) = 6, od koder vidimo, da je Vendar pa 3-pakirno število povezano s parno dominatnim številom igra podobno vlogo kot pakirno število povezano z dominantnim številom v običajnem smislu. Izrek 4.9 ([4]) Za poljubna grafa G in H brez izoliranih vozlišč velja γ pr (G H) max {γ pr (G)ρ 3 (H), γ pr (H)ρ 3 (G)}. Dokaz. Naj bo S = { v 1,..., v ρ3 (G)} ρ3 (G)-množica. Za i = 1,..., ρ 3 (G) naj bo še V i = N G [v i ], tako da so množice V i paroma disjunktne. Naj bo D γ pr (G H)-množica. Za i = 1,..., ρ 3 (G) naj bo D i sestavljena iz vseh vozlišč v D iz V i V (H) skupaj z njihovimi partnerji (nekateri od njih morda ne pripadajo V i V (H)) in naj bo H i = {v i } V (H). Ker je S 3-pakiranje v G in ker ima vsako vozlišče iz parno dominantne množice enega samega partnerja, so množice D i paroma disjunktne. Od tod vidimo, da je D ρ 3 (G) i=1 D i. (4.5) Za i = 1,..., ρ 3 (G) naj bo S i takšna najmanjša množica vozlišč v G H, da (i) S i dominira H i in (ii) da podgraf, induciran od S i v G H, vsebuje popolno prirejanje M i. Izmed vseh takšnih množic S i izberemo S i, ki vsebuje največ možnih vozlišč v H i. Ker množica D i zadošča pogojema (i) in (ii), imamo naslednje D i S i. (4.6) 25

34 Če S i vsebuje vozlišče x, ki ni v V i V (H), potem je x partner vozlišča x (z ozirom na popolno prirejanje M i ), ki ni v H i, ki dominira samo vozlišče y H i. Če postavimo x v množico S i skupaj z vozliščem y tvorita novo množico vozlišč v G H, k zadošča pogojema (i) in (ii). Toda sedaj nova množica vsebuje več vozlišč v H i kot v S i, kar pa je protislovje. Torej, S i V i V (H). Sedaj pokažimo, da je S i H i. Predpostavimo, da S i vsebuje vozlišče u, ki ni iz H i. Naj bo u partner u (z ozirom na M i ). Če u / H i, potem naj bo w (oziroma w ) sosed vozlišča u (oziroma u ) v grafu G H, ki pripada H i. Če postavimo par u in u v množico S i, skupaj z parom w in w tvorijo novo množico vozlišč v G H, ki zadošča pogojema (i) in (ii). Toda sedaj nova množica vsebuje več vozlišč v H i kot v S i, kar pa je protislovje. Torej je u H i. Če S i vsebuje vsakega soseda od u v H i, potem lahko preprosto izbrišemo u in u iz množice S i, s čemer ovržemo našo izbiro množice S i. Zato vsaj en sosed u vozlišča u iz H i ne pripada S i. Če postavimo u v množico S i z u tvorita novo množico vozlišč v G H, ki zadošča pogojema (i) in (ii) (kjer je u partner od u v novi množici). Toda ta vsebuje več vozlišč v H i kot jih S i, kar pa je spet protislovje. Torej je S i H i in tako je S i parno dominantna množica kopije H v grafu G H, inducirane z množico H i. Sledi, da je Od tod sledi S i γ pr (H). (4.7) γ pr (G H) = D ρ 3 (G) i=1 ρ 3 (G) i=1 ρ 3 (G) i=1 D i S i γ pr (H) = ρ 3 (G)γ pr (H), kar utemelji želeno mejo. Direktna posledica tega izreka je sledeč rezultat. Izrek 4.10 ([4]) Za poljubna grafa G in H brez izoliranih vozlišč, pri čemer za vsaj enega izmed njiju velja, da je γ pr = 2ρ 3, je γ pr (G H) 1 2 γ pr(g)γ pr (H), in ta meja je natančna. 26

35 Res, saj je γ pr (G H) max {γ pr (G)ρ 3 (H), γ pr (H)ρ 3 (G)} { = 2γ pr (G)ρ 3 (H), 1 } 2 γ pr(g)γ pr (H) 1 2 γ pr(g)γ pr (H) Pojasnimo še, zakaj je meja natančna. Naj bo G poljuben graf z vozlišči V (G ) = {v 1, v 2,..., v n }. Graf G dobimo iz G z dodajanjem vsaj enega vozlišča s stopnjo ena, sosednjega vsakemu vozlišču iz V (G ) in nato subdividirati (tj. na obstoječih povezavah usvariti novo vozlišče) vse povezave v E(G ) najmanj enkrat in največ dvakrat. (Pomnimo, če je G prazni graf K n, potem je G = nk 2.) Potem je V (G ) vsebovan v vsaki parno dominantni množici grafa G. Ker je V (G ) neodvisna množica grafa G, po trditvi 4.2 dobimo, da je γ pr (G) 2 V (G ) = 2n. Vendar je V (G ) edina najmanjša dominantna množica grafa G in zato je po trditvi 4.6 γ pr (G) 2γ(G) = 2n. Torej γ pr (G) = 2n. Pojubno 3-pakiranje grafa G vsebuje največ eno vozlišče iz vsake okolice N(v i ) grafa G; 1 i n. Ker teh n zaprtih soseščin tvori razbitje V (G), velja, da je ρ 3 (G) n. Množica, ki vsebuje sosede iz G vsakega vozlišča iz V (G ), ki so listi, je 3-pakiranje in zato ρ 3 (G) n. Posledično, ρ 3 (G) = n. Tako je G graf, za katerega velja, da je γ pr (G) = ρ 3 (G). Naj ima H = K 2 vozlišča iz množice {1, 2}. Potem je množica {(v 1, 1), (v 1, 2), (v 2, 1), (v 2, 2),..., (v n, 1), (v n, 2)} parno dominantna množica grafa G H in γ pr (G H) 2n. Iz tega sledi, da je γ pr (G)γ pr (H) = 4n 2γ pr (G H). Ker za graf G velja γ pr (G) = ρ 3 (G), vemo, da je γ pr (G)γ pr (H) 2γ pr (G H). Torej γ pr (G H) = 1γ 2 pr(g)γ pr (H). Ker za vsako netrivialno drevo T velja γ pr (T ) = 2ρ 3 (T ), iz izreka 4.10 sledi naslednje. Posledica 4.11 ([4]) Naj bo T netrivialno drevo in H poljubnem graf brez izoliranih vozlišč. Potem je γ pr (T H) 1 2 γ pr(t )γ pr (H), in ta meja je natančna. V splošnem ni vedno res, da za poljuben par grafov G in H brez izoliranih vozlišč velja γ pr (G H) 2ρ 2 (G)ρ 2 (H). Na primer naj bo H = G = P 4 (pot na 4 vozliščih). Potem opazimo, da je γ pr (G H) = 6, medtem ko je ρ 2 (P 4 ) = 2 in tako velja γ pr (G H) < 2ρ 2 (G)ρ 2 (H). Vendar pa to velja za enačbe s 3-pakirnima številoma. Preden dokažemo, da je parno dominantno število kartezičnega produkta grafov kvečjemu večje od dvakratnika produkta 3-pakirnega števila obeh posameznih grafov, pa si poglejmo naslednjo lemo. Lema 4.12 ([4]) Za poljuben graf G brez izoliranih vozlišč velja, da je γ pr (G) 2ρ 3 (G). 27

36 Dokaz. Naj bo D γ pr (G)-množica in naj bo S ρ 3 (G)-množica. Za vsako vozlišče v S, naj bo v vozlišče iz D, ki dominira v in naj bo D = v S {v }. Ker so vozlišča v S paroma narazen na razdalji večji ali enaki 4, so vozlišča v, kjer je v S, med seboj različna in množica D je neodvisna množica za induciran podgraf G[D]. Od tod po trditvi 4.2 sledi, da je γ pr (G) = D 2 D = 2ρ 3 (G). Sedaj naslednji izrek sledi neposredno iz izreka 4.9 in zgoraj navedene leme. Izrek 4.13 ([4]) Za poljuben par grafov G in H brez izoliranih vozlišč velja γ pr (G H) 2ρ 3 (G)ρ 3 (H). 28

37 4.3 Zgornja dominacija Spomnimo se, da je minimalna dominantna množica dominantna množica z lastnostjo, da če odstranimo neko vozlišče iz te množice, potem množica ni več dominantna. Definicija 4.14 Zgornje dominantno število grafa G je največja kardinalnost minimalne dominantne množice v grafu G, označeno z Γ(G). Slika 4.3: Primer grafa G z minimalno dominantno množico z Γ(G) = 4 Za resnično se je izkazala tudi sledeča domneva, ki sta jo zastavila Nowakowski in Rall, leta 2005 pa jo je dokazal Brešar. Izrek 4.15 ([2]) Za poljuben par grafov G in H velja Γ(G H) Γ(G)Γ(H). V primeru, ko sta oba grafa G in H netrivialna (imata vsaj dve vozlišči), bomo dokazali nekoliko boljšo mejo: Γ(G H) Γ(G)Γ(H) + 1. Pred dokazom navedenega izreka pa vpeljimo še nekaj oznak in definicij. Sledeči osnovni izrek karakterizira minimalne dominantne množice v grafih. Izrek 4.16 ([2]) Dominantna množica S je minimalna dominantna množica natanko tedaj, ko za vsako vozlišče u S velja eden od naslednjih pogojev: 1. u ni sosednja nobenemu vozlišču iz S, 2. obstaja vozlišče v V (G)\S tako, da je u edini sosed vozlišča v izmed vozlišč iz S. Naj bo sedaj D G minimalna dominantna množica grafa G. Če za vozlišče u D G velja druga točka izreka 4.16, potem pravimo, da je vozlišče v privatni sosed vozlišča u. Seveda ima lahko vozlišče u tudi več privatnih sosedov. Prav tako lahko za u veljata obe točki zgornjega izreka; torej, da ima privatnega soseda in hkrati je nesoseden z vsemi vozlišči iz D G. Označimo z D G množico vozlišč iz D G, ki imajo privatne sosede, in s P G množico vozlišč iz V (G)\D G, ki so privatni sosedi vozlišč iz D G. Z N G označimo množico 29

38 vozlišč iz V (G)\D G, ki so sosednja z vozlišči iz D G, toda niso privatni sosedi od nobenega vozlišča iz D G. Množica D G = D G\D G naj predstavlja vozlišča iz D G, ki nimajo privatega soseda. In naj bo še R G = V (G)\(D G P G N G ). Na sliki 4.4 imamo primer grafa G, kjer rdeča vozlišča predstavljajo minimalno dominantno množico D G = {a, b, c, d, e, f}, D G = {a}, P G = {g, h}, N G = {i, j}, D G = {b, c, d, e, f} in R G = {k}. Če imamo torej podano minimalno dominantno množico D grafa G, množice D, D, P, N Slika 4.4: Primer grafa G z minimalno dominantno množico D G in R tvorijo razbitje vozlišč V (G). Poleg tega, morajo nekateri pari množic imeti sosednja vozlišča (kot D in P ), medtem ko drugi pari nimajo sosednjih vozlišč (kot D in D ). Povezava med množicami je opisana na sliki 4.5, kjer dvojna črta pomeni, da med izbranima množicama mora biti povezava, ena črta pomeni, da je med izbranima množicama lahko povezava in tam, kjer ni črte, ki povezuje dve množici, pomeni, da med njima povezava ni možna. Vsako vozlišče iz R je sosednje z vozliščem iz D, in vsako vozlišče iz N P je sosednje vozlišču iz D. Slika 4.5: Razbitje množice vozlišč grafa Če sta A in B dve podmnožici vozlišč grafa pravimo, da A dominira (vozlišča iz) B, če ima vsako vozlišče iz B soseda v A ali pa je vozlišče množice A. Tako pravimo tudi, da je B dominirano od (vozlišč iz) A. V dokazu izreka bomo uporabili dve posebni množici, pridobljeni z dopolnjevanjem določene množice do množice, ki dominira specifično množico vozlišč grafa. Poglejmo si ti dve operaciji: 30

39 1. Naj bo G graf, D minimalna dominantna množica in D, D, P, N, R pripadajoče množice, ki tvorijo razbitje V (G). Naj bo I podmnožica množice R. Z SP (D, I) označimo podmnožico vozlišč iz D, tako da SP (D, I) I dominira P N in je minimalna v sledečem smislu. Za vsako vozlišče u SP (D, I) (*) obstaja vozlišče v P N, tako da je u njegov edini sosed iz SP (D, I) I. Da takšna množica vedno obstaja, je jasno iz sledečih dveh dejstev. Najprej D sama dominira P N (in če I ne dominira nobenega vozlišča iz P N, potem je D že minimalna). Pogoj minimalnosti pa lahko dosežemo z dodajanjem množici SP (D, I) vozlišče za vozliščem iz D, ki so potrebna za dominacijo vozlišč iz P (tiste, ki niso dominirane od I) in nato, če kakšno vozlišče iz N ostane nedominirano, dodamo dodatna vozlišča iz D v množico SP (D, I). 2. Druga operacija je modifikacija prve. Začnemo z podmnožico D R namesto z R. Naj bo J podmnožica D R. Z SP (D, J) označimo minimalno množico vozlišč iz D, tako da je N P dominirana z vozlišči iz J SP (D, J). Sedaj pa se lotimo dokazovanja. Dokaz. V dokaz izreka 4.15 bomo skonstruirali minimalno dominantno množico D grafa G H, ki ima dovolj vozlišč. Naj bosta D G in D H minimalni dominantni množici grafov G in H z maksimalno kardinalnostjo, torej je D G = Γ(G) in D H = Γ(H). Najprej si poglejmo primer, za katero je pri enem od grafov (naj bo to G) množica D prazna. Potem je D := D G V (H) minimalna dominantna množica (vsako vozlišče iz D ima privatnega soseda) z več kot Γ(G)Γ(H) + 1 vozlišč. Če sta D G in D H obe prazni, naj bo D := (D G D H ) I, kjer je I največja neodvisna množica podgrafa, induciranega z (V (G)\D G ) (V (H)\D H ). Ker je I očitno neprazna, je D minimalna dominantna množica (je maksimalna neodvisna množica) z vsaj Γ(G)Γ(H) + 1 vozlišči. V nadaljevanju lahko brez izgube za splošnost predpostavimo, da je D H, D H in D G. Konstruirali bomo D kot unijo šestih v paru nastopajočih disjunktnih množic (v primeru, ko je D G =, bodo vsaj tri od teh prazne). Naj bo prva množica D 1 = D G D H, ki ima D G Γ(H) vozlišč. Naj bo druga množica D 2 največja neodvisna množica I podgrafa, induciranega z R G R H. Za vsako x R G označimo z I x množico I ({x} V (H)). Naj bo SP (D H, p H(I x )) podmnožica množice D H, pridobljena z operacijo opisano zgoraj, in pripadajoča podmnožica G H, ki nastane, je {x} SP (D H, p H(I x )). Naj bo tretja množica množice D unija vseh takih množic, torej D 3 = {x} SP (D H, p H (I x )), x R G ki pa je podmnožica množice R G D H. 31

40 Četrta podmnožica je pridobljena na podoben način, le z zamenjano vlogo grafov G in H. Za vsak y R H označimo z I y množico I (V (G) {y}). Potem je SP (D G, p G(I y )) podmnožica množice D G, in naj bo D 4 = ki je pomnožica množice D G R H. y R H SP (D G, p G (I y )) {y}, Za vsak y D H naj bo J y množica vozlišč iz V (G) {y}, ki so že vključene v D. Tako je J y = (D 1 D 3 ) (V (G) {y}), in za vsako tako množico dodamo v D vozlišča v V (G) {y} z uporabo druge operacije definirane zgoraj: D 5 = y D H ki je seveda podmnožica množice D G D H. In nazadnje še šesto množico definiramo kot SP (D G, p G (J y )) {y}, D 6 = D G (V (H)\(D H R H )). Ker je P H D H, lahko zaključimo, da je V (H)\(D H R H) D H in tako je D 6 D G Γ(H). Kot smo definirali D = D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 vidimo, da so množice med seboj paroma disjunktne. Iz prejšnje opazke dobimo D 1 + D 6 D G Γ(H) + D G Γ(H) = D G Γ(H) = Γ(G)Γ(H). Ker je D G in D H, velja da je R G N G in R H N H. Če je R G =, potem mora biti D 5 neprazna. Če je R G in R H =, potem mora biti D 3 neprazna. In če je R G in R H, potem je D 2 neprazna. Tako lahko sklenemo, da je D Γ(G)Γ(H) + 1. (Če je D G =, je to še lažje sklepati.) V prestanku dokaza bomo preverili še, da je D res minimalna dominantna množica grafa G H. Da dokažemo, da je D dominantna množica, bomo razbili vozlišča G H in za vsak del preverili, če je dominiran od D. Vozlišča množice D G V (H) so očitno dominirana od D 1. Razmislimo za vozlišča iz R G V (H). Vozlišča iz R G R H so dominirana od I = D 2, ker je to njena največja (in posledično maksimalna) neodvisna množica. Vozlišča iz R G D H so dominirana od D 1 in ostala vozlišča iz R G V (H) so dominirana od D 2 D 3 (z uporabo 32

41 operacije SP ). Vozlišča iz D G V (H) so dominirana od D 6. Seveda, saj je D 6 D G (P H D H N H), in tako je P H D H N H dominantna množica za H. Naj bo y V (H). Vozlišča iz P G V (H) in iz N G V (H) so dominirana na sledeč način: če je y v R H, potem je (P G N G ) {y} dominirana od D 2 D 4 z uporabo operacije SP, če je y v D H, potem je (P G N G ) {y} dominirana od D 1 D 3 D 5 z operacijo SP, če y / R H D H, potem je (P G N G ) {y} dominirana od D 6, saj D G dominira P G N G. S tem smo dokazali, da je D dominantna množica za graf G H. Da dokažemo, da je D tudi minimalna dominantna množica, bomo uporabili izrek Za vsako vozlišče iz D bomo pokazali, da velja eden od dveh pogojev iz omenjenega izreka. Naj bo (x, y) D 1. Če y V (H) pripada D H, potem jasno (x, y) ni sosednje z nobenim vozliščem iz D. Če je y V (H) iz D H, potem ima privatnega soseda z V (H). Potem je (x, z) privatni sosed od vozlišča (x, y) (z ozirom na D) in velja drugi pogoj izreka za (x, y). Naj bo (x, y) D 2. Vemo, da je D 2 največja neodvisna množica podgrafa, induciranega z R G R H. Tako po definiciji neodvisnosti niti dve vozlišči iz D 2 (= I) nista sosednji. Druga vozlišča iz D, ki pripradajo ali {x} V (H) ali pa V (G) {y}, prav tako ne morejo biti sosednja z (x, y), saj so pridobljena z operacijo SP in pripadajo {x} D H in D G {y} ločeno. Ker nobeno vozlišče iz D ni sosednje z nobenim iz R, za vsako vozlišče iz D 2 velja prvi pogoj iz izreka Če je (x, y) D 3, potem je y SP (D H, p H(I x )), kar pomeni, da y zadošča pogoju (*): obstaja vozlišče v P H N H, tako da je y edini sosed vozlišča v iz SP (D H, p H(I x )) I x. Ker je (x, y) edini sosed (x, v) iz D ({x} V (H)). Očitno je, da (x, v) nima sosedov iz D (V (G) {v}), iz česar vidimo, da (x, y) zadošča drugemu pogoju iz izreka z ozirom na D. Primer, ko je (x, y) D 4 je analogen prejšnjemu primeru, kjer postopamo podobno. Dobimo, da (x, y) zadošča drugemu pogoju iz izreka Primer, ko je (x, y) D 5, je le rahlo drugačen, odkar je vozlišče izpeljano z operacijo SP na V (G). Pogoj minimalnosti spet implicira, da obstaja vozlišče (u, y) (P G N G ) D H, tako da je (x, y) njegov edini sosed v D (V (G) {y}). Ker v D ((P G N G ) V (H)) 33

42 ni nobenega vozlišča, lahko sklenemo, da je (u, y) privatni sosed (x, y) z ozirom na D. Naj bo (x, y) D 6, tako da je x D G in y P H D H N H. Ker ima x V (G) privatnega soseda u P G, je jasno (u, y) privatni sosed vozlišča (x, y). Definirajmo še sledeče. Definicija 4.17 Minimalna totalna dominantna množica je totalna dominantna množica z lastnostjo, da če odstranimo eno vozlišče iz te množice, množica ni več totalna dominantna. Zgornje totalno dominantno število grafa G je največja kardinalnost minimalne totalne dominantne množice v grafu G, označeno z Γ t (G). Slika 4.6: Primer grafa G z minimalno totalno dominantno množico z Γ t (G) = 4 Sedaj si lahko pogledamo izrek za zgornje totalno dominantno število kartezičnega produkta. Pred dokazom pa vpeljimo še nekaj pojmov in opazk. Naj bo G = (V, E) graf in naj bo S V in v S. Vozlišče w V \S je S-zunanji privatni sosed vozlišča v, če je N(w) S = {v}; in S-zunanja privatna soseščina vozlišča v, označena z epn(v, S), je množica vseh S-zunanjih privatnih sosedov vozlišča v. Vozlišče w S je S-notranji privatni sosed vozlišča v, če je N(w) S = {v}; in S-notranja privatna soseščina vozlišča v, označena z ipn(v, S), je množica vseh S-notranjih privatnih sosedov vozlišča v. S-privatna soseščina pn(v, S) vozlišča v S je definirana kot pn(v, S) = {u V ; N(u) S = {v}}. Tako je epn(v, S) = pn(v, S) (V \S) in ipn(v, S) = pn(v, S) S. Velja tudi pn(v, S) = epn(v, S) ipn(v, S). Vsako vozlišče v pn(v, S) je imenuje S-privatni sosed vozlišča v. Primer na sliki 4.7 predstavlja graf, kjer so rdeče obarvana vozlišča množica S. Opomba 4.18 Naj bo S totalno dominantna množica grafa G brez izolirnih vozlišč. Potem je S minimalna totalno dominantna množica grafa G natanko tedaj, ko za vsako vozlišče v S velja, da je epn(v, S) ali pn(v, S) = ipn(v, S). Lema 4.19 ([9]) Vsaka Γ t (G)-množica vsebuje kot podmnožico minimalno dominantno množico S, tako da je S 1Γ 2 t(g) in epn(v, S) 1 za vsako vozlišče v S. 34

43 Slika 4.7: Primer grafa G z epn(f, S) = {g, h, i} in ipn(c, S) = {a} Dokaz. Naj bo D Γ t (G)-množica in A = {v D; epn(v, D) 1}, B = {v D A; d A (v) 1}, C = D (A B). Potem je D = A B C. Naj bo v B C. Potem je epn(v, D) = in po opombi 4.18 sledi ipn(v, D) 1. Naj bo v ipn(v, D) in tako v D in N(v ) D = {v}. Zato je d D (v ) = 1. Ker je v soseden samo vozlišču v in v / A, sledi v / B. Predpostavimo, da je v C. Potem v / A, saj je d A (v) = 0, in tako v C. Od tod sledi, da je epn(v, D) = in po opombi 4.18 je ipn(v, D) 1. Vozlišče v je edini sosed vozlišča v v G[D], kar pomeni, da je ipn(v, D) = {v}; torej N(v) D = {v }. Sledi, da je d D (v) = 1. Saj če C, potem je G[D] = C 2 K 2 in za vsak v C je d D (v) = 1. Dve sosednji vozlišči v G[D] imenujemo partnerja v C. Naj bosta (X, Y ) disjunktni množici v grafu G[C] in tako je vsako vozlišče v X (oziroma v Y ) v G[D] sosednje samo s svojim partnerjem v Y (oziroma v X). Za vsak x X naj bo y x partner vozlišča x v C. Predpostavimo, da je v B. Ker je G[C] = C 2 K 2 in je vsako vozlišče iz C stopnje 1 v G[D], vozlišče v ni sosednje z nobenim vozliščem v C. Natančneje, v A B. Pokazali smo že, da v / B. Zato v A. Od tod sledi, da za vsak v B velja, da je pn(v, D) A, iz česar sledi, da je A v B ipn(v, D) B. Naj bo U = V (G) (D N(A) N(X)) množica vozlišč v V (G) D, ki niso dominirana z A ali X v G. Ker je D totalno dominantna množica grafa G, je množica U dominirana od B Y. Naj bo B Y najmanjša podmnožica množice B Y, ki dominira U. Potem za vsak v B Y velja, da je epn(v, B Y ) U 1. Razmislimo, da je S = A B Y X. Ker je B N(A) in Y N(X), množica S dominira D. Glede na njeno zgradbo množica S dominira tudi V (G) D. Potem S dominira V (G), vendar S ni nujno minimalna dominantna množica grafa G. Skontruirajmo minimalno dominantno množico grafa G iz dominantne množice S na sledeč način. Za vsako vozlišče v X po vrsti premislimo in sistematično izbrišemo x iz S, če je epn(x, S) = na vsakem koraku v množici S. (Opazimo, da če parner y x Y od x iz C ni v S, potem y x epn(x, S) 35

44 in zato vozlišča x ne izbrišemo iz S.) Naj bo X* podmnožica vozlišč iz X, ki pripada množici S ob zaključku tega procesa. Na ta način je S = A B Y X* in po zgradbi epn(v, S) 1 za vsak v S. Če je x X X*, potem je partner vozlišča x iz C v množici S. Od tod sledi, da S dominira C. Ker je B N(A), je množica B dominirana od S. Torej S dominira D. Po zgradbi množica S dominira tudi V (G) D. Torej je S minimalna dominantna množica grafa G. Pokazati še moramo, da je S 1Γ 2 t(g). Za vsako vozlišče x X množica S vsebuje vsaj enega izmed x in njegovega partnerja v C, zato je S C X = 1 C. Kot smo 2 že pokazali, je A B. Od koder sledi S A + S C A C 1 2 ( A + B + C ) = 1 2 D = 1 2 Γ t(g). Izrek 4.20 ([9]) Naj bosta G in H povezana grafa z redom vsaj 3 in naj zanju velja Γ t (G) Γ t (H). Potem je Γ t (G H) 1 2 Γ t(g) (Γ t (H) + 1), in ta meja je natančna. Dokaz. Po lemi 4.19 obstaja minimalna dominantna množica S grafa G, za katero velja S 1Γ 2 t(g) in epn(v, S) 1 za vsak v S. Za vsak w V (G) je w H sloj grafa G H. Za vsak z V (H) naj bo G z kopija grafa G v grafu G H, pripadajoča vozlišču z. Torej je G z = (G H)[V (H) {z}]. Naj bo D = S V (H). Ker S dominira V (G), množica D dominira G H. Nadaljnje, za vsako vozlišče w S, so vozlišča {w} V (H) totalno dominirana od svojih sosedov v H w in tako je D totalno dominantna množica grafa G H. Naj bo v D. Potem je v = (w, z) za neki vozlišči w S in z V (H). Naj bo v = (w, z), kjer je w epn(w, S) grafa G. Tako je v epn(v, D) grafa G H. Torej v G H velja, da je epn(v, D) 1 za vsak v D. Iz tega po opombi 4.18 sledi, da je D minimalna totalno dominantna množica grafa G H in Γ t (G H) D. Ker je H povezan graf reda vsaj 3, je V (H) Γ t (H) + 1. Posledično je Γ t (G H) D = S V (H) 1 2 Γ t(g)(γ t (H) + 1), kar potrdi želeno spodnjo mejo izreka. 36

45 4.4 Deljena dominacija Definicija 4.21 Funkcija f : V (G) [0, 1], definirana na vozliščih grafa G, se imenuje deljeno-dominantna funkcija, če je vsota njenih funkcijskih vrednosti po vsaki zaprti okolici vozlišča vsaj 1. Teža deljeno-dominantne funkcije je vsota njenih funkcijskih vrednosti po vseh vozliščih. Deljeno-dominantno število grafa G, ki ga označimo z γ f (G), je minimalna teža deljeno-dominantne funkcije. Slika 4.8: Primer grafa G z γ f (G) 2 Opomba 4.22 Karakteristična funkcija dominantne množice grafa G je deljeno-dominantna funkcija in velja, da je γ f (G) γ(g). Poglejmo si torej deljeno verzijo Vizingove domneve. Izrek 4.23 ([11]) Za vse grafe G in H velja γ f (G H) γ f (G)γ f (H). Oglejmo si primer grafa P 3 P 6 s pomočjo slike spodaj. Slika 4.9 predstavlja deljeno Slika 4.9: Deljena dominacija dominacijo. Ker je vsota enaka 14, lahko zaključimo, da je γ 3 f(p 3 P 6 ) 14. Vemo še, da 3 je γ f (P 3 ) = 1 in γ f (P 6 ) = 2, iz česar sledi, da je neenakost iz izreka 4.23 lahko stroga. Za dokaz naslednjega izreka bomo potrebovali sledeče pojme. Za poljuben graf H vpeljimo dominacijo grafa G z ozirom na graf H. Naj bo 37

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,

Prikaži več

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Prikaži več

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek

Prikaži več

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................

Prikaži več

DS2.dvi

DS2.dvi Diskretne strukture II zapiski predavanj - prezentacija doc. dr. R. Škrekovski 1 Osnovno o grafih Če odnose med določenimi objekti opišemo z dvomestno relacijo, lahko to relacijo tudi narišemo (oz. grafično

Prikaži več

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn 5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R

Prikaži več

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru 6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je

Prikaži več

Brownova kovariancna razdalja

Brownova kovariancna razdalja Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti

Prikaži več

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam 1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi

Prikaži več

Osnove matematicne analize 2018/19

Osnove matematicne analize  2018/19 Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko

Prikaži več

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat

Prikaži več

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =

Prikaži več

Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih

Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TENOLOGIJE Matematične znanosti, stopnja Daliborko Šabić Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih Magistrsko delo Mentor:

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven

Prikaži več

Vrste

Vrste Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,

Prikaži več

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija' Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1

Prikaži več

MergedFile

MergedFile UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO POUČEVANJE DEJAN KREJIĆ HAMILTONSKOST VOZLIŠČNO TRANZITIVNIH GRAFOV MAGISTRSKO DELO Ljubljana, 2018 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so

Prikaži več

Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani

Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani naslov: Osnove verjetnostne metode avtorske pravice: dr. Riste Škrekovski

Prikaži več

I Z B R A N A P O G L AV J A I Z D I S K R E T N E M AT E M AT I K E zbornik seminarskih nalog iz diskretne matematike Matjaž Krnc, Riste Škrekovski J

I Z B R A N A P O G L AV J A I Z D I S K R E T N E M AT E M AT I K E zbornik seminarskih nalog iz diskretne matematike Matjaž Krnc, Riste Škrekovski J I Z B R A N A P O G L AV J A I Z D I S K R E T N E M AT E M AT I K E zbornik seminarskih nalog iz diskretne matematike Matjaž Krnc, Riste Škrekovski Junij 2015 verzija 1.1 CIP Kataložni zapis o publikaciji

Prikaži več

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter 2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih

Prikaži več

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,

Prikaži več

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft

Prikaži več

POPOLNI KVADER

POPOLNI KVADER List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,

Prikaži več

FGG13

FGG13 10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer

Prikaži več

Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike

Mere kompleksnih mrež   (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Ajda Pirnat, Julia Cafnik in Živa Mitar Fakulteta za matematiko in fiziko April

Prikaži več

Poslovilno predavanje

Poslovilno predavanje Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12

Prikaži več

2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki

2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki 2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V

Prikaži več

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje

Prikaži več

FGG14

FGG14 Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,

Prikaži več

Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo

Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefonih. Obstaja precej različic, sam pa sem sestavil meni

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na

Prikaži več

PowerPointova predstavitev

PowerPointova predstavitev U K 20 P K U P M 2 0 1 2 12 M OBLIKOVANJE POJMA ŠTEVILO PRI OTROKU V 1. RAZREDU Sonja Flere, Mladen Kopasid Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Oblikovanje

Prikaži več

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo 11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija

Prikaži več

Osnove verjetnosti in statistika

Osnove verjetnosti in statistika Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo

Prikaži več

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:

Prikaži več

glava.dvi

glava.dvi Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo

Prikaži več

GeomInterp.dvi

GeomInterp.dvi Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta

Prikaži več

Podatkovni model ER

Podatkovni model ER Podatkovni model Entiteta- Razmerje Iztok Savnik, FAMNIT 2018/19 Pregled: Načrtovanje podatkovnih baz Konceptualno načtrovanje: (ER Model) Kaj so entite in razmerja v aplikacijskem okolju? Katere podatke

Prikaži več

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z

Prikaži več

C:/AndrejT/vestnik/76_1/Rotovnik/main.dvi

C:/AndrejT/vestnik/76_1/Rotovnik/main.dvi Elektrotehniški vestnik 76(1-2): 19 24, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimalno permutacijsko usmerjanje v heksagonalnih omrežjih Maja Rotovnik 1, Jurij Šilc 2, Janez Žerovnik 3,1

Prikaži več

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja 3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.

Prikaži več

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015 Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10

Prikaži več

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v

Prikaži več

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano

Prikaži več

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,

Prikaži več

1. IDENTIFIKACIJA PODATKOVNEGA NIZA 1.1 Naslov Strukturno-tektonska karta Slovenije 1: Alternativni naslov Strukturno-tektonska karta Slove

1. IDENTIFIKACIJA PODATKOVNEGA NIZA 1.1 Naslov Strukturno-tektonska karta Slovenije 1: Alternativni naslov Strukturno-tektonska karta Slove 1. IDENTIFIKACIJA PODATKOVNEGA NIZA 1.1 Naslov Strukturno-tektonska karta Slovenije 1:250.000 1.2 Alternativni naslov Strukturno-tektonska karta Slovenije 1:250.000 1.3 Okrajšani naslov - 1.4 Globalni

Prikaži več

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

Matematika 2

Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo

Prikaži več

Matematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A

Matematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite

Prikaži več

Segmentacija slik z uporabo najvecjega pretoka

Segmentacija slik z uporabo najvecjega pretoka Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Eva Križman Segmentacija slik z uporabo največjega pretoka DIPLOMSKO DELO INTERDISCIPLINARNI UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Prikaži več

DN5(Kor).dvi

DN5(Kor).dvi Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n

Prikaži več

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je

Prikaži več

Strojna oprema

Strojna oprema Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

Albert Einstein in teorija relativnosti

Albert Einstein in teorija relativnosti Albert Einstein in teorija relativnosti Rojen 14. marca 1879 v judovski družini v Ulmu, odraščal pa je v Münchnu Obiskoval je katoliško osnovno šolo, na materino željo se je učil igrati violino Pri 15

Prikaži več

Ime in priimek

Ime in priimek Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora

Prikaži več

Bellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah

Bellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah Bellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah (uteº si predstavljamo npr. kot dolºino, ceno, teºo

Prikaži več

Microsoft Word - Seštevamo stotice.doc

Microsoft Word - Seštevamo stotice.doc UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:

Prikaži več

CpE & ME 519

CpE & ME 519 2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj

Prikaži več

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mento

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mento Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: prof. dr. Borut Robič Ljubljana, 2013 Rezultati

Prikaži več

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx 4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in

Prikaži več

rm.dvi

rm.dvi 1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v

Prikaži več

Microsoft Word - M docx

Microsoft Word - M docx Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M15245112* JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik in računalo.

Prikaži več

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI 3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.

Prikaži več

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni

Prikaži več

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj

Prikaži več

ZveznostFunkcij11.dvi

ZveznostFunkcij11.dvi II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Prikaži več

Datum in kraj

Datum in kraj Ljubljana, 5. 4. 2017 Katalog znanj in vzorci nalog za izbirni izpit za vpis na magistrski študij Pedagoško računalništvo in informatika 2017/2018 0 KATALOG ZNANJ ZA IZBIRNI IZPIT ZA VPIS NA MAGISTRSKI

Prikaži več

KOMISIJA ZA LOGIKO 32. TEKMOVANJE IZ ZNANJA LOGIKE DRŽAVNO TEKMOVANJE, in 2. letnik Šifra: NALOGA MOŽNE TOČKE DOSEŽENE TOČKE

KOMISIJA ZA LOGIKO 32. TEKMOVANJE IZ ZNANJA LOGIKE DRŽAVNO TEKMOVANJE, in 2. letnik Šifra: NALOGA MOŽNE TOČKE DOSEŽENE TOČKE KOMISIJA ZA LOGIKO 32. TEKMOVANJE IZ ZNANJA LOGIKE DRŽAVNO TEKMOVANJE, 11. 11. 2017 1. in 2. letnik Šifra: NALOGA MOŽNE TOČKE DOSEŽENE TOČKE 1. 20 2. 17 3. 20 4. 20 Skupaj 77 Opombe: pri 1. nalogi se tabela

Prikaži več

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna

Prikaži več

GOALS

GOALS BELGIAN DEFENCE FORCES General Directorate Material Resources Section Ammunition Risk Management HQ Queen ELISABETH Rue d'evere, 1 1140 BRUSSELS BELGIUM (BE)AC326(SG5) IWP 2012-01(I) 26. marec 2012 ORODJE

Prikaži več

M

M Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

VOLILNA ŠTEVILA

VOLILNA ŠTEVILA List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 2 Strani 98 105 Bojan Hvala: VOLILNA ŠTEVILA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija:

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - Java_spremenljivke

Microsoft PowerPoint - Java_spremenljivke Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo

Prikaži več

Osnove statistike v fizični geografiji 2

Osnove statistike v fizični geografiji 2 Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka

Prikaži več

Uradni list RS - 12(71)/2005, Mednarodne pogodbe

Uradni list RS - 12(71)/2005, Mednarodne pogodbe PRILOGA 3 Osnovne značilnosti, ki se sporočajo za usklajevanje 1. Zgradba podatkovne zbirke Podatkovno zbirko sestavljajo zapisi, ločeni po znakovnih parih "pomik na začetek vrstice pomik v novo vrstico"

Prikaži več

1 Tekmovanje gradbenih tehnikov v izdelavi mostu iz špagetov 1.1 Ekipa Ekipa sestoji iz treh članov, ki jih mentor po predhodni izbiri prijavi na tekm

1 Tekmovanje gradbenih tehnikov v izdelavi mostu iz špagetov 1.1 Ekipa Ekipa sestoji iz treh članov, ki jih mentor po predhodni izbiri prijavi na tekm 1 Tekmovanje gradbenih tehnikov v izdelavi mostu iz špagetov 1.1 Ekipa Ekipa sestoji iz treh članov, ki jih mentor po predhodni izbiri prijavi na tekmovanje. Končni izdelek mora biti produkt lastnega dela

Prikaži več

LaTeX slides

LaTeX slides Statistični modeli - interakcija - Milena Kovač 23. november 2007 Biometrija 2007/08 1 Število živorojenih pujskov Biometrija 2007/08 2 Sestavimo model! Vplivi: leto, farma Odvisna spremenljivka: število

Prikaži več

Matematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una

Matematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 Računalništvo in informatika Program: Mehatronika dr. Hubert Fröhlich, univ. dipl. el. Podatkovne baze 2 Podatkovne baze Podatki osnova za odločanje in izvajanje akcij tiskana oblika elektronska oblika

Prikaži več

4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar

4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar 4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, 6.4.29 Grafi II Jure Senčar Relativna sila krčenja - F/Fmax [%]. Naloga Nalogo sem delal v Excelu. Ta ima vgrajeno funkcijo, ki nam vrne logaritemsko

Prikaži več

Microsoft Word - Astronomija-Projekt19fin

Microsoft Word - Astronomija-Projekt19fin Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april

Prikaži več

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave

Prikaži več

Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Tr

Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Tr Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Trditev: idealni enosmerni tokovni vir obratuje z močjo

Prikaži več

DEDOVANJE BARVNE SLEPOTE

DEDOVANJE BARVNE SLEPOTE DEDOVANJE BARVNE SLEPOTE 1. UVOD: Vsak človek ima 23 parov kromosomov, od tega 22 parov avtosomih kromosomov in en par spolnih kromosomov. Ta ne določata samo spola, temveč vsebujeta tudi gene za nekatere

Prikaži več

Del 1 Limite

Del 1 Limite Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.

Prikaži več

2. Model multiple regresije

2. Model multiple regresije 2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov

Prikaži več