(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])

Transkripcija

1 8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb

2 Sistem algebraičnih enačb, v katerem so kompleksne efektivne vrednosti stacionarnih tokov in napetosti povezane z nadomestnimi vezji fizikalnih elementov omrežja, bomo predstavljali v obliki matrične enačbe. Kompleksne vrednosti tokov in napetosti bomo podajali v obliki stolpičnih vektorjev. Stolpična vektorja tokov in napetosti bosta medsebojno povezana z matriko elementov sistema, ki bodo podani bodisi kot impedance ali admitance. Če so elementi matrike sistema impedance, govorimo o impedančni matriki sistema; če so elementi matrike admitance, govorimo o admitančni matriki sistema. Matrična enačba bo vselej podana v eni od naslednjih dveh oblik: [ E] = [ Z ] [ I ], (0.1) kjer je [E] stolpični vektor podanih gonilnih napetosti, [I] stolpični vektor tokov in [Z] impedančna matrika sistema ali [ J ] = [ Y ] [ V ], (0.2) kjer je [J] podani stolpični vektor tokovnih virov, [V] stolpični vektor neznanih napetosti (potencialov) vozlišč in [Y] admitančna matrika sistema. V principu poteka poljubni primer matričnega pristopa v razreševanju vezij vedno v naslednjem zaporedju korakov: a) formiramo stolpični vektor podanih virov, napetostnih [E] ali tokovnih [J], b) formiramo matriko sistema, impedančno matriko [Z] ali admitančno matriko [Y], c) izračunamo stolpični vektor neznanih veličin, tokov [I] ali napetosti [V].

3 + e p pq + q p q z pq V p V q V p V q i pq y pq i pq + j pq v pq = V p - V q v pq = V p - V q ( V p V q ) + epq = zpq ipq pq ( p q ) i + j = V V y pq pq e pq j = = y e pq pq pq z pq i = y e + y V V pq pq pq pq p q

4 i 2 y 2 b i 4 j 4 i 5 y 4 + y 5 a i 3 y 3 y 6 i 6 d c j 1 + y 1 i 1

5 i = i + i i + i = i i + i = i i = j + y V V c a i = y V V 2 2 a b i = y V V 3 3 a d i = j + y V V d b i = y V V 5 5 b c i = y V V 6 6 d c j = y V V + y V V + y V V 1 1 c a 2 a b 3 a d j = y V V y V V + y V V 4 2 a b 4 d b 5 b c j = y V V y V V y V V 1 1 c a 5 b c 6 d c

6 j = y + y + y V y V y V y V a 2 b 1 c 3 d j = y V y + y + y V y V y V 4 2 a b 5 c 4 d j = y V y V y + y + y V y V 1 1 a 5 b c 6 d Izberemo parametrično rešitev V d = 0 j = y + y + y V y V y V a 2 b 1 c j = y V y + y + y V y V 4 2 a b 5 c j = y V y V y + y + y V 1 1 a 5 b c J = Y V + Y V + Y V a aa a ab b ac c J = Y V + Y V + Y V b ba a bb b bc c J = Y V + Y V + Y V c ca a bc b cc c

7 Ja j1 J = J = j [ ] [ ] b 4 J c j 1 Yaa Yab Yac y1 + y2 + y3 y2 y3 Y = Y Y Y = y y + y + y y ba bb bc Yca Ycb Y cc y3 y5 y1 + y2 + y 3 1 Va Yaa Yab Yac Ja V b = Yba Ybb Y bc J b V c Yca Ycb Y cc J c

8 V elektroenergetskem sistemu določimo vrednost potenciala V = 0 zemlji, tako lahko pišemo v enačbi metode vozliščnih potencialov namesto V kar U. Vektor v vozlišče vsiljenih tokov je običajno podan z močmi: * S = U I * S Iz te enačbe izluščimo J kot J =. * U Sistem enačb vozliščnih potencialov postane na ta način nelinearen, saj je napetost posameznega vozlišča izražena (odvisna) od napetosti sosednjih vozlišč in lastne napetosti: [ ] [ ] 1 * S U = Y * U Takšen nelinearni sistem lahko rešujemo z linearizacijo (npr. Newton-Raphson) ali iteracijsko metodo (npr. Gauss-Seidel).

9 Rešimo sistem linearnih enačb s pomočjo Gauss-Seidlove metode: a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b Iz prve enačbe izrazimo x 1, iz druge x 2 in iz tretje x 3 : b1 a12 a13 x1 = x2 x3 a a a b a a x = x x a22 a22 a22 b a a x = x x a33 a33 a33

10 Vpeljimo sedaj iteracijski postopek. Predpostavimo začetne vrednosti: x = 0, x = 0, x = 0, ( 0) ( 0) ( 0) Vrednost x 1 po prvem koraku je: x ( 1) b1 1 = a11 Za izračun x 2 v prvem koraku uporabimo že izračunano novo vrednost x 1 : x = b a x ( 1) 2 21 ( 1) 2 1 a22 a22 Za izračun x 3 v prvem koraku uporabimo že izračunani novi vrednosti x 1 in x 2 : b a a x = x x ( 1) 3 31 ( 1) 32 ( 1) a33 a33 a33

11 Splošno, za (n+1)-ti korak tako velja: b a a x = x x ( n+ 1) 1 12 ( n) 13 ( n) a11 a11 a11 b a a x = x x ( n+ 1) 2 21 ( n+ 1) 23 ( n) a22 a22 a22 b a a x = x x ( n+ 1) 3 31 ( n+ 1) 32 ( n+ 1) a33 a33 a33

12