Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja"

Transkripcija

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU RAČUNALNIŠTVA IN MATEMATIKE Mentor: prof. dr. Aleksandar Jurišić Somentor: prof. dr. Roman Drnovšek Ljubljana 205

2

3 Rezultati diplomskega dela so intelektualna lastnina avtorja, Fakultete za računalništvo in informatiko ter Fakultete za matematiko in fiziko, Univerze v Ljubljani. Za objavljanje ali izkoriščanje rezultatov diplomskega dela je potrebno pisno soglasje avtorja, Fakultete za računalništvo in informatiko, Fakultete za matematiko in fiziko ter mentorja. Besedilo je oblikovano z urejevalnikom besedil L A TEX.

4

5 Fakulteta za računalništvo in informatiko izdaja naslednjo nalogo: Tematika naloge: Delo naj predstavi osnove, potrebne za razumevanje najpomembnejših metod za računanje največjega skupnega delitelja, kot so Evklidov algoritem tudi razširjena verzija za iskanje multiplikativnega inverza obrnljivih elementov po modulu izbranega naravnega števila) in verižni ulomki. Opravi naj se tudi časovna primerjava različnih metod ter verjetnostna analiza za ugotavljanje porazdelitve kvocientov. Glavni cilji so: a) Lehmerjev algoritem in njegova implementacija, b) Knutova analiza, c) primerjava različnih algoritmov glede na časovno zahtevnost, d) analiza rezultatov, ki omogoči izbiro optimalnih modulov za učinkovito implementacijo. Literatura: M. Urlep, Analiza Evklidovega algoritma, seminarska naloga pri predmetu Kriptografija na FMF, UL, S. Maksimović: Učinkovita aritmetika v praštevilskih obsegih, diplomsko delo, Ljubljana, Fakulteta za matematiko in fiziko, J. Sorenson, An Analysis of Lehmer s Euclidean GCD Algorithm. In Proc. AMC IS- SAC 95 Symp., pages , 995. D. E. Knuth, The Art of Computer Programming: Seminumerical Algorithms, Vol. 2, Addison-Wesley, Reading, Ass., 2nd. edition, 98. A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography, CRC Press Series on Discrete Mathematics and its Applications), 4th ed, 999.

6

7 Izjava o avtorstvu diplomskega dela Spodaj podpisana Mirjam Kolar, z vpisno številko , sem avtorica diplomskega dela z naslovom: Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja Lehmer s GCD algorithm S svojim podpisom zagotavljam, da: sem diplomsko delo izdelala samostojno pod mentorstvom prof. dr. Jurišića in somentorstvom prof. dr. Romana Drnovška, Aleksandra so elektronska oblika diplomskega dela, naslov slov., angl.), povzetek slov., angl.) ter ključne besede slov., angl.) identični s tiskano obliko diplomskega dela soglašam z javno objavo elektronske oblike diplomskega dela v zbirki Dela FRI. V Ljubljani, dne 20. januarja 205 Podpis avtorja:

8

9 Kazalo Povzetek Abstract Uvod 2 Evklidov algoritem 3 2. Največji skupni delitelj Najmanjši skupni večkratnik Iskanje največjega skupnega delitelja Iskanje inverza v Z n Verižni ulomki 3. Povezava Q polinomov z verižnimi ulomki Realna števila in verižni ulomki Evklidov algoritem in verižni ulomki Kvocienti v Evklidovem algoritmu 9 4. Porazdelitvene funkcije Porazdelitvena funkcija F n x) Wirsingova metoda Porazdelitev delnih kvocientov Lehmerjev algoritem 5 5. Ideja algoritma Primerjava z Evklidovim algoritmom Inverz z razširjenim Lehmerjevim algoritmom Implementacija algoritmov Implementacija Evklidovega algoritma

10 KAZALO 6.2 Implementacija Lehmerjevega algoritma Časovna zahtevnost Primeri računanja Iskanje največjega skupnega delitelja Iskanje inverza Testiranje 7 8. Primerjava časov Porazdelitev kvocientov v Evklidovem algoritmu Kvocienti pri naključno izbranih celih številih Literatura 8

11 Povzetek V nalogi si na kratko ogledamo pravila v zvezi z največjim skupnim deliteljem ter najmanjšim skupnim večkratnikom dveh celih števil in opišemo Evklidov algoritem. Ogledamo si povezavo med Evklidovim algoritmom in verižnimi ulomki, Wirsingovo metodo za določanje porazdelitvene funkcije in kako je Knuth z uporabo te funkcije izračunal porazdelitev delnih kvocientov v Evklidovem algoritmu. Iz tega sledi še opis ideje Lehmerjevega algoritma, v čem se razlikuje od Evklidovega algoritma ter kako z njim poiščemo največji skupni delitelj dveh velikih števil in multiplikativni inverz po modulu n za naravno število n. Algoritma ter njuni razširitvi tudi implementiramo ter primerjamo, kdaj in za koliko je kateri od njiju hitrejši. Na koncu še na naključno izbranih številih preverimo, kakšni so kvocienti v Evklidovem algoritmu v praksi. Ključne besede: Lehmerjev algoritem, Evklidov algoritem, verižni ulomki, porazdelitvene funkcije, Wirsingova metoda za določanje porazdelitvene funkcije, kvocienti v Evklidovem algoritmu.

12

13 Abstract In this thesis we briefly look at the rules related to the greatest common divisor and the lowest common multiple of two integers and we describe the Euclidean algorithm. We study connections between Euclidean algorithm and continued fractions, Wirsing s method for determining the distribution function and how Knuth calculated the distribution of partial quotients in Euclidean algorithm using this method. Next Lehmer s algorithm is described and how it improves Euclidean algorithm, greatest common divisor and the multiplicative inverse mod n for a natural number n. We implement both Euclidean algorithm and Lehmer s algorithm in order to compare their speed. We also confirm the calculated distributions of partial quotients in Euclidean algorithm through an experiment. Keywords: Lehmer s algorithm, Euclidean algorithm, continued fractions, distribution function, Wirsing s method for determining the distribution function, quotients in Euclidean algorithm.

14

15 Poglavje Uvod Evklidov algoritem je verjetno eden izmed najstarejših znanih algoritmov in je že dve tisočletji znan kot učinkovit algoritem za iskanje največjega skupnega delitelja dveh celih števil. Poleg tega ga uporabljamo tudi za iskanje multiplikativnega inverza po modulu n, kjer je n N, reševanje diofantskih enačb, iskanje čim bolj točnega racionalnega približka iracionalnega števila pri dani velikosti števca in imenovalca itd. Z algoritmom za dani različni števili izrazimo večje število kot večkratnik drugega števila, povečan za ostanek ki je nenegativno število, manjše od drugega števila), in nato postopek nadaljujemo z drugim številom in ostankom itd., vse dokler ne pridemo do ostanka 0. Predzadnji ostanek je iskan največji skupni delitelj. Oglejmo si naslednji primer. Primer.. Iskanje največjega skupnega delitelja števil A = in B = 6840 z Evklidovim algoritmom = = = = = Z algoritmom smo izračunali, da je največji skupni delitelj števil in 6840 število 285. Čeprav se v tem primeru zdi, da je računanje kvocientov enostavno, se s povečevanjem števil izkaže, da je to časovno zelo zamudna operacija. Zaradi tega pri velikih številih potrebujemo hitrejšo rešitev. Ena izmed njih je Lehmerjev algoritem, kjer kvociente računamo s pomočjo manjših števil. V veliko primerih namreč lahko izračunamo kvociente tudi, če številom odrežemo zadnjih nekaj števk. Oglejmo si na primeru, kako to storimo.

16 2 POGLAVJE. UVOD Primer.2. A = , B = A B a 0 = = , a = = , q a = = = 3, q a = = = 3, a a q = q = 3. Če deljenje preverimo z računalnikom, vidimo, da nam vrne enak rezultat A B = 3. Namesto deljenja dveh velikih števil smo prišli do iskanega kvocienta z deljenjem dveh manjših števil. Velja namreč q A q. B Kot bomo videli, se v Evklidovem algoritmu večinoma pojavljajo majhni kvocienti. Kvocienti, 2 in 3 se namreč pojavljajo v približno 67, 8 %, kar bomo kasneje pokazali tako v teoriji, kot tudi v praksi. Derrick Henry Lehmer je to upošteval v svojem algoritmu, ki kvociente računa s pomočjo manjših števil. Tako je njegov algoritem hitrejši od Evklidovega na velikih številih. Tak algoritem je predvsem uporaben pri šifriranju, kjer se pogosto uporabljajo velika cela števila. Procesorji namreč ne zmorejo obdelovati tako velikih števil z eno operacijo. Na primer, 32 bitni procesorji lahko računajo s števili do 2 32, ta števila pa so za šifriranje občutno premajhna. Preden bomo opisali Lehmerjev algoritem, bomo v naslednjih poglavjih na kratko opisali Evklidov algoritem ter s pomočjo verižnih ulomkov in Wirsingove metode za določanje porazdelitvene funkcije pokazali, da je porazdelitev kvocientov res takšna, kot smo zgoraj omenili. Evklidov algoritem je namreč osnova za Lehmerjev algoritem, dejstvo, da se kvocienti res pojavljajo v tolikšnih odstotkih, kot smo omenili in bomo kasneje pokazali, pa nam pove, da je Lehmerjev algoritem res učinkovitejši od Evklidovega za velika števila.

17 Poglavje 2 Evklidov algoritem V tem poglavju bomo opisali največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil ter pokazali, kako z Evklidovim algoritmom izračunamo največji skupni delitelj. Ogledali si bomo tudi, kako poiščemo inverz števila v Z n z razširjenim Evklidovim algoritmom. 2. Največji skupni delitelj Največji skupni delitelj dveh celih števil A in B je največje celo število, ki deli tako A kot tudi B. Označimo ga z gcda, B) kratica izhaja iz angleškega izraza greatest common divisor). Zanj velja: gcda, B) = gcdb, A), gcda, B) = gcd A, B), gcda, 0) = A. Osnovni izrek aritmetike pravi, da lahko vsako naravno število, ki je večje od, zapišemo kot produkt praštevil, pri čemer je ta razcep na praštevila enoličen. Tako lahko števili A in B zapišemo kot A = 2 a2 3 a3 5 a5 7 a7... = B = 2 b2 3 b3 5 b5 7 b7... = pri čemer so eksponenti a 2, a 3, a 5, a 7,..., b 2, b 3, b 5, b 7,... nenegativna cela števila in je le končno mnogo eksponentov različnih od 0. Iz tega zapisa lahko enostavno dobimo formulo za največji skupni delitelj števil A in B, ki je enaka gcda, B) = p P 3 p minap,bp). p P p P p ap, p bp, 2.)

18 4 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM Primer 2.. A = = , B = 780 = , gcda, B) = = 30. Iz definicije 2.) sledi, da je gcda, B) C = gcda C, B C), za C Z. Trditev 2.2. Za največji skupni delitelj velja gcda, B) = gcda q B, B), za q Z. Dokaz. Pokažimo, da velja c gcda, B) c gcda ± B, B), kjer je c Z\{0}. = ) =) Ker c gcda, B), sledi, da je A = k c in B = l c za neka k, l Z. Zato je A ± B = k ± l) c, natanko tedaj, ko c gcda ± B, B). Naj bo D = A ± B oziroma A = D B. Potem je potrebno pokazati, da iz c gcdd, B) sledi c gcdd B, B), kar smo že pokazali v prvem delu. Tako smo se prepričali, da velja gcda, B) = gcda ± B, B). Če število B odštejemo oziroma prištejemo večkrat, pridemo do tega, kar smo želeli pokazati. Če je gcda, B) =, pravimo, da sta si števili A in B tuji. 2.2 Najmanjši skupni večkratnik Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil A in B je najmanjše celo pozitivno število, ki je deljivo tako z A kot tudi z B. Označimo ga z lcma, B) kratica izhaja iz angleškega izraza lowest common multiple). Zanj velja: lcma, B) = lcmb, A), lcma, B) = lcm A, B), lcma, 0) = A. Če števili A in B zapišemo kot produkta praštevil, je njun najmanjši skupni večkratnik enak lcma, B) = p P p maxap,bp). 2.2)

19 2.3. ISKANJE NAJVEČJEGA SKUPNEGA DELITELJA 5 Primer 2.3. A = = , B = 780 = , lcma, B) = = Iz definicije 2.2) sledi, da je lcma, B) C = lcma C, B C), za C Z. Če združimo definiciji 2.) in 2.2), dobimo gcda, B) lcma, B) = A B. 2.3 Iskanje največjega skupnega delitelja Enačba 2.) sicer izgleda uporabna v teoriji, vendar je v praksi problem, če imamo opravka z večjimi števili, saj moramo najprej faktorizirati števili A in B, da lahko potem poiščemo njun največji skupni delitelj. Za faktorizacijo trenutno ne poznamo nobene hitre metode, vseeno pa obstaja učinkovit enostaven algoritem za računanje največjega skupnega delitelja, ki ga je 300 let pr. n. št. opisal Evklid v svojem delu Elementi, v knjigi 7. Ta algoritem je verjetno najstarejši in najpomembnejši algoritem v teoriji števil. Predpostavimo skozi vso nalogo, da je A B. Pri iskanju največjega skupnega delitelja števil A in B algoritem izvaja zaporedje korakov, pri čemer se rezultat vsakega koraka uporabi kot vhodni podatek za naslednji korak. Definirajmo na začetku kvocient q 0 in ostanek r 0 : q 0 = A, r 0 = A q 0 B. B Zapišimo definicijo za r 0 drugače: A = q 0 B + r 0. Iz definicije števil q 0 in r 0 je očitno, da je r 0 < B. Ker po trditvi 2.2 velja gcda, B) = gcdq 0 B + r 0, B) = gcdr 0, B), lahko problem iskanja gcda, B) prevedemo na problem iskanja gcdb, r 0 ), ki je manjši. B Če zapišemo q = r 0, r = B q r 0, torej B = q r 0 + r, dobimo tako prva dva koraka Evklidovega algoritma. Postopek rekurzivno ponavljamo. Vsak korak se začne z

20 6 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM dvema nenegativnima ostankoma r k in r k 2. Cilj k tega koraka je najti kvocient q k in ostanek r k, da velja r k 2 = q k r k + r k, kjer je r k < r k. 2.3) V prvem koraku k = 0) velja A = r 2, B = r. Prvih nekaj korakov algoritma je A = q 0 B + r 0, B = q r 0 + r, r 0 = q 2 r + r 2, r = q 3 r 2 + r 3,. Zaporedje {r i }, i = 2,,..., imenujemo Evklidovo zaporedje števil A in B. Trditev 2.4. Evklidov algoritem se konča po končnem številu korakov in vrne pravilen rezultat. Dokaz. Zaporedje {r i } nenegativnih celih števil je strogo padajoče, kar pomeni, da po končnem številu korakov pridemo do 0, tj. r N = 0 za nek N N. Po trditvi 2.2 velja: gcda, B) = gcdb, r 0 ) = gcdr 0, r ) = = gcdr N 2, r N ) = gcdr N, r N ) = gcdr N, 0) = r N, torej nam algoritem res vrne pravilen rezultat, tj. gcda, B) = r N. Oglejmo si še, kolikšno je število korakov v Evklidovem algoritmu. Predpostavimo, da sta števili A in B naključno porazdeljeni med številoma in M. Lamé je pokazal, da je število korakov v Evklidovem algoritmu enako največ ln 5M) ln + 2 2, 078 ln M +, 672, 5)/2) Heilbronn pa, da je povprečno število korakov v Evklidovem algoritmu približno enako 2 ln 2 ln M + 0, 4 0, 843 ln M + 0, 4. π 2 Dokaz najdemo npr. v knjigi The Art of Computer Programming [6]), poglavje Analysis of Euclid s Algorithm. Izrek 2.5. Za števili A B, ki sta naključno porazdeljeni med številoma in M, je časovna zahtevnost Evklidovega algoritma enaka Olog 2 M) 2 ).

21 2.3. ISKANJE NAJVEČJEGA SKUPNEGA DELITELJA 7 Dokaz. Časovna zahtevnost izračuna q B + r je enaka Olog 2 B log 2 q), saj je časovna zahtevnost množenja dveh celih števil m in n enaka Olog 2 m log 2 n). Zahtevnost A B je enaka Olog 2 M) 2 ). Ker je število M večje od števil B in q, je tako časovna zahtevnost enega koraka Olog 2 M) 2 ). algoritma enaka Olog 2 M) 3 ). Ker je število korakov Olog 2 M), je časovna zahtevnost Poskusimo sedaj dokazati, da je časovna zahtevnost manjša. Pokažimo najprej, da se število A po dveh korakih v Evklidovem zaporedju zmanjša vsaj za faktor 2. Vemo, da velja r k < r k. Razdelimo dokaz na dva primera: ) r k r k 2 2 2) r k > r k 2 2 = r k < r k r k 2 2, = po definiciji 2.3) velja r k = r k 2 q k r k. Edini možni primer za q k je q k = in v tem primeru velja r k = r k 2 r k < r k 2 2. Če je v prvi in morda še drugi) vrstici zahtevnost algoritma Olog 2 M) 2 ), je zahtevnost vseh ostalih vrstic tako skupaj manjša od zahtevnosti prve vrstice, torej od Olog 2 M) 2 ). Skupaj je tako časovna zahtevnost manjša ali enaka vsoti zahtevnosti prve vrstice, druge vrstice in vseh ostalih vrstic skupaj, kar pomeni, da je manjša ali enaka Olog 2 M) 2 ) + Olog 2 M) 2 ) + Olog 2 M) 2 ) = 3 Olog 2 M) 2 ) = Olog 2 M) 2 ). Primer računanja Evklidovega algoritma smo si ogledali že v uvodu Primer.), še enega pa si oglejmo sedaj. Primer 2.6. A = 837, B = 329. i q i r i = = = = = = = Števili 837 in 329 sta si tuji, saj je gcd837, 329) =.

22 8 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM 2.4 Iskanje inverza v Z n Če Evklidov algoritem razširimo, lahko z njim poiščemo inverz števila v Z n. Definirajmo poleg Evklidovega zaporedja {r i } še zaporedji {s i } in {t i }, s katerima računamo inverz števila v Z n. Zanju velja: s 2 =, t 2 = 0, s = 0, t =, 2.4) s i A + t i B = r i, za i = 2,,... Izrek 2.7. Z uporabo razširjenega Evklidovega algoritma lahko poiščemo števili x in y, ki sta eni izmed rešitev diofantske enačbe z dvema neznankama x A + y B = C, natanko tedaj, ko gcda, B) deli C. Dokaz. Najbolj enostavna primera sta, ko je C = A ali ko je C = B: A + 0 B = A, 2.5) 0 A + B = B. V primeru, ko je C = gcda, B), nam enačba 2.5) omogoči, da iščemo rešitve z zaporedji {s i }, {t i } in {r i }. Ideja je, da gre r i dovolj hitro proti gcda, B). Tako je r i = r i 2 q i r i. Če q i+ krat odštejemo enačbo 2.4) predhodni enačbi s i A + t i B = r i, dobimo As i q i+ s i ) + Bt i q i+ t i ) = r i+. Zaporedji {s i } in {t i } tako računamo po enakem principu kot zaporedje r i : s k 2 = q k s k + s k, t k 2 = q k t k + t k. Ko se algoritem konča z r N = 0, velja r N = gcda, B), prav tako velja tudi s N = s ter t N = t. Števili s in t tako že imamo. Kako sedaj dobimo števili x in y, rešitvi linearne diofantske enačbe? Ker velja gcda, B) C, je C = C gcda, B). Tako lahko enačbo s A + t B = gcda, B) pomnožimo s C in dobimo s C ) A+t C ) B = gcda, B) C = C. Rešitvi linearne diofantske enačbe sta tako x = s C in y = t C.

23 2.4. ISKANJE INVERZA V Z N 9 Rešitvi x in y sta le eni izmed neskončno rešitev diofantske enačbe, s pomočjo teh rešitev pa lahko dobimo vse ostale. Kot vidimo, pri Evklidovem algoritmu računamo zaporedje {r i }, če pa računamo še zaporedje {s i } in/ali zaporedje {t i }, imenujemo ta algoritem razširjen Evklidov algoritem. Ko sta si števili A in B tuji, torej ko velja gcda, B) =, lahko z uporabo razširjenega Evklidovega algoritma poiščemo inverz števila A po modulu B in inverz števila B po modulu A. Število s je v tem primeru multiplikativni inverz števila A po modulu B in število t je multiplikativni inverz števila B po modulu A. Vendar za inverz računamo poleg zaporedja {r i } le {s i } ali le {t i }, saj potrebujemo le enega od njiju, odvisno za katero od števil A oziroma B računamo inverz. Tako lahko z razširjenim Evklidovim algoritmom poiščemo multiplikativni inverz obrnljivih elementov po modulu izbranega naravnega števila. Primer 2.8. Oglejmo si primer računanja inverza na primeru 2.6 iz prejšnjega poglavja za tuji si števili A = 837 in B = 329 z uporabo razširjenega Evklidovega algoritma. Računanje zaporedja s i : = = + ) = 5 ) + 6 = ) 6 = 25) = ) 3 = 2 49) Računanje zaporedja t i : 0 = ) = 55) = ) 56 = 4 335) = ) 396 = 4 73) = )

24 0 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM Zapis s tabelo: i q i r i s i t i Torej je ) =. Preverimo inverza: mod 329), = mod 329), = mod 837).

25 Poglavje 3 Verižni ulomki Realno število a = a 0, a a 2 a 3... lahko predstavimo z zaporedjem {a n }: a = a 0 + a 0 + a a Pri tem je a 0 Z, a i N, za i > 0. Daljše kot je zaporedje, bolj se približujemo vrednosti števila a. Verižni ulomki so alternativa temu zaporedju, saj lahko realno število predstavimo tudi z njimi. Vendar verižni ulomki niso zanimivi le zaradi tega, ampak tudi, ker so tesno povezani z Evklidovim algoritmom. Mi se bomo večinoma ukvarjali s končnimi verižnimi ulomki, za katere velja, da so vsi števci enaki. Oglejmo si njihov zapis na dva načina: a 0 + = a 0 + /a + /a 2 + /... /a n + /a n )...))). a + a 2 + a n + a n Zgornji ulomek na kratko zapišemo v naslednji obliki: [a 0 ; a, a 2, a 3,..., a n ]. V primeru, da je a 0 = 0, kar bomo skozi nalogo tudi privzeli, izpustimo a 0 in zapišemo kar [a, a 2, a 3,..., a n ]. 3. Povezava Q polinomov z verižnimi ulomki V tem razdelku nas bo zanimalo, kako izgleda verižni ulomek, če ga poskusimo izraziti kot običajni ulomek, to je kvocient dveh celih števil. Oglejmo si najkrajše tri primere

26 2 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI verižnih ulomkov: [a ] = a, [a, a 2 ] = [a, a 2, a 3 ] = a + a 2 = a + a 2 a a 2 +, = a 3 a + a 2 a 3 + = a 2 a 3 + a a 2 a 3 + a + a 3. 3.) a 2 + a 3 Opazimo, da v števcu in imenovalcu dobimo polinome, kar nas pripelje do Q polinomov več spremenljivk, ki so definirani z [x, x 2,..., x n ] = Q n x 2,..., x n ) Q n x, x 2,..., x n ). 3.2) Iz 3.) in 3.2) dobimo Q 0 = in Q x ) = x, nato pa iz rekurzije izračunamo oziroma [x, x 2,..., x n ] = Q n x 2,..., x n ) Q n x, x 2,..., x n ) x + [x 2, x 3,..., x n ] = x + Q n 2x 3,...,x n) Q n x 2,...,x n) Q n x, x 2,..., x n ) = x Q n x 2,..., x n ) + Q n 2 x 3,..., x n ). 3.3) Oglejmo si prvih nekaj primerov Q polinomov: Q 0 =, Q x ) = x, Q 2 x, x 2 ) = x Q x 2 ) + Q 0 = x x 2 +, Q 3 x, x 2, x 3 ) = x Q 2 x 2, x 3 ) + Q x 3 ) = x x 2 x 3 + ) + x 3 = x x 2 x 3 + x + x 3. Za Q polinome velja: Q n x, x 2,..., x n ) = Q n x n, x n,..., x ). 3.4) Kot posledico enačb 3.3) in 3.4) dobimo Q n x, x 2,..., x n ) = x n Q n x,..., x n ) + Q n 2 x, x 2,..., x n 2 ).

27 3.. POVEZAVA Q POLINOMOV Z VERIŽNIMI ULOMKI 3 Trditev 3.. Za Q polinome velja enakost Q n x,..., x n ) Q n x 2,..., x n+ ) Q n+ x,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n ) = ) n, Dokaz. Uporabimo indukcijo. n = : Q x ) Q x 2 ) Q 2 x, x 2 ) Q 0 = x x 2 x x 2 + ) =, n n + : Q n+ x,..., x n+ ) Q n+ x 2,..., x n+2 ) n. 3.5) Q n+2 x,..., x n+2 ) Q n x 2,..., x n+ ) = Q n+ x,..., x n+ ) x n+2 Q n x 2,..., x n+ ) + Q n x 2,..., x n ) ) x n+2 Q n+ x,..., x n+ ) + Q n x,..., x n ) ) Q n x 2,..., x n+ ) = x n+2 Q n+ x,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n+ ) Q n+ x,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n+ ) ) ) n = ) n+. Trditev 3.2. Če označimo q k = Q k x,..., x k ), velja Dokaz. Uporabimo indukcijo. [x,..., x n ] = q 0 q q q 2 + q 2 q 3 + )n q n q n. n = : [x ] = Q 0 Q x ) =, q 0 q n n + : Če enačbo 3.5) delimo s dobimo Q n x,..., x n ) in Q n+ x,..., x n+ ), Q n x 2,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n ) = )n. q n+ q n q n q n+ Če v to enačbo vstavimo še enakost 3.2), dobimo [x,..., x n+ ] [x,..., x n ] = )n q n q n+, od tod pa z indukcijsko predpostavko: [x,..., x n+ ] = [x,..., x n ] + )n = ± + )n. q n q n+ q 0 q q q 2 q n q n+

28 4 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI 3.2 Realna števila in verižni ulomki Oglejmo si, kako lahko povežemo z verižnimi ulomki realna števila. Vsako realno število X [0, ) lahko zapišemo kot enostavni verižni ulomek. Definirajmo ga takole: X 0 = X, A n+ =, X n+ = A n+, X n X n 3.6) za vsak n 0, za katerega velja X n 0. Števila A, A 2,... se imenujejo delni kvocienti števila X. Če je X n = 0, potem nista definirana niti A n+ niti X n+. Če pa velja X n 0, iz definicije sledi, da je 0 X n+ < saj iz 3.6) sledi X n+ = X n X n ). To pomeni, da je A n naravno število. Iz definicije 3.6) lahko izračunamo X n+ = X n A n+, X n = A n+ + X n+. 3.7) Iz tega vidimo, da velja X = X 0 = A + X = =, A + A 2 + X 2 torej je X = [A, A 2,..., A n + X n ] 3.8) za vsak n, kadarkoli je X n definiran. Če je X n = 0, je X = [A, A 2,..., A n ]. Oglejmo si primer izračuna zapisa realnega števila z verižnim ulomkom.

29 3.2. REALNA ŠTEVILA IN VERIŽNI ULOMKI 5 Primer 3.3. X = A = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = A 6 = X = [6, 2,, 5, 3, 2]. X 0 X X 2 X 3 X 4 X 5 = = = = 37 7 X 0 = X = , = 6, X = A = 2044 X 0 6 = 44 25, 25 = 2, X2 = A 2 = 25 X 44 2 = 37 44, =, X3 = A 3 = 44 X 2 37 = 7 37, = 5, X4 = A 4 = 37 X = 2 7, = 7 2 = 3, X5 = X 4 A 5 = = 2, = 2 = 2, X6 = X 5 A 6 = 2 2 = 0. Trditev 3.4. Če velja X n [A, A 2,..., A n + ], saj je X n <. Natančneje 0, potem število X vedno leži med [A, A 2,..., A n ] in X [A, A 2,..., A n ] Q n+ A,..., A n, A n+ ) Q n A,..., A n ). 3.9) Dokaz. Iz 3.8) dobimo X [A, A 2,..., A n ] = [A, A 2,..., A n + X n ] [A, A 2,..., A n ]. Iz enačbe 3.7) sledi [A, A 2,..., A n + X n ] [A, A 2,..., A n ] = [A, A 2,..., A n, X n ] [A, A 2,..., A n ]. Iz osnovne lastnosti Q polinomov 3.2) sledi [A, A 2,..., A n, X n ] [A, A 2,..., A n ] Q n A 2,..., A n, X = n ) Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A 2,..., A n ) Q n A,..., A n ) Q n A 2,..., A n, X = n ) Q n A,..., A n ) Q n A 2,..., A n ) Q n+ A,..., A n, X n ) Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ). Zaradi lastnosti Q polinomov 3.5) je prejšnja enačba enaka Q n A 2,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ) Q n A 2,..., A n ) Q n+ A,..., A n, Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ) = Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ) X n ) Q n+ A,..., A n, A n+ ) Q n A,..., A n ).

30 6 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI Zadnji neenačaj velja zaradi tega, ker zaradi definicije 3.6), A n+ = X n, velja Q n+ A,..., A n, A n+ ) Q n+ A,..., A n, X n ). Iz enačbe 3.9) vidimo, da ko gre n, gre vrednost X [A, A 2,..., A n ] proti 0, zato je [A, A 2,..., A n ] zelo dobra aproksimacija števila X za velike n. Če je X n = 0, je število X racionalno, saj ga lahko predstavimo z enostavnim končnim verižnim ulomkom. Če pa je X iracionalno število, je nemogoče, da bi bil X n = 0 za katerikoli n. Zato za iracionalna števila enostavne končne verižne ulomke razširimo na enostavne neskončne verižne ulomke [A, A 2,...]. Neskončni verižni ulomek definiramo kot in iz 3.9) je očitno, da je limita enaka X. [A, A 2,...] = lim n [A, A 2,..., A n ] 3.3 Evklidov algoritem in verižni ulomki Ko je X racionalno število, lahko enostavni verižni ulomek povežemo z Evklidovim algoritmom. V tem poglavju si bomo ogledali, kako. Recimo, da je X = B, kjer je 0 B < A. A Pri enostavnem verižnem ulomku velja X 0 = X. Vzemimo, da je U 0 = A in V 0 = B in predpostavimo, da X n = V n 0. Potem U n iz definicije 3.6) sledi, da je A n+ = = U n, X n X n+ = V n X n A n+ = U n V n U n = U n mod V n. V n V n 3.0) Če vzamemo, da je U n+ = V n, V n+ = U n mod V n, 3.) bo s tako definicijo pogoj X n = V n U n veljal skozi ves postopek. Oglejmo si postopek iskanja največjega skupnega delitelja, pri tem pa uporabimo število X iz primera 3.3).

31 3.3. EVKLIDOV ALGORITEM IN VERIŽNI ULOMKI 7 Primer 3.5. X = 25 = [6, 2,, 5, 3, 2], A = 2044, B = gcd2044, 25) =. Evklidov algoritem: Izračun z verižnim ulomkom: r k 2 = q k r k + r k, X 0 = , 2044 = , A = 6, X = 44 25, 25 = , A 2 = 2, X 2 = 37 44, 44 = , A 3 =, X 3 = 7 37, 37 = , A 4 = 5, X 4 = 2 7, 7 = 3 2 +, A 5 = 3, X 5 = 2, 2 = 2 + 0, A 6 = 2, X 6 = 0. Lahko vidimo, da je definicija 3.) transformacija, narejena na spremenljivkah r k in r k+ v Evklidovem algoritmu. Za ta primer lahko iz X = 25 = [6, 2,, 5, 3, 2] točno vidimo, 2044 da bo Evklidov algoritem za ta primer porabil 6 korakov in da bodo kvocienti q k = rk 2 r k zaporedoma enaki 6, 2,, 5, 3, 2. Trditev 3.6. Postopek 3.0) nam vrne največji skupni delitelj števil A in B. Dokaz. V prejšnjem poglavju smo povedali, da X n ne more biti enak 0, če je X iracionalno število. Za Evklidov algoritem vemo, da se vedno konča. Iz teh dveh lastnosti ter iz povezave med Evklidovim algoritmom in enostavnimi verižnimi ulomki vidimo, da se enostavni verižni ulomek za X konča pri nekem koraku z X n = 0 če in samo če je X racionalno število. Če so dobljeni kvocienti, ki jih dobimo v Evklidovem algoritmu, enaki A, A 2,..., A n, potem je X n = 0 in imamo po 3.2): B A = [A, A 2,..., A n ] = Q n A 2,..., A n ) Q n A, A 2,..., A n ), n. 3.2) Če v enačbi 3.5) n nadomestimo z n, dobimo y Q n x 2,..., x n ) Q n x,..., x n ) z = ) n, n,

32 8 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI kjer sta y in z neki racionalni števili. Iz tega vidimo, da sta Q n x 2,..., x n ) in Q n x,..., x n ) tuji si števili in je ulomek B A v 3.2) pokrajšan. Zato je Iz tega sledi d = gcda, B). A = Q n A, A 2,..., A n ) d in B = Q n A 2,..., A n ) d.

33 Poglavje 4 Kvocienti v Evklidovem algoritmu Opisani postopek za računanje verižnih ulomkov deluje tudi za A < B. V tem primeru je A = 0. Kakšne so frekvence pojavitev delnih kvocientov za takšen B v Evklidovem algoritmu lahko vidimo iz tega, kakšni bodo verižni ulomki za X = 0 B, B, 2 B,..., B B. Če predpostavimo, da je B zelo veliko število, lahko preučujemo enostavne verižne ulomke, ko je X R [0, ). Vpeljemo zaporedje slučajnih spremenljivk {X n } n=, kot smo ga definirali v 3.6): X 0 = X in X n+ =. 4.) X n X n Ker je X zvezno porazdeljena slučajna spremenljivka, je za vsak n N takšna tudi slučajna spremenljivka X n. Definirajmo porazdelitveno funkcijo F n x): F n x) = P X n x), za 0 x <. 4.2) Z uporabo te porazdelitvene funkcije bomo kasneje izračunali porazdelitev kvocientov v Evklidovem algoritmu, najprej pa si oglejmo nekaj osnovnih lastnosti porazdelitvenih funkcij. 4. Porazdelitvene funkcije Ponovimo osnovne lastnosti porazdelitvenih funkcij. 9

34 20 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU 4.. Diskretne slučajne spremenljivke Verjetnostna porazdelitev diskretne slučajne spremenljivke je funkcija, ki vrača verjetnost, da ima diskretna slučajna spremenljivka točno določeno vrednost. Označujemo jo s px), zanjo velja, da je za vsako število x: Pri tem velja še:. px) 0, za vsak x, 2. x px) =. px) = P X = x). Porazdelitvena funkcija opisuje verjetnostno porazdelitev slučajne spremenljivke X. Označujemo jo z F x). Za diskretno slučajno spremenljivko X s funkcijo verjetnosti px), je definirana za vsako število x z Zanjo velja še:. lim F x) = 0, lim F x) =, x x F x) = P X x) = y R y x py). 2. če sta a in b realni števili, za kateri velja a < b, potem je F a) F b), 3. označimo z a prvo vrednost od X, ki je manjša od a. Potem je P a X b) = P X b) P X < a) = F b) F a ). To velja za vse realne a, b, kjer je a < b Zvezne slučajne spremenljivke Funkcija gostote verjetnosti zvezne slučajne spremenljivke X je realna funkcija fx) 0, za < x <, za katero velja: P a X b) = b a fx) dx, za a, b R, a b. Funkcija gostote verjetnosti vrača relativno verjetnost, da bo zvezna slučajna spremenljivka imela točno določeno vrednost iz množice možnih vrednosti. Zanjo velja še:

35 4.2. PORAZDELITVENA FUNKCIJA F N X) 2. fx) dx =, 2. P X = c) = 0 za vsak c R. Porazdelitvena funkcija F x) zvezne slučajne spremenljivke X je definirana kot Zanjo velja še: x F x) = P X x) = fy) dy, za < x <.. lim F x) = 0, lim F x) =, x x 2. če sta a in b realni števili, za kateri velja, da je a < b, potem je F a) F b), 3. če sta a in b realni števili, za kateri velja, da je a < b, velja tudi b b a P a X b) = fx) dx = fx) dx fx) dx a = P X b) P X < a) = F b) F a), 4. funkcijo fx) lahko dobimo iz F x) z odvajanjem: fx) = F x). 4.2 Porazdelitvena funkcija F n x) Sedaj, ko smo ponovili osnovne lastnosti porazdelitvenih funkcij, lahko izračunamo porazdelitveno funkcijo F n x). Izrek 4.. Za porazdelitveno funkcijo F n x) velja F 0 x) = x, F n+ x) = k F n k ) ) ) F n. k + x 4.3) Dokaz. Iz definicij 4.) in 4.2) ter dejstva, da je X enakomerno porazdeljena, dobimo F 0 x) = P X 0 x) = P X x) = x.

36 22 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Spomnimo se rekurzivne zveze 4.): X 0 = X in X n+ =. Od tod in iz X n X n definicije 4.2) sledi: F n+ x) = P X n+ x) = P = P X n = k k ) A n+ x X n X n [ k, k + x ] ) = P P k + x X n ) = k k = P [ k F n k x + A n+ X n ] ) k + x, k ) ) ) ) F n. k + x Če se F n x) približuje limitni porazdelitvi F x) = F x), dobimo: F x) = ) F k k ) ) F. 4.4) k + x Trditev 4.2. Funkcija F x) = log b + x), za b >, zadošča relaciji 4.4). Dokaz. Oglejmo si delno vsoto vrste v 4.4): k N ) F k = = F k N k N k + x ) ) = k N log b + k k ) log b + ) log k b + ) ) k + x ) ) log b + k + x k + x log b + k) log b k) log b + k + x) + log b k + x) = log b 2) log b ) log b 2 + x) + log b + x) + log b 3) log b 2) log b 3 + x) + log b 2 + x) + log b 4) log b 3) log b 4 + x) + log b 3 + x) log b N) log b N ) log b N + x) + log b N + x) + log b + N) log b N) log b + N + x) + log b N + x) = log b + x) + log b + N) log b + N + x) ) ) + N + N = log b + x) + log b = F x) + log + N + x b. + N + x )

37 4.3. WIRSINGOVA METODA 23 ) + N Ko gre N, gre log b 0, zato je + N + x ) ) ) F F = F x). k k + x k Ker za porazdelitveno funkcijo velja F ) =, bo ustrezna osnova b = 2. Iz tega dobimo funkcijo F x) = log 2 + x) = lg + x). Radi pa bi dobili tudi oceno porazdelitvenih funkcij F n x). Omenjene porazdelitvene funkcije je prvi študiral F. K. Gauss leta 800, a problema asimpotičnega obnašanja funkcije F n x) ni znal rešiti. Leta 928 je R. O. Kuz min pokazal, da je F n x) = lg + x) + Oe A n ) za neko pozitivno konstanto A. Leta 929 je Paul Lévy napako izboljšal in pokazal, da je F n x) = lg + x) + Oe A n ) za neko pozitivno konstanto A. Problem, kako določiti asimptotično obnašanje F n x) lg + x), je rešil šele Eduard Wirsling leta 974 in v naslednjem poglavju si bomo ogledali, kako. 4.3 Wirsingova metoda Naj bo G : [0, ] R odvedljiva funkcija z omejenim odvodom. Torej obstaja taka konstanta M 0, da je G x) M, za vse x [0, ]. Potem z znanim Lagrangeovim izrekom dokažemo neenakost Gx) Gy) M x y, ki velja za poljubni števili x, y [0, ]. Z njeno uporabo in z uporabo Weierstrassovega izreka glej [3], 7. poglavje, Izrek 7.0) dokažemo absolutno in enakomerno konvergenco vrste saj velja ocena k k ) G k ) G k ) ) G, za x [0, ], 4.5) k + x ) G k + x M M k k k k + x k k + = M.

38 24 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Torej lahko definiramo funkcijo SG : [0, ] R z vrsto ) ) SG x) = G k Tako smo definirali operator S, ki funkciji G priredi funkcijo SG. k ) ) G. 4.6) k + x Trditev 4.3. Transformacija S je linearna, tj. zanjo veljata aditivnost: SG + G 2 ) = SG + SG 2, ter homogenost: ScG) = csg), kjer so G, G 2 ter G odvedljive funkcije z omejenimi odvodi in je c R. Dokaz. Aditivnost operatorja S sledi iz SG + G 2 ) ) ) ) x) = G + G 2 k k ) ) = G + G 2 k k k ) = G k k ) = G G k k + x k = SG ) x) + SG2 ) x), ) ) ) G + G 2 k + x ) ) ) G G 2 k + x k + x ) ) ) ) G + G 2 G 2 k + x k ) ) + k G 2 k ) k + x ) ) G 2 k + x kjer smo smeli zamenjati vrstni red členov zaradi absolutne konvergence vrst. Ker je ) ) ) ) ScG) x) = cg cg k k + x k ) )) ) = c G G k k + x k ) ) ) = c G G k k + x je S tudi homogen operator. k = c SG ) x), Če vrsto v 4.5) členoma odvajamo, dobimo vrsto k ) k + x) 2 G, k + x

39 4.3. WIRSINGOVA METODA 25 ki tudi enakomerno in absolutno konvergira, saj velja k k + x) 2 G ) k + x M M k k k + x) 2 k 2 <. Po znanem izreku glej [6], XV. poglavje Teorija vrst), 6. razdelek) je potem funkcija SG odvedljiva in velja SG) x) = k ) k + x) 2 G. k + x S tem smo dokazali tudi, da ima funkcija SG omejen odvod. Z uporabo funkcije SG in še nekaterih funkcij in operatorjev, ki jih bomo sproti definirali, bomo sedaj določili asimptotično obnašanje F n x) lg + x). Definirajmo za začetek funkcije Dobimo ) G k + x H = SG, gx) = + x) G x), hx) = + x) H x). = = ) g k + x + ) k + x ) ) k + x g. k + x + k + x Vstavimo rezultat v definicijo funkcije hx) in dobimo hx) = + x) H x) = ) 2 ) + x) G k + x k + x = = k k k ) + x k + x k + x + g k + x k k + x + k ) k + x ) g. k + x 4.7)

40 26 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Vpeljimo novo linearno transformacijo T, tako da velja: h = T g. Če je funkcija g zvezno odvedljiva, lahko T g členoma odvajamo in dobimo ) 2 ) 2 ) T g) x) = k ) k ) ) k + x + k + x k k + k + x + k ) ) 2 )) ) ) g k + x k + x k + x ) ) k = g k + x k + x) k 2 k + x + ) 2 k ) ) 2 k g k + x k + x k + x + k ) ) k + x ) k = g k + x k + x) 2 k 2 k k ) g k + x k k + x + ) 2 ) ) 2 k g k + x k + x k + x + k ). k + x V prvo vsoto vpeljemo m = k in dobimo T g) x) = m ) m g m + + x m + + x) 2 k ) g k + x k k + x + ) 2 ) ) 2 k g k + x k + x k + x + k ) k + x k ) )) k = g g k + x k + + x k + + x) 2 k ) ) + x + g. k + x k + x) 3 k + x + ) ) g k + x Za lažji zapis v nadaljevanju definirajmo funkcijo ρx) = g x), ρx) : [0, ] R + 0 vpeljimo še zadnjo transformacijo U, za katero velja in T g) = Ug ). 4.8)

41 4.3. WIRSINGOVA METODA 27 Tako lahko zgornjo vsoto zapišemo kot ) k Uρ x) = k + + x) 2 k /k+x) /k++x) ρt) dt ) + x ) + k + x) 3 k + x + ) ρ. k + x Oglejmo si, kakšna je povezava med našim problemom in vsem do sedaj opisanim. Za operator S po enačbi 4.3) velja: F n+ x) = SF n )x) = SSF n ) ) x) = S 2 F n )x) =, torej F n x) = S n F 0 )x). Če vzamemo dobimo F n x) = lg + x) + R n lg + x) ), f n x) = + x) F nx), ) ) f n x) = + x) lg + x) + R n lg + x) = + x) Odvod te funkcije je enak ln 2) + x) + ln 2) + x) R n = ln 2 ) + R n ) lg + x). f nx) = = + R n ln 2 ln 2 + ln 2 R n = ln 2 = ln 2 = Trditev 4.4. Za funkcijo f n velja R n ) )) lg + x) ) ) lg + x) ln 2) + x) R n ln 2) 2 + x) R n ) ) lg + x) ) lg + x) ) lg + x). lg + x) ) ) 4.9) 4.0) f n = T n f 0.

42 28 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Dokaz. Za računanje funkcije T f n ) x) uporabimo zvezo 4.7), za računanje fn+ x) pa 4.3). Najprej pokažimo, da velja f = T f 0. V ta namen izračunajmo prvih nekaj vrednosti: F 0 x) = x, F 0x) =, ) ) ) F x) = F 0 F 0 = k k + x k ), k + x F x) = k k k + x) 2, f 0 x) = + x)f 0x) = + x, f x) = + x)f x) = + x) Izračunajmo še funkcijo T f 0 ) x): ) k T f0 x) = k + x + k ) k + x = = = = k k k k k k k k + x + k ) k + x k k + x) 2. ) f 0 k + x + ) k + x ) kk + x) k )k + x + ) k + x + )k + x) + ) k + x k 2 + kx k 2 ) kx k + k + x + ) k + x + k + x + )k + x) k + x x + k + x) 2. Pokažimo sedaj, da velja f n+ = T f n : ) k T fn x) = k + x + k ) k + x = = k k k ) f k + x ) ) kk + x) k )k + x + ) F n + ) k + x + )k + x) k + x k + x ) + x k + x) F 2 n. k + x

43 4.3. WIRSINGOVA METODA 29 = Rekurzivno dobimo f n+ x) = + x)f n+x) ) ) ) = + x) F n F n k k + x = + x) k k k ) k + x) F 2 n k + x ) + x k + x) F 2 n. k + x f n+ = T f n ) x) = T T fn ) ) x) = T 2 f n ) x) = = T n+ f 0 ) x). Vstavimo funkcijo f n v zvezo T g) = Ug ), ki smo jo definirali v 4.8). Dobimo f n = T n f 0 ) = ) n U n f 0. Funkciji F n in f n sta n krat zvezno odvedljivi. Zato iz 4.0) sledi f nx) = ln 2) 2 + x) R n ) lg + x) = ) n U n f 0. Če enačbo preuredimo, dobimo Začetni funkciji sta: ) n R n ) lg + x) = ln 2) 2 + x) U n f 0. 4.) F 0 x) = x in f 0 x) = + x) F 0x) = + x. Opišimo na tem mestu na kratko nekaj lastnosti deljenih diferenc, ki jih bomo potrebovali za določanje ostanka R n x). Newtonov interpolacijski polinom P n x) je polinom, ki se v točkah x 0,..., x n ujema s funkcijo f. Zapišemo ga kot P n x) = f[x 0 ] + f[x 0, x ]x x 0 ) + f[x 0, x, x 2 ]x x 0 )x x ) + + f[x 0, x,..., x n ]x x 0 ) x x n ). Pri tem je f[x 0, x,..., x k ] deljena diferenca, tj. vodilni koeficient pri x k ) interpolacijskega polinoma stopnje k, ki se ujema z f v paroma različnih točkah x 0, x,..., x k.

44 30 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Za deljene diference velja naslednja rekurzivna formula: f[x 0 ] = fx 0 ), f[x 0, x,..., x n ] = f[x,..., x n ] f[x 0,..., x n ] x n x ) Oglejmo si deljeni diferenci za k = in k = 2: f[x 0, x ] = f[x ] f[x 0 ] x x 0 = fx ) fx 0 ) x x 0 = fx 0) + fx ), x 0 x x x 0 f[x 0, x, x 2 ] = f[x, x 2 ] f[x 0, x ] x 2 x 0 = = fx 2 ) fx ) x 2 x fx ) fx 0 ) x x 0 x 2 x 0 fx2 ) fx ) ) x x 0 ) fx ) fx 0 ) ) x 2 x ) x 2 x 0 )x 2 x )x x 0 ) = fx 0)x 2 x ) + fx ) x + x 0 x 2 + x ) + fx 2 )x x 0 ) x 2 x 0 )x 2 x )x x 0 ) fx 0 ) = x 0 x )x 0 x 2 ) + fx ) x x 0 )x x 2 ) + fx 2 ) x 2 x 0 )x 2 x ). Izrek 4.5. Iz definicije 4.2) lahko izpeljemo drugačen zapis deljene diference: f[x 0, x,..., x n ] = 0 k n fx k ) x k x j ). 0 j n j k Dokaz. Za dokazovanje uporabimo indukcijo. Da to velja za f[x 0, x ] in za f[x 0, x, x 2 ], lahko vidimo že iz zgornjih primerov. Predpostavimo, da to velja za f[x 0, x,..., x n ] in

45 4.3. WIRSINGOVA METODA 3 dokažimo, da velja tudi za f[x 0, x,..., x n+ ]. f[x 0, x,..., x n+ ] = f[x,..., x n+ ] f[x 0,..., x n ] x n+ x 0 ) fx k ) / ) = x k x j ) fx k ) x n+ x 0 x k x j ) = = = k n+ 0 k n+ 0 k n+ 0 k n+ j n+ j k 0 k n fx k )x k x 0 ) x k x j ) 0 j n+ j k 0 k n+ 0 j n j k ) / ) fx k )x k x n+ ) x n+ x 0 x k x j ) 0 j n+ j k ) / ) fx k )x k x 0 x k + x n+ ) x n+ x 0 x k x j ) 0 j n+ j k fx k ) x k x j ). 0 j n+ j k Za k krat zvezno odvedljivo funkcijo f velja f[x 0, x,..., x k ] = k! f k) ξ), pri čemer je min i=0,...,k x i) < ξ < max i=0,...,k x i). 4.3) Sedaj, ko smo si ogledali osnovne lastnosti deljenih diferenc, izpeljimo formulo za določanje ostanka R n x). Izrek 4.6. Za ostanek R n x) velja R n x) = x x) ) R 2 n ξx), 4.4) za neko funkcijo ξx), za katero velja 0 ξx), ko je 0 x. Dokaz. Za dokazovanje bomo uporabili deljene diference. Najprej pokažimo, da velja R n 0) = R n ) = 0. Funkcijo F n x) smo definirali kot F n x) = P X n x). Vemo, da je F n x) = lg + x) + R n lg + x)). Če vstavimo x = 0, dobimo: P X n 0) = 0 = F n 0) = lg) + R n lg)) = 0 + R n 0), torej R n 0) = F n 0) = 0. Če pa vstavimo x =, dobimo: P X n ) = = F n ) = lg2) + R n lg2)) = + R n ), torej R n ) = F n ) = 0.

46 32 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Izberimo sedaj tri različne točke: x 0 = 0, x = x, x 2 =, kjer 0 < x <. Zaradi definicije 4.3) velja pri čemer je 0 < ξx) <. R n [x 0, x, x 2 ] = 2! R n ξx) ), Po drugi strani pa je deljena diferenca ostanka na zgornjih treh točkah enaka R n [0, x, ] = Iz tega sledi, da je R n 0) 0 x)0 ) + R n x) x 0)x ) + R n ) 0) x) = R nx) xx ). R n x) xx ) = 2! R n ξx) ) x x) ) oziroma R n x) = R 2 n ξx). V nadaljevanju bomo pokazali, da transformacija U n funkcijo z zelo majhnimi vrednostmi. konstantno funkcijo spremeni v Posledično to pomeni, da je zaradi 4.) tudi R nx) zelo majhen za 0 x <. Izrek 4.3 pa nam zagotovi, da je majhen prav tako R n x). Linearna transformacija U je pozitivna, kar pomeni, da je Uρ ) x) 0 za vsak x, če je ρx) 0 za vsak x. Je tudi monotona: če je ρ x) ρ 2 x) za vsak x, potem je ) ) Uρ x) Uρ2 x) za vsak x. Zato lahko poiščemo takšno funkcijo ρ, za katero bomo lahko natančno izračunali Uρ. S tem pa bomo prišli do omejitev, ki nas zanimajo. Najprej poiščimo funkcijo g, tako da je T g enostavno izračunati. Če vzamemo, da so funkcije definirane za vse x 0, namesto le za 0 x <, dobimo iz enačbe 4.6): ) ) ) SG x + ) SG x) = G k k ) G k k G ) ) k + x + ) ) G k + x ) ) = G G x + 2 x + 3 ) ) + G + G + x + x + 2 ) ) = G lim G x + k k + x ) = G G0), x +

47 4.3. WIRSINGOVA METODA 33 kadar je G zvezna funkcija. Iz definicij funkcij in transformacij sledi T g ) x) = hx) = + x) H x) = + x) SG) x). Če v to zvezo vstavimo definicijo gx) = + x) G x), dobimo Iz tega sledi ) T g x) ) T g x + ) x + x + 2 T + x) G ) = + x) SG). = + x) SG) x) 2 + x) SG) x + ) x + x + 2 = SG ) ) x x) SG + ) ) 2 ) = G k + x k + x k k k + x + ) 2 G k + x + ) 2 ) ) 2 ) = G + G + + x + x 2 + x 2 + x ) 2 ) ) 2 ) G G 2 + x 2 + x 3 + x 3 + x ) 2 ) ) 2 ) = G lim G + x + x k k + x k + x ) 2 ) = G. + x + x 4.5) Če v enačbi gx) = + x) G x) izberemo x = + y, dobimo ) ) ) ) g = + G, + x + x + x ) iz česar sledi Vstavimo to v enačbo 4.5): ) T g x) ) T g x + ) x + x + 2 ) ) G = g + x + x + x 2 + x. = = ) 2 ) g + x + x + x 2 + x ) + x 2 + x g. + x 4.6)

48 34 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Ker je + x 2 + x = + x 2 + x, velja T gx) x + T gx + ) x + 2 Če vzamemo, da je T gx) =, pa dobimo + x = + x ) ) g. 2 + x + x T gx) x + T gx + ) x + 2 Združimo 4.6) in 4.7): = +x x + 2+x x + 2 = 2x + 3 x + ) 2 x + 2). 4.7) 2 ) 2x + 3 = x + ) 2 x + 2) 2 + x 2 + x g, + x ) 2x + 3 = g. x + ) x + 2) + x Izberimo y = + x, kar pomeni, da je x = y. Dobimo gy) = y 2 ) y ) + 2) = y + y + = y 2 + y + y y y 2y + y2 = + y = y + )2 = y + + y + y. Naj bo ρx) = g x) = + + x). Iz T 2 g) = Ug ) dobimo Uρ ) x) = T gx)) = + x) 2. To je funkcija ρ, ki smo jo iskali. Za to izbiro funkcije ρ velja Omejimo se sedaj nazaj na 0 x. Vrednost z ρx) ) = + +x) 2 Uρ x) = + x) ) +x) 2 2 ρx) Uρ ) x) 5 oziroma ρx) Uρ ) x) lahko po formuli 4.8) omejimo ρ 5 Uρ ρ 2.

49 4.3. WIRSINGOVA METODA 35 Ker sta U in ρ pozitivni, veljajo tudi naslednje neenakosti: ρ Uρ ρ 5 25 Uρ ρ Uρ 2 2 Uρ 5 ρ 4 in Uρ U 2 ρ ρ Uρ in U 2 ρ Uρ U 2 ρ Uρ 2 2 torej ρ 25 U 2 ρ ρ 4. Po n korakih tako za zgoraj izbrano funkcijo ρ velja U 2 ρ, ρ 4, 5 n ρ U n ρ 2 n ρ. 4.9) Prej smo izračunali funkcijo f 0 x) = + x. Sedaj definirajmo konstantno funkcijo χx) = f 0x) = in ker je ρx) = +, zanjo velja + x) 2 Če združimo neenačbi iz 4.9) in 4.20), dobimo Pomembni deli teh neenačb so 5 4 χ ρ 2 χ, za 0 x. 4.20) 5 4 ρ = n χ 2 5 n ρ, 5 n ρ U n ρ = 2 5 n ρ U n ρ, 2 2 χ = U n ρ 2 U n χ, χ 4 ρ 5 = U n χ 4U n ρ, 5 U n ρ 2 n ρ = 4 5 U n ρ n ρ, ρ 2 χ = n ρ n χ n χ U n χ n χ. Na levi in desni strani upoštevamo χx) =, na sredini pa χx) = f 0x) ter enačbo pomnožimo z + x)ln 2) 2 in dobimo + x)ln 2) n + x)ln 2) 2 U n f 0x) + x)ln 2) n, kar je po enačbi 4.) enako ) + x)ln 2) n ) n R n lg + x) + x)ln 2) n.

50 36 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Če v tej neenačbi definiramo y = lg+x), torej +x = 2 y velja 0 y za 0 x ), dobimo 2 y ln 2) n ) n R ny) 2 y ln 2) n. Za y = 0 velja 2 y =, za y = pa 2 y = 2. Iz tega sledi naslednja neenakost: torej ln 2) n ) n R ny) 2 ln 2) n, 5 ln 8 2)2 5 n ) n R nx) 6ln 5 2)2 2 n, za 0 x. 4.2) Z uporabo vsega do sedaj izračunanega lahko izpeljemo naslednji izrek: Izrek 4.7. Za porazdelitveno funkcijo F n x) velja: Dokaz. Spomnimo se enačb 4.9) in 4.4): F n x) = lg + x) + O2 n ), ko n. F n x) = lg + x) + R n lg + x) ), x x) ) R n x) = R 2 n ξx), za neko funkcijo ξx), za katero velja 0 ξx), ko je 0 x. Ko gre n, lahko drugi odvod ostanka zaradi 4.2) zapišemo kot R nx) = O2 n ). Vrednost lg + x) je za 0 x < znotraj intervala [0, ), zato lahko ostanek zapišemo kot R n lg + x) ) = lg + x) lg + x)) 2 R n ξ lg + x) )). Ko gre n, lahko tako tudi ostanek zapišemo kot R n lg + x)) = O2 n ). Res je F n x) = lg + x) + O2 n ), ko n. 4.4 Porazdelitev delnih kvocientov Rezultati o verjetnostnih porazdelitvah, ki smo jih dobili do sedaj, veljajo za verižne ulomke, ko je X realno število, enakomerno porazdeljeno na intervalu [0, ). Toda realno število je racionalno z verjetnostjo 0, saj so skoraj vsa realna števila iracionalna. Zato teh rezultatov ne moremo direktno uporabiti za Evklidov algoritem. Preden lahko uporabimo izrek 4.7, moramo definirati še nekaj pravil. Uporabimo znanje iz osnov teorije mere.

51 4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 37 Lema 4.8. Naj bodo I, I 2,..., J, J 2,... paroma disjunktni intervali znotraj intervala [0, ) in naj bo I = k I k, J = k J k, K = [0, ]\I J). Recimo, da ima K mero 0. Definirajmo še množico P n = I P n lim = µi), n n kjer je µi) Lebesguova mera in zanjo velja µi) = µi ) + µi 2 ) + = I P n pa označuje število elementov množice I P n. Dokaz. Naj bo I N = k N I k in J N = k N µi N ) + µj N ) ε, tako da pokrijemo skoraj celoten interval, in naj bo K N = K k>n { } 0,, 2,..., n. Potem je n n n n k J k. Za ε > 0 poiščimo tak N, da bo I k k>n J k. dolžinai k ), Če je I interval katerekoli izmed oblik a, b), [a, b), a, b] ali [a, b], potem je µi) = b a. Kolikšno je v tem primeru število elementov množice I P n? Recimo, da je k a k+ n n in l b l+ za k + < l. Možne situacije so podane v tabeli 4. stran 38). Rezultati n n tabele 4., ki nas zanimajo, so povzeti v tabeli 4.2 stran 38). Možen pa je še en primer, namreč m < a b < m+. V tem primeru je 0 nµi) <, I P n n n = 0, torej je nµi) I P n. To je prvi robni primer. Drugega lahko razberemo iz tabele 4.2: nµi) + I P n. Tako dobimo nµi) I P n nµi) +. Naj bo sedaj še r n = I N P n, s n = J N P n ter t n = K N P n. Ker unija I N J N K N pokrije celoten interval, je r n + s n + t n = n, nµi N ) N = nµi ) + nµi 2 ) +... r n nµi ) + + nµi 2 ) + + = nµi N ) + N, nµj N ) N = nµj ) + nµj 2 ) + s n nµj ) + + nµj 2 ) + + = nµj N ) + N.

52 38 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU a = k n k < a < k+ n n a = k+ n b = l n l < b < l+ n n b = l+ n b = l n l < b < l+ n n b = l+ n b = l n l < b < l+ n n b = l+ n nµi) = l k I P n = l k + l k < nµi) < l k + I P n = l k + nµi) = l k + I P n = l k + 2 l k < nµi) < l k I P n = l k l k < nµi) < l k + I P n = l k l k < nµi) < l k + I P n = l k + nµi) = l k I P n = l k l k < nµi) < l k I P n = l k nµi) = l k I P n = l k + Tabela 4.: Število elementov množice I P n. a = k n k < a < k+ n n a = k+ n b = l n nµi) = I P n l n n I P n < nµi) < I P n b = l+ n nµi) = I P n b = l n I P n < nµi) < I P n l n n I P n < nµi) < I P n + b = l+ n I P n < nµi) < I P n b = l n nµi) = I P n l n n I P n < nµi) < I P n b = l+ n nµi) = I P n Tabela 4.2: Število elementov množice I P n povzetek. Ker velja ε + µi) µi N ) + µj N )) + µi) µi N ) + µj) + µi)) = µi N ) +,

53 4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 39 je µi N ) µi) ε. Iz ε µi N ) + µj N ) µi) + µj N ) sledi tudi µi) + ε µj N ). Če vse skupaj združimo, dobimo: µi) N n ε µi N) N n rn n rn+tn n = sn n µj N) + N n µi) + N n + ε. r To velja za vse n in za vsak ε, zato lim nn n I = lim N P n n n I P = lim n n n = µi). Sedaj lahko združimo izrek 4.7 in lemo 4.8 in izpeljemo nekaj dejstev v zvezi z Evklidovim algoritmom. Izrek 4.9. Naj bosta n in k pozitivni celi števili in naj bo p k a, n) verjetnost, da je k+) ti kvocient A k+ v Evklidovem algoritmu enak a, ko je B = n in je A izbran naključno. Potem velja ) lim p ka, n) = F k n a kjer je F k x) porazdelitvena funkcija iz 4.2). ) F k, a + Dokaz. Množica I vseh X ov na intervalu [0, ), za katere je A k+ = a, je unija disjunktnih intervalov. Prav tako je množica J vseh X ov na intervalu [0, ), za katere A k+ a, unija disjunktnih intervalov. Sedaj uporabimo lemo 4.8, kjer je K množica vseh X ov, za katere je A k+ nedefiniran. Za razliko porazdelitvenih funkcij velja: ) F k = P X k ), a a ) F k = P X k ), a + a + ) ) F k F k = P a a + a + < X k ). a Ker je A k+ = X k, velja P a + < X k ) = P a ) < a + = P A k+ = a). a X k In ker je I množica vseh X ov, za katere je A k+ = a, je P A k+ = a) = µi). Če vse to združimo, dobimo ) ) F k F k a a + = P a + < X k ) = µi) = P A k+ = a) = lim p k a, n). a n

54 40 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Izrek 4.0. V Evklidovem algoritmu se kvocient, ki je enak a, pojavi s približno verjetnostjo a + ) 2 ) lg. a + ) 2 Dokaz. Spomnimo se še enkrat izreka 4.7, velja F n x) = lg + x) + O2 n ). povežemo z izrekom 4.9, dobimo naslednji izračun: ) ) lim p ka, n) = F k F k n a a + = lg + ) + O2 k ) lg a ) = lg a+ a a+2 a+ a + ) 2) = lg aa + 2) a + ) 2 ) = lg. a + ) 2 + ) O2 k ) a + Če to Število k se tukaj izgubi, zato je verjetnost enaka za katerokoli število k. Iz tega sledi, da a + ) 2 ) se kvocient, ki je enak a, pojavi s približno verjetnostjo lg. a + ) 2 Primeri za nekatere od kvocientov so zapisani v tabeli 4.3 stran 4). Če seštejemo verjetnosti pojavitev kvocientov, 2 in 3, je vsota enaka 0, , , = 0, , kar pomeni, da se kvocienti, 2 in 3 pojavijo v približno 67, 8 % vseh primerov kvocientov v Evklidovem algoritmu. Za primer si oglejmo verižne ulomke za množico vseh ustreznih ulomkov, katerih imenovalec je enak 37. = [37] 0 = [3,, 2, 3] 9 = [,, 8] 28 = [, 3, 9] = [8, 2] = [3, 2,, 3] 20 = [,, 5,, 2] 29 = [, 3,,,, 2] = [2, 3] 2 = [3, 2] 2 = [,, 3, 5] 30 = [, 4, 3, 2] = [9, 4] 3 = [2,, 5, 2] 22 = [,, 2, 7] 3 = [, 5, 6] = [7, 2, 2] 4 = [2,,,, 4] 23 = [,,,,, 4] 32 = [, 6, 2, 2] = [6, 6] 5 = [2, 2, 7] 24 = [,,, 5, 2] 33 = [, 8, 4] = [5, 3, 2] 6 = [2, 3, 5] 25 = [, 2, 2] 34 = [,, 3] = [4,,,, 2] 7 = [2, 5,, 2] 26 = [, 2, 2,, 3] 35 = [, 7, 2] = [4, 9] 8 = [2, 8] 27 = [, 2,, 2, 3] 36 = [, 36] Na primeru lahko opazimo nekatera zanimiva dejstva:

55 4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 4 Kvocient Verjetnost pojavitve kvocienta ) 4 lg = 0, ) 9 2 lg = 0, ) 6 3 lg = 0, ) 25 4 lg = 0, ) 36 5 lg = 0, ) 49 6 lg = 0, ) 64 7 lg = 0, ) 8 8 lg = 0, ) 00 9 lg = 0, ) 2 0 lg = 0, ) lg = 0, ) lg = 0, Tabela 4.3: Verjetnosti pojavitev nekaterih kvocientov v Evklidovem algoritmu. a) Vrednosti stolpcev na desni strani so povezane z vrednostmi stolpcev na levi strani. Zanimiva povezava je [x, x 2,..., x n ] = [, x, x 2,..., x n ], recimo [7, 2, 2] = 5 = 32 = [, 6, 2, 2] b) Obstaja simetrija med desno in levo stranjo v prvih dveh stolpcih, npr. [8, 2] [2, 8], [4,,,, 2] [2,,,, 4],... Če se pojavi [A, A 2,..., A t ], se vedno pojavi tudi [A t, A t,..., A ]. c) Vseh kvocientov je 24, od tega jih je 44 = 34, 48 % enakih, 29 = 23, 39 % enakih ter 5 = 2, 09 % enakih 3, skupaj je to 70, 96 % vseh pojavitev, kar približno ustreza 24 verjetnostim, ki smo jih prej izračunali. Upoštevati moramo, da je to primer na majhnem številu 37) in da bodo odstotki porazdelitev natančnejši pri večjih številih.

56 42 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU V tabeli 4.4 stran 42) lahko vidimo za nekatere izmed števil porazdelitev delnih kvocientov in tako potrdimo izrek 4.9. Vidimo, da večje kot je izbrano število, bolj se približujemo zgoraj izračunanim odstotkom. Izbrano število Število vseh kvocientov Kvocient Kvocient 2 Kvocient = , 3529 % 23, 5294 % 7, 647 % 2 5 = , 2903 % 24, 935 % 2, 9032 % 2 6 = , 4269 % 22, 8070 % 3, 579 % 2 7 = , 087 % 2, 9626 %, 6822 % 2 8 = , 4577 % 2, 4925 %, 4428 % 2 9 = , 893 % 2, 0095 %, 0440 % 2 0 = , 40 % 20, 3045 %, 0847 % 2 = , 7375 % 20, 036 % 0, 825 % 2 2 = , 6434 % 9, 9853 % 0, 6586 % 2 3 = , 745 % 9, 9040 % 0, 3887 % 2 4 = , 8550 % 9, 6956 % 0, 2977 % 2 5 = , 0054 % 9, 4834 % 0, 200 % 2 6 = , 0980 % 9, 38 % 0, 532 % 2 7 = , 887 % 9, 75 % 0, 0860 % 2 8 = , 2597 % 9, 0437 % 0, 0397 % 2 9 = , 3334 % 8, 9289 % 9, 9955 % 2 20 = , 3954 % 8, 8284 % 9, 956 % 2 2 = , 4482 % 8, 7426 % 9, 976 % 2 22 = , 4935 % 8, 6638 % 9, 8866 % 2 23 = , 5406 % 8, 5887 % 9, 8578 % 2 24 = , 5827 % 8, 586 % 9, 8340 % 2 25 = , 624 % 8, 4547 % 9, 85 % 2 26 = , 6566 % 8, 396 % 9, 792 % Tabela 4.4: Odstotki porazdelitev delnih kvocientov, 2 in 3 za izbrana števila. Ob tem povejmo, da porazdelitev kvocientov v Evklidovem algoritmu ni enaka porazdelitvi kvocientov q = A B za celi števili A in B, za kateri velja B A N, kjer je N neko veliko) naravno število. Za porazdelitev teh kvocientov lahko enostavno narišemo graf Slika 4.), iz

57 4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 43 Slika 4.: Porazdelitev kvocientov q = A B za celi števili A in B, za kateri velja B A N. katerega je razvidno, da je ploščina za kvocient i, P in, enaka P in = N ) N i) N ) N i ) i i+, 2 število celih robnih točk na grafu za kvocient i, r in, pa je enako r in = N i + N i+ N ) i+2. Vseh kvocientov je k N = N = Po Pick ovem izreku glej [20]) je ploščina poligona za kvocient i, P in, enaka N k= k. kjer n in P in = n in + r i N 2, predstavlja število notranjih točk. Tako lahko iz ploščine in števila robnih točk izračunamo število notranjih točk za kvocient i: n in = P in r i N2 + N ) N i) N i i+ = ) N i ) 2 N i + N i+ N ) i

Vrste

Vrste Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

DN5(Kor).dvi

DN5(Kor).dvi Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n

Prikaži več

Osnove matematicne analize 2018/19

Osnove matematicne analize  2018/19 Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko

Prikaži več

glava.dvi

glava.dvi Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer

Prikaži več

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat

Prikaži več

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,

Prikaži več

FGG13

FGG13 10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.

Prikaži več

Brownova kovariancna razdalja

Brownova kovariancna razdalja Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti

Prikaži več

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,

Prikaži več

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven

Prikaži več

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na

Prikaži več

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam 1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske

Prikaži več

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje

Prikaži več

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek

Prikaži več

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja 3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih

Prikaži več

Poslovilno predavanje

Poslovilno predavanje Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12

Prikaži več

4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov

4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov 4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,

Prikaži več

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru 6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta

Prikaži več

M

M Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Prikaži več

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015 Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10

Prikaži več

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................

Prikaži več

Teorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES

Teorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES Teorija kodiranja in kriptografija 23/24 AES Arjana Žitnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 8. 3. 24 AES - zgodovina Septembra 997 je NIST objavil natečaj za izbor nove

Prikaži več

POPOLNI KVADER

POPOLNI KVADER List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,

Prikaži več

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft

Prikaži več

GeomInterp.dvi

GeomInterp.dvi Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta

Prikaži več

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx 4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in

Prikaži več

Srednja šola za oblikovanje

Srednja šola za oblikovanje Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen

Prikaži več

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter 2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih

Prikaži več

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna

Prikaži več

FGG14

FGG14 Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,

Prikaži več

ZveznostFunkcij11.dvi

ZveznostFunkcij11.dvi II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ: matematika - računalništvo NEŽKA RUGELJ

Prikaži več

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo 11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn 5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R

Prikaži več

OdvodFunkcijEne11.dvi

OdvodFunkcijEne11.dvi III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo

Prikaži več

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =

Prikaži več

C:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi

C:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.

Prikaži več

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano

Prikaži več

INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n

INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo

Prikaži več

1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x

1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x 1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,

Prikaži več

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni

Prikaži več

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi

Prikaži več

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov

Prikaži več

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6

SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6 SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu

Prikaži več

Del 1 Limite

Del 1 Limite Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V

Prikaži več

LaTeX slides

LaTeX slides Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni

Prikaži več

Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike

Mere kompleksnih mrež   (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Ajda Pirnat, Julia Cafnik in Živa Mitar Fakulteta za matematiko in fiziko April

Prikaži več

Osnove verjetnosti in statistika

Osnove verjetnosti in statistika Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo

Prikaži več

Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t

Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)

Prikaži več

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1

Prikaži več

UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del

UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del 13. 6. 2016 Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................

Prikaži več

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI 3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.

Prikaži več

Matematika 2

Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo

Prikaži več

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Prikaži več

OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk

OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero

Prikaži več

P181C10111

P181C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave

Prikaži več

NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to

NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti

Prikaži več

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,

Prikaži več

Naloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za

Naloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti

Prikaži več

Rešene naloge iz Linearne Algebre

Rešene naloge iz Linearne Algebre UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana

Prikaži več

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z

Prikaži več

Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani

Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek

Prikaži več

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi

Prikaži več

Poskusi s kondenzatorji

Poskusi s kondenzatorji Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.

Prikaži več

Posebne funkcije

Posebne funkcije 10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije

Prikaži več

Strojna oprema

Strojna oprema Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT

Prikaži več

H-Razcvet

H-Razcvet Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Gregor Šulgaj H-Razcvet DIPLOMSKO DELO INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVA IN

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l?

Prikaži več

FGG02

FGG02 6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti

Prikaži več

Osnove teorije kopul in maksmin kopule

Osnove teorije kopul in maksmin kopule Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani Seminar Inštituta za biostatistiko in medicinsko informatiko 26. maj 25 Osnove teorije kopul Definicija kopule Definicija Funkcija C : A A 2 [, ],

Prikaži več

P182C10111

P182C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

REED-SOLOMONOVE KODE Aleksandar Jurišić Arjana Žitnik 6. junij 2004 Math. Subj. Class. (2000): 51E22, 94B05?, 11T71 Reed-Solomonove kode so izjemno us

REED-SOLOMONOVE KODE Aleksandar Jurišić Arjana Žitnik 6. junij 2004 Math. Subj. Class. (2000): 51E22, 94B05?, 11T71 Reed-Solomonove kode so izjemno us REED-SOLOMONOVE KODE Aleksandar Jurišić Arjana Žitnik 6 junij 2004 Math Subj Class (2000): 51E22, 94B05?, 11T71 Reed-Solomonove kode so izjemno uspešne na področju hranjenja podatkov (CD, DVD) ter prenašanja

Prikaži več

Priloga 1: Pravila za oblikovanje in uporabo standardiziranih referenc pri opravljanju plačilnih storitev Stran 4012 / Št. 34 / Uradni lis

Priloga 1: Pravila za oblikovanje in uporabo standardiziranih referenc pri opravljanju plačilnih storitev Stran 4012 / Št. 34 / Uradni lis Priloga 1: Pravila za oblikovanje in uporabo standardiziranih referenc pri opravljanju plačilnih storitev Stran 4012 / Št. 34 / 24. 5. 2019 Uradni list Republike Slovenije PRILOGA 1 PRAVILA ZA OBLIKOVANJE

Prikaži več

TEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN

TEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 5 Strani 264 271 Ivan Vidav: TEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN Ključne besede: matematika,

Prikaži več

2. Model multiple regresije

2. Model multiple regresije 2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov

Prikaži več

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija' Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1

Prikaži več

Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina

Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna

Prikaži več

3. Preizkušanje domnev

3. Preizkušanje domnev 3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija

Prikaži več

Datum in kraj

Datum in kraj Ljubljana, 5. 4. 2017 Katalog znanj in vzorci nalog za izbirni izpit za vpis na magistrski študij Pedagoško računalništvo in informatika 2017/2018 0 KATALOG ZNANJ ZA IZBIRNI IZPIT ZA VPIS NA MAGISTRSKI

Prikaži več

Osnove statistike v fizični geografiji 2

Osnove statistike v fizični geografiji 2 Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka

Prikaži več

Matematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una

Matematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja

Prikaži več

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Janko Purgaj Implementacija kriptosistema NTRUEncrypt

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Janko Purgaj Implementacija kriptosistema NTRUEncrypt Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Janko Purgaj Implementacija kriptosistema NTRUEncrypt DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM

Prikaži več