(Microsoft Word - MIHAELA MATAICS mag delo DOKON\310ANO)

Transkripcija

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MIHAELA MATAIČ ŠALAMUN SKUPINSKA POMOČ UČENCEM TRETJEGA RAZREDA Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI ARITMETIKI MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA 2016

2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MIHAELA MATAIČ ŠALAMUN SKUPINSKA POMOČ UČENCEM TRETJEGA RAZREDA Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI ARITMETIKI MAGISTRSKO DELO MENTORICA: DR. MARIJA KAVKLER, IZR. PROF. SOMENTORICA: DR. TATJANA HODNIK ČADEŽ, IZR. PROF. LJUBLJANA 2016

3 ZAHVALE K nastanku mojega magistrskega dela je pripomoglo mnogo dogodkov in mnogo ljudi Zahvaljujem se mentorici, izr. prof. dr. Mariji Kavkler, ki me je usmerjala, spodbujala in mi nesebično pomagala s strokovnimi nasveti v času nastajanja magistrskega dela. Za strokovne usmeritve in nasvete se zahvaljujem tudi somentorici izr. prof. dr. Tatjani Hodnik Čadež. Iskrena hvala sodelujočima šolama, ravnateljicama in učiteljicam, ki so prisluhnile mojim idejam in omogočile praktično izvajanje magistrske naloge na šoli. Posebna zahvala gre tudi staršem, ki so dovolili testiranje in obravnavo njihovih otrok. Hvala, učenke in učenci, ki ste vztrajali in se bogatili z menoj. Zahvaljujem se dr. Janezu Jermanu za nasvete glede statistične obdelave podatkov ter Andreji Četina in Andreji Šlichthuber za pomoč pri statistični obdelavi podatkov, Cvetki Rengeo za lektoriranje in Iris Vičar za pomoč pri angleškem prevodu. Hvala tudi Vam, prijateljice, ki ste me spodbujale in mi vlivale moči, da zaključim študij. Prisrčno zahvalo za razumevanje mojih obveznosti namenjam mojima otrokoma Živi in Nejcu in mami, ki so mi stali ob strani in vztrajali z mano. V spomin možu in očetu.

4 POVZETEK Rezultati raziskav, ki so povezane z učnimi težavami pri učenju matematike, kažejo, da matematični dosežki posameznika pomembno vplivajo na njegovo izobraževalno uspešnost, na njegove možnosti zaposlovanja in tudi na duševno zdravje. Ene od pogostejših učnih težav pri matematiki so učne težave pri učenju aritmetike. Učenci z učnimi težavami pri učenju aritmetike imajo nezadostno avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke v algoritmu za aritmetične operacije, kar je pogosto vzrok za učne težave teh učencev skozi celotno osnovnošolsko izobraževanje, zato potrebujejo specifične pristope in intenzivnejše učenje različnih strategij. Ena od učinkovitih oblik obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki je skupinska oblika pomoči na tretjem koraku slovenskega petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami. Ta omogoča vključitev več učencev hkrati v obravnavo ter več komunikacije med učenci, kar pomembno vpliva na napredek učencev pri učenju matematike. Večstopenjski modeli pomoči omogočajo učinkovito odkrivanje učencev, ki so rizični za učni neuspeh pri matematiki in/ali na drugih področjih učenja ter učinkovitejše in intenzivnejše oblike pomoči, ki so v primerjavi z običajnimi oblikami dela z učenci organizirane bolj zgodaj. Temeljni namen magistrskega dela je oblikovanje kompenzacijskega programa razvoja aritmetičnih znanj in spretnosti pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki v 3. razredu osnovne šole ter oblikovanje modela obravnave učencev v okviru skupinske pomoči ob vrstniški pomoči na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami. Program zajema razvoj aritmetičnih znanj in spretnosti v skupini in razvoj aritmetičnih dejstev in postopkov na računalniku z namenom zmanjšanja ali odprave učnih težav pri aritmetiki pri učencih z učnimi težavami pri artimetiki in preprečitve nizkih izobraževalnih rezultatov pri aritmetiki v višjih razredih osnovne šole. V vzorec je bilo zajetih 16 učencev z učnimi težavami pri učenju aritmetike, ki so bili vključeni v skupinsko obravnavo na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči in so predstavljali eksperimentalno skupino (skupino 1) in 14 učencev z učnimi težavami pri učenju aritmetike, ki niso bili deležni pomoči po našem programu in so predstavljali kontrolno skupino (skupino 2). V skupino 3 pa je bilo vključenih 209 vrstnikov oziroma sošolcev obeh skupin učencev, ki niso imeli prepoznanih učnih težav pri aritmetiki. Poleg tega pa smo iz skupine 3 izbrali 14 učencev, I

5 ki so izvajali vrstniško pomoč učencem z učnimi težavami pri aritmetiki. V raziskavi so bili uporabljeni različni merski instrumenti, s katerimi smo ugotavljali aritmetična znanja in spretnosti, organizacijske spretnosti in učne stile učencev. Uporabljen je bil vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in spretnosti vseh učencev, vključenih v raziskavo. V raziskavi je bila izvedena kvalitativna in kvantitativna obdelava podatkov v skladu z namenom študije in raziskovalnimi hipotezami. Narejena je bila osnovna statistika za opis vzorca in prikaz celotnega vzorca spremenljivk, frekvenčna porazdelitev vseh spremenljivk, aritmetične sredine in standardni odkloni za numerično izražene odgovore, t-test, Levenov F-test homogenosti varianc in diskriminantna analiza. Rezultati so pokazali, da so učenci skupine 1 statistično pomembno napredovali v avtomatizaciji aritmetičnih postopkov seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000 ter v avtomatizaciji dejstev v času izvajanja program. S treningom aritmetičnih znanj in spretnosti v skupini ob vrstniškem sodelovanju ter treningom aritmetičnih postopkov in dejstev na računalniku se je povečalo število transformacijskih strategij in priklica dejstev ter točnost izvedbe postopkov in priklica dejstev. Prav tako so se pokazale statistično pomembne razlike med učenci skupine 1 in skupine 2 po koncu izvajanja programa, in sicer v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000 ter v avtomatizaciji poštevanke. Napredek učencev skupine 1 pa se je pokazal tudi pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Testu za ugotavljanje aritmetičnih dejstev in postopkov po koncu izvajanja programa. Razlike med dosežki skupine 1 in skupine 3 na začetnem testiranju so bile namreč statistično pomembne pri vseh spremenljivkah, na končnem testiranju pa se razlike v dosežkih obeh skupin niso pokazale kot statistično pomembne pri računih, vrednotenih z 1 in 2 točkama, medtem ko so bile razlike v dosežkih še vedno statistično pomembne pri računih, vrednotenih s 3 točkami in pri doseženem številu točk. Iz rezultatov analize variance in rezultatov diskriminantne analize je razvidno, da se dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 statistično pomembno razlikujejo pri rezultatih testov, ki smo jih zajeli v analizo. Učinkovito prepoznavanje in diagnostično oceno učencev z učnimi težavami pri aritmetiki omogočajo Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje aritmetičnih dejstev in postopkov (Kavkler, Tancig, Magajna, Rugelj in Lipec-Stopar, 1996), preizkus Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) ter Test poznavanja števil (Griffin, 2002). II

6 Prispevek k znanstvenemu razvoju specialne in rehabilitacijske pedagogike predstavlja raziskovanje in razvoj modela pomoči učencem z učnimi težavami v osnovni šoli, s poudarkom na oblikovanju modela za obravnavo učencev v okviru skupinske pomoči ob vrstniški pomoči na tretjem koraku petstopenjskega modela odziv na obravnavo. Z empiričnim delom magistrskega dela prispevamo k razvoju pedagoške teorije in prakse, saj smo predstavili primer dobre prakse izvajanja pomoči učencem z učnimi težavami pri aritmetiki v osnovni šoli. Aplikativni doprinos magistrskega dela je v oblikovanju programa razvoja aritmetičnih znanj in spretnosti pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki v 3. razredu osnovne šole. KLJUČNE BESEDE: učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, model odziv na obravnavo, trening aritmetičnih postopkov in dejstev, skupinska pomoč, vrstniška pomoč, učinkovite strategije specialno-pedagoške pomoči, petstopenjski model pomoči III

7 SUMMARY Research results, connected with learning difficulties in maths, show that the achievements in maths have a significant effect on one's educational success, their employment possibilities, and also their mental health. One of the most frequent difficulty in maths is learning arithmetics. With the students, who have learning difficulties in arithmetics, the arithmetic facts are not sufficiently automatized and neither are the procedures in algorithm for arithmetic operations. This is the most common reason for learning difficulties through the whole elementary school period, so the students need specific approaches and more intensive learning of different strategies. An efficient method of work with the students with learning difficulties in maths is group support on the third level of Slovene 5-step model of learning support (response to intervention) to students with learning difficulties. It enables more students to get support and also an interaction between them, which has an important effect on learning progress. Multilevel models of support enable an efficient recognition of the students, who are at risk for being unsuccessful in maths or other subjects, and more efficient and intensive forms of support, which are organized and given earlier than the common forms of support. The basic aim of my post graduate paper was to build a compensatory programme of development of arithmetic knowledge and skills for the third-grade students with learning diffculties in arithmetics, and to form a model of support, which included group support and peer tutoring on the third level of the 5-step model of learning support to students with learning difficulties. The programme included practice of arithmetic knowledge and skills in a group, with the integration of the peer tutoring, and practice of arithmetic facts and procedures in algorithm on the computer with an aim to reduce or eliminate learning difficulties with the third-grade students in arithmetics, and so prevent the low achievement levels in arithmetics in higher grades of primary school education. There were 16 students with learning difficulties in arithmetics, who were integrated in the group support on the third level of the 5-step model of learning support. They represented an experimental group (group 1). There were 14 other students with learning difficulties in arithmetics, who did not receive our support, and they represented group 2. In group 3 there were 209 students, who did not have any learning difficulties in arithmetics. In the research we used different metric instruments, with which we assessed arithmetic and counting abilities, IV

8 number knowledge, organizational skills and learning styles of the students. The collected data were analysed qualitatively and quantitatively according to the aim of the study and the research hypotheses. We made basic parametric statistics to describe the pattern and to present the whole pattern of variables, frequency arrangement of all variables and arithmetic mean, standard deviations for numerically presented answers, t-test, Levene's F-test of equality of variances and discriminative analysis. The results showed that the students in group 1 (experimental group) showed a statistically important progress in automatization of the arithmetic procedures in algorithm, in addition and substraction to 100 and 1000, and in automatization of multiplication. Practice of arithmetic knowledge and skills in group and with integration of peer tutoring, and the practice of arithmetic facts and procedures in algorithm on the computer resulted in a bigger number of transformational strategies and recall of facts, and accuracy in procedure implementation in algorithm and recall of facts. At the end of the programme there were also statistically important differences between the group 1 and the group 2 (control group) in the automatization of arithmetic facts and procedures in algorithm, in addition and substraction to 100 and 1000, and in automatization of multiplication. The progress of the group 1 was also seen at a final testing at the end of the programme, since the differences between the group 1 and the group 3 (students without learning difficulties in maths) did not prove statistically important at a test which assessed arithmetic facts and procedures with the sums for 1 and 2 points. The results of variance and discriminative analysis show that there are statistically important differences between the students from the group 1 and the group 2 in test results. We can make an efficient identification and a diagnostic evaluation of the students with learning difficulties in arithmetic with Ten-minutes arithmetic test for assessing arithmetic facts and procedures (Kavkler, Tancig, Magajna, Rugelj in Lipec-Stopar, 1996), a test Manual Mathematics Screening III (Adler, 2000), and Number Knowledge Test (Griffin, 2002). Research and development of models of support to the students with learning difficulties with an emphasis on group support and peer tutorinh on the third level of the 5-step model of learning support (to the students with learning difficulties at elementary school represents an important contribution to scientific development of special and rehabilitation pedagogy. In the empirical part the paper contributes to development of pedagogic theory and practice with a presentation of an example of good practice how to give support to the students with learning difficulties in V

9 arithmetics. Applied contribution of the paper is in building the compensatory programme of development of arithmetic knowledge and skills for the third-grade students with learning diffculties in arithmetics. KEY WORDS: students with learning difficulties in arithmetics, response to intervention, practice of arithmetic procedures and facts, group support, peer tutoring, efficient strategies of special-pedagogical support, 5-step model of learning support VI

10 KAZALO VSEBINE 1 UVOD TEORETIČNA IZHODIŠČA INKLUZIJA Zgodovina inkluzije Opredelitev inkluzije Pravice posameznika v okviru inkluzije Pogoji za razvoj inkluzije UČNE TEŽAVE IN UČENCI Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI Splošne ali nespecifične učne težave Specifične učne težave Učne težave pri matematiki Splošne učne težave pri matematiki Sprecifične učne težave pri matematiki Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami VEČSTOPENJSKI MODEL POMOČI Petstopenjski model nudenja pomoči Strategije dela z učenci na 2. koraku petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki RAZISKAVE, KI PODPIRAJO ZGODNJO MATEMATIČNO OBRAVNAVO SODELOVALNO UČENJE IN VRSTNIŠKA POMOČ Pomen sodelovalnega učenja in vrstniške pomoči za učno uspešnost učencev z učnimi težavami MATEMATIKA IN MATEMATIČNO ZNANJE Matematično deklarativno znanje Matematično konceptualno znanje Matematično proceduralno znanje PROBLEM IN CILJ RAZISKAVE OPREDELITEV PROBLEMA CILJ RAZISKAVE HIPOTEZE IN RAZISKOVALNA VPRAŠANJA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA HIPOTEZE METODE DELA VZOREC OSEB MERSKI INSTRUMENTI Desetminutni aritmetičnih test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996) VII

11 5.2.2 Vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev Vprašalnik o organizacijskih veščinah (Do you have good organization skills?, 2011) Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles questionnaire, 2011) Naloge za ugotavljanje strategij štetja (Kavkler, Tancig in Magajna, 1996) Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) Test poznavanja števil (Number Knowledge test NKT) (Griffin, 2002) Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke Anketni vprašalnik za učence z učnimi težavami pri aritmetiki o delu v paru in skupini Anketni vprašalnik za vrstnike pomočnike o delu v paru POSTOPEK PRIDOBIVANJA PODATKOV STATISTIČNA OBDELAVA PODATKOV KOMPENZACIJSKI PROGRAM Izvajanje programa na tretji stopnji petstopenjskega modela pomoči Cilji programa na področju aritmetike Postopek izvajanja programa Področja programa Timsko delo Delo v oddelku Vtisi razredničark Priprava vrstnikov pomočnikov za delo z učenci skupine 1 v paru REZULTATI IN INTERPRETACIJA ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV SKUPINE ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV SKUPINE PRIMERJAVA ZAČETNIH REZULTATOV PRI TESTIH UČENCEV SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN SKUPINE PRIMERJAVA ZAČETNIH IN KONČNIH DOSEŽKOV TER KONČNI DOSEŽKI UČENCEV SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN SKUPINE PREGLED URESNIČEVANJA CILJEV PROGRAMA PO MATEMATIČNIH PODROČJIH Matematično deklarativno znanje Matematično konceptualno znanje Matematično proceduralno znanje DISKRIMINANTNA ANALIZA PRIKAZ MNENJ UČENCEV Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI ARITMETIKI IN VRSTNIKOV POMOČNIKOV O DELU V SKUPINI IN/ALI V PARU ODGOVORI NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA IN POTRDITEV HIPOTEZ ODGOVORI NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA VIII

12 7.2 POTRDITEV HIPOTEZ SKLEPNE UGOTOVITVE LITERATURA PRILOGE IX

13 KAZALO SLIK Slika 1: Kartončki za štetje do Slika 2: Razdelitev materialov na dve podmnožici Slika 3: Nastavitev računa 6 + = Slika 4: Nastavitev računa = Slika 5: Grafično ponazarjanje seštevanja in odštevanja Slika 6: Prehod s konkretnega materiala na prazno številsko os Slika 7: Računanje s pomočjo prazne številske osi Slika 8: Nastavljanje računov množenja z biseri Slika 9: Dopolnjevanje do 10 s pomočjo računalnika Slika 10: Seštevanje do 100 s pomočjo računalnika Slika 11: Odštevanje do 100 s pomočjo računalnika Slika 12: Ocenitev uspešnosti dela z barvanjem ustrezne figure Slika 13: Primer rešitve številskega trikotnega testa KAZALO TABEL Tabela 1: Prikaz strukture vzorca glede na spol Tabela 2: Prikaz učnih stilov učencev skupine 1 pred začetkov izvajanja programa pomoči Tabela 3: Prikaz učnih stilov učencev vrstnikov pomočnikov Tabela 4: Prikaz razvitosti področij organizacije pri učencih skupine 1 pred začetkom izvajanja pomoči Tabela 5: Prikaz strategij štetja učencev skupine 1 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na začetnem testiranju Tabela 6: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do Tabela 7: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do Tabela 8: Izbor računskih strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do Tabela 9: Izbor strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do Tabela 10: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 1 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju Tabela 11: Dosežki učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju X

14 Tabela 12: Prikaz strategij štetja učencev in skupine 2 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na začetnem testiranju Tabela 13: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do Tabela 14: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do Tabela 15: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do Tabela 16: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do Tabela 17: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 2 Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju Tabela 18: Dosežki učencev skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju Tabela 19: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno testiranje Tabela 20: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno testiranje Tabela 21: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetne rezultate Tabela 22: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju Tabela 23: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do Tabela 24: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do Tabela 25: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do Tabela 26: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do Tabela 27: Prikaz dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem in končnem testiranju Tabela 28: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju XI

15 Tabela 29: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Tabela 30: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Tabela 31: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Tabela 32: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju Tabela 33: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju Tabela 34: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju Tabela 35: Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na kočnem testiranju Tabela 36: Prikaz dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) na končnem testiranju Tabela 37: Prikaz rezultatov spremenljivke»glasno branje števil«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 38: Prikaz rezultatov spremenljivke»pisanje števil«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 39: Prikaz rezultatov spremenljivke»urejanje številske vrste«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 40: Prikaz rezultatov spremenljivke»štetje nazaj od 100 po 8«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 41: Prikaz rezultatov spremenljivke»računske naloge I«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 42: Prikaz rezultatov spremenljivke»katero od dveh števil je večje«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 43: Prikaz rezultatov spremenljivke»vstavljanje manjkajočega števila«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 44: Prikaz rezultatov spremenljivke»računske naloge II«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju XII

16 Tabela 45: Prikaz rezultatov spremenljivke»določanje računske operacije«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 46: Prikaz rezultatov spremenljivke»številski trikotni test«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Tabela 47: Prikaz rezultatov spremenljivke»orientacija v štev. vrsti do 10, do 100«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 48: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke»orientacija v štev. vrsti do 10, do 100«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 49: Prikaz rezultatov spremenljivke»računanje do 100«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 50: Prikaz rezultate t-testa spremenljivke»računanje do 100«skupine 1 in skupine 2 na na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 51: Prikaz rezultatov spremenljivke»orientacija v štev. vrsti do 1000 in preko«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 52: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke»orientacija v štev. vrsti do 1000 in preko«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 53: Prikaz rezultatov spremenljivke»ugotavljanje razlike med števili «skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 54: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke»ugotavljanje razlike med števili«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 55: Prikaz rezultatov spremenljivke»računanje do 100, do 1000«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 56: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke»računanje do 100, do 1000«skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 57: Prikaz nivoja matematičnega znanja, ki ga dosega posamezni učenec skupine 1 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju Tabela 58: Prikaz nivoja matematičnega znanja, ki ga dosega posamezni učenec skupine 2 na Testu poznavanje števil na končnem testiranju Tabela 59: Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem in končnem testiranju Tabela 60: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Tabela 61: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Tabela 62: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število točk na končnem testiranju XIII

17 Tabela 63: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega deklarativnega znanja učencev skupine 1 po mesecih Tabela 64: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega konceptualnega znanja učencev skupine 1 po mesecih Tabela 65: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega proceduralnega znanja učencev skupine 1 po mesecih Tabela 66: Parametri opisne statistike za manifestne spremenljivke in izračun Wilksonovega testa Tabela 67: Diksriminativna funkcija Tabela 68: Strukturna matrika Tabela 69: Centroida skupin Tabela 70: Rezultati klasificiranja KAZALO GRAFOV Graf 1: Grafični prikaz strukture vzorca glede na skupine Graf 2: Mnenje učencev z učnimi težavami o priljubljenosti učenja v paru in skupini Graf 3: Mnenje učencev z učnimi težavami o želji po večkratnem učenju v paru in skupini pri matematiki Graf 4: Mnenje učencev z učnimi težavami o tem, katera oblika dela jim je bila bolj všeč Graf 5: Mnenje učencev z učnimi težavami o sodelovanju z vrstnikom v paru Graf 6: Mnenje učencev z učnimi težavami o uspešnosti pri reševanju matematičnih nalog Graf 7: Mnenje učencev z učnimi težavami o pomoči vrstnikov, če česa niso znali Graf 8: Mnenje vrstnikov pomočnikov o priljubljenosti nudenja pomoči učencu v paru pri matematiki Graf 9: Mnenje vrstnikov pomočnikov o želji po ponovnem nudenju pomoči učencem pri matematiki Graf 10: Mnenje vrstnikov pomočnikov o sodelovanju z učencem v paru Graf 11: Mnenje vrstnikov pomočnikov o uspešnosti učencev pri reševanju matematičnih nalog Graf 12: Mnenje vrstnikov pomočnikov o svoji pripravljenosti za nudenje pomoči učencem XIV

18 1 UVOD Pri raznoliki populaciji učencev v šolah, med katerimi so tudi učenci z učnimi težavami, moramo začeti uvajati spremembe in nove pristope na področju nudenja podpore in pomoči. Pomemben koncept, s katerim vsem učencem omogočamo najboljše vzgojno-izobraževalne dosežke ter uspešno vključevanje v ožje in širše okolje, predstavlja inkluzivna vzgoja in izobraževanje. Inkluzijo lahko uresničujemo z izvajanjem večstopenjskega modela pomoči in podpore. Z dokumentom Učne težave v osnovni šoli: koncept dela so bile postavljene»strokovne osnove za razvoj učinkovitejših pristopov učencem z učnimi težavami v slovenskem prostoru«(magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008b; Magajna, Kavkler, Košir, 2011). Izvajanje petstopenjskega modela odziv na obravnavo je eden izmed pogojev za uresničevanje sprejetega koncepta. V njem ločimo pet osnovnih stopenj:»pomoč učitelja pri pouku, pomoč šolske svetovalne službe in/ali mobilne specialno-pedagoške službe, individualna in skupinska pomoč, mnenje in pomoč zunanje specializirane ustanove in šele potem je možno učence z izrazitimi specifičnimi učnimi težavami usmeriti v izobraževalni program prilagojenega izvajanja z dodatno strokovno pomočjo«(magajna idr., 2011; Magajna idr., 2008b). S petstopenjskim modelom»odziv na obravnavo«rizičnim učencem za učni neuspeh pri matematiki omogočamo učinkovito, intenzivno in zgodnjo pomoč. Ene od pogostejših učnih težav pri matematiki so učne težave pri učenju aritmetike. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki imajo nezadostno avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke, kar je pogost vzrok za učne težave v osnovnošolskem obdobju, zato potrebujejo specifične pristope in intenzivnejše učenje različnih strategij. Montague (1996, v Kavkler, 2011b) kot najpogostejše težave, ki se kažejo pri učencih z učnimi težavami pri matematiki, navaja težave na naslednjih področjih:»slabše konceptualno matematično znanje, slabše pomnjenje in obvladovanje strategij (vpliva na pojmovno znanje operacij, predstave, avtomatizacijo priklica dejstev in postopkov ter reševanje besednih matematičnih problemov), slabše jezikovne in komunikacijske sposobnosti, primanjkljaji pri izvajanju postopkov in strategij in motivacija za učenje ter samopodoba«. Rezultati slovenske raziskave o učnih težavah v osnovni šoli so pokazali, da se v slovenskih šolah večji delež pomoči učencem z učnimi težavami izvaja v individualnih oblikah dela in malo v skupinah (Magajna, Pečjak, Peklaj, Čačinovič Vogrinčič, Bregar Golobič, Kavkler, 1

19 Tancig, 2008a). Raziskovalke poudarjajo, da je potrebno strokovne delavce usposobiti za nudenje podpore v skupinskih oblikah pomoči. Skupinska pomoč je ekonomična, ker se vanjo vključi več učencev. Omogoča učenje po modelu, preverjanje pravilnosti odgovorov, diskusijo, izmenjevanje strategij in idej med vrstniki itd. (Garnett, 1998, v Kavkler, 2011b). Primerna je za avtomatizacijo učnih spretnosti, kot so branje, pisanje, poslušanje, računanje ipd.) ter učenje strategij reševanja problemov. Vrstniško sodelovanje v skupini pomembno izboljša kognitivne in socio-emocionalne sposobnosti in spretnosti učencev z učnimi težavami. Raziskave poudarjajo pomemben učinek zgodnje matematične obravnave v majhnih skupinah (Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Pfannenstiel, Porterfield in Gesten, 2011), saj se tako zmanjša delež učencev, ki so rizični za matematične učne težave. Delo v majhnih skupinah je nujna komponenta zgodnje matematične obravnave (Pedrotty Bryant idr., 2011; Fuchs, Compton, Fuchs, Paulsen, Bryant idr. (2005). Učenci z učnimi težavami pri učenju aritmetike potrebujejo specifične pristope in intenzivnejše učenje različnih zaporedij procesov s ponazoritvami. Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs, Hamlet idr. (2010) ugotavljajo, da se pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki strategije ne izboljšajo z običajnim urjenjem, ampak s specifičnih treningom, ki temelji na graditvi pojma števila, na strategijah štetja, obvladovanju pojma števila 0, razdruževanju, kombinaciji ustreznih števil za razvoj asociacije v dolgotrajnem spominu in ugotavljanju povezav med operacijami. 2

20 2 TEORETIČNA IZHODIŠČA 2.1 INKLUZIJA Zgodovina inkluzije Svoj izvor ima v Združenih državah Amerike. Začetki inkluzije segajo v šestdeseta leta dvajsetega stoletja (Florian, 2005, v Kavkler, 2011a). Pojem je bil v izobraževanju prvič uporabljen leta 1988 na srečanju v Frontier Collegeu v Torontu, kjer so strokovnjaki razpravljali o počasnem razvijanju integracije v izobraževanju. Inkluzijo so opisali kot nameščanje invalidnih otrok in odraslih ali z učnimi težavami v redne oziroma običajne šole (Thomas in Vaughan, 2005, v Lesar, 2007) Opredelitev inkluzije Inkluzija je filozofija, ki podpira razumevanje in spoštovanje raznolikih potreb učencev. Inkluzivna vzgoja in izobraževanje pomenita šolanje po meri vsakega učenca živeti in se učiti skupaj. Je protipomenka izolaciji, segregaciji. Avtorji Ainscow, Booth in Dyson (2006) so navedli šest značilnosti inkluzije. To so: skrb, da se vključuje učence s posebnimi potrebami in neizključevanje rizičnih skupin, strategija za povezovanje ranljivih skupin, strategija razvoja šole, izobrazba za vsakogar in kot načelo izobraževanja. V državah Evropske unije so bili oblikovani dejavniki, ki imajo največji vpliv na razvoj inkluzije v praksi«(special Needs Education in Europe, 2003; Kavkler, 2008a). To so:»premik od medicinske usmeritve k bolj socialno-interakcijski usmeritvi; spremembe zakonodaje in financiranja šol; razvoj kontinuuma oblik izobraževanja otrok s posebnimi potrebami; preoblikovanje specialnih šol v centre virov inkluzivnega izobraževanja; pravica staršev do izbire šole«. Dejavniki služijo kot podlaga za oblikovanje inkluzivne politike države (prav tam). V Republiki Sloveniji smo si zastavili za cilje vzgoje in izobraževanja razvoj inkluzivne šole, kar navaja tudi v 2. člen Zakona o organizaciji in financiranju vzgoje in izobraževanja (1996). Ti cilji so: zagotaviti najvišjo možno mero razvoja posameznika ne glede na kulturno in socialno pripadnost, veroizpoved, spol, narodno pripadnost ter duševne in telesne značilnosti, 3

21 spoštovati drugačnost in sodelovati z drugimi, spoštovati otrokove in družbene pravice ter temeljne svoboščine, razvijati enake možnosti obeh spolov ter tako razvijati sposobnosti za življenje, zagotavljati enake možnosti vzgoje in izobraževanja otrok, ki izhajajo iz manj spodbudnega okolja ter omogočati razvoj in doseganje ustvarjalnosti čim večjemu deležu prebivalstva v najvišji možni meri (prav tam) Pravice posameznika v okviru inkluzije Inkluzija predstavlja pravice, vrednote in ideale posameznika in družbe. Demokratične vrednote sodelovanja, sprejemanja in upoštevanja različnosti so temelj inkluzivnega izobraževanja in pravic posameznika. Inkluzivno izobraževanje predstavlja pravico posameznika do osebnega, intelektualnega, kulturnega in socialnega vključevanja. Grossman (2003) poudarja, da se v inkluzivni šoli osnove za uspešno socialno vključevanje najučinkoviteje razvijajo, saj se posameznik v inkluzivni šoli pripravlja na uresničevanje človekovih pravic v odraslosti. V inkluzivni šoli se spoštujejo raznolikosti učencev in otrokova pravica do izobraževanja. Šolski sistem se ne spreminja, uresničujejo pa se strategije vključevanja učencev z raznolikimi potrebami tako, da je vsak učenec aktiven enako kot njegovi vrstniki. Inkluzivna šola podpira izvajanje vzgojno-izobraževalnega dela, ki temelji na zagotavljanju enakih možnosti za vse učence, pri čemer upošteva različnosti in individualne potenciale vsakega posebej. Inkluzivno šolanje je odgovornost šole. Inkluzivna vzgoja in izobraževanje predstavljata neodtujljivo pravico otrok s posebnimi potrebami do ustreznega in učinkovitega izobraževanja v rednih vzgojno-izobraževalnih ustanovah. Inkluzivna šola se zavzema za načela, kot so: vsak učenec je lahko uspešen, vsak učenec ima močna in šibka področja, dobri učni rezultati so odvisni od vseh, ki delajo v smeri učenčevega uspeha, pomoč mora potekati na vseh ravneh (Villa in Thousand, 2005, v Lesar, 2007). Inkluzija predstavlja pedagoški, socialni in psihološki proces vključevanja učencev z raznolikimi potrebami ter v skladu z njihovimi zmožnostmi (Resman, 2002; Grah 2013). Inkluzija je sistem ukrepov za celostno ali vsaj delno vključitev posameznikov, ki so socialno izključeni, v socialno skupino (razred, šolo) ali širše socialno okolje. Predstavlja odstranjevanje ovir za socialno vključevanje tistih, ki so zključeni zaradi spola, rase, nacionalnosti, verskega prepričanja, ekonomskega in socialnega položaja ali posebnih potreb (Skalar, 2002). Inkluzivna 4

22 vzgoja in izobraževanje terjata spreminjanje stališč, okolja ter oblikovanje družbenega sistema, kjer so ovire odpravljene in so omogočene najboljše razvojne možnosti vsakemu posamezniku neke družbe (Viola, 2006). Inkluzija zajema vzgojo in izobraževanje vseh učencev, posebej pa še učencev s posebnimi potrebami. Pomembno je povezana z vzgojo in izobraževanjem učencev s posebnimi potrebami, poleg tega pa tudi z možnostjo zaposlovanja, s splošnimi življenjskimi in zdravstvenimi razmerami. Na uresničevanje inkluzije imajo pomemben vpliv vse službe v družbi in na vseh nivojih (Mitchell, 2005; Kavkler, 2007). Sistemski model inkluzivne šole vključuje štiri podsisteme, ki morajo delovati usklajeno, in sicer:»učenec, razred, šola in širše okolje (Ferguson, Kozlevski, Smith, 2001, v Kavkler 2009, Kavkler, 2011a). Tak sistem je učinkovit, saj omogoča podporo vsem učencem, še posebno pa učencem s posebnimi vzgojno-izobraževalnimi potrebami. Sistemske spremembe so odvisne od: - otrokove sposobnosti za učenje in truda, ki ga vlaga v proces učenja na vseh področjih vzgoje in izobraževanja, - razreda, v katerem ima pomembno vlogo učitelj s svojimi stališči, znanjem, sposobnostjo organizacije pouka, oceno otrokovih posebnih potreb, sposobnostjo organizacije skupinskih oblik dela, pomočjo in podporo otroku, sodelovanjem s starši itd. ter vrstniki s svojimi stališči, sodelovalnimi in socialnimi veščinami itd., - šole s predpisanimi standardi, količino pomoči in podpore učencu in učitelju, ki jo nudijo šolski strokovni delavci in drugi, z ekonomično izrabo časa in virov, materialnimi pogoji itd., - širšega okolja, ki vključuje inkluzivno politiko MŠŠ, vpliva na materialne vire, lokacijo virov (v specialni ali redni šoli) itd. (Kavkler, 2005, 2007). Inkluzivna šola skrbi za kakovost poučevanja, učenja, dosežke, za stališča in dobrobit vsakega učenca. Učinkovitost inkluzivne šole se kaže ne le v dosežkih njenih učencev, pač pa je ključen tudi etos in želja ponuditi priložnost tudi učencem z vzgojno-izobraževalnimi potrebami (Ofsted, 2000). Inkluzija omogoča, da oblikujemo tako učnega okolja, da so v njem odstranjene ovire za učenje (Evans, 2007; Grah 2013). 5

23 Učinkovitost inkluzije je odvisna predvsem od učiteljev (njihovih stališč, prilagajanja učnega programa vsem učencem), od sposobnosti učencev, da se učijo (koliko in na kakšen način se lahko učijo), od načrtovanja in organizacije učnega procesa (individualizirani programi) (Dens, 2004). Pomembne so tudi ugotovitve avtorjev (Meijer, Soriano in Watkins, 2003, v Magajna idr., 2011, Kavkler, 2009; Grah, 2013), ki pravijo, da so bili v državah Evropske unije opredeljeni splošni pristopi in dejavniki, ki vplivajo na uredničevanje inkluzivne vzgoje in izobraževanja. To so:»dobro načrtovana in fleksibilna organizacija poučevalnega procesa; uresničevanje individualizacije in diferenciacije v procesu poučevanja; sodelovalno poučevanje; sodelovalno učenje, učenje skupaj z vrstniki, pomoč vrstnikov ter iskanje ključnih oseb v okolju, ki lahko pripomorejo k razvoju inkluzivne vzgoje in izobraževanja«(prav tam). Na lokalni ravni inkluzijo izvaja skupnost, ki v različnih vrstah šol skrbi za sodelovanje otrok iz lokalnega okolja. Naslednja raven je inkluzivni razred. Za inkluzivni razred je značilno, da izvaja inkluzivni kurikulum. To pomeni, da se pri izobraževanju učencev po enakem kurikulu upoštevajo njihove individualne potrebe. Raven, na kateri sodelujejo vsi učenci in se učijo skupaj, je poimenovana kot inkluzivne izkušnje. Na ravni inkluzivnih rezultatov so razvidni dosežki učencev ter življenjske možnosti in usposobljenost učencev za sodelovanje v družbi po zaključku izobraževanja (Dyson, 2007) Pogoji za razvoj inkluzije Na razvoj inkluzivne vzgojno-izobraževalne prakse pomembno vplivajo dejavniki, kot so (Kavkler, 2008a): - stališča staršev, širše družbe in predvsem učiteljev do inkluzivne vzgoje in izobraževanja (posebno pomembna so stališča in toleranca učiteljev do vključevanja oseb s posebnimi potrebami v redne vrtce in šole ter njihove možnosti participacije v družbi); - usposabljanje strokovnih delavcev, ki delajo z otroki s posebnimi potrebami v rednih ustanovah; - terminologija, zato v številnih državah sistematično uvajajo pozitivno naravnano terminologijo; - materialna in strokovna podpora rednim ustanovam; 6

24 - določitev dela kontinuuma otrok s posebnimi potrebami, ki se vključujejo v redne ustanove vzgoje in izobraževanja (ali so to le otroci, ki dosegajo standarde rednih ustanov, ali tudi otroci, ki potrebujejo več prilagoditev, pomoči in podpore) Elliot, Doxey in Stephenson (2006) poudarjajo, da lahko govorimo o inkluziji le takrat, ko se izvaja refleksija prakse, če razumemo šolski kontekst, poznamo posebne potrebe učencev, ko je šola organizirana tako, da se prilagaja in upošteva potrebe vseh članov šole ter in se od vseh članov zahteva tudi odgovornost. Mitchell (2008) navaja, da je za uredničevanje inkluzije potrebno prilagajanje kurikula, učnih metod, preverjanja in ocenjevanja ter podpora in pomoč učitelju v razredu. Razvoj inkluzije je odvisen od inkluzivnega ravnanja učiteljev. Učiteljem je potrebno omogočiti izvajati pedagoško delo na raznovrstne načine (Farrell, 2006). Po M. Kavkler (2008a) je inkluzija proces, ki»ni nikoli končan«. V inkluzivni šoli je potrebno podpirati profesionalni razvoj učiteljev, poskrbeti, da pridobijo specialna znanja za delo z raznoliko populacijo učencev. V sistem nudenja podpore učiteljem zajema tudi oblikovanje kompenzacijskih programov, ki jim omogočajo optimalno izvajanje pomoči učencem z raznolikimi potrebami. Pomembno je, da zagotavljamo partnerski odnos med učenci, učitelji in starši, kar predstavlja paradigmatski premik v šoli (Berry, Barnett, Kamm, Vilson, 2010; Čačinovič Vogrinčič, 2011; Grah, 2013). Za uspešno inkluzijo je potrebno tudi usposabljanje in izobraževanje učiteljev za pridobitev kompetenc za delo z učenci z učnimi težavami pri aritmetiki. Z izvajanjem kompenzacijskega programa se za učence z učnimi težavami pri aritmetiki lahko uresničujejo načela inkluzivnega izobraževanja. 7

25 2.2 UČNE TEŽAVE IN UČENCI Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI Lerner (2003, v Magajna idr., 2011) opredeli otroke in mladostnike z učnimi težavami kot heterogeni skupino, za katero so značilne različne kognitivne, socialne, čustvene in druge značilnosti, pri učenju pa imajo pomembno večje težave kot njihovi vrstniki. Učne težave delimo na splošne in specifične (Magajna idr., 2008b). Splošne učne težave opredeljujejo težave pri pridobivanju znanj in spretnosti pri vseh učnih predmetih, specifične učne težave pa so povezane z usvajanjem spretnosti in znanj na posameznem področju učenja ali pri posameznem predmetu (Dockrell in McShane, 1993, v Magajna idr., 2011). Pri nekaterih učencih so prisotne samo splošne učne težave, pri nekaterih le specifične, pri mnogih pa so prisotne oboje (Kavkler in Magajna, 2008). Tako splošne kot specifične učne težave se pojavljajo na kontinuumu: lahko so lažje do težje, preproste do kompleksne, kratkotrajne, vseživljenjske ali pa so prisotne ves čas šolanja (Kavkler in Magajna, 2008, v Magajna idr., 2011). Težave so lahko prisotne pri posameznem predmetu ali dveh, lahko pa so učenci neuspešni pri večini predmetov. Lahko se pojavijo že v predšolskem odbodbju, postopoma ali pa nenadno (prav tam). Težave pri učenju se pojavljajo pri okrog 20 % šolske populacije, od tega ima 10 % populacije specifične učne težave, pri 2 4 % populacije pa so prisotne izrazite specifične učne težave ali primanjkljaji na posameznih področjih učenja (Magajna idr., 2008a) Splošne ali nespecifične učne težave Pri učencih, ki imajo splošne ali nespecifične učne težave, je zaradi različnih neugodnih vplivov ovirano usvajanje in izkazovanje veščin in znanja. Ti neugodni vplivi so lahko zunanji: kulturna in ekonomska prikrajšanost, večjezičnost in multikulturnost, neustrezno ali pomanjkljivo poučevanje ipd.), lahko gre za vplive notranje narave (upočasnjenost razvoja splošnih kognitivnih sposobnosti, osebnostne posebnosti posamezniku ali čustvene in vedenjske motnje) ali pa so vzrok neustrezne vzgojno-izobraževalne interakcije med posameznikom in njegovim okoljem (nezrelost, strah pred neuspehom, pomanjkanje učnih navad in motivacije itd.). 8

26 Skupina učencev s splošnimi ali nespecifičnimi učnimi težavami je zelo raznolika, saj je narava in intenziteta težav, ki so pokaže pri učencu, odvisna od interakcije med različnimi zunanjimi in notranjimi dejavniki. Učencem je skupno to, da so njihove težave pri učenju pomembno večje kot pri njihovih vrstnikih, da so manj uspešni ali neuspešni na enem ali več predmetnih področjih, vzroki težav pa niso specifične narave (nevrofiziološke ali nevropsihološke) (Magajna idr., 2011). V skupino učencev z učnimi težavami spadajo tudi učenci, ki imajo lažje in deloma tudi tisti, ki imajo zmerne specifične učne težave (Magajna idr., 2008b). Šola je dolžna za učence z učnimi težavami izvajati prilagoditve metod in oblik dela ter jim omogočiti obiskovanje dopolnilnega pouka in drugih oblik individualne in skupinske pomoči (Zakon o osnovni šoli, 2011, 12. člen) Specifične učne težave Z izrazom specifične učne težave opredeljujemo raznoliko skupino primanjkljajev, katerih izvor je notranje narave (motnje delovanja centralnega živčnega sistema), pri učencu pa se kažejo kot zaostanek v zgodnjem razvoju in/ali s težavami s pozornostjo, mišljenjem, pomnjenjem, komunikacijo, koordinacijo, z govorom, jezikom, branjem, pisanjem, pravopisom, računanjem, socialnimi spretnostmi in emocionalnim dozorevanjem. Učenec ima kljub povprečnim ali nadpovprečnim intelektualnim sposobnostim težave z avtomatizacijo branja, pisanja in računanja (Magajna idr., 2008b). Primanjkljaji primarno niso posledica okvar vida, sluha in motoričnih funkcij, motenj v duševnem razvoju, čustvenih motenj ali neustreznih dejavnikov okolja, se pa lahko pojavijo skupaj z njimi (Magajna idr., 2008b). Za določitev specifičnih učnih težav pri učencu moramo upoštevati pet kriterijev za prepoznavanje specifičnih učnih težav. Učni uspeh ne predstavlja zadostnega kriterija, saj je lahko posledica splošnih učnih težav (Magajna idr., 2008b) Učne težave pri matematiki Učne težave pri matematiki so pri učencih pogosto prisotne, zato je potrebno pred nudenjem pomoči poznati izbor težav. Sousa (2008b) kot učence z učnimi težavami opredeljuje tiste, ki pri matematiki dosegajo nižje dosežke, ob tem pa ni prisotna motnja v duševnem razvoju. Učne 9

27 težave pri matematiki so prisotne pri tistih učencih, pri katerih zaznavamo v primerjavi z enako starimi učenci večje in dolgotrajnejše odstopanje od povpečja v matematičnem znanju in strategijah (Kavkler, 2007). Različni avtorji (Geary, 2004; Geary, 2010; Shin in Pedrotty Briant, 2015; Fuchs, Powell, Seethaler, Cirino, Fletcher idr. 2009; Pieters, Roeyers, Rosseel, Van Waelvelde in Desoete, 2015; Kavkler, Kalan in Hodnik-Čadež, 2015) navajajo različne ocene o deležu učnih težav pri matematiki v populaciji, ki se gibljejo od 3 % do 10 %, odvisno od kriterijev za določitev težav pri matematiki in od države. Matematične težave pogojujejo notranji vzroki (primanjkljaji učenca na kognitivnem področju), vzroki, ki so okoljsko pogojeni ali pa kombinirani vzroki (Kavkler, 2011b). Sousa (2008b) kot okoljske vzroke učnih težav pri matematiki navaja kakovostno poučevanje, socio-kulturne dejavnike, strah in anksioznost glede matematike v vseh starostnih obdobjih ter stališča, ki jih posamezniki gojijo do matematike. Stališča do matematike ter dojemanje lastnih matematičnih sposobnosti in dosežkov lahko imajo velik vpliv na to, kako uspešno bo posameznik reševal matematične probleme in zaznaval težavnost le-teh. Kognitivne ali notranje vzroke učnih težav pri matematiki (Sousa, 2008b) predstavljajo nevrološki primanjkljaji. Ti prizadenejo ozka, specializirana področja, kot so pojem števila, štetje, obvladovanje aritmetičnih spretnosti, proceduralne težave, priklic dejstev in vizualno spacialne težave. Učne težave pri matematiki so lahko povezane tudi z drugimi težavami, kot so težave pri branju, ADHD in neverbalne učne težave. Montague (1996) navaja naslednje najpogostejše težave, prisotne pri učencih z učnimi težavami pri matematiki, ki so prisotne naslednjih področjih: slabše matematično konceptualno znanje (znanje matematičnih pojmov), slabše obvladovanje strategij in pomnjenje (vpliv na avtomatizacijo priklica dejstev, postopkov, reševanje matematičnih besedilnih nalog, poznavanje pojmov računskih operacij in predstave), slabše jezikovne in komunikacijske sposobnosti (težave pri branju besednih problemov in navodil, pisanju nalog, težave v diskusiji o strategijah, s katerimi so reževali matematične probleme), težave pri obvladovanju matematičnih algoritmov in strategij (otežen prevod življenjskih situacij v matematični 10

28 simbolni zapis, slabše razvito matematično pojmovno znanje) in motivacija za učenje ter samopodoba (zaradi doživljanja neuspeha učenec ni motiviran za učenje matematike). Poleg opisanih težav pa pri učencih s specifičnimi učnimi težavami opažamo tudi naslednje značilnosti (Kavkler, 1997, v Kavkler, 2011b): slabše razvite sposobnosti zaznavanja (vplivajo na sprejemanje matematičnih informacij), slabše razvito pomnjenje (pomnjenje korakov v postopkih, pomnjenje dejstev, definicij itd. je odvisno od posameznikovih sposobnosti pomnjenja), slabša razvitost jezikovnih sposobnosti, slabše razvito branje (vpliv na sposobnost razumevanja pisnega matematičnega besednjaka, besedilnih nalog in navodil), pomanjkljivo razvita finomotorika (vpliv na hitrost in točnost zapisovanja števil, postopkov, merjenje, načrtovanje v geometriji, rabo ponazoril, tempo reševanja matematičnih nalog itd). Pri učencih, ki imajo nižje kognitivne sposobnosti in učencih s specifičnimi primanjkljaji, pa so prisotne tudi izrazite težave razumevanja računskih in besedilnih nalog, težave imajo pri primerjanju količin, pri usvajanju matematičnih pojmov, simbolov itd Splošne učne težave pri matematiki Splošne učne težave pri matematiki se kažejo kot nižji matematični izobraževalni dosežki zaradi (Kavkler, 2007): počasnejšega usvajanja znanja (posledica mejnih in podpovprečnih intelektualnih sposobnosti), kar se kaže kot nerazumevanje pojmov, simbolov, slabše reševanje problemov ter prenos strategij in znanj na nove situacije, slabše rabe jezika (težave pri razumevanju in izražanju v matematičnem jeziku, težje sledenje verbalnim navodilom, slabše razumevanje matematičnih besedilnih nalog), skromnejšega matematičnega predznanja zaradi manj spodbudnega učnega okolja (težave s štetjem, sledenjem navodil, slabše razvita grafomotorika), slabše pozornosti in koncentracije, prisotnega strahu in anksioznosti ter nizke motiviranosti, slabše razvitih metakognitivnih sposobnosti (slaba organizacija, načtovanje in kontrola lastnega dela). 11

29 2.2.5 Sprecifične učne težave pri matematiki Definicija Svetovne zdravstvene organizacije ICD-10 (WHO, 1996, str. 192) se pogosto uporablja za opredelitev specifičnih učnih težav pri matematiki. Pravi, da specifične učne težave pri matematiki zajemajo primanjkljaje aritmetičnih spretnosti, katere niso pogojene z motnjo v duševnem razvoju ali neustreznim poučevanjem. Primanjkljaji zajemajo obvladovanje štirih osnovnih računskih operacij, ne pa toliko abstraktne matematične sposobnosti in spretnosti iz algebre, trigonometrije in geometrije. V praksi je največkrat uporabljena Gearyjeva (1994) delitev specifičnih učnih težav pri matematiki. Deli jih na diskalkulijo in z aritmetiko povezane specifične učne težave pri matematiki. Navaja tudi, da so učenci z diagnozo specifične učne težave pri matematiki zelo raznolika skupina, saj imajo učenci pri različnih vsebinah različne učne težave (Geary 1994, Vipavc in Kavkler, 2015). Diskalkulija je lahko pridobljena (gre za posledico določenih možganskih okvar in se kaže kot težave pri dojemanju števil in aritmetičnih operacij) ali pa je razvojna (ki se navezuje na slabše konceptualno, proceduralno in deklarativno matematično znanje). Pri učencih z diskalkulijo so prisotne zmerne in težje učne težave pri matematiki. Specifične aritmetične učne težave pa zajemajo celoten kontinuum učnih težav, od lažjih do težjih. Povezane so s kognitivnimi in nevrološkimi primanjkljaji in jih delimo v tri podskupine (Geary, 1994; Kavkler, 2011b; Kavkler, 2015): 1) specifične aritmetične težave, ki so vezane na slabši semantični spomin (posameznik težje prikliče aritmetična dejstva iz dolgotrajnega spomina (npr. poštevanka, seštevanje in odštevanje enomestnih števil); 2) specifične aritmetične težave, ki se kažejo kot težave na področju aritmetičnega proceduralnega znanja (uporaba manj razvitih ali nepopolnih aritmetičnih postopkov, npr. težave pri uporabi pravila razlike pri pisnem odštevanju); 3) specifične aritmetične težave, ki jih pogojujejo vizualno-prostorske težave (neustrezna uporaba vizualno - prostorskih spretnosti za razlago in predstavljanje aritmetičnih informacij). 12

30 Pri učencih s težavami pri aritmetiki so pogosto prisotne težave na področju avtomatizacije aritmetičnih postopkov in dejstev. Njihove številske sposobnosti so slabše razvite in ne prikličejo aritmetičnih dejstev (Geary, Hoard, Byrd-Craven, DeSoto, 2004; Sordan idr. 1995, v Stock, Desoete in Roeyers, 2010) Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami (Vovk-Ornik, 2015) opredeljujejo specifične učne težave pri matematiki kot primanjkljaje v razvoju občutka za števila, avtomatizaciji aritmetičnih dejstev (deklarativno znanje), hitrem in tekočem (točnem) računanju, avtomatizaciji aritmetičnih postopkov (proceduralno znanje) in točnosti matematičnega sklepanja. Za opredelitev težjih specifičnih učnih težav oziroma primanjkljajev na področju učenja matematike moramo pri učencu opredeliti prisotnost naslednjih petih kriterij: 1. kriterij: dokazano neskladje med stokovno dokazanimi pokazatelji globalnih intelektualnih sposobnosti in otrokovo dejansko uspešnostjo pri učenju matematike; 2. kriterij: obsežne ter izrazite težave na področju učenja matematike, ki se kažejo na področju matematičnega deklarativnega, konceptualnega, proceduralnega in /ali problemskega znanja. Izražene so do te mere, da učencu izredno otežujejo napredovanje pri učenju matematike, kljub kakovostnemu poučevanju in njegovemu trudu; 3. kriterij: slabša učna učinkovitost pri matematiki, katere vzrok so pomanjkljive in/ali motene kognitivne in metakognitive strategije (neustrezno kognitivno zavedanje in redka uporaba ustreznih metakognitivnih strategij) ter moten tempo učenja (težave glede hitrosti in kapacitete predelovanja vidnih in slušnih informacij); 4. kriterij: motenost psiholoških procesov (enega ali več), kot so zaznavanje (motnje zaznavanja, prepoznavanja, razlikovanja in interpretiranja predvsem dražljajev, pridobljenih z vidom in sluhom), pozornost (težje osredotočanje na bistvene dražljaje), spomin (težave na področju pomnjenja, potrebnega za izvajanje kognitivnih nalog), jezik (zaostanek v govornojezikovnem razvoju ter neustrena raba jezika), socialno področje (težave v socialnih spretnostih, ki imajo vpliv na učenčevo socialno in šolsko udejstvovanje). 13

31 5. kriterij: kot glavni povzročitelji primanjkljajev na področju učenja matematike so izključene senzorne okvare, motnje v duševnem razvoju, čustvene in vedenjske motnje, kulturna in jezikovna različnost ter neustrezno poučevanje, lahko pa se pojavljajo skupaj z njimi (Vipavc in Kavkler, 2015). 2.3 VEČSTOPENJSKI MODEL POMOČI Aubrey, Tancig, Magajna in Kavkler (1998) poudarjajo, da morajo strokovni delavci šol posvetiti posebno pozornost učencem, ki imajo splošne in specifične učne težave pri matematiki. Učence s primanjkljaji morajo odkriti čim bolj zgodaj ter jim omogočiti ustrezne oblike pomoči ter individualizacijo in diferenciacijo zahtev v učnem procesu, saj so ti učenci prepogosto prepozno prepoznani in obravnavani premalo kakovostno. Učinkovit model, ki omogoča izboljšanje učenja ter dosežkov učencev, smo v slovenskem prostoru poimenovali model odziv na obravnavo (ang. response to intervention RTI) (Kavkler, 2011a). Za učinkovitost modela odziv nas obravnavo se mora izvajati: kakovostno poučevanje vseh učencev, zgodnja obravnava rizičnih učencev, uporaba metod odkrivanja, ki so dokazano učinkovite, opazovanje napredka učenca in njegove obravnave, ki temelji na diagnosticiranih potrebah in značilnostih«(mellard, McKnight in Jordan, 2010). Zgodnja obravnava rizičnih učencev omogoča izogib izrazitemu šolskemu neuspehu, zato je model v pomoč staršem in učiteljem teh učencev. Model odziv na obravnavo pripisuje učitelju in drugim strokovnim delavcem pomembno vlogo, saj z izvajanjem dobre poučevalne prakse, ki zajema vključevanje različne oblike pomoči, podpirajo napredek učencev na področju vedenja ali učenja. Od učenčevih posebnih potreb je odvisna intenziteta oblik pomoči. Za prehajanje po stopnjah pomoči morajo biti v naprej oblikovani kriteriji, ki so vezani na otrokovo stopnjo učnih težav ob upoštevanju dejavnikov okolja. V okviru modela odziv na obravnavo se uporablja večstopenjski model dela z učenci z učnimi težavami. Ta zajema zgodnje odkrivanje ter zagotavljanje ustrezne in učinkovite pomoči učencem z učnimi težavami. Omogoča prehajanje od prilagoditev, ki se izvajajo za vse učence, 14

32 do intenzivnejših obravnav učencev, ki imajo izrazitejše učne težave in se izvajajo na različnih stopnjah modela. Temelji na diagnostičnem ocenjevanju, spremljanju napredka, učinkoviti obravnavi z evalvacijo njene uspešnosti ter sodelovanjem strokovnih delavcev in staršev. Med klasičnim modelom poučevanja in modelom odziv na obravnavo obstajajo razlike. Pri modelu odziv na obravnavo pri učencu, pri katerem ugotavljamo rizičnost za šolski neuspeh, takoj po odkritju začnemo z izvajanjem intenzivne obravnave in ne čakamo na njegov neuspeh. Model odziv na obravnavo v primerjavi s klasičnim poučevanjem v večji meri omogoča napredek v dosežkih pri vseh učencih z raznoliki potrebami v okviru izvajanja pouka (Melard, McKnight in Jordan, 2010; Učitelj v okviru modela odziv na obravnavo oceni posebne potrebe učencev znotraj izvajanja pouka in lahko zgodaj odkrije potrebe svojih učencev ter na podlagi ugotovitev prilagaja proces poučevanja. Izvaja kakovostno in učencem prilagojeno poučevanje, ki omogoča, da je v rednem razredu uspešnih vsaj 80 odstotkov učencev. V kolikor učenec ne dosega rezultatov, ki so pričakovani, ob izvajanju dobre poučevalne prakse, učitelj predlaga intenzivnejšo obliko pomoči. Učitelj in svetovalni delavec morata spremljati napredek učencev, kar je pogoj za podajo predloga, da učenec potrebuje bolj intenzivne oblike pomoči (Magajna idr., 2008b). M. Kavkler (2011a) navaja, da so rezultati izvajanja modela odziv na obravnavo naslednji: obravnava učencev, ki so rizični za učne težave, se začne bolj zgodaj; zmanjša se število neustrezno odkritih učencev in pretirano odkrivanje učencev, ki izhajajo iz narodnostnih manjših in revnejših okolij ter učencev s posebnimi potrebami; zmanjšajo se potrebe po intenzivnejši obravnavi specialnega in rehabilitacijskega pedagoga, poveča se delež sodelovanja med rednim in specialnim učiteljem. Reading recovery coucil of North America (2011, v Kavkler, 2011a) navaja, da je bistvo uspeha modela v zgodnjem odkrivanju učencev, potrebnih nadaljnje pomoči ter takojšnje izvajanje učinkovitih oblik obravnave. M. Kavkler (2011a) pri modelu odziv na obravnavo opredeljuje tri temeljne ključne komponente: - uporaba večstopenjskega modela odkrivanja in obravnave, ki zagotavlja večanje intenzitete obravnave učencev glede na njihove posebne potrebe; 15

33 - reševanje problemov, ki se nanaša na sprejemanje odločitev in evalvacijo učinkovitosti pristopov, ki so bili uporabljeni (odkrivanje in analiziranje problemov, razvoj načrta obravnave in evalvacija učinkovitosti obravnave); - zbiranje potrebnih podatkov za spremljanje napredka učenca, kar vpliva na odločanje o strategijah, ki so potrebne za učenčevo uspešno učenje na posamezni stopnji pomoči. Z večstopenjskim modelom obravnave lahko učno pomoč zagotavimo vsem učencem z učnimi težavami. Ta mora biti organizirana čim bolj zgodaj (da učne težave učne ne postanejo vseživljenjske in izrazite), fleksibilno (npr.: učenec sprejema pomoč vsak dan po 10 minut in ne enkrat tedensko eno uro), čim manj opazno, da se učenca ne izpostavlja (z organizacijo in izvajanjem pomoči ne poudarjamo drugačnosti, naloge so na pogled podobne nalogam njegovih vrstnikov), čim bližje učencu (glavnina pomoči se organizira v razredu) in kratek čas (obravnava je intenzivna, učinkovita in ne traja nekaj let ali celo obdobje izobraževanja učenca) (Magajna idr., 2008b). V različnih šolskih sistemih že obstajajo nekateri elementi, ki pogojujejo izvajanje modela odziv na obravnavo. Model je potrebno začeti sistematično uvajati v prakso, šolam pa je pri tem potrebno nuditi pomoč in podporo. Melard idr. (2010) poudarjajo pomembne učinke preventivnega večstopenjskega modela na šole in učence: - ko je pri učencu, rizičnem za težave na izobraževalnem in/ali vedenjskem področju, diagnostično ugotovljena prisotnost težav, dobi šola priložnost in ima dolžnost odgovoriti na potrebe učenca tako, da ga vključi na ustrezno stopnjo večstopenjskega modela obravnave; - zaradi povečevanja intenzivnosti z vsako naslednjo stopnjo ter potreb po vedno več virih, moramo izkoristiti že obstoječe strokovne in materialne vire v šolskem sistemu. Tako bo prva stopnja v okviru izvajanja pouka v razredu za večino učencev dovolj kakovostno izvedena, zmanjšala pa se bo tudi ogroženost za šolski neuspeh pri večini učencev; - ob delovanju preventivnega okvira so učenčeve potrebe odkrite pravočasno, ocenjeni in spremljani so učni dosežki, pri večini učencev pa se odpravijo vzroki nižjih izobraževalnih dosežkov. Pomoč učencem z izobraževalnimi in/ali vedenjskimi 16

34 težavami je v šolah, ki izvajajo model odziv na obravnavo, zgodnejša in intenzivnejša kot v šolah, kjer modela ne izvajajo Petstopenjski model nudenja pomoči Na osnovi strokovnih gradiv, domačih in tujih izkušenj in praks ter analize stanja v slovenskem šolstvu je bil oblikovan celostno usmerjen in sistematični model pomoči Koncept dela učne težave v osnovni šoli (Magajna idr., 2008b). Z dokumentom so bile zagotovljene strokovne osnove, na podlagi katerih razvijemo učinkovite pristope obravnave učencev z učnimi težavami. Petstopenjski model, ki omogoča odkrivanje, spremljanje in nudenje učne pomoči učencem z učnimi težavami je eden izmed ključnih pogojev uresničevanja zasnovanega koncepta (Magajna idr., 2008). Temelj petstopenjskega modela je kontinuum učnih težav, saj se le-te po intenzivnosti od lažjih do hujših, od splošnih do specifičnih, od enostavnih do kompleksnih, od takih, ki trajajo kratek čas, do vseživljenjskih, od takih, ko učence potrebuje malo učne pomoči in podpore, do takih, pri katerih učenec potrebuje veliko specifične učne pomoči in podpore, zasnovan pa je tudi na zgodnji obravnavi učencev z učnimi težavami (Magajna idr., 2008b). M. Kavkler (2015) navaja, da koncept ni usmerjen na težave in primanjkljaje, ampak k perspektivi moči, odkrivanja ter k uporabi močnih področij posameznika, da bi mu zagotovili optimalen razvoj potencialov ter izboljšali izobraževalne in zaposlitvene možnosti ob uspešnejši socialni integraciji. V okviru koncepta je bil na podlagi strokovnih in materialnih virov, ki so že bili prisotni v našem prostoru, oblikovan model odziva na obravnavo učnih težav. Šola je v skladu z omenjenim konceptom dolžna učencu z učnimi težavami nuditi pomoč (Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami, 2011, 26. člen). Pred usmerjanjem učenca mora šola zagotoviti obravnavo učenca na prvih štirih korakih, da se mu zagotovi čim prejšnja ustrezna pomoč. Prva stopnja slovenskega petstopenjskega modela omogoča 80 odstotkom učencev uspešnost v doseganju izobraževalnih ciljev. Ti učenci prejemajo pomoč učitelja pri pouku, v okviru dopolnilnega pouka ter podaljšanega bivanja. Prvi stopnji sledi pomoč in podpora, ki zajema tri stopnje. Namenjena je od 15 do 20 odstotkom učencev. Peta stopnja pomoči pa je namenjena le od 1 do 5 odstotkom učencev, ki potrebujejo intenzivnejšo, 17

35 individualno podporo in pomoč, ki jim jo nudijo usposobljeni strokovni delavci (Magajna idr., 2011). Z vsako naslednjo stopnjo petstopenjskega modela se zmanjša število učencev, ki imajo splošne in specifične učne težave, ki potrebujejo učno pomoč in podporo, seveda ob dovolj kakovostni pomoči na predhodni stopnji. Učiteljeva dobra poučevalna praksa z vključevanjem individualizacije in diferenciacije torej ustreza velikemu deležu učencev z učnimi težavami, zato intenzivnejše oblike učne pomoči z več prilagoditvami potrebuje manjši delež učencev s primanjkljaji na posameznih področjih učenja. Učenci z najbolj izrazitimi primanjkljaji na posameznih področjih učenja pa so usmerjeni v Izobraževalni program s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo (Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami, 2011). Ta se izvaja na peti stopnji kontinuuma pomoči. Ti učenci potrebujejo dobro poučevalno prakso učitelja ter specifično učno podporo in pomoč ob intenzivnejših prilagoditvah (Magajna idr., 2008b). V nadaljevanju bo predstavljen petstopenjski model nudenja pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki (Vipavc in Kavkler, 2015, Magajna idr., 2008b) ter strategije obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki na prvih treh stopnjah pomoči: 1. stopnja: pomoč učitelja pri pouku, dopolnilnem pouku ter v okviru podaljšanega bivanja in varstva Prva stopnja v kontinuumu pomoči poteka v okviru pouka v rednem razredu, dopolnilnega pouka, podaljšanega bivanja in nivojskega pouka. Namenjena je vsem učencem razreda. Na prvi stopnji morajo biti vse učenci izpostavljeni visoko kakovostni obravnavi in učinkovitim strategijam dobre poučevalne prakse v okviru pouka. Prva stopnja kontinuuma pomoči omogoča optimalen napredek vsem učencem in je ustrezna za okrog 80 odstotkov vseh učencev. V procesu obravnave učencev z učnimi težavami je učitelj ključen strokovni delavec na vseh stopnjah petstopenjskega modela pomoči. Učitelj prvi odkrije, da učenec kljub svojemu trudu, pomoči staršev in ob izvajanju dobre poučevalne prakse pri matematiki dosega nižje izobraževalne dosežke kot njegovi vrstniki. Je tudi ključna oseba pri nudenju podpore in pomoči učencu z učnimi težavami pri matematiki. Poleg učnih težav in primanjkljajev mora pri učencu 18

36 v sodelovanju s starši in z učencem samim odkriti njegova močna področja ter na podlagi leteh poskušati zmanjšati težave pri učenju matematike. Učitelj na prvi stopnji pomaga učencu z izvajanjem dobre poučevalne prakse. Izvaja individualizacijo in diferenciacijo nalog, učnih zahtev ter načinov za pridobivanje, utrjevanje in preverjanje znanja v skladu s potrebami učenca, na podlagi tega pa mora biti proces poučevanja dovolj učinkovit za napredek 80 odstotkov učencev v razredu (Vipavc in Kavkler, 2015). Pri izboru metod in oblik dela z učenci s težavami pri učenju matematike mora izhajati iz dobre poučevalne prakse za vse učence, posebno pa še za učence z učnimi težavami, specifičnimi učnimi težavami in primanjkljaji na posameznih področjih učenja, saj je le-ta ključna za njihovo učno uspešnost (Vipavc in Kavkler, 2015). S starši in drugimi strokovnimi delavci na šoli sodeluje pri ocenjevanju in premagovanju učenčevih učnih težav. Pri učencih z najlažjimi oblikami učnih težav je dovolj dobra poučevalna praksa učitelja. Učencem z zmernimi učnimi težavami pa je potrebno organizirati več prilagoditev in več pomoči. Učitelj za te učence v okviru poučevanja dodatno individualizira in diferencira učne zahteve, učne pripomočke, izvaja časovne prilagoditve, načine pridobivanja, utrjevanja in izkazovanja znanja. Pri delu mu svetujeta šolski svetovalni delavec in/ali mobilni specialni pedagog. Učitelj učencu pomaga pri pouku v razredu in pri dopolnilnem pouku. V nižjih razredih (do 6. razreda) učencu pomaga tudi učitelj podaljšanega bivanja in varstva, ki sodeluje z razrednikom, s starši, s šolsko svetovalno in z mobilno specialno pedagoško službo po potrebi. Vsi izvajalci učne pomoči na prvem koraku delo z učencem ustrezno načrtujejo v individualnem delovnem projektu načrtu pomoči, dokumentirajo v dnevniku ali kroniki ter evalvirajo z delno ali sklepno evalvacijsko oceno. Razvoj dobre poučevalne prakse je odvisen od učiteljevih znanj, veščin, pristopov in poučevalnih metod in stališč do učencev z učnimi težavami, njegovih sposobnosti dela z različnimi učenci v razredu, spretnosti za reševanje socialnih, vedenjskih in emocionalnih težav, materialnih virov in razpoložljivega časa za individualizacijo in diferenciacijo dela ter od kakovosti in količine podpore, ki je je deležen s strani vodstva, svetovalnih služb in zunanjih ustanov (European Agency for Development in Special Needs Education, 2003; Meijer, Soriano, Watkins, 2003; Magajna idr., 2008b). J. Vipavc in M. Kavkler (2015) navajata, da mnogi učitelji težave pri učenju matematike pripisujejo nižjim sposobnostim učencev, nezadostni motiviranosti za učenje, nezadostnemu 19

37 trudu in premajhni pomoči staršev, zato ne izboljšajo kakovosti procesa poučevanja, kar pa je ključen dejavnik, saj bi se že s tem pri mnogih učencih zmanjšalo ali odpravilo vzroke težav pri učenju matematike. Magajna idr. (2008b) navajajo naslednje glavne splošne značilnosti dobre poučevalne prakse: jasna strukturiranost učnega procesa, pozitivna in podporna naravnanost učitelja, učenje osnovnih pojmov z razumevanjem in preverjanje razumevanja, spremljanje učenčevega napredka, dajanje sprotne povratne informacije učencu s strani učitelja in obratno, podajanje jasnih in razumljivih navodil, razdelitev kompleksnejših nalog na manjše enote, učenje po korakih s predvidevanjem le-teh, učenje s pomočjo opor, navajanje modelov/primerov reševanja, omogočanje in spodbujanje veččutnega učenja, zagotovitev ustreznega časa za urjenje spretnosti in utrjevanje znanja na različne načine, poučevanje učnih strategij, učenje učencev, da samostojno iščejo pomoč, sodelovalno učenje pri pouku in usposabljanje za sodelovalno učenje. Meijer idr. (2003) in M. Kavkler (2011a) navajajo dejavnike, ki v praksi držav Evropske unije predstvaljajo osnovne pristope kakovostne poučevalne prakse; - učinkovito načrtovanje in spremenljiva organiziranost procesa poučevanja (glede urnika, organizacija učne pomoči, materialni viri itd.); - individualizacija in diferenciacija v procesu poučevanja (zahteva po sistematičnem opazovanju, ocenjevanju, načrtovanju in evalvaciji uporabljenih strategih ter po spretnem prilagajanju procesa poučevanja); - sodelovalno poučevanje je v pomoč učitelju pri uresničevanju načrta obravnave učenca z učnimi težavami); - sodelovalno učenje omogoča učencu z učnimi težavami, da se v razredu uči skupaj z vrstniki čim večkrat ter tako izboljša svoja znanja in spretnosti; - v okolju moramo poiskati ključne osebe, ki lahko učitelju pomagajo pri uvajanju novosti. Hejny (2012, v Kavkler idr., 2015; Vipavc in Kavkler, 2015) poudarja kot ključno vlogo učitelja pri zagotavljanju učenja z razumevanjem. Odgovoren je, da pri učencu spodbudi zanimanje za učenje, posreduje učno snov in odkrije težave pri učencih. Vlogo učitelja opredeljuje na naslednji način: 20

38 Učitelj zagotovi optimalno klimo za učenje (učenec se ne dolgočasi in ni v stiski, z učenci se proslavlja uspeh, učence, ki obupujejo pri matematiki, spodbuja ter jim pomaga graditi pozitivno samopodobo). Omogoča pobude učencev (lastnih strategij ne vsiljuje, se ne vmešava v način razmišljanja učenca ter vprašanja učenca pa vrednoti pozitivno). Omogoča diskusijo učencev, v katero se vključijo vsi učenci, diskusij ne prekinja že na samem začetku, čeravno niso matematično korektne v trenuntni situaciji. Napak učencev ne izpostavlja, temveč jim omogoča samostojno ugotavljanje napak, kar privede k boljšemu razumevanju situacije. Učencem pripravi take naloge, da vsak učenec po težavnosti rešuje svojim sposobnostim primerne naloge, s čimer mu učitelj omogoča doživljanje uspeha. Učitelj spodbuja učence k poslušanju in spremljanju razmišljanj drugih učencev glede posamezne naloge, strategije. Tako širijo svoje matematično znanje ter razumevanje razmišljanja drugih reševanju nalog in problemov. Učitelj in starši lahko učencu s splošnimi in specifičnimi učnimi težavami pomagajo z učinkovitimi strategijami dobre poučevalne prakse ( FAWCO, 2007): Kratek povzetek snovi ob začetku obravnave nove matematične snovi učencem omogoča lažje sledenje pouku in vključitev novih informacij v svojo informacijsko mrežo. Različne vizualne opore so lahko v pomoč učencem z vidnim učnim stilom. Te opore pripomorejo k lažji vizualizaciji matematičnih problemov. Učitelj lahko učencem nariše različne slike, razpredelnice, grafe, miselne vzorce, jim označi smer računanja itd. Učenci se s časom naučijo sami pripravljati vidne opore. Matematična gradiva in učni listi morajo zajemati ustrezno količino vizualnih predstavitev, da so pregledna. Učni list mora zajemati prostor dodatne zapise, skice in pomožne račune. Nekateri učenci potrebujejo več prostora za zapis, povečan tisk itd. V izogib posledicam orientacijskih težav naj mlajši učenci pišejo na karo papir. Tako bodo pravilno zapisali npr. števila v vrsti. Matematična navodila in naloge naj učenci glasno preberejo in se pri tem pozorno poslušajo, kar je v veliko pomoč posebej še tistim učencem, ki imajo bralne težave težje stopnje in po slušni poti lažje sprejemajo informacije. S podajanjem različnih primerov matematičnih problemov, ki jih povežemo z življenjskimi situacijami, učencem omogočimo lažje razumevanje učne snovi in urjenje. 21

39 Od učenca samega in njegovih staršev pridobimo informacijo glede učenčevih izkušenj in o tem, kakšno stopnjo konkretizacije moramo uporabiti. Učencem obsežnejše vsebine razdelimo na manjše dele, ti pa si morajo slediti v ustreznem zaporedju. Učencem, ki imajo izrazitejše posebne vzgojno-izobraževalne potrebe, se omogoči prehod do intenzivnejše obravnave na naslednji (2.) stopnji. Bolj intenzivno obravnavo potrebuje okrog 20 odstotkov učencev. 2. stopnja: pomoč svetovalne službe V kolikor učenec z učnimi težavami na prvi stopnji kontinuuma pomoči ne napreduje dovolj, v projekt pomoči na predlog učitelja ali staršev vključimo svetovalnega delavca. To je lahko psiholog, pedagog, specialni pedagog, socialni delavec ali socialni pedagog. Ta poglobi in dopolni diagnostiko pri učencu (odkrivanje in dopolnitev posebnih potreb in primanjkljajev pri učenju matematike ter ovir, ki izhajajo iz okolja, njegova močna področja in nadarjenost) pri tem pa sodeluje z učitelji, učencem in starši. Svetovalni delavec svetuje učencu, učitelju (prilagoditve pri pouku) in staršem (pomoč učencu doma itd.) ter mu občasno nudi konkretno pomoč pri učenju matematike, ob tem vključuje več specialnih oblik pomoči, kot jih je na prejšnji stopnji izvajal učitelj. Še vedno pa učitelj na prvem koraku izvaja dobro poučevalno prakso. Učencu morajo biti predstavljeni namen dela, cilji, ki naj bi jih dosegel, trajanje pomoči, metode dela, ki bodo uporabljene ter možni učinki oziroma rezultati obravnave. Le tako bomo učenca motivirali za učno pomoč in lahko pričakujemo tudi pozitivne rezultate. Na tej stopnji za učenca z učnimi težavami začne voditi osebna mapa (to je uradno predpisana šolska dokumentacija) in v njej individualni delovni projekt pomoči. V osebno mapo se vloži pisno mnenje učitelja, t. i. sklepna evalvacijska ocena na prvi stopnji, ki zajema zbir ugotovljenih težav učenca, oblik pomoči in prilagoditev, ki so bile izvajane na prvem koraku, oceno učinkovitosti le teh ter predloge za nadaljnje ukrepe pomoči. Za pomoč učencu na tej stopnji mora svetovalna služba pridobiti soglasje staršev, saj se projekt vodi v osebni mapi, ki je zbirka učenčevih osebnih podatkov. Številne raziskave (Geary, 1994; Mastropieri, Thomas, Scruggs in Chang, 1998, v Aubrey idr., 1998; Witzel, 2005; Kunsch, Jitendra in Sood, 2007; Sousa, 2008b; Sileo in Van Garderen, 2010; Cole in Wasburn-Moses, 2010) kažejo, da lahko z različnimi pristopi povečamo 22

40 uspešnost poučevanja matematike. Poudarjajo sodelovalno učenje in poučevanje kot oblike dela, ki učence motivirajo k aktivnemu učenja, k vključevanju lastnih strategij v reševanje matematičnih problemov, k opisovanju, kako so reševali matematične problem, k izmenjavi in primerjanju uporabljenih strategij pri reševanju problemov ter razvoju metakognicije. V nadaljevanju bodo predstavljene nekatere strategije, ki jih lahko uporabimo na 2. koraku petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki Strategije dela z učenci na 2. koraku petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki Sodelovalno poučevanje Pri izvedbi nekaterih učinkovitih strategij učitelj potrebuje pomoč drugega strokovnega delavca, s katerim v razredu izvede strategije ali mu svetuje uporabo specifičnih strategij dela. Sileo in Van Garderen (2010) navajata v raziskavah potrjeno učinkovitost strategij sodelovalnega poučevanja pri učenju matematike. Ena izmed strategij je poučevanje v paru, kjer skupaj poučujeta učitelj in specialni pedagog ali drugi strokovni delavec. Oba strokovna delavca skupaj načrtujeta, izvedeta in evalvirata proces poučevanja matematike vseh učencev. Pri tem izmenjujeta izkušnje in znanja, pri takem delu poučevanju pa pridobijo vsi učenci v razredu in oba strokovna delavca. Pri učencih z učnimi težavami pride do napredka zaradi boljše izrabe časa poučevanja ter individualiziranega pristopa. Pri učencih brez učnih težav pa se pokaže napredek v izobraževalnih dosežkih, veščinah, samopodobi in vrstniških odnosih. M. Kavkler (2011b) kot trenutno najbolj pomembni strategiji pri obravnavi in poučevanju matematičnih vsebin navaja direktno poučevanje in na razumevanju osnovano poučevanje matematike. Direktno poučevanje (angl. direkt instruction, exlicit instruction) je poučevanje, pri katerem ima učitelj glavno vlogo. Zajema sistematično, neposredno načrtno poučevanje s večkratnim preverjanjem in ocenjevanjem napredka. Poučevanje mora biti dobro strukturirano, v primernem tempu, učencem pa mora omogočati doživljanje uspeha (Mitchell, 2008). Učitelj pri direktnem poučevanju preverja razumevanje, izvaja natančne razlage, daje sprotno povratno 23

41 informacijo, ponazarja pojme, demonstrira postopke, modelira ipd. Mitchell (2008) kot splošne značilnosti direktnega poučevanja navaja: Učitelj učne ure dobro strukturira in načrtuje učenje spretnosti. Na podlagi analize učnega načrta oblikuje zaporedje učnih korakov. Učitelj poučuje ob pomoči učnih načrtov in priprav, ki so sistematično pripravljene, v natančnem zaporedju nalog in ob časovno natančno opredeljenih razlagah. S primernim tempom dela učitelj učencem omogoča aktivnost delo in sodelovanje ter načrtuje možnosti za odziv učencev. Učenje mora zagotavljati primerno stopnjo zahtevnosti ob aktivnem tempu dela, ključni cilj učne ure pa je učenčevo obvladovanje neke spretnosti samostojno in brez napak, uspešnost pa naj bi bila vsaj 90 %. Učitelj omogoča možnosti za utrjevanje znanj in spretnosti ter znanja in spretnosti preverja s kratkimi preizkusi (na vsakih 10 učnih ur). Tako pridobi vpogled v to, pri katerih strategijah in znanjih potre bujejo učenci dodatno poučevanje. Direktno poučevanje se najlažje izvaja v manjših skupinah (8 12 učencev), saj učitelj pri taki velikosti skupine lažje spremlja napredek posameznikov in jim nudi pomoč. Z direktnim poučevanjem se delež učiteljevega vodenja s časom zmanjšuje, vse več učencev pa je sposobnih samostojnega dela in upravljanja lastnega učenja. Učitelj direktno poučevanje uporablja le del učnih ur in ga kombinira z drugimi strategijami. Na razumevanju osnovano poučevanje matematike se usmerja v učenca, ki rešuje problem v skupini z različnimi matematičnimi veščinami. Te strategije se v večji meri poslužujejo predmetni učitelji, ki so v večji meri osredotočeni v postopke reševanja problemov (z različnimi podatki in strategijami), manj pa v obvladovanje predpogojev za reševanje le-teh. Za učence z učnimi težavami pri matematiki metode, ki spodbujajo raziskovanje, niso tako učinkovite kot direktno poučevanje, kar je pokazala meta analiza 58 raziskav (Kroesbergen in Van Luit, 2003). Eksplicitno direktno poučevanje zajema: modeliranje (pri katerem učitelj ob glasnem opisovanju koraka za korakom demonstrira postopek reševanja problema), opore in ključe (kartonček s poštevanko, formulami, ponazorjeno smerjo reševanja ipd., s katerimi omogoči priložnost, da so vsi učenci uspešni), povratno informacijo (takoj, ko se pojavi napaka, jo učitelj posreduje učencu: DA/NE kartončki; ob dvigovanju kartončkov za pravilnost ali 24

42 napačnost odgovora učitelj hitro ugotovi, katero učno snov so učenci razumeli in katero ne) in vodene vaje (učitelj učencem zagotovi možnosti odgovarjanja in vaje) (Pedrotty Bryant, Kim, Hartman in Bryant, 2006, v Kavkler, 2011b). Pristopa direktno poučevanje in na razumevanju osnovano poučevanje matematike sta učinkovita in vsem učencem omogočata uspešnejše učenje matematike, posebej še učencem z učnimi težavami pri matematiki. Najboljšo učinkovitost dosežemo, če pristopa prepletamo in dopolnjujemo, kar je omogočeno v sodelovanju med učitelji matematike (dobro pozna kurikularne zahteve predmeta) in specialnimi pedagogi/svetovalnimi delavci (pozna strategije za učinkovitejše učenje učencev z učnimi težavami pri matematiki) (Cole in Wasburn-Moses, 2010). Učitelj in specialni pedagog lahko kombinirata direktno in na razumevanju osnovano poučevanje matematike z naslednjimi znanstveno dokazano učinkovitimi strategijami poučevanja matematike: sodelovalnim vrstniškim poučevanjem, prehodom od konkretnih ponazoritev preko prikazov do abstrakcij, s kognitivnimi strategijami, z»zidarskim odrom«, na shemi osnovanimi strategijami in mnemotehnikami (Kunsch idr., 2007; Witzel, 2005; Cole in Wasburn-Moses, 2010). Sodelovalno vrstniško učenje Ena izmed pomembnih strategij za razvoj komunikacijskih spretnosti učencev na področju matematike je sodelovalno vrstniško učenje. Pomeni sodelovanje dveh učencev v paru pri reševanju dejavnosti, ki so individualizirane. Učitelj učence razdeli v pare po sposobnostih. V vsakem paru je en učenec (uspešen pri učenju matematike) ter en učenec, ki ima težave pri učenju matematike. Učenca imata možnost zamenjave vlog (tutorja in varovanca). Učenci morajo najprej pridobiti osnovne veščine za uspešno sodelovanje in komunikacijo, naloge pa mora učitelj prilagoditi glede na potrebe vsakega para (Kavkler, 2011b).»Zidarski oder«postopek, pri katerem učitelj učencu pomaga zgraditi oporo ali»oder«in mu s tem olajša razumevanje besedila, Reid (2007) imenuje»zidarski oder«. Učitelj učencu posreduje potrebne informacije ali ga vodi s podvprašanji do potrebnih odgovorov. Na ta način lahko učitelj poveže vsebino nove učne snovi s predhodno usvojenim matematičnih znanjem, kar je zelo pomembno za učenčevo napredovanje od predznanj k novim znanjem. Pri tej stategiji se lahko učitelj 25

43 podlužuje»ček list«(samoocenjevalnih lestvic), modeliranja učencev, moči učitelja ali specialnega pedagoga, takojšne povratne informacije, samostojnih vaj ipd. Prehod od konkretnega preko slikovnih prikazov do abstrakcij Učenec mora izvajati dejavnosti z raznolikimi modeli, s pomočjo katerih pridobiva predstavitve pojmov na različnih kognitivnih nivojih, saj s tem razvije korektne miselne predstave. Pri tem se poveča njegova motiviranost za reševanje nalog in razvija boljše razumevanje matematičnih idej, ki jih zna bolje prenesti v življenjske situacije. Mnogi učenci lahko imajo učne težave, če učitelj pri poučevanju osnovnih matematičnih znanj prehitro preide s konkretnega nivoja na slikovni in abstraktni nivo (simbole, ki jih vsebujejo učbeniki in delovni zvezki). V tem primeru namreč učenci nimajo priložnosti izvajati dejavnosti s konkretnimi pripomočki v zadostni meri, preden preidejo na usvajanje matematičnih simbolov ter njihovih verbalnih označb (Garnett, 1998, Kavkler, 2011b) Pri poučevanju novih matematičnih pojmov moramo učencem predstaviti zaporedje, ki zajema prehod od konkretno slikovne do abstraktne predstavitve, t.j. pristop KSA (Kavkler, 2011b). Pri reševanju algebrskih izrazov bodo namreč učenci, ki smo jih poučevali po pristopu KSA, naredili manj napak, kot učenci, ki niso bili poučevani po tem pristopu. Po pristopu KSA učenec pridobiva matematična znanja v treh fazah: ponazarjanje matematičnih idej s konkretnimi materiali (naravni predmeti, kroglice, kocke itd., s pomočjo katerih učenec poveže probleme z realnim življenjem), sledijo ponazoritve s slikovnimi in drugimi prikazi (grafični prikazi, ki ponazarjajo konkretne predmete in omogočajo vizualizacijo operacije med reševanjem problema, številske črte, slike) ter na koncu simbolni oziroma abstraktni prikazi (zapisi s števili, grškimi in rimskimi črkami itd.). Pri tem pristopu je zelo pomembno zaporedje dejavnosti. Učitelj mora v procesu poučevanja upoštevati zaporedje faz ter organizirati vaje ponazarjanja preblemov in idej, da bodo učenci na tretji fazi učinkovito uporabljali simbole. Učenci potrebujejo posamezne ponazoritve različno dolgo, to pa učitelj lahko uresničuje v okviru individualizacije in diferenciacije pouka (prav tam). Kognitivne strategije Za uspešno reševanje matematičnih nalog morajo biti učenci pozorni na korake v postopku, kar jih omogočajo kognitivne strategije (Kavkler, 2011b). Nekatere strategije učencu pomagajo sistematično korak za korakom priti do rešitve naloge. Ena izmed teh strategij je strategija PVP: 26

44 P za Povej, kaj naloga od tebe zahteva, V za Vprašaj se, katero informacijo moraš poiskati in P za Preveri pravilnost svoje rešitve. Učenec s pomočjo te strategije premisli problem in preveri pravilnost svoje rešitve (Montague, 2005, v Kavkler, 2011b). Učenec pri tem lahko uporabi kartonček z zapisanimi koraki postopka kot oporo, da je med reševanjem problema pozoren na korake in si zapomni njihovo zaporedje. Mnemotehnike Učenca učimo mnemotehnik, da bi izboljšal pomnjenje ter prikic aritmetičnih dejstev in postopkov. Učenec mora bistvo mnemotehnike, ki se jo uči, dobro razumeti. Specialni pedagog ali svetovalni delavec mora biti iznajdljiv in kreativen pri priparvi mnemotehnike, hkrati pa mora preveriti njeno učinkovitost pri konkretnem učencu. Učitelja spodbudi k uporabi le-te v razredu. Lahko jih oblikuje tudi učenec sam ali učitelj. M. Kavkler (2011b) navaja mnemotehnike v obliki akronimov, risb, ključnih besed in stavkov. Ključne besede vključujejo po zvočnosti podobne besede, kot je beseda, katero si mora učenec zapomniti. Kot slikovno oporo lahko za zapomnitev = narišemo dve roki s petimi prsti. S pomočjo stavka lahko učenec ustvari asociacijo za zapomnitev aritmetičnega dejstva (6x5=30, 30 je domača hišna številka). Akronimi pa vključujejo prve črke besed v zaporedju korakov ali v stavku (npr. PVP: Povej, Vprašaj, Preveri). 3. stopnja: dodatna individualna in skupinska pomoč V kolikor učenec kljub pomoči na prvi in drugi stopnji pri učenju matematike ne napreduje dovolj oziroma se učne težave nadaljujejo, učencu organiziramo dodatno individualno (specifični treningi) ali skupinsko pomoč (sodelovalne oblike pomoči, ki so najučinkovitejše z do štirimi učenci). Praviloma jo eno uro tedensko izvaja šolska svetovalna služba (mobilni specialni pedagog in svetovalni delavci: psiholog, socialni pedagog, pedagog, specialni pedagog idr.) ali usposobljen učitelj, ki mora obvladovati specialna znanja za področje učnih težav pri matematiki. Skupinska oblika pomoči omogoča, da se v obravnavo vključi več učencev, saj je za napredek učencev pri učenju matematike namreč zelo pomembna komunikaciji med učenci. Predpogoj prehoda na tretjo stopnjo je pisna utemeljitev potrebe po intenzivnejši pomoči, t. i. sklepna evalvacijska ocena druge stopnje. Če je potrebno, se pri učencu izvedejo še dodatni diagnostični postopki (lahko tudi obravnava specializirane zunanje 27

45 strokovne ustanove, na predlog staršev ali šole). Izvajalec individualne in/ali skupinske pomoči poglobi diagnostično oceno in na podlagi le-te začne izvajati bolj specialno obliko pomoči pri matematiki. Delo z učencem podrobno načrtuje, spremlja in dokumentira napredek ter evalvira rezultate dela. V nadaljevanju bodo predstavljene bolj sprecialne strategije, ki lahko znatno prispevajo k izboljšanju uspešnosti učencev z zmernimi splošnimi, posebej pa še učencev s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki. Priklic aritmetičnih dejstev Za uspešno usvajanje proceduralnih znanj in reševanje matematičnih besedilnih nalog je potrebna avtomatizacija aritmetičnih dejstev. Priklic dejstev predstavlja posameznikovo sposobnost hitrega priklica informacij iz dolgotrajnega spomina. Težave pri priklicu aritmetičnih dejstev so največkrat navedene v povezavi s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki (Geary, 1994; Aubrey idr., 1998; Kavkler, 2007; Sousa, 2008b, Kavkler, 2011b). Geary (1994) poudarja, da se učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki razlikujejo v sposobnostih priklica ariemtičnih dejstev pri reševanju preprostih aritmetičnih in besedilnih nalog. Poleg tega se sposobnost priklica aritmetičnih dejstev pri večini teh učencih v času osnovnošolskega izobraževanja ne izboljša. Učenci, ki nimajo težav s priklicem aritmetičnih dejstev, so pri delu hitrejši in matematične probleme rešujejo bolj strateško (Flowers in Rubenstein, 2011). Za učenje matematike so ključne zgodnje matematične veščine, zato moramo poznati korake razvoja aritmetičnih dejstev. Enostavni aritmetični problemi (5 x 6, ), imenujemo jih tudi kombinacija števil ali matematična dejstva, so ključnega pomena za razvoj matematične kognicije (razumevanje računskih operacij in znanje matematike) (Fuchs idr., 2010). Učenci razvijejo matematična dejstva preko razvoja strategij štetja. V začetnem obdobju seštevanja leto izvajajo s pomočjo štetja. Na začetku ob dodajanju preštejejo oba seštevanca v celoti (na primer 3 kocke + 4 kocke = ; preštejejo 1,2,3,4,5,6,7 kock), uporabijo tako imenovano strategijo štetje vsega. Ko razumejo princip števila, ki sledi, razumejo tudi, da je vsota število, ki sledi 5, ko štejemo pri strategiji štetja naprej (Baroody, 1995, v Fuchs idr., 2010). Tako ugotovijo, da je vsota ne more biti 6, ampak je dve števili za 5, to je 6, 7 (prav tam). Tako opazijo učinkovitost štetja od prvega seštevanca. Ko je prvo število v računu manjše od drugega, npr , pričnejo šteti od prvega števila naprej (3,4,5,6,7). Ta strategija štetja je že 28

46 bolj razvita in zahteva manj časa. Pozneje učenci uvidijo pomen komutativnosti in začnejo preštevati od večjega števila naprej (2 + 3 = (4,5)). Ko učenec še bolj razvije konceptualno znanje, odkrije lastnosti prištevanja števila 0 in lahko rešuje številke kombinacije tipa n+0, 0+n (Fuchs idr., 2010b). Učencem moramo organizirati številne vaje, s pomočjo katerih urijo razdruževanja in združevanja števil. Učenje mora biti sistematično in nazorno (delo s konkretnimi materiali, sledi simbolna predstavitev dejavnosti prehod na simbolno izvedbo). Učenci ugotovijo, kako razdruževati 2 seštevanec. Tako se srečajo s transformacijskimi strategijami (7+9= (7 + 3) + 6 ali (9 + 1) + 6 ali (7 + 7) + 2 itd.). Večja učinkovitost pri uporabi strategij štetja ter razdruževanja in združevanja otrokom pomaga, da uspešneje in hitreje pridejo do pravilnega rezultata, v dolgotrajnem spominu se vzpostavijo asociacije in postopoma pridejo do priklica aritmetičnih dejstev. Tipični učenci postanejo vešči uporabe kombiniranja števil do konca tretjega razreda (Cirino idr., 2007, v Fuchs, 2010b). Poleg tega pa morajo učenci dobro poznati pare števil, ki dajo vsoto 10 (1 + 9, ), saj jim te številske kombinacije omogočajo hitrejše računanje. Učenci z učnimi težavami pri matematiki kasneje preidejo na reševanje s priklicem aritmetičnih dejstev iz spomina. Avtorji (Fleishner, Garnett in Shepherd, 1982; Goldman in Pellegrino, 1988) poudarjajo, da se kasnejši prehod na priklic dejstev pojavi, ker imajo ti učenci težave v številskih predstavah (Geary, Hamson in Hoard, 2000) in večje težave pri štetju (Geary, Bow- Thomas in Yao, 1992, Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent in Numtee, 2007). Zato vztrajajo pri uporabi nižjih strategij štetja (strategija vsote in maksimalna strategija) in ne uspejo razviti strategij razstavljanja. Ko prikličejo dejstva iz dolgoročnega spomina, naredijo pri tem več napak, njihova hitrost priklica pa je manj sistematična kot pri mlajših otrocih brez učnih težav pri matematiki (Geary idr., 2007, Geary, Brown in Samaranayake, 1991; Ostad, 1997). Strategije podvajanja faktorjev Če učenci ne usvojijo množenja v predvidenem času (tretji razred osnovne šole), jim to otežkoča usvajanje nadaljnje učne snovi, lahko pa jim nekatere učne snovi postanejo celo nedostopne. Znanje poštevanke pomembno vpliva na usvojitev deljenja, računanja z ulomki in odstotki, na ocenjevanje količin, primerjanje deležev, pretvarjanje merskih enot itd. Učencem, ki ne zmorejo priklicati zmnožkov poštevanke ter zmnožkov večjih faktorjev, zato organiziramo učenje alternativnih strategij, kot je strategija podvajanja faktorjev (Flowers in Rubenstein, 2011). S to strategijo učenci izboljšajo tekočnost aritmetičnih dejstev množenja. 29

47 Pri podvajanju faktorjev se razvija razumevanje in sposobnost reševanja problemov, izboljša pa se tudi samozaupanje učencev. Pri učencih preverimo, katera dejstva že vedo, saj na osnovi pomočjo teh gradijo nova dejstva, zlasti tista, ki jih ne prikličejo iz dolgotrajnega spomina. Podvajanje (npr.: 6x2, 24x2) je naraven proces. Številni učenci ga uporabljajo brez sistematičnega učenja, saj jim pomaga priti do hitre rešitve. Podvajanje faktorjev lahko učitelji izvajajo učitelji pri delu v razredu, specialni in rehabilitacijski pedagogi v okviru individualne ali skupinske pomoči ter doma starši, lahko pa jih izvajajo tudi učenci v homogenih ali heterogenih parih ali skupinah. Na tabeli večkratnikov označimo, katera aritmetična dejstva učenec že pozna in ugotovimo, kako naj učenec na osnovi le-teh konstruira nova. Učenec mora dojeti podvajanje faktorjev kot preces reševanja problema in ne le kot prištevanje enakega števila. Pred tem mora usvojiti mestne vrednosti. Učenec razdružuje števila in jih zopet združuje, da reši problem, npr. pri podvajanju števila 75 število razdruži na desetice in enice in pomnoži z 2: (70 + 5) x 2, zmnožke pa nato sešteje =150. Učence usmerjamo z vprašanji:»katera dejstva poznaš in jih lahko uporabiš, da boš prišel do rešitve računa 9 x 6?Ali si lahko pomagaš z dejstvom 10 x 6 ali pa 8 x 6?«Učenci lahko podvajajo faktorje tudi tako, da začnejo z 1, vsak naslednji učenec pa podvoji naslednje število, ki sledi v zaporedju (2;4;8;16;32;64 itd.). Pri večjih številih je potrebna razdružitev števila na mestne vrednosti (npr. 3T 8E 5D 2E) in jih po mestnih vrednostih podvoji (6T 16S 10D 4E), nato pa združi v rezultat (7704). Podvajati lahko začnemo tudi pri večjem številu, npr. pri 23, vsak naslednji učence pa podvoji za 1 večje število. Lahko pa je vsako naslednje število večje npr. za 4 ali za 10. Pozneje lahko učenci operacijo pri podvajanju tudi kombinirajo (npr. 18x4=(18x2)x2= ali (20x4)-8=72). Učencem z učnimi težavami pri matematiki omogočimo podvajanje med prvimi, da zmnožki niso previsoki, učenci pa ne izgubijo motivacije za računanje. Učimo jih tudi strategij kompenzacije (npr. 8 x 5 = izračunajo z množenjem 6 x 5 = in prištejejo 2 x 5 = ). Smiselno je, da učenci na začetku izvajajo samo kombiniranje parov števil in ne navajajo rezultatov (npr = (35 x 2) + 2 =). S strategijo podvajanja faktorjev vsi učenci zelo dobro razvijejo strategije miselnega računanja. 30

48 4. stopnja: mnenje in pomoč zunanje institucije Če učenec s težavami pri učenju matematike ne napreduje, kljub temu da je bila izvajana pomoč na prvih treh stopnjah (kar je navedeno v sklepni evalvacijski oceni tretje stopnje), imajo šola ali starši možnost zaprositi ustrezno zunanjo specializirano strokovno ustanovo za dodatno strokovno mnenje in tudi pomoč (svetovalni center, center za duševno zdravje, posvetovalnico itd.). Specializirana ustanova z več strokovnimi delavci v timu pripravi bolj poglobljeno in kakovostno diagnostično oceno, svetuje staršem in učiteljem strategije učinkovitejšega dela z učencem, po potrebi pa organizira tudi dodatno, bolj specifično strokovno pomoč. Učenec, ki ima zmerne učne težave pri matematiki, praviloma uspešno napreduje ob pomoči, ki je je bil deležen od prve do četrte stopnje pomoči ter ob učiteljevem stalnem izvajanju individualizacije in diferenciacije zahtev v okviru pouka. 5. stopnja: program s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo Če šolski strokovni tim (svetovalni delavec, učitelj, specialni pedagog idr.) na podlagi sklepne evalvacijske ocene četrte stopnje meni, da so pri učencu prisotne izrazitejše specifične učne težave in zato učenec potrebuje več pomoči in prilagoditev, staršem predlaga, naj začnejo s postopkom usmerjanja učenca s specifičnimi učnimi težavami. Učenec z izrazitimi specifičnimi učnimi težavami oziroma z ugotovljenimi s primanjkljaji na posameznih področjih učenja je usmerjen v izobraževalni program s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo (Magajna idr. 2008b, v Kavkler, 2011a). V okviru programa je deležen specialnih oblik dodatne strokovne pomoči in prilagoditev, ki so izbrane glede na učenčeve posebne potrebe, ob predhodno oblikovani diagnostični oceni, ki jo pripravi izvajalec dodatne strokovne pomoči. Usmeritev v ta program pomeni nadaljevanje izvirnega projekta pomoči za učenca, z več pomoči in več prilagoditvami. Na tej stopnji je potrebno natančno spremljanje napredka, od izrazitosti posebnih potreb učenca pa je odvisna dolžina specializirane obravnave. Če pa je učenec z učnimi težavami kljub intenzivni pomoči še vedno neuspešen, mora biti ponovno ocenjen, hkrati pa se odloča o primernosti izobraževalnega programa, v katerega je učenec vključen. V nekaterih državah in tudi pri nas predstavlja najvišja stopnja obravnave specialnopedagoško obravnavo (Kavkler, 2011a). 31

49 Učitelj je tudi pri učencu s primanjkljaji pri učenju matematike ključna oseba, saj mora za te učence izvajati več prilagoditev. Pri izbiri in načrtovanju le-teh mu pomaga izvajalec dodatne strokovne pomoči. Učencu s primanjkljaji pri učenju matematike pripadajo prilagoditve v procesu poučevanja matematike in pri predmetih, pri katerih ima težave zaradi primanjkljajev pri učenju matematike. Prilagoditve so opredeljene v individualiziranem programu učenca. Mellard idr. (2010) in Magajna idr. (2008b) navajajo, da lahko intenzivnosti obravnave po posameznih stopnjah večstopenjskega modela prilagajamo z naslednjimi dimenzijami: - Čas obravnave, ki vključuje količino časa (namenjen posameznemu učencu za obravnavo), pogostost obravnave (število ur pomoči v enem tednu) in dolžine obravnave (število minut ali ur pomoči v enem tednu). - S prilagajanjem velikosti skupin lahko povečamo učinkovitost obravnave (manjše skupine: 2-5, 6-10 učencev), saj lahko učitelj manjšemu številu učencev posveti več časa). Meta analiza virov (Swanson in Sachese-Lee, 2000, v Mellard idr., 2010, Kavkler, 2011a) je pokazala, da majhnost skupine pozitivno učinkuje na uspešnost učencev z učnimi težavami. Pri tem je prav tako pomembna kakovost obravnave. Izkazalo se je, da učenci na 2. stopnji in 3. stopnji pridobijo veliko, če so obravnavani v manjši skupini, učinek pri učencih višje stopnje pa je zaradi specifičnih posebnih potreb večji pri individualni obravnavi. - Podajanje takojšnje povratne informacije učencu pomembno vpliva na njegovo učinkovitost in je bolj omogočeno v manjših skupinah učencev. Prav tako imajo pomemben vpliv na vse učence učiteljeva pozornost, verbalne opore ter pozitivna povratna informacija. - Omogočanje potrebnih vaj za usvajanje snovi pomeni, da učitelj prilagaja intenzivnost obravnave, tempo poučevanja in količino vaj glede na potrebe učencev. - Intenzivnejše stopnje pomoči učencu z učnimi težavami omogočajo dodaten čas in možnosti za vaje, učitelju pa dodaten čas za spremljanje napredka učenca. - Prehajanje med vsebinami in razredi je povezano z razporeditvijo ur iz urnika (npr. fleksibilni predmetnik, blok ure), s prilagajanjem katerega lahko učitelj prihrani čas s povezovanjem snovi s predhodno snovjo in pridobi čas za pridobivanje in utrjevanje snovi. - Specifični in usmerjeni cilji so cilji, ki jih učitelj uporabi, da bi učencem olajšal doseganje splošnih in širših ciljev v procesu poučevanja. 32

50 - Strokovni delavec mora biti usposobljen za nudenje učinkovite pomoči učencu z učnimi težavami, saj njegovo znanje in spretnosti pomembno vplivajo na dosežke učencev. 2.4 RAZISKAVE, KI PODPIRAJO ZGODNJO MATEMATIČNO OBRAVNAVO National Mathematics Advisory Panel (NMAP, 2008, v Pedrotty Bryant idr., 2011) poudarja pomembnost zgodnje matematične obravnave, ki vključujejo učinkovite načine poučevanja. Bilo je narejenih nekaj študij o vplivih zgodnje matematične obravnave na matematične dosežke pri rizičnih učencih. Bryant, Bryant, Gersten, Scammacca in Chavez (2008, v Pedrotty Bryant in sod., 2011) so 18 tednov izvajali matematično obravnavo v majhnih skupinah 3- do 4-krat na teden po 15 minut. Intervencija je zajemala koncepte števil in operacije, kot so količina, seštevanje, vrstni red števil, osnovna aritmetična dejstva in mestne vrednosti. Dosežki učencev, ki so bili zajeti v obravnavo, so se pokazali kot izboljšano razumevanje konceptov. Bryant, Bryant, Gersten, Scammacca, Funk idr. (2008, v Pedrotty Bryant idr., 2011) so oblikovali tudi matematično obravnavo pri učencih prvega razreda, ki se je osredotočala na zgodnje matematične koncepte in operacije. Čas izvajanja obravnave je bil tokrat 23 tednov 20 minutnih treningov 4-krat na teden. Rezultati so pokazali pomemben učinek obravnave na drugem koraku tristopenjskega modela pomoči pri teh učencih. V drugi študiji so Fuchs, Compton, Fuchs, Paulsen, Bryant in Hamlett (2005) izvajali pomoč učencem prvega razreda, ki so kazali rizičnost za učne težave pri matematiki. Pomoč je bila izvajana v majhnih skupinah 16 tednov po 3-krat na teden. Številskim konceptom je bilo namenjeno 30 minut na srečanje, 10 minut pa je bilo namenjeno seštevanju in odštevanju. Pri tem so vključevali uporabo računalnika. Rezultati študije so pokazali, da so rizični učenci, vključeni v obravnavo, dosegli po programu statistično boljše rezultate pri številskih konceptih kot rizični učenci, ki so bili deležni standardnega pouka. Pri tekočnosti seštevanja in odštevanja pa so bili dosežki podobni. 33

51 Fuchs, Fuchs, Hamlett, Powell, Capizzi in Seethaler (2006c) so se osredotočili tudi na učinkovitost CAI (angl. computer-assisted instruction inštrukcije s pomočjo računalnika) pri razvoju tekočnosti seštevanja in odštevanja. Učenci, vključeni v intervencijo, so reševali račune na računalnikih 50 srečanj po 10 minut 18 tednov. Dejavnosti so zajemale štetje, poznavanje števil in odnosov med njimi, razdruževanje in grupiranje števil po 10. Rezultati študije so pokazali pomemben učinek na spretnost seštevanja, nobenega učinka pa na tekočnost odštevanja ali na prehod k reševanju besedilnih nalog. Avtorji so zato predlagali uporabo inštrukcijskih oblik, ki vključujejo slikovne predstavitve, zahtevajo od učencev utrjevanje številskih kombinacij s svinčnikom in papirjem ter karticami s številskimi izrazi in rezultati, da se vzpostavi prenos od računalnika k papirju in svinčniku. D. Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield in Gersten (2011) so raziskovali učinek zgodnje matematične obravnave na drugem koraku tristopenjskega modela pomoči učencem 1. razreda z učnimi težavami pri matematiki. Namen obravnave je bil pri učencih izboljšati njihovo konceptualno, proceduralno in problemsko matematično znanje. Obravnava je vključevala aktivnosti štetja, poznavanje števil in odnosov med njimi, razdeljevanje in grupiranje števil na desetice in enice, aktivnosti za razvoj konceptualnega razumevanja seštevanja in odštevanja ter delo z osnovnimi dejstvi (del-del-celota, družine števil in povezana dejstva). Na podlagi testiranja po koncu izvajanja obravnave na drugem koraku tristopenjskega modela pomoči so raziskovalci ugotovili, da na koncu prvega razreda pri 45 % obravnavanih učencev ni bilo več tveganja za težave pri matematiki, pri kontrolni skupini učencev, ki niso bili deležni programa pomoči pa je bil odstotek učencev, pri katerih več ni bilo tveganja za učne težave pri matematiki 22 %. Poudarili so tudi, da je potrebno v naslednjem šolskem letu pri učencih, ki so dosegli izboljšanje, določiti, ali naj bodo še naprej vključeni v obravnavo, saj se zahtevnost matematičnega kurikula zvišuje. Poleg tega so navedli, da je potrebno spremljati napredovanje ostalih 55 % učencev, pri katerih še vedno obstaja tveganje za učne težave pri matematiki v naslednjem šolskem letu. 34

52 2.5 SODELOVALNO UČENJE IN VRSTNIŠKA POMOČ DuBois in Karcher (2005) sta vrstniško pomoč opredelila kot pomoč vrstnika vrstniku na različnih področjih. Največkrat za tako obliko pomoči uporabljamo izraz vrstniško tutorstvo. Vrstniško tutorstvo predstavlja različne oblike pomoči vrstnikov v šolskem obdobju. Sem spadajo različne oblike sodelovalnega učenja v paru (medvrstniško tutorstvo različno stara učenca, vrstniško tutorstvo učenca enake starosti), kot vrstniško pomoč pa smatramo oblike učenja v skupini učencev enake starosti (Jereb, 2011). Pri vrstniškem tutorstvu imamo sodelovanje učenca z visokimi šolskimi ocenami in učenca z nizkimi šolskimi ocenami ali sodelovanje med učencema s primerljivimi šolskimi dosežki. Rohrbech, Ginsburg-Block, Fantuzzo in Miller (2003) navajajo, da je vrstniško tutorstvo poučevalna strategija, ki je sistematična in vodena s strani vrstnika. Z vrstniškim tutorstvom, ki je učinkovita poučevalna strategija v razredih, pri učencih z različnimi učnimi sposobnosti spodbujamo doseganje učnih ciljev ter izboljšanje odnosov med učenci. Vrstniška pomoč sodi v obliko sodelovalnega učenja, ki je učinkovita oblika pomoči učencem z učnimi težavami. Slavin (1991) opredeljuje sodelovalno učenje kot obliko dela, ki se izvaja v manjših skupinah učencev, le-te pa so heterogene. S sodelovanjem v skupinah učenci vplivajo na izboljšanje lastnega znanja in znanja vseh učencev v skupini. Cilj vrstniškega tutorstva je usposobljenost učencev z učnimi težavami za samostojno učenje, spremljanje svojega učnega napredka ter graditev pozitivne samopodobe. Miller in Miller (1995) navajata, da predstavlja vrstniško tutorstvo ekonomično in učno učinkovito obliko pomoči učencem z učnimi težavami. V tem odnosu pridobita tako tutor kot tudi učenec, deležen tutorstva, saj ju ta oblika dela motivira k socialnemu in izobraževalnemu napredku (prav tam). Rohrbeck idr. (2003) poudarjajo, da je učinkovitost vrstniškega tutorstva večja oziroma se kaže v večjih dosežkih pri učencih v prvih treh razredih, pri učencih iz družin z nižjim socialno-ekonomskim statusom, učencih, ki izhajajo iz manjšin, iz urbanega okolja, pri izvajanju preventivnih programov za učence in pri učencih, ki nadzirajo tutorska srečanja. 35

53 C. Peklaj (2001) navaja, da so razlage vrstnikov pogosto boljše od razlage učiteljev. Podane so namreč na nivoju, ki je bližje učenčevemu nivoju razvoja in načinu razmišljanja in zato lažje razumljiva. Webb (1989, v Bennet, 1995) navaja tudi, da je že razlaganje samo po sebi v pozitivni povezavi z napredkom. Razlagalec mora namreč pri razlaganju razjasniti, organizirati in reorganizirati svoje znanje. V kolikor sprejemnik njegovih pojasnitev ne razume, mora razlagalec svoje znanje še reformulirati in priskrbeti nove primere, prezentacije in analogije ter najti nov način izražanja. Bandura (1988) je postavil teorijo učenja z opazovanjem oziroma modelnega učenja, v kateri povezuje zunanje podkrepitve in notranje miselne procese, ko se učimo z opazovanjem drugih ljudi v socialni situaciji. Učenje z opazovanjem oziroma učenje po modelu omogoča, da se naučimo novih vzorcev vedenja, spodbudimo uporabo že naučenega vedenja in inhibiramo ali dezinhibiramo že naučeno vedenje. Pomembno vlogo v tej socialni situaciji ima model oseba, ki izvaja neko aktivnost, posameznik pa ji je izpostavljen. Model mora pritegniti pozornost učenca, saj se učenec brez posvetitve pozornosti modelu ne more učiti z opazovanjem. Pozornost pritegnejo modeli z visokim statusom, ki imajo znanje in so kompetentni na svojem področju. Pomembni sta tudi jasnost dražljaja (dražljaj lahko ločimo od drugih dražljajev) in kompleksnost dražljaja (zelo kompleksen dražljaj, ki ga učenec opazuje, lahko presega učenčeve zmožnosti zaznavanja, zato ga je potrebno večkrat ponoviti, da ga bo le-ta zaznal v celoti). Za zapomnitev določene dejavnosti mora poleg pozornosti na model istočasno potekati tudi vkodiranje dejavnosti v učenčev spomin. Učenec mora dejavnost na nek način reprezentirati v svojem spominu (dejavnost si predstavlja v slikah, jo povezuje z določenimi besedami, jo vključi v neko shemo). Za zapomnitev in usvojitev neke dejavnosti, veščine (prenos iz kratkoročnega v dolgoročni spomin) je potrebno aktivnost ponoviti. Učenec lahko posamezne korake, ki jih je izvajal model, izvede ali pa jih le ponavlja v mislih. Izvajanje neke aktivnosti je najbolj točno, če jo posameznik najprej ponovi v mislih. Učitelj v fazi reprodukcije (obnovitve) ugotovi, ali so učenci usvojili vse korake oziroma dele neke spretnosti in jim da povratno informacijo o pravilno njihovega izvajanja. Povratna informacija ima zelo veliko vlogo pri usvajanju veščin. Učencem jo moramo nuditi pri prvem izvajanju aktivnosti, še preden se izvajanje utrdi in avtomatizira (Peklaj, 1998). 36

54 2.5.1 Pomen sodelovalnega učenja in vrstniške pomoči za učno uspešnost učencev z učnimi težavami Slavin (1991) opredeljuje sodelovalno učenje kot dobro priložnost aktivnega vključevanja učencev z različnimi učnimi sposobnostmi v delo, kjer prispevajo k doseganju lastnih in skupinskih ciljev po svojih močeh. Sodelovalno učenje smatra kot primerno metodo, s pomočjo katere uspešno vključujemo socialno in učno prikrajšane učence v skupino ali razred, saj le-to izboljšuje socialne odnose. McMaster, Fuchs in Fuchs (2002) navajajo, da socialno učenje povečuje motiviranost za učenje, še posebej pri učencih z učnimi težavami, saj ti pri učenju redkeje doživljajo pozitivne izkušnje. Ker učenec v taki obliki dela pridobi potrebne spretnosti za učenje, postane samostojnejši pri učenju. Mitchell (2008) poudarja prednosti uporabe sodelovalnega učenja pri učencih z učnimi težavami, ki se kažejo v spodbujanju socialnih odnosov med učenci, sprejemanju drugačnosti in razlik. Obenem ima pozitiven vpliv na dosežke učencev, ti namreč ob tej obliki učenja napredujejo hitreje kot učenci v klasičnih oblikah poučevanja celotnega razreda. Učinek skupinskega učenja je višji, v kolikor je skupinsko delo sistematično načrtovano. Baker, Gersten in Lee (2002) so naredili sintezo učinkov obravnave na izboljšanje matematičnih dosežkov učencev s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki, z nižjimi dosežki pri učenju matematike in učencev, ki so rizičnimi za neuspeh pri matematiki. Rezultati so pokazali, da so bile različne obravnave povezane z izboljšanjem nivoja matematičnih dosežkov, posebej še: povratna informacija o učenčevi uspešnosti učitelju in učencu (učinek je bil 0,57), vrstniška pomoč (0,66), povratna informacija o učenčevi uspešnosti staršem (0,42), učenje matematičnih konceptov in postopkov (0,58). 37

55 2.6 MATEMATIKA IN MATEMATIČNO ZNANJE Matematika je področje, ki je vpleteno v mnoge ravni našega vsakdanjega življenja. Je tudi eden izmed temeljnih predmetov v osnovni šoli, ki izvršuje številne izobraževalno-infomativne, funkcionalno-formativne in vzgojne naloge. V pouk matematike je vpleteno spodbujanje različnih oblik mišljenja, ustvarjalnosti, formalnega znanja in spretnosti. Učenci pri matematiki razvijajo matematično mišljenje, ustvarjalnost, formalna znanja in spretnosti ter spoznavajo praktično uporabnost učenja matematike (Žakelj, Prinčič Röhler, Perat, Lipovec, Vršič, Repovž in Senekovič, 2011). Matematično znanje je zelo kompleksno, njena področja pa se med seboj prepletajo. M. Kavkler (2007) navaja naslednje elemente matematičnega znanja: deklarativno, konceptualno, proceduralno in problemsko matematično znanje. V nalogi bomo predstavili prve tri elemente, ki se nanašajo na empirični del naloge. M. Cotič in A. Žakelj (2004) navajata, da so tipi znanja med seboj povezani in da nikoli ne uporabljamo na primer le konceptualnega ali proceduralnega znanja Matematično deklarativno znanje Deklarativno znanje predstavlja posameznikovo zmožnost priklica informacij iz dolgoročnega spomina. Predstavlja znanje podatkov, povezano pa je z dejstvi, koncepti, principi in teorijami. Učencu sposobnost zapomnitve matematičnih informacij in pa hiter priklic dejstev pomagata k napredovanju v matematičnih znanjih in sposobnostih. Aritmetična dejstva, ki jih ima posameznik skladiščena v spominskih mrežah, imajo različno moč, od tega pa je odvisna hitrost priklica posameznega dejstva. Geary idr. (2007) navajajo, da je za učence z učnimi težavami pri matematiki značilno, da imajo veliko težav pri oblikovanju predstav aritmetični dejstev v dolgotrajnem spominu ter s priklicem le-teh iz dolgotrajnega spomina. A. Žakelj (2003) navaja, da se moramo nepovezana dejstva in samovoljne informacije, ki jih ne moremo izpeljati z ostalim znanjem, naučiti z memoriranjem, in sicer v obliki, kot so predstavljena in z večjo ali manjšo stopnjo razumevanja. 38

56 Otroci na začetku usvajajo aritmetična dejstva z ocenjevanjem majhnih količin (subitizacija), temu sledi štetje in na koncu priklic aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina (Geary, 2003, Bryant idr., 2008b). Poleg razvoja pojma števila je štetje osnova za pridobivanje aritmetičnih sposobnosti in spretnosti. Otrok pri štetju prehaja od serijskega štetja, do dvosmernega štetja ter fleksibilnega štetja naprej in nazaj (Kavkler, 2007; Kalan, 2015). Na podlagi štetja se oblikuje reprezentacija osnovnih aritmetičnih dejstev (Siegler in Shrager, 1984, v Geary in Hoard, 2002). Napake pri štetju se rezultirajo z napakami pri priklicu aritmetičnih dejstev (Geary, 1990). Kavklerjeva zato poudarja učenje različnih vrst štetja pri učencih z učnimi težavami pri matematiki. Dobro obvladovanje štetja je predpogoj za avtomatizacijo aritmetičnih dejstev in reševanje kompleksnejših aritmetičnih nalog (Bryant idr., 2008a; Fuchs idr., 2009). Za učence z učnimi težavami pri aritmetiki so značilne tudi težave pri štetju. Ti učenci uporabljajo razvojno manj zrele strategije štetja kot njihovi vrstniki, pri tem pa naredijo več napak. Ko učenec postaja vse hitrejši in učinkovitejši pri združevanju računa in odgovora pri štetju, se preko delovnega spomina utrdi asociacija v dolgotrajnem spominu. Učenec lahko opusti štetje in uporablja priklic dejstev, ki je najbolj razvita strategija uporabe aritmetičnih dejstev (Geary, Brown in Samaranayake, 1991, v Fuchs, Fuchs, Compton, Powell, Seethaler idr., 2006b; Lemaire in Siegler, 1995). Dejstva seštevanja in poštevanke so shranjena v mehaničnem verbalnem spominu (Dehaene, Piazza, Pinel in Cohen, 2003, v Kalan, 2015) in ne zahtevajo veliko kvantitativne manipulacije. V verbalnem spominu je shranjenih tudi nekaj računov odštevanja, vendar pa se večine računov odštevanja ne naučimo do avtomatizma, zato pri reševanju le-teh moramo izvajati kvantitativno manipulacijo (Dehaene idr., 2003, v Kalan, 2015). Na podlagi deklarativnega ariemtičnega znanja (zmožnost shranjevanja aritmetičnih dejstev in hiter priklic aritmetičnih dejstev) učenec gradi proceduralno in konceptualno znanje, zato je leto nujno potrebno Matematično konceptualno znanje A. Žakelj (2003) konceptualno znanje opredeljuje kot razumevanje dejstev in pojmov, ki zajema oblikovanje in strukturiranje pojmov ter poznavanje relevantnih dejstev. Konceptualno znanje zajema: prepoznavanje (npr. kvadrata v ravnini) in razumevanje pojmov, predstave (npr. 39

57 plašč kvadra sestavljajo štirje pravokotniki), prepoznavanje terminov in simbolov (a, b, stranice), izreke in definicije (Pitagorov izrek ) ter razumevanje povezav (npr. množenje in deljenje) (Cotič in Žakelj, 2004). Pri konstruiranju konceptualnega znanja učencu lahko pomaga učitelj, ki pravilno presodi, kdaj naj uvede nove pojme in koncepte v učni proces, pozna učenčev način konstruiranja lastnega znanja in se zaveda, da na vrstni red učenja in poučevanja pomembno vpliva struktura že obstoječega znanja (Cotič in Žakelj, 2004). Tudi M. Kavkler (2007) poudarja, da je uspešnost učenja pri matematiki močno odvisna od predznanja, zato morajo biti učiteljeve razlage in navodila razumljiva vsem otrokom, pri tem pa mora učitelj upoštevati tudi razvitost predpogojev za učenje nove snovi (za učenje aritmetičnih dejstev seštevanja mora najprej obvladati pojem seštevanja, povezati znak + s seštevanjem itd.). Podobno navajata Ohlsson in Rees (1991, v Geary, 2004), ki pravita, da ob slabem razumevanju pojmov, ki jih zajema nek obravnavan postopek, prihaja do razvojnih zaostankov pri usvajanju zahtevnejših postopkov, obenem pa je zmanjšana sposobnost odkrivanja napak. M. Cotič in A. Žakelj (2004) navajata vzroke, ki lahko povzročajo težave pri usvajanju konceptnih predstav: - verbalizem (učenje pojmov enačimo z učenjem besed ali z obnovo definicij), - prezahtevnost posameznih pojmov glede na razvojno stopnjo (otrok na razvojni stopnji konkretnih operacij ne more v popolnosti obvladovati pojmov, ki so vezani na simbolno raven), - premajhna povezanost pojmov med seboj in zanemarjanje obravnave mrežnih povezav, odnosov med njimi (pri poučevanju moramo upoštevati dejstvo, da so pojmi v kognitivni strukturi razvrščeni v pojmovne mreže). Razvoj matematičnega deklarativnega in konceptualnega znanja pri oblikovanju pojma števila Različni avtorji (Starkey in Cooper, 1980; Strauss in Curtis, 1981; Berger, Tzur in Posner, 2006) navajajo, da dojenčki v prvih mesecih življenja zaznajo konstantnost objektov in zaznavajo razlike v njihovih količinah. Zmožnost hitrega uvida v število elementov pri otroku v predšolskem obdobju imenujemo subitizacija (angl. subitizing). Subitizacija predstavlja prepoznavanje števila elementov manjhnih, prostorsko urejenih skupin. Je del prirojenih številskih predstav in predstavlja osnovno sposobnost za učenje štetja (Sousa, 2008a, Bobis, 40

58 2008) ter temeljno spretnost v razvoju razumevanja števil in usvajanja osnovnih ariemtičnih dejstev (Baroody, 1987, v Clements, 1999). Sousa (2008a) navaja, da lahko pri otrocih s slabo razvito sposobnostjo uvida predvidevamo učne težave pri matematiki, zato je pomembno, da pri učencih pri pouku okrepimo sposobnosti uvida količin. J. Bobis (2008) predstavlja razdeljevanje celote ali določenega števila elementov na manjše dele ter prepoznavanje dobljenih majših količin brez štetja dobro osnovo za razvijanje številskih predstav ter učenje številskih kombinacij vseh štirih osnovnih operacij z razumevanjem in ne le z mehanskih ponavljanjem. Clements (1999) opisuje dva tipa subitizacije: perceptualnega in konceptualnega. Perceptualni predstavlja prepoznavanje števila brez uporabe drugih matematičnih procesov in je prisoten tudi pri majhnih otrocih. Med drugim otroku pomaga pri ločevanju zbirke objektov v posamezne enote in povezovanju vsake enote s samo enim poimenovanjem števila, s čimer se začne proces štetja. Konceptualen uvid pa posamezniku omogoča prepoznati količino s prepoznavo podobnega vzorca, kot je npr. razporeditev pik na kocki ali na domini. Drugi vzorci so lahko kinestetični, kot je npr. uporaba vzorca prstov pri reševanju nalog iz seštevanja ali ritmični, kjer za vsak preštevan element opravimo en gib. Clements (1999) ter Steffe in Cobb (1988, v Sousa, 2008a) poudarjajo, da ustvarjanje in uporaba konceptualnega uvida vzorcev pomaga otroku razviti razumevanje abstraktnih števil in aritmetičnih strategij, ki jih bo potreboval za uspešno štetje. Otroci so zelo zgodaj izpostavljeni pomenu števil v vsakdanjem življenjskih dejavnostih, zato je pomembno, da formalno poučevanje matematike nadaljuje z razvojem kvantitete, povezav med in znotraj vseh štirih osnovnih operacij, kot tudi s prepoznavanjem in ustvarjanjem različnih reprezentacij števil, saj je to temelj nadaljnjega razvoja občutka za števila pri otroku. Hkrati je to temeljna spretnost v otrokovem razvoju razumevanja števil in usvajanju osnovnih aritmetičnih dejstev (Baroody, 1987, v Clements, 1999). Poleg hitrega uvida količin moramo pri otroku razvijati tudi predštevne dejavnosti in poznavanje imen za števila. Geary (1994) navaja, da se tri- do štiriletni otroci poznajo imena števil od 1 do 10 v pravilnem zaporedju, štiri- do petletni otroci pa si zapomnijo in pravilno uporabljajo pri štetju števila do 20 in celo do 30. Poleg tega ob rokovanju s predmeti rešujejo tudi preproste aritmetične naloge (Aubrey, 1995). M. Kavkler, S. Tancig, L. Magajna (2004) in V. Manfreda Kolar (2006) poudarjajo, da moramo otroku v prvih letih šolanja omogočiti razvoj 41

59 različnih vrst štetja in razumevanje principov štetja (povratno enolično prirejanje, urejenost naravnih števil, kardinalnost, abstrakcije in nepomembnost vrstnega reda štetja), da bo lahko uspešno usvajal znanja iz aritmetike. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki imajo težave pri priklicu temeljnih aritmetičnih dejstev, ki je pomembna spretnost deklarativnega znanja in ga moramo razvijati s sistematičnim postopnim urjenjem preko učenja štetja, razdruževanja in ponavljanja številskih kombinacij (Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs, Hamlett idr., 2010). M. Kavkler (2007) poudarja, da veliko učencev z učnimi težavami pri matematiki med šolanjem ne usvoji abstraktnih matematičnih pojmov, zato pri računanju potrebujejo zunanjo oporo. Pojem števila je za otroka prva izkušnja z aritmetiko, ki je zanj na zelo abstraktnem nivoju. Mlajši otroci naštevajo imena števil brez prisotnosti dejanskih predmetov, pri tem pa ne razumejo njihovega pomena. Števila lahko naštevajo v pravilnem vrstnem redu, težave pa imajo pri pravilnem pripisovanju imen seriji predmetov. Ne dojemajo potrebe po vključevanju že naštetih predmetov v serijo. Pri verbalnem štetju mlajši otroci ne prepoznajo logične potrebe po ureditvi predmetov, zato preskakujejo ali podvajajo preštete predmete. Markovac (1990) predlaga naslednje korake pri formalnem oblikovanju pojma naravnega števila: 1. spoznavanje množic ob praktičnih dejavnostih in grafičnih prikazih; 2. spoznavanje podmnožic ob rokovanju s predmeti ob opisovanju dejavnosti; 3. prirejanje predmetov in grafično prirejanje ob opisovanju dejavnosti; 4. oblikovanje pojmov naravnih števil do 10 (spoznavanje povezav med naravnimi števili in množicami, niza naravnih števil, odnosov med števili, operacij z naravnimi števili in nekaterimi značilnostmi računskih operacij s postopnim prehajanjem od konkretnih, preko grafičnih do simbolnih reptezentacij); 5. oblikovanje pojmov naravnih števil do 20 in do 100 (formiranje pojmov poteka po pirbližno enakih korakih kot v obsegu do 10, uporabimo pa nekoliko drugačna ponazorila). 42

60 Otrok mora usvojiti načela štetja, ki so (Ferbar, 1990): štetje predstavlja povratno enolični prirejanje (s štetjem elementom množice povratno enolično priredimo znamenja za naravna števila, pri tem ne smemo izpustiti nobenega elementa in nobenega elementa ne dmemo šteti več kot enkrat), naravna števila so urejena (imena števil naštevami vedno v enakem zaporedju), s štetjem enako močnim množicam priredimo isto število (število, ki ga imenujemo s štetjem kot zadnje, opredeljuje lastnost množice) in število ni odvisno od vrstnega reda preštevane množice. Clemson in Clemson (1994) pojem število delita na dve funkciji. Prva funkcija so kardinalna ali glavna števila (števila 1, 2, 3 ), ki nam povedo moč množice, druga funkcija pa so ordinalna ali vrstna števila (prvi, drugi, tretji, ki govorijo o vrstnem redu dogodkov). Takšna delitev števil je že starejša, a še vedno zelo uporabna. Pomaga, da ločimo število»5«in»peti«, za kar obakrat uporabimo simbol»5«, enkrat nam ta pove moč množice, drugič pa nam poda opis vrste. Mnogo otrok ima tudi pri šestih in sedmih letih še težave pri usklajevanju številčnih in perceptivnih informacij (Aubrey, 1994, v Kavkler, 1997). M. Kavkler (1991) poudarja, da moramo otrokom za lažje dojemanje števil omogočiti dovolj časa, da spoznajo predmete, jih med sabo razvrščajo, primerjajo in predvsem, da z različnimi dejavnostmi ter vajami sami dojamejo pojem števila Matematično proceduralno znanje Proceduralno znanje predstavlja obvladovanje postopkov, pri katerih velja jasno zaporedje, ki nas vodi do odgovora (Ginsburg in Baroody, 1983). Postopek se izboljšuje z vajami in izkušnjami. Uporabljamo ga za reševanje matematičnih besednih in računskih nalog, z njimi pa smo v stiku v vsakodnevnem življenju (Miller in Hudson, 2007). Hiebert in Lefevre (1986, v Vouitsina, 2012) poudarjata, da pri proceduralnem oziroma postopkovnem znanju uporabljamo pravila, algoritme in postopke pri reševanju matematičnih nalog (npr. poznavanje korakov, kot si sledijo pri deljenju večmestnih števil) in uporabljamo formalni matematični jezik. 43

61 Matematično proceduralno znanje je sestavljeno iz simbolične reprezentacije (simboli za operacije s celimi števili: +, -, x, : ) in pravila za izpeljavo nalog (algoritmi) (Goldman in Pellegrino, 1987). Ko posameznik rešuje novo nalogo, poišče vire v dolgoročnem spominu in jih uskladi z novo situacijo. Ko nalogo reši, se rešitev kot postopek shrani v spominu. Ob srečanju s podobno nalogo je sposoben le-to rešiti hitreje, saj je zmožen priklica ustrezne serije korakov, ki so shranjeni v dolgoročnem spominu (Bootge, 2001). Fuchs idr. (2006b) poudarjajo, da na proceduralno znanje vplivajo zmožnost sledenja korakom (pozornost), delovni spomin, fonološko procesiranje in dolgoročni spomin. M. Cotič in A. Žakelj (2004) opredeljujeta proceduralno znanje kot znanje, pri katerem posameznik pozna in učinkovito izvaja algoritme in procedure. Delita ga na: rutinsko proceduralno znanje: pri katerem posameznik izvaja rutinske postopke, uporablja pravila in obrazce, standardne računske postopke, rešuje preproste naloge ; kompleksno proceduralno znanje: pri katerem posameznik uporablja kompleksne postopke (poznavanje, izbora in učinkovita izvedba procedur in algoritmov (postopkov, metod), uporaba pravil, zakonov, postopkov, sestavljene naloge z več podatki). M. Kavkler (2007) navaja, da že reševanje enostavnih aritmetičnih nalog zahteva vključitev mnogih korakov, pravil in dejstev. Razvoj strategij štetja Učenje zaporedja, kjer si sledijo imena števil v številski vrsti, je zelo pomembno za razvoj sposobnosti in spretnosti štetja. Štetju se posveča vse večja pozornost že pred vstopom otroka v šolo. Po definiciji je štetje proces, pri katerem se vsak predmet vključi samo enkrat. Z imenom števila je vsak označen predmet povezan enkrat in razvrščen v vedno enakem zaporedju (1, 2, 3 ). Štetje je podobno recitiranju pesmice, saj otroci v ritmu ponavljajo besede in se ob tem s prstom premikajo od predmeta do predmeta. (Kmetič, 1996). Gelman in Gallistel (1978) navajata, da štetje majhnih otrok vsebuje 5 načel: načelo enakosti (temelji na podlagi ujemanja 1:1 in zahteva odkljukavanje preštetih predmetov), načelo razvrstitve (kjer se števila v konstantnem zaporedju ponavljajo), linearno načelo (kjer število predmetov v razporedu predstavlja zadnji podatek), abstraktno načelo (dopušča štetje kakršnegakoli razporeda ali vrste predmetov) in načelo, kjer ni pomemben vrstni red. 44

62 Na začetku otroci preštevajo predmete»en, še en, še en«. Temu sledijo poskusi štetja enkrat v pravilnem, včasih v napačnem vrstnem redu. Kljub temu da otroku nekajkrat uspe prešteti predmete v pravilnem vrstnem redu, pa še ne pomeni, da otrok obvlada pojme, ki jih štetje zajema. Ne glede na razporeditev predmetov bi moral zaznati majhno količino predmetov (od ena do pet, šest). Za lažje razumevanje štetja moramo otroka voditi od njemu najlažjega do težjih primerov, za kar pa uporabljamo različne strategije (Markovac, 1990): - štetje predmetov s premikanjem le-teh (najlažji način štetja za učence), - štetje predmetov z dotikanjem, - štetje predmetov s kazanjem (brez premikanja in dotikanja), - štetje predmetov s pogledom (težji način, lahko se zgodi, da kateri predmet prešteje dvakrat ali katerega izpusti), - štetje predmetov v gibanju (vozila, ptice, ipd.), - štetje pojavov, ki sledijo drug drugemu (koraki, udarci, zvoki, ipd.), - štetje v mislih ali tako imenovano mentalno štetje brez ponazarjanja predmetov (tako štetje je najtežje, nanaša se na predstave prej zaznanih predmetov). Poleg teh strategij moramo pozornost posvetiti tudi štetju od določenega števila naprej (štej od števila 3 naprej), štetju od določenega števila nazaj (štej od števila 7 nazaj), štetju med dvema različnima številoma (štej od števila štiri do števila devet ali štej nazaj od števila osem do števila tri), štetju od danega števila po dve naprej ali po dve nazaj (Markovac, 1990). Pojem števila in štetje se pri večini otrok razvijeta, po mnenju strokovnjakov, od drugega do osmega leta. Uporabo in razumevanje pojma števil in štetja se mora otrok naučiti preko lastnih dejavnosti (Kavkler, 1997). Razlikujemo pet kvalitativno različnih razvojnih stopenj, ki jih mora preiti otrok pri učenju zaporedja imen števil (Fuson, 1988, v Kavkler, 1997): 1. stopnja: serijsko štetje (nizanje imen števil v nediferencirane enote), 2. stopnja: neprekinjen besedni seznam Otrok recitira imena števil. Pri tem vedno začne z ena. S štetjem je sposoben določiti, koliko elementov je v množici, združiti ali razdružiti dve količini in ugotoviti rezultat. Otrok na tej stopnji uporablja preštevanje vsega. 3. stopnja: prekinjena vrsta 45

63 Otrok je na tej razvojni stopnji sposoben šteti od prvega števila naprej in se pri štetju več ne vrača na začetek številske vrste. Pri združevanju dveh množic šteje od prvega števila naprej, medtem ko pri odštevanju prešteva od manjšega števila do večjega. Ta oblika štetja se imenuje strategija štetja naprej. 4. stopnja: številčna vrsta (na tej stopnji besede postanejo enote v numeričnem pomenu množice besed dobijo abstrakten pomen), 5. stopnja: dvosmerna vrsta (na tej stopnji otrok fleksibilno in z lahkoto uporablja štetje naprej in nazaj). Štetje predstavlja pomemben element računanja, zato učenci z učnimi težavami pri matematiki potrebujejo intenzivnejše učenje štetja z različnimi, posameznemu otroku primernimi strategijami. V primeru, da tega ne izvajamo, se učenci naučijo postopke mehanično in posledično naredijo veliko napak. Če poučujemo otroke s specifičnimi učnimi težavami pri aritmetiki, morajo učitelji organizirati veliko socialnih interakcij in predstavljanja strategij štetja, da ti otroci usvojijo fleksibilno rabo štetja in počasi preidejo na razvitejše strategije učenja štetja. Vaje za učenje štetja morajo biti otrokom zanimive, povezane z gibanjem in igrami (Kavkler, 2007). Strategije reševanja aritmetičnih nalog Frobisher (1994, v Hodnik Čadež, 2000) opiše matematično strategijo kot zaporedje matematičnih miselnih procesov. Kompleksnost zaporedja določa problemska situacija in reševalec. Pri pouku matematike moramo posvetiti večjo pozornost razvijanju matematičnih strategij, ki so sestavni del proceduralnega znanja, saj bomo učencem tako omogočili, da bodo pri reševanju matematičnih nalog uspešnejši. Razvoj aritmetičnih strategij pri posamezniku ne poteka od enostavnih h kompleksnim strategijam. Otroci v različnih starostnih obdobjih uporabljajo različne strategije in več strategij reševanja aritmetičnih problemov. Geary (1994) poudarja, da v razvoju aritmetičnih spretnosti prihaja do variacij v uporabi različnih strategij ter v hitrosti in pogostosti pojavljanja posamezne strategije, s katero otrok reši aritmetični problem. 46

64 M. Kavkler (2007) strategije reševanja aritmetičnih nalog deli na: materialne (ki jih lahko zasledimo pri mlajših otrocih, pri mladostnikih in nekaterih odraslih osebah, ki imajo nižje intelektualne sposobnosti ali pri osebah, ki imajo težke specifične učne težave pri učenju matematike), verbalne (vključujejo neko verbalno oporo, kot je štetje in ponavljanje večkratnikov) in miselno računanje (zahteva priklic aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega spomina). V nadaljevanju bomo predstavili razvoj nekaterih strategij reševanja nalog seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Strategije enostavnega seštevanja Carpenter in Moser (1983, v Geary, 1994) navajata, da otroci pri reševanju enostavnih nalog seštevanja (npr = ) uporabljajo 5 skupin strategij: uporaba opor (preštevanje predmetov), štetje s prsti, verbalno štetje brez uporabe opore (mentalno štetje), izpeljan priklic in priklic aritmetičnih dejstev. Te strategije se pojavljajo najpogosteje, niso pa edine, ki jih otroci uporabljajo. Strategije z uporabo predmetov ali prstov so značilne za otroke pri starosti okrog treh let. Otrok pri reševanju problema otrok najprej našteje tri predmete, nato dva predmeta in prešteje še vse skupaj (preštevanje predmetov). Šteti začne pri 1 in s prstom pokaže vsak predmet. Otrok z oporo in s kazanjem s prstom na predmete lažje sledi štetju, saj mu niz elementov predstavlja težko razumljivo količino. Tako ugotovi, da se mora ustaviti, ko z besedo za število poimenuje zadnji predmet. Štiri do petletni otroci večinoma kombinirajo štetje na prste in verbalno štetje, v kolikor odgovora ne morejo priklicati iz spomina. Strategijo preštevanja prstov uporabljajo otroci pri enostavnih aritmetičnih nalogah, npr. seštevanje do 10 (štejejo s pomočjo nastavljanja določenega števila prstov). Najprej ob štetju nastavijo prvo število na eni roki, nato nastavijo vrednost drugega števila s prsti na drugi roki, potem preštejejo prste obeh rok in dobijo rezultat. Pri seštevanju z vsoto, večjo od 10, otroci najprej nastavijo prvo število prstov, pokažejo drugo število prstov in začnejo k prvemu številu prištevati drugo število s pomočjo nastavljanja prstov. To strategijo otroci uporabljajo v obdobju pred vstopom v šolo in na začetku izobraževanja. 47

65 Prehod od štetja na prste na strategije verbalnega štetja je odvisen od sposobnosti otroka, da v delovnem spominu ohrani število, ki ga je že preštel in tisto, ki ga mora še prišteti (Fuson, 1982, v Kavkler, 1997). Pri verbalnem štetju ločimo tri oblike: štetje vsega, štetje od prvega števila naprej in štetje od večjega števila naprej (Geary, 1994). Geary (1990, v Kavkler, 1997) poudarja, da je verbalna strategija učinkovitejša, kadar otrok uporablja štetje od večjega števila naprej kot v primeru, ko začne šteti od manjšega števila, saj je sled že preštetega težje obdržati (Geary, 1990, prav tam). Verbalni postopek preštevanja vsega je podoben postopku preštevanja predmetov, le da pri tem otrok predmetov nima pred seboj. Otrok oba seštevanca prešteje tako, da začne šteti od 1. Štetje od prvega seštevanca naprej zahteva od otroka upoštevanje prve količine in nato nadaljevanje z navajanjem števil iz drugega seštevanca, npr = 5, 6, 7. Pri štetju od večjega števila naprej pa otrok šteje po ena od večjega števila naprej, npr = 4, 5. Zadnja sva postopka sta že bolj napredna, saj otrok uvidi, da se postopek skrajša in mu ni več potrebno šteti od ena. Otrok ob uporabi štetja od večjega števila naprej ugotovi, razume, da vrstni red seštevancev ne vpliva na rezultat, pri tem pa mu ni potrebno razumeti zakona komutativnosti. Pri otrocih, ki uporabljajo strategije preštevanja prstov in verbalnega štetja, pogosto prihaja do sistematičnih napak. Otroci po navadi preštejejo za 1 preveč ali premalo (pogosteje). Vzrok je v izgubi sledi štetja ali pa v proceduralni napaki (šteti začne pri napačnem številu). Strategija izpeljan priklic zajema priklic aritmetičnih dejstev, ki smo si jih zapomnili in jih uporabljamo pri kompleksnejših nalogah seštevanja. Otroci si bolje zapomnijo aritmetična dejstva, ki se pojavljajo v parih (npr =, = itd.), kot pa druge kombinacije (Ashcraft, 1992, v Kakler 1997). Otrok bo na podlagi zapomnitve rezultatov vsote parov števil reševal račune, kot npr.: bo reševal s priklicem vsote para števil iz dolgotrajnega spomina = in dodal 1. Lahko pa ga bo reševal po metodi prehoda čez desetico, ki je osnovana na razumevanju sistema prve desetice (6 + 7 = ); pri tem lahko uporabi štetje naprej: = 11, 12, 13 ali zadnji korak s priklicem aritmetičnega dejstva = 13 (Geary, 1994). M. Kavkler (1997) poudarja, da veliko otrok uporablja svojo lastno metodo izpeljanega priklica. Otroci za reševanje danega aritmetičnega problema raje kombinirajo različne vrste postopkov (štetje naprej od prvega seštevanca ), kot da bi priklicali dejstva. V kolikor učitelji otroke spodbujajo k uporabi različnih strategij, ki jih hkrati opisujejo in primerjajo med seboj, le-ti razvijejo sposobnost izbiranja različnih strategij. 48

66 Priklic aritmetičnega dejstva je zadnji izmed procesov, ki jih otroci uporabljajo za reševanje preprostih nalog seštevanja. Na vprašanje, kako so prišli do rezultata povedo, da»so pač vedeli«ali da»so se spomnili«. Odgovor so si zapomnili preko večkratnega izvajanja strategij štetja in izpeljanega priklica. Nekatera lažja aritmetična dejstva, npr =, lahko prikličejo že predšolski otroci, najtežje in najpozneje pa prikličemo aritmetična dejstva, ko sta seštevanca večji števili, npr =. Na zapomnitev in priklic aritmetičnih dejstev seštevanja vplivajo pogostost reševanja določenega problema, zahtevnost štetja, ki ga uporabimo za reševanje problema (lažje je štetje, hitreje si zapomnimo dejstvo) in prirojeno razumevanje različnih kvantitet. Lažje namreč diskriminiramo manjša števila (1 od 2, kot 8 od 9), pri problemih z večjimi števili se pojavlja več napak, postopek pa traja dalj časa (Geary, 1994). Napake v priklicu aritmetičnih dejstev razdelimo v štiri skupine: - ugibanje (značilno za mlajše otroke, ko ne vedo, kako sešteti dve števili, zato ju prepišejo, npr = 41 ali pa je rezultat eno od obeh števil); - približen rezultat (za 1 ali 2 večji ali manjši odgovor od pravilnega rezultata, saj si otrok zaradi stalnih napak pri štetju zapomni napačen rezultat); - zamenjava operacij (otrok prikliče pravilno aritmetično dejstvo, ki pa velja za drugo računsko operacijo, npr = rešitev 12), - napake reševanja (otrok prikliče dejstvo za podoben problem: za problem = prikliče dejstvo 12 (Geary, 1994). Te napake so povezane z reprezentacijami dejstev v dolgotrajnem spominu (prav tam). Strategije seštevanja dvomestnih števil Otroci pri reševanju kompleksnih problemov uporabljajo znanje in spretnosti, ki so ga pridobili pri reševanju enostavnih problemov seštevanja. Tako uporabljajo strategije štetja, razdruževanje in postopek pisnega računanja v stolpcih. Strategije štetja zajemajo štetje naprej od večjega števila ( = 36, 37, 38, 39). Pri miselnem seštevanju dvo- ali več mestnih števil mora otrok uporabiti strategijo pregrupiranja, razdruževanja, ta pa je pogojena s poznavanje desetiškega številčnega sistema. Pri tem desetice in enice sešteje posebej ( =, = 70, = 9; = 79) (Fuson in Kwon, 1992, v Kavkler, 1997). 49

67 Računanje s prehodom čez desetico predstavlja najtežji postopek kompleksnega seštevanja (36+58= ). Najprej je potrebno na pamet sešteti enice (6 + 8) in si zapomniti, koliko desetic je potrebno prenesti v naslednjo kolono. Sledi prenos desetic naprej in seštevanje vseh desetic. Pri pisnem računanju pa se pogosto zgodi, da pozabimo na prenos desetic. Poleg tega moramo razumeti tudi, da število 1, ki ga prenašamo iz stolpca enic v stolpec desetic pravzaprav prestavlja 10. Napake pri računanju s prehodom so pogostejše, v kolikor tega ne razumemo (Geary, 1994). Miselno seštevanje dvo- in večmestnih števil je zahtevnejše kot pisno računanje, saj mora otrok najprej računati z večjimi desetiškimi enotami, nato pa sledi računanje z enicami. Števila, s katerimi računa, mora ohraniti v spominu. Otrok pri miselnem računanju najprej pregrupira števila v desetiške številske vrednosti, kar pa je lahko zanj veliko težje kot pri pisnem računanju, kjer so števila že v kolonah po desetiških enotah. Ustno računanje prav tako zahteva računanje od leve proti desni, medtem ko pisno računamo od desne proti levi. Strategije enostavnega odštevanja Podobna načela, kot veljajo za strategije seštevanja, veljajo tudi za strategije odštevanja. Na začetku si otrok pomaga z uporabo predmetov ali prstov, nato preide na strategije verbalnega štetja in priklic aritmetičnih dejstev. Otroci se pri odštevanju večkrat uporabljajo pripomočke in prste kot pa verbalno štetje. Nadalje bolj zaupajo razdruževanju, nazadnje pa neposrednemu priklicu dejstev iz dolgotrajnega spomina (Carpenter in Moser, 1984, v Geary, 1994). Enostavne aritmetične naloge odštevanja s pomočjo manipulativnih dejavnosti s predmeti uspešno rešuje večina otrok starih 4 in 5 let. Otrok uporabni strategijo ločevanja, pri kateri vrednost zmanjševanca prikaže s predmeti, odvzame ustrezno število predmetov glede na odštevanec, število predmetov, ki so ostali, pa mu predstavlja odgovor. Druga strategija je strategija dodajanja do vrednosti zmanjševanca, pri kateri vrednost odštevanca učenec nastavi s predmeti, in doda toliko predmetov, da dobi vrednost zmanjševanca. Tretja strategija je strategija vzporejanja, pri kateri učenec nastavi vrednost zmanjševanca in odštevanca s predmeti v dveh vrstah z vzporejanjem 1:1, rešitev naloge pa so predmeti brez para (Geary, 1994). Pet- do šest- letni otroci rešujejo naloge odštevanja s pomočjo štetja. Pri tem si, prav tako kot pri seštevanju, pomagajo s štetjem prstov. Učenec dvigne toliko prstov, kot ustreza vrednosti 50

68 zmanjševanca, spusti toliko prstov, kot ustreza odštevancu, preostanek dvignjenih prstov pa je odgovor. Učenec z rabo prstov ohranja sled računanja, strategijo pa uporabi za računanje z večjimi števili (npr. 9-5), ne pa toliko za računanje z manjšimi števili (npr. 3-2). Strategija zahteva manj časa, kot delo s predmeti. Pri strategiji verbalnega štetja otrok šteje glasno ali v mislih. Če štetju ne zmore slediti, si pomaga z gibanjem ali predstavljanjem prstov, t. j. kombinacija materialno-verbalnega štetja z minimalno materialno oporo. Pri enostavnem odštevanju se pojavljajo podobne napake kot pri enostavnem seštevanju. Učenec izgubi sled štetja ali pa postopek odštevanja nepravilno izvede (npr. 9 5 = 5, 6, 7, 8, 9 med tem, ko je pravilno 6, 7, 8, 9). Več napak se pojavi ob verbalnem štetju kot pri štetju z uporabo prstov. Učenec uporablja strategijo prištevanja pri primerih, kot je 9 7 =, kjer štetje od vrednosti odštevaca do zmanjševanca in strategijo odštevanja pri primerih, kot je 9 2 =. S tako izbiro strategij se zmanjša tudi število napačnih rešitev. Postopek štetja nazaj se pri otrocih redkeje uporablja, saj je težko šteti nazaj in ob tem še slediti štetju, razen če si ob tem lahko pomagajo s pripomočki. Ta postopek je uporabnejši pri reševanju kompleksnih primerov, kjer bi bilo štetje naprej dolgotrajnejše (npr =). Za verbalno reševanje enostavnih nalog odštevanja otroci najpogosteje uporabljajo postopek štetja naprej (Geary 1994). Pri reševanju enostavnega odštevanja se pogosto pojavi zveza s seštevanjem. Uporabi se tako imenovana strategija sklicevanja na komplementarne probleme seštevanja. Problem odštevanja 8 2 = rešimo s seštevanjem = 8. Siegler in Jenkins (1989) navajata, da otroci v 2. razredu to strategijo uporabljajo v 2 % primerov odštevanja, do 4. razreda pa uporaba te poskoči na 21 %. Z uporabo te strategije se čas računanja skrajša, pri računanju je manj napak, otroci pa morajo za uporabo te strategije obvladati več aritmetičnih dejstev seštevanja (Geary, 1994, Kavkler, 1997). Strategija direktnega priklica aritmetičnih dejstev iz dolgoročnega spomina je najučinkovitejši in najhitrejši postopek za reševanje primerov enostavnega odštevanja, zahteva malo napora in je izveden z najmanj napakami. Ena najpogostejših napak pri uporabi te strategije je priklic odgovora za komplementaren problem seštevanja (8 4 = 12) (Geary, 1994). 51

69 Strategije odštevanja dvomestnih števil Učenci lahko rešujejo nekatere primere odštevanja dvomestnih števil z znanjem in strategijami, ki jih uporabljajo pri reševanju enostavnih računov odštevanja. Pri strategiji štetja nazaj po ena, npr =, štejejo po 18, 17, 16, 15 in je odgovor 14, ali pri problemu, kot je npr =, s štetjem naprej po ena 16, 17 in je rešitev 2. Reševanja računa se lahko lotijo tudi s pisnim načinom odštevanja, vendar mora pri tem otrok vedeti, da se postopek reševanja začne na desni strani računa pri enicah in potem kolono za kolono proti večjim desetiškim enotam. Težave nastanejo pri pisnem odštevanju s prehodom preko desetice, saj mora tam otrok obvladati izposojanje in vračanje desetic (Kavkler, 1997). Učenci lahko izvajajo razdruževanje ali dekompenzacijo (npr. od leve proti desni: =; = 20; 13 6 = 7; = 27 ali od desne proti levi: =; 13 6 = 7; = 20; = 27; lahko pa uporabijo zaporedno izvajanje operacije odštevanja: = = 30, = 33, 33 6 = 27. Strategijo združevanja uporabijo na način: npr =; = 33, 33 6 = 27; ali = 56, = 63, rezultat je 27. Pri holističnem načinu pa učenec izvede kompenzacijo (npr =; = 23, = 27, rezultat je 27; ali = 60, = 63, = 27; rezultat je 28) ali stopnjevanje (npr =, = 27). Račun lahko reši tudi z strategijo mentalnega računanja po modelu algoritma pisnega seštevanja: izvaja miselno umeščanje števil enega pod drugim, kot pri pisnem odštevanju na papirju, operacijo izvaja od desne proti levi (npr =; = 13, zapomni ali zapiše si prehod, = 6, naredi kombinacijo 7 iz stolpca enic in 2 iz stolpca desetic in dobi 27) (Heirdsfield in Cooprer, 2002, v Kalan, 2005). Učenci si pri reševanju računov odštevanja do 100 pomagajo s strategijami, ki so jih uporabljali že pri enostavnem odštevanju (Geary, 1994). Poznavanje aritmetičnih postopkov je ključno za uspešno reševanje aritmetičnih nalog. Napake pri odštevanju večmestnih številih so največkrat rezultat napačne rabe postopka in ne zaradi nepozornosti (Fuson in Kwon, 1992; VanLehn, 1990, v Geary, 1994). Kaye idr. (1986, v Kavkler idr. 1997) navajajo, da otrok z leti napreduje v hitrosti in učinkovitosti štetja. Med osmim in desetim letom postopoma s strategij štetja napreduje na priklic aritmetičnih dejstev, pri katerem je vedno bolj učinkovit. 52

70 Strategije množenja M. Kavkler (1997, v Jamšek, 2011) navaja, da je obvladovanje strategij množenja mlajši otrok odvisno od tega, kako dobro obvladajo pojem števila in operacijo množenja, od obvladovanja terminov, štetja in seštevanja. Naloge množenja lahko izvedejo s štirimi vrstami strategij: s preštevanjem vsega, štetjem v zaporedju, ponavljajočim seštevanjem faktorjev in priklicem aritmetičnih dejstev. Strategija preštevanja vseh predmetov mlajših učencem, ki še nimajo formalnega znanja o operaciji množenja, omogoča izračun enostavnih problemov množenja. Primer: ob vprašanju, koliko nog imajo tri ptičke, učenec prešteje noge živali ali nastavi ustrezno število predmetov ali prstov, s katerimi ponazori število nog ter jih prešteje. Strategija štetja v zaporedju omogoča hitrejše računanje kor preštevanje vsega. Primer: Učenec rešuje isto nalogo z nogami živali kot pri prejšnji strategiji. Sedaj rešuje nalogo s strategijo štetja: 2,4,6. Strategija ponavljajočega seštevanja: učenec dela s konkretnim materialom ali sešteva verbalno (sešteva noge treh ptičk na lutkah, ki jih opazuje: =, sešteva pa običajno po dva seštevanca = 4, = 6). Priklic aritmetičnih dejstev: učenec si lahko pri računanju pomaga z različnimi metodami transformacije, ko prikliče samo nekatera aritmetična dejstva, npr. 9 x 5 = lahko reši tako, da prikliče 10 x 5 = in odšteje 5, račun 6 x 5 pa izračuna tako, da prikliče par 5 x 5 = in zmnožku prišteje 5. Priklic dejstev množenja iz dolgoročnega spomina je hitrejši kot priklic dejstev seštevanja, otroci so bolj motivirani za učenje poštevanke, strategije za množenja so veliko težje od strategij seštevanja, podatke iz dolgoročnega spomina je pa potrebno pridobiti hitro (Siegler 1988, Geary 1994). Čas reševanja problema in nastajanje napak pri reševanju je večje, ko sta množenec in množitelj višjih vrednosti. Obstajata dve izjemi: množenje enakih števil in množenje s številom 5. Napake pri priklicu aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega spomina so zamenjava operacije (otrok iz spomina prikliče pravilni rezultat, vendar za drugo operacijo npr. 3 x 4 = 7), napake reševanja, ki se pojavijo v kar polovici vseh napak pri množenju (otrok problem 4 x 8 poveže 53

71 z aritmetičnim dejstvom 24, saj sta obe števili povezani s številom 24 (4 x 6 in 3 x 8)) ter druge manjše napake (otroci prikličejo približen rezultat, ki se približa za +/- 10 % pravilnemu rezultatu) (Geary, 1994). Strategije deljenja O aritmetični operaciji deljenja je bilo narejenih najmanj raziskav, čeravno pa priklic aritmetičnih dejstev učencem povzroča največ težav. Strategije razdeljevanja predmetov S to strategijo si pomagajo predvsem mlajši otroci in učenci s težjimi učnimi težavami pri matematiki. Šestletnik pri reševanju problema deljenja iz življenja (Razdeli 15 žogic petim učencem) rešuje tako, da konkretne predmete razdeli po 1 (materialna strategija) in pove, koliko žogic dobi vsak. Nekateri 7-letni učenci pa že pridejo do spoznanja, da lahko predmete razdelijo tudi po skupinah predmetov. V skupine hkrati razdeli toliko predmetov, kot je količnik (npr. 15 : 5 = razdeli po 3 predmete) ali pa manjše in jih dopolni z razdeljevanjem po 1 (npr. 15 : 5 = najprej vsaki skupini razdeli po 2 predmeta, nato vsaki skupini doda še 1 predmet). Uporaba drugih operacij pri deljenju Učenci s specifičnimi učnimi težavami pogosto uporabljajo pri reševanju nalog deljenja priklic drugih arimeričnih operacij. Primer: 15 : 5 rešujejo z odštevanjem ( =, ker trikrat odštejejo 5, ugotovijo, da je rezultat 3), z množenjem (npr. 3 x 5 = 15, zato je 15:5=3) in s seštevanjem (npr = 15, in ugotovijo rezultat 3). Priklic aritmetičnih dejstev Najbolj učinkoviti so tisti učenci, ki pri deljenju uporabljajo priklic aritmetičnega dejstva. Učenec s priklicem aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega spomina naredi manj napak, saj pri tem ni vključeno npr. seštevanje ali odštevanje, ki ga lahko zmede pri računanju (Kavkler, 1997). Vzroki za težave pri pisnem deljenju so lahko pomanjkljivo predznanje, težave pri iskanju delnih količnikov, slabše kratkotrajno in dolgotrajno pomnjenje, kratkotrajna pozornost in 54

72 zbranost pri razlagi ter pozneje reševanju problemov, impulzivnost, slabša vizualna diskriminacija, slabša prostorska orientacija (Kavkler, 1997). 55

73 3 PROBLEM IN CILJ RAZISKAVE 3.1 OPREDELITEV PROBLEMA Učenci z učnimi težavami pri matematiki so pogosto prepozno odkriti, nudena pomoč pa je premalo intenzivna in premalo kakovostna. Z našim delom želimo vplivati na zmanjšanje izobraževalne neuspešnosti učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, jim omogočiti večjo kompetentnost pri pouku matematike in v prihodnosti boljše možnosti za zaposlitev ter uspešno udejstvovanje v vsakdanjem življenju. Temeljni namen raziskave in magistrskega dela je razvoj in preverjanje programa razvoja aritmetičnih znanj in sposobnosti pri učencih 3. razreda osnovne šole z učnimi težavami pri aritmetiki, ki je bil izvajan na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči v obliki skupinske pomoči ob vrstniškem sodelovanju. Program je zajemal treninge aritmetičnih znanj in sposobnosti v skupini ter treninge avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu na računalniku. 3.2 CILJ RAZISKAVE Magistrsko delo predstavlja primer oblikovanja modela obravnave učencev z učnimi težavami pri aritmetiki. Postavili smo naslednje cilje: - Oceniti učne težave na področju aritmetike pri učencih, njihove organizacijske veščine in učni stil ter oblikovali in izvedli treninge za razvoj aritmetičnih znanj in sposobnosti. - Oblikovati učinkovit program obravnave učencev z učnimi težavami pri aritmetiki na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči v obliki skupinske pomoči ob vrstniškem sodelovanju. Na ta način smo želeli učencem zagotoviti kakovostno obravnavo ter jim zagotoviti inkluzivno izobraževanje z naslednjimi viri: strokovno pomočjo defektologa na 3. koraku petstopenjskega modela pomoči v obliki skupinske obravnave in ob izvajanju vrstniške pomoči ter izvajanjem dobre poučevalne prakse učitelja v razredu. - Z načrtovanim, izvedenim in ocenjenim programom kompenzirati aritmetične učne težave učencev. 56

74 4 HIPOTEZE IN RAZISKOVALNA VPRAŠANJA 4.1 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA R1. Ali se bo s treningom aritmetičnih znanj in sposobnosti v skupini 1 ob vrstniškem sodelovanju in s treningom aritmetičnih postopkov in dejstev povečalo število transformacijskih strategij in priklica dejstev? R2. Ali se bo s treningom aritmetičnih znanj in sposobnosti v skupini 1 ob vrstniškem sodelovanju in treningom aritmetičnih postopkov in dejstev povečala točnost izvedbe postopkov in priklica dejstev? R3 Na katere kritične probleme je potrebno opozoriti pri izvajanju skupinske učne pomoči pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči? 4.2 HIPOTEZE H1: Pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so vključeni v skupinsko pomoč, obstajajo statistično pomembne razlike v sposobnostih štetja do 100, avtomatizaciji aritmetičnih postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000, avtomatizaciji poštevanke ter razvoju aritmetičnih strategij pred in po izvajanju programa. H2: Med učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so vključeni v skupinsko pomoč (skupina 1) in učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso deležni skupinske pomoči (skupina 2), po koncu izvajanja programa obstajajo statistično pomembne razlike v sposobnostih štetja do 100, avtomatizaciji izvajanja aritmetičnih postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000, avtomatizaciji poštevanke ter razvoju aritmetičnih strategij. H3: Med učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so vključeni v skupinsko pomoč (skupina 1), in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3), po koncu izvajanja programa ne obstajajo statistično pomembne razlike v avtomatizaciji izvajanja aritmetičnih postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do H4: Med učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso deležni obravnave po našem programu (skupina 2), in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3), po koncu izvajanja programa 57

75 obstajajo statistično pomembne razlike v avtomatizaciji izvajanja aritmetičnih postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do METODE DELA 5.1 VZOREC OSEB V raziskavo je bilo vključenih 239 učencev, ki so predstavljali dve generaciji tretješolcev dveh pomurskih osnovnih šol v šolskih letih 2012/2013 oziroma 2013/2014. Prvo šolo smo izbrali na podlagi dostopnosti in možnosti izvajanja programa skupinske pomoči s strani avtorice magistrskega dela, drugo šolo pa smo izbrali zaradi podobnega števila učencev v generacijah tretjega razreda. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so obiskovali prvo šolo, so bili izbrani v skupino 1 (16 učencev). Ti učenci so bili deležni skupinske oblike pomoči ob vrstniški pomoči. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki iz druge šole pa so bili izbrani v skupino 2 (14 učencev). Ti učenci niso bili deležne učne pomoči po našem programu, deležni pa so bili dobre poučevalne prakse učitelja v razredu, pomoči pri dopolnilnem pouku in v podaljšanem bivanju. Sošolci obeh skupin učencev obeh šol so predstavljali skupino 3 (209 učencev). Učenci so bili izbrani v skupino 1, skupino 2 oziroma v skupino 3 na podlagi rezultatov na Desetminutnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler, Tancig, Magajna, Rugelj in Lipec Stopar, 1996) ter na podlagi Vprašalnika za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev. Za sodelovanje v raziskavi pa smo za učence, ki so bili vključeni v skupino 1 in skupino 2, pridobili pisna soglasja staršev. Število učencev v skupini 1 in skupini 2 se razlikuje, saj so na drugi šoli učiteljice zaznale manj učencev s težavami pri pridobivanju aritmetičnih znanj in sposobnosti. Noben učenec iz skupine l in 2 ni bil usmerjen kot otrok s primanjkljaji na posameznih področjih učenja na podlagi Zakona o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami. Učence skupine 3 smo vključili v raziskavo zaradi primerjave dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 z dosežki učencev skupine 3, saj učenci skupine 3 niso imeli učnih težav pri aritmetiki. Na šoli, kjer se je izvajal program pomoči, pa smo iz skupine 3 povabili k sodelovanju v obeh generacijah učencev skupno 14 učencev (6 učencev 1. generacije (4 dečki, 2 deklici) in 8 učencev 2. generacije (4 dečki, 4 deklice), ki so izvajali vrstniško pomoč učencem skupine 1. Učenci so bili izbrani k sodelovanju na osnovi lastnega interesa, rezultatov na začetnem testiranju z Desetminutnim aritmetičnim testom za 58

76 ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996), priporočil učiteljic ter soglasij staršev. Ti učenci so bili v celotni populaciji glede na doseženo število točk na Desetminutnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996) razporejeni med četrtino učencev, ki je dosegla najvišje rezultate. V času začetnega testiranja (januarja generacija učencev oziroma januarja generacija učencev) je bila starost učencev prve in druge generacije od 9 let 1 mesec do 10 let, povprečna starost pa je bila 9 let 7 mesecev. V času končnega testiranja so bili učencev obeh generacij stari od 10 let do 10 let 11 mesecev, povprečna starost pa je bila 10 let 6 mesecev. Graf 1: Grafični prikaz strukture vzorca glede na skupine VZOREC 6,69% 5,86% 87,45% skupina 1 skupina 2 skupina 3 Tabela 1: Prikaz strukture vzorca glede na spol moški ženski vsota spol f f% f f% f f% skupina , , skupina , , skupina , , skupno , , Legenda: f število učencev; f%... število učencev v odstotkih 59

77 Vzorec učencev z učnimi težavami pri aritmetiki (skupina 1) predstavlja 16 učencev, 56,25 % (9) fantov in 43,75 % (7) deklet, skupno 6,69 % vzorčne populacije. Vzorec učencev z učnimi težavami pri aritmetiki (skupina 2) predstavlja 14 učencev, in sicer 35,71 % (5) fantov in 64,29 % (9) deklet, skupno 5,86 % vzorčne populacije. V vzorcu učencev brez učnih težav pri aritmetiki je 209 učencev, in sicer 49,76 % (104) fantov in 50,42 % (105) deklet, skupno 87,45 % vzorčne populacije. 5.2 MERSKI INSTRUMENTI V raziskavi smo uporabili različne merske instrumente. Posamezni merski instrumenti so bili uporabljeni pred začetkom izvajanju programa pomoči in/ali po koncu izvajanja programa pomoči: Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996) ter Vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev sta nam služila za izbor učencev z učnimi težavami pri aritmetiki v skupino 1 in skupino 2. Desetminutni aritmetični test so vsi učenci obeh generacij ponovno reševali po koncu izvajanja programa pomoči z namenom primerjanja rezultatov vseh treh skupin: učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili deležni programa pomoči (skupina 1), učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu (skupina 2) in učencev, ki niso imeli učnih težav pri aritmetiki in niso bili deležni pomoči po našem programu (skupina 3). Vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev nam je poleg Desetminutnega aritmetičnega testa za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu služil kot pomoč pri izboru učencev v skupino 1, 2 oziroma 3. Vprašalnik so izpolnile učiteljice učencev tretjega razreda obeh generacij obeh vključenih šol. Vprašalnik o organizacijskih veščinah (Do you have good organization skills?, 2011) in Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles questionnaire, 2011) so reševali učenci skupine 1 in učenci vrstniki, ki so izvajali vrstniško pomoč, ob začetku programa pomoči. Rezultati so nam bili v pomoč pri 60

78 načrtovanju in organizaciji programa pomoči za učence skupine 1 in vrtnikov, ki so izvajali vrstniško pomoč. Naloge za ugotavljanje strategij štetja (Kavkler, Tancig in Magajna, 1996) smo aplicirali učencem skupine 1 in skupine 2 ob začetku izvajanja programa pomoči. Rezultati so nam služili za ugotavljanje razlik v uporabljenih strategijah štetja med obema skupinama učencev. Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) so reševali učenci skupine 1 in skupine 2 ob začetku izvajanja programa pomoči in po koncu izvajanja programa z namenom ugotavljanja razlik med učenci obeh skupin glede uporabljenih strategij računanja. Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke so reševali učenci skupine 1 in skupine 2 ob začetku in po koncu izvajanja programa pomoči z namenom primerjave dosežkov obeh skupin in napredka učencev posamezne skupine. Test poznavanja števil (Number Knowledge test NKT) (Griffin, 2002) in test Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) sta bila aplicirana učencem skupine 1 in skupine 2 po koncu izvajanja programa pomoči. Rezultati so služili za ugotavljanje razlik v dosežkih obeh skupin učencev. Anketni vprašalnik za učence z učnimi težavami pri aritmetiki o delu v paru in skupini so reševali učenci skupine 1 po koncu izvajanja programa pomoči z namenom pridobitve mnenja učencev o delu v paru in skupini. Anketni vprašalnik za vrstnike tutorje o delu v paru so reševali učenci, ki so izvajali vrstniško tutorstvo, po koncu izvajanja programa pomoči z namenom pridobitve mnenja vrstnikov tutorjev o delu v paru Desetminutni aritmetičnih test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996) Test vsebuje 62 računov z uporabo računskih operacij seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja ter kombinacijami različnih računskih operacij. Računi so v testu razporejeni po težavnosti in se točkujejo z 1, 2 ali 3 točkami. Lažji računi brez prehoda desetice (26 računov) so vrednoteni z eno točko, srednje zahtevni računi (17 računov) so vrednoteni z dvema točkama, računi z dvema računskima operacijama, računi z neznanim členom in računi s tromestnimi števili (19 računov) pa so vrednoteni s tremi točkami. Na testu je možno doseči 117 točk. 61

79 Reševanje testa je omejeno na 10 minut. Test sta reševali celotni generaciji učencev tretjega razreda obeh šol z namenom izbora učencev v eksperimentalno in kontrolno skupino. Ponovno so ga vsi učenci reševali ob koncu programa pomoči učencem z učnimi težavami pri aritmetiki z namenom primerjave dosežkov učencev posameznih skupin in ugotavljanja napredka učencev posamezne skupine. Za naš vzorec je bila izračunana zanesljivost preizkusa, ki po modelu Crombach znaša 0, Vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev Za namen raziskave smo oblikovali vprašalnik za učitelje, ki je vseboval 9 vprašanj zaprtega tipa. Razdeljen je bil na dva dela. V prvem delu je učitelj ocenil učenčeve strategije štetja na lestvici od 1 (neuspešno) do 5 (zelo uspešno), v drugem dela pa je učitelj ocenil učenčeve strategije seštevanja in odštevanja v obsegu do 20 in do Vprašalnik o organizacijskih veščinah (Do you have good organization skills?, 2011) Vprašalnik zajema 115 vprašanj in obsega naslednja področja organizacije: miselne sposobnosti kognicija, organiziranost v šoli/na delovnem mestu, strategije, osebna urejenost, časovna organiziranost in samomotivacija. Nanaša se na področje posameznikovih organizacijskih veščin v šoli/na delovnem mestu, pa tudi v domačem okolju in v prostem času. Vprašalnik nam pokaže seštevek rezultatov in grafični prikaz rezultatov na vseh področjih organizacijskih veščin. Dosežemo lahko točke v razponu od 1 do 100 za posamezno področje. Vprašalnik podaja tudi praktične nasvete o tem, kako izboljšati svoje organizacijske veščine za vsako področje posebej. Vprašalnik so reševali učenci skupine 1, vprašanja pa sem jim zaradi dolžine vprašalnika in lažjega razumevanja prebrala izvajalka programa pomoči Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles questionnaire, 2011) Vprašalnik vsebuje 70 izjav in zajema 7 učnih stilov: govorni, slušni, vidni, praktični ali kinestetični, individualistični, socialni in logični. Posameznik vsako izjavo oceni z 0, če trditev zanj ne velja, z 1, če trditev zanj delno velja, in z 2, če trditev zanj v popolnosti velja. Učenec lahko pri vsakem učnem stilu doseže 20 točk. Učenčev prevladujoči učni stil razberemo iz seštevka trditev in grafičnega prikaza. Vprašalnik so reševali učenci skupine 1 in vrstniki tutorji individualno. 62

80 5.2.5 Naloge za ugotavljanje strategij štetja (Kavkler, Tancig in Magajna, 1996) Naloge preverjajo učenčeve strategije preštevanja predmetov, štetja nazaj, štetja v zaporedju in fleksibilnega štetja. Strategije štetja smo preverjali individualno pri učencih skupine 1 in skupine 2 ob začetku izvajanja programa pomoči Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) Test je namenjen ugotavljanju računskih strategij, omogoča pa tudi spremljanje razvoja računskih postopkov pri enem ali več učencih. Test vsebuje štiri tabele. Tabela 1 vsebuje račune seštevanja do 20, tabela 2 račune odštevanja do 20, tabela 3 seštevanje z deseticami in enicami ter tabela 4 odštevanje z deseticami in enicami. Vsaka izmed tabel prikazuje strategijo računanja s pomočjo štetja (Š) s stopnjami in strategijo računanja s transformacijo (T) s stopnjami. Test so reševali učenci skupine 1 in skupine 2 individualno ob začetku in po koncu izvajanja programa pomoči Test poznavanja števil (Number Knowledge test NKT) (Griffin, 2002) Test je namenjen: - ugotavljanju spretnosti štetja v predšolskem obdobju, - na nivoju 0 (nivo 4 leta) ugotavljanju spretnosti štetja in primerjanja količin, - na nivoju 1 (nivo 6 let) ugotavljanju sposobnosti orientacije v številski vrsti v obsegu do 10 ter sposobnosti seštevanja in odštevanja v obsegu do 10, - na nivoju 2 (nivo 8 let) ugotavljanju sposobnosti orientacije v številski vrsti do 100, ugotavljanju odnosov med števili ter spretnosti seštevanja in odštevanja brez prehoda desetice v obsegu do 100, - na nivoju 3 (nivo 10 let) ugotavljanju sposobnosti orientacije v številski vrsti v obsegu do 1000 in 1100, spretnosti seštevanja in odštevanja s prehodom desetice v obsegu do 100 in ugotavljanju sposobnosti primerjanja količin. Testator učenca izprašuje po nivojih. Naloge na nivoju 0 so učencu predstavljene s pomočjo materialov, na nivoju 1 in 2 pa učenec pri posameznih nalogah dobi ob postavljenem vprašanju vizualno oporo (karte z zapisanimi števili). Ko učenec pravilno reši določeno število nalog, preidemo na naslednji nivo. Vsak nivo posebej točkujemo, točke vseh nivojev pa seštejemo. S pomočjo testa ugotavljamo, na katerem nivoju (starostnem obdobju) v matematičnih znanjih je učenec. Test je bil uporabljen po koncu izvajanja programa pomoči, reševali pa so ga učenci 63

81 skupine 1 in skupine 2 individualno. Za naš vzorec je bila izračunana zanesljivost preizkusa, ki po modelu Crombach znaša 0, Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) Test sestavlja 17 nalog, od katerih smo uporabili 10 nalog, ki merijo spretnosti na različnih področjih: priklic simbolov, številski obseg in shema, aritmetične sposobnosti, strukturiranje dela in časovno načrtovanje. Vse naloge razen zadnjih dveh so brez časovne omejitve. Test je namenjen za individualno testiranje. Uporabljen je bil po koncu izvajanja programa pomoči, reševali pa so ga učenci skupine 1 in skupine 2. Za naš vzorec je bila izračunana zanesljivost preizkusa, ki po modelu Crombach znaša 0, Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke Test smo pripravili za potrebe raziskave. Vseboval je 32 računov množenja števil od 1 do 10. Račune množenja s števili od 1 do 6 in z 10 smo vrednotili z eno točko, račune s števili 7, 8, in 9 pa z dvema točkama. Skupno število možnih točk je bilo 40. Test je bil uporabljen za ocenjevanje avtomatizacije poštevanke pri učencih skupine 1 in skupine 2 ob začetku ter po koncu izvajanja programa pomoči. Izveden je bil s celotno skupino hkrati. Objektivnost testa smo zagotovili tako, da smo v naprej pripravili merila za točkovanje in omogočili podobne pogoje anketiranja. Podana navodial so bila jasna in enotna za vse anketirance. Zagotovljena je bila anonimnost. Za naš vzorec je bila izračunana zanesljivost preizkusa, ki po modelu Crombach znaša 0, Anketni vprašalnik za učence z učnimi težavami pri aritmetiki o delu v paru in skupini Vprašalnik je bil sestavljen za potrebe raziskave. Vsebuje 9 vprašanj, in sicer 5 vprašanj zaprtega tipa z dodatnimi podvprašanji odprtega tipa in 3 vprašanja odprtega tipa. Vprašalnik so reševali učenci skupine 1 obenem v skupini Anketni vprašalnik za vrstnike pomočnike o delu v paru Vprašalnik je bil sestavljen za potrebe raziskave. Vsebuje 8 vprašanj, in sicer 5 vprašanj zaprtega tipa, od tega dve s podvprašanjem odprtega tipa ter 3 vprašanja odprtega tipa. Vprašalnik so reševali vrstniki tutorji obenem v skupini. 64

82 5.3 POSTOPEK PRIDOBIVANJA PODATKOV Izvedli smo diagnostično ocenjevanje in obravnavo dveh generacij učencev. Diagnostično ocenjevanje prve generacije tretješolcev smo izvedli v šolskem letu 2012/2013 v mesecu januarju, diagnostično oceno druge generacije tretješolcev pa v šolskem letu 2013/2014 prav tako v mesecu januarju. Učenci obeh generacij so izhajali iz dveh pomurskih osnovnih šol. Najprej smo vzpostavili kontakt z ravnateljicama obeh šol in prosili za dovoljenje za izvajanje raziskave na njihovih šolah. Nato smo s pomočjo učiteljev tretjih razredov obeh šol izvedli začetno testiranje. Na podlagi rezultatov začetnega testiranja in odgovorov učiteljev o števnih in računskih strategijah učencev smo izbrali učence z učnimi težavami pri aritmetiki na obeh šolah. Za vsakega izmed teh učencev smo pridobili pisna soglasja staršev. Diagnostična ocenjevanja smo izvedli hkrati z vsemi učenci v razredu, v manjši skupini ali individualno: načini izvajanja ocenjevanja s posameznimi testi in vprašalniki so navedeni ob vsakem merskem instrumentu. Pred začetkom diagnostičnega ocenjevanja smo učencem podali natančna navodila za reševanje nalog in zapisovanje rezultatov. Ocenjevanja smo izvajali med 8. in 12. uro. S tem smo želeli zmanjšati učinek utrujenosti, ki bi bil prisoten ob izvajanju ocenjevanja po pouku. Vsa ocenjevanja učencev sem izvedla avtorica dela sama. V okviru programa skupinske pomoči sem avtorica magistrskega dela izvajala preverjanje napredka učencev skupine 1 s posameznimi nalogami, ki sem jih sproti pripravljala glede na zastavljene cilje obravnave v posameznem mesecu. Preverjanje je potekalo: - vsak mesec med izvajanjem programa v skupini v učilnici, kjer so potekali treningi, - preizkuse smo vedno izvajali ob istem času dneva in pod enakimi pogoji, - vsa opažanja o izvajanju nalog smo beležili sproti, - v kolikor načina reševanja nalog oziroma strategije pri učencu nismo mogli ugotoviti, nam je ta opisal postopek reševanja. Na osnovi začetnih in končnih testiranj ter mesečnega ocenjevanja smo ovrednotili napredek učencev skupine 1 v aritmetičnih znanjih in sposobnostih ter priklicu aritmetičnih dejstev in postopkov pred, med in po izvajanju programa pomoči. 65

83 5.4 STATISTIČNA OBDELAVA PODATKOV Podatke smo analizirali s programom SPSS Uporabljene so bile naslednje statistične metode: opisna statistika po posameznih testih, ki nam je podala informacije o porazdelitvi spremenljivk, kontingenčne tabele za nominalne spremenljivke, ki so nam omogočile podrobnejši vpogled v odnose med spremenljivkami. S pomočjo analize variance smo ugotavljali pomembnost razlik med povprečnimi dosežki skupine 1, skupine 2 in skupine 3 pri posameznih spremenljivkah. Še prej smo pripadnost skupin isti osnovni populaciji ugotavljali z Levenovim testom. Levenov test testira ničelno hipotezo, ki pravi, da so variance med različnimi skupinami enake (t.j. razlike med variancami so enake nič). Če je Levenov test pomemben (p 0,05), zaključimo, da ničelna hipoteza ne drži in se variance pomembno razlikujejo, iz tega pa sledi, da je kršena domneva o homogenosti varianc. Če pa Levenov test ni pomemben (p 0,05), so variance enake in domneva velja. Pridobljene podatke iz analize odgovorov na vprašanja v delno strukturiranem intervjuju, analize odgovorov iz vprašalnikov o učnih stilih in organizacijskih spretnostih učencev smo obdelali in vrednotili v skladu z veljavno metodologijo obdelave kvalitativnih podatkov. Posamezne zapise smo ustrezno razčlenili, jim določili enote kodiranja in jim pripisali ustrezne vsebinske pojme. V nadaljevanju smo analizirali značilnosti pojmov, iskali odnose in povezave med njimi in ugotovitvami raznih zapisov in razlag. Dobljene rezultate smo prikazali tabelarično in grafično ter jih interpretirali. 5.5 KOMPENZACIJSKI PROGRAM Namen kompenzacijskega programa je bil izboljšati aritmetična znanja in sposobnosti učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, da bi jim omogočili čim bolj uspešno vključevanje v vzgojnoizobraževalni proces in preprečili neuspeh v višjih razredih osnovne šole. Pri načrtovanju programa smo izhajali iz: spoznanj številnih raziskav o vplivu matematičnih dosežkov na izobraževalno uspešnost posameznika (Parson in Bynner, 2005; Magajna, Kavkler in Ortar-Križaj, 2003), raziskav o učinkih zgodnje matematične obravnave v manjših skupinah (Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, 66

84 Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield in Gesten, 2011; Fuchs idr., 2005) in raziskav pomena izvajanja tutorstva učitelja v majhnih skupinah pri učencih, pri katerih obstaja tveganje za učne težave pri matematiki (Fuchs idr., 2005) ter vključevanja vrstniškega tutorstva v obravnavo učencev z učnimi težavami (Baker, Gersten in Lee, 2002), petstopenjskega modela pomoči (Magajna idr., 2008b), učnega načrta za devetletno osnovno šolo za področje matematike in ocen funkcioniranja učencev. Z upoštevanjem kontinuuma petstopenjskega modela pomoči (Magajna idr., 2008b) smo na tretji stopnji izdelali program pomoči za učence z učnimi težavami pri aritmetiki. V program smo dejavno vključili vrstnike učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili pri aritmetiki uspešni. Na tretji stopnji smo izvajali trening (izvajala ga je avtorica dela) za področja aritmetike, spomina, pozornosti in organizacijskih veščin. Poudarek je bil na razvoju matematičnega deklarativnega, konceptualnega ter proceduralnega znanja. V timsko delo smo bile vključene tri učiteljice 3. razreda osnovne šole, na kateri je potekal program pomoči in defektologinja, izvajalka programa Izvajanje programa na tretji stopnji petstopenjskega modela pomoči Učenci skupine 1, ki so bili vključeni v skupinsko obravnavo ob vrstniški pomoči, so imeli nezadostno avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke. Zanje smo pripravili program, ki smo ga izvajali v koledarskem letu 2013 (januar december) s prvo generacijo učencev (6 učencev) oziroma 2014 (januar december) z drugo generacijo učencev (10 učencev). Z vsako generacijo učencev skupine 1 smo izvedli 50 srečanj urjenja aritmetičnih znanj in spretnosti v manjši skupini in 30 srečanj urjenja aritmetičnih dejstev in postopkov s pomočjo računalnika. Urjenje aritmetičnih znanj in sposobnosti v manjši skupini smo izvajali dvakrat tedensko po 45 minut pred poukom. Vrstniki tutorji pa so se udeleževali srečanj enkrat tedensko. Urjenje aritmetičnih dejstev in postopkov s pomočjo računalnika pa je potekalo enkrat tedensko po 15 minut v času pred poukom. V program pomoči smo vključili 16 učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, njihove starše, 14 vrstnikov, ki so izvajali vrstniško pomoč, tri razredničarke ter defektologinjo (izvajalko programa pomoči). 67

85 5.5.2 Cilji programa na področju aritmetike Cilje, vsebine in metode dela smo načrtovali v skladu z izsledki že omenjenih raziskav, funkcioniranja učencev ter razvojnih značilnosti učencev. Ravnali smo se po didaktičnih priporočilih učnega načrta za matematiko ter ugotovitvah in priporočilih več avtorjev (Geary, 1994; Magajna, Pečjak, Peklaj, Čačinovič Vogrinčič, Bregar Golobič, Kavkler, Tancig, 2008a; Geary, Hoard, Byrd-Craven, DeSoto, 2004; Sordan idr. 1995, v Stock, Desoete in Roeyers, 2010; Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield in Gesten, 2011; Bruner, 1960, v Witzel, 2005; Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs, Hamlett, Cirino in Fletcher, 2008) Postopek izvajanja programa Vsako srečanje smo začeli z nematematičnimi dejavnostmi (vaje urjenja spomina, pozornosti, koncentracije), ki smo jih izvajali 5 minut, sledilo je 35 minut matematičnega dela (vsebine iz programa) ter 5 minut evalvacije obravnave (kratka refleksija ure, samoocenjevanje učencev, ugotavljanje prisotnosti, urejanje prostora). Med urjenjem v skupini je potekala sistematično vodena pomoč vrstnikov, ki so bili uspešni pri matematiki. Urjenje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov s pomočjo računalnika je potekalo v računalniški učilnici, individualno na računalniku. Tedensko sem izvajala delne evalvacije in spremljala napredek učencev skupine 1. Zapisovala sem opažanja pri učencih in spremljala njihov napredek. Narejeni so bili videoposnetki treningov. Učenci so tedensko po urjenju v skupini ocenili svoje znanje, s čimer smo preverjali samozavedanje lastnih znanj in sposobnosti. Ocenili so tudi svoje počutje pri urah skupinske pomoči ob vrstniškem sodelovanju. Pri izvajanju programa smo upoštevali prevladujoče učne stile učencev in temu prilagodili delo v skupini in v paru. Učenci s prevladujočim vidnim učnim stilom so se pri delu več posluževali slik, barv in drugih vidnih opor. Učenci, katerih prevladujoči učni stil je slušni stil, so večkrat izbirali vaje z uporabo zvočnih posnetkov, delo v paru s kooperativnimi kartami ipd Področja programa Program je zajemal urjenje aritmetičnih znanj in sposobnosti v manjši skupini ob vrstniški pomoči ter urjenje aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu na računalniku. Vključeval je naslednje pristope: pristop KSA (prehod od konkretno slikovne do abstraktne predstavitve) 68

86 (Bruner, 1960, v Witzel, 2005; Kavkler, 2011b), strategije štetja, oblikovanje parov števil z določeno vsoto oziroma razliko, pari števil, ki dajo vsoto 10, 20, razdruževanje, združevanje, avtomatizacijo seštevanja in odštevanja, avtomatizacijo parov za dano vsoto oziroma razliko, podvajanje faktorjev za večjo tekočnost aritmetičnih dejstev pri množenju, avtomatizacijo poštevanke, razdeljevanje, urjenje pozornosti in koncentracije, urjenje spomina ter program urjenja aritmetičnega konceptualnega, proceduralnega in deklarativnega znanja s pomočjo računalniškega programa, ki je zajemal pare števil, ki dajo določeno vsoto v obsegu do 20 in do 100, seštevanje in odštevanje do 100 in do 1000, avtomatizacijo aritmetičnih dejstev poštevanke ter urjenje spomina. V nadaljevanju bomo predstavili dejavnosti, ki so potekale v okviru programa pomoči za razvoj aritmetičnih znanj in spretnosti pri učencih skupine 1 v skupini ob vrstniški pomoči in pri delu na računalniku. Štetje Vaje štetja smo izvajali na začetku vsakega srečanja, in sicer kot preštevanje konkretnih predmetov (kroglice, link kocke, računalo), štetje ob gibalnih dejavnostih, štetje v zaporedju po 2, 3, 4, 5, 10 in fleksibilno štetje s pokritimi elementi. Aktivnosti štetja smo izvajali na konkretni, simbolni in miselni ravni. Na naših prvih srečanjih smo izvajali štetje s kartončki s števkami od 1 do 9, deseticami in stoticami, ki so učencem omogočali kontrolo pravilnosti štetja. Slika 1: Kartončki za štetje do

87 Primeri dejavnosti: Štetje predmetov Učenec je preštel kroglice na vrvici in povedal njihovo število. Uvajali smo uporabo naprednejših strategij: učenec je prepoznal skupino kroglic po 5, 10 in jih sešteval v končno vsoto. Štetje v zaporedju Učenec se je premikal po številskem traku z risanjem lokov in štel po 2, 3, 4, 5, 10 ipd. Razdruževanje množic je učenec izvajal na dani predlogi ob uporabi matematičnega zapisa s simboli. Primeri dejavnosti: 1. Množico link kock je razdelil na dve podmnožici in zapisal račun. 2. Množico materialov je razdelil na več podmnožic in zapisal račun. Slika 2: Razdelitev materialov na dve podmnožici Avtomatizacijo seštevanja in odštevanja do 20 smo razvijali z naslednjimi vajami: seštevanje števil oziroma pari števil, ki tvorijo vsoto 10 ali 20, pari števil z določeno vsoto oziroma razliko. Primeri dejavnosti: 1. Učenec je nastavil določeno število link kock v predlogo z dvajset kvadratki in ugotavljal, koliko jih manjka do 10. Na enak način je dopolnjeval na predlogi do 5, 15, 20. Tako je utrjeval pare z vsoto 10 ali

88 Slika 3: Nastavitev računa 6 + = Nastavil je leseno palčko na posebno desko s tabelo za seštevanje in odštevanje, ki je ustrezala določenemu številu enot (npr. 7) in dodal drugo palčko (za 3 enote), da je dopolnil do 10. Slika 4: Nastavitev računa = S pomočjo nastavljanja materialov ali barvanja je grafično ponazoril seštevanje in odštevanje do 10 in do 20. Slika 5: Grafično ponazarjanje seštevanja in odštevanja 71

89 4. Na kartončku je prebral račun (npr. 6 + = 10) in povedal, koliko mu še manjka do 10. Računi so vključevali vsoto 5, 10, 15 in 20. Pri tem si je lahko pomagal s predlogo (dva stolpca po 10 kvadratkov), kjer je uvidel količino ali prešteval in prišel do pravilnega rezultata. Avtomatizacijo seštevanja in odštevanja do 100, do 1000 smo urili s seštevanjem in odštevanjem eno-, dvo- in tromestnih števil brez prehoda desetice in s prehodom desetice. Primeri dejavnosti: 1. Učenec je zapisal številski izraz po nareku ter določil število desetic in enic posameznemu številu. V predlogo je nastavil ustrezno število desetic prvega seštevanca, nato enice ter dodal desetice in enice drugega seštevanca. Združil je desetice in enice ter poimenoval dobljeno število. Zapisal je rezultat ter prebral račun. 2. Učenec je zapisal številski izraz po nareku ter določil število desetic in enic posameznemu seštevancu. Števila je ponazoril s kartončki z deseticami ter števkami od 1 do 9. Seštel je desetice na kartončkih in enice ter povedal in zapisal vsoto. 3. Učenec je številski izraz zapisal kot vsoto desetic in enic (npr = = = 59). Najprej je seštel desetice, nato enice, nato pa oboje seštel in zapisal rezultat. 4. Učenec je zapisal številski izraz po nareku, določil število stotic, desetic in enic, nato pa je vsak seštevanec nastavil z materialom (Dienesove plošče). Združil je stotice, desetice in enice obeh seštevancev in dobil vsoto. Rezultat seštevanja je zapisal v številski izraz. 5. Računanje s pomočjo prazne številske osi: do računanja s pomočjo prazne številske osi smo prišli z vajami računanja s pomočjo številske verige, saj smo postopoma zmanjševali količino vizualnih opor. Vajo smo izvedli z vrvico, na kateri je bilo nanizanih 100 kroglic, izmenično 5 belih in 5 zelenih. Vrvico smo obesili na tablo, da so jo imeli učenci ves čas pred sabo. Najprej smo izvajali različne vaje štetja s premikanjem, dotikanjem kroglic ali samo z gledanjem od začetka verige ali določene kroglice s ščipalkami. Izvajali smo računanje s pomočjo kroglic (dodajanje in odvzemanje določenega števila desetic, enic). V naslednji fazi smo vrvico narisali na tablo z ustreznim barvnim zaporedjem kroglic. Ko so bili učenci pri tem uspešni, smo kroglice zbrisali in nam je ostala le črta z označbami enote. Črta je učenca spominjala na konkretne kroglice, ki so bile nanizane na vrvici. V naslednji fazi smo opustili označevanje enot in učenec si je sam označeval enote na črte glede na zahteve računskih operacij. Tako so učenci prešli od dela s konkretnim materialom na prazno številsko os, nad katero so s pomočjo risanja ustrezne dolžine lokov ponazarjali korake računanja. Učenci so si 72

90 na začetku loke pri seštevanju risali z rdečo črto, pri odštevanju pa z modro, pozneje pa so barvno označevanje opustili. Slika 6: Prehod s konkretnega materiala na prazno številsko os 6. Računanje s pomočjo prazne številske osi: učenec je na številski osi določil prvi seštevanec (odštevanec), z daljšimi loki ponazoril prištevanje (odštevanje) desetic in s krajšimi še prištevanje (odštevanje) enic ter prišel do ustreznega rezultata. Slika 7: Računanje s pomočjo prazne številske osi Nalogi, prikazani na slikah 6 in 7, smo povzeli po nizozemskem modelu realistične matematike. 73

91 Razdruževanje drugega seštevanca ali odštevanca in združevanje števil smo urili s pomočjo desetiške vrste v obsegu do 20, nato pa v obsegu do 100. Primeri dejavnosti: 1. Učenec je nastavil v desetiško vrsto ustrezno število krožcev za 1. seštevanec (npr. 7), nato je drugi seštevanec (8) razdružil na 3 in 5, dodal 3 krožce, da je dopolnil prvo desetico ter dodal se pet krožcev v novi desetici. Zapisal je račun: = (7 + 3) + 5 = = Urili smo različne strategije združevanja in razdruževanja, npr.: = (8 + 2) + 5 = = 15 in = (7 + 7) + 1 = = Učenec je zapisal številski izraz, npr =. Zmanjševanec je s pomočjo enotskega materiala nastavil na desko s tabelo za seštevanje in odštevanje. Odštevanec je razdružil na desetice in enice in desetice odštel. Nato je enice razdružil tako, da je najprej odštel do polne desetice, nato pa še preostale enice. Iz nastavljenega materiala je prebral rezultat = = 35 8 = (35 5) 3 = 30 3 = Avtomatizacija poštevanke Primeri dejavnosti: 1. Učenec je nastavil določeno število elementov v množice glede na podan račun. Najprej je izbral ustrezno število množic, nastavil ustrezno število elementov, nato pa je elemente vseh množic preštel po ena, sešteval oziroma navajal večkratnike in prišel do rezultata. 2. Učenec je s pomočjo številskega traku ugotovil rezultat računa poštevanke tako, da je na traku barvno označil večkratnike in poiskal ustrezen večkratnik. 3. V stotičnem kvadratu je pobarval večkratnike določenega števila, ki jih je določil s pomočjo štetja. 4. Učenec je številski izraz množenja nastavil z nanizanimi biseri, npr. 5x4=. Izbral je pet nizov s po 4 biseri in jih nastavil na površino. Nato je bisere preštel, seštel nize ali navajal večkratnike ter povedal ustrezen rezultat. 74

92 Slika 8: Nastavljanje računov množenja z biseri 5. Učenca sta v paru uporabljala kartončke z računi poštevanke (na eni strani kartončka je bil zapisan račun, na drugi strani pa rezultat) v treh stopnjah: učenec je drugemu učencu pokazal številski izraz in nato še rezultat na drugi strani kartončka; prvi učenec drugemu pokaže račun, drugi učenec pa pove rezultat (če ga ne pozna, mu prvi učenec pokaže rezultat na kartončku); prvi učenec drugemu pokaže rezultat, drugi učenec pa pove pripadajoč račun. Kartončke z napačno izračunanimi računi sta učenca odlagala na poseben kup, te račune pa je učenec še dodatno utrjeval. Podvajanje faktorjev Z učenci smo razvijali tudi zmožnosti podvajanja števil. Podvajanje smo razvijali preko niza reševanja matematičnih problemov, ki je učencem omogočal učenje podvajanja. Dva učenca v paru sta postavljala vprašanja drug drugemu po posameznih sklopih oziroma nizih nalog: podvoji števke 5 in manj ter 10: 1, 2, 3, 4, 5, 10 podvoji števke od 6 do 9: 6, 7, 8, 9 podvoji večkratnike 10 do 50: 10, 20, 30, 40, 50 podvoji števila v številskem obsegu do 50: 11-15, 21-25, 31-35, podvoji večkratnike 10, večje od 50: 60, 70, 80, 90, 100 podvoji števila z enico 5 v številskem obsegu od 50 do 100: 55, 65, 75, 85, 95 podvoji števila v številskem obsegu do 50: 16-19, 26-29, 36-39, podvoji števila v številskem obsegu od 50 do 100: 56-59, 66-69, 76-79, 86-89,

93 Pri večini nalog so učenci uporabljali strategije, ki so temeljile na odnosih med števili in na mestnih vrednostih. Uporabljali so razdeljevanje in sestavljanje števil: dvakratnik 24 je dvakratnik 20 + dvakratnik 4. Uporabljali so tudi asociacije: podvojiti 8 desetk: 2x(8x10) je 10 x podvojena 8 ali (2x8)x10. Strategije podvajanja so učenci urili na srečanju v zaporedju po nizih. Učenec je nadaljeval k naslednjemu nizu, ko je tekoče reševal prejšnjega. Učenci so glasno pripovedovali, kako so rešili težje probleme, kar je pomagalo tudi ostali učencem, da so spoznali različne strategije in izvajalki, da sem spoznala strategije, ki jih učenci uporabljajo. Pri reševanju nalog podvajanja so učenci spraševali drug drugega. Avtomatizacija aritmetičnih postopkov in dejstev s pomočjo računalnika Računalniški program, ki je bil izdelan posebej za potrebe raziskave in delo učencev skupine 1, smo poimenovali Računko. Računko je sestavljen iz štirih nalog. Pri prvi in drugi nalogi je učenec lahko izbiral operacijo, ki jo je želel uriti (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje), obseg števil, v katerem bo računal, število računov v sklopu, določil je neznani člen v računu, ponavljanje ob napačnem izračunu, slikovno ponazoritev računa ter barve v ponazoritvi. Na ekranu so prikazano število pravilno in napačno izračunanih računov ter število računov, ki jih mora učenec še izačunati v tem sklopu računov. Primeri dejavnosti: 1. naloga: Učenec rešuje račune seštevanja z dopolnjevanjem do 5, do 10, do 15, do 20, npr. 3+ =5, 7 + = 10, 12 + = 15 ipd. Ob tem ima na ekranu ponazorjene količine do 20 s kvadratki v dveh stolpcih po 10, s čimer si lahko pomaga pri določanju manjkajočega člena. Slika 9: Dopolnjevanje do 10 s pomočjo računalnika 76

94 Učenec rešuje račune odštevanja z neznanim odštevance in z razliko, ki je 5, 10, 15 ali 20, npr. 7 - =5, 13 - = 10, 18 - = 15 ipd. Ob tem ima na ekranu ponazorjene količine do 20 s kvadratki v dveh stolpcih po 10, s čimer si lahko pomaga pri določanju manjkajočega člena. 2. naloga: Učence rešuje izraze seštevanja v številskem obsegu do 100. Pri tem lahko z računalniško miško pritisne na prvi seštevanec in se v praznem stotičnem kvadratu (ki ima lahko vpisane samo desetice ali vsa števila od 1 do 100) obarva ustrezno število kvadratkov, ki ponazarjajo to število. Ob pritisku na drugi seštevanec, se obarva ustrezno število kvadratkov, ki ponazarja to število. Učenec lahko vsoto razbere na podlagi obarvanih kvadratkov. Pri računih odštevanja se ob pritisku z računalniško miško na zmanjševanec obarva ustrezno število kvadratkov, ob pritisku na odštevanec pa se prečrta toliko kvadratkov v stotičnem kvadratu, kot ustreza odštevancu. Preostali pobarvani kvadratki predstavljajo razliko. Slika 10: Seštevanje do 100 s pomočjo računalnika Slika 11: Odštevanje do 100 s pomočjo računalnika 77

95 Učenec račune množenja v obsegu faktorjev od 1 do 10 rešuje tako, da v okvirček v izrazu zapiše produkt. Pri tem so mu lahko v pomoč obarvani kvadratki s stotičnem kvadratu, npr. 8 x 6 = - ob pritisku na prvi faktor (8) se le-ta obarva, ob pritisku na drugi faktor (6) pa se v praznem stotičnem kvadratu obarvajo nizi kvadratkov (8 nizov po 6 kvadratkov, od katerih je vsak niz obarvan z drugo barvo). Učenec lahko rezultat množenja ugotovi s preštevanjem kvadratkov, navajanjem večkratnikov ali s prepoznavanjem mesta števila v stotičnem kvadratu. 3. naloga: Učenec je na ekranu za nekaj sekund zagledal račun množenja, ki je nato izginil. Po spominu ga je zapisal. Pozornost in koncentracija Med treningi so se dejavnosti za razvoj pozornosti in koncentracije prepletale z dejavnostmi in vsebinami drugi področij. Učencem sem: podajala ustna in pisna navodila ter informacije, vzpostavljala in ohranjala očesni kontakt, razdelila naloge na manjše enote, menjavala dejavnosti in organizirala krajše odmore, organizirala vaje zaznavanja, pozornega opazovanja ter zapomnitve, organizirala delo v majhni skupini in parih. Spominske sposobnosti smo urili z izvajanjem naslednjih dejavnosti: - zapomnitev navodil, ki so bila podana pisno ali ustno, - zapisovanje števil po nareku, - zapisovanje računov po nareku, - igra spomin s pari kartončkov za urjenje aritmetičnih dejstev poštevanke (na polovici kartončkov so bili številski izrazi množenja, na drugi polovici kartončkov pa ustrezni produkti, - širjenje spominskih sposobnosti s pomočjo Programa Preobrat (angl. Turnabout Program), avtorjev Goldfus in Korn (2004): učenec je na podlagi vidnega vzorca ali slušnega dražljaja nastavil kocke z ustreznim številom pik v pravilnem zaporedju oziroma razporeditvi. Z učenci smo urili zapomnitev od štirih enot naprej, kolikor so si učenci zmogli zapomniti na prvih treningih. 78

96 4. naloga in računalniškega programa Računko: Učenec po Programu Preobrat (angl. Turnabout Program), avtorjev Goldfus in Korn (2004) širi svoje spominske sposobnosti: na računalniškem ekranu za nekaj sekund vidi vzorce pik kot na igralnih kockah (od 1 do 6 pik) v vrsti. Ko se vzorci skrijejo, učenec na tipkovnici v ustreznem zaporedju vtipka števke, ki ustrezajo številu pik videnih vzorcev v enakem zaporedju. Število vzorcev v nizu (od 3 naprej) učenec izbere v naprej v nastavitvah za nalogo 3. Metakognitivne sposobnosti Skozi dejavnosti, ki so potekale med treningi, smo pri učencih razvijali tudi metakognitivne strategije načrtovanja, spremljanja ter uravnavanja procesov učenja in mišljenja, samovrednotenje in samoregulacijo. Te sposobnosti smo pri učencih spodbujali: z individualnim delom, delom v paru in skupini, s spodbujanjem samostojnosti, z razpravljanjem o strategijah, postopkih in rešitvah v paru, s spodbujanjem in usmerjanjem v načrtovanju in spremljanju lastnih dejavnosti učenca, s spodbujanjem samovrednotenja in izražanja lastnih mnenj. Učenci so po treningih ocenili svoje počutje med treningom z ustrezno obliko smeška in svojo uspešnost pri delu z barvanjem ustrezne figure. Slika 12: Ocenitev uspešnosti dela z barvanjem ustrezne figure 79

97 Razvoj organizacijskih veščin Kot glavna cilja za razvoj organizacijskih veščin sem zastavila: - Učenec uredi šolsko torbo. - Učenec uredi svoj delovni prostor v šoli. Primer dejavnosti: Vsak učenec je pripravil svoj prostor na mizi. Nanj je izpraznil svojo šolsko torbo. Smeti je odvrgel v koš. Zvezke in učbenike je zložil na kup. Delovne liste in ostale papirje je zložil v mapo. Zvezke je zložil v torbo po velikost, torbo zaprl in je odložil na dogovorjeno mesto. Učenec je dobil pisna in slikovna navodila za pripravo šolske torbe doma. Za pripravo šolske torbe za pouk za naslednji dan je učenec uril tudi pripravo šolskih potrebščin po urniku. Učenci so sami pripravljali delovni prostor za delo v skupini ali paru (prinašanje materialov, delovnih listov, razdeljevanje, pospravljanje, odnašanje na dogovorjeno mesto). Na prvih srečanjih sem učencem pokazala, kje lahko najdejo posamezen pripomoček in kako mora biti pospravljen. Materiale za delo smo prinesli v učilnico in jih položili vedno na isto mesto, ki je bilo dostopno vsem. Vsak učenec si je pripravil potrebščine za delo in didaktični material. Po dejavnosti je material pospravil in ga vrnil na prvotno mesto. Svoj delovni prostor je po koncu srečanja izpraznil in ga počistil Timsko delo Ravnateljici in razredničarkam (3) sem predstavila program pomoči za delo z učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki sem ga načrtovala. Z razredničarkami smo enkrat na dva tedna načrtovale in usklajevale delo v skupini z učenci in delo v razredu, izmenjevale opažanja in izkušnje v zvezi s težavami učencev pri pouku matematike, njihovim napredkom ter morebitnih spremembah v odzivanju med treningi in pri pouku. Učiteljicam sem poročala o didaktičnih materialih in postopkih dela, ki so jih učenci spoznali na treningu in naj bi jih uporabljali in utrjevali tudi pri pouku. Starši otrok, ki so bili vključeni v program pomoči, so pred začetkom izvajanja le-tega podali soglasje, da se njihovi otroci lahko vključijo v program. Na skupnem srečanju pred začetkom izvajanja programa sem jih seznanila z namenom in cilji našega dela, z načinom dela v skupini, s pravili, ki veljajo za delo v skupini ter njihovo in otrokovo vlogo. V času izvajanja programa 80

98 pomoči sem jih dvakrat povabila na naš trening in jim preko dela učencev predstavila uporabo posameznih didaktičnih pripomočkov ter posamezne postopke, ki so se jih učenci naučili in uporabljali pri matematiki z namenom, da bi jih k uporabi le-teh spodbujali tudi starši doma Delo v oddelku Razredničarke so pri delu v oddelku uporabljale strategije dobre poučevalne prakse. Učencem, ki so bili vključeni v program pomoči, so omogočale urjenje in uporabo znanj in strategij, ki so jih le-ti spoznali in usvojili na treningu oziroma so jih izvajale z vsemi učenci v razredu. Tudi v razredu so spodbujale izvajanje vrstniške pomoči: učenci z učnimi težavami pri aritmetiki so sedeli poleg učencev, ki niso imeli težav pri aritmetiki in so jim po potrebi pomagali med poukom, organizirale so delu v paru in majhnih skupinah. Učiteljice so pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki po mojih navodilih izvajale naslednje organizacijske in metodično-didaktične prilagoditve: časovne prilagoditve (več časa za dokončanje dela); uporaba didaktičnih materialov za učenje na konkretni ravni (pripomočki za ponazarjanje števil in operacij); prilagojena matematična gradiva (manj nalog na listu, podan model za reševanje na listu, barvno označene ključne informacije, več prostora za zapisovanje); dodatna razlage vsebine individualno ali v manjši skupini v razredu, z dodatnimi ponazoritvami; spodbujevalce (uporaba grafičnega prikaza uspešnosti z označbami); prilagoditve okolja (delo v majhni skupini ali paru); ponavljanje (pregled učne vsebine, ponovitev bistvenih delov, uporaba slušnih in vidnih opor, ponavljanje učne snovi ustno, pisno in v komunikaciji z vrstniki); učnim stilom učencev prilagojeni načini predstvaljanja nalog in rezultatov Vtisi razredničark Štirje učenci iz 3. a so se udeleževali treningov matematičnih veščin v manjši skupini, ki jo je vodila defektologinja. Učenci so radi odhajali na ure pomoči in so to pomoč zelo dobro sprejeli. Videlo se je, da so zadovoljni, saj je tudi ostale učence kmalu začelo zanimati, kaj ti učenci 81

99 počnejo na teh treningih. Večkrat so meni in ostalim sošolcem poročali, kaj so počeli ali pa sta vrstnik pomočnik in učenec z učnimi težavami pri aritmetiki v razredu pokazala, kaj in kako sta delala v paru. Pri učencih, ki so prejemali pomoč, sem opazila napredek v znanju pri matematiki. Veliko so delali na osnovnih matematičnih veščinah in tako so tudi pri pouku bili samozavestnejši, saj so bolj zaupali v svoje znanje. Vadili so štetje in vse štiri računske operacije. Naloge so bile pripravljene na zabaven način, tako da so bili bolj motivirani za delo. Delo je bilo prilagojeno njim, da so lahko tudi sami občutili uspeh in dobre občutke ob pohvali. Tudi pri pouku sem opazila, da so postali bolj motivirani. V manjši skupini so tudi ti otroci začutili, da se lahko izkažejo, postali so tudi nekoliko tekmovalni med seboj, saj so v manjši skupini tudi sami imeli možnost, da so kdaj zelo dobri ali celo najboljši, kar se pri običajnem pouku matematike ni zgodilo. Njihova večja samozavest se je prenesla tudi na ostalo delo v učilnici. Učenci so se večkrat brez strahu javili za prostovoljca (tudi če niso vedeli, za kakšno delo bo šlo), več in bolj pogumno so sodelovali pri pouku. Med otroci, ki so obiskovali treninge sem opazila tudi neko novo povezanost, saj jih je družila ta pomoč in večkrat so skupaj čakali, da zapustijo učilnico in gredo na trening. Tudi sama beseda»trening«jim je bila všeč. Ostali učenci so pomoč tem učencem prav tako dobro sprejeli in ni prišlo do kakšnega zbadanja na ta račun. Treningov v manjši skupini z defektologinjo so se udeleževali štirje učenci iz 3. b, pri katerih sem zaznala največje težave pri matematiki. Učenci so v večini primerov imeli velike težave s številskimi predstavami in posledično tudi z večino ostalih vsebin. Defektologinja je treninge matematičnih veščin izvajala vsak teden in učenci so jih z veseljem obiskovali. Na treningih so učenci razvijali številske predstave in urili matematično znanje, ki jim je povzročalo težave. Opazila sem, da se je pri matematiki pojavljalo manj težav pri teh učencih, saj so vrzeli v svojem znanju počasi zapolnjevali. Postajali so bolj samostojni in aktivnejši pri urah matematike. Velikokrat je defektologinja posameznemu učencu, ki je bil deležen skupinske pomoči, v razred prinesla didaktični pripomoček, katerega je odnesel domov in s tem še doma uril znanje ob pomoči staršev. Pri učencih sem opazila napredek v znanju in tudi v samozavesti. Učenci pa so bili s takim načinom dela zadovoljni. 82

100 5.5.7 Priprava vrstnikov pomočnikov za delo z učenci skupine 1 v paru Za učence iz skupine 3 (obeh generacij: skupno 14 učencev), ki so izvajali vrstniško pomoč učencem z učnimi težavami pri aritmetiki, sem najprej pripravila spoznavno srečanje, na katerem sem jih seznanila z namenom izvajanja vrstniške pomoči, jim predstavila, kako potekajo srečanja oziroma delo v paru in pričakovanja, ki jih imam do njih glede dela v paru. Učenci so na tem srečanju povedali svoja pričakovanja in postavljali vprašanja o delu v paru, na katere smo odgovorili. Enkrat mesečno oziroma po potrebi večkrat smo se srečali z vrstniki pomočniki, da sem jih predstavila didaktične pripomočke, s katerimi so v naslednjem mesecu urili aritmetična znanja in spretnosti z učenci v paru ter njihovo uporabo. Predstavljeni so jih bili aritmetični postopki, ki so jih nato uporabljali pri delu z učenci v paru. Učenci so na teh srečanjih dobili dodatne informacije, ki so jih potrebovali za delo v paru in povedali svoje izkušnje in morebitne težave. Tudi vrstniki pomočniki so po vsakem srečanju ocenili svoje počutje (z ustrezno štampiljko smeška) in svojo uspešnost pri delu (barvanjem ustrezne figure). Po koncu izvajanja programa pomoči učencem skupine 1 pa smo izvedli skupno proslavljanje ob zaključku dela, ki so se ga udeležili učenci skupine 1 in vrstniki pomočniki. 83

101 6 REZULTATI IN INTERPRETACIJA Z merskimi instrumenti, ki so opisani v poglavju 5.2, smo ocenili funkcioniranje učencev skupine 1 in skupine 2 pred začetkom izvajanja programa pomoči in po končanem programu pomoči. Na podlagi rezultatov smo ocenili začetno stanje pri učencih, spremljali njihov napredek ter ovrednotili učinkovitost programa. 6.1 ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV SKUPINE 1 Z vprašalnikom o ugotavljanju učnih stilov smo preverili prevladujoče učne stile učencev skupine 1 in vrstnikov pomočnikov, da bi na podlagi le-teh lažje načrtovali delo v skupini in v paru. Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles questionnaire, 2011) Tabela 2: Prikaz učnih stilov učencev skupine 1 pred začetkov izvajanja programa pomoči Skupina Prevladujoči stil Drugi prevladujoči stil Prevladujoči stil v skupini Možne točke Vidni stil Socialni stil Praktični stil Slušni stil Govorni stil Individualisti čni stil Logični stil V tabeli 2 so z zeleno obarvani prevladujoči učni stili posameznih učencev skupine 1, z rumeno pa drugi prevladujoči stil. Razvidno je, da je bil prevladujoči stil učencev skupine 1 vidni stil, sledila pa sta mu socialni in praktični stil. Kot prevladujoča učna stila sta se pri učencih pokazala vidni in socialni stil, vsak pri petih učencih. Sledil jima je logični stil, in sicer pri treh učencih. Govorni stil se ni pojavil kot prevladujoči stil pri nobenem učencu. Izstopala pa sta tudi praktični in slušni stil kot drugi prevladujoči stil pri petih učencih. 84

102 V izvajanje programa pomoči so bili vključeni tudi vrstniki tutorji, zato bomo predstavili tudi njihove učne stile in jih primerjali z učnimi stili učencev skupine 1. Tabela 3: Prikaz učnih stilov učencev vrstnikov pomočnikov Vrstniki tutorji Prevladujoči stil Drugi prevladujoči stil Prevladujoči stil v skupini Možne točke Vidni stil Socialni stil Praktični stil Slušni stil * Govorni stil Individualistični stil Logični stil V tabeli 3 so z zeleno obarvani prevladujoči učni stili posameznih učencev vrstnikov tutorjev, z rumeno pa drugi prevladujoči stil. Razvidno je, da je bil prevladujoči stil učencev vrstnikov tutorjev vidni stil, sledili pa so mu logični, socialni in slušni stil. Kot prevladujoči učni stil se je pri učencih vrstnikih tutorjih pokazal vidni stil pri štirih učencih, drugi prevladujoči stili (logični, socialni in slušni) pa so se pojavili vsak po trikrat. Govorni, praktični in individualnisti stil so se pojavili kot prevladujoči po enkrat. Izstopal pa je tudi vidni stil kot drugi prevladujoči stil pri štirih učencih vrstnikih tutorjih. Pri učencih skupine 1 in učencih vrstnikih tutorjih sta se kot prevladujoča učna stila pokazala vidni in socialni stil, pri učenci skupine 1 pa se je kot prevladujoči in kot drugi predladujoči pokazal praktični stil pri sedmih učencih, medtem ko pri vrstnikih tutorjih samo pri treh učencih. Govorni stil se pri učencih skupine 1 ni pokazal kot prevladujoč ali drugi prevladujoč, pri vrstnikih tutorjih pa se je pokazal kot prevladujoč pri enem učencu in pri dveh kot drugi prevladujoč, kar so ti učenci lahko izkoristili pri delu z učenci skupine 1. Individualističen stil se je pojavil kot prevladujoč pri enem učencu skupine 1, pri vstnikih pa pri enem učencu kot prevladujoč in pri enem kot drugi prevladujoč. Ti učenci niso imeli težav pri vzpostavljanju kontakta z vrstniki v skupini ali v paru. 85

103 Z Vprašalnikom o organizacijskih spretnostih smo hoteli spoznati organizacijske spretnosti posameznih učencev skupine 1, da bi v okviru programa pomoči izvajali tudi treninge organizacijskih veščin, ki bi jim pripomogle k večji stopnji organiziranosti pri pouku in doma. Vprašalnik o organizacijskih veščinah Tabela 4: Prikaz razvitosti področij organizacije pri učencih skupine 1 pred začetkom izvajanja pomoči Učenci skupine 1 Področja organizacije miselne sposobnosti - kognicija Doseženo število točk organiziranost v šoli osebna organiziranost strategije osebna urejenost časovna organiziranost samomotivacija skupni dosežek Legenda: 1-16 posamezni učenci skupine 1 nizek skupni dosežek točk srednji skupni dosežek točk višji skupni dosežek točk področje z najnižjim dosežkom točk Pri učencih skupine 1 smo ugotavljali razvitost organizacijskih spretnosti. Iz tabele 4 lahko razberemo, da so bile organizacijske spretnosti 5 učencev skupine 1 dokaj nizke (rumena barva). 8 učencev je imelo nekoliko višje organizacijske spretnosti (oranžna barva), 3 učenci pa so imeli srednje razvite organizacijske spretnosti. Rezultat slabe organiziranosti učenca na šolskem področju je lahko zamujanje ali pozabljanje pomembnih rokov, povezanih z nalogami in ocenjevanjem. Učenec ima težave s presojanjem časa za opravljanje šolskih obveznosti in nima razvitih strategij, s katerimi bi postal učinkovit na učnem področju. Zaradi težav na področju organizacije šolskega dela lahko razvije odpor do šolskega dela in splošno nezadovoljstvo. Slabo razvite organizacijske veščine imajo vpliv tudi na učenčevo osebno 86

104 življenje, saj s težavo vzdržuje urejenost in čistost delovnega prostora doma in v šoli. Pogosto išče pripomočke za učenje in delo, ker ti niso na stalnem mestu. Težave lahko ima tudi s samomotivacijo, zato se težko motivira za delo in opravljenje šolskih ovbveznosti. Na podlagi ugotovitev o organizacijskih spretnostih učencev skupine 1 smo z učenci pri srečanjih v skupini izvajali vaje za razvoj organizacijskih spretnosti. Naloge za ugotavljanje strategij štetja Tabela 5: Prikaz strategij štetja učencev skupine 1 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na začetnem testiranju Prešteva nje predmet ov Štetje nazaj Štetje v zaporedju Fleksibil no štetje Legenda: P pravilen odgovor N napačen odgovor Strategija Skupina 1 P N 0 nima učinkovite strategije štetja 1 vsake kroglice se dotakne s prstom izvaja aktivnosti s skupino kroglic 3 gleda in šteje kroglice 3 0 nima učinkovite strategije štetja 1 pomaga si s konkretno oporo (prsti, slika) in štetjem nazaj 2 pomaga si s konkretno oporo in štetjem nazaj pomaga si s štetjem naprej brez opor 4 šteje nazaj brez opor 5 0 nima učinkovite strategije štetja v zaporedju 1 pomaga si z oporami (prsti, slika) tiho si govori vsa števila, glasno pa le zahtevano število 2 3 miselno štetje brez opor 4 0 nima učinkovite strategije 1 pomaga si s štetjem (z oporami) pomaga si z računanjem s seštevanjem 1 3 pomaga si z računanjem z množenjem 1 Preštevanje predmetov Iz tabele 5 lahko razberemo, da je 13 učencev skupine 1 preštevalo predmete z dotikanjem, od teh trije učenci niso prišli do pravilnega rezultata. 3 učenci skupine 1 so predmete preštevali le z gledanjem, pri tem pa so bili uspešni. 87

105 Štetje nazaj Iz tabele 5 je razvidno, da si je 11 učencev skupine 1 pomagalo s konkretno oporo pri štetju nazaj, eden od teh napačno. 5 učencev je preštevalo nazaj brez opor in brez napak. Štetje v zaporedju Tabela 5 nam prikazuje, da si je 10 učencev skupine 1 pri štetju pomagalo s preštevanjem prstov, kar štirje pri tem niso bili uspešni. 2 učenca sta preštevala tiho, glasno sta izgovorila le zahtevano število. Miselno štetje brez opor je uporabilo 5 učencev, eden napačno. Fleksibilno štetje Tabela 5 prikazuje tudi pogostost uporabe posamezne strategije fleksibilnega štetja pri učencih skupine učencev skupine 1 si je pri fleksibilnem štetju pomagalo z oporami, od teh trije niso prišli do pravilnih rezultatov. 1 učenec si je pomagal do rezultatov s seštevanjem. En učenec skupine 1 si je pri fleksibilnem štetju pomagal z množenjem. Iz predstavljenih rezultatov lahko povzamemo, da so učenci skupine 1 uporabljali razvojno manj zrele strategije šteja na začetnem testiranju, pri tem pa so se pojavljale tudi napake. Večina učencev si je pri preštevanju pomagala s konkretnimi materiali, vsi učenci pa so imeli razvito neko strategijo, s katero so preštevali. Geary (2004) poudarja, da je za učence z učnimi težavami pri matematiki značilno, da naredijo več napak pri štetju in uporabljajo razvojno manj napredne strategije štetja bolj pogosto, kot učenci brez učnih težav pri matematiki. 88

106 Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) Tabela 6: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % od tega priklic v % Št.r. v % Št.r. v% od tega priklic v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , ,92 3 6, ,61 9 9, Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Iz tabele 6 lahko razberemo, katere strategije računanja so izbrali učenci skupine 1 na začetnem testiranju. Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila vseh 96 primerov. 13 računov so rešili napačno, tako je bilo pravilno rešenih 86,46 % vseh računov. Strategije transformacije (T) so izbrali pri 46,88 % primerov. Od 51 računov, ki so jih reševali s transformacijskimi strategijami, je bilo 10 primerov rešenih napačno. Pri strategijah transformacije (T) smo posebej prikazali, koliko računov so učenci rešili s priklicem aritmetičnega dejstva iz spomina. Tega so izbrali v 47,92 % računov. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 45 računih (46,88 %), napačno izračunani so bili 3 računi (6,67 %). Tabela 7: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % od tega priklic v % Št.r. v % Št.r. v % od tega priklic v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , , , Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov 89

107 Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 96 računov, od teh en račun ni bil reševan, od ostalih 95 računov pa je bilo 71 računov rešenih pravilno, kar znaša 73,96 %. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 41 računih, od tega pri 23 računih pravilno. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene pri 54 računih, 48 računov je bilo na ta način pravilno rešenih. Pri strategijah transformacije (T) smo posebej prikazali število računov, ki so jih rešili s priklicem aritmetičnega dejstva iz spomina, in sicer 53,13 % računov. Tabela 8: Izbor računskih strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Skupina 1 je na začetnem testiranju od skupno 80 računov rešila 53. Pravilnost je bila 28,75- odstotna, reševanja kar 27 računov se učenci sploh niso lotili. Strategije štetja (Š) so izbrali pri 21 primerih, od tega je bilo le 9 računov rešenih pravilno. Strategije transformacije (T) so izbrali pri 32 rešenih računih, 14-krat so bili ti računi pravilno rešeni. Tabela 9: Izbor strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Tabela 9 prikazuje rezultate testiranj skupine 1 pri reševanju računov odštevanja v številskem obsegu do 100. Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 46 računov od skupno 80, to 90

108 predstavlja le 57,50 odstotkov računov. Od teh 46 rešenih primerov je bilo 21 računov rešenih pravilno. Pravilnost je torej le 26,25-odstotna. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 20 računih, pri 13 računih pravilno. Strategije transformacije (T) so bile izbrane za reševanje računov 26-krat, od tega le 8-krat pravilno. Fuson, Richards in Brians (1982); Seron in Deloche (1987, v Garnett, 1998) navajajo, da na aritmetične dosežke posameznika pomembno vpliva obvladovanje osnovnih spretnosti štetja. Kavkler, Tancig in Magajna (2004) so na podlagi raziskave pri učencih z učnimi težavami pri matematiki in uspešnimi učenci ugotovile pomembne razlike v predznanju in tekočnosti štetja, kakor tudi razlike v obvladovanju in kvaliteti štetja glede na začetno in končno testiranje znotraj skupine in med skupinama. Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov Tabela 10: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 1 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju Točke D Skupine M SD M SD M SD M SD Skupina 1 Z 12,31 2,18 6,38 3,69 1,81 1,47 30,12 8,97 Legenda: Z začetno testiranje M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk Iz tabele 10 lahko razberemo, da so učenci skupine 1 na začetnem testiranju dosegli večje število točk pri računih, ki so bili ovrednoteni z 1 in 2 točkama, manjše število točk pa so dosegli pri računih, ki so bili ovrednoteni s 3 točkami. Učencem je ostalo premalo časa za reševanje sestavljenih računov, ki so ovrednoteni s 3 točkami, saj so bili pri delu počasni oziroma teh računov niso znali rešiti. Iz tabele 10 lahko razberemo tudi, da je od možnih 117 točk skupina 1 dosegla povprečno 30 točk na začetnem testiranju. 91

109 Učenci skupine 1 so najuspešneje reševali račune z vrednostjo 1 točke. Glede na začetno testiranje ima skupina 1 pri računih, ovrednotenih z 1 točko 49,76-odstotni uspeh, povprečno število pravilno rešenih računov je 12,31. Uspešnost učencev skupine 1 se je nekoliko znižala pri reševanju računov, vrednotenih z 2 točkama: skupno so dosegli 37,5-odstotni uspeh s povprečnim številom 6,38 pravilnih izračunov. Učenci skupine 1 so bili najmanj uspešni pri reševanju računov za 3 točke, hkrati pa je tu prišlo tudi do največjih razlik v odstopanju pravilnega reševanja. V povprečju so posamezniki skupine 1 od 19 računov pravilno rešili 1,81 računa (9,54 %). Geary (2004) navaja, da se neuspeh v procesu avtomatizacije osnovnih računskih operacij kaže v majhnem številu avtomatiziranih operacij in v slabi kvaliteti le-teh. Osnovna aritmetična dejstva naj bi priklicali iz spomina, proces priklica pa poteka hitro, brez truda in z majhnim številom napak. Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke Tabela 11: Dosežki učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju skupine 1t max=24 f1% min max 2t max=16 f2% min max N Dt max =40 f%d min max S1 Z , , , Legenda: S1 skupina 1 Z začetno testiranje 1t ena točka 2t dve točki 3t tri točke Dt dosežene točke min najnižji dosežek max... najvišji dosežek max=24, max=16, max=40 možno število točk N število učencev f1%, f2%, fd% število doseženih točk v % Učenci skupine 1 so na začetnem testiranju skupno rešili 162 računov, ovrednotenih z 1 točko, kar znaša 42,19-odstotni uspeh, 16 učencev skupine 1 pa je rešilo skupno le 8 računov, ovrednotenih z dvema točkama. Glede na dosežene točke so učenci skupine 1 na začetnem testiranju dosegli 170 točk od možnih 640, kar pomeni, da je bila uspešnost učencev skupine 1 na začetnem testiranju v povprečju le 26,56 %. 92

110 Če učenec ne zmore priklicati aritmetičnega dejstva iz spomina, mora ta dejstva izračunati na drug, običajno bolj zamuden način. Pri tem mora usmeriti čas in pozornost izvajanju strategije in je zato manj učinkovit pri reševanju naloge (Dowker, 2004). Na osnovi rezultatov začetnega testiranja povzemamo, da so imeli učenci skupine 1 usvojene razvojno manj napredne strategije štetja, pri štetju pa je nekaj učencev delalo napake. Na testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev se je pokazalo, da so učenci v podobnem deležu uporabljali strategije štetja in strategije transformacije, priklica aritmetičnih dejstev pa je bilo malo. Delež napak pri seštevanju v številskem obsegu do 20 je bil 13,54 %, pri odštevanju v enakem številskem obsegu 25 %, pri seštevanju v številskem obsegu do 100 je bil delež napak 37,50 % in pri odštevanju v enakem obsegu 31,25 %. Na desetminutnem aritmetičnem testu so učenci skupine 1 v povprečju dosegli 30 točk od 117 možnih, najbolj pa so bili uspešni pri računih, vrednotenih z 1 in 2 točkama. Na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke so učenci v 42,19 % uspešno rešili račune, ovrednotene z eno točko (množenje manjših faktorjev), pri računih z večjimi faktorji pa so bili neuspešni. 93

111 6.2 ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV SKUPINE 2 Naloge za ugotavljanje strategij štetja Tabela 12: Prikaz strategij štetja učencev in skupine 2 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na začetnem testiranju Strategija Skupina 2 P N Prešteva nje predmet ov Štetje nazaj Štetje v zaporedju Fleksibil no štetje Legenda: P pravilen odgovor N napačen odgovor 0 nima učinkovite strategije štetja 1 1 vsake kroglice se dotakne s prstom izvaja aktivnosti s skupino kroglic 3 gleda in šteje kroglice nima učinkovite strategije štetja 1 pomaga si s konkretno oporo (prsti, slika) in štetjem nazaj 3 2 pomaga si s konkretno oporo in štetjem nazaj pomaga si s štetjem naprej brez opor 4 šteje nazaj brez opor 6 0 nima učinkovite strategije štetja v zaporedju 3 1 pomaga si z oporami (prsti, slika) tiho si govori vsa števila, glasno pa le zahtevano število 3 miselno štetje brez opor 1 0 nima učinkovite strategije 1 pomaga si s štetjem (z oporami) pomaga si z računanjem s seštevanjem 6 3 pomaga si z računanjem z množenjem Preštevanje predmetov Iz tabele 12 lahko razberemo, da en učenec skupine 2 ni imel učinkovite strategije preštevanja predmetov. 8 učencev iz skupine 2 se je lotilo preštevanja predmetov z dotikanjem, kar 6 pa jih je bilo pri tem neuspešnih. 5 učencev je predmete preštevalo le z gledanjem, pri tem so bili trije neuspešni. Štetje nazaj Iz tabele 12 je razvidno, da so si trije učenci skupine 2 pri štetju nazaj pomagali s konkretno oporo, večinoma s prsti in štetjem naprej. 5 učencev si je pomagalo s konkretno oporo in štelo nazaj, eden od teh napačno. 6 učencev je preštevalo nazaj brez opor in brez napak. 94

112 Štetje v zaporedju Tabela 12 nam prikazuje, da trije učenci iz skupine 2 niso uporabili učinkovite strategije štetja v zaporedju. 10 učencev si je pomagalo s prsti, pri tem so pravilno preštevali le trije učenci. Miselno štetje brez opor je uporabil en učenec skupine 2. Fleksibilno štetje Tabela 12 prikazuje pogostost uporabe posamezne strategije fleksibilnega štetja pri učencih skupine 2. Z oporami si je pomagalo tudi 8 učencev, štirje nepravilno. 6 učencev si je do rezultatov pomagalo s seštevanjem. Pri tem so bili vsi uspešni. Pri učencih skupine 2 opažamo, da 1 učenec ni imel razvite strategije preštevanja predmetov, trije učenci pa niso poznali ustrezne strategije za štetje v zaporedju. Pri štetju predmetov pa je bilo 10 učencev, ki so uporabili različne stategije, neuspešnih. Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) Tabela 13: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % od tega priklic v % Št.r. v % Št.r. v% od tega priklic v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , ,00 4 4, Legenda: Z2 - začetni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Iz tabele 13 lahko razberemo, katere strategije računanja so izbrali učenci skupine 2 na začetnem testiranju. Skupina 2 je na začetnem testiranju rešila vse račune (84). Na začetnem testiranju je bilo pravilno rešenih 65 računov, kar predstavlja 77,38-odstotno pravilnost. 44 računov (52,38 odstotkov) so rešili s strategijami štetja (Š), 40 računov (47,62 odstotkov) pa s strategijami transformacije (T) oziroma natančneje s priklicem aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega 95

113 spomina. Pri štetju (Š) je bilo kar 14 primerov rešenih napačno, pri strategijah transformacije (T) pa 4 računi niso bili pravilni. Tabela 14: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % od tega priklic v % Št.r. v % Št.r. v% od tega priklic v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , , , Legenda: Z2 - začetni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Skupina 2 je rešila skupno 84 računov. Začetno testiranje je pokazalo 72,62-odstotno pravilnost. 49 računov je bilo rešenih s strategijami štetja (Š), od tega je kar 16 primerov bilo rešenih napačno. S strategijami transformacije (T) je bilo rešenih 35 računov (41,67 odstotkov), napačnih je bilo 7 računov. Priklic je bil uporabljen pri 39,29 odstotkih vseh računov. Tabela 15: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , Legenda: Z2 - začetni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Skupina 2 je pri začetnem testiranju rešila 46 računov od 70. Pravilno je bilo rešenih 19 računov oziroma 27,14 odstotkov. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene 24-krat, od tega pri kar 17 računih napačno. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene pri 22 računih, od tega je bilo 10 računov rešenih napačno. 96

114 Tabela 16: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , Legenda: Z2 - začetni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Tabela 16 prikazuje rezultate začetnega testiranja skupine 2 pri reševanju računov odštevanja s števili do 100. Skupina 2 je na začetnem testiranju rešila 42 računov od 70. Pravilno je bilo rešenih 22 računov oziroma 31,43 odstotkov vseh računov. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 17 primerih, od tega so bili le 4 računi rešeni pravilno. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene za reševanje 25 računov, napačno rešenih je bilo 7 računov. Kavklerjeva (1996) navaja, da ima štetje pomembno vlogo pri razvoju ariemtičnih strategij, saj otrok pri reševanju aritmetične naloge uporabi strategijo, ki mu jo omogoča strategija štetja, ki jo obvladuje. Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov (Kavkler idr., 1996) Tabela 17: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 2 Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju točke D Skupine M SD M SD M SD M SD Skupina 2 Z 11,14 3,68 5 2,08 2,14 1,03 27,57 9,27 Legenda: Z začetno testiranje M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk Iz tabele 17 je razvidno, da so učenci skupine 2 na začetnem testiranju dosegli večje število točk pri računih, ki so bili ovrednoteni z 1 in 2 točkama, manj točk pa so dosegli pri računih, ki 97

115 so bili ovrednoteni s 3 točkami. Učencem je za reševanje sestavljenih računov, ovrednotenih s 3 točkami, zmanjkalo časa, saj so bili pri delu počasni oziroma teh računov niso znali rešiti. Iz tabele 17 lahko razberemo tudi, da je od možnih 117 točk skupina 2 na začetnem testiranju dosegla v povprečju 28 točk. Učenci so najuspešneje reševali račune z vrednostjo 1 točke. Dosegli so 42,86-odstotni uspeh, kar znese v povprečju 11,14 pravilno rešenih računov za 1 točko. Uspešnost se je nekoliko znižala pri reševanju računov v vrednosti 2 točk. Na začetnem testiranju je skupina 2 dosegla 29,41-odstotni uspeh s povprečno petimi pravilnimi računi. Učenci skupine 2 so bili najmanj uspešni pri reševanju računov za 3 točke: pravilno so skupno rešili le 11,28 % računov. V povprečju je posameznik rešil le 2,14 računa. Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke Tabela 18: Dosežki učencev skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju skupine 1t max=24 f1% min max 2t max=16 f2% min max N Dt max =40 f%d min max S2 Z , , , Legenda: S2 skupina 2 Z začetno testiranje 1t ena točka 2t dve točki 3t tri točke Dt dosežene točke min najnižji dosežek max... najvišji dosežek max=24, max=16, max=40 možno število točk N število učencev f1%, f2%, fd% število doseženih točk v % Iz tabele 18 je razvidno, da so učenci skupine 2 so na začetnem testiranju pravilno rešili le 4 račune točkovane z 2 točkama, kar znaša komaj 1,79 %. Učenci so na začetnem testiranju rešili 132 računov, ovrednotenih z 1 točko, kar znaša 39,29-odsotni uspeh. Glede na število skupno doseženih točk so učenci skupine 2 na začetnem testiranju dosegli 136 točk oziroma 24,29 % uspeh. 98

116 6.3 PRIMERJAVA ZAČETNIH REZULTATOV PRI TESTIH UČENCEV SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN SKUPINE 3 Preverili smo, ali se dosežki učencev posamezne skupine (skupina 1, skupina 2 in skupina 3) na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno testiranje pri računih, vrednotenih z 1, 2 in s 3 točkami statistično pomembno razlikujejo med seboj. Preverili smo tudi, ali se dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu za avtomatizacijo poštevanke na začetnem testiranju pomembno razlikujejo. Tabela 19: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno testiranje Z točke SKUPINA 1 SKUPINA 2 N M SD ,31 3, ,14 3,67,196 0,661,869, ,38 3, ,08 2,968,096 1,234, ,8 1, ,14 1,03 2,954,097 -,703,488 D ,13 8, ,57 9,27 0,000,999,766,450 Legenda: Z začetno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk F Sig. t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Preverili smo statistično pomembnost razlik med aritmetičnima sredinama dosežkov skupine 1 in skupine 2 glede na začetne rezultate. Levenov test homogenosti variance v tabeli 19 kaže, da se variance vzorcev glede na začetno testiranje statistično pomembno ne razlikujejo pri vseh spremenljivkah, zato smo uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci. Med skupino 1 in skupino 2 ne obstajajo statistično pomembne razlike glede na začetno testiranje pri vseh spremenljivkah. 99 Levenov test homogenosti varianc t Sig. (2-tailed) F Sig.

117 Aritmetična sredina dosežkov skupine 1 znaša 30,13, skupina 2 pa je skupno dosegla povprečno 27,57 točk. Razlika med aritmetičnima sredinama dosežkov skupin 1 in 2 glede na začetno testiranje ni statistično pomembna pri tveganju, ki je manjše od 0,05 %. Tabela 20: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno testiranje Z točke SKUPINA 1 SKUPINA 3 N M SD ,13 8,97 D 3 48,13 11, Legenda: Z začetno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk F Sig. t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Levenov test homogenosti variance t Sig. (2-tailed) ,31 3, ,46 3,14,216,097-7,457, ,38 3, ,60 2,46 2,767,098-3,359, ,81 1, ,12 1,53,601,439-5,822,000 F Sig.,662,417-6,145,000 Iz tabele 20 je razvidno, da učenci brez učnih težav pri aritmetiki hitreje in fleksibilneje uporabljajo aritmetično znanja. Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 znaša 30,13, skupine 3 pa 48,13 točk. Levenov test homogenosti variance v tabeli kaže, da se varianci vzorcev glede na začetno testiranje statistično pomembno ne razlikujeta, zato smo uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci. Iz tabele 20 je razvidno, da se skupini na začetnem testu statistično pomembno razlikujeta med seboj po vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1 točko, z 2, s 3 in skupno doseženo število točk). Razlike med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 3 so statistično pomembne že pri tveganju, ki je manjše od 0,05 %. To pomeni, da so učenci iz skupine 3 na začetnem testiranju na testu za oceno avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate od učencev skupine

118 Učenci, ki nimajo učnih težav pri matematiki, imajo bolje avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke kot učenci z učnimi težavami pri matematiki, kar navajata tudi Geary (1994) in M. Kavkler (1997). Tabela 21: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetne rezultate Točke Z D SKUPINA 2 SKUPINA 3 N M SD ,14 3, ,46 3, ,0 2, ,60 2, ,14 1, ,12 1, ,57 9, ,13 11,45 Legenda: Z začetno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk F Sig. t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Levenov test homogenosti variance t Sig. (2-tailed) F Sig. 1,196,275-8,353,000 2,497,115-5,360,000,495,482-4,752,000,581,447-6,573,000 Tabela 21 kaže, da je aritmetična sredina dosežkov učencev iz skupine 2 glede na skupno doseženo število točk 27,57, skupine 3 pa 48,13 točk. Variance vzorcev se statistično pomembno ne razlikujejo pri posameznih spremenljivkah, zato smo uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci. Razlika med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupin 2 in 3 glede na začetno testiranje je statistično pomembna pri vseh spremenljivkah. Učenci iz skupine 3 so na testu za oceno avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate od učencev skupine 2 pri vseh spremenljivkah. Geary (2004) navaja, da je razlika med učenci, ki nimjo učnih težav pri matematiki in učenci z učnimi težavami pri matematiki ta, da prvi pri računanju uporabljajo različne strategije, učenci 101

119 z učnimi težavami pa običajno uporabljajo strategije, ki so manj razvite. Obenem ves čas uporabljajo enake strategije. Tabela 22: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju Z točke 1 2 D SKUPINA 1 SKUPINA 2 Legenda: N število učencev Z začetno testiranje M aritmetična sredina SD standardna deviacija F t koeficient Sig. (2-tailed) N M SD ,125 5, ,428 3, ,50 0, ,286 0, ,625 5, ,714 3,496 Leveneov test homogenosti variance t Sig. F Sig. 3,928,057 0,395 0,696 2,178,151 0,714 0,481 3,943,057 0,498 0,622 V tabeli 22 smo prikazali preverjanje statistične pomembnosti razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov obeh testiranih skupin glede dosežkov na začetnem testiranju na Testu za ocenjevanje avtomatizacije poštevanke. Levenov test homogenosti variance kaže, da se variance vzorcev glede na začetno testiranje statistično ne razlikujejo pomembno pri vseh treh spremenljivkah, zato smo uporabili obliko t- testa za privzeti enaki varianci. Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 znaša 10,63, skupine 2 pa 9,71 točk. Razlika med aritmetičnimi sredinami med dosežki skupine 1 in skupine 2 na začetnem testiranju ni statistično pomembna pri vseh treh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1 točko, z 2 točkama in doseženo število točk). Na podlagi dosežkov učencev skupine 2 na začetnem testiranju povzemamo, da je velik delež učencev pri uporabi različnih strategij štetja prešteval napačno in sicer pri preštevanju predmetov in pri štetju v zaporedju. Na Testu za ugotavljanje in spremljanje strategij štetja 102

120 učencev so učenci skupine 2 pri računanju števne in transformacijske stratregije uporabljali v podobnem deležu, delež napak pri seštevanju v številskem obsegu do 20 pa je bil 20 %. Pri odštevanju v enakem obsegu je bil delež napak 27 %, pri seštevanju v obsegu do 100 je bil pa kar 58,70 % neuspeh pri računanju. Pri odštevanju v enakem obsegu je bil delež napak 50 %. Na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov so učenci skupine 2 v povprečju dosegli 28 točk od 117, kar znaša 23,93 % uspešnost. Najbolj uspešno so reševali račune, vrednotene z eno točko, sledili pa so računi za dve točki. Pri računih za tri točke pa so rešili v povprečju samo 2 računa. Na testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke so učenci skupine dva bili pri računih, ovrednotenih z eno točko, uspešni v 39, 29 %, pri računih za dve točki (večji faktorji) pa so skupaj rešili samo 4 račune, kar pomeni, da učenci skupine 2 niso imeli avtomatizirane poštevanke. Pri primerjavi dosežkov posameznih skupin učencev na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstve in postopkov ugotavljamo, da se na začetnem testiranju niso pokazale statistično pomembne razlike v dosežkih učencev skupine 1 in skupine 2 pri vseh spremenljivkah (računi, vrednoteni z 1, 2, s 3 točkami in pri doseženem številu točk). Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 pa so se pokazale statistično pomembne razlike pri računih, vrednotenih z eno, dvema, s tremi točkami in pri doseženem številu točk. Prav tako so se pokazale statistično pomembne razlike med dosežki skupine 2 in skupine 3 na začetnem testiranju pri vseh spremenljivkah (računi, vrednoteni z 1, 2, s 3 točkami, in pri doseženem številu točk). Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu za avtomatizacijo poštevanke smo ugotovili, da med dosežki skupin ni bilo statistično pomembnih razlik pri vseh spremenljivkah testa (računi, vrednoteni z 1, 2, s 3 točkami in pri doseženem številu točk). 103

121 6.4 PRIMERJAVA ZAČETNIH IN KONČNIH DOSEŽKOV TER KONČNI DOSEŽKI UČENCEV SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN SKUPINE 3 Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) Tabela 23: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % od tega priklic v % Št.r. v % Št.r. v% od tega priklic v % Rešeni računi Nerešeni računi Z , , ,92 3 6, ,61 9 9, K1 4 4, , , ,26 3 3, Z , , , , ,00 4 4, K , , ,43 2 8,70 3 4,92 3 3, Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Število vseh računov Iz tabele 23 lahko razberemo, katere strategije računanja so izbrali učenci skupine 1 in skupine 2 na začetnem in končnem testiranju. Pri končnem testiranju je skupina 1 pravilno rešila 94 računov od 96, kar predstavlja 97,92- odstotno pravilnost. Vidimo, da so učenci večkrat uporabili strategije transformacije (T) kot štetja (Š), kar v 95,83 odstotkih pa so izbrali priklic aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega spomina, od tega sta bila napačno rešena le 2 računa. V štirih primerih so bile uporabljene strategije štetja (Š) in vsi štirje primeri so bili rešeni pravilno. Skupina 2 je prav tako v začetnem in končnem testiranju rešila vse primere (84). Končno testiranje pri skupini 2 je pokazalo povečanje števila pravilno rešenih računov. Od 84 računov je bilo pravilnih 79 oziroma 94,05 odstotkov. Večkrat so bile izbrane strategije transformacije (T) kot štetja (Š). Vsi učenci, ki so uporabili strategije transformacije (T), razen enega, so uporabili priklic aritmetičnih dejstev (71,43 odstotkov). Strategije štetja (Š) so učenci izbrali pri 23 računih, 2 sta bila rešena napačno, strategije transformacije (T) pa pri 61 računih, od tega so bili 3 računi rešeni napačno. 104

122 Skupina 1 in skupina 2 sta na končnem testiranju rešili vse primere. Pri pravilno rešenih računih pa je bila skupina 1 boljša od skupine 2 za 3,87 odstotkov. Tabela 24: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % od tega priklic v % Št.r. v % Št.r. v% od tega priklic v % Rešeni računi Nerešeni računi Z , , , , , , K1 3 3, , ,88 0 0,00 2 2,15 1 1, Z , , , , , , K , , , ,69 3 5,45 3 5, Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Število vseh računov Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 96 računov. Na končnem testiranju so učenci skupine 1 rešili vse račune, pravilnost je bila 97,92-odstotna. 2 računa transformacije (T) sta bila napačno rešena, od skupno 93 primerov. V vseh primerih (96,88 odstotkih) je bil uporabljen priklic aritmetičnega dejstva iz spomina. Strategije štetje (Š) so bile uporabljene 3-krat (3,13 odstotkov) in pri vseh treh primerih pravilno. Na končnem testiranju so učenci skupine 2 pravilno rešili 75 primerov oziroma 89,29 odstotkov. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 29 računih, od tega 23-krat pravilno. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene 55-krat (v 65,48 odstotkih), od tega pri 52 računih pravilno. 64,29 odstotkov računov je bilo izračunanih s priklicem. Če primerjamo skupino 1 in skupino 2, ugotovimo, da sta obe rešili vse primere na končnem testiranju, vendar je bila skupina 1 pri pravilno rešenih primerih boljša od skupine 2 in to za 8,63 odstotkov. 105

123 Tabela 25: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , K , , Z , , , , K , , , , Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Skupina 1 je v začetnem testiranju od skupno 80 računov rešila 53. Pravilnost je bila 28,75- odstotna, reševanja kar 27 računov se učenci sploh niso lotili. Na končnem testiranju je skupina 1 rešila 79 računov, od tega je bilo pravilno rešenih 71, kar predstavlja 88,75-odstotno pravilnost. Strategij štetja (Š) niso uporabili, strategije transformacije (T) pa so bile uporabljene 8-krat napačno, od skupno 79 rešenih računov. Skupina 2 je pri začetnem testiranju rešila 46 računov od 70. Pravilno je bilo rešenih 19 računov oziroma 27,14 odstotkov. Na končnem testiranju je bilo rešenih 59 računov, od tega 34 računov oziroma 48,57 odstotkov pravilno. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 21 računih, od tega kar pri 15 računih napačno. Strategije transformacije (T) so bile izbrane za reševanje pri 38 računih, pri 10 računih napačno. Pri primerjavi obeh skupin glede pravilnosti reševanja računov seštevanja v številskem obsegu do 100 ugotavljamo, da je bila skupina 1 za 14,46 odstotkov boljša od skupine 2. Prav tako je bila skupina 1 boljša v primerjavi s skupino 2 glede pravilno rešenih računov na končnem testiranju in to za 40,18 odstotkov. 106

124 Tabela 26: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100 TEST STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK Š T Š T Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Rešeni računi Nerešeni računi Število vseh računov Z , , , , K1 5 6, , , , Z , , , , K , , , , Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Tabela 26 prikazuje rezultate testiranj skupin 1 in skupine 2 pri reševanju računov odštevanja s števili do 100. Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 46 računov od skupno 80, to predstavlja le 57,50 odstotkov računov. Na končnem testiranju je skupina 1 rešila kar 74 računov od 80, od tega 59 računov pravilno, kar predstavlja 73,75-odstotno pravilnost. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene pri 69 računih, od tega pri 55 pravilno, strategije štetja (Š) pa le pri 5 računih, en primer je bil rešen napačno. Skupina 2 je na začetnem testiranju rešila 42 računov od 70. Pravilno je bilo rešenih 22 računov oziroma 31,43 odstotkov vseh računov. Rezultati končnega testiranja kažejo, da je skupina 2 rešila 55 računov od 70. Pravilnost je bila 38,57-odstotna. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 29 računih, od tega 12-krat pravilno. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene pri 26 računih, od tega pri 15 računih pravilno. Če primerjamo obe skupini, vidimo, da je skupina 1 zelo izboljšala svoje rezultate na končnem testiranju glede na začetno. Pri vseh rešenih računih je skupina 1 za 13,93 odstotkov boljša od skupine 2, pri pravilno rešenih računih je pa skupina 1 za kar 35,18 odstotkov boljša od skupine

125 M. Kavkler (1996) poudarja, da je za učence z učnimi težavami pri matematiki značilna uporaba razvojno manj zrelih strategij štetja (npr. preštevanje vsega). Te strategije od učenca zahtevajo veliko časa, pri tem je zasedenega veliko delovnega spomina, pogoste pa so tudi napake. Asociacija med računom in ustreznim rezultatom se pri uporabi teh strategij vzpostavi počasneje, kar predstavlja oviro pri prehodu na priklic aritmetičnega dejstva. A. Dowker (2004) kot eno izmed najbolj pogostih težav pri učencih z aritmetičnimi težavami navaja zapomnitev aritmetičnih dejstev. Študije otrok z učnimi težavami pri matematiki so pokazale, da so ti učenci manj uspešni pri priklicu aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina kot pri drugih aritmetičnih sposobnostih. Pogosto se zanašajo na števne strategije tudi v letih, ko njihovi vrstniki že uporabljajo priklic dejstev (Russell and Ginsburg, 1984; Siegler, 1988; Geary and Brown, 1991; Ostad, 1997, 1998; Cumming in Elkins, 1999; Fei, 2000, v Dowker, 2005). Podobno smo ugotovili v naši raziskavi pri učencih skupine 1 in skupine 2. Ugotovili smo, da so učenci obeh skupin na začetnem testiranju pri računih seštevanja in odštevanja v obsegu do 20 v veliki meri uporabljali števne strategije, pri tem pa so delali napake. Na končnem testiranju smo ugotovili znatno povečanje uporabe transformacijskih strategij pri obeh skupinah učencev, je pa bil del transformacijskih strategij pri učencih skupine 1 višji. Učenci skupine 2 so tudi napredovali s števnih k transformacijskim strategijam, vendar v manjšem obsegu. Pri učencih skupine 2 se je pri računanju pojavilo tudi več napak na končnem testiranju. Tudi pri seštevanju in odštevanju v obsegu do 100 je skupina 1 v večji meri na končnem testiranju uporabljala transformacijske strategije in zmanjšala število napak pri računanju kot skupina 2. Skupina 2 pa je na končnem testiranju v primerjavi z začetnim (pri seštevanju in odštevanju v obsegu do 100) še vedno uporabljala števne strategije v enaki meri, podoben pa je ostal tudi delež napak pri računanju. Rezultati nam kažejo, da je skupina 1 v primerjavi s skupino 2 napredovala v večji meri, skupina 2 pa je napredovala s števnih k transformacijskim strategijam le pri računanju v manjšem obsegu, ne pa tudi pri računanju v obsegu do 100, kar pomeni, da je potrebno tudi učencem skupine 2 nuditi ustrezno pomoč, da bodo usvojili aritmetične postopke in dejstva in tako napredovali na področju matematike. 108

126 Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996) Tabela 27: Prikaz dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem in končnem testiranju Skupine 1t Št. r.=26 f1% min št. točk max št. točk 2t Št.r.= 17 f2% min št. točk max št. točk 3t Št.r.= 19 f3% min št. točk max št. točk N DT max 117 f%d min št. točk max št. točk S1 S2 Z , , , , K , , , , Z , , , , K , , , , S3 Z , , , , K , , , , Legenda: S1 učenci skupine 1 S2 učenci skupine 2 S3 učenci skupine 3 Z začetno testiranje K končno testiranje 1t 1 točka 2t 2 točki 3t 3 točke Št. r. število računov f % frekvenca v odstotkih DT doseženo število točk min minimalno število točk max maksimalno število točk 109

127 Iz tabele 27 je razvidno, da so učenci iz skupine 1 na začetnem testiranju skupaj dosegli 482 točk, kar pomeni 26-odstotni uspeh, po ponovnem testiranju pa 1277 točk in s tem 68-odstotni uspeh. Učenci iz skupine 2 so na začetnem testiranju dosegli 386 točk in dosegli 24-odstotni uspeh. Na končnem testiranju so dosegli 814 točk, kar pomeni 50-odstotni uspeh. Učenci iz skupine 3 pa so na začetnem testiranju dosegli točk, kar pomeni 41-odstotni uspeh in na končnem testiranju točk ter dosegli 76-odstotni uspeh. Tabela 28: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Točke D Skupine M SD M SD M SD M SD Skupina 1 Skupina 2 Skupina 3 Legenda: Z začetno testiranje K končno testiranje M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk Z 12,31 2,18 6,38 3,69 1,81 1,47 30,12 8,97 K 23,75 1,73 14,44 2,78 8,94 2,74 79,81 12,50 Z 11,14 3,68 5 2,08 2,14 1,03 27,57 9,27 K 20,43 3,67 10,71 4,41 5,57 2,59 58,14 18,01 Z 18,46 3,14 8,60 2,46 4,12 1,53 48,13 11,45 K 23,91 2,52 14,77 10,97 11,70 4,64 88,42 19,77 Iz tabele 28 je razvidno, da so učenci vseh treh skupin tako na začetnem kot na končnem testiranju dosegli večje število točk pri računih, ki so bili ovrednoteni z 1 in 2 točkama, manj točk pa so dosegli pri računih, ki so bili ovrednoten s 3 točkami. Učencem je ostalo premalo časa za reševanje sestavljenih računov, ki so ovrednoteni s 3 točkami, saj so bili pri delu počasni in jim je zmanjkalo časa za reševanje oziroma teh računov niso znali rešiti. Iz tabele 28 lahko razberemo tudi, da je od možnih 117 točk skupina 1 dosegla povprečno 30 točk na začetnem testiranju in kar 80 točk po izvedeni pomoči. Skupina 2 je na začetnem testiranju dosegla v povprečju 28 in na končnem testiranju 58 točk. Skupina 3 pa je od možnih 117 točk dosegla v povprečju 48 točk in po končanem testiranju 88 točk. Največji razkorak med doseženimi točkami pred in po izvedbi programa se kaže pri učencih skupine 1. Po mnenju Gearyja (1994) potrebujejo otroci s težavami pri matematiki več časa, da rešijo aritmetične 110

128 probleme kot njihovi vrstniki. Vse osnovne računske procese izvršujejo počasneje. M. Kavkler (2002) se z njim strinja tudi v tem, da otroci s skromnejšim aritmetičnim znanjem pri reševanju aritmetičnih nalog uporabljajo manj razvite aritmetične strategije (npr. preštevanje vsega), ki poleg več časa terjajo tudi več napak. Pri primerjavi pri matematiki uspešnih otrok in otrok z učnimi težavami pri aritmetiki smo ugotovili, da imajo slednji slabše avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke. Zato je potrebno nameniti več časa avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov, da bodo otroci na trdnih temeljih uspešneje napredovali v šoli in tako delovali tudi v vsakdanjem življenju. Hkrati je potrebno učencem, ki aritmetičnih znanj nimajo avtomatiziranih, pri izvajanju aritmetičnih nalog omogočiti več časa za reševanje. Pri matematiki se znanje nadgrajuje, zato je nujno sprotno odpravljanje težav. Učenci vseh treh skupin so najuspešneje reševali račune z vrednostjo 1 točke. Glede na začetno testiranje ima skupina 1 pri računih, ovrednotenih z 1 točko 49,76-odstotni uspeh povprečno število pravilno rešenih računov je 12,31. Skupina 2 je dosegla 42,86-odstotni uspeh, kar znese v povprečju 11,14 pravilno rešenih računov. Skupina 3 pa je dosegla 71-odstotni uspeh, kar predstavlja v povprečju 18,46 pravilno rešenih računov. Na končnem testiranju pa je skupina 1 dosegla 91,35-odstotni uspeh pri računih za 1 točko povprečno število pravilno rešenih računov je bilo 23,75. Skupina 2 je dosegla 78,57-odstotni uspeh, kar znaša v povprečju 20,43 pravilno rešenih računov. Skupina 3 pa je dosegla skoraj 92-odstotni uspeh, kar predstavlja v povprečju 23,91 pravilno rešenih računov. Ti računi so lažji, brez prehoda čez desetice in so bili napisani v začetnem delu testa. Uspešnost testiranih skupin se je nekoliko znižala pri reševanju računov v vrednosti 2 točk. Na začetnem testiranju je skupina 1 dosegla 37,5-odstotni uspeh s povprečnim številom 6,38 pravilnih odgovorov, skupina 2 29,41-odstotni uspeh s povprečno petimi pravilnimi odgovori, skupina 3 pa 50,61-odstotni uspeh s povprečno 8,6 pravilnih odgovorov. Glede na končno testiranje je skupina 1 dosegla 84,93-odstotni uspeh s povprečnim številom 14,44 pravilnih odgovorov, skupina 2 63,03-odstotni uspeh s povprečno 10,71 pravilnih odgovorov, skupina 3 pa 86,88-odstotni uspeh s povprečno 14,77 pravilnih odgovorov. Vse tri skupine učencev so bile najmanj uspešne pri reševanju računov za 3 točke, hkrati pa je tu prišlo tudi do največjih razlik v odstopanju pravilnega reševanja. Na začetnem testiranju so učenci skupine 1 skupaj pravilno rešili 9,54 % računov, učenci skupine 2 so skupaj pravilno rešili 11,28 % računov, učenci skupine 3 pa 21,68 % računov. V povprečju so posamezniki 111

129 skupine 1 od 19 računov pravilno rešili 1,81 računa, posamezniki iz skupine 2 so v povprečju pravilno rešili 2,14 računa in iz skupine 3 v povprečju 4,12 računov. Na končnem testiranju je skupina 1 pravilno rešila 47,04 % računov, skupina 2 je pravilno rešila 29,32 % računov, skupina 3 pa je pravilno rešila 61,57 % računov. V povprečju so posamezniki skupine 1 od 19 računov pravilno rešili 8,94 računov, iz skupine 2 so pravilno rešili 5,57 računov, učenci iz skupine 3 pa 11,7 računov. Preverili smo statistično pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 glede na število točk na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno in končno testiranje. Tabela 29: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Skupina 1 N=16 čas testiranje začetno/končno M SD t t-test Sig. (2-tailed) 1 točka 2 točki 3 točke doseženo št. točk Legenda: Z začetno testiranje K končno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Z K Z K Z K Z K 12,94 2,18-16,236,000 23,75 1,73 6,38 3,69-6,825,000 14,44 2,78 1,81 1,47-10,172,000 8,94 2,74 30,13 8,97-15,434,000 79,81 12,50 Glede na doseženo število točk na začetnem testiranju je skupina 1 dosegla povprečno 30,13 točk, na končnem pa 79,81 točk. Napredek skupine 1 v doseženem številu točk je očiten. Iz tabele 12 lahko razberemo, da so razlike v dosežkih glede na začetno in končno testiranje pri 112

130 vseh računih, ovrednotenih s točkami ena, dve in tri ter skupno doseženimi točkami pri desetminutnem testu statistično pomembne. Preverili smo tudi statistično pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu (skupina 2) glede na začetno in končno testiranje. Tabela 30: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Skupina 2 N=14 čas testiranje začetno/končno M SD t t-test Sig. (2-tailed) 1 točka Z 11,14 3,68 K 20,43 3,67-12,729,000 2 točka Z 5 2,08 K 10,71 4,41-5,064,000 3 točka Z 2,14 1,03 K 5,57 2,59-5,096,000 doseženo št. točk Legenda: Z začetno testiranje K končno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Z 27,57 9,27 K 58,14 18,01-7,285,000 Iz tabele 30 lahko razberemo, da so razlike med dosežki skupine 2 pri računih, ovrednotenih s točkami ena, dve in tri ter skupno doseženimi točkami glede na začetno in končno testiranje z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov, statistično pomembne. Učenci so pomembno napredovali v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov ob formalnem učenju matematike, izvajanju dobre poučevalne prakse učitelja, dopolnilnem pouku ter pomoči v okviru podaljšanega bivanja. Preverili smo statistično pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev brez učnih težav pri aritmetiki glede na začetno in končno testiranje. 113

131 Tabela 31: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju Skupina 3 N=209 čas testiranje začetno/končno M SD t t-test Sig. (2-tailed) 1 točka 2 točki 3 točke doseženo št. točk Legenda: Z začetno testiranje K končno testiranje M aritmetična sredina SD standardna deviacija N število učencev Z K Z K Z K Z K 18,46 3,14 23,91 2,52 8,60 2,46 15,50 10,97 4,12 1,53 11,70 4,63 48,13 11,45 88,42 19,77-19,196-8,829-21,794-24,674,000,000,000,000 Na začetnem testiranju so tudi učenci brez učnih težav pri aritmetiki pri vseh spremenljivkah dosegli bistveno nižje rezultate kot na končnem testiranju. Povprečje doseženih točk na začetnem testiranju je znašalo 48,13, na končnem pa 88,42 točk. Iz tabele 14 lahko vidimo, da obstajajo med dosežki učencev na začetnem in končnem testiranju statistično pomembne razlike pri vseh štirih spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2 in 3 točkami in doseženo število točk). Učenci so v času od začetnega testiranja do končnega testiranja v tretjem razredu pri pouku matematike usvajali naslednja znanja: seštevanje in odštevanje v množici naravnih števil do 100; pisno seštevanje in odštevanje naravnih števil do 1000; avtomatizacija zmnožkov v obsegu 10 x 10 (poštevanka); avtomatizacija količnikov, ki so vezani na poštevanko; uporaba računskih zakonov pri seštevanju in množenju; ocenitev in izračun vrednosti številskega izraza z upoštevanjem vrstnega reda računskih operacij ipd. Zato ugotavljamo, da so učenci ob formalnem izobraževanju napredovali, kar lahko sklepamo iz dosežkov učencev skupine 3 na končnem testiranju, pa tudi učencev skupine 1 in skupine

132 Na osnovi dobljenih rezultatov na začetnem in končnem testiranju z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov pri učencih skupine 1, skupine 2 in skupine 3 lahko povzamemo, da bi bili lahko dosežki učencev pri računih tega testa, vrednotenih s tremi točkami, dober napovedovalec uspešnosti oziroma učnih težav na področju aritmetičnega znanja. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki (učenci skupine 1 in skupine 2) so imeli težave pri računih z več računskimi operacijami, zaradi slabšega obvladovanja aritmetičnih znanj, saj so bili pri računanju počasnejši in manj fleksibilni v primerjavi z njihovimi vrstniki brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3). Rezultati iz tabele 30 kažejo, da lahko z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov uspešno diagnosticiramo učence, ki imajo učne težave na področju aritmetike in jim zagotovimo pravočasno in učinkovito pomoč. Ugotavljamo, da učenci, ki so rešili manj računov, ovrednotenih z eno in dvema točkama, niso imeli dovolj avtomatiziranih najosnovnejših aritmetičnih dejstev. Ugotavljamo tudi, da je potrebno učencem, ki niso bili uspešno pri računih, ovrednotenih s tremi točkami, nuditi pomoč pri avtomatizaciji aritmetičnih postopkov. 115

133 V nadaljevanju smo preverili, ali se dosežki učencev posameznih skupin glede na račune, vrednotene z eno, dvema in s tremi točkami, značilno razlikujejo med učenci z učnimi težavami pri aritmetiki (skupina 1 in skupina 2) in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3). Tabela 32: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju K točke ,75 1, ,43 3,67 2,950,097 3,235, ,44 2, ,71 4,41 5,427,027 2,721, ,94 2, ,57 2,59,114,738 3,438,002 D ,81 12, ,14 18,01,388,539 3,868,001 Legenda: K končno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Levenov test homogenosti variance v tabeli 16 kaže, da se varianci vzorcev glede na končno testiranje statistično pomembno razlikujeta pri spremenljivki točka 2, zato smo uporabili obliko t-testa za privzeti različni varianci. Pri ostalih treh spremenljivkah smo uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci. Iz zgornje tabele 32 je razvidno, da se skupini statistično pomembno razlikujeta v dosežkih pri vseh spremenljivkah (računi ovrednoteni s točko 1, točko 2, točko 3 in skupno doseženo število točk). SKUPINA 1 SKUPINA 2 N M SD Levenov test homogenosti varianc t Sig. (2-tailed) Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 znaša 79,81 točk, skupina 2 pa je skupno dosegla povprečno 58,14 točk. Razlika med aritmetičnima sredinama dosežkov skupin 1 in 2 je statistično pomembna že pri tveganju, ki je manjše od 0,05 %. To pomeni, da so učenci skupine F Sig. 116

134 1 na testu za oceno avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate od učencev skupine 2. Učenci skupine 2 so imeli manj avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke, zato so rešili manj računov kot učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili deležni skupinske pomoči (skupina 1). Torej so imeli učenci skupine 1 bolje avtomatizirana dejstva in postopke ter so bili hitrejši v reševanju aritmetičnih problemov od učencev skupine 2. Tabela 33: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju K točke SKUPINA 1 SKUPINA 3 N M SD ,75 1, ,91 2, ,44 2, ,77 2, ,94 2, ,7 4, ,81 12,50 D 3 88,42 19, Legenda: K končno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Levenov test homogenosti variance t Sig. (2-tailed) F Sig. 1,068,302 -,248,804,005,945 -,502,616 12,255,001-3,646,001 5,401,021-2,523,020 Rezultati končnega testiranja ne razkrivajo več statistično pomembnih razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 pri računih, vrednotenih z 1 in 2 točkama. Iz tabele 33 lahko razberemo, da aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 glede na skupno doseženo število točk znaša 79,81, skupine 3 pa 88,42 točk. Razlika med aritmetičnima sredinama skupin 1 in 3 je statistično pomembna že pri tveganju, ki je manjše od 0,05 % pri spremenljivkah»točka 3«in»skupno doseženo število točk«. To pomeni, da so učenci iz 117

135 skupine 3 na končnem testiranju z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate od učencev iz skupine 1 pri nalogah, ovrednotenih s 3 točkami in pri skupnem doseženem številu točk. Tabela 34: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju Točke K D Skupine SKUPINA 2 SKUPINA 3 Legenda: K končno testiranje N število učencev M aritmetična sredina SD standardna deviacija D doseženo število točk F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost N M SD ,43 3, ,91 2, ,71 4, ,77 2, ,57 2, ,7 4, ,14 18, ,42 19,77 Levenov test homogenosti variance t Sig. (2-tailed) F Sig. 2,199,139-4,851,000 15,381,000-3,404,004 13,209,000-4,888,000 1,873,173-5,577,000 Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 2 glede na skupno doseženo število točk znaša 58,14, skupine 3 pa 88,42 točk. Levenov test homogenosti variance v tabeli 34 kaže, da se varianci vzorcev glede na končno testiranje statistično pomembno razlikujeta pri spremenljivki točka 2 in točka 3, zato smo uporabili obliko t-testa za privzeti različni varianci. Pri uporabi ostalih dveh spremenljivk smo uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci. Razlika med aritmetičnima sredinama dosežkov učencev skupin 2 in 3 glede na končno testiranje je statistično pomembna pri vseh spremenljivkah. Učenci iz skupine 3 so na 118

136 Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate od učencev iz skupine 2 pri vseh spremenljivkah. Povzetek ugotovitev glede dosežkov učencev skupine 1, skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1, skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem in končnem testiranju povzemamo, da so bili učenci vseh treh skupin uspešnejši pri reševanju računov za 1 in 2 točki, manjše število točk pa so dosegli pri računih, ovrednotenih s 3 točkami. Pri primerjavi začetnih dosežkov učencev posameznih skupin smo ugotovili, da razlike v dosežkih med skupino 1 in skupino 2 (pri vseh spremenljivkah: računi, ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk) na začetnem testiranju niso bile statistično pomembne. Razlike med dosežki učencev skupine 1 in skupine 3 (pri vseh spremenljivkah) na začetnem testiranju pa so bile statistično pomembne, prav tako so bile statistično pomembne razlike med dosežki učencev skupine 2 in skupine 3 (pri vseh spremenljivkah: računi, ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk). Pri primerjavi začetnih in končnih dosežkov posamezne skupine ugotavljamo statistično pomemben napredek v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov pri učencih skupine 1, skupine 2 in skupine 3 pri vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk). Pri primerjavi dosežkov skupine 1 in skupine 2 na končnem testiranju ugotavljamo, da se skupini v dosežkih statistično pomembno razlikujeta pri vseh treh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk). Iz tega povzemamo, da so učenci skupine 1 bolje napredovali v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov in so pri računanju hitrejši. Pri primerjavi dosežkov skupine 1 in 3 ugotavljamo, da se dosežki statistično pomembno razlikujejo pri računih za 3 točke in pri skupnem doseženem številu točk, razlike pri računih za 1 in 2 točki pa se na končnem testiranju niso pokazale kot statistično pomembne. Iz tega povzemamo, da so učenci skupine 1 napredovali v avtomatizaciji osnovnih dejstev in postopkov (računi brez prehoda desetice ter pri srednje zahtevnih računih), ne pa tudi pri računih z dvema operacijama, računih z neznanim členom in računih s tromestnimi števili. 119

137 Pri primerjavi dosežkov skupine 2 in skupine 3 na končnem tesstiranju pa ugotavljamo, da se dosežki skupine 2 in 3 tudi po enem letu še vedno statistično pomembno razlikujejo pri vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk). Na podlagi teh rezultatov povzemamo, da je skupina 1 na osnovi skupinske učne pomoči in vrstniške pomoči napredovala v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov v enem letu ter dosegla statistično pomembno boljše rezultate od učencev skupine 2 (učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu) po koncu programa pomoči. Na podlagi izvajanja programa pomoči pa so se v enem letu zmanjšale tudi razlike v dosežkih med skupino 1 in skupino 3. Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) Tabela 35: Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na kočnem testiranju Levenov test Skupina N Min Max (17) M SD % homogenosti t-test variance F Sig. t Sig.(2-tailed) S ,03 2,11 224,5 82,90 S ,5 10,5 4, ,77 Legenda: N število učencev Min najmanjše število doseženih točk Max največje število doseženih točk M aritmetična sredina SD standardna deviacija vsota točk % vsota točk v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost 12,691,001 2,736 0,014 V tabeli 35 lahko vidimo razlike v dosežkih med skupino 1 in skupino 2. Povprečno število točk je pri skupini 2 manjše, saj znaša 10,5, medtem ko je pri skupini 1 povprečen dosežek 14,3 točke. Skupina 1 je skupno dosegla 82,90 % (225,5) točk, skupina 2 pa 61,77 % (147) točk. Najnižje število točk pri skupini 1 je bilo 10, pri skupini 2 pa 2 točki. Najvišje doseženo število točk pri skupini 1 je bilo 17, pri skupini 2 pa 15,5. 120

138 Med dosežki skupine 1 in skupine 2 obstaja statistično pomembna razlika. Učenci, ki so bili vključeni v program pomoči, so pri nalogah na testu dosegli boljše rezultate kot učenci, ki niso bili deležni pomoči po našem programu. 121

139 Tabela 36: Prikaz dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) na končnem testiranju spremenljivke Možno skupno N M SD Min Max % % Možno št. točk št. točk S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 Glasno branje števil ,94 0,29 0,25 0, , , Pisanje števil ,44 0,5 0,51 0, , Urejanje številske vrste ,81 0,42 0,40 0, , , Štetje od 100 nazaj po ,69 0,5 0,48 0, , Računske naloge I ,88 1,29 0,5 0, , , Katero od dveh števil je večje Vstavljanje manjkajočega števila ,53 3,21 0,69 0, ,5 88, , ,88 0,86 0,34 0, , , Računske naloge II ,31 0,64 0,48 0, , , Določanje računske operacije Številski trikotni test ,63 1,79 0,81 1, , , ,5 82, , Legenda: N število učencev S1 skupina 1 S2 skupina 2 Min najmanjše število doseženih točk Max največje število doseženih točk M aritmetična sredina vsota točk % vsota točk v odstotkih 122

140 Iz tabele 36 lahko razberemo, da so učenci skupine 1 dosegli boljše rezultate pri osmih nalogah. Pri dveh nalogah»pisanje števil«in»računski problemi II«so bili nekoliko uspešnejši učenci skupine 2. Skupina 1 je skupno dosegla 240,5 (88,42 %) od vseh možnih 272 točk. Skupina 2 pa je dosegla 147 (61,77 %) od 238 možnih točk. Natančnejša interpretacija posameznih rezultatov vseh desetih spremenljivk je prikazana v nadaljevanju. Tabela 37: Prikaz rezultatov spremenljivke»glasno branje števil«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 Levenov test homogenosti variance t-test f f% f f% F Sig. t Sig (2-tailed) 0 1 6, , ,8 4 28, Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost 14,246 0,01 4,655 0,00 Iz tabele 37 je razvidno, da so učenci skupine 1 pri prvi spremenljivki povprečno dosegli 0,94 točke. 15 učencev (93,8 %) je pravilno glasno prebralo števila. Neuspešen pri nalogi je bil 1 učenec (6,2 %) skupine 1. To nalogo pa so pravilno rešili le 4 učenci (28,6 %) skupine 2, ostalih 10 učencev (71,4 %) je bilo neuspešnih. Povprečni rezultat skupine 2 je bil 0,29 točke. Učenci skupine 1 so bili pri tej nalogi uspešnejši. V tabeli 37 je prikazano, da obstaja statistično pomembna razlika med dosežki skupine 1 in skupine 2 pri spremenljivki»glasno branje števil«. 123

141 Tabela 38: Prikaz rezultatov spremenljivke»pisanje števil«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 Levenov test homogenosti variance t-test f f% f f% F Sig. t Sig. (2-tailed) , , Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost,207,652 -,331,743 Pri spremenljivki»pisanje števil«lahko v tabeli 38 opazimo, da je nalogo pravilno opravilo 7 učencev iz skupine 1 (43,8 %) in 7 učencev skupine 2 (50 %). Povprečna vrednost doseženih točk pri omenjeni spremenljivki, ki je prikazana v tabeli 36, je nekoliko višja pri skupini 2 in znaša 0,5. Pri skupini 1 znaša 0,44 točke. Opazimo lahko, da je rezultat pri omenjeni spremenljivki višji pri skupini 2 kot pri skupini 1. Tabela 38 prikazuje, da t-test ni potrdil statistično pomembne razlike v dosežkih med skupin 1 in skupino 2. Tabela 39: Prikaz rezultatov spremenljivke»urejanje številske vrste«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Levenov test t-test Skupina 1 Skupina 2 homogenosti variance f f% f f% F Sig t Sig (2-tailed) ,7 8 57, ,3 6 42, Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost 7,009,013 2,225,

142 Tabela 39 prikazuje rezultate spremenljivke»urejanje številske vrste«obeh testiranih skupin. Pri tej nalogi so se bolje odrezali učenci skupine 1, saj jih je kar 81,3 % le-to tudi pravilno rešilo. Pri omenjeni nalogi je bilo uspešnih le 42,9 % učencev skupine 2. Razlika v dosežkih med skupinama 1 in 2 se je izkazala za statistično pomembno. Tabela 40: Prikaz rezultatov spremenljivke»štetje nazaj od 100 po 8«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 Leveneov test homogenosti variance t-test f f% f f% F Sig T Sig.(2-tailed) 0 1 6, , , , Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost 24,948,000 2,006,060 Iz tabele 40 je razvidno, da je 15 učencev (93,7 %) skupine 1 bilo uspešnih pri spremenljivki»štetje nazaj od 100 po 8«. Neuspešen je bil le 1 učenec (6,25 %). Od možnih 32 točk pri izbrani nalogi so učenci skupine 1 dosegli 30 (93,75 %) točk. 9 učencev (64,3 %) je pravilno rešilo nalogo, 5 učencev (35,7) je bilo neuspešnih. Povprečna vrednost točk (tabela 36) skupine 1 znaša 1,88, skupine 2 pa 1,29, kar pomeni, da je bila skupina 1 uspešnejša. Iz tabele 36 je razvidna razlika med dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 glede na doseženo število točk, v prid skupine 1, ki pa se ni pokazala za statistično pomembno. Tabela 41: Prikaz rezultatov spremenljivke»računske naloge I«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 Levenov test homogenosti variance 125 t-test f f% F f% F Sig t Sig.(2-tailed) , , Legenda: vsota 2,138,155 1,029,312

143 f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost Iz tabele 41 je razvidno, da je nalogo»računske naloge I«pravilno rešilo 10 učencev (68,75 %) skupine 1, 6 učencev (31,25 %) je bilo neuspešnih. Pri skupini 2 pa je bilo uspešnih 7 učencev (50 %) in neuspešnih 7 učencev (50%). Povprečna vrednost doseženih točk (tabela 36) skupine 1 je nekoliko višja in znaša 0,69 točke, povprečna vrednost skupine 2 pa je 0,5 točke. Iz tabele 41 lahko razberemo, da med dosežki skupine 1 in skupine 2 ne obstaja statistično pomembna razlika. Tabela 42: Prikaz rezultatov spremenljivke»katero od dveh števil je večje«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 Levenov test homogenosti variance t-test f f% f f% F Sig T Sig.(2-tailed) ,1 1, , ,5 2 12,5 2 14, ,5 2 14,3 3,5 1 6, , ,5 3 21, Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost,001,079 1,161,256 Iz tabele 42 je razvidno, da so bili učenci skupine 1 pri dani nalogi uspešnejši. 62,5 % učencev (10) je doseglo vse možne točke. 6,25 % učencev (1) je doseglo 3,5 točke, 12,5 % (3) je doseglo 3 točke, 12,5 % učencev (2) je doseglo 2,5 točke in 6,25 % učencev (1) je doseglo 2 točki. Skupina 1 je dosegla 56,5 točke (88,28 %). Skupina 2 je dosegla skupno 45 točk (80,36 %), kar je razvidno iz tabele ,4 % učencev (3) je doseglo vse možne točke. 42,9 % učencev (6) je 126

144 doseglo 3,5 točke, 14,3 % (2) je doseglo 3 točke, 14,3 % učencev (2) je doseglo 2,5 točke in 7,1 % učencev (1) je doseglo 1 točko. Iz tabele 42 je razvidno, da med dosežki skupine 1 in skupine 2 ni bilo statistično pomembne razlike. Tabela 43: Prikaz rezultatov spremenljivke»vstavljanje manjkajočega števila«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 Levenov test homogenosti variance t-test f f% f f% F Sig t Sig.(2-tailed) ,5 2 14, , , Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost,077,784,139,891 Iz tabele 43 je razvidno, da so bili pri nalogi učenci skupine 1 nekoliko uspešnejši od skupine 2. Skupina 1 je dosegla 14 (87,5 %) točk. Skupina 2 pa je dosegla 12 (85,71 %) točk. Povprečna vrednost točk skupine 1 je 0,88, skupine 2 pa 0,86. Tabela 43 prikazuje, da med dosežki skupine 1 in skupine 2 razlika ni bila statistično pomembna. Tabela 44: Prikaz rezultatov spremenljivke»računske naloge II«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina Levenov test homogenosti variance t-test f f% f f% F Sig T Sig.(2-tailed) , , , , Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost,244,625-1,852,075

145 Tabela 44 kaže, da večina učencev (68,75 %) skupine 1 ni pravilno rešila naloge»računske naloge II«. Uspešnih je bilo 5 učencev (31,25 %) skupine 1. Skupina 1 je dosegla le 5 točk (31,25 %) na omenjeni nalogi. Uspešnejši pri nalogi so bili učenci skupine 2, saj jih je kar 9 (64,3 %) pravilno rešilo dano nalogo. Neuspešnih učencev skupine 2 je bilo 5 (35,7 %). Uspešni učenci skupine 2 so dosegli 9 točk (64,29 %). Tabela 44 prikazuje, da se razlika v dosežkih učencev med skupino 1 in skupino 2 ni izkazala za statistično pomembno. Tabela 45: Prikaz rezultatov spremenljivke»določanje računske operacije«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 f f% f f% Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih Vsi učenci iz skupine 1 in skupine 2 so pravilno rešili nalogo, pri kateri so morali določiti računske operacije. 128

146 Tabela 46: Prikaz rezultatov spremenljivke»številski trikotni test«skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju Število točk Skupina 1 Skupina 2 Levenov test homogenosti variance t-test f f% F f% F Sig T Sig.(2-tailed) , ,3 4 28,6 2 / / 1 7, ,8 1 7, , Legenda: vsota f število odgovorov f % število odgovorov v odstotkih F vrednost koeficienta Sig. statistična pomembnost t vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) statistična pomembnost 15,896,000 3,751,001 Slika 13: Primer rešitve številskega trikotnega testa Tabela 46 prikazuje dosežke učencev skupine 1 in skupine 2 pri spremenljivki»številski trikotni test«. 12 učencev (75 %) skupine 1 je pri izbrani nalogi doseglo vse štiri točke, 3 učenci (18,8 %) so dosegli tri točke in 1 učenec (6,3 %) je dosegel eno točko. 4 učenci (28,6 %) skupine 2 so dosegli štiri točke, 4 učenci (28,6 %) eno točko in 4 učenci (28,6 %) nič točk. 1 učenec (7,1 %) je dosegel dve točki in 1 (7,1 %) tri točke. Skupina 1 je skupaj dosegla 58 (90,63 % vseh možnih točk) pri omenjeni nalogi. Skupina 2 je dosegla manj točk, t.j. 25 (44,64 %) točk. Iz tabele 36 je razvidno, da je povprečna vrednost zbranih točk skupine 1 znašala 3,63, skupine 2 129