Poglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s ko
|
|
- Metod Žibert
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Poglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s konstantno brzino v 1, v času od t 1 do t 2 enakomerno zavira tako, da ima v času t 2 trenuto brzino nič. (a) Izračunaj do kod pride v času t 1. (b) Izračunaj pospešek zaviranja. (c) Do kod pride v času t 2? (d) Kdaj se vrne v začetni položaj? (e) Izračunaj za konkretne vrednosti v 1 = 2 m/s, t 1 = 10 s, t 2 = 20 s. Nariši tudi grafe pospeška, hitrosti in položaja v odvisnosti od časa. Poglejmo prvo kako je s pospeškom. Pospešek je od t = 0 do t = t 1 enak nič, ker je gibanje enakomerno, na intervalu (t 1, t 2 ) in naprej do t, ko se točka vrne v začetni položaj, pa je pospešek konstanten in ima vrednostjo a 2. Kolikšna je njena vrednostše ne vemo, vemo pa da je negativna, saj točka zavira. Na intervalu (0, t 1 ) je hitrost konstantna in enaka v 1, nato pa od t 1 naprej linearno poda, saj točka enakomerno zavira. Njen linearni potek je natanko določen, saj vemo, da je v(t 1 ) = v 1 in v(t 2 ) = 0. Od tod sledi, da je v(t) = v 1(t t 2 ) t 1 t 2 t > t 1. Odvod hitrosti je pospešek in tako a 2 = v 1 /(t 2 t 1 ) = 0.2 m/s 2. Postavimo začetni položaj točke v x = 0. Ker je hitrost na (0, t 1 ) konstantna, na tem intervalu velja x = v 1 t, x torej narašča linearno in tako velja x(t = t 1 ) = v 1 t 1 = 20 m. Za t > t 1 je gibanje enakomerno pospešeno, zato je x kvadratna funkcija časa. Ker poznamo položaj in hitrost za t = t 1 zapišemo x v obliki x = 1 2 a 2(t t 1 ) 2 + v 1 (t t 1 ) + v 1 t 1. Potem x(t 2 ) = v 1(t 2 t 1 ) 2 2(t 2 t 1 ) + v 1 (t 2 t 1 ) + v 1 t 1 = 1 2 v 1(t 1 + t 2 ) = 60 m. 1
2 Kdaj se vrne v začetni položaj, dobimo iz enačbe 0 = 1 2 a 2(t t 1 ) 2 + v 1 (t t 1 ) + v 1 t 1. Dobili smo kvadratno enačbo za t. Za lažje reševanje vpeljimo novo neznanko τ = t t 1. Potem 0 = 1 2 a 2τ + v 1 τ + v 1 t 1 in tako τ 1,2 = v 1 ± v 2 1 2a 2v 1 t 1 a = t 2 t 1 v 1 ( ) ( v 1 ± v v2 1 t 1/(t 2 t 1 ) = (t 2 t 1 ) 1 ± Pravi predznak je + in tako ( ) t1 + t 2 t = t 1 + τ = t 1 + (t 2 t 1 ) 1 ± = 10(2 + )s. t 2 t 1 t1 + t 2 t 2 t 1 ) Slika 1.1: Pospešek, hitrost in polžaj. 2. Od časa t = 0 do t = t 1 se točka giblje enakomerno pospešeno s pospeškom a. V trenutku t = t 1 pričnemo zavirati. Določi pospešek zaviranja tako, da se točka v času 2t 1 vrne v začetni položaj. Določi tudi do kod najdlje pride točka. Označimo z x koordinato premočrtnega gibanja. Za t [0, t 1 ] je enačba gibanja x = 1 2 at2. Položaj točke v času t 1 je x 1 = 1 2 at2 1, hitrost pa je v 1 = at 1. Od t 1 naprej se točka prav tako giblje enakomerno pospešeno, tokrat s pospeškom a 1. Ker je za drugi del gibanja začetni položaj v času t 1 enak x 1, začetna hitrost pa v 1, je enačba gibanja x = x(t) = 1 2 a 1(t t 1 ) 2 + v 1 (t t 1 ) + x 1 = 1 2 a 1(t t 1 ) 2 + at 1 (t t 1 ) at2 1. Točka se v času t = 2t 1 vrne v začetni položaj. Velja torej 0 = x(2t 1 ) = 1 2 a 1t at at2 1. Od tod potem sledi a 1 = a. Vidimo, da je pospešek zaviranja neodvisen od časa t 1. Poglejmo še, do kod pride točka. Točka se prične gibati nazaj v točki obrata gibanja, ki je določena z enačbo 0 = v = ẋ(t 2 ). Izračunajmo ẋ = a(t t 1 ) + at 1 = a(4t 1 t). Tako dobimo t 2 = 4 t 1 in po krajšem računu x max = 2 at2 1.. Dve točki se gibljeta ena proti drugi. Določi kdaj in kje se srečata, če sta v začetnem trenutku oddaljeni za d in je: (a) točki se gibljeta enakomerno z brzinama v 1 in v 2 ; (b) ena točka se giblje enakomerno z brzino v 1 druga pa enakomerno pospešeno s pospeškom a 2. Naredi izračun za konkretne vrednosti d = 1 m, v 1 = 2 cm/s, v 2 = cm/s in a 2 = 2 m/s 2. 2
3 (a) V prvem primeru je pogoj srečanja v 1 t = d v 2 t. Od tod sledi t = d/(v 1 + v 2 ) in točki se srečata v oddaljenosti dv 1 /(v 1 + v 2 ) od začetnega položaja prve točke. Za dane vrednosti je čas srečanja t = 20 s, razdalja pa 40 cm. (b) Sedaj je pogoj srečanja v 1 t = d 1 2 a 2t 2. Dobili smo kvadratno enačbo za t. Rešitev je t 1,2 = 1 ) ( v 1 ± v1 2 a + 2a 2d. 2 Prava rešitev je dana z vsoto. Za dane vrednosti je t = 1 2 ( ) s =. ( )s = 0.99 s. Prepotovana razdalja prve točke pa je v 1 t. = 1.98 cm. 4. Na valj s polmerom r 0 se navija vrvica. (a) Koliko se navije vrvice v času t, če se valj vrti enakomerno z o obrati na minuto? (b) Valj se naj vrti enakomerno pospešeno. Določi pospešek tako, da so bo na valj navila enaka dol v zina vrvice v polovičnem času. Valj se prične vrteti z mirovanja. (a) Izpeljimo zvezo med kotno hitrostjo in številom obratov. Naj bo ω konstantna kotna hitrost. V času t se valj zavrti za kot ϕ = ωt oziroma za ωt/2π obratov. Potem je število obratov na minuto t = 60 s enako o = 0ω/π. Pri danem številu obratov na minuto je kotna hitrost tako ω = oπ/0. Dolžina navite vrvice je potem l = r 0 ωt = r 0 oπt/0. (b) Valj se sedaj v času t/2 zavrti za kot ϕ = 1 2 α(t/2)2 = 1 8 αt2. Tu smo z α označili kotni pospešek. Enačba, ki določa kotni pospešek je l = r 0 oπt/0 = r 0 ϕ = r αt2. Potemtakem je α = 4oπ 15t. Krajši je čas, večji mora biti kotni pospešek Dodatne naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje enakomerno pospešeno s pospeškom a 1, v času od t 1 do t 2 pa nato enakomerno zavira tako, da ima v času t 2 trenuto brzino nič. (a) Izračunaj do kod pride v času t 1. (b) Izračunaj pospešek zaviranja a 2. (c) Do kod pride v času t 2? (d) Kdaj se vrne v začetni položaj? (e) Izračunaj za konkretne vrednosti a 1 = 1/10 m/s 2, t 1 = 5 s, t 2 = 10 s. Nariši tudi grafe pospeška, hitrosti in položaja v odvisnosti od časa.
4 Slika 1.2: Pospešek, hitrost in polžaj. x 1 = 1 2 a 1t 2 1, a 2 = a1t1 t 2 t 1, x 2 = 1 2 a 1t 1 t 2, t = t 2 + t 2 (t 2 t 1 ). 2. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje enakomerno pospešeno s pospeškom a 1, v času od t 1 do t 2 pa nato enakomerno zavira tako, da se v času t 2 vrne v začetni položaj. (a) Izračunaj do kod pride v času t 1. (b) Izračunaj pospešek zaviranja a 2. (c) Določi do kod najdlje pride točka. (d) Izračunaj za konkretne vrednosti a 1 = 1/10 m/s 2, t 1 = 5 s, t 2 = 10 s. Nariši tudi grafe pospeška, hitrosti in položaja v odvisnosti od časa. x 1 = 1 2 a 1t 2 1, a 2 = a1t1(2t2 t1) (t 2 t 1) 2, t = (a2 a1)t1 a 2, x max = a1t1t2 2 2(2t 2 t 1) Slika 1.: Pospešek, hitrost in polžaj.. Obroč s polmerom R se kotali po ravni podlagi. V žačetnem trenutku t 0 ima brzino v 0. Nato od t 0 do t 1 enakomerno zavira, tako da brzina do časa t 1 pade na 1 2 v 0. Od t 1 do t 2 se nato giblje enakomerno. (a) Izračunaj pospešek zaviranja. (b) Do kod pride v času t 1 in t 2? (c) Nariši diagrame pospeška, hitrosti in poti od t 0 do t 2. (d) Izračunaj tudi kotni pospešek zaviranja. Koliko obratov naredi kolo do t 2? Izračun naredi za vrednosti R 0 = 1/5 m, v 0 = 2 m/s, t 0 = 0 s, t 1 = 10 s in t 2 = 20s. a 0 = v0 2(t = 0 t 1) SI1/10ms 2, x 1 = 4 (t 1 t 0 ) v 0 = 10 m, x 2 = 1 4 v 0 ( t 0 + t 1 + 2t2) = 25 m, α = a 0 /R 0 = 1/2 m, o = x 2 /(2πR 0 ) =
5 Slika 1.4: Pospešek, hitrost in polžaj. 1.2 Prostorsko gibanje Rešene naloge 1. Dano je gibanje točke r = αt 2 + βt + γ, kjer je α = a 0 ( ı + 2 j + k), β = v 0 ( ı 2 j k) in γ = r 0 ( ı + j + k). Tu so a 0, v 0 in r 0 konstante. (a) Določi dimenzije konstant a 0, v 0 in r 0. (b) Ali se tir gibanja seka? (c) Določi pogoj na čas t, da bo točka pospeševala. (a) Dimenzije so [a 0 ] = m/s 2, [v 0 ] = m/s in [r 0 ] = m. (b) Privzemimo, da se tir seka. Potem obstajata časa t 1 in t 2, da velja r(t 1 ) = r(t 2 ). Od tod sledi αt βt 1 = αt βt 2 oziroma α(t 1 + t 2 ) + β = 0. Tir se seka samo v primeru, ko sta vektorja α in β vzporedna. Pri danih podatkih nista, zato se tir ne seka. (c) Točka pospešuje, če je a v > 0. Vektor hitrosti je v = 2 αt + β, pospeška pa a = 2 α. Potem je a v = 4 α αt + 2 α β = 56a 2 0t 20a 0 v 0. Točka torej pospešuje, če je t > 5v 0 /14a Dano je gibanje točke r = αt 2 + βt + γ, kjer so α, β in γ konstantni vektorji. Pokaži, da se tir danega gibanja seka natanko tedaj, ko sta konstanti α in β taki, da je gibanje premočrtno. Tako kot v predhodni nalogi dobimo enačbo α(t 1 + t 2 ) + β = 0. Tir se torej seka natanko tedaj, ko sta α in β vzporedna vektorja. Vektor hitrosti je v = 2 αt + β, vektor pospeška pa a = 2 α. Vidimo, da sta vektorja hitrosti in pospeška vzporedna natanko tedaj, ko sta vzporedna tudi α in β. Vektorja hitrosti in pospeška pa sta vzporedna natanko tedaj, ko je gibanje premočrtno. Vidimo, da se tir danega gibanja seka samo v primeru, ko je gibanje premočrtno. 5
6 . Točka se giblje po Arhimedovi spirali r = r 0 ϕ, ϕ = ωt, t 0. Tu je ω konstanta. Izračunaj vektor hitrosti in pospeške ter njuni velikosti. Gibanje je podano v polarnem koordinatnem sistemu. Uporabili bomo formuli v = ṙ e r + r ϕ e ϕ, a = ( r r ϕ 2) e r + (r ϕ + 2ṙ ϕ) e ϕ. Izračunajmo ṙ = dr dt = d dt r 0ωt = r 0 ω. Vidimo, da je radialna hitrost konstantna. Potem je r = 0. Podobno ϕ = ω in ϕ = 0. Vstavimo izračunano v formuli za hitrost in pospešek. Tako dobimo v = r 0 ω e r + r 0 ω 2 t ϕ e ϕ, a = r 0 ω t e r + 2r 0 ω 2 e ϕ. Naj bo vektor c podan v polarnem koordinatnem sistemu c = c 1 e r + c 2 e ϕ. Njegova velikost je potem c = c c = c c2 2. Potem sta velikosti vektorjev v in a v = v = r 0 ω 1 + ω 2 t 2, a = a = r 0 ω ω 2 t 2. Tu smo privzeli, da je ω > 0. Izračunajmo še Točka pospešuje za t > 0. v a = r 2 0ω 4 t. 4. Točka se giblje po logaritemski spirali r = r 0 e ϕ, ϕ = ωt, kjer je ω konstanta. Izračunaj vektor hitrosti in pospeške ter njuni velikosti. Izračunaj tudi kot med radij vektorjem in vektorjem hitrosti. Tudi sedaj je gibanje podano v polarnem koordinatnem sistemu. Izračunajmo ṙ = dr dt = d dt r 0 e ωt = r 0 ω e ωt in r = dṙ dt = r 0ω 2 e ωt. ter ϕ = ω in ϕ = 0. Vstavimo izračunano v formuli za hitrost in pospešek. Tako dobimo Velikosti sta Izračunajmo še kot θ med r in r. Velja Vektorja oklepata kot π/4. v = r 0 ω e ωt e r + r 0 ω e ωt e ϕ, a = 2r 0 ω 2 e ωt e ϕ. v = v = 2r 0 ω e ωt, a = 2r 0 ω 2 e ωt. cos θ = v r v r = r2 0ω e 2ωt 2r 2 0 ω e = 1. 2ωt 2 1. Dinamika točke 1..1 Rešene naloge 1. Obravnavaj prosti pad: (a) brez upoštevanja upora zraka; (b) z upoštevanjem upora zraka. Postavimo os x v smeri sile teže z izhodiščem v začetnem položaju. Če točka v začetnem trenutku nima komponente brzine pravokotne na smer navpičnice, je gibanje premočrtno in lahko namesto vektorske oblike Newtonove enačbe uporabimo skalarno enačbo mẍ = f, kjer je f rezultanta vseh sil. V našem primeru točko spustimo v prosti pad. Začetna hitrost je enaka nič in gibanje je premočrtno. 6
7 (a) V primeru braz upoštevanja sile upora deluje na materialno točko samo sila teže f = mg. Newtonova enačba je se tako glasi mẍ = mg oziroma ẍ = g. Potem je ẋ = gt + C 1, kjer je C 1 integracijska konstanta, ki jo določa začetni pogoj. Ker je ẋ(t = 0) = 0, je C 1 = 0. Položaj dobimo še z eno integracijo. Dobimo x = 1 2 gt2 + C 2. Ker je x(t = 0) = 0, je C 2 = 0 in tako x = 1 2 gt2. Vidimo, da je gibanje natanko določeno z Newtonovo enačbo in začetnima pogojema, ki določata integracijski konstanti C 1 in C 2. Iz dobljene enačbe gibanja sledi, da hitrost narašča brez meje, saj je ẋ = gt. (b) Sedaj obravnavajmo gibanje z uporom zraka. Ker točko spustimo, je začetna hitrost nič in zato uporabimo linearen zakon upora F u = kẋ, kjer je k koeficient upora. Njegova enota je kg/s. Enačba gibanja je mẍ = mg kẋ. Enačbo delimo z m in označimo γ = k/m. Tako dobimo ẍ = g γẋ, oziroma v = g γv, (1.1) kjer je v = ẋ. Dobili smo linearno diferencialno enačbo prvega reda za v. Iščemo njeno splošno rešitev, ki bo odvisna od dveh integracijskih konstant. Posebno, pravimo ji tudi partikularna rešitev, rešitev enačbe (1.1) znamo poiskati. Vprašajmo se, ali konstantna funkcija v = v 1 reši (1.1)? Vidimo, da jo reši, če je v 1 = g/γ. Pišimo v 0 = v v 1 in poglejmo kakšni enačbi zadošča v 0, če v reši (1.1). Izračunajmo v = v 0 + v 1 = v 0 = g γv = g γv 0 γv 1 = γv 0. Vidimo, da je v = v 0 + v 1 rešitev (1.1), če je v 0 rešitev enačbe v 0 = γv 0. Dobljeno enačbo znamo rešiti. Rešitev je v 0 = C 1 e γt in tako v = v 0 + v 1 = C 1 e γt +g/γ. Iz začetnega pogoja v(0) = 0 sledi, da je C 1 = g/γ in tako v = g γ ( 1 e γt ). (1.2) V primeru z uporom zraka hitrost ne narašča več linearno. Še več hitrost ne narašča brez meja, je navzgor omejena z g γ, saj je lim t e γt = 0. Položaj dobimo z integracijo brzine. Iz (1.2) sledi x = g γ t + g γ 2 e γt +C 2. Konstanto C 2 določa začetni pogoj x(t = 0) = 0. Od tof C 2 = g/γ 2 in x = g γ t + g γ 2 ( e γt 1 ). 1.4 Masno središče Rešene naloge 1. Določi masno središče homogenega trapeza na skici. (a) Trapez obravnavaj kot sestavljen lik iz dveh trikotnikov in pravokotnika. (b) Trapez obravnavaj kot trikotnik brez vršnega trikotnika. 7
8 h a a a Slika 1.5: Homogeni trapez. (a) Lik je sestavljen iz treh likov, levi trikotnik, pravokotnik in desni trikotnik. Koordinatno os x postavimo v smeri osnovnice, koordinatno središče pa tako, da je os y os zrcalne simetrije. Potem je očitno x = 0, y pa izračunamo s po formuli y = 1 A 1 + A 2 + A (A 1 y 1 + A 2 y 2 + A y ). Tu smo upoštevali, da je trapez homogen in je masa enaka površini krat gostota. Sestavimo tabelo Lik A y Levi trikotnik 1 2 ah 1 h Pravokotnik ah 1 2 h Desni trikotnik 1 2 ah 1 h Ploščina trapeza je potem vsota ploščin A = 2ah, masno središče pa je y = 1 ( 1 2ah 6 ah ah2 + 1 ) 6 ah2 = 5 12 h. (b) Stranici trapeza podaljšamo do skupnega presečišča. Tako dobimo trikotnik z višino 2 h, trapez pa je dan kot razlika tega trikotnika in trikotnika na trapezu. Sestavimo tabelo Lik A y Veliki trikotnik 9 4 ah 1 2 h Mali trikotnik 1 4 ah 7 6 h Ploščina trapeza je potem razlika ploščin, torej A = 9 4 ah 1 4ah = 2ah, masno središče pa je y = 1 ( 9 2ah 8 ah2 7 ) 24 ah2 = h ( 9 7 ) = h. 2. Nehomogeni trapez na skici je sestavljen iz dveh homogenih trikotnikov s površinsko gostoto ρ 1 in in homogenega kvadrata s površinsko gostoto ρ 2. Dolči gostoto ρ 2, da bo imel trapez masno središče v višini /8 višine trapeza nad osnovno ploskvijo. 8
9 2a a 2a a Slika 1.6: Nehomogeni trapez. Sestavimo tabelo Lik m y Levi trikotnik ρ 1 a 2 2 a Kvadrat 4a 2 ρ 2 a Desni trikotnik ρ 1 a 2 2 a Masno središče trapeza je y = 4ρ 1a / + 4a ρ 2 2ρ 1 a 2 + 4a 2 ρ 2 = 2ρ 1/ + 2ρ 2 ρ 1 + 2ρ 2 a. Določiti moramo ρ 2 tako, da bo y = 8 h = 4 a. Tako dobimo enačbo za ρ 2 2ρ 1 / + 2ρ 2 ρ 1 + 2ρ 2 = 4. Enačbo poenostavimo v Rešitev je 8ρ ρ 2 = 9ρ ρ 2. ρ 2 = 1 6 ρ 1.. Naj bo P masno središče homogenega telesa B. Iz telesa izrežemo kroglo s središčem v P in polmerom r tako, kjer je r dovolj majhen, da je krogla vsebovana v telesu. Pokaži, da se masno središče tako nastalega telesa ujema z masnim središčem prvotnega telesa. Naj bo m masa telesa B, m 0 pa masa izrezane krogle s polmerom r. Z r označimo krajevni vektor do masnega središča B, z r pa masno središče novo nastalega telesa. Potem je r = m r m 0 r m m 0 = r. Masno središče novo nastalega telesa se ujema s prvotnim masnim središčem. V primeru, če je r tako velik, da krogla ni vsebovana vsa v B ima telo z luknjo lahko masno središče v drugi točki. 4. Trapez na skici ima kvadratni izrez tako kot kaže skica. Določi njegovo masno središče, če je trapez homogen. 9
10 2a a a/2 a 2a 2a Slika 1.7: Trapez z izrezom. Prvo bomo določili masno središče trapeza brez izreza, nato pa upoštevali, da ima izrez. Za izračun koordinat x in y masnega središča trapeza brez izreza pa sestavimo tabelo Lik A x y Levi trikotnik a 2 /2 2a/ a Kvadrat 6a 2 2a a/2 Desni trikotnik a 2 a + 2a/ a Površina trikotnika je A 1 = 21a 2 /2. Koordinati masnega središča trapeza sta x 1 = 16a 7, y 1 = 9a 7. Upoštevajmo sedaj izrez. Površina izreza je A 2 = 4a 2, njegovo središče pa ima koordinati x 2 = 2a, y 2 = a/2. Potem je x = x 1A 1 x 2 A 2 A 1 + A 2 = 2 1 a, y = y 1A 1 y 2 A 2 A 1 + A 2 = 15 1 a. 5. Pravokotnik na skici ima pravokotni izrez tako kot kaže skica, (a = 4a 0, b = 5a 0, a 1 = a 2 = a 0, b 1 = a 0, b 2 = 2a 0 ). (a) Določi njegovo masno središče. (b) Določi njegovo masno središče, če je gostota notranjega pravokotnika dvakrat večja kot gostota okvirja. Postavimo koordinatni sistem v smereh stranic zunanjega pravokotnika z osjo x v smeri stranice z dolžino a. Zaradi simetrije je potem x = a/2 v obeh primerih, y pa izračunamo po formuli y = ρ 1A 1 y 1 + ρ 2 A 2 y 2 ρ 1 A 1 + ρ 2 A 2, kjer je A 1 površina pravokotnika a b, A 2 površina notranjega pravokotnika, ρ 1 in ρ 2 njuni gostoti, y 1 in y 2 pa njuni masni središči. V primeru izreza je ρ 2 = ρ 1, v drugem primeru pa ρ 2 = ρ 1. V primeru, če bi bil pravokotnik a b homogen bi vzeli ρ 2 = 0. 10
11 a 1 a 2 b 2 b b 1 a Slika 1.8: Trapez z izrezom. Notranji pravokotnik ima dimenzije a 2a 1 v smeri osi x in b b 1 b 2 v smeri osi y. Nadalje je y 1 = b/2 in y 2 = b 1 + (b b 1 b 2 )/2. Če vstavimo podatke dobimo A 1 = 20a 2 0 in A 2 = 4a 2 0 ter y 1 = 5a 0 /2 in y 2 = 2a 0. Po kratkem računu potem dobimo v prvem primeru v drugem pa y = 21a 0 8, y = 29a Dodatne naloge 1. Določi masno središče homogenega trapeza na skici. x = 11a/5, y = 4a/5. 2a 2a a a 2. Določi masno središče homogenega trapeza z izrezom. x = 24a/1, y = 15a/1.. Izračunaj masno središče nehomogenega trapeza, kjer je namesto izreza s predhodne naloge krog z dvojno površinsko gostoto kot ostali del trapeza. x = 0a/17, y = 21a/17. 11
12 a/2 a a/2 a a 2a 4. Določi masno središče U preseka na skici z dimenzijami a = 4a 0, b = 5a 0, a 1 = a 2 = a 0, b 1 = a 0. (a) Kot razliko dveh pravokotnikov. (b) Kot unijo treh pravokotnikov. a 1 a 2 b b 1 a x = a 0 /2, y = 1a 0 /6. 12
13 Poglavje 2 Sistem sil 2.1 Ravninski sistem sil Rešene naloge 1. Dan je ravninski sistem sil F = {(P 1, F 1 ), (P 2, F 2 ), (P, F ), (P 4, F 4 )}, kjer imajo prijemališča sil koordinate P 1 = (0, 2a), P 2 = (a, 2a), P = (2a, a), P 4 = ( 2a, 2a), sile pa so F 1 = F 0 ( 2 ı j ), F 2 = F 0 ( ı 2 j ), F = 2F 0 ı, F 4 = F 0 ( 2 ı 2 j ). (a) Izračunaj rezultanto sistema sil. (b) Izračunaj rezultanto navora sistema sil glede na pol v koordinatnem izhodišču. (c) Izračunaj invarianto sistema sil. (d) Določi os sistema. (a) Rezultanta sistema sil je R(F) = 4 i=1 F i = F 0 ( ı 5 j ). (b) Izračunajmo 4 N(F, O) = OP i F i = 4aF 0 k + 4aF0 k + 2aF0 k + 0aF0 k = 10aF0 k. i=1 (c) Invarianta sistema sil je enaka nič, ker je sistem ravninski. Ker je rezultanta sil različna od nič, sistem sil ni dvojica in ima skupno prijemališče, ki leži na osi sistema. (d) Os sistema je premica v smeri R(F), ki gre skozi točko P 0 dano s krajevnim vektorjem OP R(F) 0 = N(F, O) R(F) R(F) = 5a ( 5 ı j ) Dan je ravninski sistem sil F = {(P 1, F 1 ), (P 2, F 2 ), (P, F ), (P 4, F 4 )}, kjer imajo prijemališča sil koordinate P 1 = ( a, 2a), P 2 = (2a, 0), P = ( 2a, a), P 4 = (2a, 2a), sile pa so F 1 = F 0 ( ı 2 j ), F 2 = F 0 ( ı + j ), F = 2F 0 ( ı + j ), F 4 = F 0 (2 ı + j ). (a) Izračunaj rezultanto sistema sil. (b) Izračunaj rezultanto navora sistema sil glede na pol v koordinatnem izhodišču. (c) Določi os sistema. (d) Reduciraj sistem sil na sistem dveh sil s prijemališčem v Q 1 = (a, 0) in Q 2 = (a, a). 1
14 (a) Rezultanta sistema sil je R(F) = 4 i=1 F i = F 0 ( 2 ı + 4 j ). (b) Rezultanta navorov glede na izhodišče je N(F, O) = 4 OP i F i = 2aF 0 k. i=1 (c) Sistem sil ima skupno prijemališče, ki gre skozi točko P 0 dano s krajevnim vektorjem OP R(F) 0 = N(F, O) R(F) R(F) = a (2 ı + j ). 5 (d) Redukcija ravninskega sistema sil na sistem dveh sil je vedno možna. Ni pa enolična, saj lahko sistemu sil dodamo ravnovesni par sil v smeri zveznice med Q 1 in Q 2. Iščemo sistem sil G = {(Q 1, G), (Q 2, H)}. Sili G 1 in G 2 bomo določili iz pogojev G + H = R(F), N(G, Q 1 ) = N(F, Q 1 ), N(G, Q 2 ) = N(F, Q 2 ), G Q 1 Q 2 = 0. Zadnji pogoj enolično določa sistem G. Z njim smo izbrali tak ravnvesni par sil, da je G 1 pravokotna na zveznico. Zapišimo G = F 0 (g 1 ı + g 2 j ) in H = F 0 (h 1 ı + h 2 j ) in izračunajmo posebej N(F, Q 1 ) = Q 1 P 0 R(F) = a 5 (7 ı + j ) F 0( 2 ı + 4 j ) = 6aF 0 k ter N(F, Q 2 ) = Q 1 P 0 R(F) = a 5 (7 ı + 6 j ) F 0( 2 ı + 4 j ) = 8aF 0 k. Potem se naš sistem enačb glasi g 1 + h 1 = 2, g 2 + h 2 = 4, h 1 = 6, g 1 = 8, g 2 = 0. Rešitev je G = 8F 0 ı in H = F 0 (6 ı + 4 j ). 14
15 . Enakostranični trikotnik z dolžino stranice a je obremenjen s silami F i, i = 1, 2, tako kot kaže slika. F 2 (a) Določi sistem sil. (b) Določi pogoj na velikosti sil F i, i = 1, 2, tako, da bo rezultanta danega sistema sil enak nič. (c) Določi pogoj na velikosti sil F i, i = 1, 2, tako, da bo rezultanta navorov danega sistema sil glede na središče trikotnika enak nič. Kolikšna je potem rezultanta navorov s polom v P 1. P 2 P P 1 F 1 (d) Določi pogoj na velikosti sil F i, i = 1, 2,, da bo sistem sil ravnovesen. F (a) Postavimo izhodišče O koordinatnega sistema v središče mnogokotnika. Prijemališča sil so potem ( ) ( a P 1 =, 0, 0, P 2 = a 2, a ) ( 2, 0, P = a ) 2, a 2, 0, sile pa so (b) Rezultanta sil je F 1 = F 1 ( 2 ı j ) R(F) = F 1 + F 2 + F = Iz pogoja R(F) = 0 sledi F 1 = F 2 = F. (c) Rezultanta navorov pa je N(F, O) = (, F2 = F 2 1 ) 1 ı j, F = F j. i=1 2 (F 1 F 2 ) ı + ( 1 2 F F 2 F ) j. OP i F i = a 2 (F 1 + F 2 + F ) k. Rezultanta navorov je enaka nič, če je (F 1 + F 2 + F ) = 0. Rezultanta navorov v P 1 je N(F, P 1 ) = P 1 P i F i = a 2 F k. i=1 (d) Sistem sil je ravnovesen, če je R(F) = 0 in N(F, P 1 ) = 0. Potem je F 1 = F 2 = F = 0. 15
16 4. Pravilni šestkotnik z dolžino stranice a je obremenjen tako kot kaže slika. (a) Zapiši sistem sil F. (b) Izračunaj rezultanto sil R(F) in navorov N(F, O) s polom O v središču mnogokotnika. (c) Določi os sistema. P 2 F P 1 P 2 F F (a) Postavimo izhodišče koordinatnega sistema v središče mnogokotnika. Prijemališča sil so potem P 1 ( a 2, a 2 ), P 2( a, 0) in P ( a 2, a 2 ), sile pa so F 1 = F ( 1 2 ı + 2 j), F 2 = F ( ı + j) in F = F ı. (b) Rezultanta sil je R(F) = F 1 + F 2 + F = F i=1 ( ) 2 ı 2 j, rezultanta navorov pa je ( N(F, O) = OP i F i = af ) k = af k. 2 Navore lahko izračunamo tudi elementarno brez uporabe vektorskega produkta. Po polznosti sile lahko vse sile pomaknemo do sredine stranic. Potem je ročica pravokotna na silo in tako N = a 2 (F + 2F + F ) = af. (c) Krajevni vektor do točke P 0 na osi sistema izračunamo po formuli OP R(F) 0 = N(F, O) R(F) R(F) = a 2 ( ı + ) j. Ker je sistem sil ravninski in ni dvojica, ima dani sistem sil skupno prijemališče na osi sistema. Velja N(F, P 0 ) = 0. 16
17 5. Pravilni šestkotnik z dolžino stranice a je obremenjen tako kot kaže slika. F (a) Zapiši sistem sil F. (b) Izračunaj rezultanto sil R(F) in navorov N(F, O) s polom O v središču mnogokotnika. P 1 (c) Določi os sistema. P 2 P 2 F F (a) Postavimo izhodišče koordinatnega sistema v središče mnogokotnika. Prijemališča sil so potem P 1 ( a 2, a 2 ), P 2( a, 0) in P ( a 2, a 2 ), sile pa so F 1 = F ( 1 2 ı + 2 j), F 2 = F ( ı + j) in F = F ( 1 2, 2 ). (b) Rezultanta sil je R(F) = F 1 + F 2 + F ( = F ı ) j, rezultanta navorov pa je N(F, O) = OP i F i = af i=1 ( ) = 2 af 2 k. (c) Krajevni vektor do točke P 0 na osi sistema izračunamo po formuli OP R(F) 0 = N(F, ( O) R(F) R(F) = a ) 2 ı + 2 j. Točka P 0 je skupno prijemališče sil. 6. Dan je ravninski sistem sil F = {(P i, F i ) : i = 1,..., n}, kjer je n N, n > 2, P i so oglišča pravilnega n-kotnika, Fi pa so sile, vse po velikosti enake, in usmerjene od oglišča P i do naslednjega oglišča v smeri urinega kazalca. (a) Izračunaj rezultanto sistema sil. (b) Izračunaj rezultanto navora sistema sil glede na pol v središču mnogokotnika. (c) Reduciraj dani sistem sil. 17
18 (a) Označimo z F 0 velikost sil in z r 0 polmer očrtane krožnice mnogokotnika. Sila F i je enaka F i = F 0 (P i+1 P i )/a, kjer je a = P i+1 P i dolžina stranice mnogokotnika in P n+1 = P 1. Tu smo s P i+1 P i zapisali vektor od P i do P i+1. Rezultanta sistema sil je R(F) = n i=1 F i = F 0 a n (P i+1 P i ) = F 0 a i=1 n ( r i+1 r i ). i=1 Tu smo z r i zapisali krajevni vektor od središča O mnogokotnika do oglišča P i. Vsota je enaka n ( r i+1 r i ) = ( r 2 r 1 ) + ( r r 2 ) ( r 1 r n ) = 0 i=1 in tako R(F) = 0. (b) Izračunajmo sedaj N(F, O) = n r i F i. Postavimo koordinatni sistem tako, da mnogokotnik leži v ravnini xy. Potem so vektorji r i F i v smeri normale na ravnino, torej v smeri vektorja k. Njihova velikost je r i F i = af0 sin α, kje je α kot med r i in F i. Kot mnogokotnika med r i in r i+1 je ϕ = 2π/n. Ker je trikotnik z oglišči O, P i in P i+1 enakokraki, je kot med r i = P i O in r i+1 r i = P i+1 P i enak α = π( n ). Potem je sin α = cos π/n. Potemtakem je i=1 N(F, O) = nr 0 F 0 cos π/n k. (c) Ker je R(F) = 0 in N(F, O) 0, je sistem sil dvojica Dodatne naloge 1. Dan je ravninski sistem sil F = {(P 1, F 1 ), (P 2, F 2 ), (P, F )}, kjer imajo prijemališča sil koordinate P 1 = (a, a), P 2 = (0, a), P = (a, 0), sile pa so F 1 = F 0 ( 2 ı + j ), F2 = F 0 ı, F = F 0 ( ı + j ). (a) Izračunaj rezultanto sistema sil. (b) Izračunaj rezultanto navora sistema sil glede na pol v koordinatnem izhodišču. (c) Določi skupno prijemališče sistema sil F. (d) Reduciraj sistem sil na sistem dveh sil s prijemališčem v Q 1 = (a, a) in Q 2 = (a, a). R(F) = F0 (2 ı + 4 j ), N(F, O) = af0 k, P0 = a 10 ( 2, 1), G = F0 2 ı, H = F 0 ( 7 2 ı + 4 j ). 18
19 2. Dan je ravninski sistem sil F = {(P 1, F 1 ), (P 2, F 2 ), (P, F ), (P 4, F 4 )}, kjer imajo prijemališča sil koordinate P 1 = (2a, a), P 2 = ( a, 2a), P = ( 2a, 2a), P 4 = (2a, a), sile pa so F 1 = F 0 ( ı + 2 j ), F 2 = F 0 ı, F = F 0 ( ı 2 j ), F 4 = F 0 ( ı + 2 j ). (a) Izračunaj rezultanto sistema sil. (b) Izračunaj rezultanto navora sistema sil glede na pol v koordinatnem izhodišču. (c) Določi skupno prijemališče sistema sil F. (d) Reduciraj sistem sil na sistem dveh sil s prijemališčem v Q 1 = (a, a) in Q 2 = (a, a). R(F) = F0 ( 6 ı + 2 j ), N(F, O) = 14aF0 k, P0 = 7a 10 (1, ), G = F0 ı, H = F 0 ( 9 ı + 2 j ). 2.2 Prostorski sistem sil Rešene naloge 1. Podan je prostorski sistem sil F 1 = ı j, F 2 = 2 ı j + k, F = ı + 2 j + k, s prijemališči v točkah P 1 (1, 2, 1), P 2 ( 1, 0, 1), P (1, 1, 0). (a) Izračunaj rezultanto sistema sil. (b) Izračunaj rezultanto navora sistema sil glede na pol v koordinatnem izhodišču. (c) Izračunaj invarianto sistema sil. (d) Določi os sistema. (a) Rezultanta sistema sil je R(F) = F 1 + F 2 + F = 2 ı + 2 k. (b) Izračunajmo N(F, O) = OP i F i = ( ı + j k) + ( ı + j + k) + ( ı j + k) = ı + j k. i=1 (c) Invarianta sistema sil je I(F) = R(F) N(F, O) = 0. Ker je I(F) = 0 in R(F) 0, ima sistem sil skupno prijemališče, ki leži na osi sistema. (d) Os sistema je premica v smeri R(F), ki gre skozi točko P 0 dano s krajevnim vektorjem Kratek račun OP R(F) 0 = N(F, O) R(F). R(F) = 4 ı j + 4 k. N(F, P 0 ) = potrdi, da je P 0 res skupno prijemališče sil. P 0 O R(F) + N(F, O) = 0 2. Podan je sistem sil F1 = F 0 ( ı + 2 j + k), F2 = F 0 ( j + k), F = F 0 ( 2 ı + j k) s prijemališči v točkah P 1 (a, 0, a), P 2 (2a, 2a, 2a), P ( a, 0, 0). Dodaj sistemu silo (P 4, F 4 ) tako, da razširjeni sistem sil imel skupno prijemališče v točki P 0 (a, a, a). 19
20 Računali bomo brezdimenzijsko, z a = 1 in F 0 = 1. Za vrnitev v dimenzijski zapis, sile pomnožimo z F 0, položaje z a, navore pa z af 0. Označimo dani sistem sil s F in izračunajmo N = N(F, P 0 ). Imamo ( N = ( ı k) + ( 6 ı j k) + ( 4 j 4 ) k) = ( 5 ı 5 j 10 k). Sistemu sil moramo dodati (P 4, F 4 ) tako, da bo P 0 P 4 F 4 = N, saj bo potem za razširjeni sistem sil G = F {(P 4, F 4 )} veljalo N(G, P 0 ) = 0. Enačba P 0 P 4 F 4 = N ima več rešitev. Izberimo P 4 in F 4 tako, da bodo vektorji P 0 P 4, F 4 in N med seboj paroma pravokotni. Izberimo prvo P 0 P 4 = ( ı + j + x k) in določimo x tako, da bo 0 = P 0 P 4 N = 20 10x. Rešitev enačbe je x = 2 in tako P 0 P 4 = ı + j 2 k. Sila F 4 je v smeri P 0 P 4 N. Potem F 4 = f P 0 P 4 N = 10f kjer je f neznanka, ki jo določimo s pogoja N = P 0 P 4 F 4 = f ( P 0 P 4 P 0 P 4 N ) ( 2 ı + 4 j ) k, = f 2 P 0 P 4 N = 14fN. Torej f = 1/14. Tu smo uporabili formulo a ( b c) = ( a c) b ( a b) c in upoštevali, da sta P 0 P 4 in N med seboj pravokotna. Dodana sila je tako s prijemališčem v 5F 0 7 ( 2 ı + 4 j ) k P 4 = P 0 + P 0 P 4 = (4a, 0, a).. Dani sistem sil F 1 = F 0 ( ı + 2 j + 2 k), F 2 = F 0 ( ı 2 j), F = F 0 ( ı + j + 2 k) s prijemališči v točkah P 1 ( a, 2a, 2a), P 2 (0, 2a, a), P (2a, 2a, 2a) uravnovesi s sistemom sil podpor A = A 1 ı + A 2 j + A k, B = B k, C = C1 (cos α ı + sin α j) + C k s prijemališči v točkah A(0, 0, 0), B(a, 0, 0) in C(0, a, 0). Ali obstaja rešitev za vsak kot α. Računali bomo brezdimenzijsko, z a = 1 in F 0 = 1. Za vrnitev v dimenzijski zapis, sile pomnožimo z F 0, položaje pa z a. Dani sistem sil F želimo uravnovesiti s silami podpor. Podpora A je fiksna, B je drsna v ravnini xy, C pa je drsna v smeri sin α ı cos α j. Sistem sil podpor označimo z G. Izračunajmo R(F) = ı + j + 4 k in N(F, A) = ( 8 ı 4 k) + (2 ı j 2 k) + (6 ı 2 j + 4 k) = j 2 k. Tu smo izbrali pol A zato, da bo moment sistema sil podpor glede na A čim enostavnejši. Ravnovesne enačbe so tako Izračunajmo R(G) = R(F) = ı j 4 k, N(G, A) = N(F, A) = j + 2 k. R(G) = (A 1 + C 1 cos α) ı + (A 2 + C 1 sin α) j + (A + B + C ) k 20
21 in N(G, A) = C ı B j C 1 cos α k. Upoštevajmo sedaj zahtevane vrednosti za N(G, A). Potem je B =, C = 0, C 1 = 2/ cos α. Vidimo, da rešitev obstaja za vsak α ±π/2. Z besedami, podpora C ne sme biti drsna v smeri, ki je pravokotna na AC. Sedaj ko poznamo B, C 1 in C brez težav dobimo A 1 = 5, A 2 = tan(α), A = 1. Dani prostorsk sistem sil moremo vedno enolično uravnovesiti s sistemom sil treh podpor, ki ne ležijo na isti premici in od katerih je ena fiksna, druga drsna v ravnini podpor, tretja pa drsna v ravnini v smeri, ki ni pravoktna na zveznico te podpore s fiksno podporo. 4. Za prostorski sistem sil podan na sliki s silami v smereh stranic in diagonale kvadra dimenzije 1m 1m 2m: (a) določi sile in njihova prijemališča; (b) izračunaj rezultanto sil in navora glede na pol A 2 ; (c) določi os sistema. Velikosti sil so F 1 = 1 kn, F 2 = 2/ 6 kn, F = 1 kn. (a) Prijemališča sil imajo koordiante A 1 (0, 0, 2), A 2 (0, 0, 0) in A (1, 1, 0), sile pa so F 1 = j kn, F2 = 1 ( ı + j + 2 k) kn in F = k kn. Točka A 2 se sovpada s koordinatnim izhodiščem, zato pišimo v nadaljevanju O namesto A 2. (b) Rezultanta sil je rezultatnta navorov pa R(F) = F 1 + F 2 + F = 1 ( ı 2 j + 5 ) k kn, N(F, O) = OA 1 F 1 + OA 2 F 2 + OA F = ( ı j) knm. Invarianta sistema je I(F) = R(F) N(F, O) = 5. Ker je invarianta različna od nič, sistem sil nima skupnega prijemališča. 21
22 (c) Os sistema je taka premica, da je navor s polom v poljubni točki P 0 na tej premici vzporeden rezultanti si. Dobimo jo s formulo OP R(F) 0 = N(F, O) R(F). 2 Po krajšem računu tako OP 0 = 1 2 ( ı + j + k) m Dodatne naloge 1. Podan je prostorski sistem sil F 1 = ı k, F 2 = 2 ı + j 2 k, F = ı + 2 j, s prijemališči v točkah P 1 (1, 2, 1), P 2 ( 1, 0, 2), P (1, 0, 1). (a) Izračunaj rezultanto sistema sil. (b) Izračunaj rezultanto navora sistema sil glede na pol v koordinatnem izhodišču. (c) Izračunaj invarianto sistema sil. (d) Določi os sistema. R(F) = 2 ı + j k, N(F, O) = 2 ı + 5 j + k, I(F) = 10, OP 0 = 1 11 (12 ı 6 j + 2 k). 2. Podan je sistem sil F 1 = F 0 (2 ı j + k), F 2 = F 0 ( ı + 2 j + k), F = F 0 ( ı + 2 j k) s prijemališči v točkah P 1 (2a, 2a, a), P 2 ( a, 2a, a), P (0, 0, 0). Dodaj sistemu silo (P 4, F 4 ) tako, da razširjeni sistem sil imel skupno prijemališče v točki P 0 (0, a, 0). P 4 (a, 4a, 0), F 4 = F 0 /5(9 ı j + 10 k).. Dani sistem sil F1 = F 0 ( 2 ı 2 j), F2 = 2F 0 ı, F = F 0 ( ı + 2 j k) s prijemališči v točkah P 1 ( a, a, a), P 2 ( 2a, 2a, a), P ( 2a, 2a, 0) uravnovesi s sistemom sil podpor A = A 1 ı + A 2 j + A k, B = B k, C = C1 ı + C k s prijemališči v točkah A(0, 0, 0), B(a, a, 0) in C( a, a, 0). A = F 0 ( ı + 5 k), B = 5F 0 k, C = F0 (6 ı + k). 4. Za prostorski sistem sil podan na sliki s silami v smereh stranic in diagonale kvadra dimenzije m 4 m 5 m: (a) določi sile in njihova prijemališča; (b) izračunaj rezultanto sil in navora glede na pol A 2 ; (c) določi os sistema. Velikosti sil so F 1 = 1 kn, F 2 = 5 kn, F = 1 kn. 22
23 (a) A 1 ( m, 4 m, 0), A 2 (0, 0, 5 m), A (0, 4 m, 5 m), F 1 = kn j, F 2 = kn ı + 4 kn j, F = kn j. (b) R(F) = ( ı + 6 j )kn, N(F, A 2 ) = (5 ı + k)knm. (c) Os sistema je premica skozi P 0 (2/5 m, 1/5 m, 1/ m) v smeri R(F). 5. Za prostorski sistem sil podan na sliki s silami v smereh stranic in diagonale kvadra dimenzije m 4 m 5 m: (a) določi sile in njihova prijemališča; (b) izračunaj rezultanto sil in navora glede na pol v koordinatnem izhodišču; (c) določi os sistema in preveri, da je rezultanta sil vzporedna rezultanti navorov s polom na osi sistema. Velikosti sil so F 1 = 2 kn, F 2 = 5 kn, F = 2 kn. (a) A 1 (, 4, 0)m, A 2 (0, 0, 5)m, A (, 0, 5)m, F 1 = 2 kn j, F 2 = ( ı + 4 j )kn, F = 2 kn j. (b) R(F) = ( ı + 4 j )kn, N(F, O) = 5( 2 ı + j )knm. (c) Os sistema je premica skozi P 0 (0, 0, 17/5 m) v smeri R(F), N(F, P 0 = 6 5 ( ı + 4 j))knm. 2
24 Poglavje Statika togega telesa.1 Ravninske naloge.1.1 Rešene naloge 1. Na žico med dvema stebroma je obešena utež tako kot kaže skica. Določi sili žic. a α β b h Silo leve žice označimo z F 1, desno z F 2. Sistem sil F, F 1 in F 2 ima skupno prijemališče v točki obremenitve. Ravnovesni enačbi sta F F 1 cos α = F 2 cos β, F 1 sin α + F 2 sin β = F. Tu sta α in β kota, ki ju žici oklepata z vodoravno smerjo. Potem je F 2 = F 1 cos α/ cos β in F = F 1 (sin α + cos α sin β/ cos β) = F 1 sin(α + β)/ cos β. Sili žic sta tako Če upoštevamo, da je F 1 = cos β sin(α + β) in F 2 = cos α sin(α + β). sin α = h a2 + h, cos α = a 2 a2 + h, sin β = h 2 b2 + h, cos β = b 2 b2 + h, 2 dobimo F 1 = bf a 2 + h 2 ah + bh, F 2 = af b2 + h 2 ah + bh. 24
25 2. Nosilec dolžine d je podprt tako kot kaže skica. Leva podpora je nepomična, desna pa je drsna v smeri ki oklepa kot α = π/. Za dano obremenitev določi sile v podporah. d d/ d/2 F F α Postavimo koordinatni sistem z izhodiščem v levi podpori in usmerimo os x v smeri nosilca, os y pa navpično navzgor. Silo leve podpore označimo z A = A 1 ı + A 2 j, silo desne podpore pa z B. Ker je desna podpora drsna, je smer sile B določena, neznana je samo njena velikost. Sila B oklepa z navpičnico kot α. Potem je B = B( sin α ı + cos α j ). Nosilec je obremenjen v točkah P 1 (d/, 0) in P 2 (d/2, 0). Sile podpor določimo iz ravnovesnih enačb. Rezultanta navorov sistema sil s polom v desni podpori je enak nič. Velja torej da 2 + d 2 F + 2d F = 0. Od tod sledi A 2 = 7 6F. Rezultanta navorov s polom v levi podpori je prav tako enaka nič. Potem d F d F + B cos α = 0. 2 Rešitev je B = 5F 6 cos α = 5F. Komponento A 1 določimo iz ravnovesnega pogoja, da je vsota vseh sil v vodoravni smeri enaka nič. A 1 B sin α = 0 = A 1 = B sin α = 5F 6 tan α = 5 6 F. Za kontrolo lahko še preverimo, da je tudi vsota sil v navpični smeri enaka nič. Res, A 2 F F + B cos α = 7 6 F 2F + 5F 6 = 0.. Homogena plošča s površinsko gostoto ρ, glej skico, je v točki A vpeta na steno s tečajem A, v točki B pa je pripeta z vodoravno vrvico BC. (a) Izračunaj koordinati masnega središča plošče. (b) Določi silo podpore v A in silo vrvice BC. C A a a a B a/2 a/2 25
26 Postavimo izhodišče koordinatnega sistemav točko A. Plošča je sestavljena iz treh likov, levi trikotnik, kvadrat in desni trikotnik. Za izračun masnega središča sestavimo tabelo: Lik x y A Levi trikotnik 2 a 1 6 a 1 4 a2 Kvadrat 2 a 1 2 a a2 Desni trikotnik 7 a 1 a 1 2 a2 Ploščina lika je 7 4 a2, koordinati masnega središča pa sta x = 4 ( 2 7a 2 a1 4 a2 + 2 aa2 + 7 ) a1 2 a2 in = 4 21 a y = 4 ( 1 7a 2 6 a1 4 a aa2 + 1 ) a1 2 a2 = a. Določimo sedaj iskane sile. Označimo z A x in A y komponenti sile podpore v A v smeri osi x in y, z F pa silo vrvice. Sila teže je F g = mg = ρag = 7 4 ρa2 g, kjer je ρ ploščinska gostota. Para sil {A x ı, F ı} in {A y j, F g j} sta dvojici. Potem je A x = F, A y = F g. Nadalje iz ravnovesja navora v točki A sledi af x F g = 0. Potem F = 17 6 ρga2 in tako A x = 17 6 ρga2, A y = 7 4 ρa2 g. 4. L nosilec z dolžinsko gostoto ρ, je v točki B členkasto vpet in na svojih krajiščih preko majhnega škripca povezan z raztegljivo vrvico, glej skico. Določi silo v podpori in silo vrvice. V vogal nosilca postavimo izhodišče koordinatnega sis- α A tema. Sila teže nosilca ima prijemališče v njenem masnem središču. Nosilec je sestavljen iz dveh pravokotnih palic. Masa pokončne palice a je m 1 = ρa, njeno masno središče pa je P1 = (0, a/2). Masa vodoravne B palice je m 2 = 2ρa z P2 = (a, 0). Masno središče L nosilca je tako a a S C 2a P = 1 (m 1 P1 + m 2 P2 ) = a (4, 1). m 1 + m 2 6 Sila vrvice v krajišču A(0, a) je S 1 = S(cos α ı + sin α j ), v desnem krajišču C(2a, 0) pa S 2 = S j. Tu smo upoštevali, da vrvica teče preko škrica in je tako velikost sile vrvice na obeh koncih enaka. Momentna enačba s polom v podpori B(a, 0) določa velikost sile S. Velja a aρg + as as cos α as sin α = 0. 26
27 Od tod sledi S = aρg cos α + sin α 1. Iz slike vidimo, da je cos α = 2/ 5 in sin α = 1/ 5. Vstavimo v zgornjo enačbo. Tako je S = 1 4 ( 5 + ) 5 aρg. Določimo še silo B = B 1 ı + B 2 j v členku B. Ravnovesni pogoj je aρg j + S 1 + S 2 + B 1 ı + B 2 j = 0. Potem po kratkem računu B 1 = 1 2 ( + ) 5 agρ, ( ) B 2 = 5 1 agρ. Vidimo, da vrv vleče L nosilec ven iz členka..1.2 Dodatne naloge 1. Nosilec dolžine d je podprt tako kot kaže skica. Leva podpora je nepomična, desna pa je drsna v smeri ki oklepa kot α = π/4. Za dano obremenitev določi sile v podporah. A 1 = 7F/4, A 2 = 5F/4, B = 7F/(2 2). d d/4 d/4 F 2F α 2. Nosilec dolžine d je podprt tako kot kaže skica. Leva podpora je nepomična, desna pa je drsna v smeri ki oklepa kot α = π/6. Za dano obremenitev določi sile v podporah. A 1 = 7F/, A 2 = 2F, B = 2/. 2F d/4 d/2 d F α. Homogena plošča s površinsko gostoto ρ, glej skico, je v točki A vpeta na steno s tečajem A, v točki B pa je pripeta z vodoravno vrvico BC. Določi silo vrvice. F = 9a 2 ρg/4. C A a a a B a/2 a/2 F 27
28 4. L nosilec z dolžinsko gostoto ρ, je v točki B členkasto vpet in na svojih krajiščih preko majhnega škripca povezan z raztegljivo vrvico, glej skico. Določi silo v podpori in silo vrvice. ( ) S = gρ, ( ) B 1 = gρ, B2 = 9 25 ( 25 ) gρ. a/2 A α S B C a/2 a/2 a/2 5. U nosilec z dolžinsko gostoto ρ, je v točki B členkasto vpet in na svojih krajiščih preko majhnega škripca povezan z raztegljivo vrvico, glej skico. Določi silo v podpori in silo vrvice. ( ) S = agρ, ( ) B 1 = agρ, B2 = ( ) agρ a A α S 2a B a/2 a/2 C 28
29 .2 Prostorske naloge.2.1 Rešene naloge 1. S treh enako visokih stebrov, ki tvorijo pravokotni enakokraki trikotnik ja na treh enakih žicah obešena utež z maso m. Izračunaj sile žic, če je poves enak h. Predpostavili bomo, da je poves manjši od višine stebrov. Postavimo koordinatno izhodišče v vrh enakokrakega trikotnika in usmerimo osi x in y v smeri drugih dveh stebrov. Oz z usmerimo navpično navzgor. Višino stebrov označimo z b, z a pa dolžino kraka enakokrakega trikotnika. Obesišča vrvi imajo potem kordinate P 1 (0, 0, b), P 2 (a, 0, b) in P (0, a, b). Ker so žice enako dolge, je utež obešena natanko pod središčem očrtanega kroga trikotnika P 1 P 2 P. Obesišče uteži je tako P 0 (a/2, a/2, b h), dolžine žic pa so l = a 2 /2 + h 2. Sile žic so F i = F i P 0 P i /l, kjer so F i neznane velikosti sil. Potem F 1 = F 1 ( a 2 ı a ) ( 2 j + h k /l, F2 a = F 2 2 ı a ) ( 2 j + h k /l, F = F a 2 ı + a ) 2 j + h k. Sistem sil žic in sile teže uteži ima skupno presečišče. Ravnovesna enačba je Po krajšem računu dobimo F 1 + F 2 + F mg k = 0. F 1 = 0, F 2 = F = mg a 2 + 2h h 2. S treh enako visokih stebrov, ki stojijo v ogliščih pravokotnega enakokrakega trikotnika ja na treh žicah obešena utež z maso m. Dolžina žice s stebra v vrhu enakokrakega trikotnika je l 1 = a 5/8, dolžini ostalih dveh žic pa sta enaki l 2 = l = a/ 8. Tu je a dolžina kraka trikotnika. Določi poves in izračunaj sile žic. Težji del naloge je določiti obesišče uteži. Označimo s P 1, P 2 in P oglišča trikotnika in postavimo koordinatni sistem tako, da je P 1 (0, 0, 0), P 2 (a, 0, 0) in P (0, a, 0). Določiti moramo koordinate obesišča P 0 (x, y, z). Ker so dolžine žic predpisane, je P 0 P i = l i, i = 1, 2,. Tako dobimo enačbe x 2 + y 2 + z 2 = 5a 2 /8, (x a) 2 + y 2 + z 2 = 9a 2 /8, x 2 + (y a) 2 + z 2 = 9a 2 /8. 29
30 Če odštejemo tretjo enačbo od druge dobimo, da je x = y. Vstavimo y = x v prvi dve enačbi. Dobimo 2x 2 + z 2 = 5a 2 /8, 2x 2 2ax + a 2 + z 2 = 9a 2 /8. Odštejemo drugo od prve. Po krajšem računu dobimo x = a/4. Potem y = a/4 in z = a/ 2. Poves je torej enak z = a/ 2. Sedaj nadaljujemo tako kot v prvi nalogi. Sile žic so F i = F i P 0 P i /l i ( F 1 = F 1 1 ı 1 j + 2 ) k, ( 1 F 2 = F 2 2 ı 1 2 j + 2 ) k, ( F = F 1 2 ı + 1 j + 2 ) 2 k, sila uteži pa mg k. Ravnovesne enačbe so F F F 1 2 = F 1 F F 1 = F F 2 + F 2 = mg. Če odštejemo od prve enačbe drugo, dobilo F 2 = F. Vstavimo F 2 = F v sistem. Tako dobimo Rešitev je F 1 = mg 5/4, F 2 = F = mg/8.. Pravokotna plošča dimenzije 4a 6a je vodoravno obešena na tri žice, tako kot kaže skica. Določi točko obremenitve plošče, da bodo sile žic enake. Postavimo koordinatni sistem tako, da plošča leži v ravnini xy. Prijemališča žic na plošči so P 1 (a, 0, 0), P 2 (5a, 0, 0) in P (2a, 4a, 0), sile žic pa so F 1 = F 2 = F = F k. Prijemališče obremenitve oznai mo s P (x, y, 0). F F 2 2 = 0 F F 2 4 = mg. 0
31 Sila obremenitve je G = G k. Iz ravnovesja sil dobimo takoj, da je velikost sil žic enaka G/. Prijemališče obremenitve določa momentna enačba 0 = OP i F i + OP G = i=1 OP i F k + (x ı + y j) G k = (4F yg) ı + ( 8F + xg) j. i=1 Upoštevajmo, da je F = G/. Tako dobimo x = 8 in y = 4. Točka obremenitve je težišče prijemališč sil žic. 4. Homogena pravokotna plošča dimenzije a b je vodoravno obešena na tri žice, tako kot kaže skica. Določi prijemališče P sile F tako, da bodo sile žic enake. c d F 1 F 2 P 2 P 0 F P b P 1 a F 0 Postavimo koordinatni sistem tako, da leži plošča v ravnini xy, z osjo x v smeri stranice a in izhodiščem v levem vogalu plošče. Sila teže plošče F 0 ima prijemališče v masnem središču plošče P 0 (a/2, b/2). Žice bodo nosile enako teže, če bo P 0 hkrati tudi težišče točk P 1, P 2 in P. Prijemališče P potem leži na premici, ki gre skozi P 0 in razpolavlja stranico P 1 P 2. Potemtakem ima P koordinati x = (c + d)/2 + λ in y = b/2. Določiti moramo parameter λ. P 0 leži hkrati tudi na premici, ki gre skozi P 2 in razpolavlja stranico P 1 P. Potemtakem je P 0 = P 2 + µ d, kjer je µ R, d pa je vektor v smeri od P 2 do razpolovišča stranice P 1 P. Torej ( ) ( ) 1 1 d = (x + c) d ı y b j. Tako dobimo sistem 1 4 µ(c d + 2λ) + d = a 2 b bµ 4 = b 2. Rešitev sistema je λ = 2 (a c d) in µ = 2. Potem je Pogoj, da je P res znotraj plošče je 0 < a 2 P ( a 2 c d, b 2 ). c d < a. Torej a 2 c + d a 2. 1
32 5. Homogena krogla s polmerom a in z maso m visi pripeta na vrvico dolžine l v vogalu med dvema pravokotnima stenama tako kot kaže skica. Določi silo vrvice. Postavimo koordinatni sistem z osjo z navpično navzdol v smeri sile teže, osi x in y pa v smeri sten. Na kroglo deluje sila teža F, sila vrvice S in sili sten A 1 in A 2. Sili sten sta pravokotni na steni. Očitno ima ta sistem sil skupno prijemališče, ki je v središču krogle. Ravnovesni pogoj iz katerega bomo določili silo vrvice je pogoj, da je vsota vseh sil enaka nič. Koordinatni zapis sil je F = mg k, A 1 = A 1 j, A 2 = A 2 ı. Zapisati moramo še silo vrvice. Ta je v smeri od središča krogle P 0 (a, a, (l + a) 2 2a 2 ) do koordinatnega izhodišča O, kjer je vrvica pripeta v vogal. Pri določitvi središča krogle smo upštevali, da je razdalja od središča krogle do O enaka l + a. Sila vrvice je potem enaka S = S l + a (a ı + a j + (l + a) 2 2a 2 k). Iz pogoja F + S + A 1 + A 2 = 0 dobimo sistem Rešitev je l + a S = mg (l + a)2 2a, 2 A 2 as l + a = 0 A 1 as l + a = 0 mg S (l + a)2 2a l + a 2 = 0. A a 1 = A 2 = mg (l + a)2 2a. 2 Vidimo, krajša je vrvica, večje so sile. V limiti l a( 2 1) gredo sile čez vse meje..2.2 Dodatne naloge 1. S treh enako visokih stebrov, ki tvorijo enakostranični trikotnik ja na treh enakih žicah obešena utež z maso m. Izračunaj sile žic, če je poves enak h. Sile žic so vse enake in imajo vrednost mg h 2 +a 2 / h, kjer je a dolžina stranice trikotnika. 2. S treh enako visokih stebrov, ki stojijo v ogliščih enakostraničnega trikotnika z dolžino stranice a ja na treh žicah dolžine l 1 = a/2, l 2 = l = a /2 obešena utež z maso m. Določi obesišče in izračunaj sile žic. 2
33 V koordinatnem sistemu z izhodiščem v središču trikotnika ima obesišče koordinate P 0 (a/2, 0, a/ 2 6). Velikosti sil žic so F 1 = mg, F 2 = F = 1 2 mg. 2. Homogena pravokotna plošča dimenzije 6a 2a je vodoravno obešena na tri žice, tako kot kaže skica. Določi sile žic, če ima sila F 0 prijemališče v masnem središču plošče. a 2a F 2 F P 2 P P 0 F 1 a 2a F 1 = F 0 /2, F 2 = F 0 /8, F = F 0 /8. P 1 6a F 0
34 Poglavje 4 Statika sistema togih teles 4.1 Rešene naloge 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov AC in CB je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. F Lok razdelimo na dva loka, glej skico. Za vsak lok veljajo ravnotežne enačbe. Za levi velja 0 = A 1 + C 1, 0 = A 2 + C 2, 0 = R(1 cos β)c 2 R sin βc 1. A C β α B C 2 C 1 F C 1 A 2 C 2 B 2 A 1 B 1 Slika 4.1: Sile na levi in desni lok. Drugi sklop enačb so ravnotežne enačbe za desni lok. Namesto le teh pa raje zapišimo ravnovesne enačbe za celotni tročleni lok, saj če so izpolnjene ravnovesne enačbe za levi lok in celotni tročleni lok, so izpolnjene tudi za desni lok. Ravnovesne enačbe za celotni tročleni lok so namreč nekoliko enostavnejše kot enačbe za desni lok. 0 = A 1 + B 1 F cos α, 0 = A 2 + B 2 F sin α, 0 = RA 2 + RB 2. Tu smo uporabili momentno enačbo s polom v središču loka. Sistem rešimo. Prvo dobimo, 4
35 da je A 2 = B 2 in od tod A 2 = B 2 = 1 2F sin α. Nadalje je Tako dobimo še C 1 = 1 cos β sin β C 2 = tan 1 2 β C 2 = 1 2 sin α tan 1 2 β F. A 1 = C 1 = 1 2 sin α tan 1 2 β F B 1 = F cos α A 1 = (cos α 12 sin α tan 12 β ) F. Dobljena formula sil v podporah velja tudi, če je tročleni lok obremenjen v členku. V tem primeru lahko silo obremenitve F zapišemo v obliki F = λ F + (1 λ) F in nato pri razdelitvi tročlenega loka na levi in desni lok upoštevamo, da je levi lok obremenjen v spojnem členku s silo λ F, desni pa z (1 λ) F. Rezultat izračuna sil v podporah je neodvisen od števila λ, sila v spojnem členku pa je, vendar to ni pomembno, saj je v okviru statike pomembno samo to, da je vsota vseh sil na členek enaka nič. 2. Tročleni okvir sestavljen iz levega dela AC in desnega CB je členkasto nepomično podprt v A in B, glej skico. Izračunaj sile v podporah za primer F 1 = F, F 2 = 2F in a = b. Izhodišče koordinatnega sistema postavimo v A, osj x v vodoravni smeri, os y pa v navpični smeri. Na okvir deluje sistem sil, sila leve podpore A = A 1 ı + A 2 j, desne podpore B = B 1 ı + B 2 j, obremenitev na levi lok F 1 = F j in desni lok F 2 = 2F ı. Prijemališča sil so točke A(0, 0), B(a, 0), P 1 (a, 5a/2) in P 2 (2a, 5a/2). Tu smo s P 1 in P 2 označili prijemališči sil F 1 in F 2. Sedaj okvir razstavimo na levi in desni del, ki sta spojena v členku C. Označimo z C = C 1 ı + C 2 j silo levega dela na desni del. Ravnovesne enačbe za levi del so tako b 2b A 1 + C 1 = 0, A 2 + C 2 F = 0, a 2 F ac 1 + ac 2 = 0, (4.1) kjer je zadnja enačba momentna enačba s polom v A. Sedaj zapišimo še ravnovesne enačbe za celotni okvir A 1 + B 1 + 2F = 0, A 2 + B 2 F = 0, a 2 F 5a 2 2F + ab 2 = 0. (4.2) Tudi tokrat smo zapisali momentno enačbo s polom v A. Dobili smo sistem šestih enačb s šestimi neznankami A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 in C 2. Rešimo ga. Iz enačbe (4.2) dobimo takoj B 2 = 11 6 F in nato iz (4.1) A 2 = 5 6F. Če odštejemo drugo enačbo (4.2) od druge enačbe (4.1) dobimo še C 2 = B 2. Potem iz tretje enačbe (4.2) sledi C 1 = 4 9F in nato končno A 1 = C 1 = 4 9 F in B 1 = 2F A 1 = 14 9 F. A D a F 1 C b/2 E 2a a F 2 B 5
36 Nalogo lahko rešimo tudi na sledeči način. Privzemimo, da je F 2 = 0. Potegnimo premico p CB skozi točki C in B ter premico skozi D v smeri sile F 1. Presečišče označimo z D. Sedaj potegnimo še premico p D A skozi D in A. Po polznosti prijemališče sile F 1 prenesemo v D in jo razstavimo na komponenti v smeri premic p CB in p D A. Potem F 1 = α 1 e 1 + β 1 f1, kjer je e 1 enotski vektor v smeri premice p CB, f 1 pa v smeri p D A. Po polznosti prenesemo prijemališče sile β 1 f1 v točko A. Za levi del okvirja se ravnovesna enačba s polom v C glasi D' F 1 E' C F 2 CA β 1f1 + CA A = 0. A B Od tod sledi, da je vsota sil β 1 f1 + A vzporedna vektorju CA. Označimo z g 1 enotski vektor v tej smeri. Potem β 1 f1 + A = γ 1 g 1. Desni del okvirja je prav tako v ravnovesju. Iz momentne enačba za desni del okvirja s polom v C CB B = 0 potem sledi, da je sila B v smeri vektorja e 1, B = δ 1 e 1. Vsota vseh zunanjih sil na okvir je enaka nič 0 = A + B + F 1 = A + δ 1 e 1 + α 1 e 1 + β 1 f1 = γ 1 g 1 + (δ 1 + α 1 ) e 1. Vektorja e 1 in g 1 sta med seboj neodvisna, zato je 0 = γ 1 in 0 = δ 1 + α 1. Potemtakem je A = β 1 f1 in B = α1 e 1. Vidimo, da sili podpor dobimo z razstavitvijo sile F 1 na smeri e 1 in f 1. Podobno naredimo tudi v primeru, ko je F 1 = 0 in F 2 0. Tako sta sili podpor A = β 1 f1 β 2 f2 in B = α1 e 1 α 2 e 2. Opisana metoda omogoča določitev sil podpor na grafični način. Potrdimo ugotovljeno z računom. Koordinate točke D so ( a 2, 15a 4 ), smerna vektorja pa sta e 1 = 1 1 (2 ı j ), f1 = (2 ı + 15 j ). Komponenti sile F 1 sta α 1 = F, β 1 = 18 F. Koordinate točke E so ( 5a 6, 5a 2 ), smerna vektorja pa e 2 = 1 94 (1 ı 15 j ), f2 = 1 10 ( ı + j ) 6
37 koeficienta pa sta Potem α 2 = 94 9 F, β A = β 1f1 β 2f2 = ( 4 9 ı + 5 j )F 6 B = α 1 e 1 α 2 e 2 = ( 14 9 ı + 11 j )F, 6 kar se ujema z že znanim rezultatom. Vidimo pa, da je ta drugi način računsko manj primeren.. Togo telo je sestavljeno iz treh ploščatih togih elementov in obremenjeno tako kot kaže skica. Določi sile v podporah in členkih. Telo je sestavljeno iz treh togih teles AD, BD in CE, ki so med seboj spojena s členki C, D in E. Določimo prvo sile v podporah. V ta namen postavimo izhodišče koordinatnega sistema v podporo A z osjo x v vodoravni smeri in osjo y navpično navzgor. Sili podpor sta A = A 2 j in B = B 1 ı+b 2 j, zunanja sila, ki ima prijemališče v točki P (a, a/2) pa je F = F ı. Iz ravnovesja momentov v polu B sledi, da je A 2 = F/2, iz ravnovesja momentov v polu A pa B 2 = F/2. Nadalje je B 1 = F, saj mora biti vsota sil v vodoravni smeri biti enaka nič. Razdelimo sedaj togo telo na tri prosta toga telesa AD, BD in CE, glej skico. Pri zapisu sil v členkih smo upoštevali tretji Newtonow zakon o medsebojnem delovanju sil med dvema telesoma. Ravnovesne enačbe za levi del so: D 1 + E 1 = 0, D 2 + E 2 + A 2 = 0, ad 1 + a 2 D 2 a 2 A 2 = 0. Tu smo za pol momentne enačbo izbrali točko E. Ravnovesne enačbe za srednji del so: za desni pa C 1 E 1 = 0, C 2 E 2 = 0, ac 2 = 0, B 1 + C 1 D 1 F = 0, B 2 + C 2 D 2 = 0, 2aD 1 + a 2 F ac 1 = 0. Rešitev sistema je A 2 = 2 F, B 1 = F, B 2 = 2 F, C 1 = 2 F, C 2 = 0 D 1 = 2 F, D 2 = 2 F, E 1 = 2 F, E 2 = 0. Nalogo lahko rešimo tudi tako, da prvo določimo sile podpor, nato pa še sile v členkih. A F E a D a/2 a/2 C B a a 7
Vektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večUniverza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večGregor Rabič, janja čeh Ploščina štirikotnika Vsebina dokumenta je avtorsko zaščitena. Gradivo je v dani obliki dostopno brezplačno in povsem in brez
Gregor Rabič, janja čeh Ploščina štirikotnika Vsebina dokumenta je avtorsko zaščitena. Gradivo je v dani obliki dostopno brezplačno in povsem in brez omejitev uporabnikom na voljo za osebno uporabo kot
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku 1) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje in minute ali obratno: a),2 d) 19,1 8,9 e) 28 c) 2 f) 8 2) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Geometrijska telesa Opomba: pri nalogah, kjer računaš maso jeklenih teles, upoštevaj gostoto jekla 7,86 g / cm ; gostote morebitnih ostalih materialov pa so navedene pri samih nalogah! Fe 1)
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večStrokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok
Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži več1 Naloge iz Matematične fizike II /14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperat
1 Naloge iz Matematične fizike II - 2013/14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večMATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več
MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več ZBIRKA ZNAM ZA VEČ imatematika 9+ Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Avtorici: Jana Draksler
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži več1 Merjenje sil in snovnih lastnosti 1.1 Merjenje sil z računalnikom Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v električno napetost. Si
1 Merjenje sil in snovnih lastnosti 11 Merjenje sil z računalnikom Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v električno napetost Signal vodimo do računalnika, ki prikaže časovno odvisnost
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večProstor
8 Prostor Dolžina Podobni trikotniki Pravokotni trikotnik Krog, lok in kot Kotna razmerja Triangulacija Splošni trikotnik Zemljemerstvo Ploščina Prostornina Velikost Zemlje Do nebesnih teles Sončni sistem
Prikaži večNaloge s kolokvijev iz fizike za študente FRI v letih 2013/14 in 2014/15 1. Nekdo vrže žogo iz izhodišča s hitrostjo 25 m/s pod kotom 60 glede na vodo
Naloge s kolokvijev iz fizike za študente FRI v letih 2013/14 in 2014/15 1. Nekdo vrže žogo iz izhodišča s hitrostjo 25 m/s pod kotom 60 glede na vodoravnico (poševni met). Nekdo drug vrže žogo v vodoravni
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večMATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140
MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško
Prikaži večSmc 8.indd
SVET MATEMATIČNIH ČUDES 8 UČNI LISTI 7 UČNI LISTI ZA DIFERENCIACIJO PRI POUKU I. Sklop Stran v učbeniku I. 7 II. 8 5 III. 6 69 IV. 70 89 V. 90 5 VI. 6 Oznake ravni zahtevnosti... minimalna raven... temeljna
Prikaži večINDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n
INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večOSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk
OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večMatematika Uporaba integrala (1) Izračunaj ploščine likov pod grafi danih funkcij: (a) f(x) = x 2 na [0, 2], (b) f(x) = e x na [0, 1], (c) f(x) = x si
Mtemtik Uporb integrl () Izrčunj ploščine likov pod grfi dnih funkcij: () f() n [ ] (b) f() e n [ ] (c) f() sin n [ π]. Rešitev: Nj bo f zvezn pozitivn funkcij n intervlu [ b]. Ploščin lik ki leži pod
Prikaži večMicrosoft Word - N doc
Š i f r a u ~ e n c a/-k e : Dr`avni izpitni center *N05140131* REDNI ROK MATEMATIKA PISNI PREIZKUS Ponedeljek, 9.maj 005 / 60 minut Dovoljeno gradivo in pripomo~ki: u~enec prinese s seboj modro ali ~rno
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večMicrosoft Word - N doc
Š i f r a u ~ e n c a/-k e : Dr`avni izpitni center *N0614011* REDNI ROK MATEMATIKA PREIZKUS ZNANJA Torek, 9. maja 006 / 60 minut Dovoljeno gradivo in pripomo~ki: u~enec prinese s seboj modro ali ~rno
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večNapotki za izbiro gibljivih verig Stegne 25, 1000 Ljubljana, tel: , fax:
Napotki za izbiro gibljivih verig Postopek za izbiro verige Vrsta gibanja Izračun teže instalacij Izbira verige glede na težo Hod verige Dolžina verige Radij verige Hitrost in pospešek gibanja Instalacije
Prikaži večNEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic
NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večjj
Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 04, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat
Prikaži večPrevodnik_v_polju_14_
14. Prevodnik v električnem polju Vsebina poglavja: prevodnik v zunanjem električnem polju, površina prevodnika je ekvipotencialna ploskev, elektrostatična indukcija (influenca), polje znotraj votline
Prikaži več9razred.xls
Naloge iz 9 razreda 0- (d) dav Na cilj poti pripeljemo pri povprečni enakomerni hitrosti 90km/ h v 6 urah Koliko časa bi potrebovali za enako pot, če bi b) S katero povprečno hitrostjo smo vozili, vozili
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večUniverza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Zbirka nalog iz fizike za 1. letnik Gregor Bavdek, Barbara Rovšek, Jure Bajc, Mojca Čepič 3. februar 2012
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Zbirka nalog iz fizike za 1. letnik Gregor Bavdek, Barbara Rovšek, Jure Bajc, Mojca Čepič 3. februar 2012 Kazalo Uvodne naloge 1 1 Kinematika 3 1.1 Kinematika
Prikaži večMicrosoft Word - 9.vaja_metoda porusnih linij_17-18
9. vaja: RAČUN EJNE NOSILNOSTI AB PLOŠČ PO ETODI PORUŠNIH LINIJ S pomočjo analize plošč po metodi porušnih linij določite mejno obtežbo plošče, za katero poznate geometrijo, robne pogoje ter razporeditev
Prikaži večLinearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s
Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,
Prikaži večMicrosoft Word - 9.vaja_metoda porusnih linij.docx
9. vaja: RAČUN EJNE NOSILNOSTI AB PLOŠČ PO ETODI PORUŠNIH LINIJ 1. ZASNOVA S pomočjo analize plošč po metodi porušnih linij bomo določili mejno obtežbo plošče, za katero poznamo geometrijo, robne pogoje
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži večSTROJNIŠKI VESTNIK LETNIK 22 LJUBLJANA, JULIJ AVGUST 1976 ŠTEVILKA 7 8 UDK Prispevek k reševanju drugega robnega problema pri steni z luknj
STROJNIŠKI VESTNIK LETNIK 22 LJUBLJANA, JULIJ AVGUST 1976 ŠTEVILKA 7 8 UDK 624.073.12 Prispevek k reševanju drugega robnega problema pri steni z luknjo F R A N C K O S E L M A R K O Š K E R L J Članek
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži več7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor o
7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor ovrednoten z 2 točkama; če ni obkrožen noben odgovor
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večKOTNE FUNKCIJE Kotne funkcije uporabljamo le za pravokotni trikotnik! Sinus kota α je enak razmerju dolžin kotu nasprotne katete in hipotenuze. sin α
KOTNE FUNKCIJE Kotne funkije uporljmo le z prvokotni trikotnik! Sinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu nsprotne ktete in hipotenuze. sin α = Kosinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu priležne ktete in hipotenuze.
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večSchöck Isokorb tip W Schöck Isokorb tip W W Schöck Isokorb tip W Primeren je za konzolne stenske plošče. Prenaša negativne momente in pozitivne prečne
Primeren je za konzolne stenske plošče. Prenaša negativne momente in pozitivne prečne sile. Poleg tega prenaša tudi izmenične vodoravne sile. 111 Razvrstitev elementov Prerez pri vgrajevanju zunaj znotraj
Prikaži več