Statistika, Prakticna matematika, , izrocki

Transkripcija

1 Srednje vrednosti Srednja vrednost številske spremenljivke X je tako število, s katerim skušamo kar najbolje naenkrat povzeti vrednosti na posameznih enotah: Polovica zaposlenih oseb ima bruto osebni dohodek manjši od 1310 EUR, polovica pa ima večjega. Tipična slovenska družina ima dva otroka. Povprečni dosežek na preverjanju znanja je bil 51.12%. Tipične srednje vrednosti Mediana ali središčnica. Modus ali gostiščnica. Aritmetična sredina ali povprečna vrednost.

2 Modus 1 Modus številske spremenljivke X je njena najpogostejša vrednost. aj bodo x 1 < x 2 < < x r vse različne vrednosti s pripadajočimi frekvencami f 1 < f 2 < < f r, pišimo f max = max 1 j r f j. Tedaj je modus vsaka taka vrednost x k, za katero velja f k = f max. Modusov je torej lahko več. Če je en sam, ga označimo Mo.

3 Modus 2 Če je različnih vrednosti zelo veliko je informativnost modusa majhna. V takem primeru uporabimo frekvenčno porazdelitev po razredih in govorimo o modalnem razredu oziroma modalnih razredih. Modalni razred je tisti razred, ki ima največjo frekvenčno gostoto. Tu je frekvenčna gostota razmerje med frekvenco in širino razreda.

4 Aritmetična sredina 1 Iz vseh vrednosti: X = X 1 + X X = 1 X i. Iz frekvenčne porazdelitve: X = f 1 x 1 + f 2 x f r x r = 1 r f j x j.

5 Aritmetična sredina 2 Iz frekvenčne porazdelitve po razredih: X = f 1 x 1 + f 2 x f r x r Tu so x j povprečja razredov. = 1 r f j x j. Iz frekvenčne porazdelitve po razredih, če povprečja manjkajo: X = f 1 x1 + f 2 x2 + + f r xr = 1 r f j xj. Tu so xj približki povprečij razredov oziroma karakteristične vrednosti razredov.

6 Mere variabilnosti (razpršenosti) številskih spremenljivk Osnovna delitev mer variabilnosti Razmiki. Odkloni od srednjih vrednosti. Razmiki Variacijski razmik: VR = X () X (1) = max X i min X i. i i Interkvartilni razmik Q 3/4 Q 1/4. Semi-interkvartilni razmik 1 2 (Q 3/4 Q 1/4 ).

7 Povprečni absolutni odklon (od aritmetične sredine X) Iz vseh vrednosti: σ 1 (X) = X 1 X + X 2 X + + X X = 1 X i X. Iz frekvenčne porazdelitve: σ 1 (X) = f 1 x 1 X + + f r x r X = 1 r f j x j X. Alternativni povprečni absolutni odkloni Včasih obravnavamo tudi povprečni absolutni odklon od mediane ali od modusa.

8 Standardni odklon (od aritmetične sredine X) Iz vseh vrednosti: σ 2 (X) = (X 1 X) (X X) 2 = 1 (X i X) 2. Iz frekvenčne porazdelitve: σ 2 (X) = f 1 (x 1 X) f r (x r X) 2 = 1 r f j (x j X) 2. Vrednost σ 2 (X) imenujemo tudi varianca ali disperzija ali drugi centralni moment številske spremenljivke X. Velja σ 2 (X) = 1 (X i X) ( 1 2 = ) Xi 2 ( X) 2.

9 Standardni odklon (od aritmetične sredine X) Standardni odklon številske spremenljivke X je kvadratni koren iz disperzije: σ(x) = σ X = σ 2 (X) = 1 (X i X) 2 = 1 r f j (x j X) 2. Osnovna relacija med σ 1 (X) in σ(x) σ 1 (X) σ(x) σ 1 (X).

10 Standardni odklon pri porazdelitvi v razrede S pomočjo zveze σ 2 (X) = 1 X 2 i σ 2 (X) = 1 j f j x 2 j ( X) 2 = 1 Tu označimo: f j : frekvenca j-tega razreda, ( X) 2 zlahka izpeljemo: j f j x 2 j x j : povprečje spremenljivke X na j-tem razredu, x 2 j : povprečje spremenljivke X 2 na j-tem razredu. ( 1 ) 2. f j x j j