racteh
|
|
- Valter Primožič
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Računalniške tehnologije - skripta predavanj Poletni semester 03/04 Rok Žitko Institut Jožef Stefan, Jamova 39, SI-000 Ljubljana, Slovenija Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani, Jadranska 9, SI-000 Ljubljana, Slovenija rok.zitko@ijs.si 9. maj 04 Namen predmeta je študentom računalništva in informatike predstaviti fizikalne in tehnološke temelje delovanja in izdelave računalnikov, osnove fizike trdne snovi in kvantne mehanike. Nivo obravnave osnovnih pojavov in zakonitosti je sicer visok in dokaj podroben, vendar brez strogih dokazov in dolgih izpeljav. Vseeno brez določenih novih matematičnih pojmov ne gre, predvsem pri obravnavi kvantne teorije. Želja je kljub temu, da ostane poudarek na fizikalnih pojavih in njihovi interpretaciji, manj pa na formalizmu. Seveda pa je matematika jezik fizike in v obliki formul lahko nekatere ideje najbolj jedrnato izrazimo. Študijskega materiala v skripti je veliko. Namen ni toliko, da bi si študentje in študentke zapomnili vsako podrobnost, temveč da bi dobili občutek, katera fizikalna pravila igrajo pomembno vlogo in na čem temelji sodobna računalniška tehnologija. Najpomembnejše ideje bodo zato označene s klicajem v robu strani, kot tukaj desno, in se bodo ponovile na več mestih. Pomembni pojmi so zapisani v nagnjeni! pisavi, ko se pojavijo prvič. Razdelki, ki so matematično in konceptualno bolj zahtevni, so označeni z zvezdico v naslovu. Tako so označeni razdelki, kjer so razne podrobne izpeljave, ki so sicer koristne zaradi razumevanja, pomemben pa je predvsem končni rezultat. Kazalo Nihanje in valovanje 6. Nihanje Eulerjeva enačba in polarni zapis O merjenju in merilnikih Sklopljeni nihali in problem lastnih vrednosti Valovanje Izpeljava valovne enačbe Ravni val Struna Načelo superpozicije in interferenca Utripanje in valovni paket Youngov poskus Koherenca Delci, svetloba, sevanje in interakcije 0. Snov in sevanje: zgodovinski pregled Polje
2 .3 Dualnost Standardni model in osnovni delci Fermioni Bozoni Spin Temna snov Svetloba Sevanje črnega telesa Foton Comptonovo sipanje Osnovni pojmi kvantne mehanike 9 3. Sodobne fizikalne teorije Opis sistemov v klasični in v kvantni mehaniki Hilbertov prostor Bra-ket (Diracov) zapis Dvonivojski sistemi Spin Stern-Gerlachov eksperiment Verjetnostna interpretacija Meritve, operatorji, lastna stanja Meritve v klasični in v kvantni mehaniki Opazljivke in operatorji Paulijeve matrike Hermitska konjugacija Lastna stanja, lastne vrednosti Bornovo pravilo Kubit Kolaps valovne funkcije Izrek o prepovedi kloniranja Lastnosti kvantne informacije Kvantno računanje 4 4. Klasični računalniki Kvantni računalniki Tenzorski produkt Sistem več kubitov Meritve v večkubitnih sistemih Bellova stanja in kvantna prepletenost Unitarnost in časovni potek Kvantna vrata Enobitna kvantna vrata Kvantna vezja Večkubitna kvantna vrata Kopiranje Swap Supergosto kodiranje Kvantna teleportacija
3 5 Dinamika kvantnih delcev Schrödingerjeva enačba in stacionarna stanja Dinamika dvonivojskega sistema: spin v magnetnem polju Larmorjeva precesija De Brogliejeva zveza Valovna funkcija Hilbertov prostor valovnih funkcij Operatorji za valovne funkcije Prosti delec in ravni val Operator gibalne količine Tok delcev Delec v potencialu Ohranitev naboja Kvadratna potencialna jama Neskončno globoka kvadratna potencialna jama Končna kvadratna potencialna jama Parabolična potencialna jama (kvantni harmonični oscilator) Vezana stanja Gibanje elektronov skozi prepreke v eni dimenziji Potencialni skok Tunelski pojav Kvantna nedoločenost 7 6. Meritve in napake Interferenca in uklon pri valovnih pojavih Verjetnostna gostota elektronov in kvantna nedoločenost Heisenbergova neenačba Računanje nedoločenosti Hkrati dobro določene količine, združljivost, komplementarnost Bellova neenačba in njena kršitev v kvantni mehaniki Elektronska mikroskopija 8 7. Vrstični elektronski mikroskop (SEM) Tvorba slike pri SEM Transmisijski elektronski mikroskop (TEM) Vrstični tunelski mikroskop (STM) Mikroskop na atomsko silo (AFM) Elektroni v snovi Bohrov model atoma Atomske orbitale v atomu vodika Atomi in periodni sistem Kemijske vezi Ionska vez Kovalentna vez Teorija gostotnih funkcionalov Kristali Matematični opis kristala: Bravaisova mreža, baza, recipročna mreža, Brillouinova cona Sipanje rentgenske svetlobe na kristalih Gojenje kristalov Teorija elektronskih pasov Preiskovanje energijskih pasov
4 9 Kovine, polprevodniki in izolatorji Model prostih elektronov Fermijeva krogla, Fermijeva energija Gostota stanj Fermi-Diracova porazdelitev Gibanje elektrona v polju Transportni pojavi, susceptibilnost Prevajanje električnega toka: Ohmov zakon, Drudejeva teorija, difuzijski transport Balistični transport Polprevodniki Intrinzični polprevodniki Vrzeli Temperaturna odvisnost gostote nosilcev naboja Gibljivost in prevodnost Dopirani polprevodniki Polprevodnik n Polprevodnik p Magnetni polprevodniki Izolatorji Topološki izolatorji Lastnosti in uporaba polprevodnikov 5 0. Hallov pojav Fotoprevodnost Dioda in usmerniški elementi Fotodioda Tranzistor na poljski pojav (FET) Tehnologija CMOS Heterostrukture, optični elementi in nanonaprave 3. Heterostrukture Heterospoj p-n Kvantna jama in dvodimenzionalni elektronski plin Gostota stanj v dvodimenzionalnih sistemih Kvantni Hallov pojav Grafen Kvantna žica Gostota stanj v enodimenzionalnih sistemih Ogljikove nanocevke Kvantna pika LED dioda Polprevodniški laser Nanoelektronika 33. Tuneliranje elektronov, Landauerjeva enačba Izpeljava Landauerje enačbe Kvantni točkovni stik Kvantna pika kot enoelektronski tranzistor Resonančno tuneliranje in Coulombska blokada Sklopljene kvantne pike Molekularna elektronika
5 3 Magnetizem Magnetno polje, magnetizacija Feromagnetizem Magnetna anizotropija Spintronika Magnetoupornost Spinski ventil in tunelska magnetoupornost Spinski tranzistor Hranjenje podatkov Magnetni pomnilniki: trdi diski in magnetni trakovi Superparamagnetna meja Magnetne plošče Bralno/pisalna glava Trajnost zapisa na trdih diskih Magnetni trakovi Flash pomnilniki Optični pomnilniki MRAM Prihajajoče tehnologije Implementacije kvantnih računalnikov 5 5. Dekoherenca Kvantna korekcija napak Ujeti ioni Elektromagnetna past Lasersko hlajenje Kvantna stanja ionov in kubiti Kvantne operacije Odčitavanje Magnetna resonanca SQUID Superprevodnost Josephsonov pojav SQUID in kubit na osnovi fluksa Kvantne pike Drugi predlogi
6 Nihanje in valovanje. Nihanje Ponavljajoče se (periodične) pojave imenujemo tudi nihanje ali osciliranje. Mehanska nihala so, denimo, matematično nihalo (točkasta masa na lahki vrvici), fizično nihalo (togo telo, prosto gibljivo okoli osi skozi telo) in vzmetno nihalo (masa na vijačni vzmeti), glej sliko. Tudi kroženje je periodičen pojav. Preprost oscilator v elektroniki je vezje LC, torej električni tokokrog, sestavljen iz tuljave in kondenzatorja. φ φ m matematično fizično vzmetno nihajni krog Slika : Nihala v klasični mehaniki Obravnavani sistem v fiziki opišemo tako, da podamo njegovo stanje (položaji in hitrosti delcev, električna napetost in tok v vezju, pritisk plina, ipd.). Stanje je popolen opis sistema, torej vsebuje zadosti! podatkov, da lahko vsaj načeloma izračunamo obnašanje sistema v prihodnosti. Gibanje vzmetnega nihala lahko opišemo z odmikom mase od ravnovesne lege, x(t). Popolen opis trenutnega stanja ob času t =0je položaj x(0) in hitrost v(0), pri čemer je hitrost odvod položaja po času, v =dx/dt. S pomočjo Newtonovega zakona gibanja, F = ma = m dv dt = md x dt, () lahko iz poznane sile F tedaj izračunamo časovni potek x(t), saj je Newtonov zakon diferencialna enačba drugega reda, za katero potrebujemo ravno dva začetna pogaja, položaj in hitrost. Če je nihanje periodično, velja x(t) =x(t + T ), glej sliko, saj se po času T gibanje identično ponovi. Čas T imenujemo perioda ali nihajni čas, merimo ga v enotah s (sekunda). Frekvenco (število ponovitev na enoto časa) = () T merimo v enotah Hz (hertz). Nihalo, ki je prepuščeno samo sebi (torej ga ne vzbujamo od zunaj), niha z lastno nihajno frekvenco. Če pa nihalo vzbujamo, bo nihalo s frekvenco vzbujanja..5 perioda, T Slika : Časovni potek periodičnega nihanja 6
7 Zelo pomembna so harmonična nihala, ki nihajo kot x(t) =x 0 sin(!t + ). (3) x 0 je amplituda nihanja, izraz!t +, ki nastopa kot argument funkcije sinus, imenujemo faza, pri čemer je fazni zamik,! pa je krožna frekvenca. Velja!T =, ker je funkcija sinus periodična s periodo, torej T = /! =/ in od tod sledi! =. (4) V fiziki se bolj pogosto računa s krožno frekvenco!, v tehniki pa z običajno frekvenco, zato je potrebno nekaj previdnosti. Ime krožna frekvenca izvira iz dejstva, da je argument trigonometrijskih funkcij kot, izražen v enotah radian; faktor je ravno polni kot (360 kotnih stopinj), saj ena perioda ustreza enemu vrtljaju. Bistvena lastnost harmoničnega nihanja je, da se amplituda in frekvenca s časom ne spreminjata, torej da je nihanje sinusno, kot smo že zapisali. Nihanje lahko seveda zapišemo tudi s funkcijo kosinus. Spomnimo se, da velja cos(x /) = sin(x), torej gre le za drugačen dogovor o faznem zamiku. Pravo periodično gibanje, za katerega velja x(t) = x(t + T ), je seveda zgolj matematična idealizacija pravega gibanja. Kadar je prisotno dušenje (zaradi trenja, zračnega upora, električnega upora, ipd.), pogosto velja x(t) =x 0 e t/ sin(!t + ). (5) Gre torej za sinusno nihanje z eksponentno upadajočo amplitudo nihanja. je relaksacijski čas. Ko mine čas 5, amplituda nihanja pade pod procent začetne. Rečemo tudi, da se nihanje izniha. Obravnava majhnih odmikov od ravnovesja nam razkrije, zakaj so nihanja zelo pogosto harmonična.! Sistem v ravnovesju je v točki minimalne energije. Naj bo to pri x =0. V bližini minimuma je potencialna energija U približno parabolična (kvadratična) funkcija, lahko pa ima popravke višjega reda v x, glej sliko 3. Naredimo lahko Taylorjev razvoj U(x) (k/)x +(k /3)x 3 +(k 3 /4)x (6) Sila po definiciji znaša F = (du/dx) in sledi F (x) kx k x k 3 x (7) Če je x zelo majhen, bo pomemben le prvi člen in dobimo Hookov zakon F (x) = kx, kjer je k konstanta vzmeti. Naredili smo linearizacijo: pri majhnih premikih so nelinearni popravki zanemarljivi (manjši je x, bolje to velja) in sile so linearno odvisne od odmikov. Ko je obnašanje sistema linearno, velja zelo pomembno načelo superpozicije, ki ga bomo podrobno obravnavali v nadaljevanju.! parabolični približek.0.5 U(x) x Slika 3: Potencialna energija U(x) z minimumom pri x =0in parabolični (kvadratični) približek, ki se dobro prilega potencialu v bližini minimuma. Primer: vzmetno nihalo 7
8 Newtonova enačba za nihalo se po linearizaciji zapiše: mẍ = kx, (8) kjer s piko nad simbolom označujemo odvod po času, f =df/dt, dvojna pika pa je drugi odvod, f = d f/dt. Enačbo nihala lahko zapišemo tudi kot ẍ +! 0x =0, (9) kjer je! 0 = r k m lastna (krožna) frekvenca nihala. Rešitev je seveda harmonsko nihanje: (0) x(t) =x 0 sin(! 0 t + ). () Primer: matematično nihalo Če moramo v izrazu za silo upoštevati tudi člene višjega reda, bomo imeli opravka z nelinearnimi pojavi. Primer je matematično nihalo z enačbo gibanja + g sin =0. () l Funkcijo sinus dobimo, ker je potrebno silo težnosti projecirati na tangentno smer nihala. Taylorjev razvoj funkcije sinus je 3 sin 3! , (3) 5! torej je sila oblike F k k 3 3. Pri majhnih obdržimo le prvi člen in dobimo rešitev s krožno frekvenco r g! 0 = l, (4) pri kateri približno velja izokronizem (frekvenca neodvisna od amplitude), pri večjih amplitudah pa opazimo, da se perioda nekoliko podaljša... Eulerjeva enačba in polarni zapis sin θ θ cos θ Slika 4: K izpeljavi Eulerjeve enačbe: koordinati točke z = e i v kompleksni ravnini sta Rez = cos in Imz =sin. 8
9 Linearne diferencialne enačbe lahko rešujemo z uporabo naslednjega trika. Eulerjeva enačba se glasi (glej tudi sliko 4) e i = cos + i sin. (5) Realno spremenljivko x izrazimo kot realni del kompleksne, x =Rez, in enačbo harmonskega nihala zapišemo kot z +! 0z =0. (6) Rešujemo z nastavkom z = Ae ict, kjer je A poljubna kompleksna konstanta, c pa bomo doložili v nadaljevanju. Odvajanje eksponentnih funkcij je zelo preprosto: ż = icae ict in z = c Ae ict. Vstavimo v enačbo in določimo neznanko c =! 0. A imenujemo kompleksna amplituda, ki se v t.i. polarnem zapisu glasi: A = Ae i. (7) A je realna amplituda, pa fazni zamik. Kompleksna amplituda A povsem opredeljuje gibanje harmonskega oscilatorja z dano frekvenco. Realna rešitev je tedaj.. O merjenju in merilnikih x(t) =Rez(t) =Re Ae i e i!ot = A cos(! 0 t + ). (8) Pri počasnih nihanjih lahko gibanje sistema spremljamo iz trenutka v trenutek. To velja splošno: če je odzivni čas merilnika krajši, kot je tipični čas gibanja (perioda), potem lahko časovni potek neposredno opazujemo. V takšnem primeru lahko iz meritve takoj izluščimo amplitudo A. Pogosto pa imamo opravka z zelo hitrimi pojavi, ki jim merilnik ne more točno slediti. V takšnih primerih merilniki merijo intenziteto oziroma jakost, to je kvadrat amplitude, A.! Lep primer poznamo iz elektronike. Pri razmeroma nizkih frekvencah lahko obliko signala opazujemo, denimo, na osciloskopu, kjer amplitudo nihanja takoj razberemo iz slike. Pri frekvencah, ki presegajo pasovno širino osciloskopa, pa lahko o amplitudi toka sklepamo posredno preko ohmskih izgub na uporu, ki so sorazmerne z RI, kjer je R upornost, I pa amplituda izmeničnega toka. Če nadaljujemo razpravo o kompleksni amplitudi iz prejšnjega razdelka, je uporabna ugotovitev, da lahko kvadrat amplitude zapišemo tudi kot A = A A = A, (9) pri čemer z zvezdico desno zgoraj ob simbolu označujemo kompleksno konjugiranje (z = a ib, če z = a + ib), z navpičnimi črtami pa absolutno vrednost (rečemo tudi modul ali dolžina, z = p a + b, če z = a + ib). To je pomembno, ker pri valovanjih detektorji običajno merijo intenziteto, torej kvadrat amplitude valovanja.. Sklopljeni nihali in problem lastnih vrednosti Rešimo sedaj z uporabo zgoraj opisanega trika problem dveh sklopljenih nihal, shematsko prikazan na sliki 5. Pri tem se bomo seznanili z učinkom sklopitve med nihali, ki vodi k razcepu lastnih frekvenc, ter z nekaj matematičnimi pojmi iz linearne algebre, ki bodo zelo koristni v nadaljevanju. To je tudi podlaga za izpeljavo valovne enačbe v razdelku.4. k x x K k m m Slika 5: Vzmetni nihali, sklopljeni z dodatno vzmetjo 9
10 Enačbi nihal sta kx K(x x )=mẍ, kx K(x x )=mẍ, (0) saj na vsako maso m delujeta dve vzmeti s konstantnama vzmeti k in K. Enačbi lahko zapišemo v matrični obliki kot apple apple apple k K K x = m! x. () K k K x x Po analogiji z rešitvijo za eno samo nihalo poskusimo nastavek apple apple x A e = i!t x A e i!t. () Poudariti je treba, da iščemo rešitev, kjer obe nihali nihata z isto frekvenco, ki pa jo moramo še določiti kot del rešitve. Matematično takšni vrsti naloge rečemo problem lastni vrednosti. Neznanke so frekvenca! in amplitudi A in A. Uvedemo! 0 = k/m in = K/m, upoštevamo zgordnji nastavek, ter preuredimo: apple!! 0!! 0 apple A A =0. (3) Spomnimo se, da ima homogen sistem enačb Mx =0netrivialno rešitev, če je determinanta matrike koeficientov M =detm enaka nič. Determinanta matrike a b = ad bc. Zapišemo torej c d (!! 0 ) 4 =0. (4) Rešitvi sta! =! 0 in! = q! 0 +. (5) Če rešitev vstavimo v matriko in določimo koeficiente, ugotovimo da prvi rešitvi ustreza vektor amplitud A = A, torej masi se premikata v isto smer z isto amplitudo, drugi pa A = A, ko se masi premikata v nasprotnih si smereh. Pri prvem lastnem nihajnem načinu se vzmet, ki masi povezuje, ne razteguje, zato frekvenca ostane enaka kot pri nesklopljenih nihalih, v drugem načinu pa raztegujemo tudi to dodatno vzmet in frekvenca se zato poveča, glej sliko 6. Slika 6: Lastna nihajna načina sklopljenih nihal Omenimo še, da imajo dvojna nihala v primeru nelinearnosti kaotične rešitve, ki so zelo občutljive na začetne pogoje. Tovrstnimi pojavi so v domeni teorije dinamičnih sistemov in teorije kaosa. Trivialna rešitev je seveda x = x =0. 0
11 .3 Valovanje Valovanje imenujemo nihajoče motnje, ki se širijo po prostoru. Mehanska valovanja opazimo, denimo, na vodni gladini, v vrveh in strunah. Zvok je valovanje, ki se širi po zraku. Omenimo še propagiranje zvoka v trdni snovi in v tleh (to so potresi). Med elektromagnetna valovanja prištevamo svetlobo in radijske valove. V nadaljevanju se bomo srečali s kvantnomehanskim valovanjem. Obstajali naj bi še gravitacijski valovi, ki pa jih še nismo zaznali. Motnje nosijo energijo in gibalno količino. Prvo je še posebej zaznavno pri svetlobi (segrevanje), drugo pa pri potresih (sunek sile). Valovanja se pogosto širijo v mediju, torej v nekem sredstvu ali snovi (zvok, na primer, po zraku, glej sliko 7). Pri valovanju se medij celokupno ne premakne, saj se posamezni delčki medija vrnejo v ravnovesno lego. Lep primer je zvočno valovanje, kjer se gmota zraka neto ne premakne ob prehodu zgoščin. Zvočnik ni ventilator! Slika 7: Shematski prikaz širjenja zvoka po zraku v obliki zgoščin plina. Posamezne točke predstavljajo molekule. Nekaj časa je veljalo, da naj bi se tudi elektromagnetno valovanje širilo v nekakšnem etru. Michelson in Morley sta v znamenitem eksperimentu poskusila določiti hitrost našega planeta glede na ta eter, vendar je nista zaznala. Danes vemo, da se lahko valovanje širi skozi prazen prostor, kar opišemo s sodobnim konceptom elektromagnetnega polja. O tem več v nadaljevanju.! Valovanje opišemo z valovno funkcijo, ki opisuje odmik od neke ravnovesne lege v odvisnosti od kraja in časa. Označimo jo kot (x, t), če se omejimo na eno prostorsko dimenzijo. Če z opisujemo, denimo, struno, potem (x, t) pomeni odmik strune na mestu x ob času t. V tem se opis valovanja razlikuje od nihanja, kjer smo imeli opravka z eno samo spremenljivko, časom. Fiksirajmo čas, t = t. Tedaj je (x, t = t ) funkcija zgolj spremenljivke x, grafu pa rečemo trenutna slika. To je slika, ki bi jo dobili, če bi posneli fotografijo sistema ob izbranem času t. Zapišemo lahko (x, t = t )=f(x), kjer funkcija f opisuje obliko motnje. Če motnja potuje s hitrostjo c, potem se v času t t premakne za c(t t ), zato je trenutna slika ob kasnejšem času t = t enaka (x, t = t )= f[x c(t t )]. V splošnem je torej za potovanje valovanja v desno (slika 8), in podobno (x, t) =f(x ct) (6) (x, t) =f(x + ct) (7) za potujoči val v levo. Če fiksiramo x = x 0 in spreminjamo t, pa se ustrezni graf (x = x 0,t)=g(t) imenuje časovni potek..4 Izpeljava valovne enačbe V tem razdelku bomo izpeljali enačbo, ki opisuje širjenje valovanja po nekem mediju. Dobili bomo parcialno diferencialno enačbo, v kateri se pojavljajo tako odvodi po kraju kot odvodi po času. Izpeljava kar znatno presega zahtevnost tega predmeta, pomembno pa je poznati vsaj končni rezultat.
12 f x f x ct ct x Slika 8: Dve trenutni sliki vala, ki potuje v desno (ob času 0 in ob času t) Obravnavajmo dolgo verigo sklopljenih nihal, sklopljenih z enakimi vzmetmi, kot je prikazano na sliki 9. Mislimo si lahko, da so to atomi, ki tvorijo kos snovi. Odmik n-tega nihala iz ravnovesne lege opišemo s funkcijo n (t). Za vsako nihalo velja enačba gibanja Uvedemo! 0 = K/m in zapišemo kot K( n n ) K( n n+ )=m n. (8)! 0( n+ n + n )= n. (9) k m k m k m k n- n n+ Slika 9: K izpeljavi valovne enačbe za dolgo verigo vzmetnih nihal Obravnavajmo sedaj limito majhnih razdalj a med nihali. V ravnovesju je n-to nihalo na mestu x = na, zato lahko zapišemo tudi n (t) = (x = na, t). Odvod funkcije po spremenljivki x lahko zapišemo po definiciji kot g 0 (x) = dg dx =lim g(x + /) g(x /), (30)!0 drugi odvod pa kot g 00 (x) = d g dx =lim [g(x + ) g(x)]/ [g(x) g(x )]/ g(x + ) g(x)+g(x ) =lim!0.!0 (3) Od tod sledi, da približno velja n+(t) n (t)+ n (t) 00 (x, t)a, (3) saj lahko a smatramo kot majhno količino. Uvedemo c =! 0 a, ki ima dimenzije hitrosti, in valovno enačbo zapišemo kot c 00 (x, t) = (x, t), (33) @t (34) S črtico desno zgoraj ob simbolu označujemo odvod po kraju, s piko nad simbolom pa odvod po času, kot prej.
13 označujemo parcialne odvode. (x, t)/@x pomeni, da fiksiramo spremenljivko t in odvajamo funkcijo po spremenljivki x. Enačba je linearna: če sta funkciji in rešitvi, potem je rešitev tudi funkcija +. Splošna rešitev valovne enačbe je = (x ct)+ (x + ct), (35) kjer sta in poljubni funkciji ene spremenljivke, kar zlahka preverimo. Ugotovimo torej, da je količina c =! 0 a v valovni enačbi hitrost valovanja..5 Ravni val Obravnavajmo sedaj nabolj pomembno rešitev valovne enačbe, ki opisuje ravni val. To je neskončno dolg val, ki igra podobno vlogo kot harmonsko nihanje pri oscilatorjih, saj je (lastna) rešitev linearne valovne enačbe. Ψ x,t 0.0 λ vrh oz. hrbet 0.5 vozel x dolina Slika 0: Trenutna slika ravnega vala Če iščemo rešitev, ki je periodična po času, uporabimo nastavek (x, t) = (x)e i!t, (36) kjer smo ponovno uporabili trik s kompleksnimi števili. Dobimo c 00 (x) =! (x). (37) Faktor e i!t na obeh straneh enačbe smo že krajšali. Ker je tudi enačba (37) za enačba, lahko znova uporabimo eksponentni nastavek: (x) linearna diferencialna (x) =Ae ikx (38) in sledi c k =!. Dobimo torej! = ck. (39) Rezultat je torej = Ae i(kx!t), če obdržimo le realni del, pa dobimo = A cos(kx!t). (40) Takšna rešitev se imenuje ravni val. Trenutna slika je funkcija kosinus, slika 0. Razdaljo med dvema! valovnima hrbtoma v trenutni sliki imenujemo valovna dolžina. Ker je perioda funkcija, mora veljati k =. Količino k = (4) 3
14 imenujemo valovno število, enota [m ]. To vstavimo v izraz (39) in dobimo pomembno zvezo med frekvenco, valovno dolžino in hitrostjo valovanja: Preverimo lahko še, da velja cos(kx h!t) = cos k x c =. (4)! i k t = cos [k (x ct)], (43) kar pomeni, da je ravni val res funkcija spremenljivke x ct, kot mora veljati za poljubno rešitev, ki opisuje valovanje, ki potuje v desno s hitrostjo c. Ravni val je seveda idealizacija, saj neskončno dolgih valov v resnici ni. Je pa zelo dober približek, denimo, za laserski žarek. Primer: Pri svetlobi, ki je elektromagnetno valovanje (o tem več kasneje), ne moremo meriti amplitud električnega in magnetnega polja, lahko pa merimo energijsko gostoto w = 0E, oziroma energijski tok j = cw, in sicer preko absorbirane moči P = js, kjer je S površina detektorja. Naprava, ki deluje po tem načelu, se imenuje bolometer..6 Struna Imejmo struno vpeto med dve nepremični točki. S T označimo mehansko napetost strune. Pokazati se da, da za hitrost zvoka na struni velja c = p T/µ, (44) kjer je µ linearna gostota mase strune, µ = m/l; l je dolžina strune. Pri strunah na kitari lahko napetost T spreminjamo z vijaki na glavi instrumenta, µ pa je odvisna od debeline in vrste strune. Omenimo še, da za hitrost zvoka na splošno velja naslednja forma! c = s vračanje k ravnovesju. (45) inercija Tudi za struno velja valovna enačba. Novost v primerjavi z zgornjo obravnavo ravnega vala je končna velikost (dolžina) strune. Zato je pomembno upoštevati, kako se obravnavani sistem obnaša na svojih robovih. Robni pogoji na struni so (x =0,t)=0in (x = l, t) =0, če je struna vpeta v točkah x =0in x = l in se tam ne premika. Iščemo časovno periodično rešitev z nastavkom (x, t) = (x)e i!t. Dobimo enačbo 00 (x)+k (x) =0, (46) kjer smo upoštevali! /c = k. Za krajevni del sedaj ne uporabimo eksponentnega nastaveka, temveč sinusnega: (x) =A sin(kx). (47) S tem je že samodejno upoštevan robni pogoj pri x =0. Zaradi robnega pogoja na drugem krajišču pa mora veljati še sin(kl) =0ali kl = n, n =,,... Sledi torej k = l Od tod sledi! = ck = c n/l ali = cn/l. Frekvenco n ali = l n. (48) = c l (49) imenujemo osnovna frekvenca, tiste z n> pa višje harmonične frekvence. Opazimo, da so frekvence pri fiksni dolžini strune odvisne le od hitrosti zvoka c. 4
15 Ψ x,t tretji harmonik n=3 4 3 osnovni nihajni način drugi harmonik x n= n= Slika : Stoječa valovanja na struni; trenutna slika ob času t = Slika : Zaporedne trenutne slika nihanja strune. Levo: ena sama lastna frekvenca (tretji harmonik). Desno: kombinacija dveh lastnih frekvence (drugi in tretji harmonik). Ko vzamemo realni del, dobimo za končno rešitev (x, t) =A sin(kx) cos(!t). (50) Dobljeni nabor rešitev imenujemo stoječa valovanja, slika. To so lastne rešitve enačbe, kar pomeni, da! sistem, če ga ne vzbujamo od zunaj, niha kot kombinacija takšnih rešitev. Opazimo, da pri vsaki posamezni lastni rešitvi vozli mirujejo (pri linearni kombinaciji pa to ne velja, slika ). Nihanje strune lahko opazujemo s stroboskopom. Če je frekvenca bliskanja točno enaka frekvenci nihanja strune, bo struna izgledala nepremična. Pri manjši razliki pa bo izgledalo, kot da se premika počasi v eno ali v drugo smer. Zaključimo, da je razlika med ravnim valom in stoječim valovanjem v robnih pogojih. Pri ravnem valu lahko rečemo, da imamo izvor v, val pa gre v +. Pri stoječem valovanju pa imamo zapovedane robne pogoje v točkah, kjer je struna vpeta. Pri ravnem valu je dovoljeno poljubno valovno število, pri stoječem valovanju pa samo nekatere točno določene vrednosti. S podobnim pojavom se bomo srečali pri! kvantni mehaniki..7 Načelo superpozicije in interferenca V linearnih sistemih velja načelo superpozicije. Če sta in rešitvi valovne enačbe, potem je možna! rešitev tudi linearna kombinacija s konstantnima koeficientoma a in b: (x, t) =a (x, t)+b (x, t). (5) To velja povsem splošno za vse linearne sisteme, ki jih opisujejo diferencialne enačbe, kjer nastopa zgolj kot prva potenca, stopnje časovnih in krajevnih odvodov pa so lahko poljubne. Primeri:, 0,, 00,, 0, etc. so dovoljeni, izrazi in 0, 0 pa niso. Za nelinearne sisteme načelo superpozicije v splošnem ne velja in njihova obravnava je veliko bolj zapletena, ker lahko pride do novih pojavov. Vseeno pa načelo 5
16 superpozicije velja kot zelo dober približek za valovanja z majhno amplitudo, ko smemo diferencialne enačbe linearizirati. Maxwellove enačbe v praznem prostoru so čisto linearne, pri elektromagnetnem valovanju v snovi pa so možni nelinearni efekti, ki jih lahko najlaže zaznamo z močnim laserskim žarkom (podvojevanje frekvenc in podobni pojavi). Interferenca je pojav, tesno povezan z načelom superpozicije. Pri seštevanju valovanj z isto frekvenco! gre pri pojavu interference za ugotovitev, da je vsota trigonometrijskih funkcij prav tako trigonometrijska funkcija, katere končna amplituda je lahko večja ali manjša od začetnih, glej sliko 3. Če sta valovanji v fazi in z enako amplitudo, je = A sin(kx!t)+a sin(kx!t) =A sin(kx!t). To je konstruktivna interferenca. Če sta valovanji v nasprotni fazi, pa je = A sin(kx!t) A sin(kx!t) =0. To je destruktivna interferenca. V splošnem pa za valovanji z enako amplitudo uporabimo zvezo Primer: sin a +sinb =sin a + b cos a b. (5) sin(kx!t)+sin(kx!t + )=sin kx!t + cos. (53) Faktor cos ima vrednost med 0 in, odvisno od faznega zamika med valovanjema. =0pomeni povsem konstruktivno, = pa povsem destruktivno interferencno, kar pa sta le dva skrajna primera. ψ ψ ψ + ψ konstruktivna interferenca destruktivna interferenca Slika 3: Superpozicija ravnih valov lahko vodi h konstruktivni ali k destruktivni interferenci, v splošnem pa dobimo novo trigonometrijsko funkcijo z drugačno amplitudo in s premikom faze. Izraz A cos(kx!t+ ) lahko zapišemo tudi kompleksno Ae i(kx!t+ ), torej je kompleksna amplituda A exp(i ). Kompleksna amplituda je torej neka točka v kompleksni ravnini. Valovanja lahko sestavljamo s t.i. kazalčnimi diagrami, pri čemer dobimo končno amplitudo kot vektorsko vsoto vseh kompleksnih! amplitud v kompleksni ravnini. Ta geometrijski pristop je posebno pripraven za seštevanje valovanj z različnimi amplitudami, ko postane algebrajski pristop s trigonometrijskimi funkcijami preveč zapleten. Oglejmo si linearno kombinacijo dveh potujočih valovanj, ki se širita v nasprotnih si smereh. Dobimo sin(kx!t)+sin(kx +!t) =sin(kx) cos(!t). (54) To pa je ravno rešitev za struno! Val potuje v eno smer, se odbije v točki vpetja, nato potuje v nasprotno smer, etc. Stoječe valovanje je torej interferenca dveh potujočih valovanj,pom. 6
17 .8 Utripanje in valovni paket Imejmo dve nihali z rahlo različnima frekvencama! in!. Velja sin(! t)+sin(! t)=sin(!t) cos(!t), (55) kjer je! = (! +! ) povprečna frekvenca in! = (!! ) njuna razlika (oz. polovica razlike). Če velja!! dobimo nihanje, pri katerem je amplituda nihanja s povprečno frekvenco modulirana z razliko frekvenc. Takšno rešitev imenujemo utripanje; prikazano je na sliki 4. x t π/δω π/ω t Slika 4: Utripanje nihala Takšno rešitev dobimo, če šibko sklopimo dve nihali. Prvo izmed nihal izmaknemo in spustimo. Najprej niha le prvo nihalo, počasi pa se vzbudi tudi nihanje v drugem. Amplituda prvega nihala pada, amplituda drugega pa raste. Čez čas niha le drugo nihalo. To dogajanje se potem ponovi v drugo smer, etc. Pri takšnem utripanju se pretaka energija iz enega nihala v drugo. Zanimivo je tudi utripanje pri potujočih valovanjih. Imejmo dve valovanji z enako amplitudo, vendar različnima frekvencama (in torej valovnima dolžinama). Dobimo = A sin(k x! t)+a sin(k x! t)=a sin( kx!t) cos( kx!t). (56) Dobimo valovanje, katerega trenutna slika je modulirano potujoče valovanje. Ovojnica se giblje s hitrostjo ki se imenuje grupna hitrost in se lahko močno razlikuje od t.i. fazne hitrosti c g =! k, (57) c f =! k, (58) s katero se gibljejo posamezne valovne poteze, glej sliko 5. Iz večjega števila valovanj z malo različnimi lahko sestavimo valovni paket, slika 6, katerega hitrost je c g = d! dk. (59) Pokazati se da, da tudi energija in informacija potujeta z grupno hitrostjo. Fazna hitrost valovnega paketa elektromagnetnega polja je lahko večja od svetlobne, grupna hitrost pa je vedno nižja..9 Youngov poskus Obravnavajmo interferenco dveh ravnih valovanj. Takšen poskus je okoli leta 800 opravil s svetlobo Young, kar je bil eden izmed prvih prepričljivih dokazov, da je svetloba valovni pojav, zato ima ta eksperiment zelo pomembno vlogo v zgodovini fizike. 7
18 Ψ x,t 0 c f x c g Slika 5: Potovanje linearne kombinacije dveh valovanj z razlo različnima valovnima dolžinama. Ovojnica se premika z grupno hitrostjo c g, posamezni valovni vrhovi pa s fazno hitrostjo c f. Ψ x,t x 0.5 c g.0 Slika 6: Valovni paket se giblje z grupno hitrostjo c g =d!/dk. φ A L B Lsin φ vpadna svetloba zaslon z dvema režama Slika 7: Razlika poti med valovanjema skozi odprtini na zelo (neskončno) oddaljenem zaslonu je l = L sin, če je L razdalja med režama, kot pa je kot opazovanja. 8
19 Imejmo zaslov z dvema zelo ozkima režama, skozi kateri predira valovanje. Rezultat opazujemo na zelo oddaljenem zaslonu. Naj bo l razlika poti od vsake izmed rež do točke merjenja na zaslonu (glej skico 7). Seštejmo dve valovanji = A sin(kx!t) in = A sin[k(x + l)!t]. Spomnimo se, da velja sin(a + ) =sin(a) in sin(a + ) = sin(a). Če je kl = N oz. l = N, (60) dobimo konstruktivno interferenco (svetlo progo), če pa je kl =(N ) oz. l = N, (6) pa dobimo destruktivno interferenco (temno progo). Uklonska mrežica je steklena ploščica z izbrušenimi režami. Razmiki morajo biti istega velikostnega reda kot valovna dolžina. Uklonske mrežice se uporabljajo za natančno merjenje valovne dolžine. Če je kot med smerjo vpadnega valovanja in nekim mestom na zelo oddaljenem zaslonu, lahko pogoj za konstruktivno interferenco zapišemo tudi kot l = L sin = N, (6) kjer je L razdalja med režami na mrežici, slika 7. Valovno dolžino svetlobe lahko določimo tudi s prizmo. Youngov poskus je uspel tudi z elektroni (Claus Jönsson, 96) in celo z večjimi molekulami (Arndt, 00)..0 Koherenca Kot omenjeno v razdelku.5, merilniki svetlobe merijo njeno intenziteto, sorazmerno s kvadratom polja E. Pri interferenčnih poskusih na merilnik padata dve valovanji, katerih električno polje se sešteva (sicer vektorsko, vendar bomo obravnavo malo poenostavili). Merimo torej količino, sorazmerno z E + E =(E + E )(E + E )= E + E + E E cos( ), (63) če velja E = E e i in E = E e i. Če se in hitro naključno spreminjata, bo časovno povprečje kosinusnega člena enako nič. Tedaj je izmerjena intenziteta kar enaka vsoti intenzitet posameznih valovanj: I = I + I. (64) Takšna valovanja imenujemo nekoherentna, interference ni. Če pa je fazna razlika konstantna v! času (v trajanju meritve oz. v času, ki ustreza odzivnemu času instrumenta), potem velja I = I + I + p I I cos( ). (65) Takšna valovanja imenujemo koherentna: seštevajo se amplitude in interferenca je možna. Koherentnost! je ključnega pomena v kvantni mehaniki. Eksperimentalno določamo, v kolikšni meri sta neki valovanji koherentni, ravno preko tega, v kolikšni meri je viden interferenčni člen p I I cos( ), saj lahko I in I izmerimo neodvisno, potem pa preverimo t.i. vidnost interferenčnega člena. Svetloba iz običajne žarnice z žarilno nitko iz volframa (termična sijalka) je zelo nekoherentna. Svetloba iz laserjev pa je izjemno koherentna in je zelo primerna za interferenčne meritve. 9
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži več1 Naloge iz Matematične fizike II /14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperat
1 Naloge iz Matematične fizike II - 2013/14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večUniverza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večdr. Andreja Šarlah Teorijska fizika II (FMF, Pedagoška fizika, 2010/11) kolokviji in izpiti Vsebina Kvantna mehanika 2 1. kolokvij 2 2. kolokvij 4 1.
dr. Andreja Šarlah Teorijska fizika II (FMF, Pedagoška fizika, 2010/11) kolokviji in izpiti Vsebina Kvantna mehanika 2 1. kolokvij 2 2. kolokvij 4 1. izpit 5 2. izpit 6 3. izpit (2014) 7 Termodinamika
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večVPRAŠANJA ZA USTNI IZPIT PRI PREDMETU OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II PREDAVATELJ PROF. DR. DEJAN KRIŽAJ Vprašanja so v osnovi sestavljena iz naslovov poglav
VPRAŠANJA ZA USTNI IZPIT PRI PREDMETU OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II PREDAVATELJ PROF. DR. DEJAN KRIŽAJ Vprašanja so v osnovi sestavljena iz naslovov poglavij v učbeniku Magnetika in skripti Izmenični signali.
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večNaloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Tr
Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Trditev: idealni enosmerni tokovni vir obratuje z močjo
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večVIN Lab 1
Vhodno izhodne naprave Laboratorijska vaja 1 - AV 1 Signali, OE, Linije VIN - LV 1 Rozman,Škraba, FRI Laboratorijske vaje VIN Ocena iz vaj je sestavljena iz ocene dveh kolokvijev (50% ocene) in iz poročil
Prikaži večPrevodnik_v_polju_14_
14. Prevodnik v električnem polju Vsebina poglavja: prevodnik v zunanjem električnem polju, površina prevodnika je ekvipotencialna ploskev, elektrostatična indukcija (influenca), polje znotraj votline
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - OVT_4_IzolacijskiMat_v1.pptx
Osnove visokonapetostne tehnike Izolacijski materiali Boštjan Blažič bostjan.blazic@fe.uni lj.si leon.fe.uni lj.si 01 4768 414 013/14 Izolacijski materiali Delitev: plinasti, tekoči, trdni Plinasti dielektriki
Prikaži večUniverza v Ljubljani FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Tržaška c. 25, 1000 Ljubljana Realizacija n-bitnega polnega seštevalnika z uporabo kvan
Univerza v Ljubljani FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Tržaška c. 25, 1000 Ljubljana Realizacija n-bitnega polnega seštevalnika z uporabo kvantnih celičnih avtomatov SEMINARSKA NALOGA Univerzitetna
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večTrLin Praktikum II Lastnosti transmisijske linije Uvod Visokofrekvenčne signale in energijo večkrat vodimo po kablih imenovanih transmisijske linije.
Lastnosti transmisijske lije Uvod Visokofrekvenčne signale energijo večkrat vodimo po kablih imenovanih transmisijske lije. V fiziki pogosto prenašamo signale v obliki kratkih napetostnih ali tokovnih
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večLaTeX slides
Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni
Prikaži večUvodno predavanje
RAČUNALNIŠKA ORODJA Simulacije elektronskih vezij M. Jankovec 2.TRAN analiza (Analiza v časovnem prostoru) Iskanje odziva nelinearnega dinamičnega vezja v časovnem prostoru Prehodni pojavi Stacionarno
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večFizika2_stari_testi.DVI
Stari pisni izpiti in kolokviji iz Fizike 2 na Fakulteti za elektrotehniko 6. november 2003 Tako, kot pri zbirki za Fiziko 1, so izpiti in kolokviji zbrani po študijskih letih (2002/2003, 2001/2002, 2000/2001).
Prikaži večMicrosoft Word - 2. Merski sistemi-b.doc
2.3 Etaloni Definicija enote je največkrat šele natančno formulirana naloga, kako enoto realizirati. Primarni etaloni Naprava, s katero realiziramo osnovno ali izpeljano enoto je primarni etalon. Ima največjo
Prikaži večMicrosoft Word - M
Državni izpitni center *M773* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Četrtek, 4. junij SPLOŠNA MATRA RIC M-77--3 IZPITNA POLA ' ' Q Q ( Q Q)/ Zapisan izraz za naboja ' ' 6 6 6 Q Q (6 4 ) / C
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži več10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, k
10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, ki ga sprejme antena in dodatni šum T S radijskega sprejemnika.
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večFIZIKA IN ARHITEKTURA SKOZI NAŠA UŠESA
FIZIKA IN ARHITEKTURA SKOZI NAŠA UŠESA SE SPOMNITE SREDNJEŠOLSKE FIZIKE IN BIOLOGIJE? Saša Galonja univ. dipl. inž. arh. ZAPS marec, april 2012 Vsebina Kaj je zvok? Kako slišimo? Arhitekturna akustika
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večNaloge iz Osnov moderne fizike 2. del 24. november 2018, 1 3 Valovne lastnosti delcev 3.1 De Brogliejevi valovi 1. Kolikšna je valovna dolžina zrna pe
Naloge iz Osnov moderne fizike 2. del 24. november 2018, 1 3 Valovne lastnosti delcev 3.1 De Brogliejevi valovi 1. Kolikšna je valovna dolžina zrna peska, ki tehta 1 mg in ga nosi veter s hitrostjo 20
Prikaži večFizikalne osnove svetlobe
Fizikalne osnove svetlobe Svetloba Svetloba - skrivnostna in fascinantna spremljevalka človekove zgodovine Kako deluje vid? Svetloba in vid Dva pojma, ki sta danes neločljivo povezana. Vendar ni bilo vedno
Prikaži večAtomska spektroskopija PROSTI ATOMI VZBUJENI ATOMI Marjan Veber Metode atomske/elementne masne/ spektrometrije Elektronska konfiguracija Mg
Atomska spektroskopija PROSTI ATOMI VZBUJENI ATOMI Metode atomske/elementne masne/ spektrometrije Elektronska konfiguracija Mg Mg e 1s 2s2p 3d 4s 3p 3s e Po dogovoru ima osnovno elektronsko stanje energijo
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večMicrosoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2
Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 12. junij 2013 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večDinamika, laboratorijske vaje
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo LADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij Dinamika Laboratorijske vaje 1 Določitev aksialnega masnega vztrajnostnega momenta ojnice 2 2 Uravnoteženje
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ: matematika - računalništvo NEŽKA RUGELJ
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večDiapozitiv 1
Vhodno-izhodne naprave naprave 1 Uvod VIN - 1 2018, Igor Škraba, FRI Vsebina 1 Uvod Signal električni signal Zvezni signal Diskretni signal Digitalni signal Lastnosti prenosnih medijev Slabljenje Pasovna
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večDN080038_plonk plus fizika SS.indd
razlage I formule I rešeni primeri I namigi I opozorila I tabele Srednješolski Plonk+ Fizika razlage formule rešeni primeri namigi opozorila tabele Avtor: Vasja Kožuh Strokovni pregled: dr. Gorazd Planinšič
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Državni izpitni center *M77* SPOMLADANSK ZPTN OK NAVODLA ZA OCENJEVANJE Petek, 7. junij 0 SPLOŠNA MATA C 0 M-77-- ZPTNA POLA ' ' QQ QQ ' ' Q QQ Q 0 5 0 5 C Zapisan izraz za naboj... točka zračunan naboj...
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večMicrosoft Word - Astronomija-Projekt19fin
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večEquation Chapter 1 Section 24Trifazni sistemi
zmenicni_signali_triazni_sistemi(4b).doc / 8.5.7/ Triazni sistemi (4) Spoznali smo že primer dvoaznega sistema pri vrtilnem magnetnem polju, ki sta ga ustvarjala dva para prečno postavljenih tuljav s azno
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večTOTP - Fizika 2017/18 Seznam obravnavanih vsebin January 19, 2018 Ta seznam vsebin ne nadomešča zapiskov s predavanj. Je pa izčrpen spisek tega, kar s
TOTP - Fizika 2017/18 Seznam obravnavanih vsebin January 19, 2018 Ta seznam vsebin ne nadomešča zapiskov s predavanj. Je pa izčrpen spisek tega, kar smo obravnavali. Vektorske količine so označene krepko.
Prikaži večDiapozitiv 1
Vhodno izhodne naprave Laboratorijska vaja 5 - LV 1 Meritve dolžine in karakteristične impedance linije VIN - LV 1 Rozman,Škraba, FRI Model linije Rs Z 0, Vs u i u l R L V S - Napetost izvora [V] R S -
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži večN
Državni izpitni center *N19141132* 9. razred FIZIKA Ponedeljek, 13. maj 2019 NAVODILA ZA VREDNOTENJE NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9. razredu Državni izpitni center Vse pravice pridržane. 2 N191-411-3-2
Prikaži večInducirana_napetost(11)
Inducirana napetost Equatio n Section 11 Vsebina poglavja: Inducirana napetost izražena s časovno spremembo magnetnega pretoka (sklepa) skozi zanko (tuljavo), inducirana napetost izražena z lastno ali
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večPowerPoint Presentation
Lasersko obarvanje kovin Motivacija: Z laserskim obsevanjem je možno spremeniti tudi barvo kovinskih površin, kar odpira povsem nove možnosti označevanja in dekoracije najrazličnejših sestavnih delov in
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večNMRPUL.pdf
Poglavje 13 Sunkovna jedrska magnetna resonanca NALOGA: 1. Za vzorec vode s primešanimi paramagnetnimi ioni poišči signal proste precesije po sunku π/2 ter signal spinskega odmeva po zaporedju sunkov π/2
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večSpace Invaders Opis igre: Originalna igra: Space Invaders je arkadna igra, ki so jo ustvarili leta Bila je ena izmed prvih streljaških iger, v k
Space Invaders Opis igre: Originalna igra: Space Invaders je arkadna igra, ki so jo ustvarili leta 1978. Bila je ena izmed prvih streljaških iger, v kateri je igralec vodil laserski top ali vesoljsko ladjo,
Prikaži več1. Električne lastnosti varikap diode Vsaka polprevodniška dioda ima zaporno plast, debelina katere narašča z zaporno napetostjo. Dioda se v zaporni s
1. Električne lastnosti varikap diode Vsaka polprevodniška dioda ima zaporno plast, debelina katere narašča z zaporno napetostjo. Dioda se v zaporni smeri obnaša kot nelinearen kondenzator, ki mu z višanjem
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večMicrosoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_11. junij 2104
Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 11. junij 2014 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java_spremenljivke
Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo
Prikaži večDinamika požara v prostoru 21. predavanje Vsebina gorenje v prostoru in na prostem dinamika gorenja v prostoru faze, splošno kvantitativno T
Dinamika požara v prostoru 21. predavanje Vsebina gorenje v prostoru in na prostem dinamika gorenja v prostoru faze, splošno kvantitativno T pred požarnim preskokom Q FO za požarni preskok polnorazviti
Prikaži več15. Seminar Optične Komunikacije Laboratorij za Sevanje in Optiko Fakulteta za Elektrotehniko Ljubljana, 30.jan - 1.feb 2008 Osnovne omejitve svetlobn
15. Seminar Optične Komunikacije Laboratorij za Sevanje in Optiko Fakulteta za Elektrotehniko Ljubljana, 30.jan - 1.feb 2008 Osnovne omejitve svetlobnega vlakna Matjaž Vidmar Seznam prosojnic: Slika 1
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večCelotniPraktikum_2011_verZaTisk.pdf
Elektrotehniški praktikum Osnove digitalnih vezij Namen vaje Videti, kako delujejo osnovna dvovhodna logi na vezja v obliki integriranih vezij oziroma, kako opravljajo logi ne funkcije Boolove algebre.
Prikaži večSlide 1
Zaščina ehnika in avomaizacija Diskreni Fourierev ransform Digialna zaščia Razvoj numeričnih meod Upoševanje višjih harmonskih komponen, šuma, frekvence odbiih valov, Za pravilno obdelavo signalov je ključna
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večMicrosoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc
ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov
Prikaži večREŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1
REŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1 Nekateri pripomočki in naprave za računanje: 1a) Digitalni
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži več