resitve.dvi

Transkripcija

1 FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer so naloge. Nalog je 5 in vsaka je vredna točk, torej skupaj točk. Naloga a. b. Skupaj Skupaj

2 . ) Naj bo za x fx) x x +. a. ) Razvijte funkcijo fx) v Fourierovo vrsto na intervalu [, ]. Utemeljite, da enakost velja za vse x [,]. Rešitev: Ker je fx) polinom in je f) f), bo Fourierova vrsta funkcije fx) konvergirala proti fx) za vsak x. Po formuli so koeficienti enaki in a a n fx)cosπnx)dx fx) sinπnx) πn πn). πn πn f x)cosπnx) πn fx)dx + πn f x) sinπnx)dx ) f x)cosπnx)dx Podobno se prepričamo, da je b n za vse n. Torej je za x x x + π) n cosπnx) n. ) Konvergenca proti fx): točki. a : točki. Prva integracija per partes: točki. Druga integracija p[er partes: točki. b n: točki. b. ) Kot znano privzemite, da je za u fu) π) n cosπnu) n. Utemeljite, da vrsta za u enakomerno konvergira in jo torej lahko členoma integriramo na intervalu [, x]. Integrirajte jo in izpeljite x 3 6 x 4 + x π) 3 n sinπnx) n 3.

3 Uporabite enakost za izračun vrste k ) k k ) Rešitev: Enakomerna konvergenca je jasna, saj so vse vrsta majorizirana s konvergentno številsko vrsto. Enakost sledi, če integriramo na levi in členoma na desni. Vstavimo x /4 in sledi 8 π) 3 k ) k k ) 3. Sledi k ) k k ) 3 π3 3. Majoriziranje: točki. Utemeljitev, da lahko členoma integriramo: točki. Integracija: točki. Izbira x: točki. Vsota vrste: točki. 3

4 . ) Funkcija Fx) naj bo dana kot integral s parametrom Fx) sinxy) sin y y Kot znano upoštevajte, da je za vse a in b e y dy. sinay y e by dy arctga/b). a. ) Utemeljite, da je za x funkcija zvezna in za x > zvezno odvedljiva. Pokažite, da je F x) arctgx+) arctgx )). Namig: cosαsinβ sinα+β) sinα β)). Rešitev: Za x velja neenačba sinxy) sin y y x zato na vsakem končnem intervalu za x integral enakomerno konvergira in je zato zvezna funkcija x. Izračunamo ) sinxy)siny e y cosxy)siny e y. x y y Tudi ta funkcija je za vse x omejena z e y, zato integral enakomerno konvergira in ga lahko odvajamo pod integralskim znakom. Računamo F x) cosxy) sin y e y dy y sinx+)y) sinx )y) e y dy y sinx+)y) e y dy y arctgx+) arctgx )). sinx )y) y e y dy Enakomerna konvergenca integrala: točki. Enakomerna konvergenca integrala f x,x,y): točki. Utemeljitev zveznosti in zvezna odvedljivosti: točki. Parcialno odvajanje: točki. Poenostavitve in rezultat: točki. 4

5 b. ) Izračunajte Fx). Rešitev: Z vstavljanjem v integral ugotovimo, da je F). Računamo z integriranjem per partes Fx) x x F u)du arctgu+) arctgu )) du x u+)arctgu+) x u+)du u+) + x u )arctgu ) + x x+)arctgx+) π 8 4 log +u+) ) x u )du u ) + x )arctgx )+ π log +u ) ) x x+)arctgx+) x )arctgx ) 4 log +x+) ) + 4 log +x ) ). F): točki. Ideja s per partes: točki. Prvi per partes: točki., Integriranje racionalne funkcije.: točki. Vstavljanje in rezultat: točki. 5

6 3. ) Funkciji yt) in zt) za t zadoščata enačbama Predpostavite, da je y) in z). a. ) Pokažite, da velja y t) yt) zt)+sint z t) 4yt) zt)+cost slys) Lys) Lzs)+ +s slzs) 4Lys) Lzs)+ s +s Rešitev: Uporabimo Laplaceovo transformacijo in upoštevamo pravila. Transformacija prve enačbe: točki. Transformacija druge enačbe: točki. Upoštevanje pravila za odvode: točki. Transformaciji sintin cost: točki. Rezultat: točki. b. ) Določite funkciji yt) in zt). Rešitev: V prvem delu naloge smo dobili sistem enačb za Laplaceovi transformaciji. Rešimo sistem linearnih enačb in dobimo in Lys) s +s ) Lzs) s s+4 s +s ) Leve strani razstavimo na parcialne ulomke in dobimo in Preberemo in Lys) s +s Lzs) s s + 3 +s + 4 s s yt) t sint zt) +4t+cost 3sint. Opažanje, da gre za sistem linearnih enačb: točki. Rešitev sistema: točki. Razvrstitev po parcialnih ulomkih: točki. Inverzne Laplaceove transformacije: točki. Rezultat: točki. 6

7 4. ) Naj bo funkcija ft) za a > dana kot a. ) Izračunajte Ffs). Rešitev: Računamo Ffs) π π ft) e a t. e a t e its dt e at costsdt e at π a costs s a π a s e at a a sinst π a s e at costsdt a πa s a Ffs). ) e at sintsdt + s a ) )) e at costsdt Sledi Ffs) π a a +s. Definicija Fourierove transformacije: točki. Sodost: točki. Meje integriranja: točki. Per partes: točki. Enačba za Ffs) in ezultat: točki. b. ) S pomočjo inverzne formule izračunajte cosst) ds a +s. Rešitev: Fourierova transformacija iz prve točke je integrabilna, zato velja ft) π e its Ffs)ds. Ker je funkcija ft) povsod zvezna in odsekoma zvezno odvedljiva, velja ta enakost po točkah za vse t. Vstavimo in sledi e a t ) e its π π a ds. a +s 7

8 Poenostavimo in dobimo e a t a π costs a +s ds. Torej je cosst) ds a +s π a e a t. Inverzna formula: točki. Upoštvanje integrabilnosti: točki. Konvergenca inverzne formule po točkah: točki. Sodost: točki. Rezultat integrala: točki. 8

9 5. ) Naj bo funkcija Hx) dana kot integral s parametrom Hx) a. ) Kot znano privzemite, da je sinxy) y dy. sinxy) k ) k xy) k. k )! Pokažite, da je Hx) π k ) k k )! x k k )! Γ ). k + Namig: Upoštevajte vrsto in zamenjajte vrstni red seštevanja in integriranja. Z uvedbo spremenljivke y u se prepričajte, da je y k dy Γk)Γ ) y Γ ). k + Rešitev: Namesto sin xy v integral vstavimo vrsto. Ker vrsta enakomerno konvergira za fiksen x lahko zamenjamo vrstni red integriranja in odvajanja. Sledi Hx) k ) k x k k )! y k dy y. Sledimo namigu in računamo z novo spremenljiko y u, ydy du y k dy y u k du u u u k du u B k, ) Γk)Γ/) Γk +/). Sledi Hx) π k ) k k )!x k k )! Γk +/). Zamenjava vrstnega reda seštevanja in odvajanja: točki. 9

10 Nova spremenljivka: točki. Beta funkcija: točki. Zveza med beta in gama funkcijo: točki. Vstavljanje in rezultat: točki. b. ) Izračunajte x H x)+xh x)+x Hx). Rešitev: Potenčna vrsta za Hx) po prvem delu naloge konvergira za vse x, zato jo lahko poljubnokrat odvajamo. Dobimo π H ) k k )! k )x k x) k )! Γ ) k + k in π H ) k k )!k )k ) x k 3 x) k )! Γ ). k + k Hitro se prepričamo, da konstantnega člena ni. Koeficient pri potenci x je π Γ ). 3 Vse ostale potence, ki nastopajo, so lihe. Oglejmo si koeficient potence x k. Dobimo π/-krat izraz ) k k )!k )k ) k )!Γ ) + )k k )!k ) k + k )!Γ ) + k + + )k k )! k 3)!Γ ). k + Izpostavimo in dobimo, da je zgornji izraz enak ) ) k k )! k 3)!Γ k k ) ) + k k k ) ). k V izrazu v oklepaju damo prva dva člena na skupni imenovalec in dobimo k k )+ k k ) k ) + k k ) ) k )k ) k k )k ). Sledi x H x)+xh x)+x Hx) x. Utemeljitev odvajanje: točki. Prvi odvod: točki. Drugi odvod: točki. Člen pri x: točki. Ostali členi: točki.