H-Razcvet
|
|
- Frančišek Debeljak
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Gregor Šulgaj H-Razcvet DIPLOMSKO DELO INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVA IN MATEMATIKE Mentor: izred. prof. dr. Gašper Jaklič Ljubljana, 2014
2
3 Rezultati diplomskega dela so intelektualna lastnina avtorja, Fakultete za računalništvo in informatiko in Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Za objavljanje ali izkoriščanje rezultatov diplomskega dela je potrebno pisno soglasje avtorja, Fakultete za računalništvo in informatiko, Fakultete za matematiko in fiziko ter mentorja. Besedilo je oblikovano z urejevalnikom besedil L A TEX.
4
5 Fakulteta za računalništvo in informatiko in Fakulteta za matematiko in fiziko izdaja naslednjo nalogo: Tematika naloge: V diplomski nalogi obravnavajte h-razcvet. Gre za posplošitev razcveta, ki je močno orodje za delo z Bézierovimi krivuljami. Z vpeljavo dodatnega parametra h dobimo zvezo med Bernsteinovo aproksimacijo in Lagrangeovo interpolacijo. V nalogi obravnavajte lastnosti h-razcveta in algoritem za izračun vrednosti. Rezultate implementirajte v primernem programskem jeziku.
6
7 Izjava o avtorstvu diplomskega dela Spodaj podpisani Gregor Šulgaj, z vpisno številko , sem avtor diplomskega dela z naslovom: H-Razcvet S svojim podpisom zagotavljam, da: sem diplomsko delo izdelal samostojno pod mentorstvom izred. prof. dr. Gašperja Jakliča, so elektronska oblika diplomskega dela, naslov (slov., angl.), povzetek (slov., angl.) ter ključne besede (slov., angl.) identični s tiskano obliko diplomskega dela, soglašam z javno objavo elektronske oblike diplomskega dela v zbirki Dela FRI. V Ljubljani, dne 1. maja 2014 Podpis avtorja:
8
9 Rad bi se zahvalil mentorju izred. prof. dr. Gašperju Jakliču za strokovno podporo pri izdelavi diplomske naloge, moji Maji Ani, družini, soplezalki Petri, prijatelju Jonu in zverci Ambri za splošno podporo pri izdelavi diplomske naloge. Najbolj se zahvaljujem gospe Metki Runovec za vse, kar je bilo treba urediti na referatu.
10
11 Posvečam vsem dobrim.
12
13 Kazalo Povzetek Abstract 1 Uvod 1 2 Osnovni elementi 3 Bernsteinov bazni polinom Bézierova krivulja de Casteljauov algoritem Razcvet Parameter h 9 Dodajanje parametra h h-bernsteinova bazna funkcija h-bézierova krivulja h-de Casteljauov algoritem h-razcvet 13 Dualna funkcijska lastnost Obstoj in enoličnost h-razcveta Rekurzivni algoritem in identitete Algoritem 25 Inicializacija parametrov
14 KAZALO Glavni algoritem Pomožna funkcija Rezultat Sklepne ugotovitve 31 Literatura 33
15 Povzetek V diplomski nalogi se bomo dotaknili teme iz računalniško podprtega geometrijskega oblikovanja, katerega namen je zapisati enostavne in tudi bolj zahtevne krivulje v jezik, ki ga računalnik razume. Opisali bomo nekaj osnovnih gradnikov, kot so na primer Bernsteinov polinom, Bézierova krivulja, de Casteljauov algoritem in razcvet. Bolj podrobno bomo opisali in raziskali novo različico razcveta, ki ga imenujemo h-razcvet. Dodani parameter h vpliva na lastnost diagonale osnovnega razcveta in nam omogoča dodatni nadzor nad obliko krivulje. Ogledali si bomo splošne lastnosti h-razcveta, ki jih bomo izpeljali iz osnovnega razcveta. Seveda se bomo lotili tudi razvoja ustreznega algoritma, ki nam bo pomagal pri računanju in oblikovanju krivulje. Ključne besede: računalniško podprto geometrijsko oblikovanje, razcvet, Bézierova krivulja, Bernsteinov bazni polinom, de Casteljauov algoritem.
16
17 Abstract In the thesis we will consider a topic in computer aided geometric design, which studies curves in a form understandable by computer. We will describe some basic building blocks such as Bernstein basis function, Bézier curve, de Casteljau s algorithm and blossom. Moreover we will be describing a new variant of the blossom, the h-blossom. The h-blossom is introduced by altering diagonal property of the standard blossom which enables us to have more control over the shape of the curve. We will continue the thesis by studying properties of h-blossom. In the end, we will present an algorithm for computing the h-blossom. Key words: computer aided geometric design, blossom, Bézier curve, Bernstein basis polynomial, de Casteljau algorithm.
18
19 Poglavje 1 Uvod Računalniško podprto geometrijsko oblikovanje se je razvilo predvsem zaradi potrebe po poustvarjanju in oblikovanju krivulj v industrijske namene. Že v rimskih časih so v ladjedelstvu uporabljali lesene šablone, s katerimi so na primer oblikovali rebra ladij. Prednost tega je, da so šablono lahko večkrat uporabili. S tem se je ohranila osnovna geometrija ladje oziroma načrt, ki so ga lahko uporabili tudi kasneje. To tehniko so izpopolnili Benečani med 13. in 16. stoletjem. Obliko trupa ladje so dobili s spreminjanjem oblike reber vzdolž ladijskega gredlja. Tej tehniki rečemo danes oblikovanje ploskev s pomočjo tenzorskega produkta. Prve risbe načrtov so našli v Angliji okoli leta Mnogo let kasneje, leta 1944, je Roy Liming napisal knjigo z naslovom Analitična geometrija z uporabo na letalih. V tej knjigi je prvič združil klasično metodo uporabe risb z uporabo računskih algoritmov. Prednost je v tem, da je ta alternativa bolj jasna in enolična, ker lahko številke shranimo v pregledne tabele. S tem se tudi izniči možnost osebne interpretacije narisanega načrta. V avtomobilski industriji sta se s problemom predstavitve krivulj na računalniku ukvarjala dva francoska znanstvenika. Pri Citroënu je delal matematik Paul de Faged de Casteljau, ki je uporabljal Bernsteinove bazne funkcije in postopek, ki mu danes rečemo de Casteljaujev algoritem. Razvil je način predstavitve krivulje v računalniku z uporabo kontrolnega poligona. 1
20 2 POGLAVJE 1. UVOD Namesto določanja krivulje s pomočjo točk na krivulji, je krivulja podana s kontrolnim poligonom, ki ima točke blizu te krivulje. Pri Renaultu je podobno tehniko razvijal Pierre Bézier. Rezultati njegove metode so bili identični de Casteljaujevi metodi, le način računanja je bil drugačen. Raziskave de Casteljauja niso bile objavljene. Citroën jih je skrival kot poslovno skrivnost, medtem ko so bile raziskave Bézierja dostopne javnosti. Zato se v tej panogi bolj pogosto srečamo z njegovim imenom. Računalniško podprto geometrijsko oblikovanje je geometrijsko oblikovanje s pomočjo računalnika. Uporablja se na področju geometrijskega in industrijskega oblikovanja, modeliranja, v računalniških igricah in filmih. V nadaljevanju bomo v Poglavju 2 spoznali osnovne gradnike računalniško podprtega geometrijskega oblikovanja. To so Bernsteinov bazni polinom, Bézierjeva krivulja, de Casteljaujev algoritem in razcvet. Z uporabo in nadgradnjo teh elementov bomo prišli do h-razcveta. V diplomski nalogi bomo obravnavali njegove lastnosti in ga implementirali v programskem jeziku Matlab. Algoritem bomo podrobneje opisali v Poglavju 5. Slika 1.1: Ladja.
21 Poglavje 2 Osnovni elementi Bernsteinov bazni polinom i-ti Bernsteinov bazni polinom stopnje n je definiran z: B n i (t) = ( ) n t i (1 t) n i, t [0, 1], i = 0, 1,..., n. (2.1) i Za Bernsteinove bazne polinome je značilno, da tvorijo particijo enote: n Bj n (t) 1, Bj n (t) 0. (2.2) j=0 Bézierova krivulja Naj bodo dane točke b i R 3, i = 0, 1,..., n. Bézierova krivulja je definirana tako: b n (t) = n b j Bj n (t). j=0 Točke b j imenujemo Bézierove kontrolne točke. Če jih povežemo, dobimo poligon, ki ga imenujemo Bézierov kontrolni poligon. Krivulji b n (t) rečemo tudi Bernstein-Bézierova aproksimacija kontrolnega poligona. 3
22 4 POGLAVJE 2. OSNOVNI ELEMENTI Slika 2.1: Bézierova krivulja v konveksni ovojnici svojega kontrolnega poligona. Lastnosti Bézierovih krivulj: Afina invarianca Bézierova krivulja je invariantna na afine preslikave. Isto krivuljo dobimo, če najprej izračunamo točko b n (t) in na njej izvedemo afino preslikavo, ali pa najprej uporabimo afino preslikavo na kontrolnem poligonu in nato na podlagi novega kontrolnega poligona izračunamo točko na krivulji. Konveksna ovojnica Konveksna ovojnica danih točk je množica točk, ki jih tvorijo vse konveksne kombinacije teh točk. Bézierova krivulja b n (t) leži v konveksni ovojnici svojega kontrolnega poligona. To sledi iz dejstva, da so za t [0, 1] Bernsteinovi polinomi nenegativni in se po enačbi (2.2) seštejejo v 1.
23 5 Interpolacija v robnih točkah Bézierova krivulja poteka skozi točki b 0 = b n (0) in b n = b n (1). Simetrija Če namesto zaporedja kontrolnih točk b 0, b 1,..., b n uporabimo zaporedje b n, b n 1,..., b 0, dobimo isto krivuljo. de Casteljauov algoritem Z de Casteljauovem algoritmom pridemo do geometrijske konstrukcije Bézierovih krivulj. Je eno najosnovnejših orodij za oblikovanje krivulj in ploskev. Algoritem: podane so kontrolne točke b 0, b 1,..., b n R 3 in t R. Izračunamo: b r i (t) = (1 t)b r 1 i (t) + tb r 1 i+1 (t), r = 1, 2,..., n in i = 0, 1,..., n r. (2.3) Točke b 0 i (t) so kontrolne točke b i. Točka, ki jo izračunamo z algoritmom b n 0(t), je točka na krivulji pri vrednosti parametra t. Za boljšo predstavitev algoritma vmesne točke b r i (t) zapišemo v trikotno shemo, ki ji rečemo de Casteljauova shema. b 0 0 b 0 1 b 1 0 b 0 2 b 1 1 b 2 0 b 0 3 b 1 2 b 2 1 b 3 0 Slika 2.2: De Casteljauova shema v kubičnem primeru, kjer je b 0 i = b i i ta kontrolna točka in b 3 0(t) točka na Bézierovi krivulji b 3 pri vrednosti parametra t. De Casteljauov algoritem je v splošnem ponavljanje linearnih interpolacij.
24 6 POGLAVJE 2. OSNOVNI ELEMENTI Razcvet Razcvet je posplošitev de Casteljauovega algoritma. Dobimo ga tako, da izračunamo n stolpcev de Casteljauove sheme in v r-tem stolpcu namesto vrednosti parametra t vstavimo nek novi t r. Rezultat za kubični primer je točka b 3 0[t 1, t 2, t 3 ], ki je funkcija treh neodvisnih spremenljivk. Funkcijo b[,, ] imenujemo razcvet Bézierove krivulje. b 0 0 b 0 1 b 1 0[t 1 ] b 0 2 b 1 1[t 1 ] b 2 0[t 1, t 2 ] b 0 3 b 1 2[t 1 ] b 2 1[t 1, t 2 ] b 3 0[t 1, t 2, t 3 ] Slika 2.3: De Casteljauova shema v kubičnem primeru za razcvet, kjer je b 0 i = b i (i-ta kontrolna točka). Točka b 3 0[t 1, t 2, t 3 ] je točka, ki leži v konveksni ovojnici kontrolnega poligona Bézierove krivulje b 3 pri vrednosti parametrov t 1, t 2, t 3 [0, 1]. Lastnosti razcveta 1. Razcvet je simetrična funkcija: b[t 1,..., t n ] = b[t σ(1),..., t σ(n) ], (2.4) za vsako permutacijo σ množice {1,..., n}. 2. Razcvet je multiafin in za α + β = 1 velja: b[t 1,..., αt k +βu k,..., t n ] = αb[t 1,..., t k,..., t n ]+βb[t 1,..., u k,..., t n ]. (2.5) 3. Diagonalna lastnost: b[t, t,..., t] = b(t). (2.6) }{{} n
25 Slika 2.4: [2]. Razcvet je definiran z b[t 1, t 2, t 3 ]. 7
26 8 POGLAVJE 2. OSNOVNI ELEMENTI velja: Na sliki 2.4 opazimo, da pri ustreznih vrednostih parametrov t 1, t 2, t 3 Kontrolne točke b i za i = 0, 1,..., n dobimo tako: b i = b[0,..., 0, 1,..., 1]. }{{}}{{} n i i V našem primeru velja b 0 = b[0, 0, 0], b 1 = b[0, 0, 1], b 2 = b[0, 1, 1] in b 3 = b[1, 1, 1]. Vmesne točke b r i za r = 1, 2,..., n in i = 0, 1,..., r n dobimo tako: b r i (t) = [0,..., 0, t,..., t, 1,..., 1]. }{{}}{{}}{{} n r i r i V našem primeru velja b 1 1(t) = b[1, t, 0], b 1 2(t) = b[1, 1, t],b 2 0(t) = b[t, t, 0] in b 2 1(t) = b[1, t, t], pri vrednosti parametra t [0, 1]. Točke na krivulji b n 0(t) dobimo kot: b n 0(t) = b[t,..., t]. }{{} n V našem primeru velja b 3 0 = b[t, t, t].
27 Poglavje 3 Parameter h Dodajanje parametra h Bernsteinovemu baznemu polinomu dodamo parameter h in za t [0, 1] dobimo h-bernsteinov bazni polinom: B n k (t; h) = ( n k (t + ih) n k 1 (1 t + ih) ) k 1 i=0 i=0 n 1 (1 + ih) i=0 za k = 0, 1,..., n. (3.1) Če vstavimo vrednost parametra h = 0, opazimo, da z malo računanja dobimo osnovni Bernsteinov bazni polinom (2.1). Za t [0, 1] izrazimo h-bézierovo krivuljo: b(t) = n Bk n (t; h)b k. k=0 Za h 0 si h-bézierova krivulja deli veliko lastnosti z osnovno Bézierovo krivuljo (ko je h = 0). Na primer afino invariantnost in lastnost, da je krivulja v celoti vsebovana v konveksni ovojnici svojih kontrolnih točk. To bomo pokazali v naslednjih razdelkih. 9
28 10 POGLAVJE 3. PARAMETER H h-bernsteinova bazna funkcija h-bernsteinova bazna funkcija je na poljubnem intervalu [a, b] definirana kot: B n k (t; [a, b]; h) = ( n k (t a + ih) n k 1 (b t + ih) i=0 i=0 za k = 0, 1,..., n. n 1 (b a + ih) ) k 1 i=0 (3.2) Vrednosti parametra h v enačbi (3.2), kjer velja b = a jh, zaradi deljenja z 0 za nekatere 0 j n 1 izpustimo. Opazujmo posebne primere: 1. Ko je a = 0 in b = 1, se enačba (3.2) pretvori v enačbo (3.1) za standardno h-bernsteinovo bazno funkcijo na intervalu [0, 1]. 2. Ko je h = 0, se enačba (3.2) poenostavi v standardno Bernsteinovo bazno funkcijo na intervalu [a, b]. 3. Ko je b = a nh, je enačba (3.2) enaka Lagrangeovi bazni funkciji stopnje n za vozlišča a, a h,..., a nh. Dokaz za prvi dve točki je enostaven. V enačbo (3.2) samo vstavimo ustrezne vrednosti in jo poenostavimo. Dokaz za točko 3 sledi v nadaljevanju. h-bernsteinova bazna funkcija ima naslednje lastnosti: h-bernsteinova bazna funkcija je invariantna na translacije: B n k (t + c; [a + c, b + c]; h) = B n k (t; [a, b]; h) za vsak c. h-bernsteinova bazna funkcija je invariantna na skaliranje: B n k (ct; [ca, cb]; ch) = B n k (t; [a, b]; h) za vsak c 0.
29 11 Če naredimo translacijo za a in potem skaliramo z 1/(b a), dobimo: B n k (t; [a, b]; h) = B n k ( t a h ; [0, 1]; b a ) ( t a = Bk n b a b a ; h ). b a h-bernsteinove bazne funkcije tvorijo particijo enote, so baza za prostor polinomov stopnje največ n in so nenegativne za vse h 0 in a t b. Lahko jih zapišemo z rekurzijo: B 0 0(t; [a, b]; h) = 1, Bk n (t; [a, b]; h) = = t a + (k 1)h b a + (n 1)h Bn 1 k 1 (t; [a, b]; h) + b t + (n k 1)h b a + (n 1)h Bn 1 k (t; [a, b]; h). h-bézierova krivulja Parameter h določa obliko h-bézierove krivulje na intervalu [a, b]. Ko večamo vrednost parametra h > 0, se krivulja čedalje bolj približuje daljici, ki povezuje začetno in končno točko kontrolnega poligona. Nasprotno, ko manjšamo h < 0, se premica oddaljuje od te daljice. Pri vrednosti h = (b a)/k za k = (n 1),..., 1 se zgodi posebnost, ko se krivulja spet začne bližati tej daljici. Poleg lastnosti, da parameter h vpliva na obliko krivulje, imajo h-bernsteinovi bazni polinomi in h-bézierove krivulje tudi druge lastnosti primerne za uporabo v računalniško podprtem geometrijskem oblikovanju. Če vzamemo vrednost h = (b a)/n, dobimo Lagrangeovo bazno funkcijo, za vrednost h = 0 pa Bézierovo aproksimacijo. Iz tega sledi, da parameter h predstavlja naravni prehod med interpolacijo in aproksimacijo za polinomske krivulje. h-bézierove krivulje se uporabljajo tudi pri analizi B-zlepkov. h-bézierova krivulja stopnje n na intervalu [a, b] s kontrolnimi točkami
30 12 POGLAVJE 3. PARAMETER H b 0,..., b n je polinomska krivulja, definirana z: b(t) = n b i Bi n (t; [a, b]; h), t [a, b] i=0 Če skaliramo dolžino := b a s konstanto c, in hkrati ne skaliramo parametra h, dobimo drugo krivuljo. h-de Casteljauov algoritem Za k = 0,..., n nastavimo vrednosti b 0 k (t) = b k. for r = 1,..., n for k = 0,..., n r b r k(t) = b t + (n r k)h t a + kh b a + (n r)h br 1 k (t) + b a + (n r)h br 1 k+1 (t) Velja, da je b(t) = b n 0(t) točka na h-bézierovi krivulji z vrednostjo parametra t [a, b]. Opazimo, da če je parameter h = 0, se enačba preoblikuje v standardni de Casteljauov algoritem za Bézierove krivulje.
31 Poglavje 4 h-razcvet Iz razcveta so razvite tehnike za izpeljavo identitet in razvijanje algoritmov za standardne Bernsteinove baze in Bézierove krivulje. Posebna različica razcveta je h-razcvet, s katerim analiziramo lastnosti h-bernsteinovih baz in h-bézierovih krivulj. h-razcvet polinoma b(t) stopnje n je enoličen simetričen multiafin polinom b[u 1,..., u n ; h], ki je vzdolž h-diagonale enak polinomu b(t). To pomeni, da je b[u 1,..., u n ; h] enoličen polinom več spremenljivk, ki zadošča naslednjim trem zahtevam: 1. h-razcvet je simetrična funkcija: b[u 1,..., u n ; h] = b[u σ(1),..., u σ(n) ; h], za vsako permutacijo σ množice {1,..., n}. 2. h-razcvet je multiafin in za α + β = 1 velja: b[u 1,..., αu k + βv k,..., u n ; h] = αb[u 1,..., u k,..., u n ; h]+ + βb[u 1,..., v k,..., u n ; h]. 3. Lastnost h-diagonale: b[t, t h,..., t (n 1)h; h] = b(t). 13
32 14 POGLAVJE 4. H-RAZCVET Omenimo tudi, da je lastnost, da je h-razcvet polinom multiafin, enakovredna dejstvu, da se vsaka spremenljivka u 1,..., u n pojavi na največ prvo potenco. To pomeni, da je b[u 1,..., u n ; h] linearen polinom v vsaki spremenljivki. h-razcvetu polinoma rečemo tudi h-polarna oblika polinoma. Dualna funkcijska lastnost Ta lastnost nam omogoča, da z ustrezno izbiro vrednosti parametrov h- razcveta izračunamo kontrolne točke. S pomočjo dualne funkcijske lastnosti bomo pokazali povezavo med h-razcvetom polinomske krivulje in kontrolnih točk h-bézierove krivulje. Naj bo b(t) h-bézierova krivulja stopnje n na intervalu [a, b] s kontrolnimi točkami b 1,..., b n. Naj bo b[u 1,..., u n ; h] h-razcvet krivulje b(t). Potem velja: b k = b[a kh,..., a (n 1)h, b,..., b (k 1)h; h], k = 0,..., n. }{{}}{{} n k k Obstoj in enoličnost h-razcveta Izpeljevanje eksplicitnih formul za h-razcvet monomov splošne stopnje ni enostavno. Zato bomo obstoj in enoličnost h-razcveta pokazali s pomočjo druge polinomske baze. Naj bo polinom definiran z: Potem je: Naj bo: φ (k) n (t; h)/k! = φ n (t; h) = n (t (i 1)h). i=1 i i 1 <...<i n k n l=1 n k (t (i l 1)h), k = 0,..., n. φ n,k (t; h) = φ (n k) n (t; h)/(n k)!, k = 0,..., n.
33 15 Potem velja za vsak k, da je φ n,k (t; h) polinom stopnje natanko k. Zato polinomi {φ n,k (t; h)} n k=0 tvorijo bazo za prostor polinomov stopnje največ n. Naj bo: φ n,k [u 1,..., u n ] = 1 i 1 <...< n u i1 u ik. Potem je desna stran enačbe simetrična, multiafina funkcija, ki je vzdolž h-diagonale enaka polinomu φ n,k (t; h). Opazimo, da je desna stran enačbe k-ta elementarna simetrična funkcija n spremenljivk. Izrek 4.1 (Obstoj in enoličnost h-razcveta). Za vsak polinom b(t) stopnje n obstaja enolično določena, simetrična in multiafina funkcija b[u 1,..., u n ; h], ki je vzdolž h-diagonale enaka polinomu b(t). To pomeni, da za vsak polinom b(t) obstaja enolično določen h-razcvet b[u 1,..., u n ; h]. Dokaz. Naj bo b(t) polinom stopnje n. Potem lahko b(t) napišemo kot b(t) = n k=0 c kφ n,k (t; h). Funkcija b[u 1,..., u n ; h] = n c k φ n,k [u 1,..., u n ] k=0 je h-razcvet polinoma b(t), saj je h-razcvet b[,, ; h] simetričen, multiafin in je vzdolž h-diagonale enak polinomu b(t). Zdaj bomo dokazali še enoličnost h-razcveta. Recimo, da za polinom b(t) stopnje n obstajata dva h-razcveta b[u 1,..., u n ; h] in b [u 1,..., u n ; h]. Ker ima vsak simetričen in multiafin polinom b(t) stopnje n enolično določeno predstavitev z n+1 elementarnimi in simetričnimi funkcijami n spremenljivk, obstajajo konstante p 0,..., p n in r 0,..., r n, tako da velja: in b[u 1,..., u n ; h] = b [u 1,..., u n ; h] = n p k φ n,k [u 1,..., u n ] k=1 n r k φ n,k [u 1,..., u n ]. k=1
34 16 POGLAVJE 4. H-RAZCVET Če računamo po lastnosti h-diagonale u i = t (i 1)h, i = 1,..., n, ugotovimo: n n b(t) = p k φ n,k (t; h) = r k φ n,k (t; h). k=0 k=0 Zato velja, da je p k = r k za vse k = 1,..., n. Iz tega sledi, da je b[u 1,..., u n ; h] = b [u 1,..., u n ; h]. S tem smo dokazali, da je h-razcvet enolično določen za polinom b(t). Rekurzivni algoritem in identitete Spodaj je opisan rekurzivni algoritem za izračun splošnih vrednosti h-razcveta. Za izračun uporabimo tudi posebne vrednosti, ki se pojavijo v dualni funkcijski lastnosti h-razcveta. Izrek 4.2 Naj bo b(t) polinom z razcvetom b[u 1,..., u n ; h]. Nastavimo: Q 0 i = b[a ih,..., a(n 1)h, b, b h,..., b (i 1)h; h], (4.1) za i = 0,..., n in rekurzivno definiramo množico multiafinih funkcij: Q k+1 i [u 1,..., u k+1 ; h] = (1 β k,i )Q k i [u 1,..., u k ; h] + β k,i Q k i+1[u 1,..., u k ; h], (4.2) za i = 0,..., n k 1 in k = 0,..., n 1, kjer velja: Potem je: β k,i = u k+1 a + (i + k)h. (4.3) b a + kh Q k i [u 1,..., u k ; h] = b[a (k + i)h,...,a (n 1)h, b, b h,..., za i = 0,..., n k, k = 0,..., n. Nazadnje velja: b (i 1)h, u 1,..., u k ; h], Q n 0[u 1,..., u n ; h] = b[u 1,..., u n ; h].
35 17 Dokaz. h-razcveta. Dokažemo z indukcijo po k iz lastnosti simetrije in multiafinosti Izrek 4.3 Naj bo b(t) polinom in naj bo b[u 1,..., u n ; h] h-razcvet polinoma b(t). Potem obstaja n! afino-invariatnih rekurzivnih algoritmov za izračun b(t) definiranih na naslednji način: Naj bo φ permutacija množice {1,..., n}. Nastavimo: b 0 i = b[a ih,..., a (n 1)h, b, b h,..., b (i 1)h; h], i = 0,..., n, rekurzivno definiramo: b k+1 i (t) = (1 α k,i )b k i (t) + α k,i b k i+1(t), i = 0,..., n k 1, (4.4) za k = 0,..., n 1, kjer je α k,i = α k,i (t) = α k,i (t; φ; h) = Potem velja: t a (φ(k + 1) 1 i k)h. (4.5) b a + kh b k i (t) = b[a (k + i)h,..., a (n 1)h, b, b h,..., (4.6) b (i 1)h, t (φ(1) 1)h,..., t (φ(k) 1)h; h], za i = 0,..., n k, k = 0..., n. Nazadnje velja: b n 0(t) = b[t (φ(1) 1)h,..., t (φ(n) 1)h; h] = b(t). Dokaz. Izrek 4.3 sledi iz izreka 4.2 in sicer tako, da zamenjamo določene vrednosti parametrov h-razcveta: u i = t (φ(i) 1)h, za i = 1,..., n. Vsaka polinomska krivulja je h-bézierova krivulja na poljubnem intervalu. Izrek 4.4 Naj bo b(t) polinom stopnje n in naj bo b[u 1,..., u n ] njegov h- razcvet. Potem velja: n b(t) = b[a ih,..., a (n 1)h, b, b h,..., b (i 1)h; h]bi n (t; [a, b]; h). i=0 (4.7)
36 18 POGLAVJE 4. H-RAZCVET Dokaz. Izrek dokažemo z indukcijo po n. Za n = 0 enačba (4.7) velja, ker je B 0 0(t; [a, b]; h) = 1. Predpostavimo, da enačba (4.7) velja za polinome stopnje največ n 1 za n 1 in naj bo polinom b(t) stopnje n. Po izreku 4.3 in še posebej po enačbi (4.4) z φ(k) = k za vse k, imamo b(t) = b n 0(t) = (1 α n 1,0 (t))b b 1 0 (t) + α n 1,0 (t)b n 1 1 (t), kjer po enačbi (4.6) velja: b n 1 0 (t) = b[a (n 1)h, t, t h,..., t (n 2)h; h], b n 1 1 (t) = b[b, t, t h,..., t (n 2)h; h]. Krivulji b n 1 0 (t) in b n 1 1 (t) imata h-razcveta b 0 [u 1,..., u n 1 ; h] = b[a (n 1)h, u 1,..., u n 1 ; h] in b 1 [u 1,..., u n 1 ; h] = b[b, u 1,..., u n 1 ; h], ker sta desni strani enačb simetrični, multiafini in sta vzdolž h-diagonale enaki polinomoma. Po indukcijski predpostavki (b n 1 0 (t) na [a, b] in b n 1 1 (t) na [a h, b h]) sledi: n 1 b n 1 0 (t) = b[a (n 1)h, a jh,..., a (n 2)h, b, b h, j=0..., b (j 1)h; h]b b 1 j (t; [a, b]; h) n 1 = b 0 jb n 1 j (t; [a, b]; h) j=0 in po enačbi (2.2) n 1 b n 1 1 (t) = b[b, a (j + 1)h,..., a (n 1)h, b h, j=0..., b jh; h]b n 1 j (t; [a h, b h]; h) n 1 = j=0 n 1 b 0 j 1B n 1 j (t; [a h, b h], h) = j=0 b 0 j+1b n 1 j (t + h; [a, b]; h).
37 19 Iz enačbe (4.4) sledi: n 1 n 1 b(t) = (1 α n 1,0 (t)) b 0 jb n 1 j (t; [a, b]; h) + α n 1,0 (t) b 0 j+1b n 1 j (t + h; [a, b]; h) j=0 = (1 α n 1,0 (t))b n 1 0 (t; [a, b]; h)b 0 0 n 1 + j=1 ((1 α n 1,0 (t))b n 1 j + α n 1,0 (t)bn 1(t + h; [a, b]; h)b 0 n n = Bj n (t; [a, b]; h)b 0 j. j=0 Iz enačb (4.5) in (2.1) sledi: (1 α n 1,0 (t))b n 1 0 (t; [a, b]; h) = α n 1,0 (t)b n 1 n 1(t + h; [a, b]; h) = in (1 α n 1,0 (t))b n 1 j = + = + b t + (n 1)h b a + (n 1)h j=0 (t; [a, b]; h) + α n 1,0 (t)b n 1 j 1 (t + h; [a, b]; h))b0 j b t + (n 1)h b a + (n 1)h Bn 1 0 (t; [a, b]; h) = B0 n (t; [a, b]; h), t a b a + (n 1)h Bn 1 n 1(t + h; [a, b]; h) = Bn(t; n [a, b]; h) (t; [a, b]; h) + α n 1,0 (t)b n 1 j 1 (t + h; [a, b]; h) ( ) j 1 (t a + lh) n j 2 (b t + lh) n 1 l=0 l=0 j n 2 (b a + lh) t a ( n 1 b a + (n 1)h j 1 ( n j ) j 1 l=0 ) j 2 l=0 (t a + (l + 1)h) n j 1 (n t + (l 1)h) l=0 n 2 l=0 (b a + lh) (t a + lh) n j 2 (b t + lh) [ (n l=0 l=0 j ) ] (b t + (n 1)h n 1 n (b a + lh) ( j n) (b t h)) = B n j (t; [a, b]; h), l=0
38 20 POGLAVJE 4. H-RAZCVET ker je izraz znotraj oklepajev v prejšnji vrstici enak b t + (n j 1)h. Posledica. 1 h-bernsteinove bazne funkcije stopnje n na intervalu [a,b] tvorijo bazo za prostor polinomov stopnje n. Posledica. [a,b] enolično določene. 2 h-bézierove kontrolne točke h-bézierove krivulje so na intervalu Posledica. 3 h-bézierove krivulje so afino invariantne. Dokaz. Naj bo dana h-bézierova krivulja b(t) = n Bi n (t; [a, b]; h)b i. i=0 Če premaknemo vsako kontrolno točko b i, i = 0,..., n, za isti vektor v, se premakne tudi krivulja b(t) za vektor v, ker velja: n Bi n (t; [a, b]; h)(b i +v) = i=0 n n Bi n (t; [a, b]; h)b i + Bi n (t; [a, b]; h)v = b(t)+v. i=0 i=0 Ker velja, da so h-bernsteinove bazne funkcije na intervalu [a, b] za h 0 in za a t b nenegativne in tvorijo particijo enote, potem velja, da h- Bézierove krivulje ležijo v konveksni ovojnici svojih kontrolnih točk za vse h 0. Če so kontrolne točke b i kolinearne in enakomerno porazdeljene, je krivulja b(t) linearno parametrizirana daljica. Izrek 4.5 (Dualna funkcijska lastnost h-razcveta). Naj bo b(t) h-bézierova krivulja na intervalu [a,b] in naj bo b[u 1,..., u n ] h-razcvet krivulje b(t). Potem lahko izračunamo kontrolne točke h-bézierove krivulje z: b i = b[a ih,..., a (n 1)h, b, b h,..., b (i 1)h; h], i = 0,..., n.
39 21 Dokaz. Rezultat sledi neposredno iz izreka 4.4 in lastnosti, da so kontrolne točke h-bézierove krivulje enolično določene. Vmesne točke algoritma za izračun h-bézierove krivulje s kontrolnimi točkami b i, i = 0,..., n, označimo z b k i (t). Za k = 0,..., n, i = 0,..., n k potem velja: b k i (t) = k j=0 b i+j B j k [t + ih; [a, b]; h]. Izrek 4.6 h-bernsteinove bazne funkcije tvorijo particijo enote in velja: 1 n Bi n (t; [a, b]; h). (4.8) i=0 Dokaz. Rezultat sledi iz dualne funkcijske lastnosti razcveta (enačba (4.7)). Naj bo b(t) = 1. Potem je b[u 1,..., u n ] = 1, torej b[a ih,..., a (n 1)h, b,..., b (i 1)h; h] = 1, i = 0,..., n. Torej enačba (4.8) sledi neposredno iz dualne funkcijske lastnosti. Izrek 4.7 Izraz (3.2) je za b = a nh Lagrangeova bazna funkcija za točke t i = a ih, za i = 0, 1,..., n. Dokaz. Lagrangeova bazna funkcija je definirana kot: L k (t) = n (t t j ) j=0,j k n j=0,j k. (t k t j ) V našem primeru dobimo: L k = n (t a + jh) j=0,j k n j=0,j k. (j k)h
40 22 POGLAVJE 4. H-RAZCVET Izrazimo: n n (j k)h = h n (j k) = h n ( k(1 k)... (k 1 k)) j=0,j k j=0,j k ( (n k)) = h n ( 1) k k!(n k)!. Rezultat združimo in dobimo: L k = 1 ( 1) k h n k!(n k)! Enačbo (3.2) razdelimo na tri dele. Prvi del že ustreza naši rešitvi: n j=0,j k k 1 (t a + jh). j=0 (t a + jh). Pri drugem delu upoštevamo, da je b = a nh in j = n i: n k 1 i=0 (b t + ih) = = n j=k+1 n j=k+1 = ( 1) n k n (a nh t + (n j)h) ( (t a + jh)) j=k+1 Tretji del, kjer spet upoštevamo j = n i: n 1 n 1 (b a + ih) = (a nh a + ih) i=0 i=0 n 1 (t a + jh). n 1 = ( (n i))h = h n ( 1) n (n i) i=0 n = ( 1) n h n j = ( 1) n h n n!. j=1 i=0
41 23 Dobimo: ( k 1 n n k) (t a + jh)( 1) n k j=0 j=k+1 Bk n (t) = ( 1) n h n n! ( 1) k( ) n n (t a + jh) k j=0,j k = h n n! 1 n = (t a + jh). ( 1) k h n k!(n k)! j=0,j k (t a + jh)
42 24 POGLAVJE 4. H-RAZCVET
43 Poglavje 5 Algoritem V tem poglavju si bomo ogledali algoritem za izračun h-razcveta, implementiran v programskem jeziku Matlab. Program bomo razdelili na tri dele. Inicializacija parametrov V prvem delu nastavimo kontrolne točke T i = (x i, y i ) za i = 0,..., n, parameter h, interval [a, b] in parametre h-razcveta u 1,..., u n. f u n c t i o n [ ] = h r a z c v e t (X,Y, h, a, b, t ) %i n t e r v a l na katerem j e d e f i n i r a n h r a z c v e t [ a, b ] %a=1; %b=2; %kontrolne tocke x i, y i %X= [ 1, 2, 3, 4 ] ; %Y= [ 1, 4, 6, 1 ] ; %parameter h %h=1; % nastavimo v r e d n o s t i parametrov h r a z c v e t a 25
44 26 POGLAVJE 5. ALGORITEM %Vrednosti parametrov u i, za kontrolno tocko T 0 %U=[a, ( a h ), ( a (2 h ) ) ] ; %Vrednosti parametrov u i, za kontrolno tocko T 1 %U=[a h, a (2 h ), b ] ; %Vrednosti parametrov u i, za kontrolno tocko T 2 %U=[b, a (2 h ), b h ] ; %Vrednosti parametrov u i, za kontrolno tocko T 3 %U=[b, b h, b (2 h ) ] ; %Vrednost parametrov u i za tocko na k r i v u l j i %p r i v r e d n o s t i parametra t %t =1.5; U=[t, t h, t 2 h ] ; %koncni v r e d n o s t i h r a z c v e t a X hrazcvet=h r a z c v e t a l g (X, h, a, b,u) ; Y hrazcvet=h r a z c v e t a l g (Y, h, a, b,u) ; %f u n k c i j a za i z r i s kontrolnega poligona in h r a z c v e t a p l o t (X,Y, X hrazcvet, Y hrazcvet, ) ; end Glavni algoritem Drugi del je glavni del programa. S prej nastavljenimi vrednostmi parametrov izračuna h-razcvet. Po izreku 4.2 z enačbo (4.1) nastavimo vrednosti Q 0 i za i = 0,..., n. Rekurzivno enačbo (4.2) smo implementirali iterativno.
45 27 f u n c t i o n [ tocka ]= h r a z c v e t a l g (X, h, a, b,u) %X.. mnozica k o n t r o l n i h tock %h.. parameter h %a.. spodnja meja i n t e r v a l a %b.. zgornja meja i n t e r v a l a %U.. parametri r a z c v e t a u 1, u 2, u 3,..., u n %matrika za t r i k o t n o shemo A=z e r o s ( length (X), length (X) ) ; %zapisemo x v 1. s t o l p e c A A(:,1)=X ; n=length (X) ; %s t e v c a k=0; r =0; f o r j =1:n 1 u=u( j ) ; f o r i =1:n j %izracunamo po p r e p r o s t i f o r m u l i A( i, j +1)=((1 beta (u, k, r, a, b, h )) A( i, j ))+ +(beta (u, k, r, a, b, h) A( i +1, j ) ) ; %po v s a k i i t e r a c i j i povecamo indeks r r=r +1;
46 28 POGLAVJE 5. ALGORITEM end %po v s a k i i t e r a c i j i j e treba spremenljivko r n a s t a v i t i na 0 r =0; k=k+1; end tocka=a(1, n ) ; end Pomožna funkcija V zadnjem delu programa sem implementiral pomožno metodo, ki kot v izreku 4.2 izračuna (4.3). f u n c t i o n [num]= beta (u, k, i, a, b, h) num=((u a)+( i+k ) h ) / ( ( b a)+k h ) ; end Rezultat Rezultat algoritma je h-razcvet b = [u 1,..., u n ; h] h-bézierove krivulje s kontrolnimi točkami T i pri vrednosti parametra h. Spodaj so primeri slik h- Bézierove krivulje in h-razcveta pri različnih vrednostih parametra h.
47 29 (a) Navadna Bézierova krivulja oziroma h- Bézierova krivulja pri h = 0 (b) h-bézierova krivulja pri h = 1 (c) h-bézierova krivulja pri h = 10 (d) h-bézierova krivulja pri h = 100 (e) h-bézierova krivulja pri h = 0, 35 (f) h-bézierova krivulja pri h = 2 Slika 5.1: Na slikah so h-bézierove krivulje z različnimi vrednostmi parametra h. Označena točka je h-razcvet pri vrednosti parametra t = 1.75
48 30 POGLAVJE 5. ALGORITEM
49 Poglavje 6 Sklepne ugotovitve V diplomski nalogi smo opisali osnovne pojme računalniško podprtega geometrijskega oblikovanja. Dotaknili smo se zgodovine te obširne panoge in njenega namena v industrijskem oblikovanju, razvoju računalniških igric in računalniških animacijah v filmih. Nadaljevali smo z uvajanjem parametra h, ki nam omogoča večji nadzor nad obliko Bézierovih krivulj. Spoznali smo, da parameter h poleg tega, da vpliva na obliko krivulje, omogoča tudi naravni prehod med interpolacijo in aproksimacijo za polinomske krivulje in ploskve. Najpomembnejši del diplomske naloge je bil opis h-razcveta ter njegovih lastnosti. Zelo pomembna lastnost je, da h-razcvet izpolnjuje dualno funkcijsko lastnost za h-bézierove krivulje. Dokazali smo njegov obstoj in enoličnost. Delo smo zaključili z razvojem algoritma za izračun vrednosti h-razcveta na poljubnem intervalu [a, b] v programskem jeziku Matlab. V nadaljnjem delu bi lahko izboljšali algoritem za izračun vrednosti h- razcveta. Namesto, da bi vračal vrednosti, bi lahko algoritem kot rezultat računa vrnil kar polinom h-razcveta za poljubno h-bézierovo krivuljo. Zelo pomembno je tudi, da se iz h-razcveta lahko razvije še bolj napredne algoritme kot na primer delitev h-bézierovih krivulj. S pomočjo h-bernsteinovih baz se lahko razvije tudi bolj obširna teorija B-zlepkov. 31
50 32 POGLAVJE 6. SKLEPNE UGOTOVITVE
51 Literatura [1] Gerald Farin, A History of Curves and Surfaces in CAGD Handbook of computer aided geometric design, Arizona State University, Tempe, Dostopno na: lbg/cagd/history1.pdf [2] John C. Hart, skripta: Advanced Topics in Computer Graphics, Dostopno na: [3] Gašper Jaklič, skripta: Krivulje in ploskve v računalniško podprtem geometrijskem oblikovanju, Dostopno na: jaklicg/cagd.pdf [4] Plamen Simeonov, Vasilis Zafiris, Ron Goldman, Computer Aided Geometric Design, h-blossoming: A new approach to algorithms and indentities for h-bernstein bases and h-bézier curves, št. 28, str ,
FGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Gregor Poročnik Implementacija izrisa Bézierovih krivulj in B-zlepkov v HTML5 DIPLOMSKO
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Gregor Poročnik Implementacija izrisa Bézierovih krivulj in B-zlepkov v HTML5 DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večPredmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Numerična aproksimacija in interpolacija Numerical approximation an
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Numerična aproksimacija in interpolacija Numerical approximation and interpolation Študijski program in stopnja Study
Prikaži večTeorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES
Teorija kodiranja in kriptografija 23/24 AES Arjana Žitnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 8. 3. 24 AES - zgodovina Septembra 997 je NIST objavil natečaj za izbor nove
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večNamesto (x,y)R uporabljamo xRy
RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večFGG02
6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži večLinearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s
Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,
Prikaži večMATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140
MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večNumeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k
Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večLehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večMicrosoft Word - CNC obdelava kazalo vsebine.doc
ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO VIŠJA STROKOVNA ŠOLA STROJNIŠTVO DIPLOMSKA NALOGA Novo mesto, april 2008 Ime in priimek študenta ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO VIŠJA STROKOVNA ŠOLA STROJNIŠTVO DIPLOMSKA NALOGA Novo
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večPodatkovni model ER
Podatkovni model Entiteta- Razmerje Iztok Savnik, FAMNIT 2018/19 Pregled: Načrtovanje podatkovnih baz Konceptualno načtrovanje: (ER Model) Kaj so entite in razmerja v aplikacijskem okolju? Katere podatke
Prikaži večMicrosoft Word - A-3-Dezelak-SLO.doc
20. posvetovanje "KOMUNALNA ENERGETIKA / POWER ENGINEERING", Maribor, 2011 1 ANALIZA OBRATOVANJA HIDROELEKTRARNE S ŠKOLJČNIM DIAGRAMOM Klemen DEŽELAK POVZETEK V prispevku je predstavljena možnost izvedbe
Prikaži večMere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike
Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Ajda Pirnat, Julia Cafnik in Živa Mitar Fakulteta za matematiko in fiziko April
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večGHOSTBUSTERS navodila za učitelje O PROJEKTU S tem projektom se učenci sami naučijo izdelati igro. Ustvariti morajo več ikon (duhcov ali kaj drugega)
GHOSTBUSTERS navodila za učitelje O PROJEKTU S tem projektom se učenci sami naučijo izdelati igro. Ustvariti morajo več ikon (duhcov ali kaj drugega) in za vsako napisati svojo kodo. Dve ikoni imata isto
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večREŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1
REŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1 Nekateri pripomočki in naprave za računanje: 1a) Digitalni
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večDiapozitiv 1
9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večDatum in kraj
Ljubljana, 5. 4. 2017 Katalog znanj in vzorci nalog za izbirni izpit za vpis na magistrski študij Pedagoško računalništvo in informatika 2017/2018 0 KATALOG ZNANJ ZA IZBIRNI IZPIT ZA VPIS NA MAGISTRSKI
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večIterativne metode v numeri ni linearni algebri 2013/ doma a naloga Re²itve stisnite v ZIP datoteko z imenom ime-priimek-vpisna-1.zip in jih odd
Iterativne metode v numeri ni linearni algebri 2013/2014 1. doma a naloga Re²itve stisnite v ZIP datoteko z imenom ime-priimek-vpisna-1.zip in jih oddajte preko spletne u ilnice (http://ucilnica.fmf.uni-lj.si)
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večC:/AndrejT/vestnik/76_1/Rotovnik/main.dvi
Elektrotehniški vestnik 76(1-2): 19 24, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimalno permutacijsko usmerjanje v heksagonalnih omrežjih Maja Rotovnik 1, Jurij Šilc 2, Janez Žerovnik 3,1
Prikaži večOptimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večUvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večLaTeX slides
Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - IPPU-V2.ppt
Informatizacija poslovnih procesov v upravi VAJA 2 Procesni pogled Diagram aktivnosti IPPU vaja 2; stran: 1 Fakulteta za upravo, 2006/07 Procesni pogled Je osnova za razvoj programov Prikazuje algoritme
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - p_TK_inzeniring_1_dan_v5_shortTS.ppt [Compatibility Mode]
Telekomunikacijski inženiring dr. Iztok Humar Vsebina Značilnosti TK prometa, preprosti modeli, uporaba Uvod Značilnosti telekomunikacijskega prometa Modeliranje vodovno komutiranih zvez Erlang B Erlang
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večPoročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo
Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefonih. Obstaja precej različic, sam pa sem sestavil meni
Prikaži večVOLILNA ŠTEVILA
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 2 Strani 98 105 Bojan Hvala: VOLILNA ŠTEVILA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija:
Prikaži večUniverza v Ljubljani FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Tržaška c. 25, 1000 Ljubljana Realizacija n-bitnega polnega seštevalnika z uporabo kvan
Univerza v Ljubljani FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Tržaška c. 25, 1000 Ljubljana Realizacija n-bitnega polnega seštevalnika z uporabo kvantnih celičnih avtomatov SEMINARSKA NALOGA Univerzitetna
Prikaži večSestavljanje in re\unhbox \bgroup \let \unhbox \setbox \hbox {s\global \mathchardef \spacefactor }\ac
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Tadej Bukovec Sestavljanje in reševanje igre sudoku DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO IN
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži več