"50. srečanje mladih raziskovalcev Slovenije 2016" Osnovna šola Janka Padeţnika Maribor, Iztokova 6, 2000 Maribor AMIDA Raziskovalno področje: MATEMAT
|
|
- Špela Klemenčič
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 "50. srečanje mladih raziskovalcev Slovenije 2016" Osnovna šola Janka Padeţnika Maribor, Iztokova 6, 2000 Maribor AMIDA Raziskovalno področje: MATEMATIKA Raziskovalna naloga Mentorici: Doroteja ANČEV Suzana TOMŠIČ MAVRIČ Avtorici: Deja VINDER (7. razred) Sara VOLGEMUT (7. razred) Maribor, 2016
2 KAZALO VSEBINE stran KAZALO SLIK... 3 POVZETEK UVOD Raziskovalni problem Hipoteze Teoretične osnove Kombinatorika Permutacije brez ponavljanja Amida OSREDNJI DEL NALOGE Metodologija Metoda proučevanja pisnih virov Metoda poskušanja Metoda analize podatkov in njihova interpretacija Opis rezultatov Igra z dvema igralcema Igra s tremi igralci Igra s tremi igralci in tremi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in štirimi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in petimi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in šestimi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in sedmimi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in z osmimi prečnimi črtami RAZPRAVA ZAKLJUČEK Druţbena odgovornost VIRI IN LITERATURA Knjiţni viri Spletni viri PRILOGE Igra s tremi igralci in petimi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in šestimi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in sedmimi prečnimi črtami Igra s tremi igralci in z osmimi prečnimi črtami
3 KAZALO SLIK Slika 1: Igra Amida kot primer računalniške igrice za iphone... 5 Slika 2: Kombinatorično drevo... 7 Slika 3: Primer razporeditve igralcev in dobitkov pri igri Amida... 9 Slika 4: Primer postavitve prečnih črt pri igri Amida Slika 5: Primer prikaza dobitkov pri igri Amida Slika 6: Razporeditev dobitkov pri igri Amida, ko sta udeleţena dva igralca Slika 7: Razporeditev dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in tremi prečnimi črtami Slika 8: Razporeditev dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in štirimi prečnimi črtami Slika 9: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in petimi prečnimi črtami Slika 10: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in šestimi prečnimi črtami Slika 11: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in sedmimi prečnimi črtami Slika 12: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in z osmimi prečnimi črtami
4 POVZETEK Pri matematičnih delavnicah smo se igrali igrico, ki ji pravimo Amida. Radi jo igrajo otroci na Japonskem in si z njeno pomočjo izmenjujejo predmete. Bilo je zelo zanimivo, ko smo tudi mi ugotovili, da res vsakemu izmed nas pripada eno darilce, ki jih je za nas pripravila učiteljica. Zanimalo naju je, ali je res vedno tako in zakaj. Po pogovoru z učiteljico sva ugotovili, da so v ozadju določene matematične zakonitosti. Permutacije, kaj je to? Najprej na kratko predstaviva permutacije brez ponavljanja in pokaţeva, da igra Amida temelji na njihovih osnovah. Gre pravzaprav za razporejanje določenega števila elementov na enako število prostih mest. V osrednjem delu z metodo poskušanja ugotavljava, da vedno pripada vsakemu igralcu en dobitek. Prav tako ugotavljava, ali obstaja sistem, po katerem bi lahko ţe na začetku ugotovili, kateri dobitek pripada kateremu igralcu. S pomočjo te igre lahko razdelimo med igralce določene predmete, ne da bi se sprli in da bo vsak dobil natanko en predmet. Ključne besede: matematika, kombinatorika, permutacije brez ponavljanja, druţabne igre, amida ABSTRACT In a math workshop we have been playing a game called Amida. It is a game played by children in Japan and is used to exchange objects. It was very interesting when we found out that our teacher has also prepared some small gifts that were waiting for all of us. We were curious whether it is always like this and why. After talking to our teacher we found out that there are some mathematical laws behind this game. Permutation; but what is this? At first we describe permutation without repetition in short and show that Amida is based on it. It is actually the distrubution of a certain number of elements on the same number of free spaces. In the body of our research we use the method of tryout to come to the conclusion that at the end there is always one prize for everyone. We also tried to find out whether there is a system of finding out about who gets what prize right at the beginning of the game. With the help of this game we are able to distribute certain object without getting into confict and everyone getting exactly one object. Key words: Mathematics, syntactics, permutation without repetition, board games, amida 4
5 1 UVOD V šoli smo se igrali igrico, ki je zelo znana v azijskih drţavah. Na Japonskem jo imenujejo Amida oz. Amidakuji ( 阿弥陀 ) in pomeni»loterijo«, na Kitajskem je znana kot Ghost Leg ( 畫鬼腳 ), v Koreji pa kot Sadalitagi ( 사다리타기 ), kar pomeni plezanje»po lestvi«(povzeto po: S pomočjo igre si otroci izmenjujejo igrače, predmete, naloge Za igranje igre Amida potrebujemo papir, pisalo in toliko dobitkov, kolikor je igralcev. Učiteljica je za vsakega med nami pripravila darilce. Nismo verjeli, da bo vsak dobil natanko eno. Ampak kakorkoli smo zamenjali vrstni red igralcev ali daril in risali različno število prečnih črt, vedno je vsak med nami dobil darilo. Igra nam je bila všeč, saj se niti spreti nismo mogli. Mi smo bili tisti, ki smo risali prečne črte in s tem odločali o dobitkih. Zanimalo naju je, zakaj je tako in ali bi lahko ţe na začetku ugotovili, kaj bo kdo dobil. Ugotovili sva, da igra temelji na matematični osnovi kombinatorike, permutacijah brez ponavljanja. Gre za razporejanje določenega števila elementov na enako število prostih mest (po nekem vrstnem redu). Zanimivo je, da je igra na Japonskem razširjena tudi v obliki loterije. Glede na dejstvo, da je to deţela, znana po velikem tehnološkem napredku, pa ne preseneča, da so na osnovi igre Amida razvili tudi veliko računalniških igric. Slika 1: Igra Amida kot primer računalniške igrice za iphone (vir: 5
6 1. 1 Raziskovalni problem Namen najine naloge je bil s pomočjo permutacij raziskati japonsko igrico Amida. V igri lahko sodeluje neomejeno število igralcev. Pogoj je, da imamo dobitkov toliko, kot je igralcev. Od števila igralcev je odvisno, koliko permutacij bomo dobili, npr. pri dveh igralcih 2 permutaciji, pri treh igralcih 6 permutacij, pri štirih igralcih 24 permutacij, pri petih igralcih pa ţe 120 permutacij,. Glede na to, da sva izbrali metodo poskušanja, sva se po nasvetu mentoric odločili raziskati igro na primerih dveh igralcev (dve permutaciji) in treh igralcev (šest permutacij). Metoda je bolj primerna za raziskovanje manjšega števila permutacij. Za obravnavo večjega števila bi potrebovali algoritem ali računalniški program. Ta pa bi za naju in najino trenutno znanje matematike predstavljal prevelik problem. Znotraj tega raziskovanja sva iskali odgovore na naslednja ciljna vprašanja: Ali se lahko zgodi, da bi več igralcev dobilo isti dobitek? Ali obstaja sistem, po katerem bi lahko ţe na začetku ugotovili, kateri dobitek pripada kateremu igralcu? 1. 2 Hipoteze Glede na cilje raziskovalnega problema sva postavili naslednje hipoteze: 1. Vsak igralec dobi natanko en dobitek. 2. Igralec nikoli ne dobi dobitka, napisanega pod njegovim imenom. 3. Po številu prečnih črt lahko vnaprej ugotovimo, kateri dobitek bo dobil posamezni igralec. 6
7 1. 3 Teoretične osnove Kombinatorika»Kombinatorika je veja matematike, ki se ukvarja s preštevanjem in razporeditvijo elementov dane končne mnoţice«( Šparovec, 2004, str. 56).»Osnovni izrek kombinatorike (pravilo produkta): Naj bo proces odločanja takšen, da poteka v k zaporednih fazah, pri čemer je v prvi fazi moţnih odločitev, v drugi fazi moţnih odločitev,, v k-ti fazi moţnih odločitev, število izborov v posamezni fazi pa je neodvisno od tega, katere moţnosti smo izbrali v predhodnih fazah. Potem je mogoče celotni izbor opraviti na načinov«. (Kavka, 1997, str. 122) Proces odločanja lahko ponazorimo s kombinatoričnim drevesom. Na primer: 1. faza 2 odločitvi 2. faza 6 odločitev Slika 2: Kombinatorično drevo (vir: avtorici) Med osnovne kombinatorične prijeme štejemo permutacije brez ponavljanja, permutacije s ponavljanjem, variacije brez ponavljanja, variacije s ponavljanjem, kombinacije brez ponavljanja in kombinacije s ponavljanjem. 7
8 Permutacije brez ponavljanja Permutacije so razporejanje danih n elementov na n prostih mest (po nekem vrstnem redu). Če bi imeli npr. 3 elemente, bi jih lahko, npr. razporedili tako, da bi drugi prišel na prvo mesto, tretji na drugo in prvi na tretje. To lahko krajše zapišemo kot ( ). Zapis v zgornji vrstici nam predstavlja dane elemente, zapis v drugi vrstici pa predstavlja njihovo novo razporeditev. S kombinatoričnimi problemi so se ukvarjali ţe stari Kitajci, vendar je prvo razpravo o tem leta 1494 izdal frančiškanski pater Luca Pacioli v knjigi Summa de aritmeticae. V njej je opisal, na koliko različnih načinov se lahko določeno število ljudi usede za ravno mizo.» Primer: Na koliko načinov lahko za ravno mizo sedi sedem povabljencev? Na prvi stol se usede eden od sedmih povabljencev, torej imamo v prvi fazi 7 možnosti, na drugi stol se usede eden od preostalih šestih (6 možnosti), na tretji stol eden od petih (5 možnosti) in tako naprej. Zadnji, sedmi stol zasede tisti, ki je ostal. Torej lahko razvrščanje po stolih razumemo kot proces, sestavljen iz sedmih zaporednih faz. Ker je prva faza izvedljiva na sedem načinov, druga na šest načinov, tretja na pet načinov,, zadnja pa na en način, je celoten proces izvedljiv na načinov «(Topolovec, pridobljeno ). To pa lahko posplošimo na poljubno število elementov. Recimo, da jih je n, potem je število vseh razporeditev teh elementov ( ) ( ) To je produkt prvih n naravnih števil in ga označimo z faktoriela). (beremo: n fakulteta ali n O permutacijah govorimo takrat, kadar urejamo vse elemente dane končne mnoţice v vrsto, in ker so ti elementi med sabo različni, so to permutacije brez ponavljanja. Število permutacij brez ponavljanja mnoţice z n elementi je torej: ( ) ( ) 8
9 Amida Amida je zanimiva japonska otroška igra, s katero lahko otroci izmenjujejo predmete, naloge. Pri tem potrebujejo list papirja, pisalo in toliko dobitkov, kot je igralcev. Na list papirja najprej narišemo vzporedne navpičnice. Narišemo jih toliko, kot je igralcev. Na vrh vsake navpičnice napišemo ime enega igralca. Izid igre ni odvisen od razporeda imen igralcev. Na dno navpičnic pa napišemo imena dobitkov, pod vsako navpičnico enega. Tudi razpored dobitkov ne vpliva na izid igre. Tako dobimo na primer skico: Slika 3: Primer razporeditve igralcev in dobitkov pri igri Amida (vir: avtorici) To ne pomeni, da bodo igralci dobili dobitek, ki je napisan pod njihovim imenom. Sedaj pa vsak od igralcev nariše poljubno število vodoravnih prečnih črt, ki se spajajo z navpičnicami. Edina omejitev je, da se nobeni dve vodoravni črti ne smeta nadaljevati druga za drugo (ne smeta se končati oziroma začeti v isti točki navpičnice). Potem dobimo na primer skico: 9
10 Slika 4: Primer postavitve prečnih črt pri igri Amida (vir: avtorici) Da bi igralec prišel do svojega dobitka, gre vzdolţ svoje navpičnice do prve vodoravne prečke in po njej do sosednje navpičnice. Potem se mora spustiti po tej navpičnici ponovno do prve vodoravne prečke in po le-tej, da preide na sosednjo navpičnico itn., dokler ne prispe na spodnji konec neke navpičnice, kjer ga čaka njegov dobitek. Slika 5: Primer prikaza dobitkov pri igri Amida (vir: avtorici) 10
11 2 OSREDNJI DEL NALOGE 2. 1 Metodologija Uporabili sva naslednje metode dela: Metodo proučevanja pisnih virov. Metodo poskušanja. Metodo analize podatkov in njihovo interpretacijo Metoda proučevanja pisnih virov Začetna metoda dela je bila metoda dela s pisnimi viri. Literaturo sva najprej iskali v šolski knjiţnici in mariborski knjiţnici. Iskali sva tudi na spletu. Zbrane materiale sva preučili, prebrali in se pogovorili. Ob pomoči mentoric sva ugotovitve povzeli in uskladili Metoda poskušanja To metodo sva uporabili v osrednjem delu raziskave. Na izid igre vpliva število vodoravnih prečnih črt, zato sva se raziskovanja lotili sistematično. Igrali sva se igrico. Vsakokrat sva na papir narisali toliko navpičnic, kot je igralcev, spreminjali pa sva število prečnih črt in njihovo medsebojno lego. Metoda je bolj primerna za raziskovanje manjšega števila permutacij. Najprej sva raziskovali, kakšne so moţnosti za dobitek pri dveh igralcih, nato pa še pri treh Metoda analize podatkov in njihova interpretacija Zbrane podatke o rezultatih igranja igre sva pregledali, jih uredili po enakih permutacijah, analizirali in podali ugotovitve. Za prikaz poteka igre pri določenem številu igralcev in različnem številu prečnih črt sva uporabljali osebni računalnik in programe Geogebra in Microsoft Word. 11
12 2. 2 Opis rezultatov Igra z dvema igralcema Pri igri z dvema igralcema sva pričakovali dve moţni permutaciji, saj velja. Te permutacije so: ( ), ( ). Vsak od igralcev mora narisati prečne črte, zato jih moramo narisati najmanj dve. Preverjali sva moţnosti dobitkov pri narisanih dveh, treh, štirih, petih, šestih, sedmih in osmih prečnih črtah. Dobili sva razporeditve, kot so prikazane v nadaljevanju. ( ) Slika 6: Razporeditev dobitkov pri igri Amida, ko sta udeleţena dva igralca (vir: avtorici) 12
13 Ugotavljava, da se res pojavljata dve permutaciji: ( ) in ( ). Permutacija ( permutacija ( ) se pojavlja pri dveh, štirih, šestih in osmih prečnih črtah (sodih), ) pa pri treh, petih in sedmih prečnih črtah (lihih) Igra s tremi igralci Pri igri s tremi igralci sva pričakovali šest moţnih permutacij, saj velja. Te permutacije so: ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Glede na to, da mora vsak igralec narisati prečne črte, ni pa nujno, da vsi narišejo enako število črt, sva preverjali moţnosti dobitkov pri narisanih treh, štirih, petih, šestih, sedmih in osmih prečnih črtah. Dobili sva razporeditve, kot so prikazane v nadaljevanju. 13
14 Igra s tremi igralci in tremi prečnimi črtami Slika 7: Razporeditev dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci in tremi prečnimi črtami (vir: avtorici) Presenetilo naju je, da se pojavijo le tri permutacije od moţnih šestih: ( ), ( ) in ( ). To so permutacije, pri katerih eden od igralcev dobi dobitek, ki je napisan pod njegovim imenom, druga dva pa dobita zamenjana dobitka. 14
15 Igra s tremi igralci in štirimi prečnimi črtami 15
16 ( ) ( ) Slika 8: Razporeditev dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci in štirimi prečnimi črtami (vir: avtorici) Preseneča, da se ponovno pojavijo le tri permutacije od šestih. V tem primeru so to: ( ), ( ) in ( ). Med njimi se pojavi permutacija, ko lahko vsak izmed igralcev dobi natanko tisti dobitek, ki je napisan pod njegovim imenom. Pri preostalih dveh permutacijah pa igralci nikoli ne dobijo dobitka, napisanega pod njihovim imenom. 16
17 Igra s tremi igralci in petimi prečnimi črtami V nadaljevanju je prikazanih le nekaj permutacij (vse razporeditve so prikazane v prilogi). Slika 9: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in petimi prečnimi črtami (vir: avtorici) Ugotavljava, da se tokrat spet pojavijo le tri permutacije: ( ), ( ) in ( ), ki sva jih dobili ţe pri treh prečnih črtah. To so permutacije, pri katerih eden od igralcev dobi dobitek, ki je napisan pod njegovim imenom, druga dva pa dobita zamenjana dobitka. 17
18 Igra s tremi igralci in šestimi prečnimi črtami V nadaljevanju je prikazanih le nekaj permutacij (vse razporeditve so prikazane v prilogi). Slika 10: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in šestimi prečnimi črtami (vir: avtorici) Ugotavljava, da se spet pojavijo le tri permutacije: ( ), ( ) in ( ). Te sva ţe dobili pri štirih prečnih črtah. Tu je permutacija, ko lahko vsak izmed igralcev dobi natanko tisti dobitek, ki je napisan pod njegovim imenom. Pri preostalih dveh permutacijah pa igralci nikoli ne dobijo dobitka, napisanega pod njihovim imenom. 18
19 Igra s tremi igralci in sedmimi prečnimi črtami V nadaljevanju je prikazanih le nekaj permutacij (vse razporeditve so prikazane v prilogi). Slika 11: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in sedmimi prečnimi črtami (vir: avtorici) Ponovno ugotavljava, da se pojavijo le tri permutacije: ( ), ( ) in ( ). Te sva dobili ţe pri treh in petih prečnih črtah. To so permutacije, pri katerih eden od igralcev dobi dobitek, ki je napisan pod njegovim imenom, druga dva pa dobita zamenjana dobitka. 19
20 Igra s tremi igralci in osmimi prečnimi črtami V nadaljevanju je prikazanih le nekaj permutacij (vse razporeditve so prikazane v prilogi). Slika 12: Izbrane razporeditve dobitkov pri igri Amida, ko so udeleţeni trije igralci, in z osmimi prečnimi črtami (vir: avtorici) Ugotavljava, da se spet pojavijo le tri permutacije: ( ), ( ) in ( ), ki sva jih dobili ţe pri štirih in šestih prečnih črtah. Tu je permutacija, ko lahko vsak izmed igralcev dobi natanko tisti dobitek, ki je napisan pod njegovim imenom. Pri preostalih dveh permutacijah pa igralci nikoli ne dobijo dobitka, napisanega pod njihovim imenom. 20
21 3 RAZPRAVA Ugotovitve podajava glede na dobljene rezultate pri igri dveh in treh igralcev ter jih interpretirava na podlagi hipotez: Hipoteza 1: Vsak igralec dobi natanko en dobitek. Na osnovi poskušanja igranja igre Amida in preučevanja literature lahko hipotezo potrdiva. V vseh primerih igranja igre se je vedno zgodilo, da je vsak igralec dobil natanko en dobitek. Hipoteza 2: Igralec nikoli ne dobi dobitka, napisanega pod njegovim imenom. Na osnovi poskušanja igranja igre Amida ugotavljava, da hipoteze ne moreva potrditi. Ţe pri dveh igralcih se zgodi permutacija ( ), kar pomeni, da vsak igralec dobi dobitek, ki je napisan pod njegovim imenom. To se zgodi tudi pri igri treh igralcev ( ). Dobili pa sva tudi permutacije ( ), ( ) in ( ), kjer je očitno, da le eden izmed igralcev dobi dobitek napisan pod njegovim imenom. Hipoteza 3: Po številu prečnih črt lahko vnaprej ugotovimo, kateri dobitek bo dobil posamezni igralec. Na osnovi poskušanja igranja igre Amida ugotavljava: o Pri igri dveh igralcev sva pričakovali dve permutaciji, saj velja. Permutacija ( ) se pojavlja pri dveh, štirih, šestih in osmih prečnih črtah (sodih), permutacija ( ) pa pri treh, petih in sedmih prečnih črtah (lihih). Tako bi lahko ugotovitve pri igri dveh igralcev posplošili za poljubno število prečnih črt ( n ): { ( ) ( ) 21
22 o Pri igri treh igralcev sva pričakovali šest permutacij, saj velja. Zanimivo je, da so se permutacije ( ), ( ) in ( ) zmeraj pojavile pri lihem številu prečnih črt; pri treh, petih in sedmih. Preostale tri permutacije ( ), ( ) in ( ) pa so se zmeraj pojavile pri sodem številu prečnih črt; pri štirih, šestih in osmih prečnih črtah. Tako bi lahko ugotovitve pri igri treh igralcev posplošili za poljubno število prečnih črt ( n ): { Na osnovi zapisanega ugotavljava, da lahko tretjo hipotezo delno potrdiva. Pri dveh igralcih lahko točno določimo, kateri dobitek bo dobil igralec, če preštejemo prečne črte. Pri treh igralcih pa ne moremo točno določiti, kaj kdo dobi. Lahko se le omejimo na tri moţnosti izmed šestih. Zavedava se, da sva igro preučevali le na primerih dveh in treh igralcev, kjer je bila še primerna metoda poskušanja. V primerih več igralcev je tudi permutacij več. V tem primeru metoda poskušanja ni več primerna in bi bil potreben kakšen algoritem ali računalniški program. Zanimivo pa je, da sva ţe v primerih dveh in treh igralcev lahko zapisali neke posplošitve. 22
23 4 ZAKLJUČEK Namen najine naloge je bil s pomočjo permutacij raziskati japonsko igrico Amida. Hoteli sva ugotoviti, ali se lahko zgodi, da bi več igralcev dobilo isti dobitek, in ali obstaja sistem, po katerem bi lahko ţe na začetku ugotovili, kateri dobitek pripada kateremu igralcu. Dela sva se lotili sistematično. Za cilj sva si postavili tri hipoteze, od katerih sva eno potrdili, eno ovrgli in eno delno potrdili. V teoretičnem delu sva se najprej naučili, kaj so permutacije brez ponavljanja. Gre za razporejanje določenega števila elementov na enako število prostih mest. Pri tem sva ugotovili, da smo se o permutacijah ţe učili v prvem razredu osnovne šole (vendar jih nismo tako poimenovali), ko smo v nalogah morali npr. tri različne like razvrstiti na vse moţne načine. V osrednjem delu sva z metodo poskušanja ugotavljali, ali drţijo hipoteze, ki sva si jih zastavili. Igrali sva se igrico. Vsakokrat sva na papir narisali toliko navpičnic, kot je igralcev, spreminjali pa sva število prečnih črt in njihovo medsebojno lego. Metoda je bolj primerna za raziskovanje manjšega števila permutacij. Odločili sva se, da igrico raziščeva na primerih dveh in treh igralcev. Za obravnavo večjega števila igralcev in s tem permutacij bi potrebovali algoritem ali računalniški program. Ta pa bi za naju in najino trenutno znanje matematike predstavljal prevelik problem. Zbrane podatke o rezultatih igranja igre sva analizirali in prikazali s pomočjo programov Geogebra in Microsoft Word. Prvo hipotezo sva potrdili, saj se je v vseh primerih igranja igre vedno zgodilo, da je vsak igralec dobil natanko en dobitek. Druge hipoteze nisva potrdili, saj se pri igri zgodi, da igralci dobijo tisti dobitek, ki je napisan pod njihovim imenom. Tretjo hipotezo pa sva delno potrdili. Pri dveh igralcih lahko točno določimo, kateri dobitek bo dobil igralec, če preštejemo prečne črte. Ugotavljava, da pri sodem številu prečnih črt igralca dobita dobitek, napisan pod njunim imenom, pri lihem številu prečnih črt pa ne. Pri treh igralcih ne moremo točno določiti, kaj kdo dobi. Lahko se le omejimo na tri moţnosti izmed šestih. Tako se pri lihem številu prečnih črt zgodi, da bo vedno eden od igralcev dobil nagrado napisano pod njegovim imenom. Pri sodem številu prečnih črt pa je moţnost, da vsi dobijo nagrado, napisano pod svojim imenom, ali pa da nihče ne dobi takšne nagrade. 23
24 Ob pisanju raziskovalne naloge sva se naučili in spoznali veliko novega. V primeru dveh in treh igralcev sva lahko zapisali tudi posplošitve. Zanimivo bi bilo videti, kaj se dogaja pri večjem številu igralcev. Ali bi tudi tam lahko prišli do kakšnih podobnih ugotovitev? To je vprašanje, ki ponuja moţnosti za nova raziskovanja, seveda s pomočjo drugačnih metod Družbena odgovornost Amida je druţabna igra, ki jo lahko uporabimo za izmenjavo predmetov, igrač ali loterijo. Ko smo se igrico igrali v šoli, nismo verjeli, da bo vsak dobil natanko eno darilo. Ampak kakorkoli smo zamenjali vrstni red igralcev ali daril in risali različno število prečnih črt, vedno je vsak med nami dobil eno. Nikoli se ni zgodilo, da bi jih več dobilo isto darilo, zato se niti spreti nismo mogli. To pa je tudi namen igre, da se sodelujoči nikdar ne sprejo in pravično razdelijo med seboj predmete. Pravzaprav se ob druţabnih igrah učimo medsebojnih odnosov in pomena druţbenih pravil. Igre spodbujajo sodelovanje. Učijo nas priznati poraz, se sprijazniti s tem, kar dobimo. Učijo nas upoštevanja pravil v igrah in ţivljenju. 24
25 5 VIRI IN LITERATURA 5. 1 Knjižni viri Čibej, J. A. (1997). Matematika. Kombinatorika Verjetnostni račun Statistika. Ljubljana. Drţavna zaloţba Slovenije. Kavka, D. (1997). Matematika v srednji šoli. Pregled temeljne učne snovi in nalog srednješolske matematike. Ljubljana. Modrijan zaloţba, d.o.o. Šparovec, J. [et al.] (2004). Tempus. Matematika za 4. letnik gimnazij. Ljubljana. Modrijan zaloţba, d.o.o Spletni viri Amidakuji. Spletna stran (pridobljeno ): Japonska otroška igra amida. Spletna stran (pridobljeno ): Kombinatorika. Spletna stran (pridobljeno ): Kombinatorika. Spletna stran (pridobljeno ): Slika računalniške igrice. Spletna stran (pridobljeno ): 25
26 6 PRILOGE 6. 1 Igra s tremi igralci in petimi prečnimi črtami 6. 2 Igra s tremi igralci in šestimi prečnimi črtami 26
27 6. 3 Igra s tremi igralci in sedmimi prečnimi črtami 27
28 6. 4 Igra s tremi igralci in osmimi prečnimi črtami 28
29 29
Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večNAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite
NAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite vzorčne strani iz DELOVNIH LISTOV 1 v štirih delih
Prikaži večrm.dvi
1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v
Prikaži večKOMISIJA ZA LOGIKO 32. TEKMOVANJE IZ ZNANJA LOGIKE DRŽAVNO TEKMOVANJE, in 2. letnik Šifra: NALOGA MOŽNE TOČKE DOSEŽENE TOČKE
KOMISIJA ZA LOGIKO 32. TEKMOVANJE IZ ZNANJA LOGIKE DRŽAVNO TEKMOVANJE, 11. 11. 2017 1. in 2. letnik Šifra: NALOGA MOŽNE TOČKE DOSEŽENE TOČKE 1. 20 2. 17 3. 20 4. 20 Skupaj 77 Opombe: pri 1. nalogi se tabela
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večDZS, d. d. Spoštovani, pred vami je vzorčno poglavje dnevnih priprav. Priprave so uporabnikom na voljo v celoti in v obliki, ki omogoča urejanje in pr
DZS, d. d. Spoštovani, pred vami je vzorčno poglavje dnevnih priprav. Priprave so uporabnikom na voljo v celoti in v obliki, ki omogoča urejanje in prilagajanje. Komplet sestavljajo: učbenik in delovni
Prikaži večBYOB Žogica v vesolju Besedilo naloge Glavna ideja igre je paziti, da žoga ne pade na tla igralne površine, pri tem pa zbrati čim več točk. Podobno ig
BYOB Žogica v vesolju Besedilo naloge Glavna ideja igre je paziti, da žoga ne pade na tla igralne površe, pri tem pa zbrati čim več točk. Podobno igro najdemo tudi v knjigi Scratch (Lajovic, 2011), vendar
Prikaži večMicrosoft Word - SI_vaja5.doc
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 5 Naloge 1. del: t test za
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Verjetnost v fiziki 2012/13 tutorstvo #1 Kombinatorika Avtorja: Peter Ferjančič, Boštjan Kokot
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Verjetnost v fiziki 2012/13 tutorstvo #1 Kombinatorika Avtorja: Peter Ferjančič, Boštjan Kokot Mentor: izr. prof. dr. Simon Širca 4. oktober 2012
Prikaži večMicrosoft Word - Delovni list.doc
SVETOVNE RELIGIJE Spoznal boš: krščanstvo - nastanek, širjenje, duhovna in socialna sporočila, vpliv na kulturo islam: nastanek, širjenje, duhovna in socialna sporočila, vpliv na kulturo stik med religijama
Prikaži večmat soda liha stevila fotke eval_tretji
OSNOVNA ŠOLA CIRILA KOSMAČA PIRAN UČITELJ: VIKA KUŠTRIN P. PREDMET: MAT RAZRED: 3. DATUM IN URA: / UČNA TEMA: Aritmetika in algebra UČNA ENOTA: SODA IN LIHA ŠTEVILA CILJI: Razlikovati soda in liha števila.
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večPowerPointova predstavitev
U K 20 P K U P M 2 0 1 2 12 M OBLIKOVANJE POJMA ŠTEVILO PRI OTROKU V 1. RAZREDU Sonja Flere, Mladen Kopasid Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Oblikovanje
Prikaži večDNEVNIK
POROČILO PRAKTIČNEGA USPOSABLJANJA Z DELOM PRI DELODAJALCU DIJAKA / DIJAKINJE. ( IME IN PRIIMEK) Izobraževalni program FRIZER.. Letnik:.. oddelek:. PRI DELODAJALCU. (NASLOV DELODAJALCA) Šolsko leto:..
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večPOTEK POUKA TUJIH JEZIKOV - dolžnost učencev je, da redno in točno obiskujejo pouk, - pri pouku sodelujejo, pišejo zapiske - k pouku redno prinašajo u
POTEK POUKA TUJIH JEZIKOV - dolžnost učencev je, da redno in točno obiskujejo pouk, - pri pouku sodelujejo, pišejo zapiske - k pouku redno prinašajo učbenik in delovni zvezek, ki sta obvezna učna pripomočka
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večStrokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok
Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večDELOVNI LIST ZA UČENCA
ZRCALA - UVOD 1. polprepustno zrcalo 2. ploščice različnih barv ( risalni žebljički), svinčnik 3. ravnilo Na bel papir postavi polprepustno zrcalo in označi njegovo lego. Pred zrcalo postavi risalni žebljiček.
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večMicrosoft Word - Seštevamo stotice.doc
UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:
Prikaži večRazred: 1
Razred: 1. Dan: 49. Predmet: SPO Ura: 30. Datum: Učna enota: NAŠ MALI PROJEKT: Sestavimo druţino Prepoznajo oblike druţinskih skupnosti in razvijajo strpen odnos do njih. Uporabljajo poimenovanja za druţinske
Prikaži večMicrosoft Word - 10-Selekcijski intervju _4.del_.docx
številka 10,27.avg. 2004, ISSN 1581-6451, urednik:radovan Kragelj Pozdravljeni! V prejšnji številki mesečnika smo si ogledali, katera področja moramo vsebinsko obdelati v sklopu delovne zgodovine. V današnji
Prikaži večN
Državni izpitni center *N15164132* 9. razred TEHNIKA IN TEHNOLOGIJA Ponedeljek, 11. maj 2015 NAVODILA ZA VREDNOTENJE NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA 9. razred RIC 2015 2 N151-641-3-2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo,
Prikaži večMicrosoft Word - P101-A doc
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P101A22112* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK ANGLEŠČINA Izpitna pola 2 Pisno sporočanje A) Krajši pisni sestavek B) Vodeni spis Sobota, 29. maj 2010 / 60 minut
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večVPRAŠALNIK BRALNE MOTIVACIJE ZA MLAJŠE UČENCE –
PRAŠALNIK BRALNE MOTIACIJE ZA STAREJŠE UČENCE BM-st Pred teboj je vprašalnik o branju. Prosimo te, da nanj odgovoriš tako, kot velja zate. vprašalniku ni pravilnih oz. napačnih odgovorov. Na posamezne
Prikaži večProtokoli v računalniškem komuniciranju TCP, IP, nivojski model, paket informacij.
Protokoli v računalniškem komuniciranju TCP, IP, nivojski model, paket informacij. Protokoli - uvod Protokol je pravilo ali zbirka pravil, ki določajo načine transporta sporočil po računalniškem omrežju
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M15245112* JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik in računalo.
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večOŠ VODMAT, POTRČEVA 1, 1000 LJUBLJANA
OŠ VODMAT, POTRČEVA 1, 1000 LJUBLJANA UČNA PRIPRAVA ZA URO VZOJE (1. razred) MALI POTEPUH Skladatelj: W. A. Mozart Besedilo: Jože Humer MENTOR: Mateja Petrič PRIPRAVNICA: Urška Zevnik Ljubljana, 24. 1.
Prikaži večUniverza v Mariboru
Univerza v Mariboru Pedagoška fakulteta VLOGA UČITELJA Avtor: M. Š. Datum: 23.11.2010 Smer: razredni pouk POVZETEK Učitelj je strokovnjak na svojem področju, didaktično usposobljen, ima psihološka znanja
Prikaži večPowerPointova predstavitev
Obravnava kotov za učence s posebnimi potrebami Reading of angles for pupils with special needs Petra Premrl OŠ Danila Lokarja Ajdovščina OSNOVNA ŠOLA ENAKOVREDNI IZOBRAZBENI STANDARD NIŽJI IZOBRAZBENI
Prikaži večSrednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6, 1000 Ljubljana STATISTIKA REGISTRIRANIH VOZIL V REPUBLIKI SLOVENIJI PROJEKTNA
Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6, 1000 Ljubljana STATISTIKA REGISTRIRANIH VOZIL V REPUBLIKI SLOVENIJI PROJEKTNA NALOGA Mentor: Andrej Prašnikar (tehnično komuniciranje)
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži večVSEBINSKI NASLOV SEMINARSKE NALOGE
Univerza v Ljubljani Naravoslovnoteniška fakulteta Oddelek za tekstilstvo VSEBINSKI NASLOV SEMINARSKE NALOGE TITLE IN ENGLISH Avtorja: Študijska smer: Predmet: Informatika in metodologija diplomskega dela
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži več2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki
2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,
Prikaži večMATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več
MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več ZBIRKA ZNAM ZA VEČ imatematika 9+ Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Avtorici: Jana Draksler
Prikaži večPRESENT SIMPLE TENSE The sun gives us light. The sun does not give us light. Does It give us light? Raba: Za splošno znane resnice. I watch TV sometim
PRESENT SIMPLE TENSE The sun gives us light. The sun does not give us light. Does It give us light? Za splošno znane resnice. I watch TV sometimes. I do not watch TV somtimes. Do I watch TV sometimes?
Prikaži večMicrosoft Word - škofjeloški grad 4.docx
OSNOVNA ŠOLA POLJANE Poljane 100, 4223 Poljane MLADI RAZISKOVALCI ZA RAZVOJ POLJANSKE DOLINE RAZISKOVALNA NALOGA ŠKOFJELOŠKI GRAD ZGODOVINA Avtorici: Meta Perko Balon, 9.b Manica Demšar, 7.b Mentorica:
Prikaži večPAST CONTINUOUS Past continuous uporabljamo, ko želimo opisati dogodke, ki so se dogajali v preteklosti. Dogodki so se zaključili v preteklosti in nič
PAST CONTNUOUS Past continuous uporabljamo, ko želimo opisati dogodke, ki so se dogajali v preteklosti. Dogodki so se zaključili v preteklosti in nič več ne trajajo. Dogodki so v preteklosti trajali dalj
Prikaži večMicrosoft Word - UN_Opisna-geometrija
UČNI NAČRT OPISNA GEOMETRIJA Tehniška gimnazija Izbirni strokovni predmet (210 ur) UČNI NAČRT OPISNA GEOMETRIJA Gimnazija; tehniška gimnazija Izbirni strokovni predmet (210 ur) Predmetna komisija: dr.
Prikaži večMERE SREDNJE VREDNOSTI
OPIS PODATKOV ENE SPREMENLJIVKE frekvenčne porazdelitve in mere srednje vrednosti as. dr. Nino RODE Uni-Lj. Fakulteta za socialno delo O ČEM BOMO GOVORILI NAMEN OPISNE STATISTIKE Kako opisati podatke OPIS
Prikaži večPowerPointova predstavitev
RAZISKOVANJE PRI MATEMATIKI V 1. VZGOJNOIZOBRAŽEVALNEM OBDOBJU Barbara Oder Leonida Novak Izhodišče1: - Kako učinkovito utrjevati osnovne postopke /računske operacije?? Izhodišče 2 Pouk matematike bi moral
Prikaži večRazred: 1
Razred: 1. Dan: 59. Predmet: SLJ Ura: 71. Datum: Učitelj/vzgojitelj: Sklop: MOJA DRUŽINA Učna enota: Pesem: JAKEC - BRAT RIŠEM ČRTE predopismenjevalne vaje Cilji: Doživljajo interpretativno prebrano pesem.
Prikaži večDruštvo za elektronske športe - spid.si Vaneča 69a 9201 Puconci Pravila tekmovanja na EPICENTER LAN 12 Hearthstone Na dogodku izvaja: Blaž Oršoš Datum
Pravila tekmovanja na EPICENTER LAN 12 Hearthstone Na dogodku izvaja: Blaž Oršoš Datum: 5. januar 2016 Društvo za elektronske športe [1/5] spid.si Slovenska pravila 1 OSNOVNE INFORMACIJE 1.1 Format tekmovanja
Prikaži večSlide 1
Projektno vodenje PREDAVANJE 7 doc. dr. M. Zajc matej.zajc@fe.uni-lj.si Projektno vodenje z orodjem Excel Predstavitev Najbolj razširjeno orodje za delo s preglednicami Dva sklopa funkcij: Obdelava številk
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M17154111* PSIHOLOGIJA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Strukturirane naloge Torek, 30. maj 2017 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki:
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Državni izpitni center *M77* SPOMLADANSK ZPTN OK NAVODLA ZA OCENJEVANJE Petek, 7. junij 0 SPLOŠNA MATA C 0 M-77-- ZPTNA POLA ' ' QQ QQ ' ' Q QQ Q 0 5 0 5 C Zapisan izraz za naboj... točka zračunan naboj...
Prikaži večPROJECT OVERVIEW page 1
N A Č R T P R O J E K T A : P R E G L E D stran 1 Ime projekta: Ustvarjanje s stripom Predmet/i: Slovenščina Avtorja/i projekta: Jasmina Hatič, Rosana Šenk Učitelj/i: Učitelji razrednega pouka Trajanje:
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Standardi znanja in kriteriji ocenjevanja 2 r.ppt [Samo za branje] [Združljivostni način]
STANDARDI ZNANJA PO PREDMETIH IN KRITERIJI OCENJEVANJA 2. razred SLOVENŠČINA 1 KRITERIJI OCENJEVANJA PRI SLOVENŠČINI POSLUŠANJE -Poslušanje umetnostnega besedilo, določanja dogajalnega prostora in časa,
Prikaži večZavod sv. Stanislava Škofijska klasična gimnazija VPLIV KISLEGA DEŽJA NA RASTLINE poskus pri predmetu biologija
Zavod sv. Stanislava Škofijska klasična gimnazija VPLIV KISLEGA DEŽJA NA RASTLINE poskus pri predmetu biologija KAZALO: 1 UVOD...3 2 MATERIAL...4 POSTOPEK...4 3 SKICA NASTAVITVE POSKUSA...5 4 REZULTATI...6
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večSource: Maketa, kolaž in računalniška vizualizacija Edvard Ravnikar required
Source: http://img.rtvslo.si/_up/aplaud/2013/05/11/64 991249 Maketa, kolaž in računalniška vizualizacija Edvard Ravnikar 4.12.1907 23.8.1993 required age : od 12 do 14 let educational interest Ta lekcija
Prikaži večDZS, d. d. Spoštovani, pred vami je vzorčno poglavje dnevnih priprav. Priprave so uporabnikom na voljo v celoti in v obliki, ki omogoča urejanje in pr
DZS, d. d. Spoštovani, pred vami je vzorčno poglavje dnevnih priprav. Priprave so uporabnikom na voljo v celoti in v obliki, ki omogoča urejanje in prilagajanje. Komplet sestavljajo: učbenik in delovni
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M12224223* Višja raven JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 3 Pisno sporočanje A) Pisni sestavek (v eni od stalnih sporočanjskih oblik) (150 180 besed)
Prikaži večPOSLOVNO OKOLJE PODJETJA
POSLOVNO OKOLJE PODJETJA VSI SMO NA ISTEM ČOLNU. ACTIVE LEARNING CREDO (adapted from Confucius) When I hear it, I forget. When I hear and see it, I remember a little. When I hear, see and ask questions
Prikaži večPORAJAJOČA SE PISMENOST
PORAJAJOČA SE PISMENOST v sklopu Šole za starše, dne 22. oktobra 2003 v Marjetici, predavateljica: dr. Branka Jurišić Predavanje se je začelo s komentarjem predavateljice, da nekateri starši forsirajo
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večVOZI ME VLAK V DALJAVE
VOZI ME VLAK V DALJAVE P R O J E K T D R U Ž I N S K E P I S M E N O S T I M O D E R A T O R K A M A G. H E L E N A K R A M P L N I K A Č N A K L O, M A J 2 0 1 8 VOZI ME VLAK V DALJAVE VOZI ME VLAK V
Prikaži večŠolski center Rudolfa Maistra, Srednja ekonomska šola, program predšolska vzgoja Medpredmetna povezava Informatika-Igre za otroke-Knjižnica
Šolski center Rudolfa Maistra, Srednja ekonomska šola, program Predšolska vzgoja Medpredmetna povezava Informatika-Igre za otroke-knjižnica Vsebinski sklop: Uradno komuniciranje preko elektronske pošte
Prikaži večTermin in lokacija izvedbe Naslov delavnice Ciljna skupina Cilji in/ali kratek opis Izvajalec Kontaktni e-naslov 6. oktober 2018 Gimnazija Franceta Pr
Termin in lokacija izvedbe Naslov delavnice Ciljna skupina Cilji in/ali kratek opis Izvajalec Kontaktni e-naslov 6. oktober 2018 Gimnazija Franceta Prešerna, Kranj (ponovitev izvedbe 23. oktobra na OE
Prikaži večAnaliza dosežkov poskusnega preverjanja znanja v 3. razredu iz matematike
Analiza dosežkov poskusnega preverjanja znanja v 3. razredu iz matematike Analiza dosežkov poskusnega preverjanja znanja v 3. razredu iz matematike Avtorji: dr. Darjo Felda, dr. Lea Kozel, Alenka Lončarič,
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java-rekurzija.ppt
Pesmica Živel je mož, imel je psa, lepo ga je učil. Nekoč ukradel mu je kos mesa, zato ga je ubil. Postavil mu je spomenik in nanj napisal: Živel je mož, imel je psa, lepo ga je učil. Nekoč ukradel mu
Prikaži večTeorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES
Teorija kodiranja in kriptografija 23/24 AES Arjana Žitnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 8. 3. 24 AES - zgodovina Septembra 997 je NIST objavil natečaj za izbor nove
Prikaži večGHOSTBUSTERS navodila za učitelje O PROJEKTU S tem projektom se učenci sami naučijo izdelati igro. Ustvariti morajo več ikon (duhcov ali kaj drugega)
GHOSTBUSTERS navodila za učitelje O PROJEKTU S tem projektom se učenci sami naučijo izdelati igro. Ustvariti morajo več ikon (duhcov ali kaj drugega) in za vsako napisati svojo kodo. Dve ikoni imata isto
Prikaži večPrijetno dopoldan v vrtcu
DOPOLDANSKO DRUŽENJE TREH GENERACIJ V VRTCU (BRALNA DELAVNICA Z USTVARJANJEM) VRTEC PRI OŠ MILANA MAJCNA ŠENTJANŽ DIPL. VZG. VLADKA ŽAJBER PREDNOSTNO PODROČJE VRTCA V 2018/19 GOVORNO JEZIKOVNO Opažamo,
Prikaži večN
Državni izpitni center *N19141132* 9. razred FIZIKA Ponedeljek, 13. maj 2019 NAVODILA ZA VREDNOTENJE NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9. razredu Državni izpitni center Vse pravice pridržane. 2 N191-411-3-2
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večDiapozitiv 1
IGRE NA SREČO IN NEVARNOSTI ZASVOJENOSTI Pripravile: FKPV - Komerciala I IGRALNIŠTVO Seminarska naloga Marec 2012 HAZARDERSTVO: RAZVADA, BOLEZEN, POSEL? Iskanje tveganja in tveganje prekletstva Magična
Prikaži večPisanje strokovnih in znanstvenih del doc. dr. Franc Brcar Prirejeno po: Brcar, F. (2016). Pi
Pisanje strokovnih in znanstvenih del doc. dr. Franc Brcar franc.brcar@gmail.com http://www.uporabna-statistika.si/ Prirejeno po: Brcar, F. (2016). Pisanje strokovnih in znanstvenih del. Novo mesto: 1
Prikaži večDatum: IZBOR DELOVNIH ZVEZKOV IN DRUGIH ŠOLSKIH POTREBŠČIN V PRVEM RAZREDU ZA ŠOLSKO LETO 2016/ RAZRED naziv M. Kramarič, M. Kern,
IZBOR DELOVNIH ZVEZKOV IN DRUGIH ŠOLSKIH POTREBŠČIN V PRVEM RAZREDU ZA ŠOLSKO LETO 2016/2017 1. RAZRED M. Kramarič, M. Kern, et al.: LILI IN BINE, zvezek za opismenjevanje v dveh delih, prenova 2013 založba:rokus-klett,
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M17178111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 1 Četrtek, 1. junij 2017 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večRC MNZ - kategorija U12 in U13 TRENING 3-4 SKLOP: Igra 1:1 USMERITEV TRENINGA: CILJ: Igra 1:1 v napadu Utrjevanje uspešnosti igre 1:1 v napadu UVODNI
RC MNZ - kategorija U12 in U13 TRENING 3-4 SKLOP: Igra 1:1 USMERITEV TRENINGA: CILJ: Igra 1:1 v napadu Utrjevanje uspešnosti igre 1:1 v napadu UVODNI DEL (20 minut) 1. NAVAJANJE NA ŽOGO (12 minut) S klobučki
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večuntitled
2. poglavje: Povprečni dosežki po področjih matematike PODPOGLAVJA 2.1 Kakšne so razlike v dosežkih po posameznih področjih matematike? 2.2 Razlike med učenci in učenkami v dosežkih po področjih matematike
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži večPravila škofjeloške poletne teniške lige 2019 Splošno o ligi pravica nastopa, formiranje skupin, igrišča in uradna žoga 1. Pravico igranja imajo (v ko
Pravila škofjeloške poletne teniške lige 2019 Splošno o ligi pravica nastopa, formiranje skupin, igrišča in uradna žoga 1. Pravico igranja imajo (v kolikor tekmovalna komisija na podlagi prijav ne odloči
Prikaži večSpoznajmo PowerPoint 2013
Spoznajmo PowerPoint 2013 13 Nova predstavitev Besedilo v predstavitvi Besedilo, ki se pojavlja v predstavitvah lahko premaknemo kamorkoli v diapozitivu. Kadar izdelamo diapozitiv z že ustvarjenimi okvirji
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Lapajne&Randl2015.pptx
RAZISKAVA OB PREDVIDENI SELITVI KNJIŽNIC OHK Raziskava je potekala v okviru predmetov Raziskovalne metode in Uporabniki informacijskih virov in storitev pod mentorstvom treh profesorjev (dr. Pisanski,
Prikaži večGimnazija Bežigrad Peričeva Ljubljana OPERACIJSKI SISTEM Predmet: informatika
Gimnazija Bežigrad Peričeva 4 1000 Ljubljana OPERACIJSKI SISTEM Predmet: informatika KAZALO 1. Uvod...3 2. Predstavitev programa Windows 98...5 3. Raziskovanje računalnika...5 4. Raziskovanje Interneta...6
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ slovenscina 2018.docx
OSNOVNA ŠOLA SOSTRO POROČILO O ANALIZI DOSEŽKOV NACIONALNEGA PREVERJANJA ZNANJA IZ SLOVENŠČINE leta 2018 Pripravile učiteljice slovenščine: Renata More, Martina Golob, Petra Aškerc, Katarina Leban Škoda
Prikaži večINFORMACIJSKA DRUŽBA IS oktober 2009 VZGOJA IN IZOBRAŽEVANJE V INFORMACIJSKI DRUŽBI Ali pridobivati znanje s pomočjo uporabe IKT ali s klasič
INFORMIJSK DRUŽ IS 29 6. oktober 29 VZGOJ IN IZORŽEVNJE V INFORMIJSKI DRUŽI li pridobivati znanje s pomočjo uporabe IKT ali s klasičnimi pedagoškimi metodami in oblikami dela? How to cquire the Knowledge?
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večMEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIJADA - BANGKOK 2011 Od 10. do 18. julija je v Bangkoku na Tajskem potekala 42. mednarodna fizikalna olimpijada. Slovenijo s
MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIJADA - BANGKOK 2011 Od 10. do 18. julija je v Bangkoku na Tajskem potekala 42. mednarodna fizikalna olimpijada. Slovenijo sta skupaj z dvema dijakoma iz Gimnazije Bežigrad in
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - MK 3 tehnicni sistemi.ppt
Opredelitev tehničnega sistema Proces prenosa naravnih sistemov v tehnični sisteme, kot posledica človekovega ustvarjanja 1 Uvod - kaj predstavlja tehnični sistem, splošni primeri Predstavitev primera
Prikaži večKer so pri Microsoftu z igro Age of Empires (in dodatkom Rise of Rome) poželi tolikšen uspeh, so izdali tudi nadaljevanje te igre. Kakor prvi del igre
Ker so pri Microsoftu z igro Age of Empires (in dodatkom Rise of Rome) poželi tolikšen uspeh, so izdali tudi nadaljevanje te igre. Kakor prvi del igre Age of Empires, je tudi drugi del realnočasovna strategija.
Prikaži večVST: 1. kviz
jsmath Učilnica / VST / Kvizi / 1. kviz / Pregled poskusa 1 1. kviz Pregled poskusa 1 Končaj pregled Začeto dne nedelja, 25. oktober 2009, 14:17 Dokončano dne nedelja, 25. oktober 2009, 21:39 Porabljeni
Prikaži večIzpit iz GEOMETRIJE 17. junij 2004 Vpisna ²tevilka: Vrsta: Ime in priimek: Sedeº: 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, prem
17. junij 2004 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, premice z = 0 v to ki (1, 1, 0) in premice y = 0 v to ki (1, 0, 1). 2. V projektivni ravnini so dane premice p 1 : 4x 3y z
Prikaži večElektronska pošta
Elektronska pošta ZGODOVINA Prvo sporočilo je bilo poslano leta 1971. Besedilo, ki ga je vsebovalo, je bilo QWERTYUIOP. Pošiljatelj je bil Ray Tomlinson, računalnika med katerima je bilo sporočilo poslano
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - IPPU-V2.ppt
Informatizacija poslovnih procesov v upravi VAJA 2 Procesni pogled Diagram aktivnosti IPPU vaja 2; stran: 1 Fakulteta za upravo, 2006/07 Procesni pogled Je osnova za razvoj programov Prikazuje algoritme
Prikaži več