UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010
|
|
- Aljoša Pintarič
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010
2
3 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo Diplomsko delo Diskriminatorne kode v dvodelnih grafih Mentor: dr. Matjaž Kovše Kandidat: Denis Kolarič Maribor, 2010
4 Zahvala Zahvaljujem se mentorju dr. Matjažu Kovšetu za pomoč in koristne napotke pri izdelavi diplomskega dela. Prav tako velja zahvala domačim, ki so mi bili ves čas študija v zares veliko pomoč, oporo in vzpodbudo.
5 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisani Denis Kolarič, rojen 12. novembra 1985, študent Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, smer enopredmetna nepedagoška matematika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Diskriminatorne kode v dvodelnih grafih pri mentorju doc. dr. Matjažu Kovšetu, avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev. Denis Kolarič Maribor, 1. Oktober 2010
6 Diskriminatorne kode v dvodelnih grafih Diplomsko delo naj obravnava diskriminatorne kode, ki predstavljajo posplošitev identifikacijskih kod in so definirane na naslednji način. Naj bo G = (V = P A, E) enostaven dvodelni graf brez povezav znotraj množice P in znotraj množice A. Za poljubno vozlišče v V naj N(v) označuje množico vseh sosedov vozlišča v. Podmnožica C A se imenuje diskriminatorna koda, če so vse množice N(p) C, p P, neprazne in različne. Poleg osnovnih lastnosti diskriminatornih kod naj bodo posebej obravnavani dvodelni ravninski grafi. Predstavljen naj bo algoritem za iskanje minimalne diskriminatorne kode v drevesu. Pojasnjena naj bo povezava med identifikacijskimi in diskriminatornimi kodami v hiperkockah. Osnovni viri: 1. E. Charbit, I. Charon, G. Cohen, O. Hudry in A. Lobstein, Discriminating codes in bipartite graphs: Bounds, Extremal Cardinalities, Complexity, Adv. Math. Commun., 2 (2008), I. Charon, G. Cohen, O. Hudry in A. Lobstein, Links between discriminating and identifying codes in the binary Hamming space, Lect. Notes Comput. Sci., 4851 (2007), I. Charon, G. Cohen, O. Hudry in A. Lobstein, Discriminating codes in (bipartite) planar graphs, European J. Combin., 29 (2008), doc. dr. Matjaž Kovše
7 KOLARIČ, D.: Diskriminatorne kode v dvodelnih grafih. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, IZVLEČEK Diplomsko delo obravnava diskriminatorne kode, ki predstavljajo posplošitev identifikacijskih kod. Naj bo G = (V = P A, E) enostaven dvodelni graf brez povezav znotraj množice P in znotraj množice A. Za poljubno vozlišče v V naj N(v) označuje množico vseh sosedov vozlišča v. Podmnožica C A se imenuje diskriminatorna koda, če so vse množice N(p) C, p P, neprazne in različne. V uvodnem poglavju predstavimo osnovne definicije iz teorije grafov, ki jih potrebujemo v nadaljevanju in povemo še nekaj o kodah v grafih. V naslednjem poglavju definiramo diskriminatorne kode, podamo nekaj primerov in dokažemo spodnjo in zgornjo mejo za moč minimalne diskriminatorne kode izražene glede na število atributov. V tretjem poglavju pokažemo povezavo med diskriminatornimi in identifikacijskimi kodami v hiperkockah. V četrtem poglavju obravnavamo diskriminatorne kode v drevesih in opišemo algoritem linearne časovne zahtevnosti glede na število vozlišč drevesa, ki za dano drevo poišče minimalno diskriminatorno kodo v drevesu in njegovo delovanje prikažemo na primeru. V zadnjem poglavju podamo za vnaprej podano število atributov konstrukcijo dvodelnih ravninskih grafov brez dvojčkov, ki imajo največje število posameznikov in pokažemo povezavo z ravninskimi triangulacijami. Ključne besede: identifikacijska koda, diskriminatorna koda, dvodelni graf, posameznik, atribut, hiperkocka, drevo, algoritem, ravninski graf Math. Subj. Class. (2010): 94B60 teorija kod, ki odpravljajo in kod, ki odkrivajo napake, druge vrste kod, 05C70 kombinatorika, teorija grafov, faktorizacija, prirejanja, pokritja in pakiranja, 68Q17 računalništvo, teorija računanja, kompleksnost problemov.
8 KOLARIČ, D. Discriminating codes in bipartite graph Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, ABSTRACT Let G = (V = P A, E) be a bipartite graph, with no edge inside I and no edge inside A. For any vertex v V, let N(v) denote the set of neighbours of v. A subset C A is said to be discriminating if all the sets N(p) C, p P, are nonempty and distinct. Discriminating codes are generalization of identifying codes. In the preliminaries we give necessary definitions from graph theory and codes in graphs that we need later. In the next chapter we define discriminating codes, give some examples and show lower and upper bounds for the size of minimal discriminating codes, expressed in terms of the number of atributes of a given graph. In the third chapter we show the relation between discriminating and identifying codes in hypercubes. In the fourth chapter discriminating codes in trees are treated and linear time algorithm for finding a minimal discriminating code in a tree is given and ilustrated with an example. In the last chapter we describe all bipartite planar graphs without twins with a property, that for a given number of atributes they have the maximal number of individuals, and we show their relation with planar triangulations. Keywords: identifying code, discriminating code, bipartite graph, individual, atribute, hypercube, tree, algorithm, planar graph Math. Subj. Class. (2010): 94B60 theory of error-correcting and error-detecting codes, other types of codes, 05C70 combinatorics, graph theory, factorization, matching, covering and packing, 68Q17 computer science, theory of computing, computational difficulty of problems.
9 Kazalo 1 Uvod Osnove teorije grafov Kode v grafih Osnovno o diskriminatornih kodah v dvodelnih grafih 19 3 Povezava med identifikacijskimi in diskriminatornimi kodami v hiperkockah 34 4 Algoritem iskanja minimalne diskriminatorne kode v drevesu Poti Splošni primeri dreves Algoritem Diskriminatorne kode v dvodelnih ravninskih grafih 50 9
10
11 Poglavje 1 Uvod V uvodnem poglavju podamo osnovne pojme in nekaj primerov iz teorije grafov in teorije kod v grafih, ki jih potrebujemo pri naslednjih poglavjih. Več o kodah v grafih je možno izvedeti v knjigi [6]. 1.1 Osnove teorije grafov Graf G = (V (G), E(G)) sestavljata neprazna množica vozlišč V (G) in množica povezav E(G), kjer so povezave neurejeni pari vozlišč. Povezavo med vozliščema u in v označimo z uv in pravimo, da je v sosed vozlišča u. Dve povezavi ali več povezav, ki povezujejo isti par vozlišč, imenujemo vzporedne povezave. Povezava, ki povezuje neko vozlišče s samim sabo se imenuje zanka. Graf brez zank in večkratnih povezav imenujemo enostavni graf. V diplomskem delu so vsi obravnavani grafi enostavni. Naj bo v vozlišče grafa G, v V (G). Odprta soseščina vozlišča v je množica vseh vozlišč, ki so sosedna z vozliščem v, kar s simboli zapišemo N G (v) = {u V uv E(G)}. Stopnja vozlišča v je število povezav, ki vsebujejo v, kar označimo z deg (v). Graf H je podgraf grafa G, če je V (H) V (G) in E(H) E(G). Podgraf H grafa G je porojeni podgraf, če je H maksimalni podgraf na vozliščih V (H). Podgraf H grafa G je vpeti podgraf, če je V (H) = V (G). Sprehod v grafu G je zaporedje vozlišč v 1, v 2,..., v k za katere velja v i, v i+1 E(G) za i = 1, 2,..., k 1. Sprehod, v katerem so vse povezave med seboj paroma različne, imenujemo enostavni sprehod. Če so v enostavnem sprehodu vozlišča različna, potem sprehod imenujemo pot. Pot na vozliščih v 1, v 2,..., v n označimo s P n. Sprehod v 1, v 2,..., v k, za katerega velja v 1 = v k, imenujemo obhod. Če so v obhodu vse povezave in vsa vozlišča različna, potem ga imenujemo cikel. Cikel na vozliščih v 1, v 2,..., v n označimo s C n. Gozd je graf brez ciklov. Drevo je povezan graf brez ciklov. 11
12 Graf G je povezan, če obstaja pot med poljubnim parom vozlišč, sicer je nepovezan. Razdaljo d (v 1, v 2 ) med dvema vozliščema v 1, v 2 V v G definiramo kot število povezav na najkrajši poti med njima. Graf G je poln, če je vsak par različnih vozlišč povezan z natanko eno povezavo. Graf G je dvodelen, če lahko V (G) razbijemo na podmnožici X in Y, tako da ima vsaka povezava grafa G eno krajišče v X in drugo v Y. Graf G je dvodelni graf natanko tedaj, ko ne vsebuje lihih ciklov. Dvodelni graf G = (X Y, E(G)) je polni dvodelni graf, če je vsako vozlišče iz X sosedno z vsakim vozliščem iz Y. Primer dvodelnih grafov so tudi drevesa, hiperkocke, cikli s sodim številom vozlišč. X X K 2,2 = C 4 K 2,4 Y Y Slika 1.1: Polna dvodelna grafa Vozlišča n-dimenzionalne hiperkocke (n-kocke) so vsa zaporedja dolžine n sestavljena iz ničel in enic, dve vozlišči sta sosedni če se razlikujeta v natanko enem mestu. Označimo z Q n = (F n, E), F = {0, 1} in E = {{x, y} d H (x, y) = 1}, kjer je d H (x, y) razdalja med vektorjema x in y, sestavljena iz števila koordinat, v katerih se x in y razlikujeta. Tej razdalji rečemo Hammingova razdalja. Hiperkocke so dvodelni grafi, kjer eno particijo predstavljajo vozlišča s sodim številom enic, drugo particijo pa vozlišča s lihim številom enic. Hiperkocke predstavljajo najbolj raziskovan razred grafov znotraj teorije kodiranja, ker njihova vozlišča lahko označimo z binarnimi vektorji, ki se pojavljajo v teoriji kodiranja Slika 1.2: Prikazane so hiperkocke Q 1, Q 2, Q 3 Graf G je ravninski, če ga lahko narišemo v ravnini tako, da se nobeni njegovi povezavi ne sekata. Če je graf narisan v ravnini na tak način, potem tako risbo imenujemo ravninska vložitev oz. vložitev v ravnino. 12
13 K 4 Kocka Oktaeder Slika 1.3: Primeri ravninskih grafov K 3,3 K 5 Slika 1.4: Neravninska grafa Znan izrek Kuratowskega, pove, da je graf ravninski natanko tedaj, ko ne vsebuje podgrafa homeomorfnega K 5 ali K 3,3. Vsaka ravninska vložitev ravninskega grafa G razdeli ravnino na območja, ki jih imenujemo lica. Eno od teh lic je neomejeno, in ga imenujemo zunanje lice. Vozlišča in povezave, ki določajo posamezno lice imenujemo rob lica. Vozlišče z enim samim sosedom imenujemo list. Tetraeder Kocka L 2 Oktaeder L 2 L 3 L 4 L 1 L 1 L 3 L 5 L 6 L 4 L 5 L 6 L 3 L 4 L 1 L 2 L 7 L 8 Slika 1.5: Ravninski grafi na katerih so označena lica. Graf Tetraeder ima 4 lica, s številom 4 je označeno zunanje lice. Graf Kocka ima 6 lic, s številom 6 je označeno zunanje lice. Graf Oktaeder ima 8 lic, s številom 8 je označeno zunanje lice 13
14 Dolžina lica f, kar označimo z b(f), pomeni število povezav, ki omejujejo lice f. ravninski graf, kjer so vsa njegova lica sode dolžine je dvodelni ravninski graf. Vsak G f f 2 f Slika 1.6: Graf z lici f 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 8, b(f 1 ) = 6, f 2 = 5, 6, 7, 8, b(f 2 ) = 4 in f 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 8, b(f 3 ) = 8 G A 1 G B 1 A 3 A 4 B 3 B 4 A 2 B 2 Slika 1.7: Ravninski graf lahko dopušča nekaj različnih ravninskih vložitev, v katerih se lahko dolžine lic razlikujejo. V tem primeru velja b(a 1 ) = 8, b(a 2 ) = 4, b(a 3 ) = 4, b(a 4 ) = 8 in b(b 1 ) = 6, b(b 2 ) = 6, b(b 3 ) = 4, b(b 4 ) = 8. Ker je b(a 1 ) b(b 1 ) in b(a 2 ) b(b 2 ) je dolžina lic različna Ravninski graf G imenujemo maksimalen, če graf, ki ga dobimo iz grafa G z dodajanjem povezave med poljubnima vozliščema grafa G ni več ravninski. V tem primeru torej iz definicije sledi, da so vsa lica, tudi zunanje lice, dolžine tri. Takšne grafe zato imenujemo tudi ravninske triangulacije. Naslednja dva izreka sodita med osnovne ugotovitve o ravninskih grafih. Dokaz obeh izrekov najdemo v knjigi [7]. Izrek 1.1 (Eulerjeva formula) Naj bo G povezan ravninski graf z n vozlišči, e povezavami in f lici. Potem velja n - e + f = 2. (1.1) 14
15 Izrek 1.2 Ravninski graf z n 3 vozlišči ima kvečjemu 3n 6 povezav in kvečjemu 2n 4 lic. Enakost v obeh primerih velja natanko za ravninske triangulacije. Algoritem polinomske časovne zahtevnosti je algoritem pri katerem se število korakov ne veča nič hitreje kot polinomi, glede na vhodne podatke. Odločitveni problem je tak problem na katerega lahko odgovorimo bodisi pritrdilno ali ne pritrdilno. Za odločitveni problem rečemo, da spada v razred N P problemov, če lahko za poljubnega kandidata za njegovo rešitev odgovorimo pritrdilno v polinomskem času ali je kandidat rešitev problema. Odločitveni problem A je NP-poln, če velja: A je v razredu NP in vsak problem iz razreda NP se da prevesti na A v polinomskem času (učinkovito reševanje problema A ima za posledico učinkovito reševanje vseh problemov iz razreda N P ). Do danes še ni znano ali lahko NP -polne probleme rešimo v polinomskem času. Vsi do sedaj znani algoritmi so eksponentne časovne zahtevnosti, zaradi česar uvrstitev nekega problema v razred NP -polnih problemov velja kot kriterij o veliko težavnosti reševanja tega problema. 1.2 Kode v grafih Naj bo G = (V, E) graf. Neprazna množica vozlišč C iz V se imenuje koda. Vozlišče v V dominira ali pokriva vozlišče u, če je u N [v], kjer je N [v] = N (v) {v} (N [v] imenujemo tudi zaprta soseščina vozlišča v). Za množici C, C V, rečemo, da C dominira ali pokriva C, če so vsa vozlišča iz C dominirana z vozlišči iz C. Množica C V je dominacijska množica ali pokrivna koda grafa G, če C dominira množico vozlišč C. Vozlišče x separira par vozlišč u in v, če x dominira natanko eno izmed vozlišč u in v. Za množici C, C V, rečemo, da C separira C, če za vsak par vozlišč u in v iz C velja, da sta separirani z vsaj enim vozliščem iz C. Vozliščema u in v rečemo zaprta dvojčka (ali enostavno kar dvojčka 1 ), če sta njuni soseščini enaki, velja torej N [u] = N [v]. Množica C V je identifikacijska koda grafa G, če velja: (1) C je dominacijska množica od V (2) C separira V. Z drugimi besedami, za vsako vozlišče v V velja N [v] C, in za vsak par vozlišč u, v iz V je N [u] C N [v] C. 1 V naslednjem poglavju o diskriminatornih kodah bomo uporabili drugačno definicijo dvojčkov, kjer nas bo zanimala odprta soseščina. 15
16 Za identifikacijsko kodo C grafa G množico K C (v) = N [v] C imenujemo identifikacijska množica vozlišča v. Iz definicije identifikacijske kode sledi, da so vse identifikacijske množice K C (v) med seboj različne. To nam tudi da enostaven postopek, s katerim lahko poleg dominacije, preverimo ali je neka koda identifikacijska koda. V nadaljevanju si bomo tako pogosto pomagali s tabelami. Če je izpolnjen samo drugi pogoj iz definicije identifikacijske kode in so vsa vozlišča z izjemo enega dominirana, potem tako kodo imenujemo separirajoča koda. Zgled 1 Naj bo G graf z množico vozlišč V (G) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 }, in množico povezav E(G) = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 4 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 4 ), (v 4, v 5 )}, kot na sliki 1.8. v 1 G v 3 v 2 v 4 v 5 Slika 1.8: Črno obarvana vozlišča predstavljajo identifikacijsko kodo v grafu G Naj bo C = {v 1, v 3, v 5 }. V tabeli imamo v vrsticah vsa vozlišča grafa G, v stolpcu pa vozlišča, ki so v kodi C, krožec v i-ti vrstici in j-tem stolpcu pomeni, da velja v i N [v j ]. Podobno velja tudi za preostale tabele v nadaljevanju. v 1 v 1 v 3 v 5 v 2 v 3 v 4 v 5 Iz tabele je razvidno, da je koda C, minimalna identifikacijska koda, saj je C dominacijska množica in C separira vozlišča grafa G. Zlahka se tudi prepričamo, da potrebujemo vsaj tri vozlišča v kodi, če želimo dominirati in separirati množico 5 vozlišč. Pojem identifikacijske kode lahko posplošimo tako, da v definiciji namesto soseščine izberemo krogle z večjimi radiji. Krogla N r [v], z radijem r in s središčem v vozlišču v V, je množica vozlišč v G, ki so na razdalji kvečjemu r od v, kar označimo z N r [v] = {x V d(u, v) r}. Kadarkoli velja d (u, v) r, pravimo, da u in v r-pokrivata drug drugega. Vozlišče v r-pokriva sebe in vsa ostala vozlišča v krogli s središčem v in radijem 16
17 r. Množica vozlišč r-pokriva dano vozlišče, če jo pokriva vsaj eno vozlišče iz množice. Za vozlišče v V, se množica N r [v] C imenuje r-identifikacijska množica, označimo jo z K C,r (v) = N r [v] C. Dve vozlišči, ki imata različni r-identifikacijski množici imenujemo r-separirani. Koda C je r-identifikacijska koda, če so identifikacijske množice K C,r (v) za vse v V neprazne in različne. Če zahtevamo le nepraznost (enoličnost izpustimo), potem dobimo r- dominantne množice. Z M r (G) označimo moč najmanjše število elementov v r-identifikacijski kodi grafa G. Dvema posameznikoma rečemo r-dvojčka, če sta njuni soseščini z radijem krogle r enaki. Primer 2-dvojčkov imamo v drevesu, kjer imata dva lista skupnega soseda. V tem primeru sta krogli z radijem 2 in s središčema v teh listih enaki. Osnovno vprašanje je kateri grafi premorejo r-identifikacijske kode. Izrek 1.3 Naj bo G = (V, E) graf in r N. Graf G premore r-identifikacijsko kodo natanko tedaj, ko ne premore r-dvojčkov. Dokaz. Predpostavimo, da je N r [u] N r [v], za u, v V (G), u v. Torej velja N r [u] V (G) N r [v] V (G) in N r [u] V (G), za u V (G), saj je u N r [u] V (G). Množica vseh vozlišč grafa V (G) je torej v tem primeru r-identifikacijska koda grafa G. Naj velja N r [u] = N r [v], za vozlišči u, v V (G), u v. Potem je N r [u] C = N r [v] C, za poljubno kodo C. Torej r-identifikacijska koda v tem primeru ne obstaja. Če strnemo zgornji ugotovitvi v grafu G r-identifikacijska koda obstaja natanko tedaj, ko graf G ne premore r-dvojčkov. Iskanje r-identifikacijske kode je enakovredno iskanju identifikacijske kode v r-ti potenci grafa G. Kjer je r-ta potenca grafa G, definirana kot graf, ki ga označimo z G r, ki ima ista vozlišča kot graf G, pri čemer sta vozlišči v grafu G r v povezavi tedaj, ko sta na razdalji manjši ali enaki r v grafu G. Zgled 2 Naj bo podan 6-cikel na sliki 1.9. Na grafu C 6 bomo poiskali 2-identifikacijsko kodo. C 6 v 6 v 5 v 1 v 4 v 2 v 3 Slika 1.9: Graf 6-cikel C 6 17
18 Poglejmo si drugo-potenco grafa C 6, ki jo označujemo s C6 2. Kot smo povedali zgoraj je iskanje 2-identifikacijske kode v grafu C 6 enakovredno iskanju identifikacijske kode v grafu C6 2. Na enostaven način se lahko prepričamo, da graf C2 6 na sliki 1.10 ne premore dvojčkov. Torej tudi graf C 6 ne premore 2-dvojčkov. v 6 v 5 v 1 v 4 v 2 v 3 Slika 1.10: Graf C 2 6, ki ga dobimo tako, da v grafu C 6 dodamo povezave med vozlišči, ki so na razdalji kvečjemu 2 v 6 v 5 v 1 v 4 v 2 v 3 Slika 1.11: Graf C 2 6, v katerem so črna vozlišča v identifikacijski kodi V grafu C6 2 velja, da lahko vozlišča razdelimo na tri pare, kjer sta vozlišči v posameznem paru ne-sosedni vozlišči, sicer pa so vsa ostala vozlišča med seboj sosedna. Iz tega sledi, da mora potem iz vsakega para biti vsaj eno vozlišče v identifikacijski kodi, sicer vozlišči iz istega para ne bi bili separirani. Nadalje velja, da za vsako vozlišče iz kode potrebujemo, zato, da bo separirano od preostalih vozlišč v kodi, vozlišče iz pripadajočega para. potrebujemo za vsak par, razen enega para, ki pa je edini par, v katerem je eno vozlišče v kodi drugo pa izven kode. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Iz tabele se lahko prepričamo, da taka množica zadostuje obema pogojema iz definicije identifikacijske kode. Torej smo našli identifikacijsko kodo za graf C6 2, kar pa hkrati predstavlja 2-identifikacijsko kodo za graf C 6, torej velja M 2 (6) = 5. To 18
19 Poglavje 2 Osnovno o diskriminatornih kodah v dvodelnih grafih V tem poglavju, najprej podamo osnovne definicije povezane z diskriminatornimi kodami in nekaj primerov. Potem določimo zgornjo in spodnjo mejo za moč najmanjše diskriminatorne kode, glede na število vozlišč danega grafa. Naj bo G = (V = P A, E) povezan, enostaven in neusmerjen dvodelni graf in E {{p, a} p P, a A}, kjer s P označujemo množico posameznikov, z A pa množico atributov oz. lastnosti. 1. Koda C je neprazna podmnožica A. Za vsak element p P, označimo s K C (p) = N (p) C množico vozlišč iz A, ki so iz kode in sosede vozlišča p. Za vozlišči p in t s K C (p) K C (t) rečemo, da sta diskriminirani s kodo C. Definicija 1 Podmnožici C množice A rečemo diskriminatorna koda grafa G, če velja: (1) p P : N(p) C in (2) p t P : N(p) C N(t) C. C je torej diskriminatorna, če so vse množice K C (p), p P, neprazne in različne. drugimi besedami, vsa vozlišča v množici P so diskriminirana in pokrita s C. Motivacija za takšno definicijo izvira iz primera, ko množici P in A predstavljata množico posameznikov in množico lastnosti (atributov), kjer ima posameznik iz množice P določene lastnosti iz množice A in bi radi diskriminirali posameznike na podlagi določenih lastnosti. Diskriminatorne kode so v tesni sorodnosti z identifikacijskimi kodami, kot bomo videli v nadaljevanju. Z D 1 (G) označimo število elementov v najmanjši diskriminatorni kodi grafa G. 1 Zaradi splošne in pogoste uporabe besede lastnost, bomo v tem delu raje uporabljali tujko atribut z namenom lažje razumljivosti besedila. Medtem ko se beseda lastnost nanaša na poljubno značilnost nekega pojma, z besedo atribut vedno mislimo na element nekega dvodelnega grafa, katerega množico vozlišč delimo na množico posameznikov in množico atributov. Z 19
20 Zgled 3 Na osnovni šoli so naključnih deset učencev 8. razreda vprašali s katerimi športi se ukvarjajo. Igor je rekel, da trenira nogomet in košarko. Alenka hodi na ples in trenira rokomet, odbojko in tenis. Tadej trenira nogomet in smučanje. Nina trenira košarko in tenis. Robi trenira nogomet, kolesarstvo in tenis. Karmen trenira plavanje, smučanje, ples in šah. Ivan trenira ples in košarko. Mateja trenira nogomet in ples. Mitja trenira košarko in smuča. Tina trenira tenis in smučanje. V množico posameznikov spadajo vsi anketirani učenci: Igor, Alenka, Tadej, Nina, Robi, Karmen, Ivan, Mateja, Mitja in Tina. V množico atributov pa spadajo vsi športi s katerimi se ukvarjajo učenci: nogomet, rokomet, košarka, kolesarstvo, odbojka, smučanje, plavanje, tenis, ples in šah. Z dvodelnim grafom to lahko prikažemo kot na sliki 2.1, kjer dodamo povezavo med posameznikom in atributom tedaj, ko določeni posameznik premore določeni atribut. POSAMEZNIKI Igor Alenka Tadej Nina Robi Karmen Ivan Mateja Mitja Tina G ATRIBUTI NOGOMET ROKOMET KOŠARKA KOLESARSTVO ODBOJKA SMUČANJE PLAVANJE TENIS PLES ŠAH Slika 2.1: Dvodelni graf za primer iz zgleda 3 V diskriminatorno kodo vključimo atribute: nogomet, košarka, smučanje, tenis. Velja torej D 1 (G) = 4. V nadaljevanju bomo dokazali spodnjo mejo za minimalno diskriminatorno kodo glede na število posameznikov. 20
21 S pomočjo tabele, se lahko prepričamo, da imajo vsi posamezniki različne atribute. Nogomet Košarka Smučanje Tenis Igor Alenka Tadej Nina Robi Karmen Ivan Mateja Mitja Tina Če povemo, da se oseba ukvarja samo s tenisom, potem je to Alenka. Podobno lahko na podlagi hobijev diskriminiramo ostale osebe. Za p P definirajmo N r (p) = {a A d(p, a) r}. Koda C A je r-diskriminatorna, r je liho število, če so množice K C,r (p) = N r (p) C, neprazne in različne. Dvema posameznikoma, p, t, rečemo r-dvojčka, če velja N r (p) = N r (t). v 4 v 1 v2 v 3 Slika 2.2: Vozlišči v 1 in v 3 imata isto odprto soseščino, to je vozlišče v 2, zato sta dvojčka Izrek 2.1 Za dan dvodelni graf G = (P A, E) obstaja r-diskriminatorna koda C A natanko tedaj, ko velja: p, t P (p t), N r (p) N r (t). Dokaz. Če sta N r (p) in N r (t) različna za vse p, t P, potem je C = A diskriminatorna. Nasprotno pa, če sta N r (p) in N r (t) enaka za nekatere p, t P, potem velja za katero koli kodo C A K C,r (p) = K C,r (t). Dvodelni graf premore vsaj eno diskriminatorno kodo natanko tedaj ko nima dvojčkov. 21
22 Zgled 4 Na grafu G iz slike 2.3 želimo poiskati najmanjšo 3-diskriminatorno kodo. POSAMEZNIKI G ATRIBUTI a 1 a 2 p 2 a 3 p 3 a 4 a 5 Slika 2.3: Dani graf ima 3 posameznike in 5 atributov Podobno kot v primeru iskanja r-identifikacijskih kod, si lahko tudi tukaj pomagamo z r-to potenco grafa, vendar za razliko od običajne potence dodajamo samo povezave med posamezniki in atributi, ki so na razdalji kvečjemu r. G 3 ATRIBUTI POSAMEZNIKI a 1 a 2 p 2 a 3 p 3 a 4 a 5 Slika 2.4: V grafu G 3 dodamo povezavam iz grafa G še povezave med posamezniki in atributi, ki so na razdalji kvečjemu tri 22
23 S pomočjo tabele se zlahka prepričamo, da je množica C = {a 1, a 5 } minimalna diskriminatorna koda. a 1 a 5 p 2 p 3 Za prvoten graf G je torej C minimalna 3-diskriminatorna koda, velja torej D 3 (G) = 2. V kolikor ni drugače rečeno naj bodo v nadaljevanju vsi grafi, ki jih bomo obravnavali, dvodelni grafi brez dvojčkov. Lema 2.2 Diskriminatorna koda C A je minimalna glede na vključitev natanko tedaj, ko velja: c C, p, t P : (N(p) C) (N(t) C) = {c}, ali k P : N(k) C = {c}, kjer predstavlja simetrično razliko množic 2. Dokaz. Če je pogoj iz Leme (2.2) izpolnjen, potem odstranitev poljubnega atributa iz C vodi do kode, ki ni več diskriminatorna: dva posameznika p in t bodisi nista več separirana ali pa koda več ne pokriva množice A. Če pogoj iz leme (2.2) ni izpolnjen za nekatere c 0 C, potem je C\ {c 0 } še vedno diskriminatorna koda. Problem diskriminatorne kode lahko prikažemo z binarno matriko: A = (a ij ), kjer vrstice predstavljajo posameznike in stolpci atribute, v primeru, da ima posameznik i atribut j potem velja a ij = 1, sicer je a ij = 0. Binarna matrika predstavlja diskriminatorno kodo, če stolpci inducirajo podmatriko z ne ničelnimi vrsticami in s samimi različnimi vrsticami. Lema 2.3 Naj C predstavlja število vrstic podmatrike C matrike A, ki predstavlja kodo C in P število stolpcev, ki predstavljajo posameznike. Če je diskriminatorna koda C A minimalna koda glede na vključitev, potem so vrstice C linearno neodvisne, torej velja C = rank(c) rank(a). Iz tega sledi C P. 2 A B = ( (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) 23
24 Dokaz. Po lemi 2.2 obstajata za poljubno vrstico c iz C, stolpca p, t iz A, ki se razlikujeta natanko v c, ali pa obstaja stolpec k v C, katerega edini neničelni element je v vrstici c. Poljubna kombinacija vrstic, ki vključujejo c, vodi torej k ne ničelni konfiguraciji v stolpcih p, t ali v stolpcu k. Neenakost sledi, saj velja rank(c) rank(a) P. Ugotovili smo, da nikoli ne potrebujemo več atributov kot je posameznikov, da bi diskriminirali vse posameznike. Če v definiciji diskriminatorne kode spustimo pogoj o nepraznih množicah K C (p) in dovolimo za kvečjemu en element t, da je K C (t) prazna, dobimo definicijo separirajoče kode. Naslednja lema se dokaže na povsem enak način kot lema 2.2. Lema 2.4 Separirajoča koda C A je minimalna glede na vključitev natanko tedaj, ko velja: c C, p, r P : (N(p) C) (N(r) C) = {c}. Za minimalno separirajočo kodo C definiramo graf H(G, C) na sledeči način: H(G, C) ima za vozlišča množico posameznikov P in za vsak element c C bomo dodali natanko eno povezavo med p in t, kjer velja (N(p) C) (N(t) C) = {c} in to povezavo označili s c. Pri tem je potrebno omeniti, da v splošnem graf H(G, C) ni enolično določen. Zgled 5 Naj bo podan graf kocke Q 3. Posamezniki naj bodo vektorji z lihim številom enic in atributi vektorji s sodim št. enic. V kodi so trije vektorji {000, 101, 110}, po vrsti jih označimo z imeni a, b, c, kot na sliki 2.5. Vektor 111 pokrivata vektorja b in c, vektor = a = b = c Slika 2.5: Primer dvodelnega grafa Q 3 in kode C = {a, b, c} pokrivata vektorja a in c, vektor 001 pokrivata vektorja a in b, vektor 100 pokrivajo vektorji a, b in c. 24
25 Pri tem velja: K C (111) K C (100) = {a} K C (010) K C (100) = {b} K C (001) K C (100) = {c} Grafu H(G, C) smo dodali povezavo med vozliščema 111 in 100 in jo označili z a, povezavo a 100 c b 010 Slika 2.6: Graf H(Q 3, C) med vozliščema 010 in 100 in jo označili z b, povezavo med vozliščema 001 in 100 in jo označili s c. Lema 2.5 Za separirajočo kodo C, ki je minimalna za vključitev velja C P 1. Dokaz. Želimo dokazati, da graf H(G, C) ne premore cikla. Predpostavimo nasprotno, torej, da v grafu imamo cikel. Recimo, p 2,..., p k,, kjer so povezave {p i, p i+1 }, 1 i k 1 označene s kodnimi elementi c i in povezavo {p k, } označimo s c k. Kar pomeni (N(p i ) C) (N(p i+1 ) C) = {c i } in (N(p k ) C) (N( ) C) = {c k } p k c k c 1 p 2 c 2 p 3 Slika 2.7: Prikaz cikla 25
26 Brez izgube za splošnost predpostavimo, da velja za povezavo c 1 med vozliščema, p 2 : c 1 (N( ) C), c 1 / (N(p 2 ) C). Ker c 1 c 2 in {c 2 } = (N(p 2 ) C) (N(p 3 ) C), c 1 tudi ne pripada N(p 3 ) C. Z istimi argumenti velja da c 1 / (N(p 4 ) C),..., c 1 / (N(p k ) C). Z istim argumentom sledi, da tudi c 1 / (N( ) C). To pa je protislovje s prvotno predpostavko. Torej graf H(G, C) nima ciklov, torej je graf H(G, C) gozd. Za vsak gozd pa velja, da je število povezav kvečjemu enako n 1, kjer je n število vozlišč. S tem je lema 2.5 dokazana. V nadaljevanju se posvetimo spodnjim mejam. Naj bo G = (V = P A, E) dvodelen graf in naj bo C diskriminatorna koda v G. Iz C kodnih elementov lahko dobimo največ 2 C 1 različnih in nepraznih kombinacij. Iz tega potem sledi: P = 2 C 1 P + 1 = 2 C log 2 (P + 1) = log 2 (2 C ) log 2 (P + 1) = C. S tem smo pokazali spodnjo mejo za moč minimalne diskriminatorne kode za dvodelni graf s P posamezniki, C log 2 ( P +1). Ta meja je lahko dosežena naprimer z grafom, kjer ima množica atributov A n elementov, množica posameznikov P pa ima 2 n 1 elementov, ki predstavljajo neprazne podmnožice množice {1, 2,..., n} in je atribut a k v povezavah s podmnožicami, ki vsebujejo k. Naj bo α max = max{deg(a) a A} in α min = min {deg(a) a A}. Če je α max = α min = α, rečemo, da je G atributno-regularen graf stopnje α. Lema 2.6 Naj bo C diskriminatorna koda v dvodelnem grafu G. Potem velja Za atributno-regularen graf G stopnje α, velja { } 2 P C max α max + 1, 2 P. (2.1) P α min + 2 { } 2 P C max α + 1, 2 P. (2.2) P α + 2 Dokaz. Ker je C diskriminatorna koda v grafu G, je lahko z natanko enim atributom iz kode pokritih največ C posameznikov, ostali posamezniki so lahko pokriti z vsaj dvema atributoma iz kode. Torej velja C α max 1 C + 2 ( P C ), iz česar sledi C 2 P α max + 1. (2.3) 26
27 Podoben argument za separirajočo kodo D vodi do D α max D + 2 ( P D 1), ali: D 2 P 2 α max + 1. (2.4) Naj bo v nadaljevanju podan dvodelni graf G = (V = P A, E), kjer je P = P {p}, graf G dobimo iz grafa G tako da preprosto dodajamo posameznika p. Koda C je separirajoča koda v grafu G in zato tudi v dvodelnem komplementarnem grafu G 3 vključuje P + 1 posameznikov in ima maksimalno stopnjo P +1 α min. Z uporabo neenakosti (2.4) dobimo: C iz tega skupaj z neenakostjo (2.3) dobimo neenakost (2.1). 2 P P α min + 2, (2.5) Neenakost (2.3) je dosežena na primeru grafa iz slike (2.8) to so, grafi z 2i vozlišči, P = {p k 1 k i}, A = {a k 1 k i}, E = {{p k, a k } 1 k i}, pri tem je α max = α min = α = 1 in C = A je edina diskriminatorna koda, moči P. a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p k a k Slika 2.8: Primer grafa popolnega prirejanja 3 Z dvodelnim komplementarnim grafom grafa G mislimo na dvodelni graf G, ki ima enako množico vozlišč kot graf G, vozlišči pa sta v povezavi v grafu G natanko tedaj, ko nista v povezavi v grafu G. 27
28 Zgled 6 V tem zgledu bomo uporabili lemo 2.3. Fanovo konfiguracijo sestavlja sedem posameznikov 1,2,3,4,5,6,7 in sedem atributov a,b,c,d,e,f,g. Posameznik ima atribut natanko tedaj, ko posameznik pripada premici označeni z atributom, kot je prikazano na sliki c a 3 e b 7 g f 6 4 d 5 2 Slika 2.9: Fanova konfiguracija, odebeljene povezave predstavljajo kodne elemente v minimalni 1-diskriminatorni kodi Konfiguracijo lahko predstavimo z incidenčno matriko A, v kateri so stolpci označeni kot točke konfiguracije in označeni od 1 do 7, vrstice pa označene kot premice konfiguracije označena s črkami od a do g: a b c d = A e f g Fanovi konfiguraciji priredimo še dvodelni graf, kjer množico vozlišč predstavljata particiji točk in premic konfiguracije. Povezave so med točkami in med premicami natanko tedaj, če točka leži na premici oz. premica vsebuje točko. Ta graf ima 14 vozlišč in 21 povezav in je znan tudi pod imenom Heawoodov graf. V splošnem tako prirejenemu dvodelnemu grafu konfiguracije rečemo Levijev graf. 28
29 g 1 a a b 7 b 3 c f 3 4 d 6 c 5 e e 5 d f g Slika 2.10: Heawoodov graf kot Levijev graf Fanove konfiguracije, predstavljen na dva različna načina Lema 2.7 V Fanovi konfiguraciji je poljubna minimalna 1-diskriminatorna koda velikosti 4. Dokaz. Naj bo C minimalna diskriminatorna koda v Fanovi konfiguraciji. Naj F 2 označuje polje z elementoma {0, 1}, pri tem zlahka preverimo, da je F 2 rank incidenčne matrike A Fanove konfiguracije 4. Po lemi 2.3 sledi, da velja C 4. Po drugi strani pa lahko uporabimo neenakost (2.2), kjer je z α = 3, iz česar sledi C = 4. Torej je minimalna 1-diskriminatorna koda moči 4. Primer take kode je recimo množica {a, b, f, g}. V nadaljevanju si poglejmo kompleksnost reševanja problema iskanja najmanjše diskriminatorne kode. Za poljuben graf G tvorimo dvodelni graf G na sledeči način: P = V, A = {B 1 (v) v V }, E = {{p, B 1 (v)} p B 1 (v), v V }. Graf G imenujemo tudi graf pripadnosti 1-kroglam grafa G. Zgled 7 Na sliki 2.11 je podan graf G = K 1,3. V nadaljevanju bomo konstruirali dvodelni graf G glede na definicijo. G v 4 v 1 v2 v 3 Slika 2.11: Graf G, kjer so vozlišča v 1, v 3, v 4 v identifikacijski kodi 29
30 V grafu G imamo množico posameznikov P = {v 1, v 2, v 3, v 4 }, množico atributov A = {B 1 (v 1 ), B 1 (v 2 ), B 1 (v 3 ), B 1 (v 4 )}, s kroglami B 1 (v 1 ) = {v 1, v 2 }, B 1 (v 2 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4 }, B 1 (v 3 ) = {v 2, v 3 }, B 1 (v 4 ) = {v 2, v 4 } in množico povezav E(G) = {{v 1, B 1 (v 1 )}, {v 1, B 1 (v 2 )}, {v 2, B 1 (v 1 )}, {v 2, B 1 (v 2 )}, {v 2, B 1 (v 3 )}, {v 2, B 1 (v 4 )}, {v 3, B 1 (v 2 )}, {v 3, B 1 (v 3 )}, {v 4, B 1 (v 2 )}, {v 4, B 1 (v 4 )}}. Graf G je prikazan na sliki G v 1 v 2 B 1 (v 1 ) B 1 (v 2 ) v 3 B 1 (v 3 ) v 4 B 1 (v 4 ) Slika 2.12: Graf G, kjer vozlišča B 1 (v 1 ), B 1 (v 3 ), B 1 (v 4 ) tvorijo minimalno diskriminatorno kodo Pri tem opazimo, da diskriminatorna koda v G ustreza identifikacijski kodi v G in obratno, da identifikacijska koda v G ustreza diskriminatorni kodi v G. S tabelo za graf G si to predstavljamo takole: v 1 v 1 v 3 v 4 v 2 v 3 v 4 V vrsticah imamo vsa vozlišča, v stolpcu pa atribute, ki so v kodi. S tabelo za graf G si to predstavljamo takole: v 1 B 1 (v 1 ) B 1 (v 3 ) B 1 (v 4 ) v 2 v 3 v 4 V vrsticah imamo vsa vozlišča, v stolpcu pa atribute, ki so v kodi. Velja torej M 1 (G ) = 3 in D 1 (G) = 3. Pojem grafa pripadnosti 1-kroglam lahko posplošimo za poljuben r, r 2, s pojmom grafa pripadnosti r-kroglam: 30
31 P = V, A = {B r (v) v V }, E = {{p, B r (v)} p B r (v), v V }. V nadaljevanju bomo dokazali splošnejšo trditev za r-identifikacijske in r-diskriminatorne kode. Da bi se izognili dvoumnosti pri proučevanju grafov G = (V = P A, E) in G = (V, E ), bomo uporabili zapis d G (x 1, x 2 ) za razdaljo med vozliščema x 1, x 2 V in d G (y 1, y 2 ) za razdaljo med vozliščema y 1, y 2 V. Oznako B r (x) bomo uporabljali le za vozlišča iz množice P V. Izrek 2.8 Sledeč odločitveni problem je NP-poln problem: Ime: r-diskriminacija (r-disk). Primer: Dvodelni graf G = (V = P A, E), celo število k. Vprašanje: Ali obstaja r-diskriminatorna koda C A moči kvečjemu k? Dokaz. Najprej vidimo, da r-disk pripada kompleksnemu razredu NP, saj za dano množico C A zlahka v polinomskem času, z ozirom na število vozlišč grafa G, preverimo ali je C r-diskriminatorna koda ustrezne velikosti. Nato naslednji NP-poln problem polinomsko pretvorimo do problema r-disk: Ime: r-identifikacija (r-id). Primer: Graf G = (V, E ), celo število k. Vprašanje: Ali obstaja v grafu G r-identifikacijska koda moči kvečjemu k? Pri tem velja k = k. V članku [5] je dokazano, da problem r-id spada med NP-polne probleme. Pretvorba je polinomske časovne zahtevnosti z ozirom na velikost primera (G, k ) ne glede na parameter r. Trdimo, da obstaja v grafu G r-identifikacijska koda kvečjemu enaka k natanko tedaj, ko obstaja v G r-diskriminatorna koda kvečjemu enaka k. To bo neposredna posledica sledečega dejstva (r je lih): x, v V = P, d G (x, B 1 (v)) r d G (x, v) r. (2.6) Naj v grafu G obstaja pot x, u 1, v 1, u 2, v 2,..., u t, v t, B 1 (v) z 2t+2 r+1, u i A in v j P. Za vozlišče u i = B 1 (z i ), z i V ima obstoj poti x, z 1, v 1, z 2, v 2,..., z t, v t, v v grafu G ima za posledico, da velja d G (x, y) d G (x, B 1 (v)) r. Primer je podan na sliki 2.13, s potjo med vozliščem x in vozliščem B 1 (v) v grafu G za primer n = 3. 31
32 G P A x u 1 = B 1 (z 1 ) v 1 u 2 = B 1 (z 2 ) v 2 u 3 = B 1 (z 3 ) v 3 B 1 (v) G z 2 x v 1 v 2 v 3 z 1 z 3 v Slika 2.13: Pot v grafu G na 8 vozliščih in njegova ustrezna pot v G Dokažimo še v drugo stran. Predpostavimo, da v G obstaja pot x, z 1, z 2,..., z t, v, z t+2 r+1. Upoštevajmo, da je t lih, potem je t r 2, ker je r lih. Če je t sod, potem v G obstaja pot x, B 1 (z 1 ), z 2,..., z t 2, B 1 (z t 1 ), z t, B 1 (v), ki ima kvečjemu t + 2 vozlišč, t r 1. Če je t lih, potem v G obstaja pot x, B 1 (z 1 ), z 2,..., B 1 (z t 2 ), z t 1, B 1 (z t ), (z t ), B 1 (v), ki ima kvečjemu t + 3 vozlišč, z t r 2. Tako je v obeh primerih d G (x, B 1 (v)) r. To je ponazorjeno na sliki 2.14, s potema na 6 in 5 vozlišč v G za primer n = 3, 4. G G x z 1 z 2 z 3 z 4 v x z 1 z 2 z 3 v G P A G P A x B 1 (z 1 ) x B 1 (z 1 ) z 2 B 1 (z 3 ) z 2 B 1 (z 3 ) z 4 B 1 (v) z 3 B 1 (v) Slika 2.14: Pot v grafu G na 6 in 5 vozliščih in njuna ustrezna pot v G 32
33 Sedaj lahko dokažemo, da v G obstaja r-identifikacijska koda C kvečjemu enaka k natanko tedaj, ko v G obstaja r-diskriminatorna koda C kvečjemu enaka k. Če C obstaja, vzamemo C = {B 1 (v) v C } A. Ker je poljubno vozlišče x V oddaljeno za največ r od v C, z uporabo lastnosti 2.6 dobimo d G (x, B 1 (v)) r, za vse x P. Prav tako, za poljubni vozlišči x, y V, obstaja v C tako, da velja d G (x, v) r in d G (y, v) > r, vozlišče v r-separira elementa x in y, kar sledi iz lastnosti 2.6 in dejstva, da za vse x, y P obstaja B 1 (v) iz A, tako da velja d G (x, B 1 (v)) r in d G (y, B 1 (v)) > r. To dokazuje, da je C r-diskriminatorna koda grafa G, ki ima kvečjemu k = k elementov. Predpostavimo, da imamo r-diskriminatorno kodo C A v G. Potem obstaja C V, pri čemer velja, da je C = {B 1 (v) v C }. Trdimo, da je C r-identifikacijska koda v grafu G. Poljubno vozlišče x P je oddaljeno za največ r od B 1 (v) C. Iz lastnosti 2.6 sledi, da je za vse x V obstaja v C tako, da velja d G (x, v) r. Prav tako za poljubni vozlišči x, y P obstaja B 1 (v) C tako, da velja d G (x, B 1 (v)) r in d G (y, B 1 (v)) > r. Z uporabo lastnosti 2.6 sledi, da za vse x, y V obstaja v C, tako da velja d G (x, v) r in d G (y, v) > r. To dokazuje, da je C r-identifikacijska koda v grafu G. S tem smo pokazali, da če znamo učinkovito rešiti problem r-disk, znamo učinkovito rešiti problem r-id. Ker pa je pokazano v članku [5], da problem r-id pripada razredu NP-polnih problemov, potem tudi problem r-disk pripada razredu NP-polnih problemov. 33
34 Poglavje 3 Povezava med identifikacijskimi in diskriminatornimi kodami v hiperkockah Za binarni vektor x F n je Hammingova teža definirana kot razdalja do ničelnega vektorja, torej kot število njegovih neničelnih koordinat. Za vektor rečemo, da je sod (oziroma lih), če je njegova teža soda (oziroma liha). Z E n (oziroma O n ) označimo množico 2 n 1 sodih (oziroma lihih) vektorjev v F n. Za problem r-diskriminatorne kode izberemo zaradi simetričnosti, brez izgube za splošnost kot množico atributov A množico E n in kot množico posameznikov P množico O n. Vsoto dveh vektorjev definiramo po koordinatah, kjer seštevamo po modulu Slika 3.1: Kocka Q 4 34
35 Z 0 n (oziroma 1 n ) označimo ničelni vektor dolžine n (oz. vektor samih enic dolžine n). Definiramo funkcijo π : F n {0, 1}, kjer za x F n velja π(x) = 0, če je x sodi vektor in π(x) = 1, če je x lihi vektor. Naj predstavlja konkatenacijo oz. lepljenje vektorjev 1, glede na definicijo funkcije π(x) je x π(x) vedno sodi vektor. Za množico X F n 1 in množico Y F n 2 definirajmo direktno vsoto kot množico X Y = {x y F n 1+n 2 x X, y Y }. Zgled 8 Poglejmo si primer 1-identifikacijske kode in 1-diskriminatorne kode na kockah Q 3 in Q 4 Na kocki Q 3 poiščemo 1-identifikacijsko kodo.splošna spodnja meja da C log 2 ( P + 1) = 3, torej potrebujemo vsaj 3 vozlišča v kodi. Ne moremo pa imeti enega izoliranega vozlišča v kodi in dveh sosednih vozlišč, ker bi potem imeli dvojčka. Ne moremo pa imeti treh izoliranih vozlišč v kodi, ker potem vsaj eno ne bi bilo separirano z vozliščem iz nekode. Zato potrebujemo vsaj 4 vozlišča v kodi, kar pa tudi zadošča. Na primer koda C = {000, 001, 101, 100} je identifikacijska koda grafa Q Slika 3.2: 1-identifikacijska koda v grafu Q 3 S tabelo, si to lažje predstavljamo na sledeči način, kjer imamo v vrsticah vsa vozlišča grafa Q 3, v stolpcih pa vsa vozlišča, ki so v kodi: Primer konkatenacije dveh binarnih vektorjev: a = 101, b = a b = = 35
36 Dodamo en bit na koncu vsakega binarnega vektorja glede na vrednost funkcije π. Naredili bomo novo tabelo, v kateri bodo v vrsticah lihi vektorji grafa Q 4, v stolpcu pa vektorji iz kode C = {0000, 0011, 1010, 1001}, ki jo dobimo iz kode C tako, da vektor c C nadomestimo z vektorjem c π(c) S pomočjo tabele se lahko prepričamo, da je to res 1-diskriminatorna koda grafa Q 4. Pri tem velja D 1 (Q 4 ) = M 1 (Q 3 ). V nadaljevanju pokažemo splošnejši izrek, ki nam pove, da je podobna konstrukcija uporabna tudi v splošnem in da smo v zgornjem primeru dobili optimalno diskriminatorno kodo. Izrek 3.1 Za n 2 in p 0, kjer je 2p + 1 < n, velja D 2p+1 (Q n+1 ) = M 2p+1 (Q n ). Dokaz izreka 3.1 bomo razdelili v dokazovanje dveh lem, kjer bomo dokazali, da za poljubno liho število r 1, lahko poljubno r-identifikacijsko kodo v F n pretvorimo v r-diskriminatorno kodo v F n+1 in poljubno r-diskriminatorno kodo v F n lahko pretvorimo v r-identifikacijsko kodo v F n 1 in pri tem ohranimo velikost kode. Lema 3.2 Naj bosta n 2, p 0 taka, da velja 2p + 1 < n. Naj bo C F n (2p+1) identifikacijska koda in naj bo C = {c π(c) c C}. Potem je C (2p+1) diskriminatorna koda v F n+1. Pri tem velja D 2p+1 (Q n+1 ) M 2p+1 (Q n ). Dokaz. Naj bo r = 2p+1. Koda C vsebuje le sode vektorje. Dokazali bomo: (a) poljuben lihi vektor x O n+1 je r-pokrit z vsaj enim vektorjem iz C in (b) za poljubna dva različna vektorja x, y O n+1 obstaja vsaj en vektor iz kode v C, ki ju r-separira. 36
37 (a) Naj bo x = x 1 x 2, pri čemer x 1 F n, x 2 F. Ker je C r-identifikacijska koda v F n, potem obstaja vektor c C, da velja d(x 1, c) r. Naj bo c = c π(c). Če je d(x 1, c) r 1, potem, za poljubni vrednosti x 2 in π(c), velja d(x, c ) r 1+1 = r. Nadalje predpostavimo, da je d(x 1, c) = r = 2p + 1, ker je r lih, iz tega sledi, da sta x 1 in c različnih parnosti(eden je lih, drugi pa sod). Ker smo na začetku dokaza predpostavili, da je x iz množice lihih vektorjev, c pa je vedno iz množice sodih vektorjev, imata različne parnosti tudi x 1 x 2 in c π(c). Ker pa sta x 1 in c tudi različnih parnosti, morata biti novi koordinati enaki, da oba še naprej ostaneta različnih parnosti, torej je x 2 = π(c), kar pa pomeni, da to ne vpliva na razdaljo med x in c zato sledi d(x, c ) = r. Torej c C r-pokriva vektor x. (b) Naj bodo x = x 1 x 2, y = y 1 y 2, pri čemer velja x 1, y 1 F n in x 2, y 2 F. Ker je C r-identifikacijska koda v F n, obstaja vektor c C na razdalji r do vektorja x 1 in strogo večji razdalji do vektorja y 1, torej d(x 1, c) r in d(y 1, c) > r. Naj bo c = c π(c). Vektor x je prav tako na razdalji r do vektorja c medtem, ko velja d(y, c ) d(y 1, c) > r, saj novi bit ne more zmanjšati razdalje med vektorjema. Torej vektor c r-separira vektorja x in y. Lema 3.3 Naj bosta n 3, p 0 taka, da velja 2p + 2 < n. Naj bo C E n (2p+1)- diskriminatorna koda in naj bo C F n 1 koda, dobljena z odstranitvijo poljubne fiksne koordinate vsem vektorjem iz C. Potem je C (2p+1)-identifikacijska koda v F n 1. Pri tem velja M 2p+1 (Q n 1 ) D 2p+1 (Q n ). Dokaz. Naj bo r = 2p+1. Naj bo C E n r-diskriminatorna koda in naj bo C F n 1 koda dobljena z odstranitvijo zadnje koordinate v C. Dokazali bomo (a) poljuben vektor x F n 1 je r-pokrit z vsaj enim vektorjem iz C in (b) za poljubna dva različna vektorja x, y F n 1 obstaja vsaj en atribut iz C, ki ju r-separira. (a) Vektor x (π(x) + 1) F n je lih. Kot tak je r-pokrit z vektorjem c = c u C E n, c C, u = π(c ) in d(x (π(x) + 1), c) r, saj se z brisanjem ene koordinate razdalja ne more povečati, ampak ostane kvečjemu enaka. To dokazuje, da je vektor x na razdalji r do vsaj enega vektorja iz kode C. (b) Vektorja x (π(x) + 1) in y (π(y) + 1) sta liha vektorja v F n. Obstaja vektor c = c u C E n, c C, u = π(c ), ki ju r-separira. Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo, da velja d(x (π(x) + 1), c) r in d(y (π(y) + 1), c) > r. Ker je r liho število je torej d(y (π(y) + 1), c) r + 2. Potem je očitno d(x, c ) r, ker se s krajšanjem vektorja oz. brisanjem zadnje koordinate ne more povečati razdalja. Če se že zmanjša, se zmanjša za kvečjemu 1, iz česa pa sledi d(y, c ) r +2 1 = r +1 ali drugače povedano, obstaja atribut iz C, ki r-separira x in y. 37
38 Izbira zadnje koordinate pri tem ne igra nobene vloge, zato lahko enak dokaz uporabimo tudi za primere, ko odstranimo poljubno fiksno koordinato. 38
39 Poglavje 4 Algoritem iskanja minimalne diskriminatorne kode v drevesu Naj bo T = (V = P A, E) drevo z n vozlišči in brez dvojčkov. List l V je vozlišče z enim samim sosedom, ki ga označimo z n(l). Če je l P, potem je n(l) A in ni nobenega drugega lista katerega sosed je n(l), saj je T brez dvojčkov. Opazimo lahko tudi, da za list l A velja, da je n(l) P in vsak list s sosedom n(l) je atribut. Če obstaja nekaj listov s sosedom n(l), potem je očitno, da bo med njimi največ eden pripadal minimalni diskriminatorni kodi. Nit imenujemo katerokoli pot v grafu za katero je en konec te poti list, kar imenujemo konec niti, začetek pa je vozlišče s stopnjo najmanj tri, kar imenujemo začetek niti in imajo vsa vmesna vozlišča stopnjo dve. Vejitev imenujemo katerokoli vozlišče s stopnjo najmanj tri, ki je začetek vsaj dveh niti. V T obstajajo vejitve, saj T ni pot. Vejitev je lahko iz množice posameznikov ali iz množice atributov. Najprej pokažemo kako lahko problem bodisi rešimo ali pa ga pretvorimo v enega ali več manjših problemov, nato pokažemo da ta pristop vodi do algoritma s polinomsko časovno zahtevnostjo, glede na število vozlišč drevesa. a 3 p 4 a 4 p 5 a 9 a 1 p 2 a 2 p 3 a 5 a 10 p 6 a 7 p 7 a 11 a 6 p 8 a8 Slika 4.1: Na tem grafu so barvno poudarjene niti, vozlišča, p 3 in a 6 so vejitve 39
40 4.1 Poti Za pot dolžine največ štiri so na sliki 4.2 prikazane vse možnosti za minimalno diskriminatorno kodo do izomorfizmov natančno. V nadaljevanju si bomo pogledali poti dolžine L 5 glede na dve različni možnosti. a 1 a 1 a 2 P P A A a 1 a 1 a 2 P A a 1 a 1 p 2 a 2 p 2 a 2 a 1 a 2 p 2 p 2 a 3 P A a 1 a 2 a 3 a 1 P A a 2 a 2 p 2 a 3 p 2 a 3 a 1 a 1 p 2 p 2 a 2 p 3 p 3 P A a 1 a 2 Slika 4.2: Poti dolžine kvečjemu štiri, z optimalnimi diskriminatornimi kodami. Beli krogci so posamezniki in črni krogci atributi, pri tem so črni krogci z večjim premerom elementi kode Lema 4.1 Naj bo T pot, dolžine L, L 5, kjer je en konec poti atribut a 1. V tem primeru obstaja minimalna diskriminatorna koda, ki ne vsebuje atributa a 1. 40
41 Dokaz. Predpostavimo, da je atribut a 1 v kodi C, potem je posameznik diskriminiran bodisi z a 1 bodisi z a 1 in a 2. Če je N( ) C = {a 1 }, potem atribut a 2 ni v kodi C, p 2 pa je diskriminiran z a 3. Ker atribut a 2 ni v kodi C, lahko atributa a 1 in a 2 zamenjamo, tako da atribut a 2 dodamo v kodo, atribut a 1 odstranimo iz kode. Dobimo novo kodo C = (C \ {a 1 }) {a 2 }, ki je prav tako minimalna diskriminatorna koda enake moči kot koda C. Če je N( ) C = {a 1, a 2 }, potem atribut a 3 ni v kodi C, saj je p 2 diskriminiran z a 2. Ker atribut a 3 ni v kodi C, lahko atributa a 1 in a 3 zamenjamo in je sedaj atribut a 3 v kodi, atribut a 1 pa ni več v kodi. Dobimo novo kodo C = (C \ {a 1 }) {a 3 }, ki je prav tako minimalna diskriminatorna koda enake moči kot koda C. Iz zgornje leme prav tako sledi, da za pot dolžine L,L 5, kjer sta oba konca atributa, obstaja minimalna diskriminatorna koda, ki ne vsebuje teh dveh atributov. V nadaljevanju se tako osredotočimo na primere, ko je dolžina L 6, in predpostavimo, da sta oba konca poti posameznika in ima pot liho število vozlišč. V primeru, ko je kateri izmed koncev poti atribut, lahko predpostavimo, da ne pripada minimalni kodi, in rešujemo primer za podpot, ki se začne in konča s posameznikom. Lema 4.2 Naj bo T pot z n = 2k + 1, k 2, vozlišči, kjer sta oba konca poti posameznika. Potem velja D(P 2k+1 ) = k k 2 3. Dokaz. Na pot bomo nanašali podpot P 5, v kateri dva atributa diskriminirata tri posameznike, kot je prikazano na sliki 4.3. a 1 p 2 a 2 p 3 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 Slika 4.3: Pot P 5 in P 6 Ko nanašamo podpot P 5, med potmi nastopijo atributi, ki niso v kodi, saj so posamezniki diskriminirani že v podpoti, katero nanašamo. Zato zapišemo n = m + 5, m N in preverimo koliko krat je m deljiv s 6, saj vsaka dodatna podpot P 6 pomeni, da lahko izključimo dodatni atribut iz minimalne kode. Potem je minimalna diskriminatorna koda enaka številu vseh atributov, od katerih odštejemo celi del navzdol zaokrožen od vrednosti m 6. S preoblikovanjem formul pridemo do končne formule iz leme. 41
42 Zgled 9 Imamo pot dolžine 16. Z n = 17 vozlišči, kjer sta oba konca posameznika. Torej imamo 9 posameznikov in 8 atributov. Na pot iz slike 4.4 nanašamo podpot P 5. P 5 P 5 P 5 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5 a 5 p 6 a 6 p 7 a 7 p 8 a 8 p 9 Slika 4.4: D 1 (P 17 ) = 6, črni krogci s večjim premerom so v kodi Med potmi P 5 obstajajo atributi, ki niso v kodi. Podpot P 5 nanesemo trikrat na pot P 17. V vsaki podpoti P 5 sta dva atributa v kodi, torej je v poti P 17 6 atributov v minimalni diskriminatorni kodi. Prav tako lahko s pomočjo leme 4.2 izračunamo D 1 (P 17 ) = = 6. V primeru, ko je kateri izmed koncev poti, dolžine L 6, atribut, lahko uporabimo argumente iz leme 4.1. Minimalna diskriminatorna koda bodisi vsebuje ta atribut na koncu poti bodisi ga ne vsebuje. V nadaljevanju bomo ta problem reševali na nitih, ki jih bomo postopno odstranjevali. 4.2 Splošni primeri dreves Razlikujemo med tremi splošnimi primeri: (a) V T obstaja nit dolžine najmanj 5 katere konec je posameznik začetek w pa je bodisi posameznik ali atribut, kot v primeru (a) na sliki 4.5. Kot v primeru poti, atributa a 1 in a 2 pripadata poljubni diskriminatorni kodi v T medtem, ko mora biti posameznik pokrit z elementom iz kode in posameznika in p 2 morata biti separirana. Opazimo lahko, kot že prej za poti, da je problem iskanja optimalne kode za drevo T enako iskanju optimalne kode za primer, kjer dodamo atributa a 1 in a 2 v kodo in odstranimo iz drevesa T vozlišča, a 1, p 2, a 2 in p 3 in rešujemo problem na novem drevesu. 42
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek
Prikaži večDS2.dvi
Diskretne strukture II zapiski predavanj - prezentacija doc. dr. R. Škrekovski 1 Osnovno o grafih Če odnose med določenimi objekti opišemo z dvomestno relacijo, lahko to relacijo tudi narišemo (oz. grafično
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večMere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike
Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Ajda Pirnat, Julia Cafnik in Živa Mitar Fakulteta za matematiko in fiziko April
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večWienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TENOLOGIJE Matematične znanosti, stopnja Daliborko Šabić Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih Magistrsko delo Mentor:
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večFGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večC:/AndrejT/vestnik/76_1/Rotovnik/main.dvi
Elektrotehniški vestnik 76(1-2): 19 24, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimalno permutacijsko usmerjanje v heksagonalnih omrežjih Maja Rotovnik 1, Jurij Šilc 2, Janez Žerovnik 3,1
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večNamesto (x,y)R uporabljamo xRy
RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večLinearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s
Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večrm.dvi
1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večNumeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k
Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večOSNOVE UMETNE INTELIGENCE
OSNOVE UMETNE INTELIGENCE 2017/18 regresijska drevesa ocenjevanje učenja linearni modeli k-nn Zoran Bosnić del gradiva povzet po: Bratko: Prolog programming for AI, Pearson (2011) in Russell, Norvig: AI:
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večOsnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani
Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani naslov: Osnove verjetnostne metode avtorske pravice: dr. Riste Škrekovski
Prikaži večOptimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano
Prikaži večI Z B R A N A P O G L AV J A I Z D I S K R E T N E M AT E M AT I K E zbornik seminarskih nalog iz diskretne matematike Matjaž Krnc, Riste Škrekovski J
I Z B R A N A P O G L AV J A I Z D I S K R E T N E M AT E M AT I K E zbornik seminarskih nalog iz diskretne matematike Matjaž Krnc, Riste Škrekovski Junij 2015 verzija 1.1 CIP Kataložni zapis o publikaciji
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M15245112* JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik in računalo.
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večStrokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok
Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži več2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki
2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,
Prikaži večTeorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES
Teorija kodiranja in kriptografija 23/24 AES Arjana Žitnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 8. 3. 24 AES - zgodovina Septembra 997 je NIST objavil natečaj za izbor nove
Prikaži večNAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite
NAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite vzorčne strani iz DELOVNIH LISTOV 1 v štirih delih
Prikaži večMicrosoft Word - A-3-Dezelak-SLO.doc
20. posvetovanje "KOMUNALNA ENERGETIKA / POWER ENGINEERING", Maribor, 2011 1 ANALIZA OBRATOVANJA HIDROELEKTRARNE S ŠKOLJČNIM DIAGRAMOM Klemen DEŽELAK POVZETEK V prispevku je predstavljena možnost izvedbe
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večVST: 1. kviz
jsmath Učilnica / VST / Kvizi / 1. kviz / Pregled poskusa 1 1. kviz Pregled poskusa 1 Končaj pregled Začeto dne nedelja, 25. oktober 2009, 14:17 Dokončano dne nedelja, 25. oktober 2009, 21:39 Porabljeni
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večSestavljanje in re\unhbox \bgroup \let \unhbox \setbox \hbox {s\global \mathchardef \spacefactor }\ac
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Tadej Bukovec Sestavljanje in reševanje igre sudoku DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO IN
Prikaži večKOMISIJA ZA LOGIKO 32. TEKMOVANJE IZ ZNANJA LOGIKE DRŽAVNO TEKMOVANJE, in 2. letnik Šifra: NALOGA MOŽNE TOČKE DOSEŽENE TOČKE
KOMISIJA ZA LOGIKO 32. TEKMOVANJE IZ ZNANJA LOGIKE DRŽAVNO TEKMOVANJE, 11. 11. 2017 1. in 2. letnik Šifra: NALOGA MOŽNE TOČKE DOSEŽENE TOČKE 1. 20 2. 17 3. 20 4. 20 Skupaj 77 Opombe: pri 1. nalogi se tabela
Prikaži večBellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah
Bellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah (uteº si predstavljamo npr. kot dolºino, ceno, teºo
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večMicrosoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc
ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mento
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: prof. dr. Borut Robič Ljubljana, 2013 Rezultati
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži večBiokemInfo - Pregled funkcij
Navodila veljajo tako za Microsoft Excel (v slednjem so pripravljeni tudi prikazani primeri) kot tudi za OpenOffice Calc. Med obema programoma obstajajo malenkostne, a ne bistvene razlike. Celice naslavljamo
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M17178111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 1 Četrtek, 1. junij 2017 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večMATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir
MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje priročno programsko okolje tolmač interpreter (ne prevajalnik)
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večREED-SOLOMONOVE KODE Aleksandar Jurišić Arjana Žitnik 6. junij 2004 Math. Subj. Class. (2000): 51E22, 94B05?, 11T71 Reed-Solomonove kode so izjemno us
REED-SOLOMONOVE KODE Aleksandar Jurišić Arjana Žitnik 6 junij 2004 Math Subj Class (2000): 51E22, 94B05?, 11T71 Reed-Solomonove kode so izjemno uspešne na področju hranjenja podatkov (CD, DVD) ter prenašanja
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - IPPU-V2.ppt
Informatizacija poslovnih procesov v upravi VAJA 2 Procesni pogled Diagram aktivnosti IPPU vaja 2; stran: 1 Fakulteta za upravo, 2006/07 Procesni pogled Je osnova za razvoj programov Prikazuje algoritme
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večMergedFile
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO POUČEVANJE DEJAN KREJIĆ HAMILTONSKOST VOZLIŠČNO TRANZITIVNIH GRAFOV MAGISTRSKO DELO Ljubljana, 2018 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Prikaži večGOALS
BELGIAN DEFENCE FORCES General Directorate Material Resources Section Ammunition Risk Management HQ Queen ELISABETH Rue d'evere, 1 1140 BRUSSELS BELGIUM (BE)AC326(SG5) IWP 2012-01(I) 26. marec 2012 ORODJE
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Mocnik.pptx
MATEMATIČNA PISMENOST IN MATEMATIČNI PROBLEMI Metoda Močnik in Alenka Podbrežnik KAJ NAS JE ZANIMALO? ugotoviti, v kolikšni meri so učenci uspešni pri samostojnem, nevodenemreševanju matematičnih besedilnih,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži več