ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
|
|
- Marjanca Pintar
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo. Na ta način se geometrijski problemi dajo obravnavati na algebrajičen način. 3.. Koordinatni sistem. Točka. Naj bo O dana točka v ravnini skozi katero postavimo dve medsebojno pravokotni premici, ki ju imenujemo in os. Obe premici obravamo kot usmerjeni številski premici, ki nimata nujno isto enoto. Poljubno točko T ravnine lahko sedaj popišemo z parom števil ( T, T), ki ga dobimo tako, da točko skozi T postavimo premici, ki sta vzporedni koordinatnim osema (Slika ) ordinatna os N T (, ) T T T B( -,3) 3 A( 4,) T - O D(.5, - ) O M abcisna os C( -, - ) SLIKA SLIKA Vsaki točki T v ravnini ustrezata v izbranem koordinatnem sistemu natančno določen,, ustreza natančno določena par števil ( ) in obratno, vsakemu paru števil ( ) točka T ravnine. Par (, ) imenujemo koordinate točke T v izbranem koordinatnem sistemu. Točka O ima koordinati (, ) se imenuje koordinatno izhodišče.
2 PRIMER V koordinatnem sistemu nariši točke A ( 4, ), B(, 3), C = (, ) in (.5, ) Rešitev. Glej sliko. D =. 3.. Transformacija koordinat V ravnini lahko izberemo nešteto koordinatnih sistemov. Naj bo, 'star' koordinatni sistem in ξη, 'nov' koordinatni sistem. Kakšna je povezava med njima? η T η T T b O ξ T ξ O a T SLIKA 3 Translacija. Koordinatno izhodišče 'novega' koordinatnega sistema postavimo v točko,, koordinatne osi ξη, pa vzporedno s koordinatnima osema, 'starega' ( ) sistema. Iz slike 3 razberemo zvezo = + ξ, = + η (3.) Če pa so dane 'stare' koordinate in iščemo 'nove' je zveza ξ =, η = (3.) PRIMER Izračunaj koordinate točk A (, 4), B( 3,5) in (, ) translatorno prestavljen v točko O '(, ). v koordinatnem sistemu, ki je
3 Rešitev. V nalogi so dane 'stare' koordinate, išemo torej 'nove'. Iz podatkov razberemo koordinate izhodišča 'novega' sistema = in =. Po (3.) je sedaj ( ) ( ) ( ) ξa = =, ηa = 4 = 4 + = 5 ξb = 3 = 5, ηb = 3 = 3 + = ξ = = 4, η = = + = C C V 'novem' koordinatnem sistemu so torej koordinate točk naslednje: A (,5), B( 5, ) in C ( 4, ). Rotacija. Drug način transformacije koordinat je rotacija za kot α okoli koordinatnega izhodišča. S pomočjo slike 4 razberemo zvezo med 'starim' in 'novim' koordinatnim sistemom: = ξcosα ηsinα = ξsinα + ηcosα (3.3) T η ξ T α η T ηt cos α ξ T ηt sin α ξt sin α O α T ξt cos α SLIKA 4 Če so dane 'stare' koordinate pa dobimo 'nove' z razrešitvijo (3.3). Koordinato ξ dobimo tako, da prvo enačbo pomnožimo s cosα drugo s sinα ter ju seštejemo: cosα + sinα = ξ α = ξ α η α α cos cos sin cos α = ξ α + η α α sin sin sin cos 3
4 Na podoben način dobimo koordinato η. Prvo enačbo pomnožimo s cosα in ju seštejemo sinα drugo s sin = sin cos + sin α ξ α α η α cos sin cos sin sinα + cosα = η α = ξ α α + η α Pri rotaciji je torej zveza 'starih' koordinat z 'novimi' naslednja: ξ = cosα + sinα η = sinα + cosα (3.4) Translacija in rotacija. V splošnem je transformacija koordinat sestavljena iz paralelnega prenosa in rotacije. S kombinacijo in (3.3) dobimo = + ξcosα ηsinα = + ξsinα + ηcosα (3.5) Če hočemo izračunati obratno transformacijo razrešimo (3.5) po novih koordinatah. Tako dobimo ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ξ = α + sinα η = α + cosα (3.6) 3.3. Osnovne naloge Razdalja med točkama. Naj ima točka (, ) T koordinati (, ). Po Pitagorovem izreku je razdalja d enaka (slika 3) ( ) ( ), točka T pa koordinati d = + (3.7) 4
5 (, ) T d - T (, ) - O SLIKA 3 PRIMER Izračunaj razdaljo med točkama ( 6, ) in (, ) Rešitev. Razdalja je po (3.7) enaka. ( 6 ) (( ) ( ) ) 4 ( 9) + = + = = = Opomba. Če imamo točki, ki ležita na osi, ( ) in ( ) medsebojna oddaljenost, ( ) ( ) ( ) d = + = = Razdalja v ravnini torej vključuje razdaljo na premici kot poseben primer., potem je njuna Delitev daljice v danem razmerju. Med točki T(, ) in T(, ) želimo postaviti točko T(,, ) ki deli daljico TT v danm razmerju λ. Iz podobnih trikotnikov dobimo razmerji in = λ = λ Iz teh razmerij sledijo koordinate iskane točke + λ, + λ = = + λ + λ (3.8) 5
6 Za posebne primer λ = to je primer ko je daljica razpolovljena dobimo + + =, = (3.9) 3.4. Krivulja enačbe. Enačba krivulje. PRIMER F, =. Če ta izraz vzamemo kot enačbo potem ima neskončno mnogo rešitev. Za vsak podan lahko iz enačbe izračunamo pripadajočo vrednost. Množico točk, ki pri tem nastane imenujemo slika enačbe (?). Naj bo podana izraz oblike ( ) Po drugi strani pa imamo lahko dano geometrijsko definicijo krivulje iz katere izpeljemo pripadajočo enačbo. Osnovna ideja je torej v povezavi krivulje z enačbo. Enačba, ki popisuje nespremenljive povezave med koordinatami vsake točke krivulje se imenuje enačba krivulje; krivulja katere vse koordinate točk ustrezajo dani enačbi je (geometrijsko) mesto točk. Vsako izraz, ki povezuje spremenljivki in lahko jemljemo kot analitični opis krivulje F, =, je opis krivulje posreden (impliciten), če pa v ravnini. Če je izraz oblike ( ) je = f ( ) potem je opis neposreden (ekspliciten). Krivulja je torej množica točk v ravnini, katerih koordinate (, ) ustrezajo dani enačbi. Izraz A + B + C = je posredni opis premice, izraz = k+ n je neposreden opis premice Premica Za Evklidovo geometrijo je premica osnovni pojem. Skozi različni točki ravnine gre le ena premica. 6
7 (, ) T (, ) T T (, ) n T α (, ) k = tana O O SLIKA SLIKA Dani točki ravnine označimo z T in T. V izbranem koordinatnem sistemu naj bosta,,, poljubna točka T, ki leži na premici pa točki podani s koordinatama ( ) in ( ) s koordinatama (., ) Iz podobnih trikotnikov je ali = (3.) = + ( ) (3.) To je enačba premice skozi dve dani točki pri pogoju, da premica ni vertikala. To enačbo lahko zapišemo tudi v obliki = k+ n (3.) kjer sta k naklonski koeficient premice in n odsek premice na osi. k=, n= k Če se vrnemo, k enačbi (3.) in jo zapišemo v obliki ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = ali urejeno a+ b+ c= (3.3) 7
8 pri čemer je Če premica ne gre skozi koordinatno izhodišče je c. V tem primeru lahko enačbo delimo s c in dobimo odsekovno obliko enačbe premice + = (3.4) a b Za = dobimo = a, za = pa = b. Parameter a je torej odsek premice na osi, parameter b pa odsek premice na osi. b 3.6. Krožnica Definicija. Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od neke podane točke (središča krožnice). Oddaljenost točk na krožnici od središča imenujemo polmer krožnice. r T (, ) Enačba krožnice. Naj bo r polmer T, njeno krožnice, točka ( ) središče in T(, ) poljubna točka na njenem obodu (slika ). (, ) T SLIKA ( ) ( ) + = r (3.5) Če izvedemo računske operacije, ki so nakazane v gornjem izrazu dobimo D E F = pri čemer so D=, E =, F = + r PRIMER 8
9 Zapiši enačbo krožnice, ki ima središče v točki (, ) in polmer 3. Rešitev. V danem primeru je =, = in r = 3. Enačba krožnice je zato PRIMER ( ) ( ) + = = 9 ( ) ( ) Določi središče krožnice in njen polmer, če je = Rešitev. Dano enačbo dopolnimo do popolnih kvadratov po in = = = = = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 = 5 Primerjava dobljenega izraza z (3.5) nam pove, da je =, = 3 in r = 5 torej popisuje krožnico polmera 5, ki ima središče v točki (, 3).. Enačba Opomba. Videli smo, da se da vsaka enačba krožnice zapisati v obliki D E F = Vprašanje pa je, ali vsaka taka enačba opisuje koržnico. Da odgovorimo na to vprašanje jo preoblikujmo v obliko D D D E E E F = = = D E D + E 4F = 4 Glede na vrednost izraza na desni strani dobljene enačbe imamo tri možnosti: o D E F + 4 > - enačba popisuje krožnico polmera središče v točki ( D, E ) ; D + E F, ki ima 4 9
10 o o D + E 4F = - enačba ustreza ena sama točka ( D, E ) (radij kroga je ) D + E 4F < - množica točk, ki ustreza taki enačbi je prazna (zakaj?) Elipsa Definicija. Elipsa je množica točk v ravnini, za katere je vsota oddaljenosti od dveh podanih točk (gorišč) stalna. r + r = a T (, ) r r (- e ) F, ( e ) F, Enačba elipse. Gorišča elipse postavimo v točki F ( e,) in (,) (, ) F e na osi. Naj bo T poljubna točka na elipsi, ki je od prvga gorišča oddaljena za r = FT od druge pa za r = FT. Po definiciji elipse mora veljati r+ r = a pri čemer je a neka konstanta, za katero velja ocena a > e (zakaj?). S pomočjo slike ugotovimo, da sta Enačba elipse je torej SLIKA ( ) in ( ) = + + = + r e r e ( ) ( ) + e + + e + = a
11 Da se znebimo korenov prenesemo drugi člen na levi strani enačbe na desno stran, enačbo kvadriramo in uredimo: ( ) ( ) + e + = a e + (kvadriramo) ( + e) ( ) ( ) = a a e + + e + + e + e = 4a 4a ( e) + + ( ) a e + = a e Dobljeni izraz ponovno kvadriramo in uredimo Na ta način dobimo a ( ) e + e a e + = a 4 ea + e 4 a e + ae + a = a ae+ e ( a e ) + a = a ( a e ) a (uredimo...) (uredimo in delimo s 4) b a e SLIKA Če označimo potem dobimo t.i. kanonično enačbo elipse b = a e (3.6) a + = (3.7) b
12 Geometrijski pomen parametrov a in b dobimo na naslednji način. V dobljeno enačbo elipse vstavimo = pa dobimo = ± a, če vstavimo = pa = ± b. Parametra a in b sta polosi elipse. Celotna elipsa leži znotraj pravokotnika, ki ga omejujeta a in b. Opomba. Če je v enačbi (3.7) a > b je a velika, b pa mala polos elipse. V primeru a< b popisuje enačba (3.7) elipso, ki je zasukana za kot 9 (dokaži!). Opomba. V primeru, ko je središče elipse premaknjeno v točko (, ) enačbi (3.7) zamenjati z in z. Na ta način dobimo Opomba 3. Brezdimenzijsko razmerje ( ) ( ) a moramo v + = (3.8) b se imenuje ekscentričnost elipse. Ker je e e a b ε = = (3.9) a a < a velja ocena ε < Ekscentričnost elipse določa njeno obliko ne pa njene velikosti (zakaj?). Če je ε = je elipsa krožnica. PRIMER Zapiši enačbo elipse za katero je a+ b= 8 in e = 4. Rešitev. Če hočemo zapisati enačbo elipse v obliki (3.7) rabimo a in b. Po definiciji (3.6) je e 4 6 ( )( ) e = a b = a + b a b a b = a+ b = 8 = 8 = Za določitev a in b imao sedaj na razpolago dve enačbi z dvema neznankama a+ b= 8 a b= Če enačbi seštejemo dobimo vrednost velike polosi a= a= 5
13 če odštejemo drugo od prve pa vrednost male polosi b= 6 b= 3 Če dobljene vrednosti vstavimo v (3.7) dobimo iskano enačba elipse + = = 5 9 PRIMER Določi polosi, središče, gorišča za elipso ( ) ( + 3) + = 5 6 Rešitev. Če dano enačbo primerjamo z enačbo (3.8) vidimo, da je =, = 3, a = 5 in b = 6. Polosi podane elipse sta torej 5 točki (, 3). Iz enačbe (3.6) izračunamo e a = in b = 3, njeno središče pa je v Ekscentričnost elipse je po (3.9) e a b = = = = ε = e 3.6 a = 5 = Ker elipsa ni podana v središčni legi... ( + 3, 3) = ( 5, 3) in ( 3, 3) (, 3) = Hiperbola Definicija. Hiperbola je množica točk v ravnini, za katere oddaljenosti od dveh danih točk (gorišč) stalna. 3
14 r - r = - a r - r = a r T (, ) r (- e ) F, ( e ) F, Enačba hiperbole. Naj bo sta gorišči hiperbole dani v točkah ( e,) in ( e,) in naj bo (, ) poljubna točka na hiperboli, ki je od prve točke oddaljena za r od druge pa za r. Za vsako točko na hiperboli velja r r =± a kjer je a neka pozitivna konstanta za katero velja a ( ) ( ) < e. Iz skice je + e + e + =± a Če nad dobljenim izrazom izvedemo enake računske operacije kot v primeru elipse dobimo Ker je a pa dobimo ali urejeno < e označimo ( a e ) + a = a ( a e ) b = e a b + a = ab 4
15 = a b (3.) Za = dobimo = ± a, za = pa = b. asimptota e b a SLIKA Asimptote. Iz slike se vidi da se veje hiperbole približujejo premicama. Kaj se dogaja s hiperbolo, ko se veča? Iz enačbe (3.) lahko v primeru, ko je > a izrazimo na naslednji način b b a a a Če izpostavimo lahko to zapišemo tudi kot = =± b =± a b a =± a Ko gre gre t.j. drugi člen pod korenom postaja vse manjši ko se veča 5
16 b ± a Hiperbola se torej v neskončnosti približuje premicama b = ±. a PRIMER Določi polosi, središče, gorišča in asimptote naslednje hiperbole = Rešitev. Dano enačbo dopolnimo do popolnega kvadrata po spremenljivkah in = = 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 = 6 = = = = = 6 8 = 8 = 4 8 Iz dobljene enačbe preberemo velikosti polosi hiperbole a = 8 in b =. Središče hiperbole pa je v točki (, 4 ). Asimptoti hiperbole imata naklon b 8 k =± =± =± =± a in greta skozi točko središča hiperbole (, 4 ). Iščem torej enačbi premic oblike = k+ n pri čemer moramo n določiti tako, da gre premica skozi središčno točko. Za k = 4dobimo za k = 4pa ( ) = 4 4 ( ) = n n= + = 3 + n n= = 6
17 Enačbi asimptot sta torej = + 3, = Parabola Definicija. Parabola je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od stalne točke (gorišča) in premice (vodnice). r T (, ) e e r r = r F ( e,) Enačba parabole. Naj bo G( e,) gorišče, premica = e vodnica in (, ) T poljubna točka na paraboli. Naj bo r oddaljenost točke T od vodnice in r oddaljenost T od gorišča. Po definiciji parabole je r = r. Ker pa je r = + e in po Pitagorovem izreku ( ) r = e + dobimo ( ) e + = + e Če dobljeni izraz kvadriramo in uredimo dobimo enačbo parabole v obliki = 4e (3.) 7
18 Točka presečišča parabole z osjo se imenuje teme parabole. V primer, ko je parabola podana z (3.) je njeno teme kar koordinatno izhodišče. Če hočemo dobiti parabolo, ki ima teme v poljubni točki (, ) moramo v enačbi (3.) zamenjati z in z. Na ta način dobimo Če koordinatne osi zasukamo za ( ) = 4e( ) 9 potem imamo = = 4e 4e Če teme parabole prestavimo v točko (, ) Če izvedemo nakazane operacije dobimo pri čemer so dobimo = ( ) + (3.) 4e = a + b+ c (3.3) PRIMER, in a= b= c= + 4e e 4e Vsaka krivulja drugega reda oblike (3.3) ponazarja parabolo. Zapiši enačbo parabole, ki ima teme v točki T (, ) in gre skozi točko ( 4,3) Rešitev. Iskana enačba parabole ima obliko ( ) 4e( ) je = in = torej ( + ) = 4e( ) Da določimo parameter e vstavimo v enačbo koordinate točke A ( ) ( ) Iskana enačba parabole je torej 3+ = 4e 4 8e= 6 e= A. =. Pri danih podatkih 8
19 ( + ) = 8( ) PRIMER Določi parameter in koordinate temena za parabolo = Rešitev. Dano enačbo dopolnimo do popolnega kvadrata 4 4 = = ( ) ( ) ( ) 4 = 4 = 4 = = + 3= = + 3 = = = = Dobljeni izraz primerjamo s (3.) pa dobimo koordinate temena =, = 3 in 4e= e= = Polarne koordinate Med krožnico, elipso, hiperbolo in parabola obstaja tesna povezava. 9
20 NALOGE TOČKA, TRANSFORMACIJE KOORDINAT. Določi razdaljo med pari točk. Skiciraj. a) (,7),(,-4 ) b) (-,),( 3, 4) c) ( 5,- ),( 4,3) d) (, 5 ), ( 6, ). Določi koordinate oglišč pravilnega šeskotnika, ki ima stranico dolžine, če je njegovo središče v koordinatnem izhodišču in je ena izmed diagonal na osi. 3. Določi koordinate točk A (, ), B(, ) in ( 3, 4) je nastal s translacijo starega koordinatnega sistema v točko T (, 3). 4. Določi koordinate točk A(, 3), B( 4, ) in (, ) premaknjen v točko T in zasukan za kot α. PREMICA C v koordinatnem sistemu, ki C v koordinatnem sistemu, ki a) T (, ), α = 45 b) T (-,), α = 3 c) T ( 5,- ), α = 9 d) T (, ), α = 8. Določi naklon premic, ki potekajo skozi točki: a) (-,), (-,-4 ) b) ( 5, ),( 3, 4) c) ( 3,4 ),( 4, 3) d) ( 3, 5 ), (, ). V naslednjih nalogah skiciraj in določi enačbo premice (splošno, odsekovno in normalno), ki gre skozi točki. a) (5,7),(-,4) b) (, ),( 3, ) c) (-,4),( 3, 4 ) d) (, ), (, 3) 3. Določi naklon in presek z osjo (začetno vrednost) naslednjih premic. a) = 5+ 9 b) + 5 = c) d) = = ( ) 4. Katera od točk A(, ), B (,) in ( 3, 4) C leži na premici 3 + =?
21 5. V naslednjih nalogah nariši točko, skiciraj premico in izračunaj njuno medsebojno oddaljenost = ( ) b) + =, (,) a) 3,, 3 5 d) + + =,, + = ( ) ( ) c),, 6. Skiciraj naslednje pare premic in določi njihovo presečišče. a) 4+ 3 = = b) = 4 4 = c) + + = + = d) + 3 = 4 ( + ) = 3( ) + 7. Določi kote med naslenjimi pari premic. a) + 3 8= 9 3+ = b) = 5 = + c) + + = 5 = d) = + 3= 8. V naslednjih nalogah določi enačbi premic, ki gresta skozi podano točko in sta podani premici vzporedni in pravokotni = ( ) b) + =, (,) a) 3,, 3 5 d) + + =,, + = ( ) ( ) c),, KROŽNICA. V naslednjih nalogah določi enačbo kroga, ki ima središče v podani točki T in ima polmer r. Skiciraj krog. a) T(, ), r = 3 T( ) c) T(, 4 ), r = T( ) b),, r = 5 d),, r =. V naslednjih nalogah določi enačbo kroga, ki ima središče v podani točki T in poteka skozi točko A. Skiciraj krog.
22 a) T(, ), A(,) b) T(, ), A(, 5) c) T( 3, ), A(,5) d) T( 6, 7 ), A(,) 3. V naslednjih nalogah določi središče in polmer vsakega od krogov. ( ) + ( + ) = ( ) a) 3 4 c) = e) = b) + 3 = 9 d) = f) = 4. Katera od točk A(,), B(, ) in (, ) C leži na krogu + = 5? 5. Določi presečišče kroga in premice. a) = + = b) ( ) + = 4 + = c) + + = + + = d) ( ) ( ) + + = 9 = 3 ELIPSA. Katera od točk A (, ), B ( 6,), C ( 5,) in (,5) =?. Zapiši enačbo elipse v središčni legi. D leži na elipsi a) c) e) a = 6 b = 3 a+ b= 8 e = 4 a = ε = 34 b) d) d) a = 5 e = 3 a b= ε = e = ε = 5 3. Določi polosi, središče, gorišča in ekscentričnost elipse. a) = 36 4 b) + =
23 ( ) ( + 3) c) + = 5 6 d) = HIPERBOLA. Zapiši enačbo hiperbole v središčni legi. a) c) a = 5 b = b = 3 e = b) d) a = 3 e = 4 a b= e = 3. Določi polosi, središče, gorišča in asimptote hiperbole. a) 5 4 = ( ) ( + ) c) = 9 4 b) 6 = 4 d) = 3. Izračunaj presečiščne točke med paroma krivulj. a) 3 = 3 = b) = 6 + = 34 PARABOLA 4. Najdi enačbo parabole, ki ima teme v točki F in gre skozi točko T. a) F(, ), T (,) b) F(, ), T (, ) c) F(, ), T (, ) d) F( 3, ), A (,3) 5. Skiciraj naslednje parabole. Določi gorišče. a) = 4+ 7 c) = b) = + 4 d) = Izračunaj presečiščne točke med pari krivulj. a) = = b) = = 5+ 3
24 c) = = d) ( ) + = = + 4
M
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku 1) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje in minute ali obratno: a),2 d) 19,1 8,9 e) 28 c) 2 f) 8 2) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večMATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140
MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večUniverza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večStrokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok
Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike
Prikaži večjj
Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 04, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večOSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk
OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero
Prikaži večMicrosoft Word - Astronomija-Projekt19fin
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večSmc 8.indd
SVET MATEMATIČNIH ČUDES 8 UČNI LISTI 7 UČNI LISTI ZA DIFERENCIACIJO PRI POUKU I. Sklop Stran v učbeniku I. 7 II. 8 5 III. 6 69 IV. 70 89 V. 90 5 VI. 6 Oznake ravni zahtevnosti... minimalna raven... temeljna
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večPriloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito
Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito KAZALO 1 UVOD... 3 2 IZPITNI CILJI... 4 3 ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA... 5 3.1 Shema izpita... 5 3.2 Tipi nalog in vrednotenje...
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večMatematika Uporaba integrala (1) Izračunaj ploščine likov pod grafi danih funkcij: (a) f(x) = x 2 na [0, 2], (b) f(x) = e x na [0, 1], (c) f(x) = x si
Mtemtik Uporb integrl () Izrčunj ploščine likov pod grfi dnih funkcij: () f() n [ ] (b) f() e n [ ] (c) f() sin n [ π]. Rešitev: Nj bo f zvezn pozitivn funkcij n intervlu [ b]. Ploščin lik ki leži pod
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Geometrijska telesa Opomba: pri nalogah, kjer računaš maso jeklenih teles, upoštevaj gostoto jekla 7,86 g / cm ; gostote morebitnih ostalih materialov pa so navedene pri samih nalogah! Fe 1)
Prikaži večGregor Rabič, janja čeh Ploščina štirikotnika Vsebina dokumenta je avtorsko zaščitena. Gradivo je v dani obliki dostopno brezplačno in povsem in brez
Gregor Rabič, janja čeh Ploščina štirikotnika Vsebina dokumenta je avtorsko zaščitena. Gradivo je v dani obliki dostopno brezplačno in povsem in brez omejitev uporabnikom na voljo za osebno uporabo kot
Prikaži večPoglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s ko
Poglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje 1.1.1 Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s konstantno brzino v 1, v času od t 1 do t 2 enakomerno
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večPowerPointova predstavitev
Obravnava kotov za učence s posebnimi potrebami Reading of angles for pupils with special needs Petra Premrl OŠ Danila Lokarja Ajdovščina OSNOVNA ŠOLA ENAKOVREDNI IZOBRAZBENI STANDARD NIŽJI IZOBRAZBENI
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večjj
PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog je določil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na 60. seji 27. 8. 2003 in se uporablja v programih za pridobitev
Prikaži večINDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n
INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo
Prikaži večVsebinska struktura predmetnih izpitnih katalogov za splošno maturo
Ljubljana 017 MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 019, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java_spremenljivke
Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večMicrosoft Word - Seštevamo stotice.doc
UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večDiapozitiv 1
9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večMERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE
MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE 1. UVOD: V tej vaji je bilo potrebno narediti pet nalog, povezanih z lečami. 2. NALOGA: -Na priloženih listih POTREBŠČINE: -Na priloženih listih A. Enačba zbiralne leče
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večUČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR , Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi ci
UČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR 1.9.2016, Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi cilji opredelimo namen učenja in poučevanja matematike.
Prikaži večBojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih
Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večMATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več
MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več ZBIRKA ZNAM ZA VEČ imatematika 9+ Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Avtorici: Jana Draksler
Prikaži večSTROJNIŠKI VESTNIK LETNIK 22 LJUBLJANA, JULIJ AVGUST 1976 ŠTEVILKA 7 8 UDK Prispevek k reševanju drugega robnega problema pri steni z luknj
STROJNIŠKI VESTNIK LETNIK 22 LJUBLJANA, JULIJ AVGUST 1976 ŠTEVILKA 7 8 UDK 624.073.12 Prispevek k reševanju drugega robnega problema pri steni z luknjo F R A N C K O S E L M A R K O Š K E R L J Članek
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večOpozorilo: Neuradno prečiščeno besedilo predpisa predstavlja zgolj informativni delovni pripomoček, glede katerega organ ne jamči odškodninsko ali kak
Opozorilo: Neuradno prečiščeno besedilo predpisa predstavlja zgolj informativni delovni pripomoček, glede katerega organ ne jamči odškodninsko ali kako drugače. Neuradno prečiščeno besedilo Pravilnika
Prikaži večMicrosoft Word - N doc
Š i f r a u ~ e n c a/-k e : Dr`avni izpitni center *N05140131* REDNI ROK MATEMATIKA PISNI PREIZKUS Ponedeljek, 9.maj 005 / 60 minut Dovoljeno gradivo in pripomo~ki: u~enec prinese s seboj modro ali ~rno
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večArial 26 pt, bold
3 G MATEMATIKA Milan Černel Osnovna šola Brežice POUČEVANJE MATEMATIKE temeljni in zahtevnejši šolski predmet, pomembna pri razvoju celovite osebnosti učenca, prilagajanje oblik in metod poučevanja učencem
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večFORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija 2 2 Razdalja dveh točk v ravnini: d( A, B) ( x2 x1) ( y2 y1) y2 y1 Linearna funk
FORMULE. Pravokoti koordiati sistem v ravii, lieara fukcija Razdalja dveh točk v ravii: d( A, B) ( ) ( ) Lieara fukcija: f ( ) k Smeri koeficiet: k k k Nakloski kot premice: k ta Kot med premicama: ta
Prikaži večIzpit iz GEOMETRIJE 17. junij 2004 Vpisna ²tevilka: Vrsta: Ime in priimek: Sedeº: 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, prem
17. junij 2004 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, premice z = 0 v to ki (1, 1, 0) in premice y = 0 v to ki (1, 0, 1). 2. V projektivni ravnini so dane premice p 1 : 4x 3y z
Prikaži večMATEMATIKA – IZPITNA POLA 1 – OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN
Državi izpiti ceter *M840* Osova i višja rave MATEMATIKA JESENSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Poedeljek, 7. avgust 08 SPLOŠNA MATURA Državi izpiti ceter Vse pravice pridržae. M8-40-- IZPITNA POLA
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - ID02_ANALIZA REZULTATOV JAMOMERSKIH MERITEV ZA IZGRADNJO JAŠKA NOP II - predstavitev skok čez kožo.pptx
43. SKOK ČEZ KOŽO Analiza rezultatov jamomerskih meritev za izgradnjo jaška NOP II Matjaž Koželj 1, Jure Slatinšek 2, Tomaž Ambrožič 3 1 Premogovnik Velenje d.d., Velenje 2 PV Invest, d.o.o., Velenje 3
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večMicrosoft Word - UN_Opisna-geometrija
UČNI NAČRT OPISNA GEOMETRIJA Tehniška gimnazija Izbirni strokovni predmet (210 ur) UČNI NAČRT OPISNA GEOMETRIJA Gimnazija; tehniška gimnazija Izbirni strokovni predmet (210 ur) Predmetna komisija: dr.
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži več7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor o
7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor ovrednoten z 2 točkama; če ni obkrožen noben odgovor
Prikaži večVIDEOANALIZA GIBANJ Za kratke projektne naloge lahko dijaki z domačimi digitalnimi fotoaparati posnamejo nekaj sekundne videofilme poljubnih gibanj. U
VIDEOANALIZA GIBANJ Za kratke projektne naloge lahko dijaki z domačimi digitalnimi fotoaparati posnamejo nekaj sekundne videofilme poljubnih gibanj. Uporabni so skoraj vsi domači digitalni fotoaparati.
Prikaži več