Indeksi centralnosti in algoritmi za njihov izračun

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "Indeksi centralnosti in algoritmi za njihov izračun"

Transkripcija

1 Indeksi centralnosti in algoritmi za njihov izračun

2 Kaj je indeks centralnosti? izmerimo intuitiven občutek, da so nekatere točke bolj pomembne centralnosti ne moremo enolično definirati predstavlja lahko različne količine (pomembnost, vplivnost, nadzor,...)

3 Primer uporabe - študentske volitve študentje letnika morajo izvoliti svojega predstavnika v letniku. točke v grafu predstavljajo študente povezava v grafu med točkama A in B lahko predstavlja: 1 da je oseba A glasovala za osebo B 2 da je oseba A prepričala osebo B, da je glasovala za njenega favoritov 3 da je oseba A prepričala osebo B, da je glasovala za drugega kandidata, kot bi prvotno

4 Ohlapna definicija splošno sprejeta definicija centralnega indeksa zaradi splošne uporame ne obstaja bolj pomembnim točkam želimo prirediti večjo vrednost indeksi centralnosti naj bodo odvisni samo od lege točke v grafu Definicija (Centralni indeks) Naj bo G = (V, E) obtežen, usmerjen ali neusmerjen multigraf. Funkcija s se imenuje centralni indeks natanko takrat, ko velja v V : G H s G (v) = s H (φ(v)), kjer s G (v) označuje vrednost s(v) v grafu G.

5 Sosedska centralnost uporablja se pri volilnih sistemih ali, če nas zanima iz katere točke lahko neposredno pridemo v največ ostalih točk Definicija Naj bo G = (V, E) digraf. Vhodno sosedsko centralnost točke v V označimo z c id (v) in je enaka številu vhodnih povezav točke v (c id (v) = d (v)). Podobno izhodno sosedsko centralnost označimo z c od (v) in je enaka številu izhodnih povezav (c od (v) = d + (v)). to je primer lokalne centralnosti, saj je centralni indeks točke odvisen samo od njenih sosed

6 Ekscentrična centralnost bolnišnico bi radi postavili na tako točko na grafu, da bodo imeli reševalci čimkrajši najdaljši odzivni čas za vsako točko pogledamo najkrajše poti do vseh ostalih točk in ji priredimo največjo Definicija izberemo točko z najmanjšo vrednostjo Naj bo G = (V, E) graf. Ekscentrična centralnost točke v V je 1 c E (v) = max{d(v, u); u V }

7 Bližinska centralnost nakupovalni center bi radi postavili na tako mesto v grafu, da kar se da minimiziramo potne stroške nakupovalcev za vsako točko pogledamo najkrajše poti do vseh ostalih točk in ji priredimo vsoto vseh Definicija izberemo točko z najmanjšo vrednostjo Naj bo G = (V, E) graf. Bližinsko centralnost točke v V definiramo kot 1 c C (u) = d(u, v). v V

8 Centralnost posrednika na najkrajši poti pove nam kakšnn vpliv ima določena točka na komunikacijo med drugimi točkami Definicija Indeks centralnosti posrednika na najkrajši poti definiramo kot c B (v) = s v V t v V δ st (v), kjer δ st (v) predstavlja odstotek poti med s in t, ki gredo čez v. v nasprotju z bližinsko centralnostjo jo lahko uporabljamo tudi na nepovezanih grafih

9 Spletna centralnost veliko ljudi uporablja svetovni splet za iskanje informacij zaradi njegove velike obsežnosti so potrebni zahtevni algoritmi za iskanje kako naj spletni iskalnik določi katere strani so najbolj primerne za določeno poizvedbo? naprednejši iskalniki poleg navadnega tekstovnega iskanja uporabljajo tudi indekse centralnosti

10 Model slučajnega spletnega uporabnika najenostavnejši model simulira njegovo obnašanje kot slučajni sprehod po grafu sprehod začne na slučajno izbrani spletni strani in nadaljuje po njenih sosedah. To predstavimo z matriko P spletni indeks centralnosti predstavlja verjetnost, da se bo uporabnik po velikem številu korakov znašel na določeni spletni strani Da bo verjetnost dobro definirana, moramo zahtevati, da: 1 limita verjetnosti obstaja 2 je neodvisna od začetne strani da bo to res, mora biti matrika P stohastična (matrika mora biti nerazcepna in vsota vsake vrstice mora biti 1)

11 Model slučajnega spletnega uporabnika Ker svetovni splet očitno ni krepko povezan, matrika P ni nujno stohastična Stohastičnost dosežemo z naslednjim postopkom: 1 v vsaki ničelni vrstici vse vrednosti nastavimo na 1 n (uporabnik slučajno skoči na neko spletno stran) 2 matriko E, ki je enake velikosti kot P in ima vse elemente enake 1 n (matrika naključnega skoka). 3 izberemo neko konveksno kombinacijo matrik P in E. P = αp + (1 α)e, kjer je α [0, 1].

12 Indeks PageRank naprednejši iskalniki, med njimi tudi Google, ga uporabljajo v svojih algoritmih stran ocenimo samo glede na njene topološke značilnosti (samo glede na lego v spletu, neodvisno od vsebine) indeks strani je odvisen samo od njenih sosedov in njihove pomembnosti

13 Indeks PageRank določanje indeksov tako postane rekurzivni problem podan z enačbami: c PR (p) = d q Γ p c PR (q) d + (q) + (1 d), kjer je c PR (q) PageRank strani q, d pa je obtežitveni faktor. zapisano v matrični obliki se to glasi: c PR = dpc PR + (1 d)1 n Ta sistem ponavadi rešimo s preprosto Jacobijevo iteracijo: c k PR = dpc k 1 PR + (1 d)1 n

14 Pomembnost povezave v omrežju če bi iz grafa radi izključili eno povezavo, moramo to narediti tako, da komunikacije med točkami ne bomo preveč ohromili najbolje je, da izključimo povezavo, ki najmanj poveča najkrajšo pot med katerima koli dvema točkama v omrežju Definicija Naj bo G = (V, E) graf. Indeks popembnosti v omrežju povezave e E je c P (e) = max u,v V {d G\e(u, v) d G (u, v)}

15 Osnovni algoritmi za izračun indeksov centralnosti uporabnost indeksov centralnosti je odvisna od njihove izračunljivosti želimo algoritem, ki vrne rezultat v polinomskem času za ogromne grafe (npr. graf svetovnega spleta) je polinomska zahtevnost preveč; uporabimo aproksimacijo, ki jo lahko izračunamo z linearno zahtevnostjo grafi se s časom spreminjajo, zato želimo algoritem, ki lahko hitro popravlja indekse

16 Iskanje najkrajše poti večina indeksov centralnosti je povezana z problemom najkrajših poti med vozlišči naiven pristop je, da najprej izračunamo najkrajše poti in potem indekse pristop je dober, saj vrne rezultat v povprečno nekje med n 2 in n 3 korakih za večja omrežja potrebujemo specializirane algoritme

17 SSSP osnovni problem je iskanje najkrajših poti iz izbranega izhodišča do ostalih vozlišč, znan pod imenom Single Source Shortest Path (SSSP) prvi algoritem, ki reši problem v polinomskem času, je Dijkstrov algoritem (1959) zahtevnost O(m + n log(n)) primeren za grafe s pozitivnimi utežmi na povezavah

18 SSSP function Dijkstra(G = (V, E), ω) P = T = V d(s, v) = za vse v V, d(s, s) = 0 while P V do v = vozlišče z najmanjšim d(s, v) P = P {v}, T = T \{v} for u je sosed v in u T do if d(s, u) > d(s, v) + ω(v, w) then d(s, u) = d(s, v) + ω(v, w) pred(u) = v end if end for end while end function

19 APSP problem iskanja najkrajših poti med vsemi vozlišči, znan pod imenom All-Pairs Shortest Paths problem (APSP) prva možnost: za vsako vozlišče izvedemo Dijkstrov algoritem (preveč potratno) druga možnost: Floyd-Warshallov algoritem zahtevnost O(n 3 )

20 APSP function Floyd-Warshall(G = (V, E), ω) d(v, v) = 0 d(v, u) = ω(v, u), če {v, u} E, sicer d(v, u) = pred(u, v) = u, če {v, u} E, sicer pred(u, v) = 0 for v V do for u V do for w V do if d(u, w) > d(u, v) + d(v, w) then d(u, w) = d(u, v) + d(v, w) pred(u, w) = pred(v, w) end if end for end for end for end function

21 Dinamični APSP graf se lahko hitro spreminja želimo algoritem, ki hitro izračuna nove indekse iz starih podatkov to je veliko težji problem in je še aktualen

22 Iskanje lastnih vrednosti matrik v splošnem težak problem za grafe z malo povezavami dobimo t. i. sparse matrike veliko različnih algoritmov, primer preprostega algoritma za izračun največje lastne vrednosti je potenčna metoda

23 Indeks centralnosti posrednika na najkrajši poti Definicija Indeks centralnosti posrednika na najkrajši poti definiramo kot c B (v) = δ st (v). s v t v

24 Prilagojeni Dijkstrov algoritem function SSSP(G = (V, E), ω) P = T = V d(s, v) = for all v V, d(s,s)=0 while P V do v = vozlišče z najmanjšim d(s, v) P = P {v}, T = T \{v} for u je sosed v in u T do if d(s, u) > d(s, v) + ω(v, u) then d(s, u) = d(s, v) + ω(v, u) pred(s, u) = v σ su = σ sv end if if d(s, u) = d(s, v) + ω(v, u) then pred(s, u).append(v) σ su + = σ sv end if end for

25 Odvisnost vozlišča Definicija Odvisnost vozlišča s V od vozlišča v V označimo z δ s definiramo kot δ s (v) = δ st (v). t V in jo Izrek Za odvisnost δ s (v) vozlišča s od poljubnega vozlišča v velja formula σ sv δ s (v) = (1 + δ s (w)). σ sw w:v pred(s,w)

26 Odvisnost para vozlišč Definicija Odvisnost para vozlišč s, t V od vozlišča v V označimo z δ st (v) in jo definiramo kot δ st (v) = σ st(v) σ st.

27 Izbojšana časovna zahtevnost Izrek Indeks centralnosti vseh vozlišč lahko izračunamo s časovno zahtevnostjo O(mn + n 2 log n).

28 Hitri približki algoritmov Do sedaj smo spoznali nekaj eksaktnih algoritmov za izračun nekatarih indeksov centralnosti. Izračunljivi so v polinomskem času, kar je za velika omrežja problem. Zato je naš cilj samo približen izračun vrednosti opazovanega indeksa. Pri tem si želimo doseči dober kompromis med časom izvajanja in natančnostjo izračuna. V nadaljevanju bomo spoznali nekaj tehnik za doseganje tega kompromisa.

29 Eppstein-Wangova aproksimacija bližinske centralnosti 1 Bližinska centralnost: c C (v) = x V d(v,x) n 1. Nočemo seštevati po vseh vozliščih x V. Izboljšava je naslednji algoritem: Eppstein-Wangov algoritem za izračun bližinske centralnosti 1 Slučajno izberi K vzorčnih vozlišč v 1, v 2,..., v K. 2 Za vsako vzorčno vozlišče v i reši problem vseh parov najkrajših poti. K 3 Za vsako vozlišče v izračunaj ĉ C (v) = n i=1 d(v,v i ) K n 1.

30 Eppstein-Wangova aproksimacija bližinske centralnosti 2 Ključno vprašanje je koliko vzorčnih vozlišč potrebujemo, da ocenimo indekse c C z željeno natančnostjo. Na to vprašanje se da odgovoriti s Hoeffdingovo oceno iz teorije verjetnosti: Lema (Hoeffdingova ocena) Naj bodo spremenljivke x 1, x 2,..., x K neodvisne in naj velja a i ( x i ) b i, kjer so a i, b i R. Če z µ označimo povprečje xi E K, potem za vsak ɛ > 0 velja ( ) xi P K µ 2K2 ɛ 2 ɛ (b 2 e i a i ) 2.

31 Eppstein-Wangova aproksimacija bližinske centralnosti 3 Če v zadnjo lemo vstavimo x i = nd(v i,u) n 1, µ = c C(v), a i = 0 in b i = n n 1, dobimo ( ) xi P K µ ɛ = P ( ĉ C (v) c C (v) ɛ) 2K2 ɛ 2 (b 2 e i a i ) 2 2K 2 ɛ 2 K = 2 e n 1 2( n ) 2( ) Kɛ 2 = 2 e 2 ( n n 1 )2 = Naprej za poljuben ˆɛ > 0 postavimo še ɛ = ˆɛ in uporabimo K = n2 log n vzorcev, za nekaj algebre v zgornjem izrazu (n 1) 2 2ˆɛ 2 hitro ugotovimo, da je verjetnost za napako večjo od ˆɛ največ 2 n.

32 Eppstein-Wangova aproksimacija bližinske centralnosti 4 Kaj smo s tem algoritmom pridobili na časovni zahtevnosti? Časovna zahtevnost APSP algoritma je O(n(n + m)) za neutežene grafe in O(n(m + n log n)) za utežene grafe. Če pa naredimo samo K SSSP algoritmov, dobimo časovni zahtevnosti O(K(ˆɛ)(n + m)) in O(K(ˆɛ)(m + n log n)). Torej je faktor izboljšanja K(ˆɛ) n. V algoritmu je od uporabnika odvisno, kakšno ceno - v smislu velikosti K(ˆɛ) - je pripravljen plačati za veliko verjetnost majhne napake.

33 Aproksimacija spletnih centralnosti Najpomembnejši indeks centralnosti v grafu spleta večine spletnih iskalnikov je PageRank. Zato se bomo posvetili predvsem pospešitvenim tehnikam za izračun tega. Obstaja več metod za pospešitev: 1 aproksimacija s cenejšimi izračuni (običajno se izognemu množenju z matriko), 2 pospešitev konvergence, 3 reševanje linearnega sistema enačb namesto reševanja problema lastnih vrednosti, 4 uporaba dekompoziciji grafa spleta, 5 nadgradnja namesto ponovnega računanja.

34 Pospešitev konvergence 1 Osnova za to pospešitveno metodo je potenčna metoda za določitev dominantnega lastnega vektorja. Ker vsaka iteracija potenčne metode zahteva množenje z matriko A, ki je za graf spleta zelo drago, je naš cilj zmanjšati število iteracij. Aitkenova metoda, temelji na predpostavki, da lahko približek x (k 2) zapišemo kot linearno kombinacijo prvih dveh lastnih vektorjev, to sta u in v. S to predpostavko sta tudi naslednja dva približka x (k 1) in x (k) linearni kombinaciji prvih dveh lastnih vektorjev: x (k 2) = u + αv, x (k 1) = u + αλ 2 v, x (k) = u + αλ 2 2v.

35 Pospešitev konvergence 2 Če definiramo y i = x (k) i ( x (k 1) i 2x (k 1) i x (k 2) ) 2 i + x (k 2) i z nekaj algebre pridemo do y = αv in tako u = x (k 2) y. Sedaj na tem izvajamo potenčno metodo. Obstajajo tudi posplošitve Aitkenove metode, ko predpostavimo, da je približek x (k 2) linearna kombinacija prvih k lastnih vektorjev in izpeljemo podobne algoritme pravkar predstavljenemu.,

36 Dekompozicijske tehnike Graf spleta je zelo velik in vsakodnevno raste. Zato so raziskovalci predlagali, da se ga razbije na več manjših komponent. Ideja je izračun centralnosti znotraj posamezne komponente, nato pa pametno utežiti komponente in izračunat centralnosti v celem grafu. Obstaja veliko bločnih razbitij. V nadaljevanju si bomo ogledali dva primera: 1 graf spleta kot metuljček, 2 Kamvarjevo bločno razbitje.

37 Graf spleta kot metuljček 1 Do razbitja grafa spleta na obliko metuljček so leta 1999 po preiskovanju velikega števila spletnih strani in njihovih povezav prišli Broder z ekipo leta Graf spleta ima obliko metuljčka. Obstajajo tri velike komponente velika strogo povezana komponenta, strani, ki kažejo na to komponento, jih pa ne moremo doseči iz nje, strani, ki jih lahko dosežemo iz te velike komponente, vendar se nanjo ne moremo vrniti. Opazimo še nekaj tipov manjših komponent, to so lovke, povezave med dvema komponentama in izolirani kosi.

38 Graf spleta kot metuljček 2 Slika : Graf spleta po Broderju

39 Graf spleta kot metuljček 3 Kako izrabiti to strukturo za pospešitev izračuna PageRanka? Ideja je, da ima sedaj prehodna matrika veliko preprostejšo obliko, tj. bločno zgornje trikotno: P 11 P 12 P P 1K 0 P 22 P P 2K.... P33... P 3K Q1 Q2... QL P KK

40 Graf spleta kot metuljček 4 Enako delitev naredimo tudi za vektor c PR in velik problem razdelimo na več manjših ter rešujemo s pomočjo obratne substitucije: (I dq L )c PR,K+L = (1 d)1 ml,. (I dq 1 )c PR,K+1 = (1 d)1 m1, (I dp KK )c PR,K = (1 d)1 nk, (I dp ii )c PR,i = (1 d)1 ni + d. K j=i+1 c PR,i.

41 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 1 Še bolj razčlenjeno bločno oblika grafa spleta pa so leta 2001 odkrili in izkoristili Kamvar s svojo ekipo. Ugotovili so naslednjo strukturo grafa spleta: 1 Graf spleta ima bločno strukturo. 2 Bloki so veliko manjši kot je celoten graf. 3 Znotraj blokov obstajajo še gneznedi bloki, ki ustrezajo domenam, gostiteljem in poddirektorijem v imenu strani.

42 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 2 Slika : Nekaj grafov s Kamvarjevo analizo

43 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 3 Na podlagi tega so predlagali naslednjo izboljšavo PageRank algoritma, ki so jo imenovali BlockRank algoritem: 1 Razbij graf spleta na bloke I Γ, kjer je Γ indeksna množica. 2 Za vsak blok I izračunaj lokalne PageRank indekse c PR(I) (i) za vsak i I. 3 Naredi utežitev lokalnih indeksov, tako da upoštevaš pomembnost posameznega bloka. 4 Uporabi standardni PageRank algoritem z začetnim vektorjem iz prejšnjih dveh korakov.

44 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 4 V točki 1. in 3. zgornjega algoritma lahko uporabimo običajen PageRank algoritem. Glavni problem je, kako formalizirati točko 2. To se naredi tako, da se grafu spleta priredi bločni graf. Vsakemu bloku I Γ ustreza vozlišče v tem grafu. Med vozliščema I in J obstaja usmerjena povezava IJ natanko tedaj, ko v prvotnem grafu obstaja povezava ij za neki vozlišči i I in j J. Pri tem dopuščamo tudi zanke II. Teže povezav ω IJ pa določimo kot: ω IJ = i I,j J a ij c PR(I) (i), kjer je a ij teža povezave ij v prvotnem grafu, c PR(I) (i) pa lokalni PageRank indeks vozlišča i v bloku I.

45 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 5 Sedaj lahko uporabimo običajen PageRank algoritem za bločni graf B, da dobimo PageRank indekse povezav b I. Iz korakov 2 in 3 dobimo začetni vektor za korak 3, ki je c (0) PR (i) = c PR(I)(i)b I. Naredimo še en PageRank in smo končali.

46 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 6 Kaj je prednost bločnega PageRank algorima v primerjavi s PageRankom? 1 Glavna prednost je pohitritev algoritma, ki izvira iz dejstva, da ni potrebno hraniti celotnega PageRank vektorja v spominu računalnika, saj ta sestoji iz nekaj bilijonov vhodov. 2 V BlockRank algoritmu veliko lokalnih PageRank vektorjev hitro skonvergira. Zato več časa lahko posvetimo slabo-konvergirajočim vektorjem. To so taki vektorji, ki pripadajo dobro gnezdenim blokom. 3 Lokalne PageRank vektorje lahko računamo vzporedno na več procesorjih, ki potem rezultate pošljejo glavnemu procesorju. Hkrati se izkaže tudi, da korak 1 v algoritmu lahko naredimo vzporedno s korakom 0, tj. določanjem prehodne matrike A = (a ij ). 4 V veliko primerih lahko lokalne PageRank indekse uporabimo za dinamično računanje. Torej če se zgodijo neke spremembe v grafu spleto samo za blok I, potem moramo ponoviti lokalni Domen Blenkuš, PageRank Matej Filip, izračun Tilen Marc za in Aljaž tazalar blok, za druge pa ga že poznamo.

47 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 7 Kaj pa pravijo eksperimentalni rezultati? Slika : Primerjava lokalnih in globalnih PageRank indeksov bloka

48 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 8 Slika : Časovna zahtevnost posameznega koraka za LARGEWEB graf Slika : Primerjava metod za LARGEWEB graf

49 Kamvarjeva gnezdeno bločna oblika grafa spleta 9 Slika : Primerjava metod po številu iteracij za LARGEWEB graf

Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike

Mere kompleksnih mrež   (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Ajda Pirnat, Julia Cafnik in Živa Mitar Fakulteta za matematiko in fiziko April

Prikaži več

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja 3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.

Prikaži več

FGG14

FGG14 Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,

Prikaži več

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik

Prikaži več

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat

Prikaži več

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek

Prikaži več

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven

Prikaži več

Bellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah

Bellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah Bellman-Fordov algoritem za iskanje najkraj²ih poti Alenka Frim 19. februar 2009 Popravek 25. februar 2009 Imamo usmerjen graf G z uteºmi na povezavah (uteº si predstavljamo npr. kot dolºino, ceno, teºo

Prikaži več

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje

Prikaži več

FGG13

FGG13 10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega

Prikaži več

Osnove matematicne analize 2018/19

Osnove matematicne analize  2018/19 Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na

Prikaži več

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,

Prikaži več

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je

Prikaži več

Brownova kovariancna razdalja

Brownova kovariancna razdalja Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti

Prikaži več

glava.dvi

glava.dvi Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo

Prikaži več

STAVKI _5_

STAVKI _5_ 5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno

Prikaži več

Microsoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf

Microsoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:

Prikaži več

Teorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES

Teorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES Teorija kodiranja in kriptografija 23/24 AES Arjana Žitnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 8. 3. 24 AES - zgodovina Septembra 997 je NIST objavil natečaj za izbor nove

Prikaži več

FGG02

FGG02 6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti

Prikaži več

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn 5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R

Prikaži več

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru 6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.

Prikaži več

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi

Prikaži več

Strojna oprema

Strojna oprema Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT

Prikaži več

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mento

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mento Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Nejc Ramovš Problem izomorfnega podgrafa DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: prof. dr. Borut Robič Ljubljana, 2013 Rezultati

Prikaži več

Delavnica Načrtovanje digitalnih vezij

Delavnica Načrtovanje digitalnih vezij Laboratorij za načrtovanje integriranih vezij Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Digitalni Elektronski Sistemi Osnove jezika VHDL Strukturno načrtovanje in testiranje Struktura vezja s komponentami

Prikaži več

OSNOVE UMETNE INTELIGENCE

OSNOVE UMETNE INTELIGENCE OSNOVE UMETNE INTELIGENCE 2017/18 regresijska drevesa ocenjevanje učenja linearni modeli k-nn Zoran Bosnić del gradiva povzet po: Bratko: Prolog programming for AI, Pearson (2011) in Russell, Norvig: AI:

Prikaži več

Osnove verjetnosti in statistika

Osnove verjetnosti in statistika Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo

Prikaži več

DS2.dvi

DS2.dvi Diskretne strukture II zapiski predavanj - prezentacija doc. dr. R. Škrekovski 1 Osnovno o grafih Če odnose med določenimi objekti opišemo z dvomestno relacijo, lahko to relacijo tudi narišemo (oz. grafično

Prikaži več

Uvodno predavanje

Uvodno predavanje RAČUNALNIŠKA ORODJA Simulacije elektronskih vezij M. Jankovec 2.TRAN analiza (Analiza v časovnem prostoru) Iskanje odziva nelinearnega dinamičnega vezja v časovnem prostoru Prehodni pojavi Stacionarno

Prikaži več

2. Model multiple regresije

2. Model multiple regresije 2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov

Prikaži več

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =

Prikaži več

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,

Prikaži več

Datum in kraj

Datum in kraj Ljubljana, 5. 4. 2017 Katalog znanj in vzorci nalog za izbirni izpit za vpis na magistrski študij Pedagoško računalništvo in informatika 2017/2018 0 KATALOG ZNANJ ZA IZBIRNI IZPIT ZA VPIS NA MAGISTRSKI

Prikaži več

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE

7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj

Prikaži več

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so

Prikaži več

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša

Prikaži več

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA

Univerza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je

Prikaži več

Microsoft PowerPoint - IPPU-V2.ppt

Microsoft PowerPoint - IPPU-V2.ppt Informatizacija poslovnih procesov v upravi VAJA 2 Procesni pogled Diagram aktivnosti IPPU vaja 2; stran: 1 Fakulteta za upravo, 2006/07 Procesni pogled Je osnova za razvoj programov Prikazuje algoritme

Prikaži več

Rešene naloge iz Linearne Algebre

Rešene naloge iz Linearne Algebre UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana

Prikaži več

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

Vrste

Vrste Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,

Prikaži več

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo 11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija

Prikaži več

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v

Prikaži več

ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA

ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA Navdih Poizvedovanje po BD podatkovnih virih, ki imajo časovno dimenzijo in so dostopni. Večji promet pomeni večje število dobrin in močnejšo

Prikaži več

10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, k

10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, k 10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, ki ga sprejme antena in dodatni šum T S radijskega sprejemnika.

Prikaži več

LaTeX slides

LaTeX slides Statistični modeli - interakcija - Milena Kovač 23. november 2007 Biometrija 2007/08 1 Število živorojenih pujskov Biometrija 2007/08 2 Sestavimo model! Vplivi: leto, farma Odvisna spremenljivka: število

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V

Prikaži več

MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir

MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje priročno programsko okolje tolmač interpreter (ne prevajalnik)

Prikaži več

(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])

(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode]) 8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih

Prikaži več

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc

Microsoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov

Prikaži več

Microsoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2

Microsoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2 Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 12. junij 2013 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero

Prikaži več

Ime in priimek

Ime in priimek Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora

Prikaži več

Segmentacija slik z uporabo najvecjega pretoka

Segmentacija slik z uporabo najvecjega pretoka Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Eva Križman Segmentacija slik z uporabo največjega pretoka DIPLOMSKO DELO INTERDISCIPLINARNI UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

Prikaži več

Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih

Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TENOLOGIJE Matematične znanosti, stopnja Daliborko Šabić Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih Magistrsko delo Mentor:

Prikaži več

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI 3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.

Prikaži več

Poskusi s kondenzatorji

Poskusi s kondenzatorji Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.

Prikaži več

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni

Prikaži več

Poslovilno predavanje

Poslovilno predavanje Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12

Prikaži več

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo

Prikaži več

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx 4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in

Prikaži več

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati

Prikaži več

Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k

Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za

Prikaži več

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija' Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1

Prikaži več

6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrič

6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrič 6.6 Simetriči problem lastih vredosti Če je A = A T, potem so laste vredosti reale, matrika pa se da diagoalizirati. Schurova forma za simetričo matriko je diagoala matrika. Laste vredosti ozačimo tako,

Prikaži več

Microsoft Word - M docx

Microsoft Word - M docx Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M15245112* JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik in računalo.

Prikaži več

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft

Prikaži več

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam 1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske

Prikaži več

3. Preizkušanje domnev

3. Preizkušanje domnev 3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija

Prikaži več

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015 Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z

Prikaži več

CpE & ME 519

CpE & ME 519 2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj

Prikaži več

C:/AndrejT/vestnik/76_1/Rotovnik/main.dvi

C:/AndrejT/vestnik/76_1/Rotovnik/main.dvi Elektrotehniški vestnik 76(1-2): 19 24, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimalno permutacijsko usmerjanje v heksagonalnih omrežjih Maja Rotovnik 1, Jurij Šilc 2, Janez Žerovnik 3,1

Prikaži več

Matematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una

Matematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja

Prikaži več

Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja

Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Prikaži več

Matematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A

Matematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

Statistika, Prakticna matematika, , izrocki

Statistika, Prakticna matematika, , izrocki Srednje vrednosti Srednja vrednost...... številske spremenljivke X je tako število, s katerim skušamo kar najbolje naenkrat povzeti vrednosti na posameznih enotah: Polovica zaposlenih oseb ima bruto osebni

Prikaži več

DN5(Kor).dvi

DN5(Kor).dvi Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n

Prikaži več

2019 QA_Final SL

2019 QA_Final SL Predhodni prispevki v enotni sklad za reševanje za leto 2019 Vprašanja in odgovori Splošne informacije o metodologiji izračuna 1. Zakaj se je metoda izračuna, ki je za mojo institucijo veljala v prispevnem

Prikaži več

H-Razcvet

H-Razcvet Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Gregor Šulgaj H-Razcvet DIPLOMSKO DELO INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVA IN

Prikaži več

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter 2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih

Prikaži več

Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s

Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek

Prikaži več

Microsoft Word - Seštevamo stotice.doc

Microsoft Word - Seštevamo stotice.doc UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:

Prikaži več

Matematika 2

Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo

Prikaži več

rm.dvi

rm.dvi 1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v

Prikaži več

MODEL PRIMERNOSTI OBMOČIJ ZA POVEZOVANJE

MODEL PRIMERNOSTI OBMOČIJ ZA POVEZOVANJE MODEL PRIMERNOSTI OBMOČIJ ZA POVEZOVANJE doc. dr. Špela Pezdevšek Malovrh prof. dr. Lidija Zadnik Stirn prof. dr. Janez Krč VSEBINA Raziskovalni problem UVOD GOSPODARJENJE V ZASEBNIH GOZDOVIH Ni optimalno

Prikaži več

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0 PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8

Prikaži več

Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC

Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met

Prikaži več