Izpitne naloge iz Analize 2

Transkripcija

1 Izpitne naloge iz Analize 2 RI UNI FERI mag Iztok Peterin Maribor 2002 V tej datoteki so zbrane izpitne naloge za predmet Analiza 2 na smeri RI- UNI na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko iz šolskih let 1998/ /01 1

2 3 izpit 1998/99 1 Izračunaj nedoločena integrala: (a) (b) 2x 2 +41x+91 (x 1)(x+3)(x 4) dx = dx x2 +2x+4 = 2 Razvij funkcijo f (x) = x (π x) v Fourierjevo vrsto po kosinusih na intervalu (0, π] in nariši skico funkcije h kateri dobljena vrsta konvergira 3 Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe y + 4y = 1 + cos 2x 4 Na elipsi x2 4 + y2 9 = 1 poišči točko C tako, da boimel trikotnik ABC največjo ploščino, če sta A (2, 0) in B (0, 3) (Namig: pl = AB AC 2 ) 2

3 4 izpit 1998/99 1 Razvij funkcijo f (x) = cos x na intervalu [0, π) po (a) cosinusih, (b) sinusih in nariši skico obeh funkcij h katerima dobljeni vrsti konvergirata 2 Izračunaj ploščino tistega dela elipse x2 4 + y2 9 1, ki leži nad grafom f (x) = 9x Reši Chauchyjevo nalogo y (1) = 0 za diferencialno enačbo y y x x y = 0 4 Poišči lokalne ekstreme funkcije f (x, y) = ( 2x 2 + 3y 2) e x2 y 2 Kje na krogu x 2 + y 2 4 doseže ta funkcija globalna ekstrema? 3

4 5 izpit 1998/99 1 Razvij funkcijo f (x) = x 2 v Fourierjevo vrsto na intervalu [0, 1) in nariši funkcijo h kateri dobljena vrsta konvergira 2 Poišči točke na elipsoidu 4x 2 +3y 2 +z 2 = 1, ki so najbolj oziroma najmanj oddaljene od točke ( 1 2, 0, 0) 3 Reši sistem diferencialnih enačb: x = x y + z y = 5x + y z z = 2z y 4 Izračunaj integrala, če obstajata: (a) (b) 2 0 dx 1+x 2 dx (x 1) 2 4

5 6 izpit 1998/99 1 Izračunaj nedoločena integrala: (a) 1 2x+x 2 1 x dx = (b) cos 4 x 3 dx = 2 Razvij funkcijo f (x) = x cos x na intervalu [ π, π) v Fourierjevo vrsto in nariši skico funkcije h kateri dobljena vrsta konvergira 3 Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe ( y 2 cos x yx 2) dx + ( y 2 + y sin x ) dy = 0 (Namig: Eulerjev multiplikator je funkcija y) 4 Pri kateri vrednosti parametra a ima funkcija f (x, y) = e a(x2 +y 2 ) ekstrem? 5

6 1 izpit 1999/00 1 Razvij funkcijo f (x) = cos x 3 v Fourierjevo vrsto na intervalu [ π, π) in nariši funkcijo h kateri dobljena vrsta konvergira 2 Poišči točke na krožnici (x + 1) 2 +(y 1) 2 = 4 v katerih funkcija f (x, y) = 2x 4y + 3 doseže ekstrem 3 Reši sistem diferencialnih enačb: x = z y = 4x y 4z z = y 4 Izračunaj integrala: (a) dx 1+3 cos 2 x =, (b) x (3x 2 +7) 2 dx = 6

7 2 izpit 1999/00 1 Razvij funkcijo f (x) = ( π 2 x 2) 2 v Fourierjevo vrsto na intervalu [ π, π) in nariši funkcijo h kateri dobljena vrsta konvergira 2 Poišči in klasificiraj lokalne ekstreme funkcije f (x, y) = cos x 1 + sin 2 y 3 Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe y + y = x cos x 4 Izračunaj integrala, če obstajata: (a) 0 xe x dx =, (b) 1 0 ln x x dx = 7

8 3 izpit 1999/00 1 Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe ( x 2 8xy 4y 2) y = x 2 + 2xy 4y 2 2 Funkcijo f : [0, π] R podano s predpisom f (x) = π x 2 razvij v Fourierjevo vrsto po samih kosinusih in skiciraj graf funkcije, h kateri dobljena vrsta konvergira 3 Ugotovi v katerih točkah na kardioidi ( x 2 + y 2 x ) 2 = x 2 + y 2 zavzame funkcija f (x, y) = (x 1) 2 + y 2 največjo oziroma najmanjšo vrednost 4 Izračunaj integrala: (a) x ln ( 1 + x 4) dx =, (b) π π sin2 x cos 2 xdx = 8

9 4 izpit 1999/00 1 Poišči rešitev diferencialne enačbe y 4y + 5y = 8 cos x za začetni vrednosti y (0) = y (0) = 1 2 Funkcijo f : [0, π] R podano s predpisom f (x) = π x 2 razvij v Fourierjevo vrsto po samih sinusih in skiciraj graf funkcije, h kateri dobljena vrsta konvergira 3 Del grafa funkcije f (x) = x 2 ln x, ki leži nad x-osjo zavrtimo okoli x-osi Izračunaj volumen nastale vrtenine 4 Poišči in klasificiraj ekstreme funkcije ( f (x, y) = x ) e x2 y 2 4 9

10 5 izpit 1999/00 1 Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe y + x 1 + x 2 y = x y 2 Funkcijo f (x, y) = arctan (x 2 + ) x 2 y 2 skiciraj definicijsko območje funkcije f, nariši nivojnici f (x, y) = 0 in f (x, y) = π 4, ter prerez grafa nad premico x = y 3 Funkcijo f : [ 1, 1] R podano s predpisom { 0 ; 1 x < 0 f (x) = x ; 0 x 1 razvij v Fourierjevo vrsto in skiciraj graf funkcije, h kateri dobljena vrsta konvergira 4 Naj bo f (x) = x 0 t arctan t 1 + t 2 dt Funkcijo f (x) izrazi eksplicitno (Izračunaj integral) 10

11 6 izpit 1999/00 1 Reši sistem diferencialnih enačb x = x + 2y y = x 5 sin t 2 Skiciraj krivuljo podano v parametrični obliki in x (t) = t 2 in y (t) = t t2 2 in izračunaj ploščino, ki jo omejujeta ta krivulja in x-os 3 Na vezi x 2 +2xy = 400 poišči točke, v katerih funkcija f (x, y) = 1 3 x2 y 2 x2 4 doseže ekstremne vrednosti 4 Izračunaj integrala: (a) x cos 3 xdx =, (b) dx = x 2 2x Pri točki (b) še določi definicijsko območje integranda in definicijsko območje dobljenega integrala 11

12 1 izpit 2000/01 1 Poišči lokalne ekstreme funkcije f (x, y) = ( 2x 2 + 3y 2) e x2 y 2 2 Funkcijo f : [ π, π] R, podano s predpisom f (x) = cos x 3 razvij v Furierjevo vrsto in skiciraj graf funkcije, h kateri dobljena vrsta konvergira S pomočjo dobljene vrste izračunaj še vsoto vrste k=1 1 9k Izračunaj integrala, če obstajata: (a) (b) 2 0 dx 1+x 2 dx (x 1) 2 4 Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe: y + y x = 5x y 12

13 2 izpit 2000/01 1 Poišči lokalne ekstreme funkcije f (x, y) = 2x 3 xy 2 + 5x 2 + y 2 Ali so to tudi globalni ekstremi? 2 Funkcijo f : [ π, π] R, podano s predpisom f (x) = sin x razvij v Furierjevo vrsto in skiciraj graf funkcije, h kateri dobljena vrsta konvergira 3 Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe y + 4y + 4y = e x sin 2x 4 Izračunaj integrala: (a) dx 1+3 cos 2 x =, (b) 2 0 6x (3x 2 +7) 2 dx = 13

14 Dodatna literatura M Dobovišek, M Hladnik, M Omladič, Rešene naloge iz Analize I, DMFA 1987, Ljubljana B Hvala, Zbirka izpitnih nalog iz analize : z namigi, nasveti in rezultati, DMFA 2000, Ljubljana P Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja I del, Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 2001, Ljubljana P Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja II del, Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 1989, Ljubljana I Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: I Peterin, Naloge za vaje iz Analize 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: I Peterin, Izpitne naloge iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: I Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: I Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: 14