Učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole

Transkripcija

1 Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič Skrivnosti števil in oblik 9 Učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole. izdaja

2 . ENAČBE. Reševanje linearnih enačb (B) in (Č) a) Ni. b) Ni. c) Ni. č) Je. a) x b) x a) Linearna enačba. b) Kubična enačba. c) Kvadratna enačba. č) Enačba 5. stopnje. 5 a) Da, z. b) Da, x. c) Ne. č) Ne. 6 a) u 7, u N b) x /, x Q c) y 8, y N č) m, m R 7 a) x, x, x Q b) x + 5, x 7, x N c) + x 0, x, x N č) x : 0, x 5, x Z 8 a) x b) x ; v U nima rešitve c) x { } č) x,5; v U nima rešitve 9 a) x b) x ; v U nima rešitve 0 a) x 0 b) x c) x ; v N ni rešljiva č) x ; ; v N ni rešljiva d) x 0 e) x 7; v N ni rešljiva a) N, Z b) N c) N, Z, Q a) x + 5, x b) x + 5 x +, x c) x +, x 6 a) x b) x 5 c) x č) x 0 d) x 0 e) x f) x 6 g) x h) x + i) x j) x k) x 0 a) Da. Enačba je linearna, ker ima spremenljivka, ki nastopa a) v njej, potenčno stopnjo. b) Število je rešitev enačbe, ker imata pri tej vrednosti b) spremenljivke obe strani enačbe enaki vrednosti. c) Število 0 ni rešitev enačbe, ker imata pri tej vrednosti b) spremenljivke obe strani enačbe različni vrednosti. č) Vrednost leve strani enačbe je -, desne pa. 5 a) x b) x c) x 7 č) x Enačba c ni ekvivalentna ostalim. 6 a) Vrednosti leve strani naraščajo za 5, vrednosti desne strani pa za. b) Rešitev enačbe je. Vrednost leve in desne strani enačbe je 7. c) Manjkajoče število je 5. 7 a 8 /. Linearne enačbe z oklepaji a) x b) x c) x 0 č) x { } d) x e) x f) x 8 g) x 6 h) x i) x a) x 6 b) x 7 c) x č) x d) x 8 e) x f) x g) x h) x i) x j) x k) x 0 l) x 8 m) x d) x a) x b) m 0 c) y 7 0 č) t. Linearne enačbe z ulomki a) x b) x 0 c) x 8 č) x d) x e) x f) x g) x 7 h) x 0 i) x 7 j) x 7 k) x l) x 0 m) x 9 a) x 8 b) x 8 c) x č) x { } d) x 8 e) x f) x 9 g) x 0 h) x i) x j) x 6 l) x a) x b) x č) x d) x 5 7 f) x g) x 0 k) x 0 c) x e) x. Linearne enačbe s produktom veččlenikov a) x b) x c) x 0 č) x 6 a) x 5, x Z b) x 7 x Q c) x 5, x N č) x 5, x Q a) x 6 b) x c) x č) x 0 a) x b) x c) x č) x d)x 5 a) x 6 b) x 6 a) R {, 5} b) R {, 0 7} c) R {5, 5} č) R {6 6} d) R {9, 9} e) R {, } f) R {5} 7 x 6 8 x 9 a) R {, } b) R { 5, 5 }.5 Rešitve linearne enačbe a) x b) x ; v U nima rešitve c) x { } č) x,5; v U nima rešitve a) Enačba je identiteta, R RR b) x c) x č) Enačba je identiteta, R RR d) x 5 e) Enačba nima rešitve. a) x z + y b) x a a 5 a 5; b 6 Če je m 5, enačba nima rešitve. Za vse ostale vrednosti parametra m pa je x ( + m)/(m 5).

3 .6 Izražanje neznank iz obrazcev a) F A s ; s A F a b) b o a c; c o a b č) O P pl ; pl P O c) U PI; I U P d) P pl ; pl P O e) p f ; f p e f) m Wp gh, h Wp mg V h) v v at ; t V a j) R RR R R ; R RR R R l) m Q c (T T ; T Q ) mc + T m) r F r ; F F F r r g) α i) r 60 pi πr ; r p π k) v P πr πr a) r 9 cm b) r 80 I πα a) c,75 cm b) c P ab a + b 5 a) x c; c R b) x 6m + ; m R c) x z; z R 6 a) x 6 ; a 0, a R b) x a 8 a c) x 60 p i πα ; a R ; a ; a R č) x a 5 a ; a 5; a R d) x a 9 ; a R e) x 7 a ; a 0; a R f) x a; a R 7 a) p (x + 5) b) x p 5 c) x 0 8 a) x a; a R; a 0 b) x c + ; c c) x 0a ; a č) x ; a R; a a d) x (a + ); a R; a.7 Linearne neenačbe a) x + risba b) y + risba c) z 5 + risba č) u 0 + risba Naloga ima več neskončno rešitev, podana je le ena izmed možnosti. a) x b) x c) x a) x b) y ½ c) t 5 č) m a) x b) y 0,5 c) m ½ č) t 6 5 a) x b) x 6 a) Neenačba nima rešitev. b) x c) x 7 a) Neenačba nima rešitve. b) R R c) R R.9 Naloge o številih To število je 8. To število je 5. Število 5. Število 8. 5 Število 0. 6 To število je. 7 a) S številom 8. (9 + 5) x 9 b) To je število. x c) To število je 6. x 6 x č) To so števila, in 5. x + (x + ) + (x + ) 0 8 To število je. Prav je imela Špela. 9 S številom 9. 0 a) To število je. x + 5 x 78 b) To število je. x x 7 c) Prišteti moraš število. 7 + x x 8 č) To število je 8. x x x + To so števila, in 5. To so števila 7, 8, 9 in 0. To so števila 0, in. To so števila, 6, 8 in 0. 5 To sta števili 55 in To so števila 9, in. 7 Število 5. 8 To število je 9. 9 Pri številu. 0 Pri številu. Pri številu 7. To število je. Za število. To število je. 5 / 6 / 7 Besedilu ustreza katerokoli število. Enačba, ki jo zapišemo po danem besedilu, je identiteta.. Naloge o starosti Marko je star leta. Mati je stara 5 let, hči pa 5 let. Mati je stara 6 let, oče pa 0 let. Čez dve leti. 5 Čez 8 let. 6 Mama je stara let, sin pa 8. 7 Peter je star let, Ana pa leta. 8 Pred 8 leti. 9 Čez 7 let. 0 Metka je stara leti, Janko pa 6. a) Tine je star 5 let. b) Skrit je podatek, da sta brata Tine in Nino enako stara in da bo Bine čez 8 let star 8 let. c) Odveč je podatek, da bo čez osem let oče praznoval 50. rojstni dan. č) Pri besedilnih nalogah o starosti lahko uporabimo tudi trojčke, praznovanje abrahama (50 let), prestopna leta Čez 9 let. Jaka je star leta, Tina pa 6 let. Kaja je stara 0 let. 5 Simon je star 8 let, Peter let, mati pa 0 let. 6 Čez 0 let. 7 Ne, ker se bosta oba postarala za leti, torej bo imel Jure let, mati pa 8 let (. 8). 8 Razlika njunih starosti je vedno starost, pri kateri je mama rodila. Pri vsaki od te starosti obstaja čas, ko je mama stara šestkrat toliko kot Sonja. Če želimo imeti le celoštevilske rešitve pa je možnost le 0, 5, 0, 5 in 0 let.

4 . Naloge iz geometrije a cm, b 8 cm in c 8 cm. a cm, b cm in c 7 cm. a 0 cm, b cm, p 60 cm. a) a 6 cm, b 0 cm, c cm. b) a 0 cm, b 5 cm, c cm. 5 p 8 m. 6 a) a 5 cm, b cm, p 95 cm. b) a 6 cm, b cm, p 9 cm. 7 Kota ob osnovnici merita po Koti štirikotnika merijo: α 0, β 80, γ 0, δ 0. 9 Ne. Koti merijo α 58, β 6, γ Koti merijo 0, 60 in 90. Koti merijo 78, 9 in 6. Stranica kvadrata meri cm, stranici pravokotnika pa 6 cm in 9 cm. Stranica kvadrata meri 6 cm, njegov obseg pa cm. Stranici pravokotnika merita 9 cm in cm, njegov obseg pa 6 cm. Višina prvega pravokotnika meri 9 cm, višina drugega pa cm. Obseg prvega pravokotnika meri 8 cm, obseg drugega pa 7 cm. 5 Stranici merita cm in 8 cm. Obsega se razlikujeta za cm. 6 Višini merita 9 cm in cm, obsega pa 50 cm in 8 cm. 7 8 Druga kateta meri 7 cm, hipotenuza 5 cm, obseg 56 cm, ploščina pa 8 cm. 9 Druga kateta meri 8 cm, hipotenuza 7 cm, obseg 0 cm, ploščina pa 60 cm. 0 / Običajno pravokotnik opišemo s podatki za dolžino, širino, obseg in ploščino. Pri nalogah lahko uporabimo tudi podatek o dolžini diagonale. Podatka x + 5 in x lahko predstavljata dolžino in širino pravokotnika, 60 pa je lahko številski podatek za obseg, ploščino ali za dolžino diagonale. Lahko sta tudi npr. podatka 60 in x podatka o dolžinah stranic, x + 5 pa predstavlja ploščino. Lahko sta podatka 60 in x podana za dolžine stranic, diagonala pa je dolga x + 5 Diagonali sta dolgi 8 cm in 6 cm, obseg pa meri 60 cm. a) (x + x) x, x b) (x + x ) x, x c) Če za neznanko izberemo manjšo količino, se izognemo računanju z ulomki. a) p(r + ) pr + 5p, r, množica rešitev ima samo en element. b) p(r + ) pr + p, enačba je identiteta, zato za množico rešitev velja R R. 5 Polmera merita približno 9 cm in 88 cm.. Naloge iz vsakdanjika Otrok je bilo, odraslih pa 96. Za učni uspeh je bilo nagrajenih 6 učencev, za športne dosežke 8, za uspeh na natečajih pa 9 učencev. Prvi deček je dobil 6, drugi 8, tretji pa 6. Najstarejši je dobil,50, drugi 9,50, tretji 5, najmlajši pa. 5 Na izlet je odšlo 0 učencev. 6 Nova cena vrtnice je bila,80. 7 Knjiga ima 00 strani. 8 Travnik meri 8 ha 9 a) Če je tretja palica enaka polovici prve, so dolžine prve palice lahko: 8, 0,,... dm. b) Če je tretja palica enaka polovici druge palice, so dolžine prve palice lahko: 5, 7, 9,... dm. 0 Špela je imela 5. Država je na olimpiadi imela 00 udeležencev. Pridelal je 600 kg krompirja. V albumu je 0 sličic. V oddelku a so zbrali 80 kg, v oddelku b pa 60 kg papirja. 5 Kaja je zapravila 0,90, Jure pa 9,0. 6 Špela ima 55 sličic, Rok pa V prvem prostoru je 6 ljudi, v drugem pa. 8 V živali je bilo maskiranih 5 učencev. 9 / 0 Pri enem kuhanju porabi gram posušene mete. Lovro je skočil,6 m daleč. Mala ikona predstavlja 000 ton prepeljanega tovora, velika ikona pa 5000 ton. Junija so prepeljali 000 ton, julija ton, avgusta pa 000 ton. Enačba, ki opisuje situacijo je x + x 0, pri čemer neznanka x predstavlja število otrok v otroški sobi. Rešitev enačbe x / ni realna. a) Pravila so lahko različna. Eno izmed pravil bi lahko bilo:»vsakemu otroku da toliko evrov kolikor je star, preostali denar pa razdeli v enakih zneskih med vnuke.«b) ( ) + x 50, neznanka x predstavlja znesek, ki ga dedek doda vsakemu vnuku ne glede na njegovo/njeno starost. c) Nika dobi 6,50, Tim,50, Maja 0,50 in Anej 8,50. Zneski so odvisni od njihove starosti, njihova vsota pa je ravno 50.. Naloge o gibanju Razdalja med krajema je 8 km. Kolesar vozi s hitrostjo km h. Prevozil bi 8 km s hitrostjo km h. S hitrostjo 8 km h. S hitrostjo 60 km h. 5 Čez ure, ko bo prvi prehodil 5 km, drugi pa 8 km. 6 Srečala se bosta ob 9.0, pešec je 5 km, kolesar pa 5 km od doma. 7 Ne. 8 Dohitel ga bo ob. uri, po 0 km poti. 9 Srečala se bosta ob. uri, ko bo Špela prevozila km. 0 Dohitel ga bo ob. uri, ko opravita 60 km. Po dveh urah. Čez,5 ure. Meta je morala voziti s hitrostjo 8 km h. Naloga nima rešitve, saj se je avtobus odpravil na pot kasneje in je vozil počasneje. Na ta način nikoli ne bo dohitel avtomobila.. Sistem linearnih enačb Dani rešitvi ne ustrezata sistemu enačb. Dani rešitvi ne ustrezata sistemu enačb. x, y 7 x, y 5 x, y 6 Smiselno je izraziti neznanko x iz prve enačbe; x, y. 7 SŠIO 9 Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama, nal.

5 8 a) Masa kroglice je 5 kg, masa kocke pa 0 kg. b) x y + in x + 5 y +, masa kroglice je kg, kocke pa kg. 9 6 in 0. 0 x, y 5 Na parkirišču je 0 avtomobilov in o mopedov. Vrtnice stanejo, gerbere pa. Mojster 0, pomočnik 80. Pravilno je rešil 6 nalog, nepravilno pa 8. 5 Dolžina meri cm, širina pa 8 cm. 6 6, 5 in odraslih, 0 otrok. 8 / 9 a) x a, y 5 a b) a.5 Algebrske enačbe (A) in (C) Pri algebrskih enačbah neznanka nastopa v imenovalcu ulomka. a) Je. b) Ni, saj pri vrednosti x 6 ulomek ni definiran. a) Enačba nima pomena pri x. b) Enačba nima pomena pri x 0 in x 5. c) Enačba nima pomena pri x in x. a) Je. b) Ni, saj pri vrednosti x enačba nima pomena. 5 a) x b) x c) x č) x d) x e) x 6 a) Je, saj ima neznanko v imenovalcu. b) x 0 c) x č) Leva stran enačbe: stani:. (9 ) ( ) 7 a) x b) x 7 (6 ) je enaka desni 8 8 a) x b) x 5 9 a) x b) x 8 0 Da je enačba smiselna, mora veljati: x in x 5. Rešitev je x 5. V desetih urah. Ker ne vemo, koliko bombonov prinese učiteljica, ima naloga več rešitev. Razred ima lahko 6 učencev, učiteljica prinese 8 bombonov. Razred ima lahko 0 učencev, učiteljica prinese 80 bombonov. Razred ima učencev, učiteljica prinese 0 bombonov Trajekt bi moral voziti s hitrostjo 60 km/h. 0 ur 5 5 ur Drugi stroj bi delo sam opravil v urah. Preverimo znanje a) (A) Je. (B) Ni. (C) Ni. b) Linearni sta enačbi (A) in (C)), saj je pri neznanki x stopnja potence. x Leva stran (L) enačbe: + ( 7). a x b) x 8 Enačbi nista ekvivalentni, saj nimata enake množice rešitev. a) x b) x, x a) v b) v (P a) a 5 Algebrska enačba, x 6 To število je 5. 7 Mati je stara 0 let, hči pa 6 let. 8 Koti merijo: α 88, β, γ 8. 9 Metka mora rešiti 5 nalog. 0 x + Risba Jabolka stanejo,50, hruške pa. a)????? b) m Izleta se udeleži 8 prijateljev. Vsak od njih plača 50. 5