UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Velikost: px
Začni prikazovanje s strani:

Download "UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA"

Transkripcija

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Gloria Vidmar Konstrukcija nikjer odvedljive zvezne funkcije DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015

2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Dvopredmetni učitelj Kandidatka:Gloria Vidmar Mentor: izr.prof.dr.marko Slapar Konstrukcija nikjer odvedljive zvezne funkicje DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015

3

4 Zahvala Hvala mentorju, izr. prof. dr. Marku Slaparju, za strokovno vodenje in nasvete ter za vložen trud in čas v moje diplomsko delo. Hvala družini, najprej zato, ker mi je študij sploh omogočila, pa tudi za vso skrb in moralno podporo tekom le tega. Hvala kolegom, ki so postali prijatelji, in študij naredili zabavnejši.

5

6 Povzetek V prvem delu diplomskega dela najprej ponovimo nekaj lastnosti realne funkcije, zveznosti, odvedljivosti in funkcijskih vrst, saj so ti pojmi ključni za razumevanje nikjer odvedljivih funkcij. V drugem delu je predstavljenih nekaj novih izrekov in pojmov, kot je na primer Labesguov izrek in funkcije z omejeno variacijo ter Weierstrassova funkcija, ki velja za prvi primer nikjer odvedljive funkcije. V zadnjem delu diplomskega dela je predstavljena van der Waerden-Takagijeva funkcija z generaliziranimi parametri in dokaz, da je funkcija zvezna in nikjer odvedljiva. Ključne besede: realna funkcija, zvezne funkcije, nikjer odvedljive funkcije, funkcije z omejeno variacijo, Weierstrassova funkcija, van der Waerden- Takagijeva funkcija. Abstract In first part of this thesis some basic concepts are repeated, such as continuity, differentiability and functional series since we must understands those concepts to understand nowhere differentiable functions. In the second part we present some new theorems and concepts, such as Labesgue theorem, functions with bounded variation and Weierstrass function, which is the first example of nowhere differentiable continuous function. In the last part of thesis the van der Waerden-Takagi function with generalized parameters is presented, also with proof that this funciton is nowhere differentiable but continuous everywhere. Keywords: functions, continuous function, nowhere differentiable functions, functions with bounded variation, Weierstrass function, van der Waerden-Takagi function.

7

8 Kazalo Slike Poglavje 1. Uvod 1 Poglavje 2. Osnovni pojmi Realna funkcija in zveznost Odvod Funkcijsko zaporedje in funkcijske vrste 7 Poglavje 3. Nikjer odvedljive zvezne funkcije Lebesguov izrek in funkcije z omejeno variacijo Van der Waerden-Takagijeva funkcija 14 Literatura 23

9 Slike 1 Weierstrassova funkcija, vir [6] Funkcija f(x) Funkcija a 0 (x) Takagijeva funkcija (levo) ter Van der Waerdenova funkcija (desno), vir [6]. 16

10 POGLAVJE 1 Uvod Ko govorimo o nikjer odvedljivih funkcijah, mislimo na funkcije, ki so na določenem intervalu zvezne v vsaki točki intervala, v nobeni točki pa niso odvedljive. Zveznost in odvedljivost funkcij sta sicer večkrat predstavljeni tako, da bi lahko pomotoma sklepali, da je odvedljivost posledica zveznosti in da so nikjer odvedljive funkcije izjema. Vzrokov za to zmotno mišljenje je veliko. Praktično vse funkcije, s katerimi se študentje ukvarjajo v času študija, so odvedljive na celotnem intervalu, kjer so tudi zvezne, z izjemo nekaterih, ki niso odvedljive v le nekaj točkah. Eden izmed razlogov se nahaja tudi v dejstvu, da če je funkcija v neki točki odvedljiva, je v tej točki tudi zvezna. Mnogi zaradi te povezanosti med pojmoma zveznost in odvedljivost funkcije zmotno menijo, da izrek drži tudi v drugo smer torej da je funkcija v točki, kjer je zvezna, zagotovo odvedljiva. Seveda se večkrat srečajo s funkcijami, kjer to drži, vendar v splošnem ni tako [1]. Problem nikjer odvedljivih funkcij so začeli raziskovati v začetku devetnajstega stoletja. Med večino matematikov je sicer veljalo prepričanje, da ima vsaka zvezna funkcija v skoraj vsaki točki tudi odvod. A.M. Ampère je to prepričanje skušal podpreti z dokazom, ki pa je temeljil na tedaj še nepopolnih definicijah. Matematično skupnost je dodobra pretresel Karl Weierstrass, ki je leta 1872 na Berlinski akademiji znanosti Ampèrov dokaz zavrgel, saj je predstavil funkcijo, ki je bila na celotnem definicijskem območju zvezna, vendar v nobeni točki tega območjo odvedljiva. Ta primer je bil prvič objavljen leta Weierstrass je v svojih spisih večkrat omenil Riemmana, ki je menda na podoben način skonstruiral nikjer odvedljiv zvezno funkcijo že leta 1861, kljub temu njegovo delo ni bilo nikjer objavljeno. Vendar ne Riemman ne Weierstrass nista prva, ki sta uspešno skonstruirala primer take funckije. Češki matematik Bernard Bolzano je nikjer odvedljivo zvezno funkcijo konstruiral okoli leta 1830, vendar so njegovo delo našli šele na začetku dvajsetega stoletja, objavili pa leta Prav tako je bil pred Weierstrassom na tem področju uspešen tudi švicarski matematik Charles Cellerier, ki je leta 1860 prav tako našel primer nikjer odvedljive zvezne funkcije, vendar je bilo tudi njegovo delo objavljeno kasneje, in sicer leta Po Weierstrassovi objavi je število primerov nikjer odvedljivih zveznih funkcij začelo naraščati [6]. 1

11 POGLAVJE 2 Osnovni pojmi Pri obravnavi nikjer odvedljivih zveznih funkcij je potrebno dobro poznati nekaj matematičnih konceptov, ki jih bomo predstavili v tem poglavju. To sta seveda pojma zveznost in odvedljivost, nekoliko pa se bomo posvetili tudi nekaterim osnovnim lastnostim realne funkcije in funkcijske vrste. Ker gre v tem poglavju v pretežni meri le za ponovitev osnovnih pojmov, potrebnih za razumevanje snovi v nadaljevanju, bomo večino izrekov predstavili brez dokazov. Glavna vira tega poglavja sta [3] in [4] Realna funkcija in zveznost Realna funkcija ene realne spremenljivke je preslikava f : D R, kjer je D R. Funkcija torej vsakemu elementu x D priredi točno določen element f(x) R. Množico D imenujemo definicijsko območje funkcije f, množico {f(x), x D} pa zaloga vrednosti funkcije. Ker bo v celotnem diplomskem delu govora le o realni funkciji realnih spremenljivk, bo zaradi krajšega zapisa za ta pojem uporabljen le izraz funkcija. V nadaljevanju bomo predvsem pri pregledu lastnosti odvoda in funkcijskih vrst velikokrat srečali pojem limite. Definicija 2.1. Naj bo f definirana v neki okolici točke a, razen morda v a. Število A je limita funkcije f v a, če za vsak ɛ > 0 obstaja δ > 0, da je f(x) A < ɛ, če je le x a < δ, x a. Limita je torej vrednost, ki se ji približuje f(x), ko se vrednost spremenljivke x približuje številu a. Kot je bilo že prej omenjeno, je en izmed konceptov, ki jih moramo za razumevanje teme diplomskega dela dobro poznati, zveznost. Zveznost je eden od osnovnih pojmov matematične analize. S tem pojmom želimo formalizirati princip, kadar majhne spremembe vhodnih podatkov pri funkciji povzročijo le majhne spremembe v rezultatu. Definicija 2.2. Funkcija f : D R je zvezna v točki a D, če za vsak ɛ > 0 obstaja δ > 0, tako je da je f(x) f(a) < ɛ če je le x a < δ. Funkcija f : D R je zvezna na množici D, če je zvezna v vsaki točki množice D. 2

12 Za funkcije, ki so zvezne na svojem definicijskem intervalu, rečemo le, da so zvezne, same množice D pa pri tem ne omenjamo. V nadaljevanju se bo torej pojem zvezna funkcija nanašal na funkcijo, zvezno na njenem definicijskem intervalu. Zveznost funkcije lahko predstavimo tudi drugače, in sicer z uporabo pojma limite funkcije ali pa preko konvergence zaporedij. Izrek 2.3. Naj bo funkcija f : I R realna funkcija, definirana na intervalu I in a I poljubna točka intervala. Potem je f zvezna v a natanko tedaj, ko velja f(a) = lim x a f(x) V primeru, da je točka a robna točka intervala I, moramo zgornjo limito zamenjati bodisi z levo, bodisi z desno limito. Izrek 2.4. Funkcija f : D R je zvezna v a D natanko tedaj, ko za vsako zaporedje (a n ) n=1 D, ki konvergira proti a velja lim f(a n) = f(a). n Običajne operacije na funkcijah ohranjajo zveznost, kot lahko vidimo v naslednjem izreku. Izrek 2.5. Naj bosta funkciji f in g definirani na D in zvezni v točki a D. Potem so v točki a zvezne tudi f + g, f g in fg. Če g(a) 0, potem je zvezna tudi f g. Naj bosta f : d f R in g : D g R ter naj velja f(d f ) D g. Če je f zvezna v točki a D f in g zvezna v f(a), je v točki a zvezna tudi funkcija g f. Poglejmo si nekaj primerov funkcij, ki so zvezne na celotnem definicijskem območju, v le nekaj točkah le-tega, ali pa sploh niso zvezne. Primer 2.6. (1) Polinomi so povsod zvezne funkcije. (2) Racionalne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane. (3) Funkcija 1 za x < 0, f(x) = 0 za x = 0, 1 za x > 0. je zvezna povsod, razen v točki 0. Podobno lahko dobimo funkcijo, ki bo zvezna povsod, razen na množici izoliranih točk. 3

13 (4) Funkcija { 0 za x iracionalen ali x = 0, f(x) = 1/n za x = m racionalen, in (m, n) = 1. n je zvezna v vseh iracionalnih številih in v 0, ter nezvezna v vseh drugih racionalnih številih. (5) Primer funkcije, ki je povsod definirana, zvezna pa v nobeni točki definicijskega območja { 1 za x racionalen, f(x) = 0 za x iracionalen. Definicija 2.7. Funkcija f : D R je enakomerno zvezna na D, če za vsak ɛ > 0 obstaja δ > 0, tako je da je f(x) f(y) < ɛ za vsaka x, y D, za katera velja x y < δ. Kakšna je torej razlika med zvezno in enakomerno zvezno funkcijo? Iz definicije 2.2 vidimo, da je δ odvisen od ɛ. Za enakomerno zvezno funkcijo pa velja, da obstaja δ, ki je dober za vsak x. Vsaka funkcija, ki je enakomerno zvezna na D, je seveda tudi zvezna na D, medtem ko obrat velja v primeru, če je definicijsko območje kompaktno. Izrek 2.8. Naj bo f : K R zvezna, kjer je K kompaktna. Potem je f tudi enakomerno zvezna. Primer 2.9. Funkcija f : R R, f(x) = x 2 je zvezna, ni pa enakomerno zvezna. Za enakomerno zveznost želimo, da obstaja δ, ki ustreza vsakemu x. Izberimo ɛ = 1, δ pa naj bo poljubno pozitivno število. Za poljuben x naj velja še y = x + δ, torej je 2 x y = δ < δ. Da je funkcija enakomerno zvezna, mora veljati še f(x) f(y) < ɛ. 2 f(x) f(y) = x 2 (x + δ 2 )2 = δx + δ2 4 > δx. Če je x > 1 δ, velja f(x) f(y) > ɛ = 1. Noben δ torej ni primeren za ɛ in funkcija f(x) = x 2 ni enakomerno zvezna. Poglejmo še dva pojma, povezana z zveznostjo funkcije. Definicija Funkcija f : D R je Lipschitzova na D, če obstaja taka konstanta C > 0, da velja f(x) f(y) C x y 4

14 za vsaka x, y D. Izrek Če je funkcija Lipschitzova na D, je na D tudi enakomerno zvezna. Dokaz. Za ɛ izberemo δ tako, da velja δ = ɛ ter predpostavimo, da je funkcija C Lipschitzova. Naj velja x y < δ. Glede na to, kako smo izbrali δ in ɛ, velja x y < ɛ. Ker je C > 0, lahko izraz pomnožimo s C in dobimo C x y < ɛ. Ker C je funkcija Lipschitzova, velja f(x) f(y) C x y < ɛ. Velja torej, da je f(x) f(y) < ɛ za vsaka x, y, za katera velja x y < δ in funkcija je zato enakomerno zvezna. Primer (enakomerno) zvezne funkcije, ki ni Lipshitzova, je naslednji: f : [0, 1] R, f(x) = x. Definicija Funkcija f : D R je Hölderjeva za eksponent α, če obstaja taka konstanta M, da velja kjer je M konstanta. f(x) f(y) M x y α Opazimo lahko, da če je eksponent α enak 1, je funkcija f Lipschizova. je α > 1, pogoju zadoščajo le konstantne funkcije. Če Za 0 < α 1 je funkcija f : [0, 1] R, f(x) = x α Hölderjevo zvezna za β α in ni Hölderjevo zvezna za β > α. Primer (enakomerno) zvezne funkcije, ki ni Hölderjevo zvezna za noben eksponent, je funkcija f : [0, 1] R, kjer je f(x) = 1 in f(0) = 0. Maksimalna log x vrednost eksponenta α, da je funkcija Holderjevo zvezna za ta eksponent, je povezana tudi z obstojem odvoda funkcije f na definicijskem območju, zato je Holderjevo zveznost smiselno omenjati in raziskati pri primerih nikjer odvedljivih funkcij Odvod Tudi odvod je, tako kot zveznost, zelo osnoven pojem realne analize. Ker se bomo v nadaljevanju ukvarjali s funkcijami, ki niso nikjer odvedljive, nas najbolj zanima, kakšnim pogojem mora funkcija ustrezati, da je odvedljiva v neki točki, ter kako sta povezana pojma odvedljivost in zveznost. Definicija Naj bo funkcija f definirana v okolici točke a R. f(x) f(a) limita lim x a, rečemo, da je f odvedljiva v točki a in limito x a f (a) = lim x a f(x) f(a) x a 5 Če obstaja

15 imenujemo odvod funkcije f v točki a. Funkcija f : (a, b) R je odvedljiva na odprtem intervalu (a, b), če je odvedljiva v vsaki točki x (a, b). Če je funkcija f odvedljiva na (a, b) in je njen odvod f (x) zvezna funkcija na (a, b), rečemo, da je f zvezno odvedljiva na (a, b). Odvod v točki a lahko zapišemo tudi kot limito : f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h pri čemer smo uvedli novo spremenljivko x = h a. Opomba V kolikor je funkcija definirana na zaprtem intervalu [a, b] definiramo desni odvod funkcije v točki a kot limito f(x) f(a) lim x a + x a oziroma levi odvod funkcije v točki b kot limito f(x) f(b) lim. x b x b Funkcija f je na zaprtem intervalu [a, b] odvedljiva, če je odvedljiva v vsaki točki x (a, b) in je v levem krajišču a odvedljiva z desne, v desnem krajišču b pa z leve. Funkcija f je seveda v neki notranji točki odvedljiva natanko tedaj, ko obstajata v tej točki levi in desni odvod, ki sta enaka. Izrek Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je v točki a tudi zvezna. Dokaz. Vemo, da za zvezno funkcijo velja f(a) = lim x a f(x). Predpostavimo, da je funkcija f odvedljiva. Potem velja lim x a f(a) f(x) = lim(f(a) + (x a)f(x) x a x a = f(a) + 0f (a) = f(a). Obratno ne velja če je funkcija v neki točki zvezna, ni nujno, da je v isti točki tudi odvedljiva. To lahko prikažemo z naslednjim primerom. Primer Takoj lahko najdemo primer za funkcijo, ki je v neki točki zvezna, ni pa v tej točki odvedljiva. Poglejmo kako je z zveznostjo in odvedljivostjo funkcije f(x) = x v točki x = 0. Da je funkcija x v točki 0 zvezna, je očitno, saj velja f(0) = 0 = lim x 0 x. Da pa funkcija x v točki x = 0 ni odvedljiva, lahko pokažemo z izračuni levega in desnega odvoda v tej točki. Ker sta odvoda različna odvod z leve v točki x = 0 je enak 1, odvod z desne v isti točki pa je enak 1, odvod v točki x = 0 ne obstaja in funkcija torej v tej točki ni odvedljiva. 6

16 2.3. Funkcijsko zaporedje in funkcijske vrste Funkcijsko zaporedje rečemo zaporedju funkcij f 1, f 2,..., ki so vse definirane na skupni podmnožici D R. Zaporedje takih funkcij bo v nadaljevanju označeno s (f n ). Pri obravnavi konvergence si oglejmo dva pojma, in sicer konvergenco po točkah ter enakomerno konvergenco. Definicija Funkcijsko zaporedje (f n ) konvergira po točkah na D proti funkciji f : D R, če za vsak x D velja Funkciji f rečemo limita zaporedja. lim f n(x) = f(x). m Zaradi uporabe konvergence pri obravnavi nikjer odvedljivih funkcij nas zanima, kako zveznost in odvedljivost posameznih členov vpliva na zveznost in odvedljivost limitne funkcije. Primer Oglejmo si funkcije f n : [0, 1] R, definirane kot f n (x) = x n. Za vsak x [0, 1) velja medtem ko za x = 1 velja lim f n(x) = lim x n = 0, n n lim f n(1) = lim 1 = 1. n n Funkcija, ki je limita tega zaporedja, ima torej predpis { 0 za 0 x < 1, f(x) = 1 za x = 1. Funkcija f(x) ni zvezna na intervalu [0, 1], čeprav so na tem intervalu zvezne vse funkcije f n. Vidimo, da se pri konvergenci po točkah zveznost ne ohranja. Poglejmo si zato še pojem enakomerne konvergence. Definicija Funkcijsko zaporedje (f n ) konvergira enakomerno na D R proti funkciji f : D R, če za vsak ɛ > 0 obstaja tak n 0, da je f n (x) f(x) < ɛ za vsak x D in vsak n n 0. Funkciji f rečemo enakomerna limita zaporedja (f n ). Pogoj, da je zaporedje funkcij enakomerno konvergentno, je strožji od pogoja za konvergenco po točkah. Zato velja, da če funkcijsko zaporedje enakomerno konvergira proti funkciji f, k tej funkciji konvergira tudi po točkah, obratno pa ne. 7

17 Poglejmo si dva izreka, s katerima si lahko pomagamo pri dokazovanju zveznosti oziroma odvedljivosti funkcijskih zaporedij. Ta dva izreka veljata le za enakomerno konvergenco, ne pa tudi za konvergenco po točkah. Izrek Naj zaporedje funkcij (f n ) na D enakomerno konvergira proti funkciji f : D R. Če so vse f n zvezne v točki a D, potem je tudi f zvezna v a. Če so vse f n zvezna na D, je na D zvezna tudi f. Izrek Naj bodo f n zvezno odvedljive funkcije, ki na odprtem intervalu I konvergirajo proti zvezni funkciji f. Naj odvodi f n enakomerno konvergirajo na I proti funkciji g. Potem je f odvedljiva in velja f (x) = g(x). Funkcijska vrsta je vsota oblike f n (x), n=1 f n so funkcije, definirane na podmnožici D R. Podobno kot pri funkcijskih zaporedjih lahko gledamo različne načine konvergence oziroma vsote vrst, in sicer konvergenco in enakomerno konvergenco. Definicija Funkcijska vrsta n=1 f n konvergira proti f na D R, če za vsak x D velja f(x) = f n (x). n=1 Če za vsak x D konvergira vrsta n=1 f n(x), rečemo, da vrsta konvergira absolutno proti f(x). Funkcijo f imenujemo vsota funkcijske vrste. Označimo z s(x) = n k=1 f n-to delno vsoto vrste, ki je v tem primeru torej funkcija s n : D R. Vrsta konvergira na D proti f natanko tedaj, ko proti f po točkah konvergira funkcijsko zaporedje delnih vsot (s n ). Definicija Funkcijska vrsta n=1 f n konvergira enakomerno proti f na D R, če zaporedje delnih vsot vrte (s n ) enakomerno konvergira proti f(x). vrste. Oglejmo si še dva izreka, ki govorita o zveznosti in odvedljivosti vsote funkcijske Izrek Naj funkcijska vrsta n=1 f n konvergira enakomerno na D R in naj bo f : D R vsota vrste. Če so vse f n zvezne v točki a D, je v a zvezna tudi f. Če so f n zvezne na D, je na D zvezna tudi f. Izrek Naj bodo f n zvezno odvedljive na odprtem intervalu I in naj funkcijska vrsta n=1 f n konvergira na I proti f : I R. Naj n=1 f n konvergira enakomerno na I proti g : I R. Potem je f odvedljiva na I in velja f = g. 8

18 Weierstrassov M-test nam lahko služi kot orodje, s katerim pokažemo, da neskončno zaporedje funkcij enakomerno konvergira, kar nam lahko dobro služi tudi pri dokazovanju zveznosti funkcijske vrste (izrek 2.24 nam namreč poveže enakomerno konvergenco ter zveznost vrste). Poimenovan je po Karlu Weierstrassu, ki je, kot je že v uvodu omenjeno, prvi matematik, ki je predstavil in objavil primer nikjer odvedljive zvezne funkcije. Izrek Naj bo (M n ) zaporednje pozitivnih realnih števil, tako da f n (x) < M n za vsak x D in n N. Če vrsta konvergira, potem funkcijska vrsta n=1 n=1 konvergira enakomerno in absolutno na D. Dokaz. Naj bo f = lim s n vsota vrste in s n delne vsote. Naj bo ɛ > 0 poljuben. Vrsta n=1 M n konvergira in zato obstaja tak n 0, da velja M n < ɛ, če je n n 0. Za tak n potem velja f(x) s n (s) = k=n+1 k=n+1 M n f n f n (x) k=n+1 M n < ɛ. 9

19 POGLAVJE 3 Nikjer odvedljive zvezne funkcije Leta 1872 je Karl Weierstrass na Berlinski akademiji znanosti predstavil primer nikjer odvedljive zvezne funkcije. Zavedal se je, da se je s konstrukcijo podobne funkcije ukvarjal že Riemman (okoli leta 1861,) ki je s tem želel predstaviti protiprimer Ampérovemu izreku, ki je trdil, da je vsaka zvezna funkcija tudi odvedljiva, razen morda v nekaj točkah svojega definicijskega območja. Riemmanov primer in dokaz nista bila nikoli objavljena, niti nista bil najdena med njegovimi zapiski. Tudi nekateri drugi matematiki so se ukvarjali s tem področjem in poskušali skonstruirati primere takih funkcij in tudi uspeli. Ker pa je bila funkcija, ki jo je predstavil Weierstrass, prva javno predstavljena in objavljena, se jo večkrat omenja kot prvo tako funkcijo. Weierstrass je funkcijo, ki je po njemu tudi poimenovana, definiral kot: W 1 (x) = a n cos(b n πx), za 0 < a < 1, ab > 1 + 3π/2 in b > 1 liho število. Weierstrassova funkcija je bila torej prvi objavljen primer take funkcije, vendar pa je bolj natančne dokaze glede zveznosti in neodvedljivosti te funkcije predstavil Paul du Bois-Reymond leta 1875, ki je sicer izhajal iz Riemmanovega primera, upošteval Weierstrassovo odkritje in pripombe k članku, dodal zgodovinsko ozadje o tej temi in tako objavil članek, kjer je povzel vsa odkritja in prelome na področju nikjer odvedljivih zveznih funkcij. Weierstrassovo funkcijo je predstavil v nekoliko drugačni obliki, in sicer: sin(a n x) W 2 (x) =, b n kjer je a b > 1. Z Weierstrassovo funkcijo so se ukvarjali matematiki tudi kasneje. Leta 1916 je Hardy dokazal, da je zgoraj definirana funkcija W 1 (x) zvezna in nikjer odvedljiva za parametre 0 < a < 1, ab 1 in b > 1 ter ni nujno, da je b liho število. Eden od razlogov, da je ta funkcija in sama tema nikjer odvedljivih zveznih funkcij požela toliko zanimanja, je tudi v tem, da si je nikjer odvedljive funkcije zelo težko predstavljati in praktično nemogoče narisati. Razlog je v tem, da ne smemo narisati nobenega intervala, kjer bi funkcija naraščala ali padala, saj bo funkcija na 10

20 tem intervalu odvedljiva. Spodnja slika torej ne predstavlja prave Weierstrassove funkcije, temveč je le skica za lažjo predstavitev oblike funkcije. Slika 1. Weierstrassova funkcija, vir [6] Lebesguov izrek in funkcije z omejeno variacijo Kot je bilo že omenjeno, si nikjer odvedljive zvezne funkcije težko predstavljamo. V tem razdelku bo predstavljenih nekaj izrekov in novih pojmov, ki nam bodo pomagali razumeti, zakaj je temu tako. Glavni vir v tem razdelku je [2]. Najprej si oglejmo, kaj pomeni, da ima neka množica mero nič. Definicija 3.1. Podmnožica E R ima mero nič (označimo m(e) = 0) tedaj, ko za vsak ɛ > 0 obstaja števna množica intervalov {(a n, b n )}, tako da (a n, b n ) E in (b n a n ) < ɛ. Podmnožice z mero nič so torej podmnožice, ki so v nekem smislu zanemarljive. Za neko lastnost rečemo, da velja skoraj povsod, če morda ne velja zgolj na množici z mero 0. Naslednji izrek je eden od glavnih izrekov pri razumevanju odvedljivosti funkcij. Izrek 3.2 (Lebesguov izrek). Če je funkcija f monotona na odprtem intervalu (a, b), je na intervalu (a, b) skoraj povsod odvedljiva. Če imamo torej monotono funkcijo na intervalu (a, b), potem ta funkcija mogoče ne bo odvedljiva le na E (a, b), pri čemer je E podmnožica z mero nič. Lebesguov izrek, objavljen leta 1904, je eden od pomembnejših izrekov teoriji funkcij realnih spremenljivk. Dokaz izreka lahko najdemo na primer v [2]. Med drugim nam izrek pove, da za nikjer odvedljive funkcije ne more obstajati noben interval, na katerem bi bila ta funkcija monotona. Če torej začnemo v koordinatni sistem risati poljubno funkcijo, bo le-ta skoraj povsod odvedljiva, saj je nemogoče skicirati graf funkcije, 11

21 ki ne bi bila lokalno monotona, razen morda v nekaj točkah. Zato si je povsod neodvedljive zvezne funkcije tudi težko predstavljati. Če torej velja, da so monotone funkcije skoraj povsod odvedljive, velja tudi, da so skoraj povsod odvedljive tudi funkcije, ki so razlika dveh naraščajočih funkcij. V nadaljevanju bo predstavljen razred funkcij na zaprtem intervalu, ki jih lahko predstavimo kot razliko naraščajočih funkcij. Kot bomo videli, je razred takih funkcij precej velik. Naj bo f realna funkcija definirana na zaprtem intervalu [a, b] in P = {x 0, x 1,..., x k } particija intervala [a, b]. Definirajmo variacijo funkcije f glede na razdelitev P kot k V (f, P ) = f(x i ) f(x i 1 ), i=1 ter popolno variacijo funkcije f na [a, b] kot T V (f) = sup{v (f, P ) P particija intervala [a, b]}. Definicija 3.3. Naj bo f realna funkcija na zaprtem, omejenem intervalu [a, b]. Funkcija f je funkcija z omejeno variacijo na [a, b], če velja T V (f) <. Lahko bi rekli, da so funkcije z omejeno variacijo funkcije, ki na določenem intervalu ne oscilirajo zelo na gosto. Poglejmo si nekaj primerov funkcij z omejeno variacijo na zaprtem intervalu. Primer 3.4. Naj bo f naraščajoča funkcija na intervalu [a, b]. funkcija z omejeno variacijo in velja Potem je f T V (f) = f(b) f(a). Da so naraščajoče funkcije res funkcije z omejeno variacijo, je očitno. Primer 3.5. Naj bo f Lipshitzova funkcija na [a, b]. omejeno variacijo na [a, b] in velja Potem je f funkcija z T V (f) < C (b a), kjer je f(x) f(y) C x y za vsak x, y iz [a, b]. Za vsako particijo P intervala [a, b] namreč velja k k V (f, P ) = f(x i ) f(x i 1 C x i x i 1 = C (b a). i=1 i=1 Vrednost C (b a) je zgornja meja množice vseh variacij funkcije f glede na particije intervala [a, b] in zato velja V T (f) C (b a). 12

22 Da so Lipschitzove funkcije funkcije z omejeno variacijo, lahko sklepamo že intuitivno - že sama lastnost f(x) f(y) C x y nam pove, da je spreminjanje naklona funkcije omejeno z neko konstanto. Primer 3.6. Poglejmo še primer funkcije, ki ima neomejeno variacijo. Definirajmo funkcijo { f na intervalu [0, 1]. x cos(π/2x) za 0 < x 1, f(x) = 0 za x = 0. Že iz grafa lahko vidimo, da funkcija hitro narašča in pada, predvsem ko se približuje ničli. Slika 2. Funkcija f(x). Funkcija f je na intervalu [a, b] zvezna, na tem intervalu pa nima omejene variacije. Da se v to prepričamo, si oglejmo particijo P n = {0, 1/2n, 1/(2n 1),..., 1/3, 1/2, 1}, kjer je n naravno število. Potem je V (f, P n ) = 1 + 1/ /n. Ker harmonična vrsta divergira, funkcija f ni funkcija z omejeno variacijo. Izrek, poimenovan tudi Jordanov izrek, poveže pojma funkcij z omejeno variacijo ter naraščajočih funkcij. Izrek 3.7 (Jordanov izrek). Funkcija f je funkcija z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu [a, b] če in samo če je f razlika dveh naraščajočih funkcij na [a, b]. Dokaz. Naj bo f funkcija na [a, b] in naj velja f = g h, kjer sta g in h naraščajoči funkciji na [a, b]. Za vsako particijo P = {x 0, x 1,..., x k } intervala [a, b] 13

23 tedaj velja: V (f, P ) = = = k f(x i ) f(x i 1 ) i=1 k (g(x i ) g(x i 1 ) + (h(x i 1 ) h(x i ) i=1 k (g(x i ) g(x i 1 ) + i=1 k (g(x i ) g(x i 1 ) + k (h(x i 1 ) h(x i ) i=1 i=1 i=1 = (g(b) g(a)) + (h(b) h(a)). k (h(x i ) h(x i 1 ) Množica variacij funkcije f glede na particijo intervala [a, b] je torej navzgor omejena z [g(b) g(a)]+[h(b) h(a)], torej je funkcija f funkcija z omejeno variacijo na [a, b]. Še obratno. Naj bo funkcija f funkcija z omejeno variacijo na [a, b]. Potem lahko za vsak x [a, b] zapišemo f(x) = (f(x) + T V (f [a,x] )) T V (f [a,x] ). Tako funkcija x T V (f [a,x] ) kot tudi x f(x)+t V (f [a,x] ) sta naraščajoči funkciji. S tem je izrek dokazan. Posledica 3.8. Naj bo f funkcija z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu [a, b], potem je f odvedljiva skoraj povsod na (a, b). Dokaz. Po Jordanovem izreku so funkcije z omejeno variacijo na [a, b] le funkcije, ki so razlika dveh naraščajočih funkcij. Po Lebesguovem izreku so ti dve naraščajoči funkciji odvedljivi skoraj povsod na (a, b), zato je tudi funkcija f odvedljiva skoraj povsod na (a, b). Izrek 3.9. Naj bo f : (a, b) R Lipschitzova funkcija. Potem je f odvedljiva skoraj povsod na (a, b). Dokaz. V primeru 3.5 smo pokazali, da so Lipschitzove funkcije prav tako funkcije z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu. Po posledici 3.8 so Lipschitzove funkcije torej skoraj povsod odvedljive Van der Waerden-Takagijeva funkcija En od primerov nikjer odvedljive funkcije je Waerden-Takagijeva funkcija. Ta funkcija velja za lažji oziroma poenostavljeni primer Weierstrassove funkije. Ideja konstrukcije te funkcije je, da naredimo neskončno vsoto funkcij f n na intervalu [0, 1], 14

24 pri tem je funkcija f n zvezna in ima b n vrhov, v katerih ni odvedljiva. Ker je funkcija f n zvezna, so tudi vsote zaporednih členov f n zvezne (izrek 2.5). Ker pa se vrhovi, ko funkcije seštevamo, ne izključujejo, dobimo funkcijo z neskončnim številom vrhov, v katerih ni odvedljiva. S takim načinom konstrukcije dobimo tudi funkcijo, ki je zvezna, vendar nikjer monotona, kar bi nas prav tako lahko presenetilo. Glavni vir v tem razdelku je [5] Definicija Naj bo a 0 (x) = dist(x, Z). Funkcijo f : [0, 1] R definiramo s predpisom: kjer je c > 1 in b c; b N. f(x) = n=1 a 0 (b n x) c n Ta primer velja za lažjega od Weierstrassovega predvsem zaradi tega, ker se konstrukcija te funkcije začne s funkcijo, ki v že nekaj točkah ni odvedljiva - to je funkcija a 0 (x). Slika 3. Funkcija a 0 (x). Prvi je funkcijo in njeno konstrukcijo predstavil matematik Teiji Takagi leta 1903, in sicer za vrednosti parametrov b = c = 2, z drugačnimi parametri, in sicer za b = c = 10, pa jo je leta 1930 predstavil še van der Waerden, ki očitno ni bil seznanjen s Takagijevo zelo podobno idejo. Generalizirano obliko funkcije, torej brez določene vrednosti parametrov, pa je predstavil Konrad Knopp, vendar je še vedno zahteval, da je b 4c. Izkaže pa se, da je funkcija nikjer odvedljiva, če zahtevamo le, da je b c. Kot Weierstrassove tudi Van der Waerden-Takagijeve funkcije ne moremo predstaviti s sliko, ne da bi narisali funkcijo, ki je vsaj nekje naraščajoča oziroma padajoča in posledično na teh intervalih skoraj povsod odvedljiva. Spodnji sliki sta prav tako skici, vidimo pa lahko zanimivo obliko teh funkcij ter odvisnost oblike od izbire parametrov c in b. V nadaljevanju bomo pokazali, da je van der Waerden-Takagijeva funkcija res zvezna v vsaki točki na [0, 1]. Za dokaz le-tega si bomo pomagali z nekaj trditvami v nadaljevanju ter z uporabo nekaterih izrekov, predstavljenih v prvem poglavju. 15

25 Slika 4. Takagijeva funkcija (levo) ter Van der Waerdenova funkcija (desno), vir [6]. Trditev Vrsta a 0 (b n x), kjer je c > 1 in b N, tako da je b c, je c n enakomerno konvergentna na [0, 1]. Dokaz. Ker je a 0 (x) 1 za vsak x R, je tudi a 2 0(b n x) 1 za vsak x [0, 1], 2 n N 0. Naj bo potem M n = 1 2c n za vsak n N. Potem je a 0 (b n x) c n M n za vsak n N. Vrsta M n = 1 2 ( ) n 1 c je geometrijska in konvergira, saj je c > 1. Po Weierstrassovem testu (izrek 2.26) je torej tudi a 0 (b n x) c n enakomerno (in tudi absolutno) konvergentna na [0, 1]. Trditev Funkcija a 0 je zvezna na R. Dokaz. Ker je a 0 linearna na {(z, z ) (z + 1 2, z +1) : z Z}, je a 0(x) zvezna na R \ {Z { z 2 : z Z}}. Prav tako je a 0 (x) zvezna tudi v točkah t, za katere velja t {Z { z 2 : z Z}}. Funkcija a 0 (x) je torej zvezna na R. Trditev Za vsak n N 0 je funkcija f n (x) = a 0(b n x), kjer je c > 1 in c n b c, b N, zvezna na [0, 1]. Dokaz. Vemo, da je funkcija x zvezna. Če zvezno funkcijo pomnožimo s konstanto, je produkt prav tako zvezna funkcija, torej je zvezna tudi b n x na [0, 1] za vsak n N 0. Pokazali smo, da je a 0 (x) zvezna. Kompozitum zveznih funkcij 16

26 je prav tako zvezna funkcija (izrek 2.5), in tako je na [0, 1] za vsak n N 0 zvezna tudi a 0 (b n x). Ker je c n konstanta in zagotovo c 0, saj je c > 1, je funkcija f n (x) = a 0(b n x) c n zvezna na [0, 1] za vsak n N 0. S pomočjo teh trditev lahko sedaj pokažemo, da je van der Waerden-Takagijeva funkcija zvezna na intervalu [0, 1]. Trditev Funkcija f(x) = a 0 (b n x) je zvezna na [0, 1]. c n Dokaz. Po trditvi 3.11 vemo, da je vrsta a 0 (b n x) c n enakomerno konvergentna, po trditvi 3.13 pa, da je funkcija f n (x) = a 0(b n x) c n zvezna. Ker so zvezne vse f n, vrsta pa enakomerno konvergira, lahko po izreku 2.24 trdimo, da je zvezna na [0, 1], f(x) = f n = a 0 (b n x) c n Da je funkcija zvezna lahko torej postopno in dokaj enostavno pokažemo s pomočjo nekaj osnovnih izrekov. Pri dokazovanju, da je van der Waerden-Takagijeva funkcija nikjer odvedljiva, pa moramo uporabiti novo lemo. Lema Če je funkcija f odvedljiva v točki x = c, in je (u n) naraščajoče, (v n ) pa padajoče zaporedje tako da u n v n in u n c v n za vsak n N ter velja lim n v n u v = 0, potem velja f(v n ) f(u n ) lim n v n u n = f (x). Dokaz. Naj bo ɛ > 0. Če je f odvedljiva v točki x = c, obstaja δ > 0, da velja f(x) f(c) f (x) x c < ɛ, če je x c < δ. 2 Prvi primer: Obstaja M N, da je u n = c < v n za vsak n > M. Ker je lim n u n v n = 0, obstaja N N, tako da velja u n v n < δ za n > N, n N. Naj za n velja n > max{n, M}. Ker je u n = c, velja v n c < δ. Potem je f(v n ) f(u n ) v n u n Torej je lim n f(v n) f(u n) v n u n f (c) = f(v n ) f(c) f (c) v n c < ɛ 2. = f (c). 17

27 Drugi primer: Obstaja M N, da je u n < c = v n, za vsak n > M. Zelo podobno kot v prvem primeru lahko pokažemo, da zopet velja lim n f(v n) f(u n) v n u n = f (c). Tretji primer: naj za c velja u n < c < v n za vsak n N. Naj bosta u n in v n zaporedji, tako da velja u n < c < v n za vsak n N. Ker je lim n u n v n = 0, podobno kot v prvem primeru obstaja N N, tako da velja u n v n < δ za n > N, n N. Naj za n velja n > N. Ker je u n < c < v n in u n v n < δ, velja v n c < δ in u n c < δ. Velja f(v n ) f(u n ) f (c) v n u n = f(v n ) f(u n ) (v n u n )f (c) v n u n = f(v n ) f(u n ) f(c) + f(c) (v n + c c u n )f (c) v n u n f(v n ) f(c) (v n c)f (c) v n u n + f(u n ) f(c) (u n c)f (c) v n u n f(v n ) f(c) (v n c)f (c) v n c + f(u n ) f(c) (u n c)f (c) u n c = f(v n ) f(c) f (c) v n c + f(u n ) f(c) f (c) v n c < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Torej je limita lim n f(v n) f(u n) v n u n = f (c). Osredotočimo se še na dokaz, da van der Waerden-Takagijeva funkcija ni odvedljiva v nobeni točki intervala [0, 1]. Trditev Funkcija f(x) = a 0 (b n x), c > 1 in b c, b N je nikjer c n odvedljiva na intervalu [0, 1]. Dokaz. Naj bo t [0, 1]. Pokazati hočemo, da f(x) ni odvedljiva v x = t. Razdelimo dokaz na dva dela, in sicer za t [0, 1) ter t = 1. Prvi primer: t = 1 Naj bosta (u m ) in (v m ) zaporedji, tako da je u m = 1 1 b m in v m = 1 za vsak m N. 18

28 Limita lim m v m u m = 0. Potem je Ker je b c > 0 velja, da f(v m ) f(u m ) v m u m = a 0 (b n ) c n m 1 = b ( m m 1 = = lim n m 1 b m+n b m c n ( b c 1 b m a 0 (b n bn ) n. ( ) n b 0. c Torej tudi zaporedje ( f(vm ) f(u m ) ki je ekvivalentno zaporedju v m u m m 1 ( ) n b c c n ), a 0 ((1 1 b m )b n ) c n ne konvergira, ko gre m. Po lemi 3.15 torej f(x) ni odvedljiva v točki x = 1. Drugi primer: t [0, 1) Za vsak m N obstaja k m Z [0, 2b m 1], da je km t < km +1. Naj bo 2b m 2b m u m = km in v 2b m m = km +1 za vsak m N. Zaporedje (v 2b m m ) je padajoče, zaporedje (u v ) naraščajoče in velja lim m v m u m = 0. Glede na to, kako smo definirali u m in v m, za vsak n, za katerega velja 0 n m 1, obstaja z Z, da sta b n v m in b n u m vsebovana bodisi v intervalu [z, z + 1], bodisi v intervalu [z + 1, z + 1]. Za vsak tak 2 2 n je funkcija a 0(b n x) je linearna na intervalu [u c n m, v m ] s smernim koeficientom ( b n c) ali ( b n. c) Ker vemo, da je smerni koeficient enak odvodu, to lahko zapišemo tudi kot a 0 (b n v m) c n a 0(b n u m) c n ) v m u m = ± ( b c b m ) ) ) n. (1) V nadaljevanju razdelimo obravnavo tega primera še na dva podprimera, in sicer glede na parnost koeficienta b. Prvi podprimer: b je sod. Naj bo m = n. Če je k m sod, velja a 0 (b n u m ) = a 0 ( bn k m ) = 0 in a 2b m 0 (b n v m ) = a 0 ( bn (k m+1) ) = 1 f(vn) f(un). Podobno kot v prvem primeru izraza vstavimo v 2b m 2 v n u n in dobimo a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n = v m u m c m 1 = 2b m ( ) m b. c

29 Podobno naredimo za primer, ko je k m lih in dobimo izraz a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n v m u m == ( ) m b. c Naj bo sedaj n > m. Potem sta soda tako b n m k m kot b n m (k m + 1), saj je sod b. ( Od tod sledi, da je a 0 (b n v m ) = a b n k m ) ( ) 0 2b = 0 in b n (k m+1) m a0 = 0. Torej je tudi 2b m a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n = 0. v m u m Z združitvijo teh ugotovitev dobimo naslednjo enakost za primer, ko je b sod f(v n ) f(u n ) m ( ) n b = ±. (2) v n u n c Ker je b c > 0, lahko trdimo, da ( ) n b lim ± 0. n c Vsota ( ) n b ± c torej ne konvergira in ker velja (2) tudi f(v n ) f(u n ) lim m v n u n ne obstaja. Po lemi 3.15 zato funkcija f(x) ni odvedljiva v točkah x = t za sod parameter b. Drugi podpimer: b je lih. Naj bo n m. Podobno kot v prejšnjem podprimeru si poglejmo primere za sod in lih k m. Če je k m sod, velja a 0 ( bn k m ) = 0 in a 2b m 0 ( bn (k m+1) ) = 1. Dobimo naslednjo 2b m 2 enakost a 0 (b n v m) a 0(b n u m) 1 0 c n c n 2c = n 1 = bm v m u m c. 2b n m Če je k m lih, pa podobno kot prej, dobimo naslednjo enakost: Zapišimo še s pomočjo vsot a 0 (b n v m) a 0(b n u m) c n c n v m u m = bm c n. m 1 f(v n ) f(u n ) = v n u n ± 20 ( ) n b ± c n=m ( ) n 1. c

30 Ker je c > 1, in zato velja ( 1 ) n ( n=m c = c 1 ) m, c 1 c lahko zgornji izraz še nekoliko razvijemo za lažjo obravnavo. Za primere, ko je b lih, tako pridemo do spodnje enakosti. m 1 f(v n ) f(u n ) ( ) n b = ± ± c ( ) m b (3) v n u n c c 1 c Ker je b c > 1, velja, da Potem tudi vrsta lim n ± ( ) b n ( c 0 in limm ± c b ) m c 1 c 0. m 1 ne konvergira. Ker velja (3), tudi ± ( ) n b ± c c c 1 f(v n ) f(u n ) lim m v n u n ( ) m b c ne obstaja. Po lemi 3.15 funkcija f(x) ni odvedljvia v x = t za lihe b Vrednosti parametrov b in c. V definiciji Van der Waerden-Takagijeve funkcije je navedeno, da mora biti parameter b večji ali enak parametru c. Zanimivo je, da je v primeru, ko to ne velja, torej ko je parameter b manjši od parametra c, funkcija f(x) odvedljiva v skoraj vseh točkah intervala [0, 1]. Trditev Naj bo f funkcija, podana kot f : [0, 1] R s predpisom a o (b n x) f(x) = c n n=1 in a 0 = dist(x, Z). Če velja, da c > 1 in b < c; b N, potem je f(x) odvedljiva za vsak x [0, 1), x k 2b m Trditve ne bomo v celoti pokazali, poglejmo pa, da je funkcija v tem primeru odvedljiva skoraj povsod. Za vsak x,y [0, 1] in vsak n N 0 velja ( ) n b f n (x) f n (y) x y. c S pomočjo pomožne trditve pokažemo, da je funkcija f Lipschizova na [0, 1]. Vemo, da so Lipschizove funkcije odvedljive skoraj povsod (izrek 3.5). Za vsak x, y [0, 1] torej velja f(x) f(y) Ker je b < c, ima izraz f n (x) f n (y) c c b ( ) n b x y = c x y. c c b pozitiven predznak, je funkcija Lipschitzova na intervalu [0, 1]. Vemo, da so funkcije, ki so Lipschitzove, tudi skoraj povsod odvedljive. 21

31 V tem primeru bi lahko tudi bolj natančno poiskali točke, v katerih funkcija je oziroma ni odvedljiva. Iskanje teh točk je nekoliko bolj zapleteno, ker zahteva več novih pojmov in izrekov, zato v tem delu ne bo predstavljeno. 22

32 Literatura [1] Hanson-Colvin, M. (2014). Everywhere continuous nowhere differentiable functions. Dostopno prek: Hanson-Colvin.pdf [2] Royden, H. L., Fitzpatrick, P. M. (2010). Real Analysis, Fourth Edition. Dostopno prek: royden-fitzpatrick.pdf [3] Slapar, M. Zapiski predavanj iz osnov matematične analize. Dostopno prek: hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma [4] Slapar, M. Zapiski predavanj iz matematične analize. Dostopno prek: hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma [5] Spurrer G., K. (2004). Continuous Nowhere Differentiable Functions (Senior Thesis, South Carolina Honors College). Dostopno prek: [6] Thim, J. (2003). Continuous Nowhere Differentiable Functions (Master s Thesis, Lulea University Of Technology). Dostopno prek: 23

Osnove matematicne analize 2018/19

Osnove matematicne analize  2018/19 Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko

Prikaži več

Vrste

Vrste Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,

Prikaži več

ZveznostFunkcij11.dvi

ZveznostFunkcij11.dvi II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn

5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn 5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.

Prikaži več

Matematika 2

Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo

Prikaži več

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi

EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,

Prikaži več

Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L

Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Ljubljana, 2004 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi

Prikaži več

glava.dvi

glava.dvi Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo

Prikaži več

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y

Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,

Prikaži več

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru

6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru 6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer

Prikaži več

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam

1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam 1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je

Prikaži več

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij

Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................

Prikaži več

Brownova kovariancna razdalja

Brownova kovariancna razdalja Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti

Prikaži več

Del 1 Limite

Del 1 Limite Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.

Prikaži več

Poslovilno predavanje

Poslovilno predavanje Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12

Prikaži več

Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t

Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer

Prikaži več

OdvodFunkcijEne11.dvi

OdvodFunkcijEne11.dvi III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo

Prikaži več

Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja

Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM

Prikaži več

Naloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za

Naloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti

Prikaži več

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015

Mladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015 Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................

Prikaži več

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi

Prikaži več

Slide 1

Slide 1 Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na

Prikaži več

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v

Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek

Prikaži več

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te

Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,

Prikaži več

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx

Microsoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx 4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in

Prikaži več

DN5(Kor).dvi

DN5(Kor).dvi Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n

Prikaži več

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x

Vaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik

Prikaži več

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI

RAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z

Prikaži več

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako

Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi

Prikaži več

C:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi

C:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Prikaži več

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi

C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,

Prikaži več

FGG13

FGG13 10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega

Prikaži več

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo

Prikaži več

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo

11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo 11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija

Prikaži več

GeomInterp.dvi

GeomInterp.dvi Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta

Prikaži več

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p

DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1

Prikaži več

M

M Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Prikaži več

resitve.dvi

resitve.dvi FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so

Prikaži več

Osnove verjetnosti in statistika

Osnove verjetnosti in statistika Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo

Prikaži več

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter

2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter 2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih

Prikaži več

Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int

Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 6/7 Vje iz MATEMATIKE 9. Integrl Določeni integrl: Določeni integrl: Nj bo f : [, b] R funkcij. Intervl [, b] rzdelimo n n podintervlov z delilnimi točkmi: = x

Prikaži več

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni

RAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje

Prikaži več

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0

PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0 PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8

Prikaži več

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Prikaži več

P181C10111

P181C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

P182C10111

P182C10111 Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Prikaži več

Posebne funkcije

Posebne funkcije 10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat

Prikaži več

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "

ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave

Prikaži več

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo

Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =

Prikaži več

POPOLNI KVADER

POPOLNI KVADER List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,

Prikaži več

Funkcije in grafi

Funkcije in grafi 14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk

Prikaži več

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

ANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI 3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.

Prikaži več

Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr

Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje

Prikaži več

FGG14

FGG14 Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,

Prikaži več

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite

Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven

Prikaži več

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy

Namesto (x,y)R uporabljamo xRy RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:

Prikaži več

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC

PREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih

Prikaži več

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se

Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft

Prikaži več

Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih

Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino

Prikaži več

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A

predstavitev fakultete za matematiko 2017 A ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša

Prikaži več

Srednja šola za oblikovanje

Srednja šola za oblikovanje Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen

Prikaži več

Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani

Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani naslov: Osnove verjetnostne metode avtorske pravice: dr. Riste Škrekovski

Prikaži več

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV

NAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE

Prikaži več

Identifikacija Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja Vprašalnik za učitelje Matematika International Association for the Eval

Identifikacija Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja Vprašalnik za učitelje Matematika International Association for the Eval Identifikacija Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja Vprašalnik za učitelje Matematika International Association for the Evaluation of Educational Achievement Copyright IEA, 2008

Prikaži več

LaTeX slides

LaTeX slides Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni

Prikaži več

Zgledi:

Zgledi: a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf

Prikaži več

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'

'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija' Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1

Prikaži več

Osnove teorije kopul in maksmin kopule

Osnove teorije kopul in maksmin kopule Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani Seminar Inštituta za biostatistiko in medicinsko informatiko 26. maj 25 Osnove teorije kopul Definicija kopule Definicija Funkcija C : A A 2 [, ],

Prikaži več

NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic

NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice

Prikaži več

1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x

1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x 1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,

Prikaži več

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx

Microsoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni

Prikaži več

UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del

UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del 13. 6. 2016 Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani

Prikaži več

CpE & ME 519

CpE & ME 519 2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj

Prikaži več

Teorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES

Teorija kodiranja in kriptografija 2013/ AES Teorija kodiranja in kriptografija 23/24 AES Arjana Žitnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 8. 3. 24 AES - zgodovina Septembra 997 je NIST objavil natečaj za izbor nove

Prikaži več

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p

Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v

Prikaži več

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =

Prikaži več

Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC

Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met

Prikaži več

REŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1

REŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1 REŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1 Nekateri pripomočki in naprave za računanje: 1a) Digitalni

Prikaži več

Diapozitiv 1

Diapozitiv 1 9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V

Prikaži več

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot

Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna

Prikaži več

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE

LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati

Prikaži več

Matematika 2 - ustna vprašanja 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3)...3 2) Lastnosti determinante (5)...3 3) Cramerjevo pravilo (9)...3 4) Računanje

Matematika 2 - ustna vprašanja 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3)...3 2) Lastnosti determinante (5)...3 3) Cramerjevo pravilo (9)...3 4) Računanje Matematika 2 - ustna vprašanja 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3)...3 2) Lastnosti determinante (5)...3 3) Cramerjevo pravilo (9)...3 4) Računanje z vektorji, kot med vektorij (11)...3 5) Skalarni

Prikaži več

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja

3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja 3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.

Prikaži več

STAVKI _5_

STAVKI _5_ 5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno

Prikaži več

Trg proizvodnih dejavnikov

Trg proizvodnih dejavnikov Trg proizvodnih dejavnikov Pregled predavanja Trg proizvodov KONKURENCA Popolna Nepopolna Trg proizvodnih dejavnikov Popolna Individualna k. Panožna k. Povpraševanja Individualna k. Panožna k. Povpraševanja

Prikaži več

Integrali odvisni od parametra Naj bo f : D = [a; b] [c; d]! R integrabilna na [a; b]. Deniramo funkcijo F : [c; d]! R z Z b F (y) = f (x; y) dx in im

Integrali odvisni od parametra Naj bo f : D = [a; b] [c; d]! R integrabilna na [a; b]. Deniramo funkcijo F : [c; d]! R z Z b F (y) = f (x; y) dx in im Integrli odvisni od prmetr Nj o f : D = [; ] [c; d]! R integriln n [; ]. Denirmo funkcijo F : [c; d]! R z F () = f (; ) d in imenujemo F integrl odvisen od prmetr. Izreki: Ce je f zvezn n D, je F zvezn

Prikaži več

Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito

Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito KAZALO 1 UVOD... 3 2 IZPITNI CILJI... 4 3 ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA... 5 3.1 Shema izpita... 5 3.2 Tipi nalog in vrednotenje...

Prikaži več

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2

MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,

Prikaži več

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije

Optimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano

Prikaži več

3. Preizkušanje domnev

3. Preizkušanje domnev 3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija

Prikaži več