FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 1 & 2 Pisni izpit 19. junij 1998 Ime in priimek: Letnik: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge preden se lot

Transkripcija

1 FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika & Pisni izit 9. junij 998 Ime in riimek: Letnik: Navodila Pazljivo reberite besedilo naloge reden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na airju, kjer so naloge. Nalog je 6, vsaka ima dva dela, ki sta vredna o tock, torej skuaj tock. Na razolago imate uri ( min). Naloga a. b. Skuaj Skuaj

2 . () Limite in odvodi: a. () Izracunajte limito log( + x + x ) x lim : x! x Resitev: Vrednost stevca in imenovalca je za x = enaka, zato lahko uorabimo L'Hositalovo ravilo. log( + x + x ) x lim = lim x! x x! = lim x! = lim x! +x +x+x x x x x( + x + x ) x ( + x + x ) = { L'Hosital: tocki. { Preverjanje, da sta stevec in imenovalec : tocki. { Odvajanje: tocki. { Prekladanje: tocki. b. () Izracunajte -ti odvod funkcije f(x) = log(x 3x + ) v tocki x =. Resitev: Funkcijo f(x) najrej reisemo v f(x) = log(x ) + log(x ) in odvajamo vsak clen osebej. Hitro se rericamo, da je za k (log(x )) (k) = ( )k (k )! (x ) k in (log(x )) (k) = ( )k (k )! (x ) k : Vstavimo x = in k = in dobimo f () () = 99! 99! : { Ideja z razceom: tocki. { Odvajanje rvega clena: tocki. { Odvajanje drugega clena: tocki. { Rezultat: 4 tocke.

3 . () Pri obeh sodnjih nalogah uostevajte kot dano, da je e x = dx = : a. () Naj bo (x) = R x e u = du. Izracunajte xe x = (x) dx : Resitev: Najrej moramo oaziti, da je (x) = e x =. Nato integriramo er artes. xe x = (x) dx = e x = (x) + e x = e x = dx = e x dx x = u= = = e u = du { Ugotovitev (x) = e x = : 4 tocke. { Pravilni er artes: 4 tocke. b. () Za oljuben a R izracunajte e x = e (a x) = dx : Namig: x + (a x) = (x a=) + a =. Resitev: Uostevamo namig in racunamo Z = e (a x) = dx = e x e (x a=) = a =4 dx = e (x a=) dx e u = = e a =4 = e a =4 = e a =4 du (x a=) = u = e a =4 { Doolnitev eksonenta do olnega kvadrata: tocki. { Izostavljanje e a =4 : tocki. { Uvedba nove sremenljivke: tocki. { Uostevanje danega dejstva: tocki. 3

4 3. () Valjasta osoda je do visine b naolnjena z vodo. Na visini a < b je odrtina s resekom! in na dnu je odrtina s resekom!. Oznacimo z h(t) visino gladine v trenutku t (glej sliko), ri cemer je h() = b. Funkcija h(t) ustreza diferencialni enacbi q q! gh +! g(h a) = Dh dokler gladina ne doseze rve odrtine in enacbi q! gh = Dh ; ko je gladina od visino a. Pri tem je g zemeljski osesek, dana konstanta in D loscina osnovne loskve valja. b h(t) a a. () Izracunajte cas, ki je otreben, da gladina doseze rvo odrtino. Resitev: Diferencialno enacbo reisemo v obliko h h + h a = ; kjer je =! g=d. Integriramo levo in desno stran in dobimo Iz zacetnih ogojev sledi h 3= 3a (h a)3= 3a = t + c : b 3= 3a (b a)3= 3a = c : Iz tega razberemo, da je cas, ki je otreben, da gladina doseze visino a enak t = 3a (b3= a 3= (b a) 3= ) : { Soznanje, da je enacba z locljivima sremenljivkama: tocki. { Presi v rimerno obliko: tocki. { Izracun integrala: tocki. { Uoraba zacetnega ogoja: tocki. 4

5 b. () Po koliksnem casu bo osoda razna? Resitev: Ocitno bo resitev t + t, kjer je t cas iz a. in t cas, ki je otreben, da iztece vsa voda otem, ko bo enkrat dosegla nivo a. e zacnemo o t znova meriti cas, moramo resiti drugo od zgornjih dveh diferencialnih enacb z zacetnim ogojem h() = a. Preisemo v h h = ; integriramo h = t + c in dolocimo c = a. Ko je h =, mora biti t = a=. eloten cas, dokler ne iztece vsa voda, je t + t. { Soznanje, da je cas t + t: tocki. { Preisovanje diferencialne enacbe v rimerno obliko: tocki. { Integracija: tocki. { Izracun casa t tocki. { Koncni rezultat: tocki. 5

6 4. () Dana naj bosta vektorja a in b, taka da je (a; b) 6=. Poiskati zelimo vektorja x in y, ki ustrezata enacbama a x + y = b b y + x = c ; kjer je c dan vektor. a. () Pokazite, da velja (a; b) x (b; x) a + x = c : Resitev: Iz rve enacbe izrazimo y = b a x in vstavimo v drugo enacbo. Dobimo b (b a x) + x = c : Levo stran retvorimo v kar je ze zelena enacba. b b + (a x) b = (a; b) x (b; x) a ; { Ideja izraziti y iz rve enacbe: 4 tocke. { Uoraba ravila za (a b) c: 4 tocke. b. () Izracunajte x in y. Namig: Uorabite a., tudi ce ne znate dokazati. Resitev: Iz a. razberemo, da otrebujemo le se (b; x). Drugo enacbo omnozimo skalarno z b in uostevamo linearnost skalarnega rodukta in dejstvo, da je by ravokoten na b. Ostane (x; b) = (c; b). Sledi x = c + (c; b) a + (a; b) : Ko enkrat imamo x lahko izrazimo se y iz rve enacbe. Dobimo y = b a c + (a; b) : { Oazanje, da manjka samo (b; x): tocki. { Uoraba druge enacbe za izracun (b; x): 4 tocke. { Izracun x: tocki. { Izracun y tocki. 6

7 5. () Matrika A naj bo dana z A A a. () Naj bo b = (; ; ; 4) T. Ali ima enacba Ax = b resitev? Resitev: Podobno kot ri b. dobimo z Gaussovim ostokom enacbo A 6 Sistem enacb nima resitev. { Smiselno izveden Gaussov ostoek: 6 tock. { Skle o neresljivosti: 4 tocke. b. () Pokazite, da za vektorje oblike b = (a; c; a; ) T enacba Ax = b ima resitev. Zaisite vse resitve te enacbe. Resitev: Izvedemo Gaussov ostoek ri cemer rej zamenjamo rvo in tretjo vrstico. 7 4 a 7 4 a a A! a A! a Delimo tretjo vrstico s 4 in jo ristejemo zadnji. Dobimo 7 4 a a A Rang razsirjene matrike je enak rangu matrike, torej sistem enacb ima resitev. Poljubno si izberimo x 4 in izrazimo resitve: x 3 = x a 8 x = c 8 Iz tega razberemo, da so vse resitve a 8 c 8 a 8 A + x 4 4 x = a 8 + x 4 4 : A : { Pravilno izveden Gauss: 4 tocke. { Skle o resljivosti: tocki. { Partikularna resitev: tocki. { Jedro: tocki. 7

8 6. () Dana naj bo matrika Q = + =4 = = =4 = = = = =4 = = + =4 a. () Pokazite, da je matrika Q rotacija v rostoru in izracunajte os in kot zasuka. Resitev: Da matrika Q redstavlja rotacijo v rostoru se zlahko rericamo tako, da reverimo QQ T = I in det(q) =. Vemo, da je os vrtenja lastni vektor, ki riada lastni vrednosti =. Najti moramo torej resitev sistema enacb ( = + =4)x x = + (= =4)x 3 = x = + ( = )x x 3 = = ( = =4)x + x = + ( = + =4)x 3 = Vemo, da je rang zgornjega sistema enak. Izberimo si x 3 = in resimo reostali sistem enacb. ( = + =4)x x = = = + =4 x = + ( = )x = = Pomnozimo drugo enacbo z = + in jo odstejmo rvi. Dobimo x = ali x =. Sledi se x =. Os se normiramo, tako da ima dolzino. Dobimo e = ( =; ; =). Za kot dobimo cos + = + ali cos = =. Torej je kot =4. Dolociti moramo se redznak. Vemo, da je A e 3 sin + ( cos )e e = : Sledi sin = = in je kot =4. { Preverjanje QQ T = I in det(q) = : tocki. { Izracun osi: 4 tocke. { Izracun kota: 4 tocke. b. () Izracunajte se Q 7. Resitev: Matrika Q 7 redstavlja zasuk okrog osi e za kot 7 =4. To je enako kot zasuk za kot =4, ki ga oisuje matrika Q. Torej je Q 7 = Q. { Ideja, da gre za veckratni zasuk: 4 tocke. { Ugotovitev, da gre za zasuk za =4: 4 tocke. { Ugotovitev, da je rezultat Q: tocki. 8