UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Tamara Murko
|
|
- Valentin Kumer
- pred 2 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Tamara Murko Maribor, 2012
2
3 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo Diplomsko delo RAZDALJA MED POPOLNIMA ŠTEVILOMA IN DOMNEVA ABC Mentor: doc. dr. Daniel Eremita Kandidatka: Tamara Murko Maribor, 2012
4 ZAHVALA Zahvaljujem se vsem, ki so mi na kakršenkoli način pomagali pri nastanku diplomskega dela. Posebej pa se iskreno zahvaljujem mentorju doc. dr. Danielu Eremiti za strokovno pomoč in prijetno sodelovanje.
5 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisana Tamara Murko, rojena 24. septembra 1988, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa matematika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom RAZDALJA MED POPOLNIMA ŠTEVILOMA IN DOMNEVA ABC pri mentorju doc. dr. Danielu Eremiti avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev. Maribor, 20. avgust 2012 Tamara Murko
6 RAZDALJA MED POPOLNIMA ŠTEVILOMA IN DOMNEVA ABC program diplomskega dela V diplomskem delu naj bodo uvodoma predstavljene osnove teorije aritmetičnih funkcij. Osrednji del naj bo namenjen obravnavi radikala popolnega števila. Predstavljena naj bo domneva abc in njene posledice v zvezi z razdaljo med dvema popolnima številoma. Osnovni viri: 1. F. Luca, C. Pomerance, On the radical of a perfect number, New York J. Math. 16 (2010), M. B. Nathanson, Elementary methods in number theory, Springer-Verlag, New York, K. H. Rosen, Elementary number theory and its applications, 5th edition, Pearson/Addison Wesley, Boston, doc. dr. Daniel Eremita
7 MURKO, T.: Razdalja med popolnima številoma in domneva abc. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, IZVLEČEK V diplomskem delu so uvodoma predstavljene osnove teorije aritmetičnih funkcij. Naslednje poglavje je namenjeno popolnim številom in Mersennovim praštevilom. Obravnavana je tudi domneva abc. Ob predpostavki, da je domneva abc resnična, je izpeljan asimptotični Fermatov izrek, asimptotična Catalanova domneva, ter dokazan obstoj neskončno mnogo Wieferichovih praštevil. Osrednja tema diplomskega dela je radikal popolnega števila. Dokazano je, da za poljubno popolno število x velja rad(x) < 2x V zadnjem poglavju je izpeljanih nekaj rezultatov, povezanih z razdaljo med popolnima številoma, ki nastanejo kot posledica domneve abc. Ključne besede: aritmetične funkcije, praštevila, popolna števila, Mersennova praštevila, domneva abc, radikal. Math. Subj. Class. (2010): 11A25.
8 MURKO, T.: The distance between perfect numbers and abc conjecture. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, ABSTRACT The graduation thesis initially presents the theory of arithmetic function. The following chapter regards to perfect numbers and Mersenne primes. We consider the abc conjecture. On the assumption that the abc conjecture is true, we derive asymptotic Fermat theorem, asymptotic Catalan conjecture and demonstrate the existence of infinitely many Wieferich primes. The main topic of the thesis is the radical of a perfect number. We demonstrate that an arbitrary perfect number x applies to rad(x) < 2x In the last chapter we derive some results, dealing with the distance between perfect numbers, incurred due to the abc conjecture. Keywords: arithmetic functions, prime numbers, perfect numbers, Mersenne primes, the abc conjecture, the radical. Math. Subj. Class. (2010): 11A25.
9 Kazalo Uvod 1 1 Osnovni pojmi in rezultati Osnove teorije števil Praštevila Kongruence Matematični simboli Aritmetične funkcije Eulerjeva funkcija ϕ Möbiusova funkcija µ Dirichletov produkt aritmetičnih funkcij Funkciji τ in σ Popolna števila in Mersennova praštevila Popolna števila Mersennova praštevila Domneva abc 31 5 Radikal popolnega števila 37 6 Domneva abc in razdalja med popolnima številoma 41 Literatura 47 ix
10
11 Uvod Popolna števila so lepa. Znano pa je, da so lepe stvari redke in maloštevilne, grdih pa je več kot dovolj. Presežnih in pomanjkljivih števil je velika večina, medtem ko je popolnih malo. (Nikomah Heraški) Teorija števil je ena najstarejših vej matematike, ki je pritegnila pozornost mnogih velikih matematikov. Z njo so se ukvarjali že stari Grki, ki so odkrili praštevila in popolna števila. Grki so najprej poznali le štiri popolna števila. Do danes je znanih 47 sodih popolnih števil, toda še vedno ni znano ali jih obstaja končno ali neskončno mnogo. Poraja se tudi vprašanje, če obstaja katero liho popolno število. Eden izmed nerešenih problemov v teoriji števil je preveriti resničnost domneve abc. Če predpostavimo, da je domneva abc resnična, lahko izpeljemo veliko izrekov in trditev, ki jih spoznamo v diplomskem delu. S tem so povezani tudi rezultati o razdalji med popolnima številoma, ki jih dokažemo v zadnjem poglavju. Ob vsem tem pa je seveda pomemben radikal popolnega števila. 1
12 Poglavje 1 Osnovni pojmi in rezultati 1.1 Osnove teorije števil Definicija 1.1 Naj bosta a in b poljubni celi števili. Pravimo, da število a deli število b (b je deljivo z a), če obstaja tak k Z, da je b = ak. V tem primeru pišemo a b in pravimo, da je a delitelj števila b in b večkratnik števila a. Opomba 1.2 Vidimo, da vsako celo število deli 0 in da število 0 ne deli nobenega neničelnega celega števila. Če a ne deli b, pišemo a b. Izrek 1.3 Naj bodo a, b, c in d poljubna cela števila. Potem velja: 1. a a 2. če a b in b a, potem je a = b ali a = b 3. če a b in b c, potem a c 4. če d a in d b, potem d ax + by, za vse x, y Z. 2
13 1.1 Osnove teorije števil 3 Dokaz. 1. Ker je a = a 1, sledi da a a. 2. Predpostavimo, da a b in b a, torej obstajata taka l, k Z, da je b = ak in a = bl. Iz enakosti b = ak = blk sledi, da je b = blk in tako je 1 = lk. Ker sta k, l Z, obstajata samo dve možnosti, in sicer: ali je l = 1 in k = 1, ali l = 1 in k = 1. Torej je a = b ali a = b. 3. Ker a b in b c, obstajata taka k, l Z, da je b = ak in c = bl. Ker je c = bl = akl in je kl Z, sledi da a c. 4. Denimo, da d a in d b. Potem obstajata taka k, l Z, da je a = dk in b = dl. Potem za vse x, y Z velja: ax + by = dkx + dly = d(kx + ly) in ker je (kx + ly) Z, sledi da d ax + by. Izrek 1.4 (Izrek o deljenju z ostankom) Naj bosta a, b Z in b 0. Potem obstajata taka enolično določena q, r Z, da velja: a = bq + r in 0 r < b. Dokaz. Vpeljimo množico S = {a bx; a bx 0 in x Z}. Najprej bomo dokazali, da je množica S neprazna. To bo natanko takrat, ko bo v tej množici obstajal vsaj en element. Dokazujemo torej, da obstaja tak x Z, da velja: bx a in pri tem ločimo dve možnosti: 1. Če b N, potem po Arhimedski lastnosti obstaja tak x N, da velja: bx a a. 2. Če b N, potem po Arhimedski lastnosti obstaja tak x N, da velja: bx a a. Sledi, da ( b)( x) a. Ker torej množica S ni prazna in S {0, 1, 2,...}, po principu dobre urejenosti sledi, da vsebuje S najmanjši element r = min(s). Ker je r S, obstaja tak q Z, da je r = a bq, oziroma a = bq + r. Sedaj moramo dokazati, da 0 r < b. Pa recimo, da to ne drži. Potem je r b in sledi, da 0 r b < r. Poleg tega pa velja: r b = (a bq) b = a b(q ± 1) 0.
14 1.2 Praštevila 4 Torej, r b S in r b < r = min(s), kar pa nas privede do protislovja. Nadaljujejmo z dokazom enoličnosti. Denimo, da obstajajo taki q 1, q 2, r 1, r 2 Z, da velja: a = bq 1 + r 1 = bq 2 + r 2 in r 1, r 2 [0, b ). Od tod sledi, da b(q 1 q 2 ) = r 2 r 1 in tako b q 1 q 2 = r 2 r 1 < b. Torej je q 1 q 2 < 1. Ker vemo, da sta q 1, q 2 Z, sledi da q 1 = q 2 in r 1 = r 2. Definicija 1.5 Naj bosta a, b Z, ki nista obe enaki 0. Največji skupni delitelj števil a in b je največje naravno število d, za katerega velja: d a in d b. Označimo ga s D(a, b). Definicija 1.6 Če za celi števili a in b velja D(a, b) = 1, pravimo, da sta a in b tuji si števili. Definicija 1.7 Najmanjši skupni večkratnik neničelnih celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo hkrati z a in b. Označimo ga s v(a, b). 1.2 Praštevila Definicija 1.8 Naravno število p, večje od 1, je praštevilo, če sta 1 in p njegova edina pozitivna delitelja. Naravnim številom, ki so večja od 1 in niso praštevila, pravimo sestavljena števila. Opomba 1.9 Število 1 ni niti praštevilo, niti sestavljeno število. Izrek 1.10 (Osnovni izrek aritmetike) Vsako naravno število, večje od 1, lahko zapišemo kot produkt praštevil. Ta zapis je določen enolično, do vrstnega reda faktorjev natančno.
15 1.2 Praštevila 5 Dokaz. Izrek bomo dokazali s pomočjo matematične indukcije po n. Vpeljimo množico S = {n N; n lahko zapišemo kot produkt praštevil}. Če je n = 2, je 2 S, saj je 2 praštevilo. Predpostavimo, da izrek velja za vsa naravna števila z intervala [2, n]. Dokazali bomo, da velja tudi za število n + 1. Torej denimo, da 2 S & 3 S &... & n S in dokazujemo, da n + 1 S. Če je n + 1 praštevilo, potem je n + 1 S. Če pa n + 1 ni praštevilo, potem je sestavljeno število. Torej n + 1 = kl, za neka k, l N in 1 < k, l n. Ker sta 1 < k, l n, ju po indukcijski predpostavki lahko zapišemo kot produkt praštevil. Zato l S in k S. To pomeni, da k = p 1 p i in l = q 1 q j, za neka praštevila p 1,..., p i ; q 1,..., q j. Tako je n + 1 = kl = (p 1 p i )(q 1 q j ) in zato n + 1 S. Dokazati je potrebno še enoličnost faktorizacije. Denimo, da lahko n N, n 2 zapišemo kot produkt praštevil na dva načina: n = p 1 p r = q 1 q s, kjer so p 1,..., p r, q 1,..., q s praštevila; p 1 p 2... p r, ter q 1 q 2... q s in r s. Ker p 1 q 1 q 2 q s sledi, da je p 1 = q i, za nek 1 i s. To pomeni, da je p 1 q 1. Podobno ugotovimo, da je q 1 p 1. Torej je p 1 = q 1 in tako p 2 p 3 p r = q 2 q 3 q s. Sedaj postopek ponovimo in pridemo do sklepa, da je p 2 = q 2 in zato p 3 p 4 p r = q 3 q 4 q s. Če bi bil r s, bi po r - korakih prišli do 1 = q r+1 q r+2 q s > 1, kar pa nas privede do protislovja. Torej r = s in p 1 = q 1, p 2 = q 2,..., p r = q s.
16 1.2 Praštevila 6 Izrek 1.11 (Evklid) Praštevil je neskončno mnogo. Dokaz. Predpostavimo, da so p 1, p 2,..., p n vsa praštevila, kjer je p n največje praštevilo. Če ta praštevila zmnožimo, dobimo produkt p 1 p 2 p n, ki je deljiv s praštevili p 1, p 2,..., p n. Če temu produktu prištejemo 1, dobimo število p 1 p 2 p n +1, ki ni deljivo z nobenim izmed praštevil p 1, p 2,..., p n. Obstajata torej le dve možnosti, in sicer: ali je produkt deljiv s katerim drugim praštevilom, ali pa je sam praštevilo. To pa nas pripelje do protislovja s predpostavko o končnemu številu praštevil. Opomba 1.12 Ta izrek so poznali že stari Grki. Prvi, ki je dokazal to trditev je bil grški matematik Evklid. Dokaz je podal v svojem najpomembnejšem delu Elementi. Eden izmed načinov ugotavljanja, ali je dano število praštevilo ali sestavljeno število, je Eratostenovo rešeto, kjer poiščemo vsa praštevila do nekega izbranega števila n. Imenuje se po grškem matematiku Eratostenu. Zgled. Poiščimo vsa praštevila do števila 40. Najprej napišemo tabelo naravnih števil od 1 do n = 40. Ker število 1 ni praštevilo, ga prečrtamo. Prvo neprečrtano število, ki sledi, je 2. Ker je 2 praštevilo, ga obkrožimo in prečrtamo vse večkratnike tega števila. Prvo neprečrtano število, ki sledi številu 2, je 3. To je praštevilo, zato ga obkrožimo in prečrtamo vse večkratnike števila 3. S tem postopkom nadaljujemo. Zadošča prečrtati samo večkratnike tistih praštevil, ki so n. V našem primeru torej le večkratnike praštevil 2, 3 in 5, saj so to edina praštevila 40. Vsa obkrožena in neprečrtana števila so praštevila. Torej so praštevila od 1 do 40: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Slika 1.1: Eratostenovo rešeto
17 1.3 Kongruence Kongruence Teorijo kongruenc je utemeljil eden največjih matematikov, Karl Friedrich Gauss, koncem 18. st., v knjigi Disquisitiones Arithmeticae. Definicija 1.13 Naj bo n N. Celi števili a in b sta kongruentni po modulu n, če n a b. V tem primeru pišemo a b(mod n). Izrek 1.14 (Mali Fermatov izrek) Naj bo a Z. velja: a p 1 1(mod p). Če je p praštevilo in p a, potem Dokaz. Najprej želimo dokazati, da so a, 2a, 3a,..., (p 1)a paroma nekongruentna po modulu p. Recimo, da niso. Potem obstajata i, j {1,..., p 1} in i < j, tako da ia ja(mod p). Ker je D(a, p) = 1, je i j(mod p). Tako p j i in 0 < j i < p, kar pa je protislovje, saj je i j p. Nadaljujemo z dokazovanjem, da a, 2a,..., (p 1)a niso deljiva s p. Denimo, da to ne drži. Potem obstaja tak i {1, 2,..., p 1}, da p ia. Torej p i ali p a, kar pa je v nasprotju s predpostavko, da p a in p i. Zato velja: a r 1 (mod p) 2a r 2 (mod p).. (p 1) r p 1 (mod p), za neka paroma različna števila r 1,..., r p 1 {1, 2,..., p 1}. Če kongruence pomnožimo, dobimo: a(2a) (p 1)a 1 2 (p 1)(mod p) oziroma (p 1)!a p 1 (p 1)!(mod p).
18 1.4 Matematični simboli 8 Ker je D(p, p 1) = 1 torej sledi, da a p 1 1(mod p). Posledica 1.15 Za vsako celo število a in vsako praštevilo p velja: a p a(mod p). 1.4 Matematični simboli V diplomskem delu so uporabljeni tudi naslednji matematični simboli: - Naj bo p praštevilo. Pišemo p r n, če je p r najvišja potenca števila p, ki deli n. Torej p r n in p r+1 n. - Naj bosta f in g realni funkciji, definirani za vsak x D, kjer je D R. Naj bo g(x) > 0 za vsak x D. Potem pišemo f g (ali g f ali f = O(g)), če obstaja taka pozitivna konstanta c, da je f(x) cg(x), za dovolj velike x D. V diplomskem delu bo množica D kar množica naravnih števil N.
19 Poglavje 2 Aritmetične funkcije Definicija 2.1 Aritmetična funkcija je vsaka funkcija f : N C. Definicija 2.2 Aritmetična funkcija f je - multiplikativna, če za poljubni tuji naravni števili m in n velja: f(mn) = f(m)f(n), - popolnoma multiplikativna, če za poljubni naravni števili m in n velja: f(mn) = f(m)f(n). Zgled. Funkciji, podani s predpisoma f(n) = 1 in g(n) = n, za vse n N, sta popolnoma multiplikativni. Velja namreč: f(mn) = 1 = 1 1 = f(m)f(n) g(mn) = mn = g(m)g(n), za vse m, n N. Zato sta funkciji f in g tudi multiplikativni. Izrek 2.3 Naj bo f multiplikativna funkcija. Če je n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k kanoničen razcep števila n, kjer so p 1, p 2,... p k različna praštevila in a 1, a 2,..., a k N, potem velja: f(n) = f(p a 1 1 )f(pa 2 2 ) f(pa k k ). 9
20 2.1 Eulerjeva funkcija ϕ 10 Dokaz. Izrek bomo dokazali z uporabo matematične indukcije po k. Če je k = 2, potem je f(n) = f(p a 1 1 pa 2 2 ) = f(pa 1 1 )f(pa 2 2 ), saj je f multiplikativna in D(pa 1 1, pa 2 2 ) = 1. Naj bo sedaj k poljubno naravno število, ki je večje od 1 in predpostavimo, da za poljubna praštevila p 1,..., p k in poljubna a 1,..., a k N velja f(p a 1 1 pa k k ) = f(pa 1 1 ) f(pa k k ). Dokažimo, da je potem f(p a 1 1 pa k k pa k+1 k+1 ) = f(pa 1 1 ) f(pa k k )f(pa k+1 k+1 ), za poljubna praštevila p 1,..., p k+1 in a 1,..., a k+1 N : f(p a 1 1 pa 2 2 pa k k pa k+1 k+1 ) = f((pa 1 1 pa 2 2 pa k k )pa k+1 k+1 ) = f(p a 1 1 pa 2 2 pa k k )f(pa k+1 k+1 ) = f(p a 1 1 )f(pa 2 2 ) f(pa k k )f(pa k+1 k+1 ), saj je D((p a 1 1 pa k k ), pa k+1 k+1 ) = Eulerjeva funkcija ϕ Definicija 2.4 Eulerjeva funkcija ϕ : N N je funkcija, definirana z naslednjim predpisom: ϕ(n) je število vseh naravnih števil, ki so tuja z n in niso večja od n. Zgled. Tabela vrednosti ϕ(n) za n = 1,..., 10 : n ϕ(n) Izrek 2.5 Naravno število p je praštevilo natanko tedaj, ko je ϕ(p) = p 1. Dokaz. ( ) Če je p praštevilo, potem so števila 1, 2,..., p 1 vsa tuja s p. Zato je ϕ(p) = p 1. ( ) Naj bo p tako naravno število, da je ϕ(p) = p 1. Dokazati želimo, da je p praštevilo. Recimo, da p ni praštevilo. Torej je p = 1 ali je p sestavljeno število. Če p = 1, pridemo do protislovja. Namreč ϕ(1) = 1 in zato ϕ(p) p 1. Če je p sestavljeno, potem obstaja tak d {2, 3,..., p 1}, da d p. Ker p in d nista tuji, (saj je D(d, p) = d > 1) sledi ϕ(p) < p 1, kar je v protislovju s predpostavko.
21 2.1 Eulerjeva funkcija ϕ 11 Izrek 2.6 Za poljubno praštevilo p in a N velja: ϕ(p a ) = p a p a 1. Dokaz. Števila p, 2p, 3p,..., p a 1 p so vsa števila v množici {1, 2,..., p a }, ki niso tuja s p a. Teh je natanko p a 1. Zato je število vseh števil v množici {1, 2,..., p a }, ki so tuja s p a enako p a p a 1. Torej je ϕ(p a ) = p a p a 1. Zgled. in ϕ(7 3 ) = = 294 ϕ(13 2 ) = = 156 Izrek 2.7 Eulerjeva funkcija ϕ je multiplikativna. Opomba 2.8 Naj števila r 1, r 2,..., r m tvorijo popoln sistem ostankov po modulu m. Če je a N in D(a, m) = 1, potem števila ar 1 + b, ar 2 + b,..., ar m + b tvorijo popoln sistem ostankov po modulu m, za vsak b Z. Dokaz. Naj bosta m in n tuji si naravni števili. Števila, ki ne presegajo števila mn prikažemo na naslednji način: 1 m + 1 2m (n 1)m m + 2 2m (n 1)m m + 3 2m (n 1)m m 2m 3m... nm Naj bo r N, r m in D(m, r) = d > 1. Nobeno število v r-ti vrstici ni tuje z mn, saj je vsak element te vrstice oblike km + r, k {1, 2,..., n 1} in d km + r (saj d r in d m). Da bi torej našli tista števila s seznama, ki so tuja z mn, moramo pogledati r-to vrstico le,
22 2.1 Eulerjeva funkcija ϕ 12 če je D(m, r) = 1. Če je D(m, r) = 1 in 1 r m, potem moramo ugotoviti koliko števil v tej vrstici je tujih z mn. Elementi te vrstice so r, m + r, 2m + r,..., (n 1)m + r. Ker je D(m, r) = 1 je vsak element v tej vrstici tuj z m. Ob uporabi izreka o popolnem sistemu ostankov opazimo, da vseh n števil v r-ti vrstici tvori popoln sistem ostankov po modulu n. Zato je natanko ϕ(n) teh števil tujih z n. Ker pa je tudi ϕ(n) teh števil tujih z m, so potem tuja z mn. Ker torej obstaja ϕ(m) vrstic, od katerih vsaka vsebuje ϕ(n) števil, tujih z mn, zaključimo, da je ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Izrek 2.9 Naj bo n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k kanoničen razcep naravnega števila n. Tedaj velja: ϕ(n) = n(1 1 p 1 )(1 1 p 2 ) (1 1 p k ). Dokaz. Ker je ϕ multiplikativna in n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k kanoničen razcep števila n vemo, da je ϕ(n) = ϕ(p a 1 1 )ϕ(pa 2 2 ) ϕ(pa k k ). Poleg tega pa vemo, da je ϕ(p a j j ) = pa j j p a j 1 j = p a j j (1 1 p j ), za j = 1, 2,..., k. Zato velja ϕ(n) = p a 1 1 (1 1 p 1 )p a 2 2 (1 1 p 2 ) p a k k (1 1 p k ) = p a 1 1 pa 2 2 pa k k (1 1 p 1 )(1 1 p 2 )(1 1 p k ) = n(1 1 p 1 )(1 1 p 2 )(1 1 p k ). Zgled. Z uporabo izreka 2.9 lahko izračunamo ϕ(200) = ϕ( ) = 200(1 1 2 )(1 1 5 ) = 80. Opomba 2.10 Naj bo f aritmetična funkcija. Tedaj f(d) d n predstavlja vsoto funkcijskih vrednosti funkcije f po vseh pozitivnih deliteljih števila n.
23 2.1 Eulerjeva funkcija ϕ 13 Zgled. f(d) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(6) + f(8) + f(12) + f(24). d 24 Izrek 2.11 Za poljubno naravno število n velja ϕ(d) = n. d n Dokaz. Najprej si oglejmo primer, ko je n potenca praštevila, tj. n = p t. Delitelji števila p t so: 1, p, p 2,..., p t. Zato je ϕ(d) = ϕ(1) + ϕ(p) + ϕ(p 2 ) ϕ(p t ) d p t = 1 + (p 1) + (p 2 p) (p t p t 1 ) = p t. Obravnavajmo še splošni primer. Število n razcepimo na potence različnih praštevil: n = p t 1 1 p t 2 2 p t k k. Ker so delitelji števila n natanko vsa števila oblike p r 1 1 pr 2 2 pr k k, pri čemer velja: 0 r i t i za vse i = 1, 2,..., k, sledi f(d) = d n = = = t 1 r 1 =0 t 1 r 1 =0 k i=1 r i =0 k i=1 = n. pt i t i t k r k =0 t k r k =0 ϕ(p r i i ) ϕ(p r 1 1 pr 2 2 pr k k ) ϕ(p r 1 1 ) ϕ(pr k k )
24 2.2 Möbiusova funkcija µ Möbiusova funkcija µ Definicija 2.12 Möbiusova funkcija µ : N Z je podana s predpisom: 1 če n = 1 µ(n) = 0 če je n deljivo s kvadratom praštevila (-1) k če je n = p 1 p 2 p k, kjer so p 1,..., p k paroma različna praštevila. Zgled. Tabela vrednosti µ(n) za n = 1,..., 10 : n µ(n) Opomba 2.13 µ(p) = 1, za vsako praštevilo p. Izrek 2.14 Möbiusova funkcija µ je multiplikativna. Dokaz. Naj bosta m in n tuji si naravni števili. Če je število mn deljivo s kvadratom praštevila, potem velja to tudi za število m ali n. Velja torej: µ(mn) = 0 = µ(m)µ(n). Če pa število mn ni deljivo s kvadratom praštevila, velja to tudi za m in n. Naj bo k število različnih prafaktorjev števila m, l pa število različnih prafaktorjev števila n. Potem je število različnih prafaktorjev števila mn enako k + l. Torej: µ(ab) = ( 1) k+l = ( 1) k ( 1) l = µ(m)µ(n). Izrek 2.15 Za poljubno naravno število n velja { 1 n = 1 µ(d) = 0 n > 1. d n
25 2.3 Dirichletov produkt aritmetičnih funkcij 15 Dokaz. Če je n = 1, potem µ(d) = µ(1) = 1. d 1 Naj bo n > 1 in n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k, kjer so p i paroma različna praštevila. µ(d) = µ(1) + µ(p 1 ) µ(p k ) + µ(p 1 p 2 ) µ(p k 1 p k ) µ(p 1 p 2 p k ) d n = 1 + = (1 1) k = 0, ( ) k ( 1) + 1 ( ) k ( 1) ( ) k ( 1) k k saj lahko s praštevili p 1,..., p k tvorimo natanko ( k i) produktov z i prafaktorji. Ob uporabi binomskega izreka pa opazimo, da gre za razvoj potence izraza (1 1) k. 2.3 Dirichletov produkt aritmetičnih funkcij Definicija 2.16 Naj bosta f in g poljubni aritmetični funkciji. Dirichletov produkt ali Dirichletova konvolucija funkcij f in g je aritmetična funkcija f g, podana s predpisom: (f g)(n) = d n f(d)g( n d ). Trditev 2.17 Naj bodo f, g, h poljubne aritmetične funkcije. Tedaj velja 1. f g = g f (komutativnost) 2. (f g) h = f (g h) (asociativnost) 3. f (g + h) = f g + f h (distributivnost) Dokaz. Naj bo n N. Potem velja: 1. (f g)(n) = d n f(d)g( n d ) = n=da f(d)g(a) = a n f( n a )g(a) = (g f)(n).
26 2.4 Funkciji τ in σ ((f g) h)(n) = d n (f g)(d)h( n d ) = n=ed(f g)(d)h(e) = ( f(k)g(l))h(e) n=ed d=kl = f(k)g(l)h(e) n=ekl = f(k) g(l)h(e) n=kc c=el = f(k)(g h)(c) n=kc = (f (g h))(n). 3. (f (g + h))(n) = n=de f(d)(g + h)(e) = f(d)(g(e) + h(e)) n=de = f(d)g(e) + f(d)h(e) n=de n=de = (f g + f h)(n). 2.4 Funkciji τ in σ Definicija 2.18 Funkciji τ : N N in σ : N N definiramo z naslednjima predpisoma: τ(n) = d n 1 in σ(n) = d n d. Skratka, τ(n) je število vseh pozitivnih deliteljev števila n, σ(n) pa je vsota vseh pozitivnih deliteljev števila n.
27 2.4 Funkciji τ in σ 17 Zgled. Tabela vrednosti τ(n) za n = 1,..., 10 : n τ(n) Zgled. Tabela vrednosti σ(n) za n = 1,..., 10 : n σ(n) Opomba 2.19 τ(p) = 2 in σ(p) = 1 + p, za vsako praštevilo p. Izrek 2.20 Če je f multiplikativna funkcija, potem je multiplikativna tudi funkcija F : N C, podana s predpisom F (n) = f(d). d n Opomba 2.21 Naj bosta m in n tuji naravni števili. Naravno število d je delitelj števila mn natanko tedaj, ko obstaja tak enolično določen par števil d 1, d 2 N, da velja d 1 m, d 2 n, d = d 1 d 2. Dokaz. Naj bosta m in n poljubni tuji naravni števili. Dokazati želimo: F (mn) = F (m)f (n). F (mn) = d mn = f(d) = (d 1,d 2 ) d 1 m, d 2 n d=d 1 d 2 = (f(d 1 ) d 1 m d 2 n (d 1,d 2 ) d 1 m, d 2 n d=d 1 d 2 f(d) = f(d 1 )f(d 2 ) = d 1 m f(d 2 )) = ( d 1 m (d 1,d 2 ) d 1 m, d 2 n d=d 1 d 2 f(d 1 d 2 ) ( d 2 n f(d 1 )f(d 2 )) f(d 1 ))( d 2 n f(d 2 )) = F (m)f (n).
28 2.4 Funkciji τ in σ 18 Izrek 2.22 Funkciji τ in σ sta multiplikativni. Dokaz. Naj bosta funkciji f : N N in g : N N definirani s predpisoma: f(n) = 1, g(n) = n Vemo, da sta funkciji f in g multiplikativni. Opazimo: τ(n) = 1 = f(d) d n d n σ(n) = d n d = d n g(d) Sedaj uporabimo prejšnji izrek, ki pove, da sta funkciji τ in σ multiplikativni. Lema 2.23 Naj bo p praštevilo in a N. Tedaj velja: σ(p a ) = (1 + p + p p a ) = pa+1 1 p 1 in τ(p a ) = a + 1. Dokaz. Delitelji števila p a so 1, p, p 2,..., p a 1, p a. Posledično, p a ima natanko a + 1 deliteljev, zato je τ(p a ) = a + 1. Prav tako ugotovimo naslednje: σ(p a ) = 1 + p + p p a = pa+1 1 p 1. Zgled. Z uporabo leme 2.23 lahko izračunamo σ(4 3 ) = = = 85 in τ(4 3 ) = = 4
29 2.4 Funkciji τ in σ 19 Izrek 2.24 Naj bo n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k različna praštevila, a i N. Tedaj velja: kanoničen razcep naravnega števila n, kjer so p i σ(n) = ( pa )(pa (pak+1 p 1 1 p 2 1 ) k 1 k p k 1 ) = i=1 i 1 p i 1 ) ( pa i+1 in Dokaz. τ(n) = (a 1 + 1)(a 2 + 1)... (a k + 1) = Ker sta τ in σ multiplikativni, sledi: k (a i + 1). i=1 1 1 σ(n) = σ(p a pa 2 2 pa k k ) = σ(pa 1 1 )σ(pa 2 2 ) σ(pa k k ) = (pa p 1 1 ) (pak+1 k 1 p k 1 ) in τ(n) = τ(p a 1 1 pa 2 2 pa k k ) = τ(pa 1 1 )τ(pa 1 1 ) τ(pa k k ) = (a 1 + 1)(a 2 + 1) (a 2 + 1). Zgled. Z uporabo izreka 2.24 lahko izračunamo σ(720) = σ( ) = = = in τ(720) = τ( ) = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = = 30.
30 Poglavje 3 Popolna števila in Mersennova praštevila S proučevanjem popolnih števil so se pričeli ukvarjati že Pitagorejci, v 6.st.pr.n.št. Zdela so se jim skrivnostna zaradi povezave med števili in vsoto njihovih deliteljev. Opazili so, da imajo nekatera števila posebno lastnost, t.j. da je vsota pozitivnih deliteljev števila enaka številu samemu (pri tem gledamo samo delitelje, manjše od števila samega). Eno takih števil je število 6, saj je 6 = V obdobju stare Grčije so poznali še tri popolna števila, in sicer števila 28, 496 in Grški matematik Evklid je v svoji najbolj znani zbirki knjig Elementi dokazal, da če je 2 k 1 praštevilo, potem je 2 k 1 (2 k 1) popolno število. Ker je veliko praštevil oblike 2 p 1, so mnogi matematiki sklepali, da je ta izraz praštevilo za vsak praštevilski p. Vendar je leta 1536 Regius dokazal, da to ne velja za števili 9 in 11, saj je = 511 = 7 73 in = 2047 = Pokazal je tudi, da je = 8191 praštevilo in s tem 2 12 (2 13 1) = peto popolno število. Leta 1588 je Cataldi ugotovil, da sta števili in praštevili. Tako je bilo odkrito šesto in sedmo popolno število: 2 16 (2 17 1) = , 2 18 (2 19 1) =
31 21 Trdil je tudi, da je 2 p 1 praštevilo za p = 23, 29, 31 in 37, vendar se je kasneje izkazalo, da to drži le za p = 31. Namreč, leta 1640 je Fermat dokazal Cataldijevo zmoto za števili 23 in 37. Podobno je leta 1738 dokazal Euler za število 29. Naslednji matematik, ki je napravil velik napredek pri iskanju praštevil oblike 2 p 1, je bil Marin Mersenne. V predgovoru svoje knjige Cogitata Physica-Mathematica, ki je izšla leta 1644 trdi, da je 2 p 1 praštevilo za p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 in 257, ter sestavljeno število za vse druge p, manjše od 257. V nadaljevanju so se matematiki ukvarjali predvsem z dokazovanjem pravilnosti napisanega seznama. Tako je leta 1750 Euler dokazal, da je število praštevilo in tako je bilo odkrito osmo zaporedno popolno število, 2 30 (2 31 1) = Poleg tega je leta 1738 dokazal, da ni praštevilo, kot je pred njim trdil Cataldi. Lucas je leta 1876 potrdil število kot praštevilo in dokazal, da je sestavljeno število. Sedem let kasneje je Pervushin pokazal, da je praštevilo in s tem 2 60 (2 61 1) popolno število. V začetku leta 1900 je Power pokazal, da je Mersenne izpustil tudi praštevili p = 89 in p = 107. Tako sta bili odkriti naslednji dve popolni števili: 2 88 (2 89 1), ( ). Leta 1927 pa je Lehmer dokazal, da za p = 257, število ni praštevilo. Šele leta 1947, ko so se pojavila dobra namizna računala, je bilo mogoče celotno Mersennovo trditev preveriti. Napravil je pet napak. Tako so tudi dopolnili oziroma popravili njegov seznam: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Kljub temu, da Mersenne ni dokazoval pravilnosti svojega seznama, se ta števila imenujejo po njem - Mersennova praštevila. Označimo jih z oznako M p, kjer je p praštevilo.
32 3.1 Popolna števila Popolna števila Definicija 3.1 Če je n naravno število in σ(n) = 2n, potem n imenujemo popolno število. Zgled. Poglejmo prvi dve popolni števili: σ(6) = = 12 = 2 6 in σ(28) = = 56 = Evklid je torej pokazal, da obstaja tesna povezava med praštevili in popolnimi števili. Iz praštevila, ki se ga da zapisati kot vsota zaporedja števil, katerih velikost se na vsakem koraku podvoji, lahko najdemo popolno število tako, da to praštevilo pomnožimo z največjim členom zaporedja. Praštevilo 7 lahko naprimer zapišemo kot vsoto naslednjega zaporedja = 7. Če pomnožimo zadnji člen zaporedja, 4, s praštevilom 7, dobimo 28, ki je popolno število. Podobno lahko zapišemo praštevilo 31 kot vsoto = 31, od koder sklepamo, da je tudi = 496 popolno število. Izrek 3.2 Sodo naravno število n je popolno natanko tedaj, kadar je oblike n = 2 m 1 (2 m 1), kjer je 2 m 1 praštevilo in m 2. Dokaz. ( ) Naj bo n = 2 m 1 (2 m 1), kjer je 2 m 1 praštevilo in m 2. Dokazati želimo, da je n popolno število, oziroma je σ(n) = 2n. Ker je 2 m 1 liho število, je D(2 m 1, 2 m 1 ) = 1. Zaradi multiplikativnosti funkcije σ je σ(n) = σ(2 m 1 )σ(2 m 1). Poleg tega vemo, da je 2 m 1 praštevilo in zato sledi, da je σ(2 m 1) = 2 m = 2 m
33 3.1 Popolna števila 23 in Torej, σ(2 m 1 ) = 2m = 2m 1. σ(n) = (2 m 1)2 m = (2 m 1) 2 2 m 1 = 2n. ( ) Naj bo n sodo popolno število. Zapišemo ga lahko kot n = 2 s t, kjer sta s, t N in t je liho. Ker je D(2 s, t) = 1, je σ(n) = σ(2 s t) = σ(2 s )σ(t) = (2 s+1 1)σ(t). Vemo, da je n popolno število, torej je σ(n) = 2n = 2 2 s t = 2 s+1 t. Če sedaj združimo oba zapisa, dobimo (2 s+1 1)σ(t) = 2 s+1 t. Vidimo, da 2 s+1 (2 s+1 1)σ(t). Ker pa je D(2 s+1, 2 s+1 1) = 1, sledi da 2 s+1 σ(t). Obstaja torej tak q Z, da je σ(t) = 2 s+1 q in zato je (2 s+1 1)2 s+1 q = 2 s+1 t, ter je t = (2 s+1 1)q, q t. Če na obeh straneh enačbe prištejemo q, dobimo t + q = (2 s+1 1)q + q = 2 s+1 q q + q = 2 s+1 q = σ(t). V nadaljevanju bomo pokazali, da je q = 1, saj želimo dokazati, da je t praštevilo. Če predpostavimo, da je q 1, obstajajo vsaj trije različni pozitivni delitelji števila t, in sicer 1, q in t, kar pomeni, da je σ(t) 1 + q + t, to pa je v nasprotju z zgornjo enačbo. Zato je q = 1 in od tod sledi, da je t = 2 s+1 1, σ(t) = t + 1.
34 3.1 Popolna števila 24 Vidimo, da je t praštevilo, saj sta njegova edina pozitivna delitelja 1 in t. Torej je n = 2 s t = 2 s (2 s+1 1), kjer je 2 s+1 1 praštevilo. Izrek 3.3 Če je m naravno število in 2m 1 praštevilo, tedaj je m praštevilo. Dokaz. Predpostavimo, da m ni praštevilo in dokažimo, da tedaj tudi 2 m 1 ni praštevilo. Ker je m sestavljeno število ga zapišemo kot m = ab, kjer je 1 < a < m in 1 < b < m. Zato je 2 m 1 = 2 ab 1 = (2 a 1)(2 a(b 1) + 2 a(b 2) a + 1). Ker sta oba faktorja večja od 1, sledi da je 2 m 1 sestavljeno število. Trditev 3.4 velja: Če je x liho popolno število, potem obstaja tako praštevilo q 1(mod 4), da (i) x = q α m 2 za neki naravni števili α in m z lastnostjo α 1(mod 4) in D(q, m) = 1, (ii) q σ(p 2a ) in p 2a x za neko praštevilo p in neko naravno število a. Dokaz. (i) Najprej pokažimo naslednje: če je x liho popolno število, potem je oblike x = p α 1 1 p2β 2 2 p 2βr r, kjer so p i različna liha praštevila in p 1 α 1 1(mod 4). Naj bo x = p α 1 1 pα 2 2 pαr r liho popolno število. Ker je x popolno, lahko zapišemo 2x = σ(x) = σ(p α 1 1 )σ(pα 2 2 ) σ(pαr r ), ob upoštevanju da je x liho, pa sledi x 1(mod 4) ali x 3(mod 4). V obeh primerih je 2x 2(mod 4). Torej je σ(x) = 2x deljivo z 2 in ni deljivo s 4, zato mora biti eno izmed števil σ(p α i i ), na primer σ(p α 1 1 ), sodo (in ne deljivo s 4), saj so vsa preostala
35 3.1 Popolna števila 25 števila σ(p α i i ) liha. Za dano število p i je treba upoštevati dve možnosti: p i 1(mod 4) ali p i 3(mod 4). Če je p i 3 1(mod 4), dobimo σ(p α i i ) = 1 + p i + p 2 i p α i i 1 + ( 1) + ( 1) ( 1) α i (mod 4) { 0 (mod 4) če je αi liho 1 (mod 4) če je α i sodo. Ker je σ(p α 1 1 ) 2(mod 4), sledi da p 1 3(mod 4) in zato je p 1 1(mod 4). Poleg tega kongruenca σ(p α i i ) 0(mod 4) pomeni, da 4 σ(p α i i ), kar pa ne drži. Če je torej p i 3(mod 4) za vse i = 2,..., r, potem je α i sodo število. Lahko pa je p i 1(mod 4), kar je res za i = 1. Potem je σ(p α i i ) = 1 + p i + p 2 i p α i i α i (mod 4) α i + 1(mod 4). Ker je σ(p α 1 1 ) 2(mod 4), sledi da je α 1 1(mod 4). Za vse i = 2,..., r velja, da je σ(p α i i ) 1 ali 3(mod 4) in tako je α i 0 ali 2(mod 4). V vsakem primeru je torej α i sodo število (za vse i 1). Glede na zapisano lahko torej vsako liho popolno število x zapišemo kot x = p α 1 1 p2β 2 2 p 2βr r = p α 1 1 (pβ 2 2 pβr r ) 2 = p α 1 1 m2 in tako do konca dokažemo točko (i). Naj bo p 1 = q. Ker je torej q 1(mod 4), je q α 1(mod 4). Ker pa mora biti m liho število, je m 1 ali m 3(mod 4) in zato je m 2 1(mod 4). Torej je x = q α m (mod 4). (ii) Vemo, da je x = p α 1 1 p2β 2 2 p 2βr r. Ker q x in x σ(x), potem tudi q σ(x), torej q σ(q α )σ(p 2β 2 2 ) σ(p 2βr r ).
36 3.1 Popolna števila 26 Ker je q praštevilo, deli vsaj eno izmed števil v zapisanem produktu. Dokazali bomo, da q σ(q α ). Od tod bo namreč sledilo, da q deli poljubno število σ(p 2β i i ), za i = 2,..., r. Naj bo σ(q α ) = 1 + q + q q α = 1 + (q + q q α ). Ker q deli vsoto q + q q α, mora deliti tudi število 1, kar pa seveda ne drži. Zato torej q σ(q α ), deli pa vsaj eno izmed števil σ(p 2β i i ). Recimo, da q σ(p β 2 2 ). Naj bo p 2 = p in β 2 = a. Potem q σ(p 2a ). Iz kanoničnega razcepa števila x razberemo, da p 2β i i x, za i = 2,..., r. Torej je p 2β i i najvišja potenca števila p i, ki deli x. Če ponovno zamenjamo oznake, dobimo p 2a x. Popolna števila imajo tudi nekaj zanimivih lastnosti. Poglejmo si nekatere izmed njih. Trditev 3.5 Vsako sodo popolno število je trikotniško (trikotniška števila so števila oblike n = n(n+1) 2, za nek n N). Dokaz. Sodo popolno število je oblike 2 k 1 (2 k 1), kar je enako n(n+1) 2 za n = 2 k 1. Zgled. 6 = = 3(3 + 1) 2 28 = = = 12 2, 7(7 + 1) 2 = Trditev 3.6 n enaka 2. Če je n sodo popolno število, je vsota obratnih vrednosti vseh deliteljev števila Dokaz. Ker je n sodo popolno števila velja σ(n) = 2n. Če sedaj enačbo delimo z n, dobimo želen rezultat, torej σ(n) n = 2. Zgled. Vzemimo števili 6 in 28: = 12 6 = 2, = = 2.
37 3.2 Mersennova praštevila 27 Trditev 3.7 Števčni koren vsakega sodega popolnega števila, razen 6, je enak 1 (števčni koren dobimo, če seštejemo vse števke števila, nato vse števke tega števila in tako naprej, dokler ne dobima števila z eno samo števko). Dokaz. Predpostavimo, da je p liho praštevilo in dokažimo, da je 2 p 1 (2 p 1) 1(mod 9). Pri tem ločimo tri možnosti: če je p = 3, je 2 p 1 (2 p 1) = 2 2 (2 3 1) = 4 7 = 28 1(mod 9). Naj bo sedaj p = 6k + 1, za nek k N. Potem je 2 p 1 (2 p 1) = 2 6k (2 6k+1 1) = 64 k (2 64 k 1) 1(2 1 1) 1(mod 9). Naj bo p = 6k + 5, za nek k N. Potem je 2 p 1 (2 p 1) = 2 6k+4 (2 6k+5 1) = k ( k 1) 7 1(5 1 1) 1(mod 9). Zgled. Oglejmo si peto in šesto popolno število: = = = = 1, = = = = 1. Opomba 3.8 Vsa znana popolna števila so soda. popolno število. Ni znano, ali sploh obstaja kako liho 3.2 Mersennova praštevila Definicija 3.9 Mersennovo število je naravno število oblike M n = 2 n 1, kjer je n N. Če je število M p praštevilo, kjer je p praštevilo, potem ga imenujemo Mersennovo praštevilo. Zgled. Število = = ni Mersennovo praštevilo. To je leta 1903 na sestanku ameriškega matematičnega društva dokazal Frederick Nelson Cole. Izrek 3.10 Če je p liho praštevilo, potem so vsi delitelji Mersennovega števila M p = 2 p 1 oblike 2kp + 1, kjer je k N.
38 3.2 Mersennova praštevila 28 Dokaz. Naj bo q praštevilo, ki deli M p = 2 p 1. Fermatov mali izrek pove, da q (2 q 1 1). Vemo pa tudi, da je D(2 p 1, 2 q 1 1) = 2 D(p,q 1) 1. Ker je q skupni delitelj števil 2 p 1 in 2 q 1 1, je D(2 p 1, 2 q 1 1) > 1. Sledi, da je D(p, q 1) = p, saj bi edina druga možnost, torej da je D(p, q 1) = 1, pomenila, da je D(2 p 1, 2 q 1 1) = 1, kar pa ne drži. Ker torej p q 1, obstaja tak m N, da je q 1 = mp. Vemo, da je q liho število in zato mora biti m sodo. Torej je m = 2k, kjer je k N in tako je q = mp + 1 = 2kp + 1. Zgled. Poglejmo, kako si lahko z izrekom 3.10 pomagamo pri iskanju Mersennovih praštevil. 1. Ali je M 13 = = 8191 Mersennovo praštevilo? Iščemo torej praštevilske delitelje, ki ne presegajo števila 8191 = 90, in so oblike 26k + 1. Edina kandidata sta števili 53 in 79. Ker pa nobeno izmed teh dveh števil ne deli števila M 13 sledi, da je to praštevilo. 2. Ali je M 23 = = Mersennovo praštevilo? Iščemo praštevilske delitelje, ki ne presegajo števila = 2896, in so oblike 46k + 1. Prvo praštevilo te oblike je 47, ki pa deli število M 23, saj je = Torej M 23 ni praštevilo, ampak je sestavljeno število. Izrek 3.11 (Lucas-Lehmerjev test) Naj bo p praštevilo in M p = 2 p 1 Mersennovo število. Zaporedje celih števil rekurzivno definiramo takole: r 1 = 4 r k r 2 k 1 2(mod M p ), za vsak k 2 in 0 r k < M p. Število M p je praštevilo natanko tedaj, ko je r p 1 0(mod M p ). Zgled. Vzemimo Mersennovo število M 5 = = 31 in predstavimo uporabo Lucas- Lehmerjevega testa. r 1 = 4 r 2 = = 14(mod 31) r 3 = (mod 31) r 4 = (mod 31) Ker je torej r 4 0(mod 31), zaključimo, da je število M 5 = 31 praštevilo. Test praštevilskosti je sredi 19. stol. razvil francoski matematik Lucas, dobrih 70 let pozneje pa ga je dopolnil ameriški matematik Lehmer. Zato ga sedaj imenujemo Lucas - Lehmerjev test.
39 3.2 Mersennova praštevila 29 Najnovejše Mersennovo praštevilo je leta 2009 odkril Odd Magnar Strindmo iz Norveške. Gre za število , ki v decimalnem zapisu porabi več kot dvanajst milijonov števk. Zanimivo pa je, da to ni največje Mersennovo praštevilo, saj so avgusta 2008 pokazali, da je tudi praštevilo. Trenutno (avgust 2012) je znanih 47 Mersennovih praštevil in s tem tudi 47 sodih popolnih števil. Poglejmo si jih v naslednji tabeli. Zap. št. p Št. števk v M p Leto odkritja Odkritelj stoletje pr. n. št. starogrški matematiki stoletje pr. n. št. starogrški matematiki stoletje pr. n. št. starogrški matematiki stoletje pr. n. št. starogrški matematiki neznani Cataldi Cataldi Euler Pervushin Powers Powers Lucas Robinson Robinson Robinson Robinson Robinson Riesel Hurwitz Hurwitz Gillies Gillies Gillies Tuckerman Noll, Nickel Noll Nelson, Slowinski Slowinski Colquitt, Welsh Slowinski
40 3.2 Mersennova praštevila Slowinski Slowinski, Gage Slowinski, Gage Slowinski, Gage Armengaud (GIMPS) Spence (GIMPS) Clarkson (GIMPS) Hajratwala (GIMPS) Cameron (GIMPS) Shafer (GIMPS) Findley (GIMPS) Nowak (GIMPS) Cooper, Boone (GIMPS) Cooper, Bone (GIMPS) Elvenich (GIMPS) Strindmo (GIMPS) Smith (GIMPS)
41 Poglavje 4 Domneva abc Domneva abc je preprosta, a močna trditev o odnosih med aditivnimi in multiplikativnimi lastnostmi celih števil. Definicija 4.1 Radikal naravnega števila m je produkt vseh paroma različnih praštevil, ki delijo m: rad(m) = p m p. Zgled. Zapišimo radikale števil 1, 16 in 72: rad(1) = 1 rad(16) = rad(2 4 ) = 2 rad(72) = rad( ) = 2 3 = 6 Opomba 4.2 Radikal naravnega števila m je torej največji delitelj števila m, ki ni deljiv s kvadratom praštevila. Domneva abc, ki sta jo leta 1985 oblikovala David Masser in Joseph Oesterlé, pravi: če so a, b, c neničelna tuja si števila in velja a + b = c, potem za vsak ɛ > 0, obstaja tako število K(ɛ), da je max { a, b, c } K(ɛ) rad(abc) 1+ɛ. Zaradi simetrije v zgornji neenakosti lahko zapišemo tudi tako: a + b + c = 0. Preveriti resničnost domneve abc je pomemben nerešen problem v teoriji števil. Iz nje je mogoče izpeljati veliko izrekov in še nedokazanih trditev. Poglejmo si nekaj primerov. 31
42 32 Fermatov veliki izrek pove, da za n 3, enačba x n + y n = z n nima rešitev v množici naravnih števil. Če je (x, y, z) trojica naravnih števil, ki rešijo enačbo x n + y n = z n in če praštevilo p deli x in y, potem p prav tako deli z. Tako je tudi ( x p, y p, z p ) rešitev te enačbe. Če ima torej Fermatova enačba rešitev v množici celih števil, potem ima rešitev tudi v množici tujih si celih števil. Imenujemo jo primitivna rešitev. Izrek 4.3 (Asimptotični Fermatov izrek) Če je domneva abc resnična, potem obstaja tak n 0 Z, da Fermatova enačba x n + y n = z n nima primitivnih rešitev za poljuben n n 0. Dokaz. Naj bodo x, y in z tuja si naravna števila, tako da velja: x n + y n = z n. Potem je rad(x n y n z n ) = rad(xyz) xyz z 3. Če je n 2, potem je z 3. Z uporabo domneve abc za ɛ = 1 in K 1 = max {1, K(1)}, dobimo z n = max {x n, y n, z n } K 1 rad(x n y n z n ) 2 < K 1 (z 3 ) 2 < K 1 z 6 in tako n < 6 + log K 1 log z 6 + log K 1 log 3. Catalanova domneva pravi, da sta 8 in 9 edini zaporedni popolni potenci v množici naravnih števil (popolna potenca je vsako naravno število, ki je oblike m n, kjer sta m, n N in m, n > 1). Z drugimi besedami, edina rešitev Catalanove enačbe x m y n = 1, kjer so x, y, m, n N in x, y, m, n > 1, je = 1. Znano je, da diofantska enačba x m y 2 = 1 nima rešitev v množici naravnih števil, ter da je edina rešitev enačbe x 2 y n = 1 trojica naravnih števil x = 3, y = 2 in n = 3. Zato smemo pri obravnavi Catalanove enačbe privzeti, da je min(m, n) 3.
43 33 Catalanovo domnevo je leta 1844 postavil belgijski matematik Eugene Charles Catalan. Aprila 2002 pa jo je dokazal romunski matematik Preda Mihalescu. Izrek 4.4 (Asimptotična Catalanova domneva) ima Catalanova enačba x m y n = 1 končno mnogo rešitev. Če je domneva abc resnična, potem Dokaz. Naj bo (x, y, m, n) rešitev Catalanove enačbe in min(m, n) 3. Potem sta x in y tuji si števili. Predpostavimo, da je domneva abc resnična. Potem za ɛ = 1 4 obstaja konstanta K 2 = K( 1 4 ), da velja y n < x m K 2 rad(x m y n ) 5 4 = K2 rad(xy) 5 4 K2 (xy) 5 4. Torej je x m K 2 (xy) 5 4, m log x log K (log x + log y) 4 in Sledi, da je n log y log K (log x + log y). 4 m log x + n log y < 2 log K (log x + log y), 2 ter (m 5 2 ) log x + (n 5 2 ) log y < 2 log K 2. (4.1) Ker je x 2 in y 2, dobimo (m 5 2 ) log 2 + (n 5 2 ) log 2 < 2 log K 2 m log log 2 + n log log 2 < 2 log K 2 (m + n) log 2 5 log 2 < 2 log K 2 (m + n) 5 < 2 log K 2 log 2 m + n < 2 log K 2 log 2 Obstaja torej končno mnogo parov eksponentov (m, n), za katere je Catalanova enačba rešljiva. Za določena eksponenta m 3 in n 3 ima enačba (4.1) končno mnogo rešitev + 5. (x, y) N N. Zato ima tudi Catalanova enačba končno mnogo rešitev.
44 34 Za vsako liho praštevilo p velja 2 p 1 1(mod p), torej p 2 p 1 1. Vprašanje o deljivosti 2 p 1 1 s p 2 izhaja iz Fermatovega velikega izreka. Definicija 4.5 Liho praštevilo p, za katerega velja 2 p 1 1(mod p 2 ) se imenuje Wieferichovo praštevilo. Zgled. Praštevila 3, 5, in 7 so Wieferichova praštevila, saj 2 2 1(mod 3 2 ), 2 4 1(mod 5 2 ), 2 6 1(mod 7 2 ). Ni znano, ali obstaja neskončno mnogo Wieferichovih praštevil. Prav tako pa ne vemo, ali obstaja neskončno mnogo praštevil, ki niso Wieferichova praštevila. Naj bo W množica vseh Wieferichovih praštevil. Dokazali bomo, da če je domneva abc resnična, potem ima množica W neskončno mnogo elementov. Še prej pa potrebujemo naslednjo lemo. Lema 4.6 Naj bo p liho praštevilo. Če obstaja tak n N, da velja 2 n 1(mod p) in 2 n 1(mod p 2 ), potem je p Wieferichovo praštevilo. Dokaz. Naj bo 2 d 1(mod p), kjer je d najmanjše naravno število. Ker je 2 n 1(mod p), sledi da d n. Vemo, da 2 n 1(mod p 2 ), zato tudi 2 d 1(mod p 2 ). Ker je torej 2 d 1(mod p), pomeni, da p 2 d 1, torej obstaja tak k Z, da je 2 d 1 = kp, oziroma 2 d = 1 + kp in D(k, p) = 1. Opazimo tudi, da d p 1, saj je 2 p 1 1(mod p). Torej p 1 = de, za nek e Z; 1 e p 1. Zato je D(p, de) = 1 in velja 2 p 1 = (2 d ) e = (1 + kp) e 1 + ekp 1(mod p 2 ). S tem smo dokazali, da je p Wieferichovo praštevilo.
45 35 Definicija 4.7 Potenčno število je vsako naravno število v, za katerega velja: če praštevilo p deli v, potem tudi p 2 deli v. Zgled. Število 200 je potenčno število, saj je 200 = Ker je 1176 = , vidimo, da 1176 ni potenčno število. Trditev 4.8 Če je v potenčno število, potem je rad(v) v 1 2. Dokaz. Naj bo v potenčno število in v = p α 1 1 pα k Potem je rad(v) = p 1 p k in v 1 2 = p1 p rad(v) v 1 2. α 1 2 α k 2 k k njegov kanonični razcep.. Ker je α i 2, za i = 1,..., k, sledi da je Izrek 4.9 praštevil. Če je domneva abc resnična, potem obstaja neskončno mnogo Wieferichovih Dokaz. Naj bo W množica vseh Wieferichovih praštevil. Naj bo n N in 2 n 1 = p 2 n 1 p ep(n) kanoničen razcep. Zapišemo lahko 2 n 1 = u n v n, kjer je v n največji potenčni delitelj števila 2 n 1, u n pa ni deljiv s kvadratom praštevila. Torej in v n = u n = p 2 n 1 e p(n)=1 p 2 n 1 e p(n) 2 p p ep(n). Če praštevilo p deli u n, potem vendar pa 2 n 1(mod p), 2 n 1(mod p 2 ). Z uporabo leme (4.6) sledi, da je p Wieferichovo praštevilo. Tako je u n produkt paroma različnih Wieferichovih praštevil.
46 36 Če je množica W končna, potem obstaja končno mnogo celih števil, ki niso deljiva s kvadratom praštevila in so vsa iz množice W. Pomeni, da je množica {u n : n = 1, 2, 3,...} končna. Posledično je množica {v n : n = 1, 2, 3,...} neskončna, ter tako neomejena. Ker je v n potenčno število, je rad(v n ) v 1 2 n. Predpostavimo, da je domneva abc resnična. Naj bo 0 < ɛ < 1. Potem za identiteto (2 n 1) + 1 = 2 n obstaja konstanta K(ɛ), da velja v n < 2 n K(ɛ)rad(2 n (2 n 1)) 1+ɛ K(ɛ)rad(2u n v n ) 1+ɛ K(ɛ)rad(2u n ) 1+ɛ rad(v n ) 1+ɛ. Dokazali smo, da je množica {v n : n = 1, 2, 3,...} omejena, ter tako prišli do protislovja.
47 Poglavje 5 Radikal popolnega števila Glavni rezultat tega poglavja bo dokaz brezpogojne neenakosti, s katero radikal popolnega števila ocenimo navzgor. Še prej pa se spomnimo znanega izreka: vsako sodo popolno število x je oblike x = 2 p 1 (2 p 1), pri čemer je 2 p 1 praštevilo. Naj bo x sodo popolno število. Potem velja rad(x) = 2(2 p 1) < 8x. (5.1) Namreč, ker je 2 p 1 < 2 p sledi da je (2 p 1) 2 < 2 2 p 1 (2 p 1) in zato je 4(2 p 1) 2 < 8 2 p 1 (2 p 1). Torej je 2(2 p 1) < 8 2 p 1 (2 p 1) in tako 2(2 p 1) < 8x. Naslednji izrek odpravlja omejitev, da je popolno število x sodo, na račun nekoliko šibkejše neenakosti. Izrek 5.1 Za poljubno popolno število x velja rad(x) < 2x Dokaz. Ob upoštevanju neenakosti (5.1) lahko predpostavimo, da je x liho število. Namreč, če je x = 6, potem je neenakost rad(x) < 2x izpolnjena (6 < ). Če pa je x sodo popolno število, ki je večje od 6, potem je x 28 in zato velja x > Torej je x 4 13 > 2 in če sedaj neenakost pomnožimo z x, dobimo x > 2x. S korenjenjem pa sledi x > 2x. Tako je 2x > 8x. Že v času Eulerja je bilo znano, da je vsako liho popolno število x oblike x = q α m 2, 37
48 38 kjer je q praštevilo in q α 1(mod 4), ter D(q, m) = 1. Očitno je Če je α > 1, je rad(x) x 1 2 < 2x rad(x) qm = q( x q α ) 1 2 = x 1 2 q 1 α 2. (5.2) Predpostavimo, da je α = 1, zato q x. Glede na neenakost (5.2) lahko predpostavimo, da je q 4x Namreč, če je q < 4x 4 13, potem je q 1 2 < 2x Od tod pa sledi, da je x 1 2 q 1 2 < 2x 17 26, kar pa ne drži. Ker je x popolno število, obstaja praštevilo p in tak a N, da p 2a x in q σ(p 2a ). Zapišimo x kot x = qp 2a v 2. Najprej obravnavajmo primer, ko p σ(q) in zato qp 2a σ(p 2a v 2 ). Namreč, ker q x in x σ(x), sledi da q σ(x), torej q σ(qp 2a v 2 ). Če upoštevamo multiplikativnost funkcije σ, vidimo da q σ(q)σ(p 2a v 2 ). Vemo, da je q praštevilo in zato q σ(q). Torej, q σ(p 2a v 2 ). Podobno lahko dokažemo, da p 2a σ(p 2a v 2 ), saj vemo da p σ(q) in sta p 2a in q tuji si števili. Zato torej qp 2a σ(p 2a v 2 ). Tako je Ker je p liho praštevilo velja Zato je qp 2a σ(p 2a v 2 ) < 2p 2a v 2 in v > ( q 2 ) 1 2. q σ(p 2a ) < 3 2 p2a in p > ( 2q 3 ) 1 2. rad(x) qpv = xpv p 2a v 2 = Sedaj pa predpostavimo, da p σ(q) = q + 1. x p 2a 1 v < x p a v < 3 1 x 2 q. (5.3) Zato je q 1(mod p). Ker vemo, da je σ(p 2a ) 1(mod p), sledi da je σ(p 2a ) = qu, kjer je tudi u 1(mod p). Kar pomeni, da sta q, u 2p 1 in a 2, saj velja da p q + 1. Zato je q + 1 > p in tako q 2p 1. Podobno ugotovimo tudi za u. Sledi, da je q σ(p2a ) 2p 1 < 2p2a 2p 1 < p2a p = p2a 1 in rad(x) x p 2a 1 < x q. Tudi v tem primeru velja neenakost (5.3), saj je x q < x q.
49 39 Glede na (5.3) lahko predpostavimo, da q ni zelo velik. Ob upoštevanju začetne omejitve in (5.3) dobimo 4x 4 13 q < x (5.4) Namreč, če bi bil q x 9 26, potem bi bil q x Sledi, da je 2q x Če neenakost pomnožimo z x 17 26, dobimo 2qx x. Po deljenju s q pa sledi 2x x q, kar pa ne drži. Zapišimo faktor p a v kot nk, kjer je D(n, k) = 1, k je potenčno število, n pa ni deljiv s kvadratom praštevila. Torej, x = qp 2a v 2 = qn 2 k 2. Sledi, da je n = ( x q ) 1 2 k 1. Ob upoštevanju (5.4) dobimo rad(x) qnk 1 2 = (qx) 1 2 k 1 2 < (x 9 26 ) 1 2 x 1 2 k 1 2 = x k 1 2. Ker je 2x < x k 1 2, sledi da 4x < x k 1, ter tako 4kx < x Sedaj neenakost delimo s 4x in dobimo k < 1 4 x Od tod pa sledi, da je k 2 < 1 16 x Zato torej smemo predpostaviti, da je k 2 < 1 16 x (5.5) Tako je σ(k 2 ) < 1 8 x 1 13 in zato q σ(k 2 ), saj je q > σ(k 2 ). Od tod vidimo, da q σ(n 2 ) in ker vemo, da q σ(p 2a ), sledi, da je a = 1 in p 2 n 2 oz. p n. Kar pomeni, da p σ(q). Če upoštevamo, da je p liho in uporabimo (5.4), dobimo p 2 > 2 3 σ(p2 ) 2 3 q 2 3 4x 4 13 = 8 3 x (5.6) Od tod sledi, da p σ(k 2 ), saj p > σ(k 2 ) in tako (i) p 2 σ(r 2 ) za neko praštevilo r n, ali (ii) p σ(r 2 ), p σ(s 2 ) za praštevili r, s n, r s. Oglejmo si primer (i): in r 2 > 2 3 σ(r2 ) 2 3 p x 4 13 = 16 9 x 4 13 qp 2 r 2 > 4x x x 4 13 = x
1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večLehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2013
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FIZIKA IN MATEMATIKA POLONA LUŽNIK Mentor: dr. MARKO RAZPET,
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večOSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk
OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži več2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki
2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večDiapozitiv 1
Pogojni stavek Pogojni (if) stavek Tip bool Primerjanje Uranič Srečo If stavek Vsi dosedanji programi so se izvajali zaporedoma, ni bilo nobenih vejitev Program razvejimo na osnovi odločitev pogojnega
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večPredmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Teorija števil Number theory Študijski program in stopnja Study pro
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Teorija števil Number theory Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski študijski program Matematika
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večDiapozitiv 1
9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V
Prikaži večTEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 5 Strani 264 271 Ivan Vidav: TEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN Ključne besede: matematika,
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M17178111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 1 Četrtek, 1. junij 2017 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večDel 1 Limite
Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večINDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n
INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo
Prikaži večUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ: matematika - računalništvo NEŽKA RUGELJ
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večMATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir
MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje priročno programsko okolje tolmač interpreter (ne prevajalnik)
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Vika Koban Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek
Prikaži večMicrosoft Word - Seštevamo stotice.doc
UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java_spremenljivke
Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večUniverza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zg
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, april 2019 Vsebina Seznam
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži večVelika logična pošast Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb Dana je diofantska enačba ax+by=c. Enačbo rešujemo samo v primeru, če sta a in b me
Velika logična pošast Eulerjeva metoda reševanja diofantskih enačb Dana je diofantska enačba ax+by=c. Enačbo rešujemo samo v primeru, če sta a in b medseboj tuji naravni števili.. 0x+y=4 2 Eulerjeva metoda
Prikaži večjj
PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog je določil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na 60. seji 27. 8. 2003 in se uporablja v programih za pridobitev
Prikaži večMATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več
MATEMATIKA Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Jana Draksler in Marjana Robič 9+ znam za več ZBIRKA ZNAM ZA VEČ imatematika 9+ Zbirka nalog za nacionalno preverjanje znanja Avtorici: Jana Draksler
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večLinearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s
Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večZnačilnosti prometnega toka
/3/9 :46:57 AM Equation Chapter Section Predaanje : Gibanje kolone ozil Opazujmo ozila, ki ozijo koloni. Pri tem predpostaimo kar se da enostano situacijo. Ta je: sa ozila imajo enako hitrost sa ozila
Prikaži večMicrosoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc
ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večPriloga 1: Pravila za oblikovanje in uporabo standardiziranih referenc pri opravljanju plačilnih storitev Stran 4012 / Št. 34 / Uradni lis
Priloga 1: Pravila za oblikovanje in uporabo standardiziranih referenc pri opravljanju plačilnih storitev Stran 4012 / Št. 34 / 24. 5. 2019 Uradni list Republike Slovenije PRILOGA 1 PRAVILA ZA OBLIKOVANJE
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večOsnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani
Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani naslov: Osnove verjetnostne metode avtorske pravice: dr. Riste Škrekovski
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večLayout 1
PREIZKUS IZ MATEMATIKE - Višja srednja šola - Drugi razred Preverjanje znanja Šolsko leto 2011 2012 PREIZKUS IZ MATEMATIKE Višja srednja šola Drugi razred Prostor za samolepilno etiketo NAVODILA V snopiču
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Denis Kolarič Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večMicrosoft Word - N _moderacija.docx
2 N151-401-2-2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo, da moderirano različico navodil za vrednotenje dosledno upoštevate. Če učenec pravilno reši nalogo na svoj način (ki je matematično korekten) in je to razvidno
Prikaži več2. Model multiple regresije
2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži več