NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
|
|
- Alja Mavrič
- pred 5 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti spremenljivke X, y i pa vrednosti spremenljivke Y. Pri tem je treba ločiti med naslednjima možnostima: 1. Na slučajnem vzorcu enot izmerimo dve značilnosti (spremenljivki). Nobene od spremenljivk ne kontroliramo. Primer: meritev sistoličnega in diastoličnega krvnega tlaka. 2. Eksperimentalnim enotam določimo vrednost (npr. dozo) in merimo nek izid. Rezultat so zopet pari vrednosti, vendar je prva spremenljivka, doza, tipično kontrolirana, torej njene vrednosti vnaprej določene. Pogosto več različnih enot dobi enako dozo, se pravi, da imamo več izidov pri isti dozi.
2 V navadi je naslednja terminologija X = neodvisna spremenljivka (napovedni dejavnik) Y = odvisna spremenljivka (izid) Razsevni diagram Kadar nas zanima povezanost dveh numeričnih spremenljivk, nam prvi vtis o povezanosti dà diagram, v katerem pare vrednosti narišemo kot točke v koordinatnem sistemu. Primer: Obremenitveni test Na obremenitvenem testu so 50 moškim izmerili trajanje obremenitve in porabo kisika. Porabo kisika izražamo v mililitrih na kilogram telesne mase na minuto. Na spodnjem razsevnem diagramu vidimo, da poraba kisika v povprečju narašča s trajanjem obremenitve in to nekako linearno.
3 trajanje obremenitve poraba kisika V nadaljevanju se bomo omejili na linearno povezanost, kar se morda zdi velika omejitev, a bomo pozneje pokazali, da temu ni tako.
4 Cilja naše analize bosta dva: 1. Kvantitativni opis in evalvacija povezanosti med spremenljivkama. 2. Napoved Y, če je znana vrednost X. In ker se bomo omejili na primer, ko je povprečen izid linearno odvisen od napovednega dejavnika, bomo takšni analizi bomo rekli linearna regresija (izraz regresija bomo pojasnili kasneje). Statistični model povezanosti med odvisno in neodvisno spremenljivko bo torej Y = α + βx + ɛ, kjer napaka ɛ predstavlja slučajno variiranje okrog premice.
5 Od napak bomo zahtevali, da so neodvisne in normalno porazdeljene s povprečjem 0, torej ɛ N (0, σ 2 ). Drugače povedano, model predpostavlja, da je pri dani vrednosti x izid Y normalno porazdeljen s (pogojnim) povprečjem E(Y x) = α + βx in (pogojno) varianco Var(Y x) = σ 2. Ker varianca ni odvisna od vrednosti x, smo torej zahtevali, da je variabilnost okrog premice povsod enaka. Temu pogoju pravimo homoscedastičnost. Če pogoj ni izpolnjen, govorimo o heteroscedastičnosti.
6 Naš statistični model ima torej štiri predpostavke. Zapišimo jih še enkrat: 1. Opazovanja, se pravi pari meritev, so neodvisna. 2. Regresijska funkcija E(Y x) je linearna. 3. Vrednosti variirajo okrog regresijske premice s konstantno varianco (homoscedastičnost). 4. Vrednosti Y so okrog regresijske premice normalno porazdeljene. Ustreznost teh predpostavk moramo vedno preveriti.
7 OCENJEVANJE PARAMETROV Linearni regresijski model ima tri neznane parametre: presečišče α, naklonski koeficient β in varianco σ 2. Prvi problem, ki ga moramo rešiti, ko smo zbrali podatki, je: Kako izbrati α in β, oziroma katera premica skozi dane točke je najboljša? Kriterijev za najboljšo premico je več, najpogosteje pa se uporablja tale: Pri vseh x si ogledamo razlike med napovedanimi in izmerjenimi vrednostmi. Vsota kvadratov teh razlik naj bo minimalna.
8 razdelek z zvezdico: največje verjetje
9 Napovedane vrednosti ležijo na regresijski premici, pri danih x i jih torej dobimo takole ŷ i = α + βx i. V statistiki je navada, da ocenjene vrednosti označimo s strešico. Seveda je vsak ŷ i ocena za pričakovano vrednost Y pri danem x i. Minimizirati moramo torej vsoto SS(α,β) = n (y i ŷ i ) 2 = i=1 n (y i α βx i ) 2. i=1 Pri tem SS pomeni sum-of-squares (vsota kvadratov) in čeprav gre za okrajšavo za angleški izraz, je zaradi njene pogostosti ne bomo nadomeščali s slovensko.
10 Opravka imamo torej s funkcijo dveh spremenljivk (α in β), ki jo z nekaj znanja matematike zlahka minimiziramo. Postopka tukaj ne bomo opisovali, navedimo le končni rezultat: i ˆβ = [(x i x) (y i ȳ)] i (x i x) 2 in ˆα = ȳ ˆβ x. Ocenjena premica ima torej enačbo y = ˆα + ˆβx = ȳ + ˆβ(x x), od koder razberemo, da gre premica skozi točko ( x,ȳ).
11 Ostane nam še ocena variance σ 2. Izmerjene vrednosti y i se bolj ali manj razlikujejo od ŷ i, razlike r i = y i ŷ i imenujemo ostanki. Ostanki so torej ocenjene napake. Varianco ostankov ocenimo po formuli ˆσ 2 = i (y i ŷ i ) 2 n 2 = SS Res n 2, kjer smo z SS Res označili vsoto kvadratov ostankov. Gre seveda za isto vsoto, ki smo jo prej minimizirali, da smo dobili ˆα in ˆβ, le da tam nismo eksplicitno govorili o ostankih.
12 Pozoren bralec se bo bržčas vprašal, zakaj smo v formuli za varianco ostankov delili z n 2. Točen odgovor bi bil preveč teoretičen, nek občutek pa dobimo z naslednjim razmislekom: če imamo samo dve točki, lahko skozi njiju potegnemo premico, a ker bosta obe ležali na premici, ne moremo oceniti variance. Potrebujemo torej več točk in šele dodatne točke lahko uporabimo za oceno variance.
13 Oglejmo si zdaj ostanke. Kvadrirajmo r i = y i ŷ i = y i ˆα ˆβx i = y i ȳ + ˆβ x ˆβx i = (y i ȳ) ˆβ(x i x) (y i ŷ i ) 2 = (y i ȳ) 2 + ˆβ 2 (x i x) 2 2 ˆβ(x i x)(y i ȳ) = (y i ȳ) 2 + ˆβ(x i x)[ ˆβx i ˆβ x 2y i + 2ȳ] = (y i ȳ) 2 + ˆβ(x i x)[ ˆβx i ˆβ x 2(ȳ ˆβ x + ˆβx i ) + 2ȳ] = (y i ȳ) 2 ˆβ 2 (x i x) 2
14 Če sedaj seštejemo, vidimo, da vsoto kvadriranih ostankov lahko zapišemo takole SS Res = i (y i ȳ) 2 ˆβ 2 i (x i x) 2, kar pomeni, da je vsota kvadratov ostankov enaka vsoti kvadratov odklonov izmerjenih vrednosti od povprečja, zmanjšani za vrednost, ki je odvisna od povezanosti med X in Y. K razstavljanju vsote kvadratov odklonov od povprečja se bomo še vrnili, za zdaj opazimo le, da bomo pri močnejši povezanosti (večjem ˆβ) odšteli več in bo torej vsota kvadratov ostankov manjša.
15 Primer: Obremenitveni test (nadaljevanje) Če sedaj uporabimo formule za ˆα, ˆβ in ˆσ na našem primeru podatkov z obremenilnega testa, dobimo ˆα = 1,765, ˆβ = 0,057, ˆσ = 5,348. Ocenjene vrednosti ŷ i bomo iz x i torej dobili po enačbi ŷ i = 1, ,057 x i. Ta premica je včrtana na spodnjem grafikonu.
16 trajanje obremenitve poraba kisika
17 Interpretacija 1. α je seveda vrednost na premici, kadar je x (v našem primeru trajanje obremenitve) enak 0. Takšne vrednosti so redko smiselne, zato koeficientu α ponavadi ne posvečamo posebne pozornosti. Potrebujemo ga pač za to, da pri danem x izračunamo napovedani y. 2. Koeficient β je pri interpretaciji povezanosti dveh spremenljivk najbolj pomemben. Izračunajmo napovedana ŷ-a pri dveh vrednostih x, ki se med seboj ločita za 1 enoto. ŷ(x) = α + β x ŷ(x + 1) = α + β (x + 1) = ŷ(x) + β Torej ŷ(x + 1) ŷ(x) = β.
18 Interpretacija (nadaljevanje) V našem primeru je X (trajanje obremenitve) merjen v sekundah in β potemtakem pomeni spremembo porabe kisika (Y ), če se trajanje obremenitve spremeni za 1 sekundo. Ni čudno, da je β majhen. Bolj smiselno bi bilo vedeti, kakšno je povečanje porabe kisika, če je obremenitev daljša za minuto. Seveda je ta vrednost enaka 60 β = 3,45 ml/kg/min. 3. Standardni odklon σ opisuje variabilnost okrog regresijske premice. Ker smo predpostavili normalno porazdelitev, lahko v našem primeru izračunamo, da 95% vseh vrednosti porabe kisika pade v interval ±1,96 5,348 = ±10,48 ml/kg/min okrog vrednosti na premici.
19 PREVERJANJE PREDPOSTAVK MODELA 1. Če je model pravilen, so ostanki simetrično razporejeni okrog premice in imajo konstantno varianco. Graf ostankov r i glede na izračunane vrednosti ŷ i bi to moral odražati, se pravi, da na njem pričakujemo približno enako razpršenost točk okrog horizontalne črte. 2. Normalnost ostankov lahko preverimo na več načinov, grafično na primer s Q-Q grafom.
20 Graf ostankov Napovedani y ostanki
21 Q-Q graf Teoreticni kvantili vzorcni kvantili
22 Nelinearna povezanost x y
23 Nelinearna povezanost - graf ostankov napovedani y ostanki
24 x y
25 napovedani y ostanki
26 VZORČNE NAPAKE KOEFICIENTOV V LINEARNI REGRESIJI Pri različnih vzorcih dobimo seveda različne ocene parametrov in vprašati se moramo, kako te ocene variirajo. Pri tem nas posebej zanima naklonski koeficient, ki je odločilen za naše trditve o povezanosti med X in Y. Preden ocenimo njegovo variabilnost, nekoliko poračunajmo. (x i x)(y i ȳ) = i i y i (x i x) ȳ i (x i x) = i y i (x i x), ker je i (x i x) = 0.
27 Sedaj privzemimo, da ponavljamo vzorčenje tako, da so x i vedno isti, vrednosti Y pa naključno variirajo. Prejšnji rezultat upoštevajmo v enačbi za regresijski koeficient ˆβ in potem imamo [ var( ˆβ) = var i Y (x ] i x) i (x i x) 2 = = var(y ) i (x i x) 2 = σ2 i (x i x) 2. i (x i x) 2 var(y ) [ i (x i x) 2] 2 Ker nas α tipično ne zanima, se formuli za variabilnost ˆα izognimo. Pri danih predpostavkah o porazdelitvi ostankov, potem velja ( σ ˆβ 2 ) N β, i (x i x) 2
28 Testiranje hipoteze o regresijski premici Kot vidimo iz prejšnje formule, moramo za opis variabilnosti ˆβ poznati σ. In ker tega praviloma ne poznamo, v formulo za variabilnost ˆβ vstavimo oceno ˆσ. Kot smo že navajeni, to žal spremeni našo trditev o porazdelitvi ˆβ, iz lepe normalne v manj lepo porazdelitev t z n 2 stopinjama prostosti. Test hipoteze H 0 : β = β 0 je potem t β=β0 = ˆβ β 0, sp = n 2. var( ˆβ) Daleč najbolj pogosto seveda testiramo hipotezo β = 0.
29 Primer: Obremenitveni test-nadaljevanje Za ničelno hipotezo H 0 : β = 0 dobimo t = 11,593 pri 48-ih stopinjah prostosti, vrednost p pa je 1, Ničelno hipotezo torej zlahka zavrnemo.
30 Vaja: Kaj se zgodi, če v regresijski analizi namesto neodvisne spremenljivke X želimo uporabiti Z = X x 0, kjer je x 0 neka konstanta? In kaj, če namesto X uporabimo U = CX, kjer je C spet neka konstanta?
31 RAZSTAVLJANJE CELOTNE VARIABILNOSTI Recimo, da smo izmerili izid Y in neodvisno spremenljivko X na n posameznikih (enotah). Celotno variabilnost izida lahko opišemo z naslednjo vsoto SS cel = i (y i ȳ) 2, kjer smo z SS označili vsoto kvadratov (Sum of Squares). Ta vsota seveda predstavlja variabilnost, ki je posledica tako biološke variabilnosti, kot tudi variabilnosti zaradi dejstva, da se posamezniki razlikujejo v vrednostih spremenljivke X.
32 Potem se lahko vprašamo: Kolikšen del variabilnosti Y gre pripisati variabilnosti X? Oziroma Kolikšno variabilnost bi videli, če bi vsi posamezniki imeli enako vrednost X?
33 Vemo že, da velja (y i ŷ i ) 2 = i i (y i ȳ) 2 ˆβ 2 i (x i x) 2 oziroma (y i ȳ) 2 = i i (y i ŷ i ) 2 + i ( ˆβx i ˆβ x) 2. In ker je ter ŷ i = ˆβx i + ˆα ȳ = ˆβ x + ˆα lahko drugi člen na desni zapišemo tudi kot i (ŷ i ȳ) 2 in imamo (y i ȳ) 2 = (y i ŷ i ) 2 + (ŷ i ȳ) 2. i i i
34 To ponavadi zapišemo takole SS cel = SS ost + SS reg, kar pomeni, da smo celotno variabilnost razstavili na variabilnost zaradi regresije in variabilnost ostankov. Dokaj očitno je, da bo kvocient SS reg SS ost majhen, če velja ničelna hipoteza, da je β = 0. Kaj je še majhno in kaj potem veliko (in v nasprotju z ničelno hipotezo) je seveda vprašanje, na katero pa nam odgovori statistična teorija. Celotna vsota kvadratov ima n 1 stopinj prostosti (to vemo iz vzorčne formule za varianco). Vsota kvadratov ostankov ima n 2 stopinji prostosti, kar tudi že "vemo". Izkaže se (s to teorijo se tu ne moremo ukvarjati), da se tudi stopinje prostosti razdelijo med SS ost in SS reg in sicer takole n 1 = (n 2) + 1.
35 Teorija potem pravi, da je kvocient F = SS reg /1 SS ost /(n 2) (1) porazdeljen po porazdelitvi F z 1 in n 2 stopinjami prostosti. Vrednost p je potem vrednost p = P(F(1,n 2) F), torej verjetnost, da porazdelitev F1,n 2) zavzame vrednost, ki je večja od ugotovljene. Kritične bodo torej velike vrednosti kvocienta (1). Z drugimi besedami, ničelno hipotezo H 0 : β = 0 bomo zavrnili, kadar bo variabilnost zaradi regresije velika v primerjavi z variabilnostjo ostankov.
36 Rezultate ponavadi uredimo v tabelo, ki ji rečemo tabela analize variance (ANOVA). Vir sp SS MS F Značilnost Regresija 1 SS reg SS reg /1 F vrednost p Ostanki n 2 SS ost SS ost /(n 2) Skupaj n 1 SS cel Primer: Obremenitveni test Vir sp SS MS F Značilnost Regresija e-15 Ostanki Skupaj
37 Variabilnost pričakovane vrednosti (pozneje)
38 KORELACIJA Oglejmo si količino i [(x i x) (y i ȳ)]. Zakaj naj bi bilo to zanimivo? Oglejmo si spodnjo sliko trajanje obremenitve poraba kisika B A D C povprecje povprecje
39 Točke v področjih A in C bodo prispevale pozitivne člene k i [(x i x) (y i ȳ)], točke v B in D pa negativne. In če so točke skoraj na ravni črti, bo ta vsota velika; pozitivna, če je naklon pozitiven in negativna, če je naklon negativen. Smiselno je potem definirati empirični korelacijski koeficient (Pearsonov korelacijski koeficient) i r XY = r = [(x i x) (y i ȳ)] i (x i x) 2 i (y i ȳ), 2 za katerega lahko vidimo, da ima naslednje lastnosti: Korelacijski koeficient nima enot. 1 r 1. r XY = r YX ter r XY = r XY. Linearna transformacija X aliy ne spremeni r. r = 1 ali r = 1, kadar vse točke ležijo na premici.
40 r=0,06 r=0,86 r=0,06 r=0,86 Visok korelacijski koeficient še ne pomeni, da gre za linearen odnos med spremenljivkama! Vedno narišite podatke!
41 PRIČAKOVANA (POPULACIJSKA) KORELACIJA Korelacijski koeficient smo definirali na vzorcu, vprašati se moramo, kaj je pravzaprav njegova populacijska vrednost. Drugače, če bi zelo velikokrat vzeli vzorec dane velikosti iz populacije, okoli katere vrednosti bi nihal vzorčni korelacijski koeficient. Naj bosta X in Y dve slučajni spremenljivki in E(X) = µ X, E(Y ) = µ Y, Var(X) = σ 2 X, Var(Y ) = σ2 Y. Kovarianco med X in Y definiramo takole Cov(X,Y ) = E [(X µ X ) (Y µ Y )],
42 pričakovani korelacijski koeficient pa takole [( ) ( )] X µx Y µy ρ = E = Cov(X,Y ). σ X σ Y σ X σ Y
43 Dvodimenzionalna normalna porazdelitev Definicija: Par slučajnih spremenljivk (X,Y ) je porazdeljen po dvodimenzionalni normalni porazdelitvi, če velja: 1. Vsaka od obeh spremenljivk je normalno porazdeljena, govorimo o robnih normalnih porazdelitvah. 2. Povezanost med obema spremenljivkama je določena s korelacijskim koeficientom ρ XY. 3. X in Y sta neodvisni, če in samo če je ρ XY = 0. Iz gornjih pogojev sledi, da je dvodimenzionalna normalna porazdelitev določena s petimi parametri, in sicer obema povprečjema in standardnima odklonoma (µ X,σ X,µ Y,σ Y ) in korelacijo ρ XY.
44 Zaoišimo gostoto dvorazsežne normalne porazdelitve [ ] z f (x,y) = K exp 2(1 ρ 2 ) kjer je 1 K = 2πσ X σ Y 1 ρ 2 in [ (x ) 2 ( ) µx y 2 ( ) ( ) ] µy x µx y µy z = + 2ρ σ x σ y σ x σ y
45 Trodimenzionalna slika bivariatne normalne.
46 Zakaj sploh govorimo o dvorazsežni normalni porazdelitvi? Razlog bo razviden iz naslednjega: Naj bo par (X,Y ) porazdeljen po dvorazsežni normalni porazdelitvi. Potem velja, da sta pogojni porazdelitvi X in Y tudi normalni in velja E(Y X = x) = µ Y X = α + β x kjer je Varianca β = ρ XY σy σ X in α = µ Y β µ X. Var(Y X = x) = σ 2 Y X = σ2 Y (1 ρ2 XY ) ni odvisna od vrednosti x.
47 Opozorimo na dve zanimivosti: 1 ρ 2 XY je faktor, za katerega se zmanjša varianca Y pri danem x. Povezava med regresijskim in korelacijskim koeficientom velja tudi za oceni ˆβ = ˆβ Y X = r XY sy s X
48 Mera pojasnjene variance v linearni regresiji Videli smo, da v primeru dvorazsežne normalne porazdelitve velja Varianca pogojne porazdelitve Y Varianca robne porazdelitve Y = σ2 Y X σ 2 Y = 1 ρ 2 XY. To pomeni, da je 1 ρ 2 XY delež variance Y, ki ga ne moremo pojasniti z variabilnostjo X, oziroma, da je ρ 2 XY = delež pojasnjene variance.
49 Za vzorčno oceno dobimo analogen rezultat rxy 2 = [ i (x i x) (y i ȳ)] 2 i (x i x) 2 i (y i ȳ) 2 = ˆβ 2 i (x i x) 2 i (y i ȳ) 2 = i (y i ŷ i ) 2 i (y i ȳ) 2 = SS reg SS cel, ki velja vedno, torej ni odvisen od predpostavke o normalnosti. Test hipoteze ρ XY = 0 Če je ρ XY = 0, potem je testna statistika t = n 2 r XY 1 r 2 XY porazdeljena po porazdelitvi t z n 2 stopinjami prostosti. Pokažemo lahko, da je ta test t identičen s testom t za ničelni naklon v linearni regresiji.
50 Primer: Obremenitveni test-nadaljevanje Korelacijski koeficient je 0,86, test t pa , torej točno toliko, kot pri linearni regresiji. Kvadrat korelacijskega koeficienta je 0,737, kar pomeni, da smo približno 74% variabilnosti porabe kisika pojasnili s trajanjem obremenitve. Naslednje štiri slike ilustrirajo pomen R 2
51 Tole vemo o Y, če ne vemo ničesar o X
52 Tole vemo o Y, če poznavanje X ne spremeni ničesar
53 Tole vemo o Y, če obstaja popolna linearna povezanost z X
54 In tole vemo o Y, če poznavanje X nekaj pove o variabilnosti Y
55 Spearman, Kendall tau, slaba raba korelacije Več meritev pri vsakem x Primerjava naklonov Analiza kovariance
56
57
58
59
60
61
62
63
64
Osnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži več2. Model multiple regresije
2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večMicrosoft Word - SI_vaja5.doc
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 5 Naloge 1. del: t test za
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večVerjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC
Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži več(Microsoft Word - 3. Pogre\232ki in negotovost-c.doc)
3.4 Merilna negotovost Merilna negotovost je parameter, ki pripada merilnem rezltat. Označje razpršenost vrednosti, ki jih je mogoče z določeno verjetnostjo pripisati merjeni veličini. Navaja kakovost
Prikaži večLaTeX slides
Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni
Prikaži večMicrosoft Word - SI_vaja1.doc
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 1 Naloge 1. del: Opisna statistika
Prikaži večLaTeX slides
Statistični modeli - interakcija - Milena Kovač 23. november 2007 Biometrija 2007/08 1 Število živorojenih pujskov Biometrija 2007/08 2 Sestavimo model! Vplivi: leto, farma Odvisna spremenljivka: število
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večMicrosoft Word - RAZISKAVA_II._del.doc
DEJAVNIKI VARNOSTI CESTNEGA PROMETA V SLOVENIJI Raziskava II. del Inštitut za kriminologijo pri Pravni fakulteti v Ljubljani Ljubljana, avgusta 2010 Vodja raziskave: dr. Dragan Petrovec Izvajalci in avtorji:
Prikaži večSlide 1
SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l?
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večMicrosoft Word - strakl-jana.doc
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA DRUŽBENE VEDE JANA ŠTRAKL VEČNIVOJSKA ANALIZA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2008 UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA DRUŽBENE VEDE JANA ŠTRAKL MENTOR: DOC. DR. GREGOR PETRIČ
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večStatistika, Prakticna matematika, , izrocki
Srednje vrednosti Srednja vrednost...... številske spremenljivke X je tako število, s katerim skušamo kar najbolje naenkrat povzeti vrednosti na posameznih enotah: Polovica zaposlenih oseb ima bruto osebni
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži večUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna
Prikaži več10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, k
10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, ki ga sprejme antena in dodatni šum T S radijskega sprejemnika.
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večMERE SREDNJE VREDNOSTI
OPIS PODATKOV ENE SPREMENLJIVKE frekvenčne porazdelitve in mere srednje vrednosti as. dr. Nino RODE Uni-Lj. Fakulteta za socialno delo O ČEM BOMO GOVORILI NAMEN OPISNE STATISTIKE Kako opisati podatke OPIS
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži več2. LINEARNA ALGEBRA
UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje (OPISNA ) 1 Cilj tega sklopa predavanja je predstaviti obvladovanje računskih spretnosti pri reševanju logističnih problemov in pri
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večIZVEDBENA UREDBA KOMISIJE (EU) 2018/ z dne 16. julija o spremembi Izvedbene uredbe (EU) 2017/ za razjasnitev in
L 180/10 17.7.2018 IZVEDBENA UREDBA KOMISIJE (EU) 2018/1002 z dne 16. julija 2018 o spremembi Izvedbene uredbe (EU) 2017/1153 za razjasnitev in poenostavitev postopka korelacije ter njegovo prilagoditev
Prikaži večIZLETI V MATEMATIČNO VESOLJE Ali so fantje bolj nadarjeni za matematiko kot dekleta? Arjana Brezigar Masten UP FAMNIT in UMAR 1
IZLETI V MATEMATIČNO VESOLJE Ali so fantje bolj nadarjeni za matematiko kot dekleta? Arjana Brezigar Masten UP FAMNIT in UMAR 1 Culture, Gender, and Math L.Guiso, F.Monte, P. Sapienza, L.Zingales Science
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večMicrosoft Word - Astronomija-Projekt19fin
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večENV2:
. Kazalo. KAZALO.... UVOD... 3. ANALIZA POPULACIJE DRŽAV EU...5 4. VSEBINSKE UGOTOVITVE...8 5. LITERATURA... . Uvod Vir podatkov za izdelavo statistične naloge je Eurostat ali Statistični urad Evropske
Prikaži večPrimer 1: Analiziramo produkcijske funkcije za podjetja industrijske dejavnosti v RS v podskupini DL Proizvodnja računalnikov in druge opreme za
Primer 1: Analiziramo produkcijske funkcije za podjetja industrijske dejavnosti v RS v podskupini DL 30.02 Proizvodnja računalnikov in druge opreme za obdelavo podatkov na podlagi podatkov iz zaključnih
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - cigre_c2_15.ppt [Compatibility Mode]
Univerza v Mariboru Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Boštjan Polajžer, Drago Dolinar, Jožef Ritonja (FERI) bostjan.polajzer@um.si Andrej Semprimožnik (ELES) KAZALNIKI KAKOVOSTI
Prikaži večPRILOGA 2 Minimalni standardi kakovosti oskrbe za izbrane dimenzije kakovosti oskrbe in raven opazovanja posameznih parametrov kakovosti oskrbe 1. NEP
PRILOGA 2 Minimalni standardi kakovosti oskrbe za izbrane dimenzije kakovosti oskrbe in raven opazovanja posameznih parametrov kakovosti oskrbe 1. NEPREKINJENOST NAPAJANJA 1.1. Ciljna raven neprekinjenosti
Prikaži večModel IEUBK za napoved vsebnosti svinca v krvi otrok in njegova uporaba na primeru Zgornje Mežiške doline
MODEL IEUBK ZA NAPOVED VSEBNOSTI SVINCA V KRVI OTROK IN NJEGOVA UPORABA NA PRIMERU ZGORNJE MEŢIŠKE DOLINE ZZV Ravne na Koroškem mag. Matej Ivartnik Portorož 25.11.2011 IEUBK model Računalniško orodje,
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA
ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA Navdih Poizvedovanje po BD podatkovnih virih, ki imajo časovno dimenzijo in so dostopni. Večji promet pomeni večje število dobrin in močnejšo
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večMicrosoft Word - Seštevamo stotice.doc
UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:
Prikaži večPowerPointova predstavitev
Obravnava kotov za učence s posebnimi potrebami Reading of angles for pupils with special needs Petra Premrl OŠ Danila Lokarja Ajdovščina OSNOVNA ŠOLA ENAKOVREDNI IZOBRAZBENI STANDARD NIŽJI IZOBRAZBENI
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večMicrosoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc
ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov
Prikaži večMicrosoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2
Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 12. junij 2013 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večVST: 1. kviz
jsmath Učilnica / VST / Kvizi / 1. kviz / Pregled poskusa 1 1. kviz Pregled poskusa 1 Končaj pregled Začeto dne nedelja, 25. oktober 2009, 14:17 Dokončano dne nedelja, 25. oktober 2009, 21:39 Porabljeni
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večDiapozitiv 1
9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži več2
LETNO POROČILO O KAKOVOSTI ZA RAZISKOVANJE ČETRTLETNO STATISTIČNO RAZISKOVANJE O ELEKTRONSKIH KOMUNIKACIJSKIH STORITVAH (KO-TEL/ČL) IN LETNO STATISTIČNO RAZISKOVANJE O ELEKTRONSKIH KOMUNIKACIJSKIH STORITVAH
Prikaži več2
Drsni ležaj Strojni elementi 1 Predloga za vaje Pripravila: doc. dr. Domen Šruga as. dr. Ivan Okorn Ljubljana, 2016 STROJNI ELEMENTI.1. 1 Kazalo 1. Definicija naloge... 3 1.1 Eksperimentalni del vaje...
Prikaži večKein Folientitel
Eksperimentalno modeliranje Se imenuje tudi: y = f x; β + ε - system identification, - statistical modeling, - parametric modeling, - nonparametric modeling, - machine learning, - empiric modeling - itd.
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži več2019 QA_Final SL
Predhodni prispevki v enotni sklad za reševanje za leto 2019 Vprašanja in odgovori Splošne informacije o metodologiji izračuna 1. Zakaj se je metoda izračuna, ki je za mojo institucijo veljala v prispevnem
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večBiometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s š
Biometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s številom posameznih vrednosti (dogodkov) ali z deleži
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M15245112* JESENSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik in računalo.
Prikaži večIztok KOSEM in Špela ARHAR HOLDT Trojina, zavod za uporabno slovenistiko ANALIZA BESEDIŠČA IN SKLADNJE V BESEDILIH TESTA BRALNE PISMENO
Iztok KOSEM in Špela ARHAR HOLDT Trojina, zavod za uporabno slovenistiko www.trojina.si ANALIZA BESEDIŠČA IN SKLADNJE V BESEDILIH TESTA BRALNE PISMENOSTI PISA 2009 TEMA POROČILA PISA (The Programme for
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večNaloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Tr
Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Trditev: idealni enosmerni tokovni vir obratuje z močjo
Prikaži večUM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del
UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del 13. 6. 2016 Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani
Prikaži večDN080038_plonk plus fizika SS.indd
razlage I formule I rešeni primeri I namigi I opozorila I tabele Srednješolski Plonk+ Fizika razlage formule rešeni primeri namigi opozorila tabele Avtor: Vasja Kožuh Strokovni pregled: dr. Gorazd Planinšič
Prikaži večOSNOVE UMETNE INTELIGENCE
OSNOVE UMETNE INTELIGENCE 2017/18 regresijska drevesa ocenjevanje učenja linearni modeli k-nn Zoran Bosnić del gradiva povzet po: Bratko: Prolog programming for AI, Pearson (2011) in Russell, Norvig: AI:
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Mocnik.pptx
MATEMATIČNA PISMENOST IN MATEMATIČNI PROBLEMI Metoda Močnik in Alenka Podbrežnik KAJ NAS JE ZANIMALO? ugotoviti, v kolikšni meri so učenci uspešni pri samostojnem, nevodenemreševanju matematičnih besedilnih,
Prikaži večRaziskovalna naloga MASA ŠOLSKIH TORB Področje: biologija Osnovna šola Frana Albrehta Kamnik Avtorja: Jan Maradin in Jaka Udovič, 9. razred Mentorica:
Raziskovalna naloga MASA ŠOLSKIH TORB Področje: biologija Osnovna šola Frana Albrehta Kamnik Avtorja: Jan Maradin in Jaka Udovič, 9. razred Mentorica: Danica Mati Djuraki Somentorica: Tadeja Česen Šink
Prikaži več