Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
|
|
- Gregor Zupanc
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno, pogosto pa je znan le postopek, kako pri določeni vrednosti neodvisne spremenljivke izračunamo njeno vrednost. Tako je f(x) lahko vredost rešitve diferencialne enačbe v določeni točki ali vrednost nekega integrala. Nelinearno enačbo (3.1) lahko eksaktno rešimo le v zelo posebnih primerih, navadno se je moramo lotiti s kakšno od numeričnih metod. To pomeni, da ne bomo dobili točne vrednosti rešitve, ampak le njen približek. Kaj pomeni približek x k rešitvi enačbe (3.1), pa je seveda odvisno od problema. Včasih je x taka točka, za katero je enačba (3.1) približno izpolnjena, kar pomeni, da je f(x ) majhno število. Drugič pa je x blizu točne rešitve enačbe (3.1). Poleg tega ima lahko enačba (3.1) več rešitev, večina numeričnih metod pa nam izračuna le eno do njih. Zgodi pa se tudi, da enačba (3.1) nima nobene rešitve Pri numeričnem računanju ničle nelinearne funkcije se navadno ne moremo izogniti zaokrožitvenim napakam zaradi končne aritmetike, ki jo uporabljajo računalniki. Če izračunamo vrednosti polinoma P 6 (x) = 1 6x + 15x 2 20x x 4 6x 5 + x 6 (3.2) (slika 3.1) v bližini ničle x = 1 dobimo vtis, da ima ta polinom veliko število ničel na intevalu (0.996, 1.004). Ta primer nam kaže, da ničle polinoma P 6 ne moremo določiti na več kot 2 mesti natančno, kljub temu, da smo vrednost 51
2 52 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB x Slika 3.1: Izračunane vrednosti polinoma (x 1) 6 v bližini ničle polinoma računali z natančnostjo 15 mest. Zaokrožitvena napaka je mnogo manjša, če ta polinom zapišemo v obliki P 6 (x) = (1 x) 6, var moramo za tak zapis poznati vse ničle polinoma, torej vse ničle enačbe (3.1). V tem poglavju si bomo ogledali metode za numerično reševanje nelinearnih enačb. Začeli bomo s preprostim problemom, ki nas privede do nelinearne enačbe, ob kateri si bomo ogledali nekaj splošnih lastnosti nelinearnih enačb. V naslednjih razdelkih bomo po vrsti opisali 1. Metodo bisekcije 2. Metodo regula falsi 3. Sekantno metodo 4. Newtonovo metodo
3 3.1. PREDSTAVITEV PROBLEMA Kvazi-Newtonovo metodo 6. Metodo fiksne točke Poglavje bomo končali s povzetkom najznačilnejših lastnosti opisanih metod. 3.1 Predstavitev problema Za začetek si oglejmo preprost problem, pri katerem bomo spoznali nekaj najpogostejših problemov, s katerimi se lahko srečamo pri iskanju ničel nelinearnih enačb. y α β d x Slika 3.2: Streljanje s topom v tarčo S topovsko kroglo želimo zadeti cilj na razdalji d od topa. Začetna hitrost izstrelka naj bo v 0, naklon cevi naj bo ϑ (glej sliko 3.2). Začetna vertikalna hitrost granate je v 0 sin ϑ, iz fizike pa vemo, da je višina granate po času t enaka y(t) = v 0 t sin ϑ gt2 2, kjer smo z g označili težnostni pospešek. Granata pade na tla po času T = 2v 0 sin ϑ. g Ker je vodoravna hitrost granate enaka v 0 cos ϑ (zračni upor bomo zanemarili), bo domet granate enak Tv 0 cos ϑ. Da lahko določimo pravilen naklon
4 54 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB cevi, moramo torej rešiti enačbo 2v 2 0 cos ϑ sin ϑ g = d, oziroma f(ϑ) 2v2 0 cosϑsin ϑ g d = 0. (3.3) Ob tej enačbi si lahko ogledamo nekaj značilnosti, povezanih z nelinearnimi enačbami. 1. Enačba je poenostavljen model resničnega stanja. Pri izpeljavi smo upoštevali, da sta ustje topovske cevi in cilj v isti višini, kar velja le redko, zanemarili smo upor zraka in veter. Ko dobimo abstrakten numeričen problem, kot je enačba (3.3), se je koristno vprašati po njenem pomenu, še preden začnemo z numeričnim reševanjem. 2. Enačba morebiti sploh nima rešitve. Ker je produkt cos ϑ sin ϑ lahko največ 1 (pri ϑ = π ), enačba (3.3) za 2 4 nima nobene rešitve. d > v2 0 g 3. Rešitev, kadar obstaja, ni enolična, saj sta funkciji sin in cos periodični. Vsaka rotacija topovske cevi za poln krog spet pomeni rešitev. Pri reševanju se moramo zavedati tudi teh čudnih rešitev. 4. Če je d < v 2 0 /g in ϑ 1 < π 2, potem je tudi π 2 ϑ 1 rešitev. Obe rešitvi sta smiselni, var je lahko za topničarja ena ugodnejša od druge. Ugotoviti moramo, katera. 5. Funkcija f je dovolj enostavna, da lahko izračunamo njen odvod, torej lahko uporabimo metodo, ki zahteva poleg poznavanja funkcije tudi poznavanje njenega odvoda (Newtonova metoda). 6. Enačbo (3.3) pravzaprav lahko rešimo tudi eksaktno, saj velja enakost 2 cosϑsin ϑ = sin 2ϑ. Le redko se zgodi, da nelinearno enačbo lahko rešimo eksaktno, var se splača poskusiti vsaj poenostaviti enačbo, preden jo začnemo reševati numerično.
5 3.2. METODA BISEKCIJE Če naš model izpopolnimo, da bo bolje ustrezal dejanskemu problemu, npr. upoštevamo zračni upor, lahko dobimo sistem enačb, ki ga lahko rešimo le numerično. Funkcije postanejo tako zapletene, da ne moremo več dobiti analitičnega odvoda, torej moramo uporabiti takšno metodo, ki ne potrebuje vrednosti odvoda. V praksi lahko topničar reši svoj problem z metodo poskusov in napak, tako da topovsko cev dviga ali spušča, dokler cilja ne zadane. Podobno delujejo tudi nekatere numerične metode. 3.2 Metoda bisekcije Od sedaj naprej bomo reševali nelinearno enačbo (3.1). Metoda bisekcije sloni na naslednji lastnosti zvezne funkcije, ki jo že poznamo iz matematike: Izrek Funkcija f naj bo zvezna na [a, b] in naj bo g število med f(a) in f(b). Potem obstaja število x [a, b], da je g = f(x). Če lahko najdemo tak interval [a, b], da je f(a) f(b) < 0, potem iz izreka lahko sklepamo, da ima enačba (3.1) vsaj eno rešitev na intervalu [a, b]. Izračunamo jo s pomočjo naslednjega algoritma: Algoritem (Bisekcija). Naj bo f zvezna funkcija na intervalu [a, b] in naj bo f(a)f(b) < 0, potem naslednji algoritem izračuna število c, ki se od ničle funkcije f razlikuje za manj kot ε x ali pa je vrednost f(c) < ε y. c = (a + b)/2; z = f(a); y = f(c) while (abs(y) > ε y )&(b a > ε x ) if y z < 0 b = c else a = c; z = y c = (a + b)/2 y = f(c) Pri vsakem prehodu skozi zanko algoritma se interval, na katerem iščemo ničlo funkcije f razpolovi, zato se po k prehodih dolžina intervala zmanjša
6 56 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB na (b a)/2 k. Ker zahtevamo, da se približek, izračunan z algoritmom Bisekcija razlikuje od točne ničle enačbe (3.1) za manj kot je vnaprej predpisana toleranca ε x, se bo algoritem uspešno končal najmanj po log 2 b a ε x + 1 korakih, če že prej nismo našli točke, v kateri je absolutna vrednost funkcije f manjša kot ε y. Ker je navadno časovno najzahtevnejši del opisanega algoritma računanje vrednosti funkcije f, velja omeniti, da moramo na vsakem koraku algoritma enkrat izračunati vrednost funkcije f. Primer Izračunajmo rešitev enačbe f(x) x 3 + 2x x 20 = 0 (3.4) s pomočjo bisekcije. Izberimo si ε x = 10 6, ε y = Ker sta vrednosti f(0) = 20 < 0 in f(2) = 16 > 0, lahko vzamemo za začetni interval [0, 2]. Rezultati računanja so zbrani v tabeli 3.1.
7 3.3. METODA REGULA FALSI 57 a c b f(c) Tabela 3.1: Metoda bisekcije za enačbo x 3 + 2x x 20 = 0
8 58 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB f(b) f(x) a c b f(a) Slika 3.3: Metoda regula falsi 3.3 Metoda regula falsi Pri metodi bisekcije interval na vsakem koraku razpolovimo, ne glede na to, kakšni sta vrednosti funkcije f na robovih intervala. Upamo lahko, da bomo ničlo funkcije hitreje našli, če bomo srednjo točko izbirali glede na vrednosti f(a) in f(b). Naj bo zopet [a, b] tak interval, da je f(a)f(b) < 0, točko c pa si izberimo tam, kjer daljica skozi točki T 0 = (a, f(a)) in T 1 = (b, f(b)) seka abscisno os (glej sliko 3.3): b a c = a f(a) f(b) f(a). (3.5) Na ta način pridemo do algoritma, ki je znan pod imenom regula falsi. Algoritem (Regula falsi). Naj bo f zvezna funkcija na intervalu [a, b] in naj bo f(a)f(b) < 0. Naslednji algoritem izračuna število c, ki se od ničle funkcije f razlikuje manj od ε x > 0 ali pa je f(c) < ε y. f a = f(a); f b = f(b) c = a f a (b a)/(f b f a ) f c = f(c) while (abs(f c ) > ε y )&(b a > ε x ) if f a f c < 0
9 3.3. METODA REGULA FALSI 59 b = c; f b = f c else a = c; f a = f c c = a f a (b a)/(f b f a ) f c = f(c) Primer Izračunajmo rešitev enačbe (3.4) še z metodo regula falsi. Spet izberimo ε x = 10 6, ε y = 10 5 in začetni interval [0, 2]. Rezultati računanja so zbrani v tabeli 3.2. a c b f(c) Tabela 3.2: Metoda regula falsi za enačbo x 3 + 2x x 20 = 0 V primerjavi z bisekcijo (tabela 3.1) lahko vidimo, da približki, dobljeni z metodo regula falsi hitreje konvergirajo proti ničli funkcije f. Opazimo lahko tudi, da se spreminja le levo krajišče intervala, desno pa ostaja ves čas pri x = 2, kar je posledica konveksnosti funkcije v bližini iskane rešitve. Metoda regula falsi deluje podobno kot bisekcija: interval, na katerem leži ničla funkcije f sistematično zmanjšujemo, dokler ga ne zmanjšamo pod vnaprej predpisano dolžino ε x. Ker se dolžina intervala pri bisekciji vedno zmanjša na polovico, lahko vnaprej ocenimo potrebno število korakov iteracije, pri reguli falsi pa tega ne moremo. Vseeno pa približki, ki jih dobimo
10 60 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB s metodo regula falsi, večinoma konvergirajo proti ničli funkcije f hitreje kot približki, dobljeni z bisekcijo. Pri obeh metodah pa ves čas računanja poznamo interval, na katerem leži iskana ničla. Hitrost konvergence regule falsi lahko povečamo, če se odpovemo kontroli predznaka funkcijske vrednosti v izračunanih točkah. S tem izgubimo interval, na katerem leži ničla, kar pomeni, da konvergenca zaporedja približkov ni več zagotovljena vnaprej. Tako dobimo sekantno metodo (slika 3.4): f(b) f(x) a c b f(a) Slika 3.4: Sekantna metoda Algoritem (Sekantna metoda). Naj bo f zvezna funkcija. Če sta dani točki a in b, naslednji algoritem izračuna število c, za katerega je f(c) manj od ε y > 0, ali pa se po N korakih konča brez rezultata: c = NaN. x s = a; f s = f(x s ) x n = b; f n = f(x n ) n = 0 while (abs(f n ) > ε y )&(n < N) c = x s f s (x n x s )/(f n f s ) x s = x n ; f s = f n x n = c; f n = f(c) n = n + 1
11 3.4. NEWTONOVA (TANGENTNA) METODA 61 if abs(f n ) > ε y c = NaN Primer Izračunajmo rešitev enačbe (3.4) še s sekantno metodo. Spet izberimo ε y = 10 5 in začetni interval [0, 2]. Rezultati računanja so zbrani v tabeli 3.3. n x n c f(c) Tabela 3.3: Približki rešitve enačbe x 3 + 2x x 20 = 0, dobljeni s sekantno metodo V primerjavi z bisekcijo (tabela 3.1) in regulo falsi (tabela 3.2) lahko vidimo, da približki, dobljeni s sekantno metodo še hitreje konvergirajo proti ničli funkcije f. Pri uporabi sekantne metode moramo biti previdni, saj se, posebej kadar smo še daleč od rešitve enačbe, prav lahko zgodi, da zaporedje približkov sploh ne konvergira. 3.4 Newtonova (tangentna) metoda Enačbo (3.5), s katero izračunamo nov člen v zaporedju približkov z metodo regula falsi ali sekantno metodo, lahko zapišemo tudi kot x n+1 = x n + a n, kjer je popravek a n približka x n določen kot a n = f(x n) c n.
12 62 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB Diferenčni kvocient c n = (f(x n ) f(x n 1 ))/(x n x n 1 ) v imenovalcu pomeni naklonski kot sekante skozi točki T n 1 = (x n 1, f(x n 1 )) in T n = (x n, f(x n )). Vemo tudi, da je v primeru, ko je funkcija f odvedljiva, diferenčni kvocient c n enak odvodu f (x ) v neki točki x med x n in x n 1. Če diferenčni kvocient (f(b) f(a))/(b a) v formuli (3.5) zamenjamo z vrednostjo odvoda v točki x n, dobimo formulo x n+1 = x n f(x n) f (x n ), (3.6) ki predstavlja osnovo Newtonove 1 ali tangentne metode. (slika 3.5) f(x ) 1 f(x) x 0 x 3 x 2 x 1 f(x ) 0 Slika 3.5: Newtonova metoda Algoritem (Newtonova metoda). Naj bo f zvezno odvedljiva funkcija. Če je dana točka a, naslednji algoritem izračuna število c, za katerega je f(c) manj od ε y > 0, ali pa se po N korakih konča brez rezultata: c = NaN. c = a; z = f(c) n = 0 1 Sir Isaac Newton (1643 Woolsthorpe 1727 London), angleški matematik, fizik in astronom, eden najpomembnejših matematikov. Skupaj z Nemcem Gottfriedom Wilhelmom von Leibnizem velja za začetnika infinitezimalnega računa. Opis metode, ki je danes znana kot Newtonova je objavil leta 1987 v znameniti knjigi Principia Mathematica.
13 3.4. NEWTONOVA (TANGENTNA) METODA 63 while (abs(z) > ε y )&(n < N) c = c z/f (c) z = f(c) n = n + 1 if abs(z) > ε y c = NaN Primer Izračunajmo rešitev enačbe (3.4) z Newtonovo metodo. Ponovno naj bo ε y = 10 5, začetna točka pa naj bo x = 0. Rezultati računanja so zbrani v Tabeli 3.4. n x n z Tabela 3.4: Približki rešitve enačbe x 3 + 2x x 20 = 0, dobljeni z Newtonovo metodo Če to primerjamo s sekantno metodo (Tabela 3.3) lahko vidimo, da približki, dobljeni z Newtonovo metodo še hitreje konvergirajo proti ničli funkcije f. V primerjavi s prej omenjenimi metodami, moramo na vsakem koraku Newtonove metode izračunati dve funkcijski vrednosti: f(x k ) in f (x k ), kar lahko predstavlja hud problem, predvsem kadar je odvod f težko izračunljiva funkcija ali je funkcija f podana z zapleteno formulo, tako da je velika verjetnost napake pri računanju odvoda in pri zapisu formule za izračun odvoda ali
14 64 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB je funkcijska vrednost f(x k ) rezultat daljšega numeričnega računanja. V tem primeru navadno odvoda sploh ne moremo izraziti v obliki formule. Tem problemom se lahko izognemo, če namesto formule (3.6) uporabimo formulo x n+1 = x n f(x n) d n, (3.7) kjer je d k primeren, lahko izračunljiv približek za f (x n ). Enačba (3.7) predstavlja osnovo kvazi-newtonove metode. Glede na to, kako izberemo približek d n, je poznanih veliko kvazi-newtonovih metod. Često uporabljana je metoda, pri kateri za d n vzamemo vrednost odvoda d = f (x 0 ) v začetni točki iteracije in računamo vse iteracije z isto vrednostjo d. Če po določenem številu iteracij ničle nismo našli, izračunamo novo vrednost odvoda in postopek ponovimo. Tako pridemo do naslednjega algoritma: Algoritem (Kvazi-Newtonova metoda). Funkcija f naj bo zvezno odvedljiva. Če je dano število a, naslednji algoritem izračuna število c, za katerega je f(c) manj od ε y > 0, ali pa se po N korakih konča brez rezultata: c = NaN. c = a; z = f(a); d = f (a) n = 0; k = 0 while (abs(z) > ε y )&(n < N) c = c z/d z = f(c) if k == K d = f (c); k = 0 n = n + 1; k = k + 1 if abs(z) > ε y c = NaN
15 3.5. METODA FIKSNE TOČKE Metoda fiksne točke Newtonovo metodo imamo lahko za poseben primer metode fiksne točke. Če je f (x) 0 na nekem intervalu in definiramo zvezno funkcijo potem lahko enačbo (3.6) zapišemo enostavneje kot g(x) = x f(x) f (x), (3.8) x n+1 = g(x n ). (3.9) Če zaporedje, definirano z rekurzijsko formulo (3.9), konvergira proti vrednosti ξ, potem je ξ = lim x n+1 = lim g(x n ) = g(ξ), n n kar pomeni, da je ξ negibna (fiksna) točka funkcije g. Očitno velja, da je vsaka negibna točka iteracijske funkcije Newtonove metode (3.8) tudi rešitev enačbe f(x) = 0. Metodo fiksne točke dobimo tako, da dano enačbo f(x) = 0 najprej zapišemo zapišemo v ekvivalentno enačbo oblike x = g(x). To lahko storimo na mnogo načinov. Enačbo (3.4) lahko, poleg drugih ekvivalentnih oblik, zapišemo tudi kot a) g(x) = 20 2x2 x 3 10 b) g(x) = x 2x2 x 3 20 c) g(x) = x x 3 (3.10) d) g(x) = x 2x 2 e) g(x) = x x3 + 2x x 20 za poljuben c 0. c Ko imamo iteracijsko funkcijo g in začetni približek, lahko tvorimo zaporedje približkov po pravilu x n+1 = g(x n ) (slika 3.6). Vprašati se moramo, kdaj tako dobljeno zaporedje (x n ) konvergira proti rešitvi enačbe (3.1). Brez dokaza (dokaz lahko radovedni bralec poišče na primer v [2]) navedimo konvergenčni izrek:
16 66 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB g(x) g(x ) 1 g(x ) 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 Slika 3.6: Metoda fiksne točke Izrek Naj bo funkcija g na intervalu [a, b] zvezno odvedljiva, njene vrednosti naj zadoščajo pogoju a x b a g(x) b, za odvode pa naj velja Potem velja: sup g (x) = λ < 1. x [a,b] 1. Enačba x = g(x) ima natanko eno rešitev ξ na intervalu [a, b]; 2. Za vsak začetni približek x 0 [a, b] bo zaporedje x n konvergiralo proti ξ; ξ x n λ 1 λ x n x n 1 ; ξ x n λn 1 λ x 0 x 1 ;
17 3.5. METODA FIKSNE TOČKE ξ x n+1 lim n ξ x n kar pomeni, da je v bližini rešitve = g (ξ), ξ x n+1 g (ξ)(ξ x n ). Ta izrek nam zagotavlja, da za vsak interval, na katerem je g manj od 1, zaporedje približkov, dobljeno s pravilom (3.9) vedno konvergira proti rešitvi enačbe x = g(x). Algoritem (Metoda fiksne točke). Dana naj bo zvezna funkcija g. Če je dana točka x, naslednji algoritem izračuna število c, za katerega je c g(c) manj od ε y > 0, ali pa se po N korakih konča brez rezultata: c = NaN. n = 0; c = x; z = g(x) while (abs(c z) > ε y )&(n < N) c = z z = g(c) n = n + 1 if abs(c z) > ε y c = NaN Primer Izračunajmo rešitev enačbe (3.4) z metodo fiksne točke. Ponovno naj bo ε y = 10 5, začetna točka pa naj bo x = 0. Najprej moramo izbrati primerno obliko iteracije. Od iteracijskih funkcij (3.10) so neprimerne a), c) in d), ker imajo v bližini ničle odvod, ki je po absolutni vrednosti večji kot 1 (glej problem 2). Iteracijska funkcija e) ima odvod, ki je po absolutni vrednosti manjši od 1 za c < 0.6, odvod iteracijske funkcije b) pa je blizu 0, zato izberemo iteracijo x n+1 = x n 2x 2 n x 3 n ; 20 x 0 = 0. (3.11) Rezultati računanja so zbrani v tabeli 3.5. Približki, dobljeni z iteracijo (3.11) konvergirajo proti ničli funkcije f nekoliko počasneje kot pri Newtonovi metodi. Pripomniti moramo, da je
18 68 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB n x n f(x n ) Tabela 3.5: Približki rešitve enačbe x 3 + 2x x 20 = 0, dobljeni z iteracijo (3.11) hitrost konvergence pri metodi fiksne točke tem večja, čim manjša je absolutna vrednost odvoda iteracijske funkcije v bližini ničle, kot napoveduje tudi izrek Povzetek Povzemimo glavne značilnosti opisanih metod za reševanje nelinearnih enačb: 1. Za razliko od bisekcije, regule falsi in sekantne metode, pri katerih vedno potrebujemo dve točki, da izračunamo novi približek (zato jim pravimo dvočlenske metode), pri Newtonovi metodi in metodi fiksne točke potrebujemo le eno točko za izračun naslednjega približka. Zato pravimo, da sta Newtonova metoda in metoda fiksne točke enočlenski. 2. Pri bisekciji in pri reguli falsi imamo rešitev ves čas na omejenem intervalu, katerega dolžina se postopoma zmanjšuje, pri ostalih metodah med iteracijo nimamo zanesljive informacije o lokaciji rešitve, navadno je konvergenca približkov zagotovljena le v dovolj majhni okolici rešitve: če je začetni približek daleč od tiste rešitve enačbe, ki jo iščemo, zaporedje približkov lahko divergira ali pa konvergira proti kakšni drugi rešitvi.
19 3.7. PROBLEMI Od vseh omenjenih metod najpočasneje konvergira zaporedje približkov, dobljenih z bisekcijo, nekoliko hitreje zaporedje, dobljeno z regulo falsi, še hitreje zaporedje, dobljeno s sekantno metodo, najhitreje pa zaporedje, dobljeno z Newtonovo metodo. Pri metodi fiksne točke je konvergenca približkov tem hitrejša, čim manjša je absolutna vrednost odvoda iteracijske funkcije. 4. Kot splošna metoda za reševanje nelinearnih enačb se najbolje obnese Newtonova metoda. Kadar je težko ali časovno zahtevno izračunati odvod funkcije f, je namesto Newtonove metode bolje uporabiti sekantno metodo. 5. Newtonova in sekantna metoda zanesljivo in hitro konvergirata le v neposredni bližini rešitve, zato je velikokrat ugodno začeti z zanesljivejšo, čeprav počasnejšo metodo (bisekcijo ali regulo falsi), ko pa se ničli dovolj približamo, računamo dalje s hitrejšo metodo (Newtonova ali sekantna). 6. Z Newtonovo in s sekantno metodo lahko izračunamo tudi kompleksne rešitve enačb. Potrebujemo le kompleksni začetni približek in (seveda) računati moramo s kompleksnimi števili. 3.7 Problemi 1. Število n N lahko izračunamo tako, da rešimo enačbo x n N = 0. (a) Izračunaj z metodo bisekcije. Kako izbrati začetni interval? (b) Izračunaj z metodo regula falsi. Kako izbrati začetni interval? (c) Izračunaj z Newtonovo metodo. Kaj bi bil primeren začetni približek? (d) Dodatek Primerjaj učinkovitost vseh treh metod. 2. Izračunaj vrednost odvodov iteracijskih funkcij (3.10) v bližini ničle x Katera od iteracijskih funkcij ima v bližini ničle odvod z najmanjšo absolutno vrednostjo? 3. Rešujemo enačbo x 3 5 = 0.
20 70 POGLAVJE 3. REŠEVANJE NELINEARNIH ENAČB (a) Kolikokrat moramo razpoloviti interval pri uporabi bisekcije, da dobimo 3 5 z absolutno natančnostjo 10 9, če je začetni interval [0, 5]? (b) Izračunaj naslednje tri približke s sekantno metodo, če sta prva dva 0 in 5! (c) Kako moramo izbrati parameter c, da bo iteracija x n+1 = x n + c(x 3 n 5) konvergirala proti 3 5? (d) Na kakšnem intervalu moramo izbrati začetno vrednost, da bo Newtonova iteracija zanesljivo konvergirala? (Namig: Newtonovo iteracijo zapiši v obliki metode fiksne točke.) 4. Dan je polinom p(x) = x 8 170x x x (a) Izračunaj ničle polinoma p. (b) Opiši, kako bi največjo ničlo izračunal z metodo fiksne točke. (c) Izračunaj po velikosti tretjo ničlo polinoma p 1, ki ga dobiš iz polinoma p tako, da koeficient pri x 2 spremeniš na (d) Kolikšna je pri spremembi polinoma iz p v p 1 relativna sprememba druge ničle? 5. Poišči tisti koren enačbe ki je najbližji 100. y = tg x, (a) Kako določiš začetni interval za bisekcijo? Izračunaj koren na dve decimalni mesti. (b) Izberi iteracijsko funkcijo za metodo fiksne točke. Izračunaj koren na tri decimalna mesta. (c) Kako izbrati začetno točko za Newtonovo metodo? Izračunaj koren še z Newtonovo metodo (na štiri decimalna mesta). 6. Rešujemo enačbo x 1 + x = 0. (a) Izračunaj vse njene ničle!
21 3.7. PROBLEMI 71 (b) Kakšen mora biti začetni interval za bisekcijo ali regulo falsi? (c) Ali iteracija x n+1 = 1 + x n konvergira proti rešitvi, če izberemo x 0 dovolj blizu rešitve? (d) Za katere vrednosti c metoda fiksne točke x n+1 = x n c(x 2 n x n 1) konvergira proti rešitvi, če je x 0 dovolj blizu rešitve? 7. Naj bo funkcija f definirana na intervalu (0, π 2 ) s predpisom f(x) = Rešujemo enačbo f(x) = sin x. 12x 2 za π x < π π x π + 4 za x < π π sicer. (a) Skiciraj graf. Koliko ničel ima enačba? (b) Zapiši algoritem za izračun najmanjše ničle z Newtonovo metodo. Izračunaj ničlo. (c) Kako bi največjo ničlo izračunal z metodo fiksne točke? Zapiši algoritem in izračunaj ničlo. 8. Nelinearno enačbo f(x) = 0 rešujemo z metodo trisekcije. To je varianta metode bisekcije, pri kateri interval [a, b], na katerem leži ničla, vsakič razdelimo na tri enake podintervale. (a) Zapiši algoritem za metodo trisekcije za primer, ko je na intervalu [a, b] natanko ena ničla funkcije f. (b) Koliko je največje potrebno število korakov, če želimo izračunati približek, ki se od prave vrednosti razlikuje manj kot ε x? (c) Primerjaj bisekcijo in trisekcijo glede na potrebno število izračunov vrednosti funkcije f. (d) Metodo trisekcije uporabi pri reševanju enačbe 2x 3 = 0 z začetnim intervalom [ 1.2, 10/3] in natančnostjo ε x = 0.1.
Osnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večIskanje ničel funkcij z metodo bisekcije Imejmo podano funkcijo f(x), ki ji želimo poiskati ničle, to je presečišča z x-osjo, kjer je vrednost f(x)=0.
Iskanje ničel funkcij z metodo bisekcije Imejmo podano funkcijo f(x), ki ji želimo poiskati ničle, to je presečišča z x-osjo, kjer je vrednost f(x)=0. Včasih lahko ničle določimo analitično, pogosto pa
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večFGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večOdvodFunkcijEne11.dvi
III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Ljubljana, 2004 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večNumerika
20 Numerika Računalniki Koreni enačb Sistem linearnih enačb Odvajanje Integriranje Spektralna analiza Enačba rasti Enačba gibanja Advekcijska enačba Valovna enačba Difuzijska enačba Potencialna enačba
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večLehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku 1) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje in minute ali obratno: a),2 d) 19,1 8,9 e) 28 c) 2 f) 8 2) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje
Prikaži večUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večSlide 1
Primer modeliranja z DE MODEIANJE Tripsin je encim rebušne slinavke, ki nasane iz ripsinogena. V reakciji nasopa ripsin ko kaalizaor, zao je hiros nasajanja ripsina sorazmerna z njegovo koncenracijo....
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večUvodno predavanje
RAČUNALNIŠKA ORODJA Simulacije elektronskih vezij M. Jankovec 2.TRAN analiza (Analiza v časovnem prostoru) Iskanje odziva nelinearnega dinamičnega vezja v časovnem prostoru Prehodni pojavi Stacionarno
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večFGG02
6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večBojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih
Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večDel 1 Limite
Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži večUvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži večDN080038_plonk plus fizika SS.indd
razlage I formule I rešeni primeri I namigi I opozorila I tabele Srednješolski Plonk+ Fizika razlage formule rešeni primeri namigi opozorila tabele Avtor: Vasja Kožuh Strokovni pregled: dr. Gorazd Planinšič
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večNumeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k
Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večŠtudij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 6/7 Vje iz MATEMATIKE 9. Integrl Določeni integrl: Določeni integrl: Nj bo f : [, b] R funkcij. Intervl [, b] rzdelimo n n podintervlov z delilnimi točkmi: = x
Prikaži večMATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir
MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje priročno programsko okolje tolmač interpreter (ne prevajalnik)
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večNEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic
NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži več4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar
4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, 6.4.29 Grafi II Jure Senčar Relativna sila krčenja - F/Fmax [%]. Naloga Nalogo sem delal v Excelu. Ta ima vgrajeno funkcijo, ki nam vrne logaritemsko
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večOptimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži več