Matematika Uporaba integrala (1) Izračunaj ploščine likov pod grafi danih funkcij: (a) f(x) = x 2 na [0, 2], (b) f(x) = e x na [0, 1], (c) f(x) = x si

Transkripcija

1 Mtemtik Uporb integrl () Izrčunj ploščine likov pod grfi dnih funkcij: () f() n [ ] (b) f() e n [ ] (c) f() sin n [ π]. Rešitev: Nj bo f zvezn pozitivn funkcij n intervlu [ b]. Ploščin lik ki leži pod grfom funkcije f n intervlu [ b] je enk f() d. () Njprej bomo izrčunli ploščino lik pod kvdrtno prbolo. Rčunjmo: d 8. (b) Ploščin lik pod grfom eksponentne funkcije

2 je enk e d e e. (c) Poglejmo si lik pod grfom funkcije f() sin n intervlu [ π] Z izrčun njegove ploščine bomo funkcijo f integrirli po delih. Oznčimo u in sin d dv. Potem je du d in v cos kr nm d sin d cos π π + cos d π + sin π. π () Izrčunj ploščine likov ki jih omejujejo grfi funkcij: [ () f() cos + in g() cos n π π ] (b) f() sin in g() n [ π] (c) f() + in g() +. Rešitev: Ploščin lik ki leži med grfom funkcij f in g n intervlu [ b] je enk (g() f()) d. Pri tem vzmemo z g funkcijo ktere grf omejuje lik od zgorj z f p funkcijo ktere grf omejuje lik od spodj. V nsprotnem primeru bi dobili negtivno vrednost ploščine. () Lik je omejen z dvem kosinusoidm.

3 Od zgorj je omejen z grfom funkcije f od spodj p z grfom funkcije g zto je njegov ploščin enk π (cos + ( cos )) d ( sin + ) + π. π (b) Sedj rčunmo ploščino lik med sinusoido in bscisno osjo n intervlu [ π]. π N intervlu [ π] leži sinusoid nd n intervlu [π π] p pod bscisno osjo. Ploščini obeh kosov st enki zto je ploščin iskneg lik enk sin d cos. (c) Iščemo ploščino lik med prbolo in premico. π T T Njprej izrčunjmo presečišči grfov dnih funkcij: ( )( + ). Presečišči st torej v točkh T ( ) in T ( ). D bi dobili ploščino iskneg lik mormo torej integrirti funcijo g f n intervlu [ ]: ( ( ( + ) ( + ) ) d ( + ) d ) + ( ( ))

4 () Izrčunj ploščino lik ki g omejujet krivulji + in. Dokz. Lik je omejen s premico in s prbolo. D bi izrčunli njegovo ploščino bomo integrirli po spremenljivki n intervlu [ ]. Lev in desn robn krivulj nšeg lik imt v tem primeru enčbi () ozirom () +. Sledi ( ( )) ( + ) d ) ( + d ( + ) 6 6. () S trpezno metodo pri n izrčunj ploščino lik pod grfom funkcije f() π e n intervlu [ ]. Rešitev: Izrčunli bomo določeni integrl Gussove funkcije π e d. T funkcij predstvlj gostoto stndrdne normlne porzdelitve in igr ključno vlogo v sttistiki in verjetnosti. Vrednost teg konkretneg integrl je enk verjetnosti d stndrdno normlno porzdeljen spremenljivk zvzme vrednost n intervlu [ ].....

5 Ker ne znmo izrčunti nedoločeneg integrl Gussove funkcije bomo ploščino lik pod njenim grfom približno izrčunli s trpezno metodo pri n. Njprej npišimo tbelo vrednosti: k k Od tod dobimo proksimcijo π e d (.99 + ( ) +.).. 8 Dejnsk vrednost integrl zokroženeg n štiri decimlke je. kr pomeni d smo dobili dokj dobro proksimcijo že z zelo mlim številom rčunskih opercij. Z boljšo proksimcijo bi morli vzeti večji n li p uporbiti Simpsonovo metodo. (5) Izrčunj središče lik ki je omejen s krivuljm + in +. Rešitev: Iščemo središče lik ki je omejen s premico in prbolo. T T Središče rvninskeg lik L ki je n intervlu [ b] omejen z grfom funkcij f in g lhko izrčunmo s pomočjo formul kjer je S ploščin lik L. (g() f()) d S (g() f() ) d S Presečišči obeh krivulj st v točkh T ( ) in T ( ) zto je ploščin lik L enk: ( ( ( + ) ( + ) ) d ( + ) d ) + ( ( ))

6 Sedj bomo izrčunli integrl v števcih zgornjih ulomkov. (( + ) ( + )) d ( ( + ) d ) + ( ) + ( ) 9 (( + ) ( + ) ) d ( + + ) d ) ( (( 5 ) ( )) Koordinti središč lik st torej: Poglejmo še skico T T S (6) Izrčunj obseg krožnice s polmerom R. Rešitev: Dolžin grf funkcije f n intervlu [ b] je enk l + f () d. Cele krožnice sicer eksplicitno ne moremo podti z grfom funkcije lhko p definirmo polkrožnico kot grf funkcije f() R. 6

7 R Odvod funkcije f je enk f () ( ) R R od tod p dobimo R R o + f () d R R + R d R R R R d. Sedj uvedimo novo spremenljivko s predpisom R sin ϕ. Potem je d R cos ϕ dϕ z meje p velj Sledi o R R R t π R t π. R R d π R cos ϕ R R sin ϕ dϕ R π cos ϕ dϕ πr. sin ϕ (7) S Simpsonovo metodo pri n oceni dolžino lok sinusoide n intervlu [ π]. Rešitev: Rčunmo dolžino lok sinusoide n intervlu [ π] Ker je (sin ) cos ns torej znim določeni integrl l + cos d. Integrirli bomo funkcijo () + cos n intervlu [ π] z izbiro osmih delilnih točk. π π π π 5π π 7π k π k Sledi + cos d π (. + (.6 +.7) + (.5 + )).8. Dejnsk dolžin teg lok sinusoide je približno

8 (8) Izrčunj volumen teles ki g dobiš če krivuljo R n intervlu [ h] zvrtiš okoli h bscisne osi. Rešitev: Če krivuljo R zvrtimo okoli bscisne osi dobimo stožec s polmerom R in h z višino h. R h Volumen vrtenine ki jo dobimo pri vrtenju grf funkcije f okoli osi n intervlu [ b] je enk V π f() d. Torej je volumen stožc z višino h in polmerom osnovne ploskve R enk h ( ) h R h V π h d πr d πr πr h. h h (9) Izrčunj volumen vrtenine ki jo dobimo če grf funkcije f() cos + n intervlu [ π π ] zvrtimo okoli osi. Rešitev: Pri vrtenju grf funkcije f okoli osi dobimo telo v obliki vze. 8

9 Volumen teg teles je enk V π π π π π π ( sin π π 9π. (cos + ) d (cos + cos + ) d ( cos + + sin + 9 ( + 9π ( 7 ) + cos + d ) )) π π () Izrčunj volumen vrtenine ki jo dobimo če okoli bscisne osi zvrtimo elipso + b. Rešitev: Poglejmo si elipso s polosem in b. b Pri vrtenju elipse okoli bscisne osi dobimo telo ene izmed nslednjih oblik (odvisno od teg li vrtimo okoli večje li mnjše polosi). Volumen vrtenine ki jo dobimo pri vrtenju grf funkcije f okoli osi n intervlu [ b] je enk V π 9 f() d.

10 V nšem primeru lhko vzmemo funkcijo f() b b. Od tod dobimo ) ) V π f() d π (b b d π (b b πb. V posebnem primeru ko je b R dobimo kroglo s polmerom R. Njen volumen je V πr. () Izrčunj volumen prbolične posode ki jo dobiš z vrtenjem krivulje z [ ] okoli osi. Rešitev: Poglejmo si njprej skico posode. Volumen vrtenine ki jo dobimo z vrtenjem grf funkcije () okoli ordintne osi je enk V π () d. Pri ns je integrirli p bomo po n intervlu [ ]. Tko dobimo V π d π 8π. () Izrčunj površino plšč vrtenine ki jo dobimo če grf funkcije f() n intervlu [ ] zvrtimo okoli bscisne osi. Rešitev: Pri vrtenju grf dne funkcije dobimo vrtenino v obliki prboloid.

11 Površin plšč vrtenine ki jo dobimo pri vrtenju grf funkcije f okoli osi n intervlu [ b] je enk V π f() + f () d. V nšem primeru je f () od koder dobimo P π + d π + d π ( + ) ) ( 8π 56π.