Integrali odvisni od parametra Naj bo f : D = [a; b] [c; d]! R integrabilna na [a; b]. Deniramo funkcijo F : [c; d]! R z Z b F (y) = f (x; y) dx in im

Transkripcija

1 Integrli odvisni od prmetr Nj o f : D = [; ] [c; d]! R integriln n [; ]. Denirmo funkcijo F : [c; d]! R z F () = f (; ) d in imenujemo F integrl odvisen od prmetr. Izreki: Ce je f zvezn n D, je F zvezn n [c; d] in je lim! f (; ) d = f (; ) d Ce st f in zvezni n D, je F diferenciiln n [c; d] in je f (; ) d: Ce st f in f zvezni n D ter st u; v : [c; d]! [; ] diferenciilni funkciji, potem je funkcij diferenciiln n [c; d] in G () = v() u() v() G() = f (; ) d u() f (; ) d + f (v(); ) v () f (u(); ) u (): Neprvi (izlimitirni) integrli odvisni od prmetr Nj o f zvezn n [; ) [c; d]. Neprvi integrl F () = f (; ) d enkomerno konvergir n [c; d], ce F ostj z vsk [c; d] in ce z vsk " > 9B > tk, d z vsk > B velj: R f (; ) d < " z vsk [c; d]. Weierstrssov (primerjlni) R kriterij Ce lhko njdemo tksno zvezno funkcijo g, d je jf (; )j g() z vsk (; ) [; ) [c; d] ter je g() d koncen, potem F enkomerno konvergir n [c; d].

2 Izreki: Nj o f zvezn n [; ) [c; d] Ce F () = R f (; ) d enkomerno konvergir n [c; d], potem je F zvezn Ce F konvergir vsj v eni tocki [c; d], ce je f zvezn n [; ) [c; d] in ce f (; ) d enkomerno konvergir n [c; d], potem je F zvezno diferenciiln n [c; d] ter je f (; ) d Gm in Bet funkcij Integrli odvisni od prmetr omogocjo denicijo novih funkcij. Funkciji Gm in Bet st tk primer. Gm funkcij je denirn kot (p) = p e d; p > Lstnosti: je zvezn in diferenciiln (p + ) = p (p); (n + ) = n!; n N p (=) = Bet funkcij je odvisn od dveh prmetrov. Denirn je kot B(p; q) = p ( ) q d; p; q > Lstnosti: B(p; q) = B(q; p) B je zvezn in diferenciiln po oeh spremenljivkh B(p; q) = (p) (q) (p + q)

3 Nloge. Izrcunjte odvod funkcije F () = Funkciji cos() zto je. Izrcunjte F (n) cos() cos() d: = sin() st zvezni n [; ] R, sin() d = (cos() cos ) : n ln d z n = ; ; : : : z uporo I() = d. I() = j =. Odvjmo I direktno in kot integrl odvisen od prmetr ter doimo I() = = d I () = = ln d I () = = ln d I () = 6 = ln d 4 Sledi F (n) = I (n) = 6=n 4 :. Izrcunjte vrednost izrz I ()+I () I(), ce je I() = I () = I () = cos e cos d cos e cos d e cos d: delno integrcijo I (izeri u = sin ; dv = sin e cos ) doimo I () = ter uporimo v izrzu ( sin )e cos d = I() I () + I () I() = 4. Izrcunjte ln d. Denirmo F () = zvezn, je F () = I() sin (sin e cos ) d = I() I () + I () I() = : I () ln d, zto iscemo F (). ln d = + = + + =

4 integrirnjem doimo F () = ln( + ) + C in ker je F () =, je C =. Torej je d = ln : ln 5. Izrcunj F () = ln(sin + cos ) d: F je sod funkcij, zto se lhko omejimo le n >. Funkciji f in f = cos sin + cos st zvezni n [; =] (; ), zto je cos sin + cos d = d tn + = du ( + u )( + u ) Uporili smo novo spremenljivko tn = u in z rzcepom n prcilne ulomke (pri 6= ) sledi du = = + u + u + Po integrirnju je F () = ln( + ) + C, ker p je F zvezn in F () =, doimo C = ln. Torej je F () = ln + z >. Upostevmo se sodost funkcije, zto F () = ln jj+. 6. Izrcunjte prvi odvod funkcije F () = 7. Nj o F () = e e d + e5 e 4 d. = 5e 5 4e 4 ( )f () d z >, kjer je f zvezno odvedljiv n [; ). Poiscite vse funkcije f, z ktere je F () = z vse >. f () d + f (); F () = 5f () + f (). Doimo diferencilno enco 5f () + f () =, ki im locljivi spremenljivki ter je njen resitev f () = C p Izrcunjte tretji odvod funkcije F () = (4 5 + )f () d z >, kjer je f dvkrt zvezno odvedljiv n [; ). F () = 4f () + (4 )f () + (4 4)f () e e 7 9. Izrcunjte d: e e Pisemo F () = d. Ker e e R = h zvezn in e d enkomerno konvergir n [; ] sj z sledi e R e i in e d =, je F () = e d = 4 e = :

5 to je F () = ln + C in ker je F () =, sledi C =. e e 7 d = F (7) = ln 7:. Izrcunjte F () = e sin() e sin() = je cos()j e in R Tko doimo e d =, torej smemo odvjti pod integrlskim znkom in izrcunmo e cos() d = + (integrirmo dvkrt per prtes). F () =, sledi C =. Torej je F () = rctn + C in ker je sin(). Izrcunjte F () = d z. Kot znno upostevjte ( + ) cos() + d = (+ ) cos() = R + + in + d =, smemo odvjti pod integrlskim znkom F cos() () = + d = e in je F () = e + C. rdi F () = sledi C =. 5