Matematika 2 - ustna vprašanja 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3)...3 2) Lastnosti determinante (5)...3 3) Cramerjevo pravilo (9)...3 4) Računanje
|
|
- Niko Rožič
- pred 5 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Matematika 2 - ustna vprašanja 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3)...3 2) Lastnosti determinante (5)...3 3) Cramerjevo pravilo (9)...3 4) Računanje z vektorji, kot med vektorij (11)...3 5) Skalarni produkt vektorjev (16)...4 6) Vektorski produkt vektorjev (21)...4 7) Mešani produkt (21)...5 8) Couchy-Schwartzeva neenakost (17)...5 9) Paralelogramska enačba (32) ) Enačba ravnine, enačba premice (30) ) Razdalja med točkama, razdalja med točko in premico (32) )Razdalja med točko in ravnino, razdalja med premicama, razdalja med premico in ravnino (32) ) Računanje z matrikami (36) ) Rang matrike (49) ) Inverzna matrika (46) ) Posebne vrste matrik (44) ) Sistem linearnih enačb (51) ) Gausova metoda za reševanje linearnih enačb (54) ) Baza vektorskega prostora (65) ) Linearna neodvisnost vektorjev (63) ) linearna preslikava (71) ) Lastne vrednosti, lastni vektorji matrike (80) ) Lastne vrednosti hermitskih, poševno hermitskih, unitarnih marik ( ) ) Funkcijska vrsta (definicija, definicijsko območje, konvergenca) (95) ) Potenčna vrsta (definicija, konvergenca) (99) ) Odvajanje in integracija potenčnih vrst (99) ) Taylorjeva vrsta funkcije(100) ) Taylorjeva vrsta funkcij:(101) ) Binomska vrsta, binomski koeficienti ( ) ) Fouriejeva vrsta (definicija, konvergenca) (113) ) Fourierova vrsta s poljubno periodo (116) ) Sinusna Fouriejeva vrsta, kosinusna Fouriejeva vrsta (118) ) Funkcija dveh spremenljivk (definicija, zveznost, limita, graf) (125) ) Odvod funkcije več spremenljivk (137) ) Posredno odvajanje:(141) ) Višji parcialni odvodi ( ) ) Taylorjeva vrsta funkcije dveh spremenljivk (147) ) Izrek o implicitni funkciji (149) ) Ekstrem funkcije dveh spremenljivk (152) ) Hessejeva matrika (154) ) Vezani ekstrem funkcije dveh spremenljivk (159) ) Diferencialna enačba (definicija, začetni problem, robni problem) (163) ) Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami (170) ) Linearna diferencialna enačba 1. reda (homogena, nehmogena) (173,174) ) Bernoullijeva diferencialna enačba (177) ) Eksaktna diferencialna enačba (178) ) Vpeljava parametra v diferencialno enačbo: ) Ortagonalne trajektorije (186) ) Eksistenca in enoličnost rešitve diferencialne enačba(190) ) Splošna rešitev linearne diferencialne enačbe drugega reda (194) ) Linearna diferencialna enačba drugega reda homogena s konstantnimi koeficienti (201,208) ) Determinanta Wronskega (linearna odvisnost funkcij) (199, 209) ) Linearna diferencialna enačba s konstantimi koeficienti, 2. reda, nehomogena (212) ) Eulerjeva diferencialna enačba 2. reda (205) ) Reševanje nehomogena linearne diferencialne enačbe s konstantimi koeficienti višjega reda s pomočjo nastavka ) Sistem diferencialnih enačb (223)...21
2 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3) Definicija: Determinanta je predpis, ki kvadratni shemi n n števil, priredi število R. Predpis podamo induktivno: n=1 a =a n=2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 Definicija: Determinanta, ki jo dobimo tako, da v prvotni determinanti prečrtamo i-to vrstico in j-ti stolpec, imenujemo poddeterminanta, ki pripada elementu a i j Definicija: Produkt 1 i j in poddeterminante, ki pripada elementu a i j imenujemo kofaktor elementa a i j. 2) Lastnosti determinante (5) a) determinanta je enaka 0, če: - so v neki vrstici/stolpcu same 0 - sta dve vrstici proporcionalni(npr enaki/večkratnik) b) vrednost determinante se ne spremeni če: - zamenjamo vlogo vrstic in stolpcev - katerikoli vrstici/stolpcu prištejemo večkratnik kake druge vrstice/stolpca. - izpostavimo faktor, ki je skupen členom neke vrstice/stolpca c) determinanta spremeni predznak, če zamenjamo 2 vrstici/stolpca 3) Cramerjevo pravilo (9) za reševanje sistema n enačb z n neznankami na primeru n=3 a 11 xa 12 ya 13 z=b 1 a 21 xa 22 ya 23 z=b 2 a 31 xa 32 ya 33 z=b 3 a 11 a 12 a 13 D = a 21 a 22 a 23 D a 31 a 32 a 33 x = b1 a12 a13 x= D x D, y= D y D, z= D z D b 2 a 22 a 23 D b 3 a 32 a 33 y = a11 b1 a13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 D z = a11 a12 b1 a 21 a 22 b 3 2 a 31 a 32 b 4) Računanje z vektorji, kot med vektorij (11) Seštevanje a b=a 1, a 2, a 3 b 1, b 2, b 3 =a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 Lastnosti - a b= ba - a bc=a bc - a0=a - a a=0 Množenje vektorja s skalarjem a= a 1, a 2, a 3 Lastnosti: a b= a b a= a a a= a 1 a=a dolžina vektorja: a =a 1 2 a 2 2 a 3 2 cos= a b a b
3 5) Skalarni produkt vektorjev (16) DEF: a=a 1, a 2, a 3 b=b 1, b 2, b 3 a b=a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 SKALAR kompleksno(str 34) pa z w=z 1 w 1 z 2 w 2 z 3 w 3 Lastnosti: a b= b a a b c=ac bc dokaz: a b c a b c a b= a b cos cos = a b a b cos = a 2 b 2 a b 2 2 a b 2 a b cos=a1 2 a 2 2 a 3 2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 a 3 b a b cos=a1 2 a 2 2 a 3 2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 a 1 2 2a 1 b 1 b 1 2 a a 2 b 2 b a b cos=a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 =a b 6) Vektorski produkt vektorjev (21) DEF: a=a 1, a 2, a 3 b=b1, b 2, b 3 a b= i j k a 1 a 2 a 3 3 b 1 b 2 b dolžina vektorja a b : a b = a b cos paralelogram, ki ga oklepata a in b i =1,0,0 j=0,1,0 k=0,0,1 bazni vektorji smer vektorja: pravilo desnega vijaka Lastnosti: a b= b a a bc=a ba c a b c=a c b a b c
4 7) Mešani produkt (26) DEF: a=a 1, a 2, a 3 b=b1, b 2, b 3 c=c 1, c 2, c 3 a b c=a, 1 a 2 a 3 b, c= a b 1 b 2 b 3 3 c 1 c 2 c skalar a, i j b, c=a k i j k a2 a3 b 1 b 2 b 3 1 i a 2 ja 3 c 1 c 2 c 3 =a k b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a1 3 c 1 c 2 c a, b, c= b,c,a=c, a, b = a, b,c = b, c,a = c,a, b TRDITEV: Absolutna vrednost mešanega produkta vektorjev a, b in c je enaka prostornini paralepipeda, ki ga ti trije določajo. DOKAZ: Prostornina paralepipeda je enaka osnovni ploskvi krat višina. Osnovna ploskev je paralelogram, ki ga oklepata vektorja b in c, njegova ploščina a b, višina pa je projekcija vektorja a na b c, torej skalarni produkt a b c b c osn. Ploskev b c slika 1.13 Višina a b c b c Volumen a b c POSLEDICA: Vektorji a, b in c so nekolinearni natanko takrat, ko je determinanta različna od 0. a, b,c In kolinearni V paralepipeda =0 a, b,c =0 *kolinearnost: Vektorja sta kolinearna kadar ležita na isti premici V piramide = 1 6 V paralepipeda težišče trikotnika r T = 1 3 r A r B r C 8) Couchy-Schwartzeva neenakost (17) a b a b DOKAZ: a b = a b cos a b cos 1 9) Paralelogramska enačba (32) Vsota kvadratov diagonal v paralelogramu = vsota kvadratov stranic a b 2 a b 2 =2 a 2 b 2 DOKAZ: a b 2 = a 2 2a b b 2 a b 2 = a 2 2a b b 2 a b 2 a b 2 =2 a 2 b 2
5 10) Enačba ravnine, enačba premice (30) premica: T 0 x 0, y 0, z 0 r T = r T 0 t e x= x 0 t a y= y 0 t b z=z 0 t c e=a,b, c smerni vektor vektorska x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c ravnina: (28) T 0 x 0, y 0, z 0 n=a,b,c vektor normale r T r T 0 vektorska oblika x, y, z x 0, y 0, z 0 a, b, c=0 n=a,b,c a xb yc z=a x 0 b y 0 c z 0 =d kanonična x e y f z g =1 segmentna( e, f, g so točke kjer osi x, y,z prebadajo ravnino) Lastnosti: d=0 ravnina gre skozi koordinatno izhodišče c=0 n=a, b,0 ravnina je vzporedna z osjo b=c=0 n= a,0,0 ravnina je vzporedna z ravnino y, z Enačbo ravnine določene s točkami A a 1, a 2, a 3, B b 1, b 2, b 3 in C c 1, c 2, c 3 lahko zapišemo v obliki a1 x a2 y a3 z a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 točka T x, y, z leži v ravnini a 1 c 1 a 2 c 2 a 3 c 3 =0 11) Razdalja med točkama, razdalja med točko in premico (32) d T 1, T 2 = x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 d T, p= e r T r T 0 e DOKAZ: (ploščino paralelograma zapišiemo na 2 načina) pl= e T 0 T = e d višina
6 12)Razdalja med točko in ravnino, razdalja med premicama, razdalja med premico in ravnino (32) d T,= a xbycz d a 2 b 2 c 2 DOKAZ: d = T 0 T n n =x x a y y bz z c a 2 b 2 c 2 d p 1, p 2 = e 1, e 2, r T 1 r T 2 e 1 e 2 DOKAZ: zapišimo V paralepipeda na 2 načina V = T 1 T 2, e 1, e 2 = e 1 e 2 d višina Opomba: razdalja med dvema premicama je enaka razdalji katerekoli točke na drugi premici od prve premice. med premico in ravnino a) premica in ravnina se sekata d p, =0 b) premica in ravnina sta vzporedni d p, =d T, 13) Računanje z matrikami (36) 13.1) [ Množenje s skalarjem (36) a a 1n a11... a1n a m1... a mn]=[ a m1... a mn] 13.2) Seštevanje pogoj A m n B m n (37) [ a a 1n b11... b1n a11b11... a1nb1n a m1... a mn][ b m1... b mn]=[ a m1 b m1... a mn b mn] Lastnosti AB=B A ABC =ABC A0=A 0 m n = [ ] A A=0 AB= A B A= A A A= A 1 A= A ničelna matrika 13.3)Transponiranje zamenjamo vrstice in stoplce (37) a 1n... A=[a A a m1... a mn] T am1 =[a11... a mn] Lastnosti: A B T = A T B T A T = A T A T T = A a 1n
7 13.4)Množenje matrik A m n B p r =C m r pogoj n= p (39) [ a 11 a 1n a m1 a mn] [ n C ij = k =1 a ik b kj b11 b1r = b p 1 b pr] [ c11 c1r c m1 c mr] Lastnosti: AB C= A BC A B= A B ABC = A BA C A B B A A I =I A= A I = [ ] identiteta! A Kvadratna matrika A B T m 0 /T 0 m = B T A T 0 n n m 0 m A m n B n )Kompleksne matrike (41) če matriko A konjugiramo in transponiramo dobimo njeno adjungirano matriko A =A T 14) Rang matrike (49) DEF: od 0 Rang matrike je red največje kvadratne marike v pravokotni matriki, ki ima determinanto različno Lastnosti: rang A=rang A T (determinanta se ne spremeni, če zamenjamo vlogo vrstic in stolpcev) Determinanta je enaka 0, če sta 2 vrstici linearno odvisni TRDITEV: Rang matrike A je enak številu linearno neodvisnih vrstic/stolpcev matrike Rang računamo tako, da začetno matriko z elementarnimi operacijami preoblikujemo do matrike, ki ima pod diagonalo 0 Število neničelnih vrstic je enako rangu matrike, saj so te vrstice linearno neodvisne. TRDITEV: Vsaka matrika R je vrstično ekvivalentna matriki R ', ki ima na prvem mestu neničelni element kvečjemu v prvi vrstici, v vsaki naslednji vrstici pa ima na začetku vsaj eno ničlo več kot v prejšnji... Gaussova eliminacija(50)
8 15) Inverzna matrika (46) DEF: Naj bo A kvadratna matrika. Če obstaja taka matrika A 1, da velja A A 1 =A 1 A= I, potem A 1 imenujemo inverz matrike A. A 1 Je tudi kvadratna matrika. Vendar nima vsaka kvadratna matrika inverza TRDITEV: Kvadratna matrika A ima inverz natanko tedaj, ko je det A 0 DOKAZ: Matrika nima inverza, če je det A=0, det A det A 1 =det A A 1 =det I =1 0 Ni mogoče, da ima ta matrika inverz, ker je det A=0 A 1 = 1 det A[ A... A T 11 1n A m1... A mn] = 1 det A A T kofaktor matrike A : prečrtamo i-to vrstico in j-t stolpec ter izračunamo determinanto in pomnožimo z 1 T j A B 1 =B 1 A 1 DOKAZ: A B 1 = X A B X =I / A 1 A 1 A B X =A 1 I I B X =A 1 / B 1 I X = B 1 A 1 X =B 1 A 1 = A B 1 Računanje inverza z Gaussovao elimiancijo: z operacijami, ki ohranjajo rang prevedemo [ A I ][ I A 1 ] Matrične enačbe: A cdot X = B [ A B ][ I X ] (enako kot pri linearnih enačbah) X A= B / T A T X T B T [ A T B T ][ I X T ] 16) Posebne vrste matrik (44) a) simetrična A= A T *diagonalna [d d d n] Vsi elementi izven diagonale so enaki 0 ** [ a a a b a c ] b a b b b c c a c b c c elementi so medsebojni skalarni produkti treh vektorjev a, b in c obstaja tudi poševno simetrična diagonalna matrika A= A T vsako kvadratno matriko lahko zapišemo kot vsoto simetrične in poševno simetrične matrike. b) hermitska (45) A= A poševno hermitska A= A Vsako matriko lahko zapišemo kot c) unitarna A A = A A=I ortagonalna A A T =A T A= I d) singularna (46) nima inverza nesingularna ima inverz (obrnljiva matrika deta 0 ) a 11 a 12 a e) 0 a 22 a a 33 a11 zgornje trikotna matrika a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 spodnje trikotna matrika
9 17) Sistem linearnih enačb (51) a 11 x 1 a 12 x 2... a 1n x n =b 1 a m1 x 1 a m2... a m n x n =b n [ a 11 a 1n x1 a m1 a mn] [ : R=[ : x n]=[b1 m] b a11 a1n a m1 a mn b1 m] b : Razširjena matrika Če je b 1 =b 2 = =b m =0 Homogen sistem Osnovni izreki o reševanju sistema linearnih enačb a) r=rang A=rang R sistem ima rešitev b) r=n (n = št neznank) sistem ima 1 rešitev c) rn sistem ima neskončno rešitev za n r rešitev lahko izberemo poljubne vrednosti Za homogen sistem A X =0 ima vedno trivialno rešitev x 1 =x 2 = =x n =0 ima netrivialno rešitev rang An 18) Gausova metoda za reševanje linearnih enačb (54) TRDITEV: Vsaka matrika R je vrstično ekvivalentan matriki R', ki ima na prvem mestu numerični elemet kvečjem v prvi vrstici, v vsaki naslednji vrstici pa ima na začetku vsaj eno ničlo več kot v prejšnji. Razširjeno matriko preoblikujemo do zgoraj trikotne matrike z elementarnimi operacijami, ki ne vplivajo na rešitev sistema linearnih enačb. 19) Vektorski prostor (59) DEF: Neprazno množico imenujemo realen vektorski prostor, če je za elemente te množice definiramo seštevanje vektorja in množenje elementa te množice z realnim številom, ki zadošča lastnostim za množenje vektorja s skalarjem. Dimenzija vektorskega prostora je enaka številu elementov baze, če je baza končna. Če pa je v bazi neskončno elementov pravimo, da je vektorski prostor neskončno dimenzioniran. Primeri vektorskih prostorov a) vektorji v ravnini ali prostoru b) n-terice v R, torej n ={a 1 a n ; a R} c) realne funkcije, torej ={ f realna funkcija} d) prostor matrik 20) Baza vektorskega prostora (65) DEF: Baza vektorskega prostora je linearno neodvisna množica elementov, s katerimi lahko izrazimo vsak element vektorskega prostora- Ti odvisni elementi, ki sestavljajo prostor se imenujejo liearna ogrinjača vektorjev. Št. Baz = dimenzija vektorskega prostora
10 21) Linearna neodvisnost vektorjev (63) Naj bodo a 1, a 2, a n, 1, 2, n R Potem je vektor a= 1 a 1 2 a 2 n a n linearna kombinacija vektorjev a 1... a n DEF: Množica vektorjev je linearno odvisna, če lahko vsaj en element te množice zapišemo kot linearno kombinacijo prostorskih elementov te množice. Množica vektorjev je linearno neodvisna, če 1 x 1 n x n =0 ni linearno odvisna natanko tedaj, ko je 1 =... = n =0
11 22) linearna preslikava (71) DEF: Preslikava F : X Y je linearna, če velja: a) F x y=f xf y x, y X aditivnost b) F x= F x x R x X homogenost TRDITEV: Matrika predstavlja linearno preslikavo in vsako linearno preslikavo lahko predstavimo z matriko. DOKAZ(prvega dela): AX AY =A X Y A X = A X F X =A X F :R n R m [ matrika linearne preslikave] [ matrika ] [ osnovnih = matrika ] preslikanih vektorjev vektorjev Matrika ima za stolpce slike standardnih baznih vektorjev. Transformacije ravnine(75) - matrika za vretenje vektorja orog izhodišča ravnine A= [ cos sin sin cos] -matrika za razteg ravnine za s x v smeri osi x in za s y v smeri osi y S= [ s x 0 0 s y] vektorju r= [ x y] pripada vektor F r= [ s x x s y y] Homogene koordinate(76) Omogočajo, da hkrati opišemo vse linearne transformacije in translacijo. Homogene koordinate ravninskega vektorja r dobimo tako, da mu pripišemo še eno koordinato, ki je za vse vektorje enaka 1 r n= [ x y 1] R = [ cos sin x 0 sin cos ] 1 vrtenje =[ S x 0 0 1] S S x S y 0 S y razteg 0 a 1 T a =[1 ] 0 1 a 2 translacija(paralelni premik) (72/4) Poljuben tog premik v ravnini lahko opišemo s temi tremi matrikami. PRIMER:Vrtenje za /4 okrog točke 1, 1 POSTOPEK: točko premaknemo v izhodišče s paralelnim premiko, jo zavrtimo za /4 okrog izhodišča in jo paralelno premaknemo nazaj v točko 1, 1 V =T t R /4 T t = [ ] [ 1/ /2 0 1] [ 1/ 2 1/ ] Ortagonalna linearna transformacija(78) Ohranja skalarni produkt F x F y= Ax A y=x y Ohranja dolžine vektorjev in kot med vektorji Matrika je ortagonalna, če je A T = A 1 Če je matrika ortagonalna je det A=±1 Stolpec ortagonalne (in unitarne) matrike so vektorji dolžine 1, ki so med seboj parovno pravokotne
12 23) Lastne vrednosti, lastni vektorji matrike (80) DEF: Naj bo A kvadratna matrika. Če za nek neničelni vektor x velja A x=x, potem imenujemo lastna vrednost A, vektor x pa tej lastni vrednosti pripadajoč lastni vektor. RAČUNANJE LASTNIH VREDNOSTI A X = X X -matrika vektorjev A X X =0 A I X =0 Dobimo homogen sistem n enačb z n neznankami pogoj za netrivialno rešitev rang AN, torej det A I =0 dobimo lastne vrednosti Lastne vektorje matrike dobimo z rešitvijo enačbe A I X =0 po gaussovi eliminaciji. IZREK: Lastne vrednosti kvadratne matrike A reda n so ničle karakterističnega polinoma matrike, torej rešitve enačbe A I X =0 Pripadajoči lastni vektorji so netrivialne rešitve homogenega sistema A I X =0 Skupaj z vektorjem 0 sestavljajo vektorski prostor, katerega dimenzija je enaka n Rang A I 24) Lastne vrednosti hermitskih, poševno hermitskih, unitarnih marik (90) IZREK: Naj bo A n n - če je A hermitska, so vse njeni lastne vrednosti REALNE - če je A poševno hermitska, so vse njene lastne vrednosti čista imaginarna števila - če je A unitarna, potem so vse njene lastne vrednosti po absolutni vrednosti enake 1 DOKAZ: A X = X / X T = X T A X X T X X T A X = X T X X T X =[ x 1, x 2, x 3 ] [x 1 x 2 x 3]= x 1 2 x 2 2 x kvadratna forma z 2 =z z Če je A hermitska A T = A, potem je X T A X kvadratna forma hermitske matrike, ki je realno število, torej je realno število, saj je kvocient dveh realnih števil. Če je A poševno hermitska, potem je X T A X kvadratna forma, ki je čisto imaginarno število. Je tudi čisto imaginarno število, saj je kvocient imaginarnega in realnega števila 25) Funkcijska vrsta (definicija, definicijsko območje, konvergenca) (95) DEFINICIJA: Funkcijska vrsta je definirana kot neskončna vsota funkcij U 1 xu 2 xu 3 x... to pomeni, da je definirana kot zaporedje delnih vsot funkcij DEFINICIJSKO OBMOČJE funkcijske vrste je množica x, za katere funkcijska vrsta konvergira. Funkcijska vsota je konvergentna, torej obstaja za tiste vrednosti spremenljivke x,za katere konvergira številska vrsta, ki jo dobimo, ko konkreten x vstavimo v funkcijsko vrsto. Funkcijska vrsta S x=u 1 xu 2 x... je enakomerno konvergentna na intervalu [a,b], če za vsak 0 obstaja n 0 N, da je S n x S x za vsak x in [a,b]. (Torej je pri izbranem za vsak x iz tega intervala dober isti n 0 ) *če je funkcijska vrsta enakomerno konvergentna potem jo lahko členoma integriramo/odvajamo
13 26) Potenčna vrsta (definicija, konvergenca) (99) DEFINICIJA: Potenčna vrsta je funkcijska vrsta oblika a n x x 0 n =a 0 a 1 x x 0 a 2 x x DEFINICIJA: Naj bo a n x x 0 n jo imenujemo konvergenčni polmer potenčne vrste. potenčna vrsta, če obstaja lim a 0 n =R (R = konvergenči radij) potem a 0 1 IZREK: Naj bo a n x x 0 n potenčna vrsta, potem ta potenčna vrsta konvergira za vsak x x 0 R, x 0 R Za vsak x, ki ni element intervala x 0 R, x 0 R potenčna vrsta divergira. Za x= x 0 R in x= x 0 R vrsta lahko konvergira ali divergira. 27) Odvajanje in integracija potenčnih vrst (99) IZREK: Naj bo Velja še: Sx= a n x x 0 n Potem je Sx zvezna funkcija na x 0 R, x 0 R S ' x= a n n x x 0 n 1 n=1 S'(x)= a 1 a 2 2 x x 0... x x S xdxc= 0 n1 a n n1 28) Taylorjeva vrsta funkcije f (100) IZREK: Funkcija f x, ki se izraža kot vsota potenčne vrste a n x x 0 n s konvergenčnim polmerom R je zvezna in neskončnokrat odvedljiva na intervalu x 0 R, x 0 R Za vsak n N je n -ti odvod f n x vsota potenčne vrste, ki jo dobimo, če vrsto a n x x 0 n n -krat členoma odvajamo. Koeficienti a n dane vsote so natanko določeni z vrednostjo funkcije f in njenih odvodov v točki x 0 in so enaki a n = f n x 0 ;n N skratka vrsta n! an x x 0 n je taylorjeva vrsta funkcije f x okrog točke x 0 29) Taylorjeva vrsta funkcij: e x,sin x,cos x, log1x (101) e x = x n x2 =1x n! sin x= x x3 3! x5 5! x7 7! cos x=1 x2 2! x4 4! x6 6! 2! x3... ; x R 3! ; x R ; x R ln 1x=x x2 2 x3 3 x4 ; 1x x =1xx2 x 3... ; x 1 poglejte si še 22 in 23 stran odgovorov na ustna vprašanja na Ustna.pdf
14 30) Binomska vrsta, binomski koeficienti ( ) 1x m = m n xn =1m x mm 1 2! oznaka m mm 1m 2... m n1 = n n! lastnosti binomskega simbola: x 2 mm 1m 2 3! 1. če je m N potem je m m m 1 m 2...m n1 n = n! m n = m! n!m n! m n 2. m n = m 3. vemo, da je 1x n = 4. m 0 =1 m n xn x 3..., ker je m N, je m n =0 za vsak nm 31) Fouriejeva vrsta (definicija, konvergenca) (113) DEFINICIJA: Funkcija f R R je periodična s periodo p, če je f x= f x p za vsak x R DEFINICIJA: Funkcijsko vrsto a 0 a n cos nxb n sin nx= 1 f x0 f x 0 2 trigonometrijska vrsta Za vse tiste x -e, kjer konvergira je periodična s periodo 2 Naj bo f periodična funkcija s periodo 2 Denimo, da jo lahko razvijemo v trigonometrijsko vrsto f x=a 0 a 1 cos xa 2 cos 2x b 1 sin xb 2 sin 2x...=a 0 a n cosnxb n sin nx Zanimajo nas koeficienti dobimo jih z integriranjem na intervalu [ ] a 0 = 1 f x dx 2 a n = 1 f xcosnxdx b n = 1 f xsin nx dx an cosnxb n sin nx -fouriejeva vsota funkcije f f x=a 0 n =0 IZREK O KONVERGENCI FOURIERJEVE VRSTE Naj bo f odsekoma zvezna periodična funkcija s periodo 2 za katero velja, da ima povsod levi in desni odvod. Potem lahko f razvijemo v Fourierovo vrsto f x=a 0 an cosnxb n sin nx, ki je konvergentna. Leva stran je enaka desni za vsak x razen za tiste x kjer funkcija f ni zvezna. Za te vrednosti spremenljivke je desna stran enaka aritmetični sredini leve in desne limite funkcije f
15 32) Fourierova vrsta s poljubno periodo (116) f x=a 0 T a 0 = 1 f x dx 2 T T T a n = 1 T T T b n = 1 T T a n cos n x T b n x nsin T f xcos n x T f xsin n x T dx dx 33) Sinusna Fouriejeva vrsta, kosinusna Fouriejeva vrsta (118) a) Razvoj lihe funkcije f x s periodo 2 v sinusno fourierjevo vrsto f x= b n sin nx b n = 2 sin nxdx a 0 =a n =0 0 b) Razvoj sode funkcije f x s periodo 2 v kosinusno fourierjevo vrsto f x=a 0 a n cosnx a 0 = 1 f x dx b n =0 0 a n = 2 f xcos nxdx Če je f x liha, potem so vse funkcije f(x) cos(x), integral lihe funkcije na intervalu [,] pa je 0 Če je f x soda, potem so vse funkcije f xsin nx lihe in odpadejo Če je funkcija definirana na končnem intervalu (npr [0,] )jo lahko razširimo v sodo ali liho periodično funkcijo Potem sodo funkcijo razvijemo v cosinusno Fourierjevo vrsto, liho pa v sinusno. 34) Funkcija dveh spremenljivk (definicija, zveznost, limita, graf) (125) DEFINICIJA: Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki x, y ravninske množice D priredi realno število z= f x, y torej preslikava f : D R 2 R Množica D je definicisko območje funkcije f ZVEZNOST: Funkcija f : DR je zvezna v točki x 0, y 0, če za vsak 0 obstaja tak 0, da je f x 0, y 0 f x, y, čim je x 0 x 2 y 0 y 2 2 LIMITA: Število L je limita funkcije f x, y, ko gre točka x, y proti točki a,b L= lim f x, y ; x, y a, b če obstaja za vsak 0 tak 0, da je f x 0, y 0 f x, y če je 0 x a 2 y b 2 2 GRAF: Naj bo f : DR ; D R 2 funkcija dveh spremenljivk potem je njen graf f ={ x, y, f x, y;x, y D} ploskev v prostoru R 3 [pravokotna projekcija te ploskve na ravnino z=0 je definicijsko območje funkcije D ; pravokotna projekcija na os z pa je njena zaloga vrednosti]
16 35) Odvod funkcije več spremenljivk (137) Naj bo f : DR ; D R 2 zvezna funkcija, če obstaja limita lim h0 f xh, y f x, y h imenujemo parcialni odvod funkcije f po spremenljivki x in označimo f x x, y= f x, y x Podoben je parcialni odvod funkcije f po spremenljivki y f y x, y= f yx, y=lim h 0 f x, yk f x, y k DEFINICIJA: Funkcija f je diferencialna v točki a,b če obstajata parcialna odvoda A= f x a,b in B= f y a, b in je f ah,bk f a,b AhBk lim =0 h,k 0 h 2 k 2 IZRAZ: d f = f x dx f y dy imenujemo totalni diferencial TRDITEV: Če je funkcija f v točki a,b diferenciabilna potem je: f ah,bk f a, b f x h f y k 36) Posredno odvajanje: z=zu,v; u=ux, y; v=v x, y ; z x, z y (141) verižno pravilo Naj bo funkcija z= f x, y diferenciabilna, spremenljivki x in y pa naj bosta odvedljivi funkciji parametra t ;torej x= xt in y= yt Potem je tudi z= f xt, yt posredna funkcija parametra t in njen odvod je: dz f xth, yth f xt, yt h dt =lim h 0 Naj bo x= xth xt in y= yth y t potem je: dz dt =lim h 0 =lim h 0 lim h 0 f x x, y y f x, y f =lim x x y y x 2 y 2 = h h 0 h x f x h f y y h 1 h x 2 y 2, ker sta xt in yt odvedljivi funkciji x h =x ' t y in lim h 0 h = y' t,ker pa je f diferenciabilna je lim =0 h0 in =lim 1 x 2 y 2 =lim ± x 2 y 2 =0 h 0 h h 0 dz Od tod sledi: dt = f x ' t f y x x 37) Višji parcialni odvodi ( ) Naj bo f funkcija dveh spremenljivk, če njena parcialna odvoda obstajata in sta zopet parcialno odvedljiva ju lahko odvajamo in dobimo parcialne odvode drugega reda. Postopek lahko nadaljujemo in dobimo parcialne odvode višjega reda. Če druga mešana parcialna odvoda f xy in f yx obstajata in sta zvezni funkciji sta enaka. 38) Taylorjeva vrsta funkcije dveh spremenljivk (147) Funkcijo dveh spremenljivk lahko razvijemo po Taylorjevi formuli Funkcija f x, y naj bo n1 krat zvezno parcialno odvedljiva na obe spremenljivki v okolici točke a,b v tem primeru velja: f ah,bk= f a,b[ f x a,bh f y a,bk ]... 1 n! [ i=0 R n = 1 n1! i=0 n1 n1 i n1 f n1 i x i y a h,b khn1 i k i n n i in 0 1 i] n f n i x i y a,b hn i k R n jo kjer je
17 39) Izrek o implicitni funkciji (149) Naj bo F(x,y) zvezna in diferenciabilna funkcija v okolici točke a,b in naj bo F a,b=0 če F y a,b 0 obstaja odvedljiva funkcija y= yx, ki je definirana v neki okolici točke a R in dy zadošča pogojema: ya=b, F x, yx=0 dx = F x F y *Izrek o implicitni funkciji velja tudi za funkcije več spremenljivk, ki zadoščajo ustreznim pogojem. V primeru, da je z=z x, y podana implicitno F x, y, z x, y=0 Z x = F x F z Z y = F y F z 40) Ekstrem funkcije dveh spremenljivk (152) Funkcija f = f x, y ima v točki a,b maximum, če velja: f ah,bk f a,b0 Funkcija ima v točki a,b minimum, če velja f ah,bk f a,b0 Če je v točki a,b ekstremi potem sta parcialna odvoda funkcije v tej točki enaka nič. f x a,b=0 in f y a,b=0 Ta pogoj je potreben ne pa zadosten za nastop ekstrema. Če sta v točki a,b oba parcialna odvoda enaka 0, potem to točko imenujemo stacionarna točka, ki je kandidat za ekstrem. Zadosten pogoj za nastop ekstrema: naj bo a,b stacionarna točka dvakrat zvezno parcialno odvedljive funkcije f x, y naj boda A= f xx a,b, B= f xy a,b in C= f yy a,b Velja: A h 2 2 B hkc k 2 = A hb k2 A C B 2 k 2 A Sledi: če je AC B 2 0 je izraz pozitiven a) A0 je celoten izraz pozitiven, torej je v a,b minimum b) A0 je celoten izraz negativen, torej je v a,b maximum c) če je AC B 2 0 prvi različnih h in k je celoten izraz pozitiven ali negativen, ni ekstrema ampak je sedlo. d) če je AC B 2 =0 potem nam drugi odvod ne pove dovolj. 41) Hessejeva matrika (154) Hessejeva matrika je matrika drugih parcialnih odvodov H x, y= [ f xx f yx f xy f yy] običajno je f xy = f yx H x, y simetrična matrika H a,b= [ A B B C] in AC B2 =det H a,b naj bo f funkcija spremenljivk x in y in naj bo a,b stacionarna točka, torej: f x a,b=0 in f y a,b=0 Potem velja: če je det H a, b0 je v a,b ekstrem, in sicer a) f xx a, b0 je ekstrem minimum b) f xx a,b0 je ekstrem maximum če je det H a, b0 je v a,b sedlo če je det H a, b=0 ne vemo 42) Vezani ekstrem funkcije dveh spremenljivk (159) Naj bo funkcija f x, y definirana na območju D R 2 in g x, y=0 implicitna enačba neke krivulje v D Vezani ekstrem je ekstrem funkcije f x, y ne množici točk, ki zadoščajo pogoju f x, y=0 Drugače povedano vezani ekstrem je ekstrem funkcije f nad dano krivuljo.??lagrangova METODA?? prepiši z neta
18 43) Diferencialna enačba (definicija, začetni problem, robni problem) (163) Navadna diferencialna enačba je zveza med neodvisno spremenljivko x odvisno spremenljivko y in njenimi odvodi F x, y, y',..., y n =0 Parcialne diferencialne enačbe povezujejo dve ali več neodvisnih spremenljivk, odvisno spremenljviko in nejne parcialne odvode. Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda v enačbi npr. diferencialna enačba 1. reda: F y', y, x=0 Rešitev diferencialne enačbe v kateri nastopa poljubna konstanta imenujemo splošna rešitev diferencialne enačbe. Točno določeno rešitev pa imenujemo partikularna rešitev. Partikularno rešitev dobimo tako, da podamo še dodaten pogoj Začetni pogoj yx= y 0 Robni pogoj (npr. strmina je v krajiščih vpeta) 44) Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami (170) y' = f x, y razpade na y' =g x h y, ker je y' = dy dx dobimo dy h y =g xdx nato ločeno integriramo obe strani enačebe dy h y = g x dxc 45) Linearna diferencialna enačba 1. reda (homogena, nehmogena) (173,174) DEFINICIJA: Diferencialna enačba oblike y' f x y=g x se imenuje linearna diferencialna enačba prvega reda. Odvisni spremenljivki y' in y nastopata linarno funkciji f in g kot funkciji spremenljivke x pa sta poljubni če je g x=0 za vsak x potem je enačba y' f x y=0 HOMOGENA: y' = f y x uvedba nove spremenljivke: u= u y' =u' xu y NEHOMOGENA LINEARNA ENAČBA: y' f x y±g x Rešitev je oblike yx= y H x y P x, pri čemer y H x je rešitev homogenega dela enačbe, y P x pa neka partikularna rešitev, ki jo dobimo z variacijo konstante. 46) Bernoullijeva diferencialna enačba (177) enačbo oblike y' f x y=g x y n kjer sta f x in g x zvezni funkciji spremenljivke x in n 0 ter n 1 imenujemo Bernoullijeva enačba z vpeljavo nove odvisne spremenljivke jo lahko prevedemo na linearno enačbo *delimo z y n, da jo prevedemo v linearno enačbo y n y' f x y n1 =g x *vpeljemo novo odvisno spremenljivko z predpisom z= y n1 odvajamo z '= n1 y n y ' ter vstavimo v prvotno enačbo, da dobimo: z ' n1 f z= n1 g 47) Eksaktna diferencialna enačba (178) Vsako diferencialno enačbo y' = f x, y lahko zapišemo v obliki M x, ydxn x, ydy=0 Funkciji M in N v enačbi sta funkciji dveh neodvisnih spremenljivk. DEFINICIJA: Diferencialna enačba M x, y dxn x, ydy=0 je eksaktna, če sta M in N obe zvezno parcialno odvedljivi na obe spremenljivki in velja, da je M y = N x pri eksaktni enačbi lahko z integrigiranjem najdemo tako funkcijo F x, y,da je F x =M F y = N Tako je na levi strani M x, y dxn x, ydy totalni diferencial funkcije F x, y in enačbo lahko zapišemo kot df x, y=0 Splošna rešitev eksaktne diferencialne enačbe je tako implicitno podana z enačbo F x, y=c
19 48) Vpeljava parametra v diferencialno enačbo: F x, y' =0 ; x= y' - Enačba ne vsebuje odvisne spremenljivke y F x, y' =0 ; včasih y' ne moremo eksplicitno izraziti z x, lahko pa obratno izrazimo x z y' torej x= y' to enačbo diferenciramo in vpeljemo parameter p= y ' dx= p dp, ker pa je dy= pdx, je tudi dy= p' pdp torej y p= p p dp Rešitev v parametrični obliki je: x p= p ; y p= p ' p dp - Enačba ne vsebuje x Tudi enačbo F y, y' =0 lahko včasih rešimo tako, da izrazimo y kot funkcijo y' y= y' diferenciramo, delimo z y', vpeljemo y' = p in upoštevamo, da velja zveza dx= dy ' p = dp, integriramo in dobimo rešitev, spet v parametrični obliki p p ' p x= dp, y= p p 49) Ortagonalne trajektorije (186) DEFINICIJA: Naj bo podana enoparametrična družina krivulj v ravnini. Potem krivuljo, ki je pravokotna na vse krivulje dane družine imenujemo ortagonalna trajektorija. Ortagonalna trajektorija ima smerni koeficient tangente v dani točki enak 1/k pri čemer je k smerni koeficent prvotne krivulje v dani točki. Če torej za družino krivulj velja diferencialna enačba y' = f(x,y), potem za ortagonalne trajektorije velja 1 diferencialna enačba: y ' = f x, y oz y' = 1 f x, y 50) Eksistenca in enoličnost rešitve diferencialne enačba y' = f x, y, y x 0 = y 0 (190) ~problem ima lahko eno rešitev, neskončno rešitev ali pa rešitve nima EKSISTENČNI IZREK: Naj bo dan začeni problem y' = f x, y in y x 0 = y 0 Če je f zvezna in omejena na nekem območju Q={ f x, y; x x 0 a, y y 0 b} torej f x, y M ; x, y Q potem rešitev obstaja, če je dodatno omejen tudi parcialni odvod na tem območju, torej f y x, y N je rešitev natanko ena. Dobimo jo lahko s pomočjo picardove iteraijske metode: ynx= y 0 0 x f t, y n 1 t dt f x 1, y 1 f x 2, y 2 M y 1 y 2 lipschitzov pogoj IZREK O ENOLIČNOSTI REŠITVE če so vsi pogoji eksistenčnega izreka izpolnjeni je rešitev začetnega problema natanko določena na intervalu [ x 0, x 0 ] kjer je manjši od števil a in b/m in 1/ N EKSISTENČNI IZREK: Funkcija f x, y naj bo definirano zvezna in omejena z f x, y M v vseh točkah pravokotnika, če za { f x, y; x x 0 a, y y 0 b} obstaja taka konstanta N, da je f x 1, y 1 f x 2, y 2 N y 1 y 2 za poljubni točki x, y 1 in x, y 2 iz Q, ima začetni problem vsaj eno rešitev yx, ki je definirana na intervalu x 0, x 0, kjer je manjša od števil a in b/m lipschitzov pogoj 51) Splošna rešitev linearne diferencialne enačbe drugega reda (194) F x, y, y', y' '=0 splošna rešitev je dvoparamtrična družina funkcij y= yx,c 1,C 2 Da bi lahko določili vrednost obeh konstant potrebujemo 2 dodatna pogoja. Začetni pogoj: yx 0 = y 0 : y ' x 0 =z 0
20 52) Linearna diferencialna enačba drugega reda homogena s konstantnimi koeficienti (201,208) IZREK: Splošna rešitev linearne diferencialne enačbe 2.ga reda homogene y' ' f 1 x y ' f 0 x y=0 potem je enaka y H =c 1 y 1 c 2 y 2 pri čemer sta y 1 in y 2 linearno neodvisni rešitvi diferencialne enačbe: y' '= f 1 x y ' f 0 x y=0 IZREK: Linearno diferencialno enačbo oblike y' 'a y' by=0 imenujemo homogena linearna diferencialna enačba s konstantnimi koeficienti. Rešitev poiščemo z nastavkom: y=e r x,nastavek odvajamo, vstavimo v enačbo in dobimo: r 2 a rb=0 to je karakteristična enačba (lahko ima 2 realni rešitvi, 1 realno ali konjugiran par kompleksnih števil) a) DVE RELANI REŠITVI: r 1 r 2 y 1 =e r 1x y 2 =e r 2 x y H =C 1 e r x 1 C 2 e r 2 x b) ENA RELANA REŠITEV: r 1 =r 2 y 1 =e r 1x y 2 =e r 1x y H =C 1 e r x 1 C 2 e r 1 x c) DVE KOMPLEKSNI REŠITVI: r 1 = pi q r 2 = p i q y 1 =e r x 1 pi q x =e y 2 =e r x 2 p i qx =e Splošna rešitev: y H =k 1 e r 1 x k 2 e r 2x =k 1 e px e iqx k 2 e px e iqx =e px k 1 cos qxi sin qxk 2 cosqxi sin qx= =e px C 1 cosqxc 2 sinqx= y H 53) Determinanta Wronskega (linearna odvisnost funkcij) (199, 209) DEFINICIJA: Naj bosta y 1 in y 2 funkciji. Potem definiramo determinanto Wronskega: W x= [ y x y 1 2 y 1 ' x y 2 ' x] = y x y ' x y x y ' x funkcijska determinanta TRDITEV: Naj bosta y 1 in y 2 rešitvi homogene diferencialne enačbe y' ' f 1 x y ' f x y=0 če je W x 0 za vsak x potem sta y 1 in y 2 linearno neodvisno neodvisni rešitvi. Če obstaja nek x 0, tako da je W x 0 =0, potem je W x=0 za vsak x. V tem primeru sta rešitvi y 1 in y 2 linearno odvisni. 54) Linearna diferencialna enačba s konstantimi koeficienti, 2. reda, nehomogena (212) Splošna rešitev enačbe y' ' x f 1 x y' x f 0 x y x=r x je yx= y n x y p x pri čemer je y H rešitev homogenega dela; y P pa partikularna rešitev. Partikularno rešitev poiščemo na 2 načina: a) z nastavkom, če je r(x) lepa funkcija: - če je r x polinom, za nastavek vzamemo polinom iste stopnje - če je r x=sin x ali cos x - če je r x=e ax ; y P A e kx b) z metodo variacije konstante 55) Nehomogena linearna diferencialna enačba 2. reda (212)
21 56) Eulerjeva diferencialna enačba 2. reda (205) x 2 ' ' a x y 'b y=0 Rešimo jo tako, da uvedemo novo spremenljivko x=e t in jo nato prevedemo na enačbo s konstantnimi koeficienti. ~poiščemo rešitve karakteristične enačbe y=e t 2 a 1b=0 a) DVE RAZLIČNI REŠITVI 1 in 2 : yt=c 1 e 1t C 2 e 2t yx=c 1 x 1 C 2 x 2 b) DVE ENAKI REŠITVI 1 in 2 : yx=c 1 x 1 C 2 ln x x 2 c) KOMPLEKSNI PAR: 1 = pi q 2 = p i q yx=x P C 1 cosqln xc 2 sin q ln x 57) Reševanje nehomogena linearne diferencialne enačbe s konstantimi koeficienti višjega reda s pomočjo nastavka 58) Sistem diferencialnih enačb (223) Sistem diferencialnih enačb 1. reda za dve neznai funkciji y 1 x in y 2 x izgleda takole y 1 '= f 1 x, y 1, y 2 y 2 ' = f 2 x, y 1, y 2 Zapišemo ga lahko tudi v vektorski obliki, če je yx= [ y 1 y 2 x] in yx, y, y = 1 2 [ f x, y, y 1 2 f x, y 1, y 2 ] je y' = f x, y 1, y 2 Tak sistem je ekvivalenten eni sami diferencialni enačbi 2. reda, ki jo dobimo tako, da prvo enačbo odvajamo po neodvisni spremenljivki x y 1 ' '= f 1 x f 1 y y 1 ' f 1 y 1 y 2 ' 2 Iz prve enačbe sistema izrazimo y 2 in vstavimo namesto y 2, tako da dobimo diferencilano enačbo 2. reda y 1 ' '=F x, y 1, y 1 ' za y 1 x
C:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večLinearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s
Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži večNEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic
NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večUvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večFGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večMATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140
MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večNamesto (x,y)R uporabljamo xRy
RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večFGG02
6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti
Prikaži večOSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk
OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večOdvodFunkcijEne11.dvi
III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo
Prikaži večBojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih
Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večŠtudij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 6/7 Vje iz MATEMATIKE 9. Integrl Določeni integrl: Določeni integrl: Nj bo f : [, b] R funkcij. Intervl [, b] rzdelimo n n podintervlov z delilnimi točkmi: = x
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Ljubljana, 2004 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večUM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del
UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del 13. 6. 2016 Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani
Prikaži večLehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM
Prikaži večIzpit iz GEOMETRIJE 17. junij 2004 Vpisna ²tevilka: Vrsta: Ime in priimek: Sedeº: 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, prem
17. junij 2004 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, premice z = 0 v to ki (1, 1, 0) in premice y = 0 v to ki (1, 0, 1). 2. V projektivni ravnini so dane premice p 1 : 4x 3y z
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večBojan Magajna Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo sin πz = πz n=1 (1 z2 n 2 ) DMFA založništvo
Bojan Magajna Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo sin πz = πz n=1 (1 z2 n 2 ) DMFA založništvo Kazalo Predgovor 9 1. Osnovno o diferencialnih enačbah 13 1.1. Nekatere enačbe
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večUvodno predavanje
RAČUNALNIŠKA ORODJA Simulacije elektronskih vezij M. Jankovec 2.TRAN analiza (Analiza v časovnem prostoru) Iskanje odziva nelinearnega dinamičnega vezja v časovnem prostoru Prehodni pojavi Stacionarno
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večPriloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito
Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito KAZALO 1 UVOD... 3 2 IZPITNI CILJI... 4 3 ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA... 5 3.1 Shema izpita... 5 3.2 Tipi nalog in vrednotenje...
Prikaži večDel 1 Limite
Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.
Prikaži večNumeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k
Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večNaloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Tr
Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Trditev: idealni enosmerni tokovni vir obratuje z močjo
Prikaži večLaTeX slides
Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večINDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n
INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ: matematika - računalništvo NEŽKA RUGELJ
Prikaži večUČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR , Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi ci
UČNI NAČRT. Gimnazija, 2. letnik, 2016/2017 Ime in Priimek: MATEJ MLAKAR 1.9.2016, Pregledal-a: 1: Splošni cilji / kompetence predmeta: S splošnimi cilji opredelimo namen učenja in poučevanja matematike.
Prikaži večPowerPoint Presentation
I&R: P-X/1/15 operatorji, ki jih uporabljamo za delo z vektorskimi veličinami vektorski oklepaj [ ] ločnica med elementi vrstičnega vektorja je vejica, ali presledek ločnica med elementi stolpčnega vektorja
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži več