resitve.dvi

Transkripcija

1 FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer o naloge. Nalog je 5 in vaka je vredna 2 točk, torej kupaj točk. Naloga a. b. Skupaj Skupaj

2 . (2) Funkcija f(x) na intervalu [ π,π] naj bo definirana z inx za π < x < π 2 2 za x π f(x) 2 2 za x π 2 2 icer. Graf te funkcije je na podnji liki. y π π x a. () Pokažite, da je f(x) 2 inx π n2 2n co(nπ/2) n 2 in(nx). Utemeljite, zakaj velja zgornji enačaj za ve x [ π,π]. Rešitev: Funkcija f(x) je liha, zato je a n za n,,... Za n dobimo b π Za n > računamo π/2 π/2 b n π Pri vtavljanju upoštevamo in 2 x dx π/2 π/2 π/2 π/2 π/2 inxinnx dx ( co(2x)) dx 2. [co((n )x) co((n+)x)] dx π [ in((n )x) in((n+)x) ] π/2 π n n+ in((n )π/2) co(nπ/2) in((n + )π/2) co(nπ/2) in 2

3 Ko izpotavimo, dobimo b n π ( co(nπ/2) ( n + 2n )) co(nπ/2) n+ π n 2. Fourierova vrta konvergira v vaki točki proti funkciji f(x), ker je f odekoma zvezna in odkoma zvezno odvedljiva in velja za ve x [ π,π] (f(x+) + f(x ))/2 f(x). Lihot in a n : 2 točki. b : 2 točki. Razcep produkta: 2 točki. b n: 2 točki. Konvergenca: 2 točki. b. () Uporabite zgornjo Fourierovo vrto za izračun vote nekončne vrte k ( ) k 2(4k +2) (4k +2) Rešitev: V Fourierovo vrto zgoraj vtavimo x π/4. Na levi dobimo in(π/4) 2/2. Na deni dobimo π n2 2n co(nπ/2) n 2 in(nπ/4) 2 2 ( π ) Torej je vota vrte enaka /4. Sklic na konvergenco za ve x: 2 točki. x π/4: 2 točki. Otanejo amo lihi členi: 2 točki. Urejanje: 2 točki. Vota nekončne vrte: 2 točki. 3

4 2. (2) Naj bo Definiramo f(x,y) ( co(xy))e y y F(x) f(x,y)dy.. a. () Pokažite, da je Utemeljite vaše korake. F (x) x +x 2. Rešitev: Ker je integral f x (x,y) in(xy)e y, f x (x,y)dy enakomerno konvergira za ve x, zato je funkcija F(x) odvedljiva in velja Računamo F (x) f x (x,y)dy I e y in(xy)dy e y in(xy) +x ( x e y co(xy) x x x 2 I. e y in(xy)dy. e y co(xy)dy ) e y in(xy)dy Sledi Sledi I x +x 2. F (x) x +x 2. Parcialni odvod: 2 točki. Omejenot: 2 točki. Enakomerna konvergenca: 2 točki. Integriranje per parte: 2 točki. Rezultat: 2 točki. 4

5 b. () Izračunajte F(x). Utemeljite vaše korake. Rešitev: Funkcija co(xy) y je omejena in ima limito, ko y. To pomeni, da integral enakomerno konvergira za ve x, zato je zvezna funkcija za ve x. Za x dobimo F(). Sledi F(x) F()+ x F (u)du 2 log(+u2 ) x 2 log(+x2 ). Zveznot v x : 2 točki. Newton-Leibniz: 2 točki. Vrednot v x : 2 točki. Integriranje: 2 točki. Rezultat: 2 točki. 5

6 3. (2) Funkciji y(t) in z(t) za t zadoščata enačbama Predpotavite, da je y() in z(). a. () Pokažite, da velja y (t) 2y(t) z(t)+ z (t) 4y(t) 2z(t)+t Ly() 2Ly() Lz()+ Lz() 4Ly() 2Lz()+ 2 + Rešitev: Uporabimo Laplaceovo tranformacijo in upoštevamo pravila. Tranformacija prve enačbe: 2 točki. Tranformacija druge enačbe: 2 točki. Upoštevanje pravila za odvode: 2 točki. Tranformaciji in t: 2 točki. Rezultat: 2 točki. b. () Določite funkciji y(t) in z(t). Rešitev: V prvem delu naloge mo dobili item enačb za Laplaceovi tranformaciji. Rešimo item linearnih enačb in dobimo Ly() in Lz() Vemo, da je inverz n enak Preberemo t n (n )!. y(t) t3 6 +t2 in z(t) t t2 2 2t+. Opažanje, da gre za item linearnih enačb: 2 točki. Rešitev itema: 2 točki. Razvrtitev po potencah: 2 točki. Inverzne Laplaceove tranformacije: 2 točki. Rezultat: 2 točki. 6

7 4. (2) Naj bo funkcija f(t) dana kot f(t) { 2 t 4 za 2 t 2 icer. a. () Pokažite, da je Ff() ( ) 2 in. Rešitev: Funkcija je oda. Računamo Ff() f(t)e it dt (2 t )co(t)dt (2 t)co(t)dt ( 2 (2 t)in(t) + ( co(t) ) co(2) 2 2 co2 +in in2 2 in in(t) dt ) Definicija Fourierove tranformacije: 2 točki. Sodot: 2 točki. Meje integriranja: 2 točki. Per parte: 2 točki. Adicijki izrek in rezultat: 2 točki. b. () Z uporabo inverzne tranformacije izračunajte ( ) 2 in e it d. 7

8 Utemeljite še, da je ( ) 2 in d π. Rešitev: Funkcija F f() je zvezna in zvezno odvedljiva, zato je po inverzni formuli e it Ff()d f(t) za vak t. Vtavimo in ledi ( ) 2 in e it d f(t). Če vtavimo t, je e it, torej je ( in ) 2 d f() 2. Sledi ( ) 2 in d π. Inverzna formula: 2 točki. Upoštvanje integrabilnoti: 2 točki. Konvergenca inverzne formule po točkah: 2 točki. t : 2 točki. Rezultat integrala: 2 točki. 8

9 5. (2) Naj bo f(x) periodična funkcija periodo, ki je na intervalu [ π,π] dana z f(x) co(µx). a. () Dokažite, da je Fourierova vrta za f(x) enaka in(µπ) µπ + 2µin(µπ) π n ( ) n co(nx) µ 2 n 2. Utemeljite, zakaj ta Fourierova vrta konvergira proti f(x) za vak x. Rešitev: Najprej ugotovimo, da je f(x) oda funkcija, torej je b n za ve n. Računamo in a π a n π π π π π π co(µx)dx 2in(µπ) µπ coµxconx dx [co(µ+n)x+co(µ n)x] dx π [ in(µ+n)x + in(µ n)x ] π µ+n µ n π 2inµπ conπ + ) µ n (2inµπconπ µ+n ( )n inµπ π 2( )n inµπ π ( µ+n + µ n ) µ µ 2 n. 2 Funkcija f(x) je zvezna in odekoma zvezno odvedljiva, Fourierova vrta torej konvergira proti f(x) za ve x. Ugotovitev, da je funkcija oda in b n : 2 točki. Predtavitev coµxconx koinui: 2 točki. Izračun b n: 4 točke. Utemeljitev konvergence: 2 točki. b. () Če v Fourierovo vrto v a. vtavimo x π, predpotavimo µ (,) in delimo inµπ, dobimo ctg(µπ) µπ + 2 π n µ µ 2 n 2. 9

10 Pokažite, da za µ (/2 α,/2 + α), α < /2 vrta na deni enakomerno konvergira vµ. Zintegriranjem počlenih pokažite, dajeza x (/2 α,/2+α) log(inπx) log(2x)+ n [log( x2 ] n 2) log( 4n 2). Rešitev: Dovolj je pokazati, da je na danem intervalu funkcijka vrta majorizirana konvergentno vrto. Ker je µ < dobimo za n > µ µ 2 n 2 n 2. Vrta na deni konvergira. Zato lahko integriramo členoma. Dobimo x /2 ctg(µπ)dµ π log(inπx) π log(2x)+ π π log(2x)+ π n n x 2µ /2 µ 2 n dµ 2 [log( x2 ] n 2) log( 4n 2). Enakomerna konvergenca: 4 točke. Integriranje leve trani: 2 točki. Integriranje dene trani: 2 točki. Ureditev: 2 točki.