Mastermind

Transkripcija

1 Logika & razvedrilna matematika Spoštovani, Pred vami je druga številka. letnika revije Logika in razvedrilna matematika. olj kot na vsebino te številke, ki se ne razlikuje veliko od vsebin številk zadnjih nekaj let, bi vas radi opozorili na starejše številke revije, ki so zdaj dostopne na spletu, bodisi v celoti, bodisi le delno. Tule je seznam teh številk: letnik dostopne številke.,,.,,,.,,,,,.,,,.,,..-.,,, o teh številk pridete prek povezave: Naloge, ki jih najdete tu, bodo lahko služile za pripravo na tekmovanje iz logike ( ), iz razvedrilne matematike ( ), na tekmovanje Matemček in na tekmovanje za priznanje logične pošasti ( ). Še bolj so te naloge koristne za vsakdanje urjenje možganov, ki tako kot telo potrebujejo nekaj vsakdanje telovadbe, potrebujejo kakšno logično nalogo za jutranji zagon naših misli. Na spletni strani logika.si boste našli še vrsto člankov iz preteklih številk revije, ki dajejo nekaj teoretičnih izhodišč in definicij, povezanih z logiko, ter več zbirk tipičnih logičnih nalog. Ustrezna povezava je: Gradiva v zvezi s poliedri boste našli na naslovu:

2 Logika & razvedrilna matematika arvni sudoku V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil..

3 Logika & razvedrilna matematika.

4 Logika & razvedrilna matematika Latinski kvadrati V n n kvadratkov moraš vpisati začetne številke,,, tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu nastopalo vseh n številk.

5 Logika & razvedrilna matematika Sudoku s črkami V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.

6 Logika & razvedrilna matematika Futoshiki V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.

7 Logika & razvedrilna matematika Lastnosti lika Ugotoviti moramo lastnosti lika. Lik ima obliko (trikotnik, kvadrat, petkotnik), velikost (majhen, srednji, velik), barvo (rumen, oranžen, moder) in debelino (tanek, debel). Lahko si izberemo tudi le nekaj prvih lastnosti. ano je nekaj stavkov v simbolni obliki in njihova resničnostna vrednost (R za resničen in N za neresničen). Stavki so lahko enostavni, na primer, Rumen pomeni, da je lik rumen, ali sestavljeni, na primer, Velik Moder pomeni, da je lik velik in moder; Petkotnik Tanek, pomeni, da je lik petkotnik ali tanek; ebel Oranžen pomeni, da je lik ali debel ali oranžen; "Tanek Rumen" pomeni: če je lik tanek, potem je rumen; "Moder Velik" pomeni: lik je moder, če in samo če je velik).

8 Logika & razvedrilna matematika oloči razpored J SNO O. J SOS O. N N J LVO O. J SOS O. J LVO O. R N N J SNO O. J SNO O. J LVO O. J SNO O. N R R N J SNO O. N J LVO O. N J SNO O. R J SNO O. R J LVO O. N J LVO O. R J LVO O. R J SNO O. R J LVO O. J LVO O. J LVO O. J SOS O. J SOS O. R R N N R J SNO O. J SOS O. J LVO O. J LVO O. J SNO O. R N N N R J LVO O. J SOS O. J SNO O. J SNO O. J LVO O. N N R R N

9 Logika & razvedrilna matematika 9 Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo zaporedju števil pod njim.,,,,,,,,,,, 9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9,,,,,,,,,,,,, 9,,,,,, 9,,,,,,,

10 0 Logika & razvedrilna matematika Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od do 9 tako, da je vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne

11 Križni produkti Logika & razvedrilna matematika Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od do 9 tako, da bo zmnožek števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zač števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne

12 Logika & razvedrilna matematika Labirint na kocki Poveži točki na kocki:

13 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na enostavnih poliedrih Poveži točki na poliedru:

14 Logika & razvedrilna matematika Poveži sličici, ki pripadata isti grupi 0 9

15 Logika & razvedrilna matematika Poveži sličici, ki pripadata isti grupi a) b)

16 Logika & razvedrilna matematika Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka??, da bosta stranici pripadali istemu robu poliedra? ?? ?? 9???? 0?? 9 0?? 9???? 9?? 9???????? 9?? 9 9??

17 Logika & razvedrilna matematika b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka??, da bosta oglišči pripadali istemu oglišču poliedra???????????????????????????????

18 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na robovih poliedra V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo pot od oranžne do modre točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima debelejša črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra

19 Logika & razvedrilna matematika 9 Večdelni labirinti na zemljevidu...

20 0 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na zemljevidu...

21 Odstranjene kocke Logika & razvedrilna matematika an je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?

22 Logika & razvedrilna matematika Kocki določi mrežo Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.

23 Labirint v kvadru Logika & razvedrilna matematika Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja. Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan belo. Poišči najkrajšo pot od oddelka z do oddelka z! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili. Prvi oddelek je že označen z, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa s številom, večjim za.

24 Logika & razvedrilna matematika Labirint na Riemannovi ploskvi Imamo več listov, ki jih razlikujemo po zaporedni številki od leve proti desni. Vsak list ima obliko podkve, sredina pa je razrez. Vsi kvadratki enega lista so povezani, prehod med njimi pa nam prepreči odebeljena črta. Kako je s prehajanjem z nekega lista na drugega? To so prehodi po horizontali. Recimo, da smo se znašli na desnem zgornjem kvadratku drugega lista. Oznaka sosednjega pravokotnika je - to pomeni, da lahko nadaljujemo na levem zgornjem kvadratku četrtega lista. Tak prehod pa ni možen, če je med kvadratkom in sosednim pravokotnikom odebeljena črta. Poiskati moramo pot od črne do sive pike.

25 Pri barvnem labirintu so listi označeni z barvami. Logika & razvedrilna matematika

26 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na ploskvah Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med sosednimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).

27 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na projekcijah teles Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosedne mejne ploskve.

28 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na mreži valja in stožca...

29 Logika & razvedrilna matematika 9 Poišči imena likov Poišči imena likov in analiziraj neodvisnost pogojev.. Lik je levo od. N. Lik je manjši kot. N. Lik je majhen in lik ni trikotnik. N. Lik je desno od. N. Lik je desno od. R. Lik je petkotnik, če in samo če lik ni petkotnik. N. Če lik ni velik, potem je lik majhen. R. Lik je desno od. N. Lik je pod. R. Lik je večji kot. N. li je lik zelen ali lik ni kvadrat. R. Lik je manjši kot. N. Lik je manjši kot. N. Lik je večji kot. N. Lik ni srednje velikosti in lik je majhen. R. Lik ni kvadrat ali lik ni trikotnik. N

30 0 Logika & razvedrilna matematika naliziraj pogoje nalog obro definirana naloga je naloga, pri kateri so njeni pogoji potrebni in zadostni za njeno rešitev. To pomeni, da noben pogoj ni odveč in da ima naloga enolično rešitev. Pri zastavljeni nalogi imamo lahko več možnosti: Naloga nima rešitve, pogoji so protislovni. Naloga ima več rešitev, to je, pogoji niso zadostni (za enolično rešitev). Naloga ima enolično rešitev, vendar pogoji niso potrebni (vsaj en pogoj bi lahko izpustili in bi naloga še vedno imela enolično rešitev). Naloga ima enolično rešitev in pogoji so potrebni (neodvisni) in seveda zadostni. Naloga je dobro definirana. V naslednjih nalogah moramo ugotoviti, kako je s pogoji naloge. Poiskati moramo imena,,, likov, ki so označeni z,,,, če so izpolnjeni pogoji na desni strani slike.. Lik je levo od. N. Lik je petkotnik, če in samo če je lik oranžen. N. Lik ni trikotnik. N. Če je lik kvadrat, potem je lik petkotnik. R. Lik je nad. R. Lik je kvadrat ali je lik trikotnik. N

31 Logika & razvedrilna matematika Protislovni pogoji V naslednjih nalogah so pogoji protislovni. V rešitvah navajamo en pogoj, ki je v protislovju z ostalimi... Lik je desno od. N. Lik je večji kot. R. Lik ni majhen ali je lik petkotnik. N.. Lik je petkotnik. R. Lik je levo od. R. Lik je srednje velikosti ali lik ni kvadrat. R.. Lik ni velik. N. Lik je manjši kot. R. Lik je trikotnik, če in samo če je lik srednje velikosti. R Nagradna logična naloga Štirje davkoplačevalci (orut, Matej, Robert, ene), z različnimi priimki (Gornik, Gorjak, Vodovnik, Kranjc), so kupili različne, po zagotovilih, varne naložbe (obveznice NL, delnice NL, delnice NKM, delnice banke), različnih vrednosti (9000 ur, 0000 ur, ur, ur). Za vsakega določi ime, priimek, naložbo in njeno nabavno vrednost. Imena in zneski so izmišljeni.

32 Logika & razvedrilna matematika. Gornik ni bil ne ob delnice NKM ne ob 9000 ur.. Kranjc ni bil ne ob delnice NKM ne ob 9000 ur.. ene ni bil ob 9000 ur.. Obveznice NL niso znašale 0000 ur.. Gorjak ni bil ob ur.. Matej se ne piše Vodovnik.. elnice NKM niso znašale 0000 ur.. Gornik ni bil ob 0000 ur. 9. Robert se piše Gornik. 0. elnice NKM niso znašale 9000 ur.. Matej se ne piše Gorjak.. elnice NKM niso znašale ur.. elnice banke niso znašale 0000 ur.. Obveznice NL niso znašale ur. Gornik Gorjak Vodovnik Kranjc obveznice NL delnice NL delnice NKM delnice banke 9000 ur 0000 ur ur ur orut Matej Robert ene 9000 ur 0000 ur ur ur obveznice NL delnice delnice NL NKM delnice banke ime priimek prevara vrednost orut Matej Robert ene Rešitev nagradne uganke pošljite do...0 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot, Kamnik, s pripisom»nagradna uganka«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da vam, če boste izžrebani, pošljemo nagrado. Naslednji reševalci nagradne uganke iz. številke bodo prejeli poševno prizmo Polydron in Mercatorjevo vrtavko»isney Frozen«: U.P., ŠNTJUR, M.F., PRM, :G:., VRHNIK, P:K:, RNI, M:., POLJN N ŠKOFJO LOKO.

33 Op -rt Moduli Logika & razvedrilna matematika bstract. This paper shows some variants of Slavik Jablan's Op rt modules as graphics. Na. konferenci SM, ki je bila septembra 0 v Ljubljani, je gospa nđelka Simić, profesorica matematike iz Srbije, razstavila svoj op-art nakit osnovan na Jablanovih op-art modulih. V razgovoru, ki je sledil, smo ugotovili, da gre v resnici za grafiko, saj gre za nanose pravokotno na osnovno ravnino. Res je, da so ti nanosi zanemarljive višine, a jih je mogoče povečati. Nato je bil narejen program v mathematici, rezultat pa so spodnje slike.

34 Logika & razvedrilna matematika

35 Logika & razvedrilna matematika

36 Logika & razvedrilna matematika

37 Logika & razvedrilna matematika Referenca: S. Jablan, Modularity in rt, Plemljevih +9 rešitev problema konstrukcije trikotnika Naloga, ki jo je Plemelj rešil kot petošolec gimnazije, se je glasila: konstruiraj trikotnik, če je dana dolžina osnovnice c, dolžina višine na osnovnico in razlika kotov ob osnovnici. Plemelj je imel na. kongresu zveze jugoslovanskih društev matematikov, fizikov in astronomov l.99 na ledu govor, ki je bil objavljen l. 9 v eogradu, nato pa v l. 99 v Obzorniku []. V njem je podal tri rešitve tega problema, dve svoji in eno iz knjige njegovega učitelja Vincenca orštnerja. Spodnja slika iz [] prikazuje Plemljevo prvo konstrukcijo.

38 Logika & razvedrilna matematika o rešitve je prišel s trigonometrijo, tako da je izpeljal enačbo (vzamemo > ): m sin( - ) = c cos( - ). Plemelj je še povedal, da je razen dveh, ki jih je dobil od drugod, sam našel še devet različnih rešitev, zadnjo na Silvestra 99. Tri zgornje rešitve so bile objavljene tudi v Proteusu []. Tam Plemelj tudi pove, da je iz zgornje enačbe možno dobiti različnih rešitev (med temi sta dve že omenjeni), ker lahko vzamemo cos( - )= sin( / ( - )). Kot primer vzemimo Plemljevo gimnazijsko rešitev in njeno dvojčico. ' K b b c a H b S G c a c ' Število m je dolžina daljice. Oglejmo si trikotnik. Kot je enak /-( - ) in je nasproti stranici ', ki je dolžine m. Trapez 'K' je enakokrak, zato je kot K' enak /+( - ). Z naslednjo konstrukcijo dobimo dve konstrukciji. Narišem daljico dolžine c. Pravokotno na iz odmerim točko H na razdalji dane višine, nato pa še ' na dvojni razdalji. Narišem krožnico, tako da se ' vidi kot tetiva pod kotom /-( - ) iz točk krožnice pod tetivo. Iz točk nad tetivo pa je obodni kot /+( - ). Na krožnici odmerim točko ' na razdalji c od in točko K na razdalji c od, tako da točke 'K' tvorijo enakokraki trapez. Točka iskanega trikotnika je presek simetrale trapeza in premice skozi H, ki je vzporedna z. Še dve različni rešitvi dobimo, če točko ' postavimo navpično iz.

39 Logika & razvedrilna matematika 9 K S ' H L nimacijo Plemljeve prve rešitve dobite na [], zgornjo kombinacijo pa na []. Če na računalniku nimate programa mathematica, lahko vseeno izvajate t.i. demonstracije, tako da naložite brezplačni»cdf-player«s strani: Reference: [] J. Plemelj, Iz mojega življenja in dela, Obzornik za matematiko in fiziko, 9, 99 str.. 9. [] L. Čermelj, Plemljev trikotnik, Proteus XII, št. -9, Ljubljana 99/0. [] Izidor Hafner, Nada Razpet and Marko Razpet "The Plemelj onstruction of a Triangle: " Wolfram emonstrations Project Published: ugust 0, 0 [] Izidor Hafner "The Plemelj onstruction of a Triangle: " Wolfram emonstrations Project Published: ugust 0, 0 Plemljevih +9 rešitev problema konstrukcije trikotnika, drugi del Naloga, ki jo je Plemelj rešil kot petošolec gimnazije se je glasila: konstruiraj trikotnik, če je dana dolžina osnovnice c, dolžina višine na osnovnico in razlika kotov ob osnovnici. Plemelj je imel na. kongresu zveze jugoslovanskih društev matematikov, fizikov in astronomov l.99 na ledu govor, ki je bil objavljen l. 9 v eogradu, nato pa v l. 99 v Obzorniku []. V njem je podal tri rešitve tega problema, dve svoji in eno iz knjige njegovega učitelja Vincenca orštnerja []. Spodnja slika podaja rešitev iz orštnerjeve knjige.

40 0 Logika & razvedrilna matematika Spodnja slika iz [] prikazuje Plemljevo drugo konstrukcijo. o rešitve je prišel s trigonometrijo, tako da je izpeljal enačbo (vzamemo > ): m sin( - ) = c cos( - ). Plemelj je še povedal, da je razen dveh, ki jih je dobil od drugod, sam našel še devet različnih rešitev, zadnjo na Silvestra 99. Tri zgornje rešitve so bile objavljene tudi v Proteusu []. Tam Plemelj tudi pove, da je iz zgornje enačbe možno dobiti različnih rešitev (med temi sta dve že omenjeni), ker lahko vzamemo cos( - )= sin( / ( - )). Število m je dolžina daljice K z prejšnje slike. lternativa za konstrukcijo iz orštnerjeve knjige, ko na mesto nad postavimo navpičnico nad, je objavljena v Modičevi knjigi [, str. 9-9]. Tule je slika narejena z mathematico:

41 Logika & razvedrilna matematika ' a a S lternativo za Plemljevo drugo konstrukcijo prikazuje spodnja slika: K M K' b b H m m a c nimacijo Plemljeve prve rešitve dobite na [], kombinacijo prve z alternativopa na []. Če na računalniku nimate programa mathematica, lahko vseeno izvajate t.i. demonstracije, tako da naložite brezplačni»cdf-player«s strani: Reference: [] J. Plemelj, Iz mojega življenja in dela, Obzornik za matematiko in fiziko, 9, 99 str.. 9. [] L. Čermelj, Plemljev trikotnik, Proteus XII, št. -9, Ljubljana 99/0. [] Izidor Hafner, Nada Razpet and Marko Razpet "The Plemelj onstruction of a Triangle: " Wolfram emonstrations Project Published: ugust 0, 0 [] Izidor Hafner "The Plemelj onstruction of a Triangle: " Wolfram emonstrations Project Published: ugust 0, 0 [].S. Modic, Trikotniki, Konstrukcije, lgebrske Rešitve, Math d.o.o., Ljubljana 009.

42 Logika & razvedrilna matematika Optični tangram Optični tangram ima za osnovo dobro znano kitajsko igro tangram, ki sestoji iz osnovnih delov, s katerimi sestavljamo različne like. Pri tem moramo uporabiti vse dele, ki se morajo dotikati, ne smejo pa se prekrivati. ele lahko tudi obrnemo. Igranje s tangramom razvija doslednost, koncentracijo, postopnost in iznajdljivost. Pri uporabi tangrama v šoli učenci razvijajo geometrijsko mišljenje, prostorsko predstavljivost, ugotavljajo pravilnosti in z večjim razumevanjem sodelujejo v izobraževalnem procesu. Optični tangram še posebej razvija kreativnost, občutek za natančnost, lepoto, enostavnost in skladnost. Ta tangram sestoji iz osnovnih likov (ploščic), ki so po obeh straneh pobarvani s črnobelimi črtami. Za vse like velja, da so to enakokraki-pravokotni trikotniki Slika. V igri imamo dva trikotnika, ki sta nastala z razpolovitvijo antisimetričnega črno-belega kvadrata, ki največkrat nastopa v optični umetnosti (Slika ). Vsak od od obeh trikotnikov ima na eni strani črno višino, na nasprotni strani pa belo višino, druge črte so razporejene alternativno. Slika. Tudi sam kvadrat sestoji iz dveh antisimetričnih trikotnikov. V igri imamo lahko dva ali štiri takšne pare.

43 Logika & razvedrilna matematika Imamo še trikotnik srednje velikosti in paralelogram. Oba sestojita iz dveh antisimetričnih trikotnikov (Slika ). Slika. va velika trikotnika (Slika ) sestojita vsak iz štirih osnovnih antisimetričnih trikotnikov. Zanimivo je, da v velikem trikotniku opazimo druge elemente, ki nastopajo v igri. Tako na primer veliki trikotnik vsebuje trikotnik srednje velikosti ali kvadrat ali paralelogram in dva majhna trikotnika. Slika. Vidimo torej, da je pri ustvarjanje te igre narejena minimizacija osnovnih delov. S tangramom je možno oblikovati konveksnih likov (Fu Traing Wang, huan-hih Hsiung (9) theorem of the tangram. The merican Mathematical Monthly, 9, 9 99.)(Slika ). Slika. Pri optičnem tangramu je najbolj zanimivo sestavljanje teh konveksnih likov.lahko sestavljamo like tudi na običajen način kot pri tangramu. Imamo pa možnost ustvarjanja novih ornamentov (en zgled je na Sliki ). eli se ne smejo prekrivati in uporabiti moramo vse dele.

44 Logika & razvedrilna matematika Slika.. Naloga Zakaj s tangramom lahko sestavimo samo omenjeni likov?. Naloga Sastavi konveksnih tangramskih likov iz delov s Slike. Reference: [] S. Jablan, Modularity in rt (..0) [] N. aranović, Razvoj geometrijskog mišljenja kroz tangram aktivnosti, Simpozijum Matematika i primene, Matematički fakultet, Univerzitet u eogradu, 0,Vol. VII() []. Simić, (nti)symmetric ornaments in math lessons (..0), nđelka Simić

45 Polarna zonoedra Logika & razvedrilna matematika

46 Logika & razvedrilna matematika

47 Rombska 0-erca Logika & razvedrilna matematika

48 Logika & razvedrilna matematika Osnove geometrije likov V članku [, str. -9] je Tarski podal osnove geometrije teles, kjer je osnoven (torej nedefiniran) pojem krogle. Točka je definirana kot množica koncentričnih krogel. Teorija predpostavlja kot osnovo mereologijo, to je, teorijo o delih in celoti, kjer je del osnovna relacija. a je možno bazirati prostorsko geometrijo na pojmu»točka«in»krogla«, je dokazal Pieri []. I. efinicija. Reč X je pravi del reči Y, če je reč X del reči Y in ni identična z rečjo Y. II. efinicija. Reči X in Y sta ločeni, če nobena reč Z ni del obeh reči X in Y. III. Reč X je sestav vseh elementov množice reči, če je vsak element množice del reči X in noben del reči X ni ločen od vseh elementov iz množice. (Zadnji del bi lahko povedali tudi: za vsak del Z reči X obstaja vsaj ena reč Y iz, tako da Z in Y nista ločena.) Mereologija ima dva aksioma:

49 Logika & razvedrilna matematika 9 I. ksiom. Če je reč X del reči Y in je Y del reči Z, potem je X del reči Z. II. ksiom. Če je neprazna množica, potem obstaja natanko ena reč X, ki je sestav vseh elementov množice. IV. efinicija. Reči X in Y se prekrivata, če imata skupen del.. ilj našega sestavka je, da pokažemo ustrezne definicije. Pri vseh definicijah bomo na mesto»če in samo če«pisaliče«s krepkim»č«. olgoletna matematična praksa je, da se definicije zapisujejo kot obrat implikacije, čeprav gre za ekvivalence. V srbsko-hrvaških tekstih uporabljajo»akko«za»ako i samo ako«. Na mesto krogle bomo tu vzeli krog, ker je naš cilj ravninska geometrija. Pri tem je mišljen krog brez obodne krožnice (po topološko odprta množica). Na slikah bodo krogi predstavljeni z obodno krožnico.. efinicija. Krog je zunanje tangenten krogu, če sta izpolnjena pogoja: (i) krog je ločen od ; (ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki vsebujeta krog kot del in sta ločena od, potem je eden od obeh del drugega. X X Y Y Slike prikazujejo primere, ko sta oba pogoja definicije izpolnjena; ko je izpolnjen prvi, drugi pa ni; ko je izpolnjen drugi, prvi pa ne. V zadnjem primeru je pogoj izpolnjen»na prazno«, saj krogov v antecedentu implikacije drugega pogoja sploh ni. Zahteva dobre definicije je, da so pogoji neodvisni.. efinicija. Krog je notranje tangenten krogu, če sta izpolnjena pogoja: (i) krog je pravi del kroga ; (ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki vsebujeta krog kot del in sta del kroga, potem je vsaj eden od obeh del drugega. Spodnji primeri prikazujejo izpolnjenost definicije in neodvisnost obeh pogojev.

50 0 Logika & razvedrilna matematika X Y X Y. efinicija. Kroga in sta zunanje diametralna krogu, če sta izpolnjena pogoja: (i) oba kroga in sta zunanje tangentna krogu ; (ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki sta ločena od kroga, in taka, da je del kroga X in del kroga Y, potem je krog X ločen od Y. Y X

51 Logika & razvedrilna matematika X Y Slike prikazujejo izpolnjenost definicije in neodvisnost pogojev.. efinicija. Kroga in sta notranje diametralna krogu, če sta izpolnjena pogoja: (i) oba kroga in sta notranje tangentna krogu ; (ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki sta ločena od kroga in taka, da je zunanje tangenten krogu X in zunanje tangenten krogu Y, potem je krog X ločen od Y. Naslednje slike prikazujejo primer izpolnjenosti definicije in neodvisnost pogojev. X Y Y X. efinicija. Kroga in sta koncentrična, če je izpolnjen eden od pogojev: (i) krog je identičen krogu ; (ii) krog je pravi del kroga in če sta dana kroga X in Y zunanje diametralna krogu in notranje tangentna krogu, potem sta notranje diametralna krogu ; (iii) krog je pravi del kroga in če sta dana kroga X in Y zunanje diametralna krogu in notranje tangentna krogu a, potem sta notranje diametralna krogu. Peta definicija je nekoliko drugačna. Tu mora biti izpolnjen vsaj en pogoj.

52 Logika & razvedrilna matematika X Y X Y. efinicija. Točka je množica vseh krogov, ki so koncentrični danemu krogu. Seveda lahko za grafično predstavitev točke lahko vzamemo katerikoli krog točke.. Točki a in b sta enako oddaljeni od točke c, če obstaja krog, ki je element točke c in izpolnjuje pogoj: vsak Y, ki je element točke a ali b ni del kroga X se pa prekriva z X. Ideja te definicije je ta, da sta točki a in b na neki krožnici s središčem v c. Sliki prikazujeta izpolnjenost in neizpolnjenost definicije. Y a a Y X c b X c b. efinicija. Lik je sestav neke množice krogov. 9. efinicija. Točka a je v notranjosti lika, če obstaja tak krog, ki je element točke a in del lika. Ilustracija primera, ko je točka a v notranjosti lika. a X

53 Logika & razvedrilna matematika Znano je, da lahko vse pojme evklidske geometrije lahko definiramo s pomočjo pojmov točke in enake oddaljenosti dveh točk od tretje. Reference: [] lfred Tarski: Logic, Semantic, Meta-Mathematics, larendon Press, Oxford, 9. [] M. Pieri, La geometria elementareinstituita sulle nozione di»putno«o»sphera«, Memorie e di Matematica e di Fisica della Societa Italiana delle Scienze, Seria terza, XV, (90),, -0. Naloga v esperantu Kvar amikinoj (Iva, Ildiko, lla, Pika) havas kvar hundojn (tono, Ksanto, Mistralo, Pegazo) de diversaj bredoj (grejhundo, pudelo, dalmata hundo, biglo). ivenu iliajn nomojn kaj la nomojn kaj bredojn de iliaj hundoj.. Ksanto estas nek dalmata hundo nek grejhundo.. Iva havas nek dalmatan hundon nek grejhundon.. Mistralo estas nek dalmata hundo nek biglo.. La nomo de la hundo de Pika estas Mistralo.. Pegazo ne estas grejhundo.. Mistralo ne estas grejhundo.. Ildiko ne havas grejhundon. Simona Klemenčič

54 Logika & razvedrilna matematika Vitezi in oprode po francosko hevaliers et valets Il y a une île où certains habitants s'appellent des chevaliers et disent toujours la vérité et d'autres s'appellent des valets et mentent toujours. On suppose que chaque habitant de l'île est soit un chevalier soit un valet. ans le problème, il y a N habitants, qui sont désignés par,,,... hacun des premiers N fait une déclaration. Qui est un chevalier et qui est un valet?. est un valet si et seulement si est un chevalier. est un valet ou est un chevalier.. est un chevalier et est un chevalier. Si est un chevalier, est un valet.. Si est un valet, est un chevalier. est un chevalier ou est un valet.. est un valet ou est un chevalier. Si est un chevalier, est un valet.. est un chevalier si et seulement si est un chevalier. Si est un valet, est un chevalier.. Si est un valet, est un chevalier. est un chevalier ou est un valet.. est un chevalier ou est un chevalier. est un valet ou est un chevalier.. est un chevalier ou est un chevalier. Si est un chevalier, est un chevalier. 9. est un valet ou est un chevalier. est un valet ou est un valet. 0. est un chevalier ou est un chevalier. est un valet ou est un chevalier.

55 Logika & razvedrilna matematika. est un chevalier si et seulement si est un valet. est un chevalier ou est un chevalier. Si est un chevalier, est un chevalier.. est un valet si et seulement si est un chevalier. Si est un chevalier, est un chevalier. est un chevalier si et seulement si est un valet.. est un chevalier si et seulement si est un valet. est un chevalier et est un chevalier. Si est un chevalier, est un chevalier.. est un chevalier ou est un chevalier. est un valet si et seulement si est un chevalier. est un valet ou est un chevalier.. est un valet et est un valet. est un chevalier ou est un valet. Si est un chevalier, est un chevalier.. est un chevalier et est un valet. est un valet et est un valet. est un chevalier et est un valet.. est un chevalier ou est un chevalier. est un chevalier et est un valet. Si est un chevalier, est un chevalier.. Si est un chevalier, est un valet. Si est un valet, est un valet. Si est un valet, est un valet. 9. est un valet ou est un valet. est un valet et est un chevalier. est un chevalier et est un chevalier. 0. est un chevalier et est un chevalier. Si est un chevalier, est un valet. est un valet si et seulement si est un chevalier.

56 Logika & razvedrilna matematika Solutions. est un valet. est un chevalier. est un chevalier.. est un valet. est un chevalier. est un valet.. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier.. est un chevalier. est un chevalier. est un valet.. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier.. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier.. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier.. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier. 9. est un chevalier. est un chevalier. est un valet. 0. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier.. est un valet. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier.. est un valet. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier.. est un chevalier. est un valet. est un chevalier. est un valet.. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier. est un valet.. est un valet. est un chevalier. est un chevalier. est un valet.. est un valet. est un chevalier. est un valet. est un chevalier.. est un chevalier. est un valet. est un chevalier. est un chevalier.. est un chevalier. est un chevalier. est un chevalier. est un valet. 9. est un chevalier. est un valet. est un valet. est un valet. 0. est un valet. est un chevalier. est un valet. est un valet. Meta Lah

57 Logika & razvedrilna matematika

58 Logika & razvedrilna matematika Rešitve arvni sudoku.

59 Logika & razvedrilna matematika 9.

60 0 Logika & razvedrilna matematika Latinski kvadrati

61 Logika & razvedrilna matematika Sudoku s črkami

62 Logika & razvedrilna matematika Futoshiki

63 Logika & razvedrilna matematika Lastnosti lika Razpored znakov

64 Logika & razvedrilna matematika Gobelini,,,,,,,,,,, 9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9,,,,,,,,,,,,, 9,,,,,, 9,,,,,,,

65 Logika & razvedrilna matematika Križne vsote

66 Logika & razvedrilna matematika Križni produkti

67 Logika & razvedrilna matematika Labirint na kocki

68 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na enostavnih poliedrih

69 Logika & razvedrilna matematika 9 Grupe Sličice na drugi sliki moramo zaporedoma označiti: {9,,,, 0,,,,,,,,,,,, }} Linearne grupe: a) {,,,,,, }, {,,,,,, } b) {,,,,,, }, {,,,,,, } Prostorska predstavljivost a) b) Labirinti na robovih poliedra {,,,,,,,0,,,} 9

70 0 Logika & razvedrilna matematika. {,,,} Večdelni labirinti na zemljevidu

71 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na zemljevidu

72 Logika & razvedrilna matematika Odstranjene kocke Kocki določi mrežo {,,,,, } Labirint v kvadru

73 Logika & razvedrilna matematika Labirint na Riemannovi ploskvi

74 Logika & razvedrilna matematika

75 Logika & razvedrilna matematika Labirint na ploskvah Labirint na projekcijah teles 9 0

76 Logika & razvedrilna matematika

77 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na mreži valja in stožca

78 Logika & razvedrilna matematika Imena likov Stavki so neodvisni. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. naliziraj pogoje nalog Protislovni pogoji. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.

79 Logika & razvedrilna matematika 9. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. Rešitev naloge v esperantu lla, tono, grejhundo Pika, Mistralo, pudelo Ildiko, Pegazo, dalmata hundo Iva, Ksanto, biglo Izdaja: Založniško podjetje LOGIK d.o.o., Svetčeva pot, Kamnik. Poslovni račun pri NL: avčna številka: SI909. Podjetje je zavezanec za V po zakonu o V. Za izdajatelja: Izidor Hafner. -mail: info@logika.si Spletna stran: Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 9. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično računalništvo. Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner ( Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in arjo Felda, prof. Recenzent: Vilko omajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša emšar, dr. Gregor olinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, oštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. leš Vavpetič. Oblikovanje: na Hafner Jezikovni pregled: esana Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev. 0 LOGIK d.o.o. ISSN 0-X LOGIK & RZVRILN MTMTIK, letnik XXVI, št. od, 0/0 lektronska izdaja. ena revije: 0.