Microsoft Word - Logika _2.doc

Transkripcija

1 Logika & razvedrilna matematika arvni sudoku V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil..

2 Logika & razvedrilna matematika.

3 Latinski kvadrati Logika & razvedrilna matematika V n n kvadratkov moraš vpisati začetne črke,,, tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu nastopalo vseh n črk. E E E E E E E E E E E E E

4 Logika & razvedrilna matematika Sudoku s črkami V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.

5 Logika & razvedrilna matematika Futoshiki V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n tako, da bo v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije. > > > < < > > > > > > > > < > > < < > > > > > < > < > < < < < < < < < < < >

6 Logika & razvedrilna matematika Rdeči kvadratki Naloga reševalca je, da poišče vse skrite rdeče kvadratke in jih označi z R. Pri tem veljata naslednji pravili: a) Vsako število v preglednici pove, koliko sosednjih kvadratkov je rdečih. Kvadratek je soseden kvadratku, če imata skupno stranico ali oglišče. b) Kvadratki s številkami niso rdeči

7 Logika & razvedrilna matematika Lastnosti lika Ugotoviti moramo lastnosti lika. Lik ima obliko (trikotnik, kvadrat, petkotnik), velikost (majhen, srednji, velik), barvo (rumen, oranžen, moder) in debelino (tanek, debel). Lahko si izberemo tudi le nekaj prvih lastnosti. ano je nekaj stavkov v simbolni obliki in njihova resničnostna vrednost (R za resničen in N za neresničen). Stavki so lahko enostavni, na primer, Rumen pomeni, da je lik rumen, ali sestavljeni, na primer, Velik Moder pomeni, da je lik velik in moder; Petkotnik Tanek, pomeni, da je lik petkotnik ali tanek; ebel Oranžen pomeni, da je lik ali debel ali oranžen; ; "Tanek fl Rumen" pomeni: če je lik tanek, potem je rumen; "Moder ñ Velik" pomeni: lik je moder, če in samo če je velik). Srednji Majhen Í Oranžen Kvadrat fi Rumen Oranžen fl Trikotnik R R N R oblika velikost barva Kvadrat Velik Srednji Ï Majhen Srednji fl Trikotnik Velik fl Kvadrat R R N R R oblika velikost Moder Kvadrat Rumen fl Srednji Majhen Srednji Kvadrat fi Petkotnik R N R R R oblika velikost barva Majhen Kvadrat Ï Srednji Majhen Srednji N R N oblika velikost

8 Logika & razvedrilna matematika oloči razpored znakov Œ NI LEVO O œ. Œ NI SOSE O œ. Õ JE LEVO O Œ. Œ NI LEVO O œ. Õ NI LEVO O œ. JE LEVO O. JE SOSE O. JE LEVO O. NI LEVO O. Õ NI SOSE O œ. Õ NI SOSE O Ã. Õ NI ESNO O Œ. Œ NI SOSE O Ã. NI LEVO O. JE LEVO O. JE SOSE O E. JE SOSE O E. NI ESNO O. NI LEVO O. NI SOSE O. NI LEVO O. JE LEVO O. JE ESNO O E. Œ NI ESNO O œ. Œ JE ESNO O Ã. Õ NI ESNO O Ã. Œ NI SOSE O Ã. œ NI SOSE O. Õ NI SOSE O œ. Õ NI ESNO O œ. œ NI ESNO O. Õ NI ESNO O Ã. œ NI SOSE O. œ JE ESNO O Ã.

9 Logika & razvedrilna matematika Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici ustrezalo zaporedju števil na desni, in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo zaporedju števil pod njim.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

10 0 Logika & razvedrilna matematika Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od do tako, da je vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne

11 Logika & razvedrilna matematika Križni produkti Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od do tako, da bo zmnožek števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zač etku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne

12 Logika & razvedrilna matematika Labirint na kocki Poveži točki na kocki:

13 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na enostavnih poliedrih Poveži točki na poliedru:

14 Logika & razvedrilna matematika Poveži sličici, ki pripadata isti grupi 0

15 Logika & razvedrilna matematika Poveži sličici, ki pripadata isti grupi a) b) Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka??, da bosta stranici pripadali istemu robu poliedra?

16 Logika & razvedrilna matematika?? 0?? 0???? 0?? 0?? 0 0???? 0?? 0?????? 0???? 0??

17 Logika & razvedrilna matematika b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka??, da bosta oglišči pripadali istemu oglišču poliedra???????????????????????????????

18 Logika & razvedrilna matematika Imena likov ane so resničnostne vrednosti stavkov (R ali N). Poiskati je treba imena likov, ki so začetne črke v zaporedju,,,, E, Liki so treh oblik (trikotnik, kvadrat, petkotnik), treh velikosti (majhen, srednji, velik) in treh barv (oranžen, zelen ali rumen).. oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Rumen HL N. Levo odh, L R. Levo odh, L R oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Petkotnik HL R. Manjši kot H, L N. esno odh, L N. Srednje v.hl ŸZelenHL R oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Velik HL N. Levo odh, L R. PodH, L R. Večji kot H, L R oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. ŸSrednje v. HL R. PodH, L R. NadH, EL N. esno odh, EL N. ŸTrikotnik HEL ñ Majhen HL R

19 Logika & razvedrilna matematika. oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Levo odh, L R.ŸOranženHL OranženHL R. Majhen HL fl ŸKvadrat HL R oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Levo odh, L N.ŸVelikHL fl ŸMajhenHL N. PetkotnikHL ŸOranženHL R. ŸRumen HL ñ Rumen HL N oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. esno odh, L N. Levo odh, L N.ŸZelenHL ŸTrikotnikHL R. Majhen HL fl Trikotnik HL N oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. PodH, EL R. Manjši kot H, EL N. VelikHL ŸOranženHL R. OranženHEL fl MajhenHL N. RumenHL fl OranženHEL R

20 0 Logika & razvedrilna matematika. oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Lik ni rumen. R. Lik je večji kot. N. Lik je manjši kot. R oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Lik je oranžen. R. Lik je manjši kot. N. Lik je manjši kot. N. Lik ni petkotnik,če in samoče je lik rumen. R oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Lik je majhen. R. Lik je manjši kot. R. Lik je nad. R. Lik je pod. N oloči razpored objekov in poišči najnižji stavek, ki je odvisen od ostalih!. Lik ni zelen. N. Lik je pod. N. Lik je desno od E. R. Lik je desno od E. R. Lik E ni zelen,če in samoče lik ni oranžen. N Razpis za najlepšo poliedrsko jelko Pošljite fotografije svojih novoletnih jelk, okrašenih s poliedri, do..0. Najlepše jelke bomo objavli na strani:

21 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na robovih poliedra V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo pot od modre do oranžne točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima zelena črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra..

22 Logika & razvedrilna matematika.

23 . Logika & razvedrilna matematika

24 Logika & razvedrilna matematika.

25 Labirinti na zemljevidu. Logika & razvedrilna matematika..

26 Logika & razvedrilna matematika Večdelni labirinti na zemljevidu...

27 Logika & razvedrilna matematika...

28 Logika & razvedrilna matematika Odstranjene kocke an je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?

29 Nagradna logična naloga Logika & razvedrilna matematika Štirje prijatelji (orut, Janez, Ivo, Peter) z raznimi priimki (Gorjanc, Hafner, Kranjc, Novak) imajo razne poklice (zdravnik, kuhar, politik, sodnik). Za vsakega ugotovi ime, priimek in poklic.. orut ni politik.. Novak ni ne politik ne kuhar.. Kranjc ni ne politik ne kuhar.. Gorjanc ni po poklicu politik.. Kranjc ni po poklicu sodnik.. Ivo ni politik.. orut ni zdravnik.. Janez se piše Novak. Rešitev nagradne uganke pošljite do..0 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot, Kamnik, s pripisom»nagradna uganka«. Naslednji reševalci nagradne uganke iz. številke bodo prejeli poševno prizmo in bon za 0% popust pri nabavi proizvodov v internetni trgovini Medex ( ): L.T. Ribnica,.N. Jesenice, L.. Prem, L.O. Vrhnika, T.Ž. obje pri Planini, L.P. Žiri in V.. elje. Medex je sponzor. tekmovanja iz razvedrilne matematike.

30 0 Logika & razvedrilna matematika Kocki določi mrežo Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.

31 Labirint v kvadru Logika & razvedrilna matematika Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednima oddelkoma istega sloja. Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan belo. Poišči najkrajšo pot od oddelka s smeškom do oddelka s srcem! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili tako, da oddelek s smeškom označiš z, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa z številom, večjim za. Ã Ã Ã Ã Protislovna množica izjav V naslednjih nalogah bomo imeli neko situacijo z liki in množico pogojev, to je stavkov z resničnostno vrednostjo. Vsaj en pogoj bo v protislovju z ostalimi in s situacijo. Kaj to pomeni? To pomeni, da se da negacija tega pogoja izpeljati iz ostalih pogojev in iz situacije. Pomembno se je

32 Logika & razvedrilna matematika zavedati, da je večina informacije v sliki. Na primer, če bi v spodnji situaciji imeli pogoj, da je kvadrat, potem je seveda ta pogoj v protislovju z drugimi pogoji (ker je v protislovju s sliko), ne glede, kakšni so. li je lahko več pogojev v protislovju z ostalimi. V splošnem bi se lahko zgodilo. Recimo, da je drugi pogoj, da je kvadrat. li pa, da imamo pogoje: je trikotnik, je trikotnik, je trikotnik. Ker sta le dva trikotnika, je vsak pogoj v protislovju z drugima dvema. a dokažemo, da je ta pogoj v protislovju z ostalimi, moramo izpeljati njegovo negacijo iz situacije in ostalih pogojev. ana je situacija z liki, katerih imena so,, in, in množica pogojev (stavkov z resničnostno vrednostjo). okaži, da je ta množica protislovna.. Lik je trikotnik. R. Lik je desno od. R. Lik je večji kot. N. Lik ni kvadrat,če in samoče lik ni velik. N Rešitev: Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. (a je pogoj v protislovju z ostalimi, nam omogoča najlažjo ugotovitev protislovja. Lahko pa je tudi kakšen drugi pogoj v protislovju z ostalimi). okaz:. = ali = (. pogoj).. (. pogoj).. je kvadrat, če in samo če ni velik (. pogoj). je velik, =.. = (sledi iz in ).. Toda je edini velik lik, zato je večji od, ne glede ali je = ali =. To je v nasprotju s. pogojem. odatek za velikost:

33 Logika & razvedrilna matematika Naloge:.. Lik je majhen. R. Lik je večji kot. R. Lik je majhen in lik je petkotnik. R.. Lik ni majhen. N. Lik je manjši kot. R. Lik ni kvadrat ali lik ni kvadrat. N.. Lik je levo od. R. Lik je nad. R. Lik ni velik in lik ni bel. R... Lik je večji kot. R. Lik ni majhen in lik ni trikotnik. N.Če lik ni petkotnik, potem lik ni velik. N.. Lik ni majhen. R. Lik je pod. R. Lik je desno od. R

34 Logika & razvedrilna matematika.. Lik ni siv. R. Lik je večji kot. R.Če lik ni bel, potem lik ni velik. R.. Lik je velik. N. Lik je pod. N. Lik je manjši kot. R.. Lik je nad. N. Lik je manjši kot. R. Lik je srednje velikosti, če in samo če je lik petkotnik. N. Lik ni velik,če in samoče je lik kvadrat. R.. Lik je manjši kot. N. Lik ni velik ali lik ni bel. N. Lik je velik ali je lik bel. R. Lik ni bel ali lik ni bel. N 0.. Lik je pod. R. Lik je levo od. N. li je lik siv ali je lik kvadrat. N. Če je lik petkotnik, potem je lik siv. N

35 Logika & razvedrilna matematika.. Lik je velik. R. Lik je nad. N.Če lik ni majhen, potem je lik bel. N. Lik je petkotnik in lik je majhen. R.. Lik je nad. N. Lik je pod. N. Lik ni siv,če in samoče je lik bel. N. li je lik bel ali lik ni petkotnik. R.. Lik je trikotnik. R. Lik je desno od. N. Lik je večji kot. R.Če lik ni bel, potem lik ni kvadrat. R. Lik ni kvadrat. R. Lik je levo od. N. Če je lik kvadrat, potem je lik srednje velikosti. R. Lik ni majhen ali lik ni majhen. N.. Lik ni siv. N. Lik je nad. N. li lik ni petkotnik ali lik ni siv. R. Lik ni velik,če in samoče je lik velik. N

36 Logika & razvedrilna matematika.. Lik ni majhen. N. Lik je levo od. R. Lik je majhen in lik ni petkotnik. R. Lik ni srednje velikosti in lik je kvadrat. R.. Lik je večji kot. R. Lik je pod. N. Lik je velik ali lik ni siv. N. Lik ni majhen,če in samoče lik ni bel. R.. Lik je večji kot E. N. Lik je nad. R. li lik ni kvadrat ali je lik E bel. R. Lik E ni trikotnik ali je lik velik. N. Lik je kvadrat,če in samoče lik ni majhen. R.. Lik je levo od E. N. Lik je večji kot E. R. Lik ni trikotnik,če in samoče lik ni kvadrat. R.Če lik ni kvadrat, potem lik ni majhen..če je lik velik, potem je lik E siv. N N 0.. Lik je velik. N. Lik je desno od E. R. Lik je desno od. R. li je lik petkotnik ali je lik kvadrat. N.Če lik ni velik, potem je lik petkotnik. N

37 Logika & razvedrilna matematika.. Lik je desno od E. N. Lik je nad E. N. Če je lik bel, potem je lik velik. N. li lik ni trikotnik ali je lik kvadrat. N. Če je lik kvadrat, potem lik ni trikotnik. N.. Lik je večji kot. R. Lik je siv ali je lik E srednje velikosti. N. li je lik siv ali je lik trikotnik. N. Lik je trikotnik ali je lik srednje velikosti. N. Lik ni trikotnik,če in samoče je lik trikotnik. R.. Lik ni siv. R. Lik je nad. R. Lik je večji kot. R. Če je lik E velik, potem je lik E petkotnik. N. Lik E je srednje velikosti in lik E je majhen. R.. Lik E ni trikotnik. N. Lik je nad E. N. Lik je nad. N. Lik ni siv in lik E je bel. N. Lik ni kvadrat ali je lik E velik. N.. Lik je petkotnik. N. Lik je nad E. N. Lik E je majhen ali je lik siv. N. Lik E je petkotnik in lik E ni velik. R. li je lik kvadrat ali je lik E velik. R

38 Logika & razvedrilna matematika.. Lik je večji kot. R. Lik je nad. N. Lik E je siv in lik je siv. R. li je lik F petkotnik ali lik F ni trikotnik. R. Lik E ni velik in lik E je srednje velikosti. N. Lik ni trikotnik in lik je bel. R.. Lik je nad. N. Lik je pod E. R. Lik F ni petkotnik in lik E ni petkotnik. R.Če je lik bel, potem lik E ni srednje velikosti. N. Lik E ni majhen,če in samoče je lik siv. R. Lik je petkotnik in lik ni trikotnik. N.. Lik ni siv. N. Lik je levo od E. R. Če je lik petkotnik, potem lik F ni majhen. N.Če lik ni trikotnik, potem lik ni siv..če je lik siv, potem lik ni srednje velikosti. R. Lik je velik,če in samoče je lik F velik. N N.. Lik ni srednje velikosti. R. Lik je večji kot F. R. Lik je desno od. R. li je lik E trikotnik ali lik ni siv. R. Če lik ni trikotnik, potem je lik F petkotnik. R. Lik F ni siv ali je lik srednje velikosti. N 0.. Lik F je bel. N. Lik E je nad F. N. Lik je večji kot E. R. Lik ni petkotnik in lik ni trikotnik. N. Če je lik trikotnik, potem je lik srednje velikosti. R. Lik ni srednje velikosti in lik ni srednje velikosti. N

39 Logika & razvedrilna matematika Enačbe, podobne kemijskim, z enim atomom ana je kemijska enačba in pripadajoča diofantska enačba ax+by=cz, ki jo obravnavamo kot Frobeniusovo enačbo ax+by=e, to je, iščemo nenegativne rešitve te enačbe. Naravni števili a in b sta tuji. Največje število, za katerega enačba ax+by=e, nima nenegativnih rešitev, je ab-a-b, se imenuje Frobeniusovo število. Seveda pa se lahko zgodi, da ima enačba nenegativne rešitve tudi pri številih, ki so manjša od Frobeniusovo število (f). Zato je najlaže enačbo rešiti s tabeliranjem izraza ax+by. ovolj je, da to naredimo samo do vrednosti ab. Pri kemijskih enačbah iščemo najmanjše število z. Poiščemo prvi večkratnik števila c, za katerega ima enačba nenegativne rešitve. Če je c>ab-a-b, je z=. "alancing bstract hemical Equations with One Kind of tom"

40 0 Logika & razvedrilna matematika Primeri za Eulerjevo metodo reševanja diofantskih enačb "Euler's Method for Solving Linear iophantine Equations"

41 Logika & razvedrilna matematika Gumbi s konstantno širino V L&RM,. letnik, št., smo se spoznali z liki in telesi s konstantno širino. Kot uporabo smo navedli nekaj kovancev. Nova uporaba pa so gumbi s konstantno širino. obri so zato, ker se laže potisnejo skozi gumbnico. Gumbi so izdelani v podjetju olejši modni gumbi d.o.o., ( Še nekaj izdelkov tega podjetja: V podjetju izdelujejo gumbe in dodatke iz naravnih materialov in plastike.

42 Logika & razvedrilna matematika Zlati rez V naslednjih naloga nastopajo ploščice dveh vrst. Manjše predstavljajo enakokrak trikotnik, katerega kot pri vrhu je o, druge pa enakokrak trikotnik, s kotom pri vrhu 0 o. Če ju položimo, kot kaže slika, dobimo trikotnik, ki je podoben trikotniku. Naj bo a= = in x=. Potem je /(x-)=x, x -x-=0. Ena rešitev te enačbe je σ=(+ )/. Temu številu pravimo zlati rez. Recimo, da je ploščina rdečega trikotnika enaka p. Potem je ploščina rumenega enaka σp, saj imata trikotnika in enako višino, razmerje osnovnic pa je /(σ-)= σ. Ploščina trikotnika pa je vsota obeh ploščin p + σp=p(+σ)=pσ, saj je σ =σ+. Ploščine trikotnikov v naslednjem zaporedju, gledano od desne proti levi so: p, σp, (+σ)p=σ p, (+σ)p=σ p, (+σ)p=σ p. Tako bi lahko nadaljevali. Vsak naslednji člen, od tretjega naprej, je vsota predhodnih dveh členov. To je Fibonaccijevo zaporedje. Po drugi strani zaporedje dobimo tako, da predhodni člen pomnožimo a σ. Torej je to zaporedje tudi geometrijsko. Seveda bi lahko konstrukcijo še nadaljevali. Še dva lika, ki jih lahko sestavimo iz trikotnikov omenjenih dimenzij.

43 Logika & razvedrilna matematika Narišimo daljico E, ki je vzporedna z daljico. Imamo =σ-=/σ, E =- E =- = /σ=/σ. okažimo še, da sta σ in nesoizmerljivi. To je enako trditvi, da je σ iracionalno število. Recimo, da imata števili skupno mero d, to je σ=md, =nd, kjer sta m in n naravni števili. Seveda je d=/n racionalno število. =md-nd=(m-n)d je tudi soizmerljiva dolžina. E = - E = - =nd-(m-n)d=(n-m)d je spet soizmerljiva dolžina. Če ta proces nadaljujemo, dobimo F =sd, kjer je s naravno število,. Toda dolžine teh daljic gredo proti 0, po drugi strani pa so najmanj enake d. To je protislovje. Referenca: Izidor Hafner "Incommensurability of the ase and Leg in an Isosceles Triangle" Wolfram emonstrations Project Published: September, 0

44 Logika & razvedrilna matematika Rombski dvanajsterec iz četvercev Rombski dvanajsterec lahko sestavimo iz določenih četvercev, ki so povezani v obroč. Zanimivo pri tem je, da potrebujem tri t.i. kaleidocikle. Iz enega (prerezanega) lahko tvorimo tretjino rombskega dvanajsterca. Štiri mreže za kaleidocikel:

45 Logika & razvedrilna matematika Slavik Jablan (-0) Rojen je bil v Sarajevu, diplomiral je l. na beograjski univerzi, kjer je l. tudi doktoriral s tezo Theory of Simple and Multiple ntisymmetry in E and E \{O}. il je profesor geometrije na Univerzi Niš in sodelavec Matematičnega instituta v eogradu. Objavil je več kot 0 člankov v mednarodnih revijah: cta rystallographica, Zeitscrift für Kristallographie, Kristallografiya (Moskva), Symmetry: ulture and Science, Publications de l'institute Mathematique (eograd)... Osnoval je medmrežni časopis VisMat (Visual Mathematics) in bil do smrti glavni urednik. Je avtor več knjig, ki so izšle pri mednarodnih založbah.

46 Logika & razvedrilna matematika Nekaj matematičnih skulptur Na vprašanje»kaj je matematična skulptura?«je na spletu najti kvečjemu odgovor, da je to»skulptura, ki v svojo zasnovo in oblikovanje vključuje matematiko.«nalitično nastrojeni bralec, ki ne mara tavtologij, bo svoje razmišljanje verjetno preusmeril na vprašanji»kaj je skulptura?«in»kaj je matematika?«na eni izmed konferenc ISM je bila predlagana razdelitev matematičnih skulptur na naslednje kategorije: Klasična geometrija in poliedri Neorientirane ploskve Vozli Ploskve drugega reda in premonosne ploskve Simetrične in modularne strukture oolove operacije Minimalne ploskve Transformacije rugo Rombski 0-terec Rombu, ki ima diagonali v razmerju zlatega reza, rečemo zlati romb. Obstaja natanko pet konveksnih poliedrov, ki jih omejujejo skladni zlati rombi: romboedra s šestimi mejnimi ploskvami, zlata dvajseterec in trideseterec ter zlati dvanajsterec. Trideseterec je odkril v. stoletju astronom Johannes Kepler, romboedra sta verjetno bila znana že pred Keplerjem, dvajseterec je odkril leta ruski matematik Evgraf Stepanovič Fedorov, zlati dvanajsterec pa je leta 0 odkril hrvaški matematik Stanko ilinski. Izdelamo zlati trideseterec in 0 dvanajstercev, ki imajo z njim skladne mejne ploskve. Na vsako mejno ploskev trideseterca prilepimo po en dvanajsterec. obimo rombski 0-erec (slika desno), ki ga je odkril slovenski matematik Izidor Hafner. Model je narejen iz 0 lesenih ploščic. Pri njihovi obdelavi je treba upoštevati, da koti med stranskimi ploskvami merijo º, 0º; oziroma º. Möbiusov trak Za mravljo, ki se sprehaja po listu papirja in prekorači njegov rob, z gotovostjo pričakujemo, da bo prišla na drugo stran lista. Stvari se zapletejo, če se sprehaja po ploskvi, ki ima eno samo stran. Takšno ploskev je odkril nemški matematik ugust Ferdinand Möbius (0 -- ), ponazoritev z mravljami pa dolgujemo M.. Escherju (-) in njegovemu lesorezu Möbiusov trak II (). Najdete ga na naslovu ISM: The International Society of the rts, Mathematics and rchitecture : Vir: Ogleda: 0. september 0

47 Logika & razvedrilna matematika Möbiusov trak je upodabljalo tudi mnogo kiparjev. Med njimi s svojo zgodbo izstopa švicarski arhitekt, kipar in oblikovalec Max ill (0 -- ), ki je - ne vede za skoraj sto let star matematični opis Möbiusove enostranske ploskve - oblikoval svojo skulpturo Neskončni trak (). O tem je pozneje pripomnil,»da je prvi naredil Möbiusov trak, ne da bi vedel, kaj to sploh je«. Trolistni vozel Med slikarji, ki so upodabljali matematične motive, je verjetno najbolj znan nizozemski grafik Maurits ornelis Escher ( - ). V svojih delih se je med drugim ukvarjal z dojemanjem neskončnega, s tlakovanji ravnine, z upodabljanjem nemogočih objektov in risal topološko zanimive motive. Med slednjimi so znani zlasti Vozli. ( ). oromejski obroči Kipcu bi pristajalo tudi ime V slogi je moč. Res: Če presekamo kateri koli člen povezave, razpade vse. Kipec je prostorska inačica objekta, ki je v matematiki znan kot oromejski obroči. Ti so dobili ime po italijanski aristokratski družini orromeo, ki je imela v svojem grbu tri prepletajoče se kroge. Enneperjeva ploskev Svojo mikavno obliko je kipcu dala Enneperjeva ploskev. Gre za neskončno ploskev, ki seka samo sebe.več o njej najdete na naslovu Upodobljen je tisti del ploskve, ki je v okolici njenega središča in ne seka samega sebe. Raztegnjen je vzdolž simetrijske osi.

48 Logika & razvedrilna matematika Enneperjeva ploskev je ena izmed tkim. minimalnih ploskev. Njen model lahko naredimo tako, da iz žice izdelamo rob ploskve in ga potopimo v milnico. Ko ga izvlečemo, dobimo z nekaj sreče na okvirju razpeto minimalno ploskev iz milnega filma. Tekočinska opna se namreč vselej izoblikuje v ploskev, ki ima za dani rob minimalno površino. Rešitve arvni sudoku.

49 Logika & razvedrilna matematika.

50 0 Logika & razvedrilna matematika Latinski kvadrati E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

51 Logika & razvedrilna matematika Sudoku s črkami

52 Logika & razvedrilna matematika Futošiki > < > > > > > > > > < < < > > < > > > > < < < < > < > > < < < > > < < < < >

53 Logika & razvedrilna matematika Rdeči kvadratki R R R R 0 R R R R R 0 R R R 0 R R 0 R R R R R 0 R R R R 0 0 R R 0 R R 0 0 R R R 0 R R R 0 R

54 Logika & razvedrilna matematika Lastnosti lika Srednji Majhen Í Oranžen Kvadrat fi Rumen Oranžen fl Trikotnik R R N R oblika velikost barva Trikotnik Srednji Oranžen Kvadrat R Velik Srednji Ï Majhen Srednji fl Trikotnik R N R oblika velikost Kvadrat Velik Velik fl Kvadrat R Moder R Kvadrat N oblika Petkotnik Rumen fl Srednji R velikost Velik Majhen Srednji R barva Moder Kvadrat fi Petkotnik R Majhen Kvadrat Ï Srednji Majhen Srednji N R N oblika velikost Kvadrat Srednji oloči razpored znakov œ Õ Œ Stavki so neodvisni. Stavek številka je odvisen od ostalih. E Stavki so neodvisni. Õ Ã Œ œ Stavek številka je odvisen od ostalih. œ Õ Œ Stavek številka je odvisen od ostalih. Õ Œ œ à Stavki so neodvisni. E Stavek številka je odvisen od ostalih. Õ Ã œ Œ Stavek številka je odvisen od ostalih.

55 Logika & razvedrilna matematika Gobelini,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

56 Logika & razvedrilna matematika Križne vsote

57 Logika & razvedrilna matematika Križni produkti

58 Logika & razvedrilna matematika Labirint na kocki

59 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na enostavnih poliedrih

60 0 Logika & razvedrilna matematika Grupe Sličice na drugi sliki moramo zaporedoma označiti: {,,,,,,,,,,,,,,, 0, } Linearne grupe: a) {,,,,,, }, {,,,,,, } b) {,,,,,, }, {,,,,,, } Prostorska predstavljivost a) b) 0 0 Imena likov. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavki so neodvisni. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. E

61 Logika & razvedrilna matematika. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. E. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. Stavek pod številko je odvisen od ostalih. E

62 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na robovih poliedra ,,,,,, < 0 0,,,,,, <,,,,, 0< 0,,,,,, 0< ,,,,,,, < 0,,,,,, <

63 Logika & razvedrilna matematika. 0,,,,,, 0, < , 0,,,,,,, < 0,,,,,,, < 0 0,,,,,,,, < 0 0,,,, 0,,,, < 0,,,,, 0,,, <

64 Logika & razvedrilna matematika ,,,,,, 0, < 0,,,,, 0, < 0,,,, 0,,, < 0,,,,,, < 0 0,,,,,, < 0 0,,, 0,,, <

65 Logika & razvedrilna matematika. 0,,, 0,,, < 0,,, 0,,,, < 0 0, 0,,,, < 0 0 0,,,,,,, < 0,,,,, < 0 0 0,, 0,,,,, <

66 Logika & razvedrilna matematika Labirinti na zemljevidu

67 Logika & razvedrilna matematika Večdelni labirinti na zemljevidu

68 Logika & razvedrilna matematika

69 Logika & razvedrilna matematika Labirint v kvadru Protislovne množice izjav Rešitve (ana je samo sugestija za pogoj, ki je v protislovju z ostalimi. Običajno začnemo s tistim pogojem, ki nam največ pove: resnična konjunkcija, neresnična disjunkcija, ):

70 0 Logika & razvedrilna matematika. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji..

71 Logika & razvedrilna matematika. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. 0. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji..

72 Logika & razvedrilna matematika. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. E. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji.. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. E 0. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. E E. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. E. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. E E.

73 Logika & razvedrilna matematika. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. E F E. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. E F. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. F E. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. 0. Pogoj pod številko je v protislovju z ostalimi pogoji. F E F E. Odstranjene kockice 0 Kocki določi mreži,,,,,. Izdaja: Založniško podjetje LOGIK d.o.o., Svetčeva pot, Kamnik. Poslovni račun pri NL: avčna številka: SI0. Podjetje je zavezanec za V po zakonu o V. Za izdajatelja: Izidor Hafner. info@logika.si Spletna stran: Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko. Revijo je sofinanciralo Ministrstvo za izobraževanje, znanost, kulturo in šport. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično računalništvo. Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner ( Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in arjo Felda, prof. Recenzent: Vilko omajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša emšar, dr. Gregor olinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, oštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. leš Vavpetič. Oblikovanje: na Hafner Jezikovni pregled: esana Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev. 0 LOGIK d.o.o. ISSN 0-X LOGIK & RZVERILN MTEMTIK, letnik XXV, št. od, 0/0 Elektronska izdaja. ena revije: 0.

74 Logika & razvedrilna matematika

75 Logika & razvedrilna matematika