kolokvij2_16.dvi

Transkripcija

1 1. Izpit iz klasične ehanike, Po cevi, ki se vrti v vodoravni ravnini s kotno hitrostjo ω, brez trenja drsi nabit delec z aso in naboje e. Vzporedno z ravnino vrtenja vklopio še hoogeno električno polje E. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe gibanja, ter jih reši za prier začetnih pogojev, ko delec ob t = 0 iruje v osi vrtenja. 2. Negativno nabit točkast projektil ( e, ) se siplje na irujoči { pozitivno nabiti togi tarči α/r,r > R (+e,m, velja M ). Potencial tarče zapišeo kot: V =. Skiciraj graf,r R efektivnega potenciala in klasificiraj ožne orbite. Za prier sipalne orbite, ko projektil trči v tarčo, izračunaj kot trka, t.j. kot ed vektorje hitrosti in noralo na površino tarče. Rezultat izrazi z začetnii podatki (b,t ). 3. Na vodoravno podlago postavio stožec z višino h in polero osnovne ploskve r. Zapiši kinetično energijo stožca, ki se po podlagi kotali brez zdrsavanja! Za zapis kinetične energije uporabi Eulerjeve kote, podobno kot za vrtavko s fiksno točko. Potreboval boš tudi vztrajnostni oent, ki ga je ugodno izračunati v cilindričnih koordinatah. 4. Obravnavaj gibanje dveh točkastih uteži, ki sta povezani z lahko togo prečko dolžine l, po notranjosti dolge cevi s preero 2R. Uteži po cevi drsita brez trenja. Njun položaj lahko opišeo v cilindričnih koordinatah z (z 1,φ 1,z 2,φ 2 ), pri čier vse koordinate zaradi vezi niso neodvisne. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in pri te upoštevaj vez! Enačbe gibanja reši ob predpostavki alih odikov od ravnovesne lege. Zapiši lastne nihajne načine in lastne frekvence.

2 2. Izpit iz klasične fizike, , 13h 1. Na vrtiljak, ki se vrti s kotno hitrostjo Ω okrog navpične osi, pritrdio ravno gladko ploščo, tako da je nagnjena za ajhen kot α glede na vodoravno lego. Obravnavaj gibanje koščka ledu, ki brez trenja drsi po plošči in ga ob času t = 0 postavio na ploščo na ajhni razdalji r 0 od osi vrtenja. Zapiši enačbi gibanja za koordinati x in y v vrteče koordinatne sisteu. Nagib je ajhen, zato lahko vzaeš sinα tanα α in z = 0. Enačbi reši in rezultat interpretiraj. 2. Na izi leži votel valj z radije r in aso v. V njegovi notranjosti brez trenja drsi utež z aso. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in izpelji ohranjene količine. Pri te predpostavi, da se valj po izi kotali brez zdrsavanja, utež pa je z valje stalno v stiku. Izračunaj frekvenco nihanja za ajhne odike iz ravnovesne lege. 3. Obravnavaj gibanje delca z aso v centralne potencialu V(r) = α/r β/r 2. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in enačbe gibanja za koordinati r in φ. Iz enačb gibanja izpelji enačbo orbite r(φ). Pri izpeljavi si poagaj tako, da odvode po času nadoestiš z odvodo po kotu φ in z vpeljavo nove spreenljivke u = 1/r. Diferencialno enačbo reši z uporabo nastavka podobnega nastavku u(φ) = A + Bcos(φ), ki bi enačbo rešil za β = 0. Skiciraj orbito za ajhni β > 0! 4. Na vodoravno naeščen obroč nadeneo dve kroglici z aso in eno kroglico z aso. Kroglice spneo z enakii vzeti, kot kaže slika. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in izpelji enačbe gibanja. S poočjo sietrije poišči lastne nihajne načine in izračunaj lastne frekvence. Zapiši Lagrangeovo funkcijo tudi z noralnii koordinatai. Kolikšen delež celotne energije je shranjen v vsake od nihajnih načinov za začetni pogoj, da je ob času t = 0 kroglica z aso odaknjena za ajhen kot iz ravnovesne lege, ostali dve kroglici pa sta v ravnovesni legi?

3 2. Izpit iz klasične fizike, , 10h 1. Obravnavaj gibanje točkastega telesa po površini vrtečega se zaledenelega planeta v obliki krogle s polero R. Za utež zapiši Lagrangeovo funkcijo v vrteče koordinatne sisteu (φ, θ), ki iruje glede na planet. Trenje zaneari. Izpelji enačbe gibanja! Katere količine se ohranjajo? Denio, da ob času 0 postavio na površino planeta utež na geografski širini 45 stopinj, tako da iruje glede na površino planeta. Kakšen bo položaj uteži v kasnejših časih? Račun si olajšaj s prierno izbiro koordinatnega sistea! 2. V lesen valj s polero R in aso M je, na razdalji r od osi, vgrajena tanka železna palica z aso << M (glej sliko). Zapiši enačbe gibanja za prost valj, če ga položio na ravno podlago. Poišči ravnovesne lege in razišči ajhna nihanja valja. r R M 3. V prieru keplerjevskega potenciala pokaži, da za vezane orbite velja zveza 2 T = V, kjer sta T in V dolgi (v prierjavi z obhodni časo) časovni povprečji kinetične in potencialne energije. Poagaj si z zvezaa H = GMµ, kjer so: M vsota as, µ reducirana asa, a glavna 2a polos elipse (orbite) in 2π 2π 0 dφ = 1 1+ǫcosφ 1 ǫ Na vodoravno naeščen obroč nadeneo dve kroglici z aso in dve kroglici z aso in jih spneo z enakii vzeti, kot kaže slika. Kroglice po obroču gladko drsijo. Zapiši enačbe gibanja. S poočjo sietrije poišči lastne nihajne načine in izračunaj lastne frekvence. Denio, da irujoč siste v ravnovesni legi zotio tako, da ob času nič eno kroglico izakneo za kot φ 1 glede na prejšnjo lego. Zapiši položaje kroglic ob kasnejših časih. Kolikšen delež celotne energije je v vsake od lastnih nihajnih načinov?

4 3. Izpit iz klasične fizike, , 14h 1. Obravnavaj gibanje točkastega telesa po površini vrtečega se zaledenelega planeta v obliki krogle s polero 10000k. Za utež zapiši Lagrangeovo funkcijo v vrteče koordinatne sisteu (φ, θ), ki iruje glede na planet. Trenje zaneari. Izpelji enačbe gibanja in jih reši! Denio, da ob času 0 postavio na površino planeta utež na geografski širini 45 stopinj, tako da iruje glede na površino planeta. Kakšen bo položaj uteži v kasnejših časih? Dan naj traja 1dan. 2. Po notranji površini stožca, ki je postavljen tako, da je njegova sietrijska os postavljena navpično se brez trenja giblje utež z aso. Zapiši Lagrangeovo funkcijo. Katere so ohranjene količine? Zapiši celotno energijo sistea in izraz poenostavi z uporabo ohranjene količine, s čier proble prevedeš na eno-dienzionalni proble gibanja v efektivne potencialu. Skiciraj efektivni potencial. Pri kateri energiji je kroženje pri konstantni razdalji r 0 od sietrijske osi stabilna rešitev problea? Denio, da utež, ki tako kroži po stožcu, alenkost suneo v seri prečno na gibanje. S kakšno frekvenco bo utež zanihala okoli lege, ki bi jo iela, če je ne bi sunili? g 3. Okoli Zelje se po eliptični trajektoriji giblje satelit, tako da je najanjša razdalja ed satelito in in središče Zelje 35000k, največja pa r 0 =40000k. Satelit želi popraviti obliko orbite v krožno z radije r 0, zato v trenutku, ko je satelit najbolj oddaljen od središča Zelje za kratek trenutek prižge rakete, tako da ga potisnejo v seri gibanja. Zapiši in skiciraj (tako pred, kot po delovanju potisnih raket) efektivni potencial V eff (r) in ga prierjaj s celotno energijo! Izračunaj za koliko se je zaradi delovanja raket satelitu povečala gibalna količina! Po kakšni orbiti pa bi se gibal satelit, če bi enak potisk raket deloval v radialni seri navzven? Kolikšni sta najanjša in največja razdalja od središča Zelje v tej orbiti? 4. Obravnavaj nihanja sistea prikazanega na sliki! Zapiši Lagrangeovo funkcijo, in izpelji lastne nihajne načine in frekvence. Pri iskanju lastnih nihajnih načinov si poagaj s sietrijo. Uteži se lahko gibljejo le v vzdolžni seri. Denio, da ob času 0 srednjo utež odakneo iz ravnovesne lege, ostali dve pa pridržio v njuni ravnovesni legi. Zapiši odike vseh treh uteži kot funkcijo časa! Kolikšen delež energije je shranjen v vsake od nihajnih načinov? M

5 1. Kolokvij iz klasične fizike, Po drsališču parabolične oblike, ki ga v cilindričnih koordinatah opišeo s funkcijo z = αr 2, brez trenja drsi drobna utež. Izračunaj frekvenco nihanja uteži za ajhne odike od ravnovesne lege. V naslednje koraku naj se isto drsališče vrti okoli navpične (sietrijske) osi s kotno hitrostjo ω l. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in ustrezne enačbe gibanja v vrteče koordinatne sisteu. Enačbe reši in ugotovi, kako se giblje utež v prieru, ko velja ω l ω 0 in jo ob času t = 0s irujočo spustio iz lege r = r Potencialno energijo delca v cilindričnih koordinatah zapišeo kot: V = α(3z 2 r 2 ). Zapiši Lagrangeovo funkcijo ter enačbe gibanja. Enačbe reši pri začetnih pogojih r(0) = 0 in r(0) = v x0î+v z 0 k. V ravnini xz skiciraj tir delca. 3. Po ravne vodilu brez trenja drsi telo z aso 1. Na to telo z lahko palico pritrdio utež z aso 2, kot kaže slika. Zapiši Lagrangeovo funkcijo in enačbe gibanja. Izračunaj frekvenco nihanja za ajhne odike od ravnovesne lege! x φ l g 4. Okoli Zelje po krožnici z radije k kroži satelit. V neke trenutku vanj trči lahki eteorit, tako da satelit izgubi 2 odstotka kinetične energije, ser njegovega gibanja pa se ob trku ne spreeni. Zapiši in skiciraj (tako pred kot po trku) efektivni potencial V eff (r) in ga prierjaj s celotno energijo! Po kakšni orbiti se bo satelit gibal po trku? Kolikšna je najanjša razdalja ed središče Zelje in satelito v tej orbiti?

6 1. Kolokvij iz klasične fizike, Navrtiljaku, kisevrtiskotnohitrostjoω opazujeogibanjeuteži nadolginiti, kijepritrjena vosi vrtenja. Zautež zapiši Newtonov zakon vvrteče koordinatne sisteu (x,y ) vkatere vrtiljak iruje. Odiki nihala iz ravnovesne lege so ali, zato gibanja v seri z ni potrebno eksplicitno upoštevati. Enačbe reši! Hitrost vrtenja ni nujno ajhna, zato upoštevaj tako Coriolisov kot centripetalni del. Splošno rešitev poenostavi za začetni pogoj x (0) = y (0) = 0, v x = v 0, v y = 0 in rezultat interpretiraj. z,z x x y y 2. Potencialno energijo delca v cilindričnih koordinatah zapišeo kot: V = α(3z 2 r 2 ). Zapiši Lagrangeovo funkcijo ter enačbe gibanja. Enačbe reši pri začetnih pogojih r(0) = 0 in r(0) = v x0î+v z 0 k. V ravnini xz skiciraj tir delca. 3. Točkasto telo se giblje po navzdol obrnjeneu rotacijskeu paraboloidu, ki ga v cilindričnih koordinatah opišeo z enačbo z = βr 2 (β > 0). Zapiši Lagrangeovo funkcijo, izpelji enačbe gibanja in ohranjene količine! Enačbe gibanja reši za r za prier, ko ob času nič telo blago izakneo z vrha paraboloida. Kako r narašča kot funkcija časa? Kako pa r narašča ob velikih časih, ko približek alih odikov ni več upravičen? g 4. Za prier keplerjevskega centralnega potenciala so pokazali, da se poleg polne energije in vektorja vrtilne količine, ohranja tudi t.i. Runge-Lenzov vektor (podaja orientacijo orbite). Pokaži, da se tudi za prier centralnega haroničnega potenciala ohranja podobna količina le da ta ni vektor apak tenzor, ki ga zapišeo kot W = 1 p p+ k r r. 2 2

7 1. Kolokvij iz klasične ehanike, Utež z aso gladko drsi po podlagi, ki jo opišeo z funkcijo y(x) = y 0 cos(x/x 0 ). Zania nas pri katerih začetnih pogojih se utež odlepi od podlage. a) Naj enotski vektor e 1 kaže v tangentni seri, e 2 pa v noralni seri na krivuljo y(x). Zapiši e 1 in e 2 v kartezične koordinatne sisteu i,j! Težnostni pospešek g naj kaže v seri j. Zapiši hitrost in pospešek! b) Noralno koponento pospeška izenači s silai, ki delujejo na utež in izpelji zvezo v 2 y +g(1+y 2 ) = 0, (1) ki določa ejno velikost hitrosti, pri kateri se utež odlepi od podlage. ( označuje odvod po x) c) Utež suneo v vodoravni seri z vrha vzpetine (pri x = 0) z ajhno začetno hitrostjo v 0 0. Ali (in če da, pri katere y) se bo utež odlepila od podlage? Odgovor uteelji. 2. Na vrtiljak z obliko z = z 0 /cosh(r/r 0 ) (r je razdalja od sietrijske osi) postavio košček ledu z aso, ki po vrtiljaku gladko drsi. Vrtiljak se vrti okrog navpične (sietrijske) osi s kotno hitrostjo Ω. a) Zapiši hitrost, kinetično energijo in Lagrangeovo funkcijo v vrteče sisteu, v katere vrtiljak iruje! Predpostavi, da je košček ledu vseskozi v stiku z vrtiljako. Predpostavi tudi, da so odiki iz ravnovesne lege ajhni in je zato koponenta hitrosti v navpični seri zanearljiva. b) Košček ledu ob času t = 0 suneo z ajhno hitrostjo v 0 z vrha vrtiljaka. Zapiši enačbe gibanja v vrteče sisteu in jih reši za ajhne odike od r = 0. c) Kako se bo košček ledu ob predpostavki, da je vseskozi v stiku s podlago, gibal po dolgih časih? Gibanje opiši v vrteče sisteu. 3. Dve točkasti telesi z aso povežeo z lahko prečko dolžine l. Eno od uteži nabijeo z naboje e. Siste postavio v hoogeno električno polje E = E 0 k, kjer je E 0 konstanta. a) Zapiši Lagrangeovo funkcijo! Težnostni pospešek zaneari. Iz sietrije problea sklepaj, katere količine se ohranjajo in uporabi za zapis Lagrangeove funkcije koordinate, ki so konjugirane ohranjeni količina! b) Izpelji ohranjene količine! c) Naj ob času t = 0 siste iruje, prečka pa naj kaže v seri, ki je za ajhen θ nagnjen glede na k. Reši enačbe gibanja in določi vrednosti koordinat ob kasnejših časih.

8 2. Kolokvij iz klasične fizike, Dva enaka vztrajnika oblike diska (vztrajnostni oent J), povežeo s torzijsko vzetjo (npr. jekleno palico) vzdolž sietrijske osi. Navor vzeti je sorazeren edsebojneu zasuku vztrajnikov (koeficient vzeti D). Obravnavaj nihanja opisanega sistea: izračunaj lastne frekvence in pripadajoče lastne nihajne načine. Nato privzei, da s kratki sunko navora eneu od vztrajnikov podelio začetno kotno hitrost (ω 0 ). Zapiši rešitev za dane začetne pogoje in izračunaj, kako je polna energija porazdeljena po nihajnih načinih. 2. Negativno električno nabit točkast projektil (-e, ) se siplje na irujoči pozitivno nabiti tarči s trdo sredico (+e, M; velja: M ). Potencial tarče zapišeo kot: { α/r, r > R V(r) =, r R Skiciraj graf efektivnega potenciala in klasificiraj ožne orbite. Za prier sipalne orbite, ko projektil trči v tarčo, izračunaj kot trka t.j. kot ed vektorje hitrosti in noralo na površino tarče. Rezultat izrazi z začetnii podatki (udarni paraeter b, začetna kinetična energija T ). 3. Tanko palico z aso in dolžino l v težišču pritrdio na os nagnjeno za kot θ glede na palico, kot kaže slika. Palico zavrtio okrog te osi s kotno frekvenco ω. S kolikšni navoro deluje palica na stik (prikazan z odebeljeni pravokotniko)? V neke trenutku stik popusti, tako da palica prosto pade. Kako se giblje palica sedaj? Zapiši časovno odvisnost položaja enega od krajišč padajoče palice v irujoče koordinatne sisteu. ω θ 4. Obravnavaj ajhna nihanja sistea sestavljenega iz štirih enakih vzeti ter dveh uteži z aso in dveh z aso M. Zaniali se boo sao za odike v z seri (ta kaže pravokotno na ravnino slike). Za silo vzeti predpostavi Hookov zakon F ij (z i z j ). Z upoštevanje sietrij sistea poišči lastne nihajne načine in izračunaj lastne frekvence. z 1, z 2,M z 3,M z 4,

9 2. Kolokvij iz klasične ehanike, Na inigolfu z velike razdalje l ciljao okroglo odprtino velikosti 2R, ki se nahaja na vrhu blage vzpetine oblike z = k/r 4. Pri dani začetni hitrosti v 0, največ za kolikšen kot glede na idealno linijo proti sredini tarče lahko zgrešio, da boo tarčo vseeno zadeli? Izstrelek lahko obravnavaš kot točkast. Prispevke h kinetični energiji v navpični seri lahko zaneariš. 2. Izračunaj eleente tenzorja vztrajnostnega oenta za hoogen elipsoid z gostoto ρ. Naig: pri integraciji uporabi substitucijo x = au, y = bv in z = cw, kjer so a, b, c polosi elipsoida vzdolž osi x, y in z (s te prevedeš integral po elipsoidu na integral po enotski krogli). Rotacijski elipsoid (polosi a, a, c) vpneo na fiksno os (skozi težišče), ki je glede na sietrijsko os elipsoida nagnjena za kot θ. S kolikšni navoro orao delovati, če želio doseči kotni pospešek α? 3. Za, ed dve steni vpeto, linearno verigo N enakih uteži (asa ), ki so povezane z enakii vzeti (konstanta k), zapiši Lagrangeovo funkcijo oz. atrike za kinetično in potencialno energijo. Za prier N = 5 izračunaj lastne nihajne načine in pripadajoče lastne frekvence. Naig: nastavke za lastne vektorje zapiši z upoštevanje sietrije verige glede na zrcaljenje prek ravnovesnega položja središčne uteži. 4. Drobno utež postavio na vrh ledenega bloka v vdolbino s krožni preseko kot kaže slika. Zapiši Hailtonovo funkcijo in iz nje izpelji enačbe gibanja. Gibanja v seri prečno na ravnino slike ni potrebno upoštevati. Katere količine se ohranjajo? Enačbe gibanja reši za ajhne odike iz ravnovesne lege. Denio, da utež postavio na ledeni blok alenkost stran od dna vdolbine. Izpelji kako se bo siste vedel pote, ko utež spustio! Trenje ed utežjo in ledo, kot tudi ed ledo in tlei zaneari. R M