Bivariatna analiza

Transkripcija

1 11 Bivariata aaliza V tem poglavju obravavamo statističo aalizo slučajega vektorja dveh slučajih spremeljivk Iz vzorca i z uporabo ustrezih statističih metod lahko ugotovimo, ali sta dve slučaji spremeljivki statističo začilo medsebojo odvisi Drugi del tega poglavja opisuje aalizo lieare povezaosti dveh slučajih spremeljivk Vzorec običajo sestavljajo pari vredosti slučajih spremeljivk: X i, Y i, i = 1,,, kjer je velikost vzorca 111 Preizkušaje statističe odvisosti Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : spremeljivki X i Y sta eodvisi, H 1 : spremeljivki X i Y sta odvisi Za preizkušaje domeve o statističi povezaosti med dvema slučajima spremeljivkama X i Y a osovi vzorčih podatkov uporabimo test χ Ta test temelji a primerjavi empiričih (dejaskih frekvec s teoretičimi frekvecami Vzorec slučajega vektorja X l, Y l, l = 1,, razporedimo v razrede (k X razredov za spremeljivko X i k Y razredov za spremeljivko Y Števila elemetov vzorca v razredih, to so empiriče oziroma dejaske frekvece ˆ ij, i = 1,, k X, j = 1,, k Y, prikažemo v kotigeči pregledici (pregledica 111 Teoretiče frekvece oziroma teoretiče velikosti razredov ij v kotigeči pregledici izračuamo po asledji eačbi: ij = P [(X = x i (Y = y j ] (111 Z izrazom (X = x i (Y = y j opišemo dogodek, da slučaja spremeljivka X zavzame vredost v i-tem razredu, slučaja spremeljivka Y pa v j-tem razredu Ob predpostavki, da velja ičela hipoteza, da sta slučaji spremeljivki X i Y eodvisi, lahko verje-

2 Bivariata aaliza tost produkta dogodkov (X = x i (Y = y j zapišemo kot produkt verjetosti P [X = x i Y = y j ] = P [X = x i ] P [Y = y j ] Pregledica 111: Dejaske velikosti razredov Spremeljivka X Vsota za vse Spremeljivka Y 1 k X razrede Y 1 ˆ 11 ˆ 1 ˆ kx 1 ˆ Y 1 ˆ 1 ˆ ˆ kx ˆ Y k Y ˆ 1 ky ˆ ky ˆ kx k Y ˆ Y ky Vsota za vse razrede X ˆ X1 ˆ X ˆ X kx Verjetosti, da je X = x i oziroma Y = y j lahko oceimo iz vzorca: P [X = x i ] = ˆ Xi i P [Y = y j ] = ˆ Y j (11 Če eačbi (11 upoštevamo v eačbi (111, lahko zapišemo koči izraz za določitev teoretičih velikosti razredov ij ij = ˆ Xi ˆ Y j (113 Sestavimo kotigečo pregledico teoretičih frekvec ij ter jih s statistiko H primerjamo z dejaskimi: H = k X k Y j=1 ( ij ˆ ij ij (114 Statistika H se porazdeljuje po porazdelitvi χ z ν = (k X 1(k Y 1 prostostimi stopjami Kritičo območje za zavritev ičele domeve je [χ 1 α,ν, Če je statistika H > χ 1 α,ν, ičelo domevo zavremo i trdimo, da sta slučaji spremeljivki statističo začilo medsebojo odvisi Primer 111 Aketirace, ki jih razporedimo po starosti v tri skupie (mlajši, sredji, starejši, vprašamo, kaj si mislijo o ekem ukrepu ašega župaa Moža sta dva odgovora: za ali proti Rezultate podajamo v asledji kotigeči pregledici

3 111 Preizkušaje statističe odvisosti 185 Pregledica 11: Dejaske velikosti razredov Meje o Starost Vsota ukrepu mlajši sredji starejši za proti Vsota Ugotoviti želimo ali starost meščaov vpliva a meje o ukrepu župaa Tvegaje aj bo eako 5 % Rešitev: Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : Meje o ukrepu je eodvisa od starosti meščaov, H 1 : Meje o ukrepu je odvisa od starosti meščaov Statistiko H bomo določili po eačbi (114 Zato moramo ajprej izračuati teoretiče velikosti razredov ij po eačbi (113, ki jih prikazujemo v asledji pregledici Pregledica 113: Teoretiče velikosti razredov Meje o Starost Vsota ukrepu mlajši sredji starejši za proti Vsota Glede a tvegaje α = 005 lahko zapišemo kritičo območje: [χ 1 α,ν,, kjer je število prostostih stopej eako ν = (3 1( 1 = Če bo statistika H večja od χ 1 α,ν, ičelo hiptezo zavremo i trdimo, da sta meje o ukrepu i starost aketiracev odvisi slučaji spremeljivki Mejo kritičega območja odčitamo iz pregledic ali izračuamo z račuališkim programom (a primer EXCEL χ 1 α,ν = χ 095, = 5991 Statistika H je H = k X k Y j=1 ( ij ˆ ij ( ( ( = ij = 7878 Ker je H = 7878 > χ 095, = 5991, ičelo hipotezo zavremo i trdimo, da je meje o ukrepu statističo začilo odviso od starosti meščaov

4 Bivariata aaliza Ugotovimo še dejasko tvegaje ob zavritvi ičele hipoteze! Iz porazdelitvee fukcije porazdelitve F χ (glej sliko 105 lahko izračuamo 1 α = F χ (7878 α = 1 F χ (7878 = = Tvegaje je torej ekoliko pod % Ker je to tvegaje ižje od predpisaega tvegaja α = 5 %, smo ičelo hipotezo zavrili 11 Preizkušaje lieare povezaosti Povezaost med dvema številskima spremeljivkama grafičo poazorimo z razsevim grafom (slika 111 Y R = Y R = X Y R = Y X R = X Y R = X X 30 Slika 111: Vzorci X i Y z različo liearo povezaostjo

5 11 Preizkušaje lieare povezaosti 187 Liearo povezaost med dvema spremeljivkama merimo s kovariaco (glej tudi primera 63 i 64: σ XY = X Y j=1 (x i m X (y j m Y p XY (x i, y j oziroma σ XY = (x m X (y m Y f XY (x, y dx dy Brezdimezijska mera liere povezaosti je Pearsoov koeficiet korelacije: ρ XY = σ XY σ X σ Y Iz vzorčih podatkov X i, Y i, i = 1,, lahko oceimo kovariaco po asledji eačbi: ˆσ XY = S XY = 1 (X i X(Y i Ȳ, kjer je število opazovaj v vzorcu, X povprečje vzorca Xi i Ȳ povprečje vzorca Y i Ocea koeficieta korelacije pa je ˆρ XY = R XY = S XY S X S Y = (X i X(Y i Ȳ (X i X (Y i Ȳ Pome parametra ρ XY oziroma R XY za različe vzorce prikazujemo a sliki 111 V primerih, kjer je parameter R blizu ič, lahko govorimo o zelo slabi lieari povezaosti Če se R približuje vredosti ea, sta spremeljivki močo pozitivo liearo povezai, če pa se približuje vredosti 1, sta spremeljivki močo egativo liearo povezai Statističo sklepaje o lieari povezaosti Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : ρ XY = 0 (spremeljivki ista liearo povezai H 1 : ρ XY 0 (spremeljivki sta liearo povezai Statistika T T = R XY 1 RXY (115

6 Bivariata aaliza se v tem primeru porazdeljuje po Studetovi porazdelitvi t z ν = prostostimi stopjami Kritičo območje oziroma območje zavritve je (, t 1 α/ ], [t 1 α/, Če je torej vredost statistike T majša od t 1 α/ ali večja od t 1 α/, lahko s tvegajem α zaključimo, da sta spremeljivki statističo začilo liearo povezai 113 Regresija Regresijska fukcija Ŷ = f(x opisuje, kakše je vpliv spremeljivke X a Y brez drugih vplivov, ki so lahko posledica vpliva drugih spremeljivk ali slučajega odstopaja Slučajo spremeljivko Y lahko zapišemo kot vsoto dveh spremeljivk Y = Ŷ + ε = f(x + ε, kjer spremeljivko X imeujemo eodvisa spremeljivka, slučajo spremeljivko Y pa odvisa spremeljivka ter ε apaka (ali slučajo odstopaje Neodvisa spremeljivka X je determiističa ali slučaja Poglejmo dva primera: 1 Ugotavljamo zvezo med trdostjo zemljie Y i globio od površja X Glede a to, da si globio lahko sami izberemo, lahko privzamemo, da je eodvisa slučaja spremeljivka determiističa Aaliziramo, kako sta povezaa elastiči modul X i trdost Y betoa V tem primeru moramo arediti preizkus, kjer a istem preizkušacu ajprej izmerimo elastiči modul, ato pa še trdost V tem primeru sta obe spremeljivki slučaji Običajo predpostavimo, da se ε porazdeljuje ormalo s pričakovao vredostjo 0 i stadardo deviacijo σ E[ε] = 0 var[ε] = σ 1131 Lieara regresija V primeru, da je regresijska fukcija lieara Ŷ = f(x = a + b X, zapišemo regresijsko eačbo takole: Y = Ŷ + ε = f(x + ε = a + b X + ε Za posamezi elemet vzorca X i i Y i zapišemo asledjo regresijsko eačbo: Y i = Ŷi + ε i = a + b X i + ε i Z regresijo določimo tiste vredosti oce â i ˆb, da je prilegaje regresijske premice elemetom vzorca čimboljše Če za določitev ocee parametrov â i ˆb uporabimo metodo ajmajših kvadratov, moramo poiskati miimum fukcije S(a, b, ki predstavlja vsoto kvadratov odstopaj ε i S(a, b = ε i = (Y i Ŷi = (Y i (a + b X i

7 113 Regresija 189 Fukcijo S(a, b odvajamo po a i b i zahtevamo, da so ti odvodi eaki ič S a = S b = (Y i â ˆb X i ( 1 = 0, (Y i â ˆb X i ( X i = 0 Po preureditvi zgorjih izrazov dobimo sistem dveh liearih eačb z dvema ezakama â i ˆb Temu sistemu pravimo tudi sistem ormalih eačb: ( â + X i ˆb = Y i, ( ( X i â + X i ˆb = Y i X i, ki ga lahko zapišemo tudi v matriči obliki X i X i X i â = ˆb Y i Y i X i Sistem liearih eačb lahko rešimo a različe ačie Morda ajbolj običaje ači je reševaje z Gaussovo elimiacijo, tako da sistem preoblikujemo tako, da je matrika sistema zgorja trikota Prvo eačbo pomožimo z X i/ i prištejemo drugi eačbi: ( â + X i ˆb = Y i, 0 â + ( ( Xi 1 ( X i 1 ˆb = Y i X i Y i X i Iz druge eačbe v sistemu (116 lahko določimo oceo ˆb ˆb = ( ( 1 Y i X i Y i X i ( Xi 1 X i (116

8 Bivariata aaliza Če imeovalec i števec delimo z i upoštevamo eačbi (6 i (14, dobimo ˆb = 1 ( ( Y i X i 1 1 Y i X i ( 1 = Xi 1 X i 1 1 Y i X i Ȳ X = Xi X Uporabimo še prvo eačbo iz sistema (116 i določimo oceo parametra â S XY S X (117 â = 1 Y i 1 X iˆb = Ȳ X ˆb = Ȳ S XY S X X (118 Ocei parametrov â i ˆb sta slučaji spremeljivki, za katere lahko zapišemo sredji vredosti i variaci: E[â] = a var[â] = σ E[ˆb] = b var[ˆb] = σ S X (1 + X S X (119 Izraza za sredji vredosti pričata, da sta obe ocei epristraski Iz izrazov za variaco pa vidimo, da velikost odstopaj ε, ki se odraža z variaco σ vpliva a povečaje variace obeh oce, medtem ko ta variaca pada z velikostjo vzorca Variaci obeh oce parametrov smo izrazili z variaco σ slučaje spremeljivke ε, ki predstavlja odstopaja elemetov vzorca od modela oziroma regresijske premice Te variace običajo e pozamo, zato jo moramo oceiti iz vzorca Nepristrasko oceo ˆσ določimo po asledji eačbi ˆσ = 1 ε i = 1 (Y i â ˆb X i = S Y (1 R XY, (1110 kjer smo pri račuu variace delili z, saj se je število prostostih stopej pri določitvi dveh oce parametrov â i ˆb zmajšalo za dve Preizkušaje domeve o vredosti koeficieta b Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : b = b 0, H 1 : b b 0 Testa statistika T je ormiraa ocea parametra ˆb tako, da ima sredjo vredost eako ič i stadardo deviacijo ea Če amesto variace σ zapišemo jeo oceo ˆσ i uporabimo eačbi (117 i (1110,

9 113 Regresija 191 dobimo asledji izraz T = ˆb E[ˆb] var[ˆb] = ˆb b 0 σ S X = S XY SX b 0 S Y 1 R XY 1 S X Ta statistika se porazdeljuje po porazdelitvi t z ν = prostostimi stopjami Z ičelo domevo ajpogosteje predpostavimo, da je b = 0, kar ustreza predpostavki, da sta slučaji spremeljivki X i Y liearo eodvisi V tem primeru lahko iz zgorjega izraza izpeljemo eačbo za določitev statistike T T = S XY S X S Y 1 R XY = R XY, ( RXY ki smo jo že uporabili pri preizkušaju domev o lieari eodvisosti med dvema slučajima spremeljivkama Primer 11 V asledji pregledici podajamo lete povpreče kocetracije žveplovega dioksida SO v Mariboru za obdobje od 199 do 00 Glavi vir oesažeja z žveplovim dioksidom so termocetrale, ki za gorivo uporabljajo premog (pri as Šoštaj i Trbovlje, majši izvori pa so termocetrale oziroma toplare, ki za gorivo uporabljajo afto Meja vredost povpreče lete kocetracije SO po Direktivi Sveta EU (99/30/EEC je eaka 0 µg/m 3 Pregledica 114: Lete povpreče kocetracije SO v Mariboru v µg/m 3 Leto SO Vir: Oesažeost zraka v Sloveiji v letu 00, Poročilo Agecije Republike Sloveije za okolje (ARSO, Miistrstvo za okolje i prostor Določimo ocei za parametra â i ˆb lieare regresije Če bi veljal lieari model, katerega leta bi bila kocetracija eaka ič? Določimo oceo stadarde deviacije odstopaj od modela sigma ˆ i preizkusimo domevo o parametru b oziroma domevo o lieari eodvisosti med spremeljivkama Tvegaje aj bo eaodstoto Rešitev: Prede začemo z reševajem aloge, bomo vredosti za leta spremeili tako, da bodo leta (spremeljivka X tekla od 0 do 10 To aredimo zato, da vredosti S X, S XY i ocee parametra â e bodo prevelike številke Povprečo leto kocetracijo SO ozačimo z Y Nove podatke podajamo v pregledici 115, skupaj z rezultati za vredost modela i odstopaj od modela

10 19 11 Bivariata aaliza Pregledica 115: Lete povpreče kocetracije SO, lieari model i odstopaja X Y Model Odstopaja Ocei parametrov â i ˆb ter oceo stadarde deviacije ˆσ določimo iz eačb (117, (118 i (1110 Iz vredosti osovih statistik za dae podatke X = 5, Ȳ = 3636, S X = 10, S Y = 14050, S XY = R XY = lahko izračuamo ocee S XY ˆb = SX = = 36545, 10 â = Ȳ ˆb X = 3636 ( = 41909, ˆσ = S Y (1 RXY = (1 ( = Zapišemo lahko lieari model, ki se po metodi ajmajših kvadratov ajbolje prilega podatkom: Ŷ = f(x = X (111 Z eačbo (111 lahko izračuamo vredosti modela v točkah, kjer imamo podatke i odstopaje modela od pravih vredosti (pregledica 115 Iz eačbe (111 lahko izračuamo tudi leto, ko bi morala biti povpreča leta kocetracija SO eaka ič, če bi bil lieari model ustreze X = 0 X = = 1147 To bi pomeilo, da bi morala biti povpreča leta kocetracija SO eaka ič ajpozeje v letu 004 To se seveda i zgodilo, kar pomei, da je lieari model sicer ustreze za obdobje od 199 do 00, ekstrapolacija z liearo fukcijo pa v tem primeru i bila ustreza Grafiči prikaz podatkov i liearega modela prikazujemo a sliki 11

11 113 Regresija 193 Kocetracija SO Leta (od 199 dalje Slika 11: Povpreča leta kocetracija SO v obdobju od 199 do 00 Nazadje preizkusimo še domevo o lieari eodvisosti spremeljivk X i Y Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : b = 0, H 1 : b 0 Statistiko T izračuamo po eačbi (115 T = R XY = 1 RXY ( = Meja kritičega območja je t 1 α/ = 350 Ker je vredost statistike T = majša od t 1 α/ = 350, moramo ičelo domevo zavriti i trdimo, da je parameter b statističo začilo različe od 0 Zaključimo lahko tudi z izjavo, da sta spremeljivki X i Y statističo začilo liearo odvisi 113 Nelieara regresija Rezultati pogosto kažejo, da zveza med dvema spremeljivkama i lieara Obravavajmo ajprej fukcijo z dvema parametroma a i b Y = Ŷ + ε = f(x, a, b + ε Ocei parametrov â i ˆb določimo po metodi ajmajših kvadratov tako, da poiščemo miimum fukcije S(a, b = ε i = (Y i Ŷi = (Y i f(x, a, b

12 Bivariata aaliza Ta fukcija je v splošem elieara glede a parametra a i b, zato je iskaje miimuma lahko zelo zahteva Nelieara fukcija ima lahko mogo lokalih ekstremov, iskaje globalega miimuma pa je še vedo problem, ki ga poskušajo rešiti mogi raziskovalci Metod i jihovih različic je mogo, v grobem jih lahko delimo a gradiete metode (a primer Newtoova metoda i geetske algoritme Problem se zelo poeostavi, če je fukcija f(x, a, b lieara glede a parametra a i b, sicer pa je lahko poljuba elieara fukcija f(x, a, b = a f 1 (X + b f (X Taki primeri so: f(x, a, b = a + b X, f(x, a, b = a si X + b cos X, f(x, a, b = a log X + b cos X Ocei parametrov â i ˆb določimo po metodi ajmajših kvadratov S(a, b = ε i = (Y i Ŷi = (Y i a f 1 (X + b f (X Fukcijo S(a, b odvajamo po parametrih a i b ter zahtevamo, da sta odvoda eaka ič S a = S b = (Y i â f 1 (X i ˆb f (X i ( f 1 (X i = 0, (Y i â f 1 (X i ˆb f (X i ( f (X i = 0 Podobo kot pri lieari regresiji dobimo tudi v tem primeru sistem liearih eačb ( ( f1 (X i â + f 1 (X i f (X i ˆb = f 1 (X i Y i, ( f 1 (X i f (X i â + ( f (X i ˆb = f (X i Y i, ki ima eoličo rešitev le v primeru, da je determiata sistema različa od ič Ta pogoj je izpolje v primeru, da sta fukciji f 1 (x i f (x liearo eodvisi Iz zadjega sistema eačb lahko hitro izpeljemo sistem eačb za liearo regresijo, če zapišemo, da je f 1 (x = 1 i f (x = x Včasih je fukcija f(x, a, b taka, da jo s preprosto trasformacijo prevedemo v liearo fukcijo Tudi

13 113 Regresija 195 v tem primeru je določitev oce parametrov â i ˆb relativo preprosto Nekaj takih fukcij z ustrezo trasformacijo opisujemo z asledjimi izrazi: Y = 1 a + b X Y = a b X Y = a e bx Y = a X b Y = l(a + b X 1 Y 1 Y = a + b X Z = a + b X l Y l Y = l a + X l b Z = A + B X l Y l Y = l a + X b Z = A + b X l Y l Y = l a + b l X Z = A + b W e Y e Y = a + b X Z = a + b X (1113 Druga i tretja eačba predstavljata isti model, drugače je le zapis eačbe Primer 113 Vrimo se k problemu, ki smo ga obravavali v primeru 11 Namesto lieare regresije poskusimo, ali je morda bolje uporabiti eliearo (ekspoeto regresijo S primerjavo oce variace odstopaj ˆσ lahko ugotovimo, kateri model se bolje prilega podatkom Rešitev: Regresijska fukcija je v tem primeru Ŷ = f(x = a e bx Eačbo logaritmiramo i dobimo l Ŷ = l a + b X Z = A + b X Podatke iz pregledice 115 preuredimo tako, da izračuamo še vredosti spremeljivke Z = l Y V pregledici 116 prikazujemo vredosti spremeljivke Z ter vredosti, ki jih določimo z ekspoetim modelom, i odstopaja ekspoetega modela od dejaskih podatkov Pregledica 116: Vredosti spremeljivk X, Y i Z, ekspoeti model i odstopaja X Y Z = l Y Model Odstopaja Izračuati moramo še osove statistike za slučajo spremeljivko Z: Z = 308, SZ = 0866, S XZ = 16717

14 Bivariata aaliza i ocei parametrov  i ˆb S XZ ˆb = SX = = , 10  = Z ˆb X = 308 ( = 38636, â = eâ = Če primerjamo vredosti modela v pregledicah 115 i 116, vidimo, da so odstopaja bistveo majša pri ekspoeti regresiji Oceo variace odstopaj ˆσ določimo po eačbi (1110 ˆσ = 1 ε i = 1 ( X Y i âeˆb i 1 ( = ( = Ocea variace odstopaj ˆσ je torej bistveo majša kot v primeru lieare regresije Primerjavo med liearo i ekspoeto regresijo prikazujemo tudi a sliki 113 Tudi iz slike je očito, da je v tem primeru ekspoeta regresija boljša od lieare Kocetracija SO Leta (od 199 dalje Slika 113: Povpreča leta kocetracija SO v obdobju od 199 do Lieara regresija več spremeljivk Lieara regresija več spremeljivk oziroma multipla lieara regresija je posplošitev lieare regresije ee same eodvise spremeljivke Ta problem pravzaprav e sodi v poglavje Bivariata aaliza, saj tu aaliziramo več kot dve spremeljivki Vseeo bomo to sov podali a kocu tega poglavja, saj se eposredo avezuje a liearo regresijo V tem primeru obravavamo model odvisosti med spremeljivkami X j, j = 1,, k i slučajo spremeljivko Y

15 113 Regresija 197 Vzorec je v tem primeru običajo poda z vredostmi X ij, i = 1,,, j = 1,, k eodvisih sremeljivk i ustreze vredosti Y i, i = 1,, spremeljivke Y Lieari model zapišemo z eačbo Y = Ŷ + ε = a + b 1 X 1 + b X + + b k X k + ε, kjer ε, podobo kot pri lieari regresiji ee spremeljivke, predstavlja odstopaje od modela Običajo predpostavimo, da je ε porazdelje ormalo s pričakovao vredostjo ič i stadardo deviacijo σ Za posamezi elemet vzorca X ij, Y i zapišemo regresijsko eačbo takole: Y i = a + b 1 X i1 + b X i + + b k X ik + ε i = a + k b j X ij + ε i Z regresijo želimo določiti ocee ezaih regresijskih parametrov â i ˆb j tako, da bodo odstopaja dejaskih vredosti Y i od modela čimmajša Uporabimo metodo ajmajših kvadratov, s katero iščemo miimum fukcije k S(a, b j = ε i = Y i a b j X ij = (Y i a b 1 X i1 b X i b k X ik j=1 Miimum te fukcije določimo tako, da jo odvajamo po a i b j ter postavimo pogoj, da so ti odvodi eaki ič: S a = (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( 1 = 0 S b 1 = S b = S b k = j=1 (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( X i1 = 0 (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( X i = 0 (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( X ik = 0 Po preureditvi zgorjih eačb dobimo sistem k + 1 liearih eačb za k + 1 ezao oceo parametrov â i ˆb j â + Xi1 â + Xi1 ˆb1 + Xi ˆb + + Xik ˆbk = Y i, X i1 ˆb1 + X i X i1 ˆb + + X ik X i1 ˆbk = Y i X i1, Xi â + X i1 X i ˆb1 + X i ˆb + + X ik X i ˆbk = Y i X i, Xik â + X i1 X ik ˆb1 + X i X ik ˆb + + X ik ˆbk = Y i X ik,

16 Bivariata aaliza kjer smo z zakom za vsoto zapisali vsoto Ta sistem ormalih eačb lahko zapišemo tudi v matriči obliki Xi1 Xi Xik â Xi1 X i1 Xi X i1 Xik X i1 ˆb1 Yi Yi X i1 Xi Xi1 X i X i Xik X i = Yi X i (1114 ˆb Xik Xi1 X ik Xi X ik X ik ˆbk Yi X ik Primer 114 V okviru projekta za določitev trdosti lesa smo izmerili različe lastosti a istih leseih deskah Na spodji pregledici prikazujemo rezultate za 0 desk Predpostavimo, da je upogiba trdost f leseih desk odvisa od elastičega modula E i gostote ρ Določimo ocee za koeficiete regresijske fukcije y = a + b 1 x 1 + b x x 1 = E [MPa] x = ρ [kg/m 3 ] y = f [MPa] Rešitev: Za določitev oce â, ˆb 1 i ˆb uporabimo prve tri vrstice v eačbi (1114 izračuati asledje vsote: Zato moramo

17 113 Regresija 199 X i1 = = 08404, X i = = 9139, Xi1 = = , Xi = = , X i1 X i = = , Y i = = 6609, X i1 Y i = = , X i Y i = = Iz liearega sistema eačb izračuamo ocee parametrov lieare regresije â ˆb1 ˆb = â ˆb1 ˆb =