1. Kako opišemo povezano in pogojno verjetnost dogodkov A in B? Kdaj sta dogodka A in B statistično povezana in kdaj neodvisna? Kaj je popolna verjetn

Transkripcija

1 . Kako opšemo povezao pogoo veretost dogodkov A B? Kda sta dogodka A B statstčo povezaa kda eodvsa? Ka e popola veretost dogodka B? Ka opsue Baesov teorem? Navedte prmer uporabe Baesovega teorema. * Povezaa veretost dogodka P A B P B / A P A P A / B P B Dva epovezaa dogodka P A B P A + P B ( B ) 0 P A * Pogoa veretost dogodka B pr pogou A da se zgod A e: N P ( A B A B ) P ( A/ B ) P ( B) 0 N P B B * Dva povezaa dogodka P A B P A + P B P A B Dva dogodka sta statstčo povezaa če u presek praza možca P A B 0 * Neodvsa dogodka Če e veretost dogodka A eodvsa od pogoa B obrato če e veretost dogodka B eodvsa od pogoa A pravmo da sta dogodka eodvsa P ( A B ) P ( A / B ) P B ( ) ( / ) P ( A) P ( B ) P ( B ) ( / ) P ( A) P ( B ) P ( A) P A B P A P B P A B P B A P A P B * Popola veretost dogodka B e gotova veretost e eaka: P ( B ) P ( S ) e P(S)veretost vzorčega prostora Izpelava Baesovega teorema: pr čemer

2 ( A) P ( A) P B P B / A P A 0 P B P B P B A P B P B / A P A aprora vredost P B A P B / A P A P A B P B / A P A P A / B P B P [ B] P B / A P A P A / B Baesov teorem P B Baesov teorem uporabmo za zraču veretost da e ek slab zdelek z celote prozvode bl aree a ekem strou.. Ka e osova aloga statstke? Kako e opredeleo povpreče <> kakše so lastost te celke? Izpelte zraza za statstčo povpreče E[<> ] varaco vzorčega povpreča Var(<> ). * Osova aloga statstke e da glede a vzorec sklepa kakše so lastost celote populace. * Vzorčo povpreče e defrao < > Od vzorca do vzorca se povpreče <> sprema zato spada med akluče spremelvke. * Pr stal razsežost vzorca lahko določmo statstčo povpreče: E < > E X m E < > m Ker e statstčo povpreče <> eako vzorčemu povpreču pravmo da e eprstraska celka * Raztros vzorčega povpreča <> opšemo z varaco: Var E ( m) < > < > Var [ ] σ Var < > σ < > σ al σ < > 3. Opšte čemu e amee HI-kvadrat prlagodtve test. Opredelte statstko HIkvadrat prlagodtveega testa eo porazdeltev veretost ter poaste, kako test poteka kakše e sklep. Kako e pr tem testu opredelea apaka prve druge vrste. * S pomočo HI-kvadrat prlagodtveega testa ugotavlamo kako se emprč podatk prlagaao ek porazdeltve fukc. Zamslmo s prmer pr katerem smo z vzorcem razsežost dobl emprčo zbro porazdeltev F() za katero domevamo da o e mogoče opsat s teoretčo zbro porazdeltveo fukco F 0 ()

3 slka Za ugotavlae uemaa uporabmo metodo zavračaa H(FF 0 ). Kadar vredost statstke k o zračuamo e pade v krtčo področe, hpoteze e zavremo. H : f N µ, σ f 0 0 H : f f χ 0 0 > r ( ) r 0 ( 0 ) r ( p p 0 ) 0 p p p Če vela χ > χ H α, r l 0 zavremo (to e apaka. reda) * Napaka prvega reda e ko hpotezo zavremo klub temu da e pravla. Ker e vzorčo povpreče <> akluča spremelvka lahko zavzame vredost zotra al pa zve tervala zavračaa. Kadar e zmerea vredost v tervalu zavračaa hpotezo H 0 zavremo. Veretost da se to zgod meuemo STOPNJA ZNAČILNOSTI α. P < > S f d α ( c ) 0 Sc * Napaka drugega reda e ko hpoteza pravla zavrea. Parameter β ustreza veretost da zmermo vzorčo povpreče zve krtčega področa S c. Zato pome β veretost spreema apače hpoteze kar ustreza apak drugega reda. 4. Kako sta povezaa vhod zhod sgal pr learem časovo eodvsem sstemu? Kako sta defra mpulza frekveča odzva fukca learega sstema? Kako e opredelea spektrala gostota stacoarega procesa kakše e e fzkal pome? Kako e opredelea spektrala gostota zhoda learega sstema, če pozamo spektralo gostoto stacoarega vhoda. *Kako sta povezaa vhoda zhoda spremelvka pr časovo eodvsem learem sstemu. ( t) H ( t) X(t)-akluč proces, vhod sgal Y(t)-trasformra akluč proces, zhod sgal

4 H-smbolča ozaka za trasformaco ozroma vplv ssstema (operator) Odzv (t) learega sstema e poda z learo trasformaco vhoda (t). ( t ) H ( t ) H ( t ') δ ( t t ') dt ' ( ') δ ( ') ' ( ') (, ') t H t t dt t dg t t t ' h t, t ' dt ' *Defca mpulza lm t t δ t t ( ) ( ) t t : t t ; t + I ( t t ) t 0 : drugo frekveč odzv fukce t t lm % t 0 0 t I t t t % 0 δ ( ) t ' t t ' dt ' t-t't'' dt'dt'' ( ) δ t t '' t '' dt '' - H ( ( t ) ) t H ( t ') δ ( t t ') dt ' ( δ ) t ' H t t ' dt ' t ' h t t ' dt ' kovolucsk tegral t-t't'' dt'dt'' ( ) t t t '' h t '' dt '

5 Odzv sstema a harmočo vzbuae (t) e ωt ( ') ( ') t t t h t dt ω ( ') ωt ( ω ) ω t t t t e h t ' dt ' e h t ' dt t e H ωt ( ω ) H e h t ' dt ' frekveča odzva fukca * Spektrala gostota pome gostoto moč, k o kompoete s krožo frekveco v tervalu dω okol ω prspevao k skup moč sgala. ωt S ( ω ) R ( t ) e dt Spektrala gostota learega sstema če pozamo spektralo gostoto stacoarega vhoda? ωt e R ( t ) H ( ω ) H ( ω ) δ ( ω + ω ) S ( ω ) dω dω π ωt R ( t ) H ( ω ) H ( ω ) e S ( ω ) dω π H - ( ω ) H '' ( ω ) ωt R ( t ) H ( ω ) e S ( ω ) dω π ωt S ( ω ) e dω π ( ω ) ( ω ) S t H S spektrala gostota zhodega procesa (t) /

6 5.)Izpelte Bomsko porazdeltev Bomsko porazdeltev uporablamo pr pozkush, ker sta moža le dva razlča zda poskusa, tpče prmer e met kovaca. Izpelava : -števlo poskusov -števlo ugodh zdov P A p q + P B P S P A B P A P B p + q q p Veretost, da se poav A -krat v pozkush e p q.števlo vseh možh zadetkov, ker se A poav -krat e eako števlu razlčh razporedtev elemetov a mesth, pr čemer e elemetov v eakh A - eakh B.! To števlo e: ( )!( )! Veretost, da se v pozkush poav dogodek A -krat e tore: P ( ) p q ( ) ( ) P ( ) p ( p) Za veče vredost s za zraču fakultete poslužmo aslede eačbe:! e π 6.)Kako prdemo z Bomske do Possoove porazdeltve?

7 p Θ p Θ p << Θ...povpreča vredost >> [ ; ] P ( )... ( ( ) ) Θ! Θ Θ Θ Θ P [ ; ]! Θ P [ ; ] e! ker e : Θ Θ Θ lm lm e Θ Θ 7.)Kako v Possoovo porazdeltev vpelemo časovo pogoost al frekveco dogodka. ν 0 -frekveca prezkusa ν-frekveca dogodkov t-čas traaa ν t 0 Θ p p ν t ν ν t 0 Θ ν t 0 Θ Θ P [ ; t ] e! ( ν t) ν t P [ ; t ] e! 8.)Kako opšemo akluče lastost dvodmezoalh aklučh vektorev?kako so opredelee komulatva porazdeltev fukce, ea gostota gostota pogoe veretost. Kako e opredelea roba porazdeltvea fukca?kako so opredelee povpreča vredost vektora,korelaca kovaraca med obema kompoetama? Lastost dvodmezoalega vektora:.) F ( +, + ) P S,,,, P [ S ].) F (, ) ) F (, + ) P X, Y + P X F ( ) F ( +, ) P Y +, Y P Y F ( )

8 4.)Komulatva porazdeltvea fukca:, F (, ) f (, ) d d P X, Y < 5.)Gostota porazdeltvee veretost F(, ) f (, ) če e F odvedlva 6.)Rob porazdeltv u gostot: F ( ) f (, ) d d,,, F ( ) f (, ) d d, f ( ) f (, ) d f ( ) f (, ) d Komulatva porazdeltvea fukca:, F (, ) f (, ) d d P X, Y Gostota porazdeltvee veretost: F (, ) f (, ) Povezaa veretost, k ustreza ftzemalem mahem področu: P X < + d, < Y < + d P X + d, Y + d P < Y + d Pogoa veretost, kadar e f ( ) 0 f (, ) dd f (, ) P [ < X + d, < Y + d] f ( ) d f ( ) [, ] dp f (, ) f d f ( ) / ( / ) Povpreča vredost: N < > p N N Korelaca e povpreča vredost produkta dveh aklučh spremelvk.prv poveza momet meuemo korelaca ga deframo: R m, E [, ] dp(, )

9 Kovaraca: K cov [, ] E ( m)( m ) ( m)( m) d p 9.)Kako e zazamova test za preverae eakost dveh ormalh poavov? V ta ame uporabmo test Kolmogorova, za kar potrebuemo vzorče porazdeltvee fukce. Pogostee kot porazdeltve fukc pa sta za vzorč povpreč < > < > ter vzorč varac S S.V ta ame hpotezo o eakost dveh porazdeltveh fukcah prevedemo v hpotezo eakost sredh vredost stadarde devace. H ( F ( ) F ( )) H ( m m, σ σ ) Prevermo eakost sredh vredost apre prevermo, da e σ σ σ Za to uporabmo čelo hpotezo H 0 (m m ) H ( m m 0) 0 H ( < > < > 0) σ 0 < > < > σ σ + σ + Kot testo statstko uporabmo stadard odklo: < > < > z če e podaa stadarda devaca. σ < > < > Če stadarda devaca podaa o ocemo z vzorčo varaco S S Varace σ pa e ocemo z: ( ) S + ( ) S0 S + S σ ( )( ) + ( < > ) + ( < > ) + Tako dobmo ormal odklo, k ma Studetovo porazdeltev + - prostosto stopo. < > < > T σ +.)Prevermo še varaco: H ( σ σ ) H ( σ σ ) Kot celko varace uporabmo vzorčo varaco S.Nato mu a 0 0 podlag zračuah varac S S zavremo s tvegaem α hpotezo H 0 ( σ σ ) Kot statstko uporabmo razmere F S / S Te statstk prpadata dve prostost stop p -, p - Imeue se Sedeloreva porazdeltev al F porazdeltev. F P( F > F ) p, p, p, p, krtč α α α 0.)Kako sta poveza vhoda zhoda spremelvka pr časovo eodvsem learem sstemu?kako določmo frekvečo odzvo fukco, če pozamo dferecalo eačbo, k opsue sstem: && + k? Kako sta povezaa vhoda zhoda spremelvka pr časovo eodvsem learem sstemu.

10 ( t) H ( t) X(t)-akluč proces, vhod sgal Y(t)-trasformra akluč proces, zhod sgal H-smbolča ozaka za trasformaco ozroma vplv ssstema (operator) Odzv Y(t) learega sstema e poda z learo trasformaco vhoda (t). ( t) H [ ( t) ] H ( t ) δ ( t t ) dt ( t ) Hδ ( t t ) dt ( t ) dg( t, t ) ( t ) h( t, t ) dt Kako določmo odzvo fukco, če pozamo dferecalo eačbo, k opsue sstem: && + k? && + a ( t) Napre določmo frekvečo odzvo fukco H(ω) za harmosk vhod (t)e ωt ωt ( t) H ( ω) e H ( ω)( ω + a) H ( ω) ω + a Impulzo odzvo fukco h(t) določmo z.)z verzo trasformaco: ωt ωt e dω h( t) H ( ω) e dω π π ω + a.)z drekto tegrraem sstema od vzbuaa δ(t) za +<0 e δ(t)0 Z tegrraem eačbe: & + a ( t) δ ( t) t / t / t / t / + adt δ ( t) dt t / t / za t 0 ad 0 za t 0 za t > 0 & + a ( t) 0 k ma reštev ( t) c e začet pogo (0) e C h( t) ( t) 0 za t < 0 e at za t > 0 at.)kohereča fukca e pome. Za aalzo vplva v kolkš mer e zhod sgal posledca vhodega sgala mermo s koherečo fukco:

11 γ ( ω) S S ( ω) ( ω) S ( ω) Kadar sta X Y learo odvsa e: H ( ω) S ω γ ( ω) S ( ω) H ( ω) S ( ω) Za ekorelraa sgala e R (t)0 posledčo S (ω)0 ter zato: S ω γ ( ω) 0 S ( ω) S ( ω) Vredost med 0 so lahko posledca asledh vzorcev. Zveza med X Y leara. V mertvah X Y e prsote šum. Na zhodu Y poleg vhoda X plvao tud drug sgal..) Kda e statstka z celka parametra q? Kda e celka dosleda kda prstraska? Kako e defrao vzorčo povpreče akluče spremelvke kolkša e egova prčakovaa vredost ter varaca? Kako uporabmo eeačbo Čebševa pr opsu lastost celke vzorčega povpreča akluče spremelvke? *Statstka z e točkova celka parametra q, če e pr araščaoč razsežost vzorca ea vredost z veretosto blzu, eaka vredost parametra q: lm P z q < C k mora bt zpolea za določeo vredost poztve kostate C. * Kda e statstka dosleda kda eprstraska celka?.) dosledost Celka z z(,, 3,..., ) e dosleda, če e za polubo maho poztvo števlo ε zpole pogo: lm P z q < ε.)eprstraskost Celka z z(,, 3,..., ) e eprstraska, če e eo statstčo povpreče eako q vredost parametra, k ga oceue: E [ z] Celka e asmptotsko eprstraska, če e zpolea eačba: lm E z q

12 *Kako e defrao vzorčo povpreče akluče spremelvke kolkša e prčakovaa vredost ter varaca? E [ < > ] E [ ] E m m Var( ) G G < > Var < > G G < > *Kako uporabmo eeačbo Čebševa pr opsu lastost celke vzorčega povpreča akluče spremelvke? E [ X ] e koča, E X Var X < * A m ε { A } { ma ε } Var m dp ( A) e koča; ( ma) dp( ) + ( ma) dp( ) A AC Var( ) > ( ma) dp( ) > ε dp( ) ε P A A A Var( ) Neeačba Čebševa e tore: P m > ε ε S pomčo te eeačbe lahko htro dokažemo, da e vzorčo povpreče dosleda eprstraska celka srede vredost m: G P < > m ε ε lm P < > m 3.)Poas, kda e akluč proces stacoare v ožem kda v šršem smslu? Kako sta defra avtokorelacska fukca spektrala gostota stacoarega aklučega prcesa? Proces { X ( t), t T } e stacoare, če so vse porazdeltve povezah veretost varate a premk parametra t. Za polube premk vela: P X ( t ), X ( t )... P X ( t + t ), X ( t + t ), Proces e stacoare v ožem smslu, kadar e porazdeltev povezae veretost lahko odvsa le od razlke parametrov pr katerh spremelvko opazuemo pa odvsa od vredost t. -Stacoara v šršem smslu pome, da e povpreča vredost procesa eodvsa od parametra t, korelaca procesa pa le od razlke parametrov t-t. Med m so lahko tud proces, k so stacoar v ožem pomeu defce stacoarost.

13 [ ( ) ] [ ( + 0) ] [ (0) ] ; 0 [ ( ), ( ) ] [ ( + 0), ( + 0) ] [ (0) ; ( + ) ] (, ) [ ( ), ( ) ] (, ;, ) dp(,, t t) P X t P X t t P X t t P X t X t P X t t X t t P X X t t E X t dp t m E X t t dp t t R( t t ) R( t t ) Če e { m kost R( t t) } e proces stacoare v šršem pomeu. -Proces e ergodče, če e P f E [ f ] 4.)Kako sta defra avtokorelacska fukca spektrala gostota stacoarega aklučega procesa? Spektrala gostota e defraa Z verzo trasformaco domo S( t) H ( ω) S( ω) ωt R( t) S( ω) e dω π Za t 0 e avtokorelacska fukca eaka drugemu mometu procesa { ( t )} moč sgala { ( t )}?,k predstavla 5.)Ka veste o aalz varace? Izpelte ustreze formule podate prmer uporabe aalze varace v stroštvu. Z aalzo varace ugotavlamo al med poav obstaa kakša povezaost. Prmer: Al oča zmea delavcev ared več apak kot podev. Al kaee vplva a pluča obolea? Podatke tabelramo: * H : µ µ... µ 0 A B E H : µ µ za vsa e par(, ) m a N a a ( ) (( ) + ( )) a A a a ( ) ( )( ) (? ) a a ( ) ( ) q + q N q...varablost zarad ekspermeta q... varablost zarad parametra (faktora)

14 a ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) a ( )( ) 0 q q S S S F? a N a S >, a, N v tem prmeru zavremo H0 F F α Povpreč Vr vsota Št. Produktov kvadrat Statstka F vareblost kvadratov odstopaa Faktor Q a- Q /(a-) Q (U-a) Eksperme t Q N-a Q /(N-a) Q (a-) vsota Q N- 6.)Ka veste o celkah fukc? Fukca Yc g( ) občao meuemo celka fukce al predktor medseboe odvsost akluče spremelvke X Y, ustreze graf pa regresska krvula. *Kda e celka optmala?.r korelacsk elemet r e celka optmala Cov( X, Y ) r G G *Kda e celka parametrča zaka e? Yc ω(, G) ω(, G) eparametrčost regrese ω(, G) *Izpelava zraza za regressko premco

15 Yc a + b E Y Yc ( ) m E Y a X b ( ) m E ( Y a X b) E ( Y a X b) 0 0 a b E XY ae X be X ( ) E X ( a b) 0 E ( a b) 0 E Y a E X b b E Y ae X E XY ae X E X E Y ae X a E X E X E XY E X E Y a Var( X ) Cov( X, Y ) Cov( X, Y ) a Var( ) Tore e Y a X + b C Cov( X, Y ) Cov( X, Y ) YC X + E Y E X Var( X ) Var( X ) Cov( X, Y ) YC E Y X E X G GG G Cov( X, Y) r GG.r korelacsk elemet r odstopae med determstča zveza 7.)Ka e potrebe pogo za kaotče sstem ka e osva lastost kaotčega sstema? Nelearost sstema e potrebe pogo, da e sstem kaotče. Lastost kaotčega sstema: Damko dmezoalega kaotčega sstema opšemo s sstemom avtoomh dferecalh eačb prvega reda, k mu pravmo damsk sstem: & F(, p) Ker e...prostora sta (faza spremelvka) p ( p, p,... p ) parametr sstema (,,... ) vektor sta