Teme za zaključne naloge Jaka Smrekar 23. julij 2016 Kazalo 1 Topologija Dugundjijev razširitveni izrek Izrek

Transkripcija

1 Teme za zaključne naloge Jaka Smrekar 23. julij 2016 Kazalo 1 Topologija Dugundjijev razširitveni izrek Izrek o invarianci odprtih množic Grupa homeomorfizmov kompaktne ploskve (tema je zahtevnejša) Analiza Dirichletjev problem za elipsoide Algebra Končne podgrupe celoštevilskih matrik Geometrija Izreka Jordana in Schoenfliesa v aksiomatični geometriji Statistika Cenilke za standardni odklon normalno porazdeljene slučajne spremenljivke Najkrajši intervali zaupanja za delež Zaznavanje diskriminacije v dvostopenjskih odločitvenih procesih Razno Fareyjeva zaporedja in diagrami Če želite pod mojim mentorstvom izdelati zaključno nalogo in vam ponujene teme niso všeč, se lahko dogovorimo tudi za kaj drugega. 1

2 1 Topologija 1.1 Dugundjijev razširitveni izrek Področje: Topologija. Eden od standardnih rezultatov splošne topologije je Tietzejev razširitveni izrek: Naj bo X normalen topološki prostor in A X zaprta podmnožica. Dalje naj bo J R interval. Tedaj za vsako zvezno preslikavo f : A J obstaja zvezna razširitev - taka zvezna preslikava F : X J, za katero velja F A = f. Osnovni cilj naloge je predstaviti Dugundjijevo posplošitev Tietzejevega izreka, ki, ohlapno rečeno, interval J nadomesti s konveksno podmnožico lokalno konveksnega topološkega vektorskega prostora. (1) James Dugundji, An extension of Tietze s theorem. Pacific J. Math. 1 (1951),

3 1.2 Izrek o invarianci odprtih množic Področje: Topologija. Eden od zelo pomembnih rezultatov geometrijske topologije je Brouwerjev izrek o invarianci odprtih množic (iz leta 1911): Naj bo U odprta množica v evklidskem prostoru R n in naj bo f : U R n zvezna injekcija. Tedaj je tudi slika f(u) odprta množica v R n. Standardni dokaz tega izreka uporablja orodja algebraične topologije, pred slabimi 20 leti pa je W. Kulpa v (1) objavil elementaren dokaz, za katerega v bistvu zadošča osnovno znanje splošne topologije. Temelji na t.i. Poincaré-Mirandovem izreku o vmesni vrednosti. Obvezni del naloge je predstaviti dokaz Poincaré-Mirandovega izreka in dokaz izreka o invarianci odprtih množic ter nekaj drugih posledic kot v (1). Po želji je mogoče predstaviti tudi nekatere razširitve izreka o invarianci odprtih množic kot v (2). (1) W ladys law Kulpa, Poincaré and domain invariance theorem. Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 39 (1998), no. 1 2, (2) W ladys law Kulpa, On extensions of the domain invariance theorem. Topology Appl. 130 (2003), no. 3,

4 1.3 Grupa homeomorfizmov kompaktne ploskve (tema je zahtevnejša) Področje: Topologija, holomorfne funkcije ene kompleksne spremenljivke. Grupe homeomorfizmov topoloških mnogoterosti so brez dvoma med najpomembnejšimi objekti v topologiji. Če je M kompaktna mnogoterost, potem je grupa Homeo(M) vseh homeomorfizmov M M topološka grupa, če jo opremimo s kompaktno odprto topologijo (torej jo gledamo kot podprostor prostora vseh zveznih preslikav M M). Presenetljivo je raziskovanje topoloških lastnosti te grupe izjemno trd oreh. Pravimo, da je topološki prostor Z absolutni okolični retrakt za razred metričnih prostorov, če je za vsako zaprto vložitev j : Z X, kjer je X metrični prostor, slika j(z) retrakt neke okolice v X. To lahko razumemo kot vrsto krepke lokalne kontraktibilnosti in je zelo pomembna topološka lastnost; imajo jo vse (metrizabilne) mnogoterosti. Izkaže se, da je Homeo(M) absolutni okolični retrakt, če je M kompaktna enorazsežna mnogoterost ali kompaktna ploskev, za mnogoterosti razsežnosti 3 pa je to že desetletja odprt problem. Pripomniti velja, da so ploskve zelo posebne mnogoterosti zaradi tesne zveze med topologijo in tako imenovano konformno strukturo. Osnovni cilj naloge bi bil predstaviti navedene koncepte in probleme ter dokazati nekaj temeljnih pozitivnih rezultatov v zvezi s prostori vložitev in homeomorfizmov, ki so absolutni okolični retrakti, na poti do dokaza za grupo homeomorfizmov kompaktne ploskve. (1) R. Luke, W. K. Mason, The space of homeomorphisms on a compact two-manifold is an absolute neighborhood retract. Trans. Amer. Math. Soc. 164 (1972),

5 2 Analiza 2.1 Dirichletjev problem za elipsoide Področje: Analiza. Naj bo Ω povezana in omejena odprta podmnožica evklidskega prostora R n (kjer n 2) in naj Ω označuje njen rob (mejo). Dalje naj bo f : Ω R zvezna funkcija. Dirichletjev problem (za Laplaceovo enačbo) vprašuje po funkciji u: Ω R, ki je povsod na Ω dvakrat zvezno parcialno odvedljiva na vse argumente, ki reši parcialno diferencialno enačbo (Laplaceovo enačbo) in zadošča robnemu pogoju 2 u + 2 u u x 2 1 x 2 2 x 2 n u f na Ω. Gre za enega najvplivnejših problemov v moderni matematiki. Cilj naloge je predstaviti preprosto rešitev tega problema v posebnem primeru, ko je območje Ω elipsoid, funkcija f pa je zožitev polinomske funkcije na Ω. (1) John A. Baker, The Dirichlet problem for ellipsoids. The American Mathematical Monthly 106 (1999), no. 9,

6 3 Algebra 3.1 Končne podgrupe celoštevilskih matrik Področje: Algebra. Končne podrupe grupe GL(n, Z) celoštevilskih matrik razsežnosti n n, ki imajo celoštevilske inverze, so pomembni zgledi v linearni algebri in v aplikacijah teorije grup v geometriji, topologiji in drugod. Osnovni cilj naloge je obravnava števila izomorfnostnih razredov končnih podgrup v GL(n, Z) in obravnava njihovih redov. (1) James Kuzmanovich, Andrey Pavlichenkov, Finite groups of matrices whose entries are integers. The American Mathematical Monthly 109 (2002), no. 2,

7 4 Geometrija 4.1 Izreka Jordana in Schoenfliesa v aksiomatični geometriji Področje: Geometrija, topologija. Poligonalni Jordanov izrek pravi, da vsaka poligonalna (kosoma linearna) enostavna sklenjena krivulja v ravnini R 2 separira ravnino na dve komponenti. Omejeni komponenti pravimo notranjost, neomejeni komponenti pa zunanjost sklenjene krivulje. Poligonalni Schoenfliesov izrek pravi, da je mogoče vsak homeomorfizem med poligonalne enostavne sklenjene krivulje in robom trikotnika razširiti do homeomorfizma celotne ravnine, ki preslika notranjost na notranjost in zunanjost na zunanjost. Zaključna naloga naj predstavi dokaz poligonalnega Jordanovega in poligonalnega Schoenfliesovega izreka za poljubno aksiomatični ravninsko geometrijo, ki zadošča Hilbertovim aksiomom incidence in urejenosti. (1) Heinrich W. Guggenheimer, The Jordan and Schoenflies theorems in axiomatic geometry. The American Mathematical Monthly 85 (1978), no. 9,

8 5 Statistika 5.1 Cenilke za standardni odklon normalno porazdeljene slučajne spremenljivke Področje: Verjetnost in statistika. Temeljna naloga statistike je, intuitivno, sklepanje iz lastnosti vzorca na lastnosti celotne populacije. Formalno gledano imamo slučajno spremenljivko X : Ω R, definirano na verjetnostnem prostoru Ω, želimo pa oceniti neko karakteristiko njene porazdelitve. Ena od pomembnih karakteristik je standardni odklon. Cilj naloge je predstaviti standardne cenilke za disperzijo in standardni odklon normalno porazdeljene slučajne spremenljivke in jih primerjati glede na varianco in glede na srednjo kvadratično napako. (1) David E. Freund, Selecting estimators for the standard deviation of a normal distribution. The American Mathematical Monthly 94 (1987), no. 10,

9 5.2 Najkrajši intervali zaupanja za delež Področje: Statistika. Ocenjevanje deleža oziroma, natančneje, Bernoullijevega parametra, je eden od osnovnih problemov statistike. Na primer, očitno merilo za kvaliteto zdravila proti neki bolezni je, ohlapno rečeno, delež ozdravelih bolnikov. Natančneje, gre za verjetnost, da bo zdravilo uspešno pri naključno izbranem bolniku. Intervalsko ocenjevanje je metoda, ki iz vzorca (na primer, končnega števila bolnikov, ki so prejeli terapijo) napove intervalsko oceno za proučevani parameter (v konkretnem primeru delež oziroma verjetnost). Zanimivo je, da je problem intervalskega ocenjevanja deleža še vedno predmet aktivnega raziskovanja in da različni sorazmerno moderni učbeniki priporočajo neustrezne metode. Vir 1 študira problem najkrajšega intervala za delež v smislu inkluzije množic. Cilj naloge je predstaviti osnove teorije intervalskega ocenjevanja in slediti viru 1. (1) Weizhen Wang, Smallest confidence intervals for one binomial proportion. J. Statist. Plann. Inference 136 (2006), no. 12,

10 5.3 Zaznavanje diskriminacije v dvostopenjskih odločitvenih procesih Področje: Statistika. Dvostopenjski odločitveni proces je metoda izbora najustreznejše možnosti, ki na prvi stopnji izmed velikega števila možnosti na podlagi cenovno nezahtevnega merila izbere zelo majhno število, na drugi stopnji pa na ožjem izboru preostalih možnosti uporabi zahtevna merila za končni izbor. Na primer, neka zavarovalnica želi zaposliti finančnega matematika. Vsi, ki se prijavijo na razpis, pišejo enourni izpit, ki ga aktuarji popravijo v enem popoldnevu. Pet kandidatov z najvišjim rezultatom potem povabijo na izčrpne razgovore. Izkaže se lahko, da je dani dvostopenjski odločitveni proces nesorazmerno diskriminatoren nasproti neki manjšini. Na primer, pisni izpit bi lahko vseboval izraze, ki jih člani kake manjšine ne bi razumeli in zaradi tega danega problema ne bi mogli rešiti. Cilj naloge je predstaviti koncept nesorazmerne diskriminacije v dvostopenjskih odločitvenih procesih in statistične metode za njeno zaznavanje. (1) Weiwen Miao, Joseph L. Gastwirth, New Statistical Tests for Detecting Disparate Impact Arising From Two-Stage Selection Processes. The American Statistician 68:3 (2014),

11 6 Razno 6.1 Fareyjeva zaporedja in diagrami Področje: Geometrija, topologija, števila. Fareyjevo zaporedje reda n je naraščajoče (končno) zaporedje racionalnih števil med 0 in 1, katerih popolnoma okrajšani predstavniki imajo imenovalce manjše ali enake številu n. Na primer, Fareyevo zaporedje reda 5 se glasi: 0, 1 5, 1 4, 1 3, 2 5, 1 2, 3 5, 2 3, 3 4, 4 5, 1. Fareyjeva zaporedja lahko uporabimo na primer za aproksimacijo iracionalnih števil z racionalnimi. Osovni cilj zaključne naloge je predstaviti Fareyjeva zaporedja in nekatere lastnosti, Fareyjeve diagrame in povezavo s pitagorejskimi trojicami. Del zgornjepolravninskega Fareyjevega diagrama (1) Allen Hatcher, Topology of numbers. hatcher/tn/tnpage.html, poglavji št. 0 in 1.