TEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN
|
|
- Anka Žibert
- pred 5 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN Letnik 21 (1993/1994) Številka 5 Strani Ivan Vidav: TEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN Ključne besede: matematika, verjetnostni račun, naravna števila. Elektronska verzija: c 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c 2010 DMFA založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
2 I TI"-'-/"crne" '" ICI,'1"", TEORIJA ŠTEVil IN VERJETNOSTNI RAČUN Teorija števil je veja matematike, ki proučuje lastnosti naravnih števil. Na prvi pogled se zdi, da ne more imeti nobene zveze z verjetnostnim računom, ki določa verjetnosti raznim slu čajnim dogodkom. Povezavo najdemo, če nekatere trd itve teo rije števil izrazimo v jeziku verjetnostnega računa. Namen tega članka je, da si ogledamo nekaj takih primerov. Najprej si zastavimo vprašanje: Na slepo izberemo naravno število n. Kolikšna je verjetnost, da je liho? Pri tem seveda privzamemo, da ima vsako naravno število, naj bo majhno ali veliko, isto verjetnost, da ga izberemo. Ker je polovica števil lihih in polovica sodih, bo vsakdo takoj odgovoril, da je iskana verjetnost ~. Težava je v tem, da je naravnih števil neskončno. Na loteriji žrebajo številke iz neke končne množice številk. Verjetnost, da bo izbrana številka liha, izračunamo tako, da delimo število lihih številk s številom vseh številk iz množice številk, ki pridejo v poštev za žrebanje. Naj bo L lastnost, ki jo nekatera naravna števila imajo, druga ne. Lihost, deljivost s 5, biti praštevilo so primeri takih lastnosti. Poskušajmo opredel iti verjetnost, da ima na slepo izbrano naravno število lastnost L. V ta namen vzemimo poljubno naravno število N in preštejrno, koliko je od 1 do N števil z lastnostjo L. Denimo, da jih je M. Potem je kvocient med številom M ugodn ih možnosti in štev ilom N vseh možnosti enak verjetnosti vn. da ima lastnost L število, ki ga na slepo izberemo izmed števil od 1 od N. Torej (1) Za r a z l i č n e N je verjetnost VN tudi pri isti lastnosti L v splošnem različna. Ve čajrno zdaj N čez vse meje! Lahko se zgodi, da obstaja tako število v, da se v in VN razlikujeta za tako malo, kakor želimo, brž ko je N dovolj velik. V tem primeru pravimo, da zaporedje s členi VN konvergira proti v, ko gre N čez vse meje; število v pa imenujemo limita našega zaporedja. Z limito v opredelimo verjetnost, da ima na slepo izbrano naravno število lastnost L, če ne postavimo nobene omejitve glede velikosti izbranega števila. Oglejmo si zdaj nekaj zgledov : 1. Kolikšna je verjetnost, da je na slepo izbrano naravno število deljivo z a, kjer je a dano naravno število?
3 265 Izberimo poljuben N in ga delimo z a. Delitev se v splošnem ne izide, tako da dobimo kvocient q in še ostanek o, ki je manjši od delitelja a. te smo prav delili, velja enakost N = qa + o, o::; o < a. (2) Do N je q števil deljivih z a, namre č a, 2a,..., qa. Naslednji večkratnik (q + l)a je večji od N, ker je (q + l)a = qa + a > qa + 0= N. Zato je v našem primeru M = q. Kvocient VN = ';:j = ~ zapišimo v obl iki qa N - o 1 o VN = - =--- = Na Na ana ' Po ena čbi (2) je namreč qa = N - o. Ker je o < a, je člen /Ja na desni manjši od ij. Toda ij je tako majhno število, kakor želimo, če je le N dovolj velik. Zato se kvocient VN = ';:j v našem primeru pribli žuje vrednosti ~, gre N v neskončnost, to se pravi, da ima limito ~. Torej je verjetnost, da je na slepo izb rano naravno število deljivo z a, enaka ~. Verjetnost, da na slepo izbrano naravno število ni deljivo z a, pa je seveda enaka 1-1 a ' Navedena naloga je preprosta. Rešitev lahko takoj uganemo, če pomislimo, da je v zaporedju naravnih števil vsako a-to število deljivo z a. Oglejmo si zdaj primer, pri katerem rešitve ne moremo kar tako uganiti. 2. Kol ikšna je verjetnost, da je na slepo izbrano naravno število praštevilo? Vemo, da je praštevil neskončno. Odgovor na zastavljeno vprašanje je odvisen od tega, kako na gosto so med naravnimi števili posejana praštevila. Naj bo spet N poljuben. Ponavadi označimo s 'Ir(N) število praštevil, ki so manjša ali enaka N. Torej M = 'Ir( N). Iz teorije števil je znan izrek, da je kvocient 'Ir};!) tako majhen, kakor želimo, če je le N dovolj velik, to se pravi, da konvergira proti ni č. teprav dokaz tega dejstva ni zelo zahteven, pa ga vseeno tu ne moremo navesti. Ker je limita kvocienta ';:j = 'Ir};!) enaka nič, je verjetnost, da izberemo praštevilo, enaka nič. To pomeni, da so praštevila razmeroma redko posejana med naravnimi števili. Dogodek, da je izbrano število pra število, ima verjetnost nič. Kljub temu to ni nemogoč dogodek, saj praštevila obstajajo in celo neskončno jih je. te je lastnost L taka, da se z njo odlikuje le končno mnogo naravnih števil, je seveda verjetnost, da ima po naključju izbrano število to lastnost, enaka nič. ko
4 Naj bosta a in b dani naravni števi Ii. Kolikšna je verjetnost. da na slepo izbrano naravno število ni deljivo niti z a niti z b? Zgoraj smo ugotovili, da je verjetnost, da izbrano naravno število ni deljivo z a, enaka 1 - ~. Verjetnost, da ni deljivo z b, pa je 1 - i. Zaznamujmo z V najmanjši skupn i večkratnik števil a in b. Spomnimo se, da je vsako naravno število, kije deljivo z a in z b, deljivo tud i znajmanjšim skupnim večkratnikom V. Izberimo si spet poljuben N in ga delimo z a, z b in z V. Naj bo pri delitvi z a kvocient q in ostanek o, pri delitvi z b kvocient q' in ostanek o', pri delitvi z V pa kvocient q" in ostanek 0". Potem veljajo enaebe N = qa + o, N = q' b + o', N = q"v + 0". (3) Vsi ostanki so nenegativni in manj ši od ustreznega delitelja, torej o < a, o' < < b, 0" < V. Preštejmo zdaj, koliko je do N števil, ki niso deljiva niti z a niti z b. Najprej prečrtajrno v zaporedju 1,2, 3,..., N tista štev ila, ki so deljiva z a. Teh je q (glej dokazovanje pri prvi nalogi). Nato še tista, ki so deljiva z b. Ker je N = q' b + o', je teh a', Pri tem smo nekatera števila dvakrat prečrtali, namreč vsa, ki so deljiva z a in z b. Števila deljiva z a in z b pa so natanko tista, ki so deljiva z najmanjšim skupnim ve čkratnlkom V. Ker je N = q"v + 0", jih je q", tako da smo q" števil dvakrat pre črtali. Torej q + q' - q" števil med 1 in N smo vsaj enkrat pre črtali. Ta so tista, ki so deljiva z a ali z b. Števila. ki jih nismo pre črtali, pa niso deljiva niti z aniti z b. Le-teh je potemtakem N - q - q' + q" = M. lzra čunajrno zdaj iz ena čb (3) kvociente q, q' in a" : Verjetnost VN lahko izrazimo takole: M o o' 0" VN = - = ( ). N ab V Na b V M N (4) Ker velja O :s o < a, O :s o' < b, O :s 0" < V, so kvocienti %' %- in ~ nenegativni in vsi manjši od 1. Zatoje zadnji elen na desni v (4) po absolutni vrednosti manjši od tj, prvi štirje pa so neodvisni od N. Ko nara š ča N č ez vse meje, postane zadnji elen tako maj hen, kakor želimo; gre torej proti ni č,
5 267 Zato zaporedje VN konvergira, in sicer proti limiti v=l-;-b+v' (5) Limita v je verjetnost, da po naključju izbrano naravno število ni deljivo niti z a niti z b. Pri tem pomeni V najmanjši skupni ve čkratnik števil a in b. Oglejmo si posebn i primer, ko sta ain b tuji si števili. Tedaj je najmanjši skupni večkratnik V kar produkt ab. Formula (5) se v tem primeru glasi Zapišemo jo lahko v obliki v=l a b ab Na desni je prvi faktor 1- ~ verjetnost, da izbrano število ni deljivo z a, drugi 1 - i pa verjetnost, da ni deljivo z b. Torej pri tujih si a in b izračunamo verjetnost, da izbrano število ni deljivo niti z a niti z b tako, da enostavno pomnožimo verjetnost, da ni deljivo z a, z verjetnostjo, da ni deljivo z b. V verjetnostnem računu velja pravilo o množenju verjetnosti tedaj, kadar so dogodki med seboj neodvisni. Le igramo na primer na dve loteriji, je seveda dogodek, da zadenemo glavn i dobitek na prvi, neodv isen od dogodka, da ga zaden emo na drugi. Zato je verjetnost, da zadenemo glavni dobitek na obeh loterijah, enaka produktu VI v2, kjer je VI verjetnost, da zadenemo glavni dobitek na prvi loteriji, in V2 verjetnost, da ga zadenemo na drugi. Tudi v zgornjem primeru smo množili verjetnosti. Dogodek, da izbrano število ni deljivo z a, se vede potemtakem, kakor da je neodvisen od dogodka, da število ni deljivo z b. To velja pri tujih si a in b. Le vzamemo namesto dveh tri naravna števila a, bin c, izračunamo na podoben na čin verjetnost, da naklju čno izbrano naravno število ni deljivo niti z a niti z b niti s c. Račun je precej dolgovezen in formula za verjetnost zapletena, zato je ne bomo navajali. Oglejmo si samo primer, ko so števila a, b, c paroma tuja. V tem primeru verjetnosti spet množimo: Verjetnost v, da izbrano število ni deljivo niti z a niti z b niti s c, je enaka produktu verjetnosti, da ni deljivo s posameznimi števili, torej v = (1 - - )(1 - - )(1 - -). a b c (6)
6 268 Za zgled vzemimo za a, b, c prva tri praštevila 2, 3 in 5. Verjetnost, da po naključju izbrano naravno število ni deljivo niti z 2 niti s 3 niti s 5,je enaka v = (1 - - )(1 - - )(1 - -) = Le se spomnimo, kako smo opredelili verjetnost, lahko rečemo, da štiri petnajstine naravnih števil ni deljivih niti z 2 niti s 3 niti s 5. Pravilo, da pri dveh in treh tujih deliteljih verjetnosti množimo, velja tudi za poljubno končno množico paroma tujih si števil a, b,..., k. Verjetnost, da naključno izbrano naravno število ni deljivo z noben im številom iz navedene množ ice, je enako produktu verjetnosti, da ni deljivo s posameznimi števili te množice. Oglejmo si na koncu še dve zahtevnejši nalogi. Preden navedemo prvo, povejmo tole : Naravno število je brez kvadratnih deliteljev ali faktorjev, kadar ni deljivo z nobenim kvadratom večjim od 1. Tako so npr. števila 6, 10, 15 brez kvadratnih faktorjev. 5tevilo 6 ima delitelje 1,2,3, in 6; nobeden izmed njih ni kvadrat, večji od 1. Pač pa imajo 8, 12 in 18 kvadratne faktorje. Prvi dve števili sta namreč deljivi s 4 = 2 2, tretje pa z 9 = tevilo n je brez kvadratnih faktorjev natanko takrat, kadar je produkt samih različnih praštevil (oziroma je praštevilo ali 1). Le nastopa namreč v razcepitvi števila n na prafaktorje kakšno praštevilo p ve čkrat kot faktor, je n deljiv s p2, torej ima kvadratni faktor. Obratno je tudi res: Naj bo n deljiv skvadratom k 2, kjer je naravno število k večje od 1. Ker je k deljiv vsaj z enim praštevilom p, je potem n deljiv s p2 in v razcepitvi števila n nastopa prafaktor p najmanj dvakrat. Zdaj pa k nalogi! 4. Kolikšna je verjetnost. da je na slepo izbrano naravno število brez kvadratnih deliteljev? Pravkar smo ugotovili, da je naravno število brez kvadratnih faktorjev natanko takrat, kadar ni deljivo s kvadratom nobenega praštevila, torej kadar ni deljivo niti z 2 2 niti s 3 2 niti s 52 itd. Verjetnost, da izbrano število n ni deljivo z a, je 1 -~. Kvadrati med seboj različnih praštevil so paroma tuja si števila. Zato dobimo verjetnost, da n ni deljiv niti z 2 2 niti s 3 2 itd. tako, da pomnožimo verjetnost, da ni deljiv z 2 2, z verjetnostjo, da ni deljiv s 3 2, itd. Verjetnost v, da je izbrano število n brez kvadratnih faktorjev, se
7 269 potemtakem izraža takole 111 v = (1-2 2 )(1-3 2 )(1-52)... (7) Na desni teče produkt po vseh praštevilih. Toda, ojoj, praštevil je neskončno in je zato v tem produktu neskončno faktorjev. Neskončno faktorjev pa ne moremo zmnožiti, niti z najhitrejšim računalnikom ne. Kakšen pomen ima potem izraz na desni v (7)? Pomnožimo najprej prva dva faktorja, nato dobljeni produkt s tretjim faktorjem, potem novi rezultat s četrtim itd. Dobimo zaporedje delnih produktov Vsi faktorji so pozitivni in manjši od 1. Zato so členi v tem zaporedju delnih produktov pozitivni in se manjšajo. Vedno bolj se približujejo nekemu številu, ki je spodnja meja tega zaporedja, in sicer največja spodnja meja. To pomeni, da zaporedje delnih produktov konvergira. Limito v imenujemo vrednost neskončnega produkta (7). Limita v, ki je v našem primeru največja spodnja meja, je lahko pozitivna ali nič. Izkaže se, da je za produkt (7) pozitivna. Limita v je verjetnost, da je na slepo izbrano naravno število brez kvadratnih deliteljev. Kolikšna je vrednost produkta (7)? Izračunal jo je že Euler, in sicer je ugotovil. da znaša ~. Tu ne moremo razlagati, kako je Euler prišel do 11" rezultata. Povemo lahko samo to, da je njegova pot zelo zanimiva. Odgovor na četrto vprašanje se potemtakem glasi : Verjetnost, da je na slepo izbrano naravno število brez kvadratnih deliteljev, je ~. 11" Naše dokazovanje, da je iskana verjetnost enaka produktu (7), seveda ni povsem neoporečno, saj nismo dokazali pravila o množenju verjetnosti za primer, ko imamo neskončno množico paroma tujih si števil. Vendar v matematiki pogosto pridemo do kakšnega rezultata najprej po poti, ki ni povsem zanesljiva, in potem, ko rezultat že poznamo, poskušamo najti zanj neoporečno utemeljitev. To v našem primeru gre, le neoporečen dokaz, da je iskana verjetnost ~, je dosti bolj zapleten. Povejmo, da je tudi 11" Euler izračunal vrednost produkta (7) na način, ki z današnjega stališča ni neoporečen.
8 270 Oglejmo si podoben produkt V produktu (7) nastopajo kvadrati praštevil. 111 (1 - -)(1 - -)(1 - -)..., 235 ki tudi teče po vseh praštevilih. Faktor 1 - ~ pomeni verjetnost, da po naključju izbrano naravno število ni deljivo s p. Neskončni produkt (8) lahko potem tolmačimo kot verjetnost, da izbrano število ni deljivo z nobenim praštevilom. Toda edino naravno število, ki ni deljivo z nobenim praštevilom, je 1 in verjetnost. da v neskončni množici naravnih števil izberemo ravno število 1, je enaka nič. Res se izkaže, da je vrednost produkta (8) enaka nič: Zaporedni delni produkti postanejo sčasoma poljubno majhni, konvergirajo proti nič. Na koncu obravnavajmo še eno nalogo, ki pa je za spoznanje različna od dosedanjih. (8) 5. Na slepo izberemo dve naravni števili. Kolikšna je verjetnost. da sta si tuji? Stevili m in n sta si tuji natanko tedaj, kadar ni praštevila, ki bi delilo obe. Le si namreč m in n nista tuja, imata kak skupni delitelj k, ki je večji od 1. Zato je k deljiv vsaj z enim praštevilom p in s tem p sta deljiva tudi m in n. Le pa, obratno, obstaja praštevilo p, ki deli m in n, potem si m in n nista tuja. Kadar na slepo izberemo dve naravni števili m in n, je dogodek, da je število m deljivo z a, neodvisen od dogodka, da je število n deljivo z a. Ker je verjetnost obeh dogodkov ~, je verjetnost, da sta m in n oba deljiva z a, enaka produktu obeh verjetnosti. torej 1 a. 1 a = 1,... Verjetnost, da nista oba al deljiva z a, pa je potem 1 -~. Brez dokaza povejmo, da je verjetnost. da a m in n nista oba delj iva niti z a niti z b pri tujih si a in b, enaka produktu verjetnosti, da nista oba deljiva z a in verjetnosti, da nista oba deljiva z b. (To se pravi, da se dogodek, da m in n nista oba deljiva z a, vede, kakor da je neodvisen od dogodka, da nista m in n oba deljiva z b.) To pravilo velja tudi v primeru, ko imamo več paroma tujih si števil. Zgoraj smo ugotovili, da sta si m in n tuja natanko takrat, kadar ni praštevila, s katerim bi bila oba deljiva. Pripadajoča verjetnost v je zato enaka produktu verjetnosti 1 - -b, da nista oba deljiva z 2, z verjetnostjo
9 1-6, da nista oba deljiva s 3, itd. po vseh praztcvilih. Torej To je tudi verjatnost, da sta si na slepo irbrani naravni Otevli m in n tuji. Prrrdukt na dtsni je isti kakor v (7) in njsgovo vradnost poznarno. Tab smo ugotoviti: Vetjetnos&, da sta si na slepe izbrani naravni Btevili tug, je 4. F Morda je prav, da se ob rditvah zadnjih dveh nalog nskoliko tam~slimo. Povejmo, zakaj. Znani fkik Eugcns Wigntr pripoveduja v wojsm Elanku Vloga mattmatika v naravoslovju rgodbo o statistiku, ki jr pokarai svojcmu nokdanjt mu doleu scparatni odtis ~voje razprave o rasti poppulaclje. Scblec je Pstal po odtisu in kar ni mogel verjeti, da nastopajo pri teoretienem obravnavanju rasti populacije tako rapletenc matematirnc formule. SpraYcval j+ o pornmu raznih sirnbolov in znakov, med drugim tudi Erke n. Statistik je povedal, da jt r reveda razmtrje med obsegom in premtram kroga. Na to mu jc dolec odvrnil: "Ratmerje med obsegom in premtrom kroga pa prav gotow nima nobrne zvrre z rastjo populacije!" Ce bi nam kdo povedal, prcden smo re sunanili z ~adnjo nalogo in njeno rditvijo, da je verjetnost, da sta na slapo izbrani naravni Iteviti tuji, enaka $, bi tudi mi lahkci podobncl kakor statistikov so!!olee vzkliknili: "Kab jc to mogde? Saj tujost m d naravnimi 3tevili vendar nima nobent ZVU~ z razmerjern med obsegam in premerom kroga!" V Elanku smcr spoznali, da je to mogo2ic. Stwito.rr sa res pogosto pojavlja v matcmatiki in up~abi ter vtasih tam, kjtr bi ga najrnanj prieakovali.
MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večVOLILNA ŠTEVILA
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 2 Strani 98 105 Bojan Hvala: VOLILNA ŠTEVILA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija:
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži več2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki
2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večDiapozitiv 1
Pogojni stavek Pogojni (if) stavek Tip bool Primerjanje Uranič Srečo If stavek Vsi dosedanji programi so se izvajali zaporedoma, ni bilo nobenih vejitev Program razvejimo na osnovi odločitev pogojnega
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večVST: 1. kviz
jsmath Učilnica / VST / Kvizi / 1. kviz / Pregled poskusa 1 1. kviz Pregled poskusa 1 Končaj pregled Začeto dne nedelja, 25. oktober 2009, 14:17 Dokončano dne nedelja, 25. oktober 2009, 21:39 Porabljeni
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži večrm.dvi
1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v
Prikaži večOSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunk
OSNOVE LOGIKE 1. Kaj je izjava? Kaj je negacija izjave? Kaj je konjunkcija in kaj disjunkcija izjav? Povejte, kako je s pravilnostjo negacije, konjunkcije in disjunkcije. Izjava je vsaka poved, za katero
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2013
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FIZIKA IN MATEMATIKA POLONA LUŽNIK Mentor: dr. MARKO RAZPET,
Prikaži večINDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n
INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NEŽKA RUGELJ SHOROV ALGORITEM DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ: matematika - računalništvo NEŽKA RUGELJ
Prikaži večUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna
Prikaži večMicrosoft Word - Seštevamo stotice.doc
UČNA PRIPRAVA: MATEMATIKA UČNI SKLOP: Računske operacije UČNA TEMA: Seštevamo in odštevamo stotice Seštevamo stotice UČNE METODE: razlaga, prikazovanje, demonstracija, grafično in pisno delo UČNE OBLIKE:
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Izobraºevalna matematika Pisni izpit pri predmetu K
31. januar 2014 1. [25] V kino dvorano z 10 vrstami po 10 o²tevil enih sedeºev vstopi 100 ljudi. Od tega je 40 deklet in 60 fantov. Na koliko na inov se lahko posedejo, (a) e ni nobenih omejitev? (b) e
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večLehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večMERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE
MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE 1. UVOD: V tej vaji je bilo potrebno narediti pet nalog, povezanih z lečami. 2. NALOGA: -Na priloženih listih POTREBŠČINE: -Na priloženih listih A. Enačba zbiralne leče
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži večČetrta vaja iz matematike 1 Andrej Perne Ljubljana, 2006/07 zaporedja Zaporedje je predpis, ki vsakemu n N priredi a n R. Monotonost zaporedij: Zapore
Četrta vaja iz matematike Adrej Pere Ljubljaa, 2006/07 zaporedja Zaporedje je predpis, ki vsakemu N priredi R. Mootoost zaporedij: Zaporedje { } je araščajoče, če je za vsak. Zaporedje { } je strogo araščajoče,
Prikaži večFGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večMATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje prir
MATLAB programiranje MATLAB... programski jezik in programersko okolje Zakaj Matlab? tipičen proceduralni jezik enostaven za uporabo hitro učenje priročno programsko okolje tolmač interpreter (ne prevajalnik)
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večDelovni zvezek / matematika za 8 izrazi POENOSTAVLJANJE IZRAZOV 3. skupina 2. Izra~unaj, koliko stane izdelava `i~nega modela, ~e meri rob
izrazi POENOSTAVLJANJE IZRAZOV 2. Izra~unaj, koliko stane izdelava `i~nega modela, ~e meri rob a = 10 dm in b = 20 dm. 1 m `ice stane 1,6. Mojster pa za izdelavo modela ra~una toliko, kot smo pla~ali za
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večVerjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC
Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met
Prikaži večDel 1 Limite
Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večAlbert Einstein in teorija relativnosti
Albert Einstein in teorija relativnosti Rojen 14. marca 1879 v judovski družini v Ulmu, odraščal pa je v Münchnu Obiskoval je katoliško osnovno šolo, na materino željo se je učil igrati violino Pri 15
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java_spremenljivke
Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo
Prikaži večZavod sv. Stanislava Škofijska klasična gimnazija Programiranje v Pythonu Program za računanje Maturitetna seminarska naloga iz informatike Kandidat:
Zavod sv. Stanislava Škofijska klasična gimnazija Program za računanje Maturitetna seminarska naloga iz informatike Kandidat: Tinkara Čadež Mentor: Helena Starc Grlj Ljubljana Šentvid, april 2019 POVZETEK
Prikaži večSlide 1
SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l?
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Verjetnost v fiziki 2012/13 tutorstvo #1 Kombinatorika Avtorja: Peter Ferjančič, Boštjan Kokot
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Verjetnost v fiziki 2012/13 tutorstvo #1 Kombinatorika Avtorja: Peter Ferjančič, Boštjan Kokot Mentor: izr. prof. dr. Simon Širca 4. oktober 2012
Prikaži večUniverza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zg
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Marko Razpet KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, april 2019 Vsebina Seznam
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večMicrosoft Word - N _moderacija.docx
2 N151-401-2-2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo, da moderirano različico navodil za vrednotenje dosledno upoštevate. Če učenec pravilno reši nalogo na svoj način (ki je matematično korekten) in je to razvidno
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večDEDOVANJE BARVNE SLEPOTE
DEDOVANJE BARVNE SLEPOTE 1. UVOD: Vsak človek ima 23 parov kromosomov, od tega 22 parov avtosomih kromosomov in en par spolnih kromosomov. Ta ne določata samo spola, temveč vsebujeta tudi gene za nekatere
Prikaži večMicrosoft Word - avd_vaje_ars1_1.doc
ARS I Avditorne vaje Pri nekem programu je potrebno izvršiti N=1620 ukazov. Pogostost in trajanje posameznih vrst ukazov računalnika sta naslednja: Vrsta ukaza Štev. urinih period Pogostost Prenosi podatkov
Prikaži več2. Model multiple regresije
2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večLoterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 Pravila igre na srečo TikiTaka Številka: Ljubljana, VLADA REPUBLIKE SLOV
Loterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 Pravila igre na srečo TikiTaka Številka: 333-16-22 Ljubljana, 23. 8. 2016 VLADA REPUBLIKE SLOVENIJE JE DNE 21. 5. 2015 IZDALA ODLOČBO ŠT. 46101-7/2015/4,
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži večLoterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 PRAVILA IGRE NA SREČO LOTO (prečiščeno besedilo) Prečiščeno besedilo pravil igre na srečo loto
Loterija Slovenije, d. d. Ljubljana, Gerbičeva ulica 99 PRAVILA IGRE NA SREČO LOTO (prečiščeno besedilo) Prečiščeno besedilo pravil igre na srečo loto vsebuje pravila igre na srečo loto številka 133/02
Prikaži večFGG02
6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti
Prikaži večSpoznajmo PowerPoint 2013
Spoznajmo PowerPoint 2013 13 Nova predstavitev Besedilo v predstavitvi Besedilo, ki se pojavlja v predstavitvah lahko premaknemo kamorkoli v diapozitivu. Kadar izdelamo diapozitiv z že ustvarjenimi okvirji
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži več