Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič Skrivnosti števil in oblik Vsebinsko izpopolnjeno podpoglavje VERJETNOST 9

Transkripcija

1 Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič Skrivnosti števil in oblik Vsebinsko izpopolnjeno podpoglavje VERJETNOST 9

2 Podpoglavje Verjetnost (poglavje Obdelava podatkov) se v učbeniku Skrivnosti števil in oblik 9 začne na strani 213.

3 2 VERJETNOST Izvedel boš: kaj je poskus, kaj je dogodek, kaj je izid, kateri dogodek je slučajen, kateri je gotov in kateri je nemogoč, kaj je frekvenca dogodka in kaj relativna frekvenca, kako izračunaš verjetnost dogodka, kako sta povezana pojma matematična in statistična verjetnost. K Špelinim staršem je prišla na obisk družina s šestletno Anjo. Špela je zabavala Anjo tako, da sta igrali človek, ne jezi se. Anja je igro izgubila, postala slabe volje in prosila, ali se lahko igrata brez igralne kocke. Špela se je domislila igre z vlečenjem kroglic, tako da je v neprozorno vrečko iz blaga položila 4 bele in 4 oranžne kroglice. Vsaka udeleženka izvleče kroglico, zapiše barvo in kroglico vrne nazaj. Zmaga tista, ki po desetih poskusih večkrat potegne belo kroglico. RAZMISLI Kakšna je verjetnost, da pri metu igralne kocke pade 6 pik? Ali bo Špela vedno zagotovo izvlekla kroglico bele barve? Izvajaj poskuse in opazuj dogodke. DZ naloga 6.4 Poskus, dogodek, izid Ko igramo igro človek, ne jezi se, mečemo igralno kocko. Vsak met kocke je ena ponovitev poskusa. Pravila, po katerih izvajamo poskus, morajo biti natančno določena in vedno enaka. Če se spremeni eno od pravil, dobimo že drug poskus. POSKUS Poskus je dejanje, ki ga opravimo po vnaprej natanko določenih navodilih. Poskus se vedno izvaja pod enakimi, natančno določenimi pogoji. Dogodke običajno označujemo z velikimi črkami z začetka abecede: A, B, C... Pri izvajanju poskusa»met igralne kocke«se lahko zgodi: dogodek A:»pade 1 pika«ali dogodek B:»padeta 2 piki«ali dogodek C:»padejo 3 pike«ali dogodek D:»padejo 4 pike«ali dogodek E:»pade 5 pik«ali dogodek F:»pade 6 pik«. 3

4 Pri izvajanju poskusa»met igralne kocke«se lahko zgodi 6 različnih prej omenjenih dogodkov. Vsakega izmed njih imenujemo elementarni dogodek ali izid. Poznamo tudi sestavljeni dogodek, npr. dogodek A:»pade sodo število pik«. Ta se zgodi, če»padeta 2 piki«,»padejo 4 pike«ali»pade 6 pik«. DOGODEK, IZID Dogodek je pojav, ki se pri izvajanju poskusa lahko zgodi (ali pa tudi ne). Izid je nesestavljen dogodek, ki se lahko zgodi v danem poskusu. Razišči vrste dogodkov. DZ naloga 6.5 POZOR! Dogodke vedno proučujemo le v okviru natanko določenega poskusa. Vrste dogodkov Kakšna je možnost, da s prevezanimi očmi iz posode izvlečemo kroglico določene barve? Kdaj se zgodi dogodek»izvlečena kroglica je oranžna«? Slika 1 Slika 2 Slika 3 Če bi imeli v posodi same oranžne kroglice (slika 1), bi bila pri vsaki ponovitvi poskusa na slepo izvlečena kroglica zagotovo oranžne barve. Dogodek, ki se zgodi v vsaki ponovitvi poskusa, imenujemo gotovi dogodek. Če bi imeli v posodi same bele kroglice (slika 2), bi bila pri vsaki ponovitvi poskusa na slepo izvlečena kroglica zagotovo bele barve in nikoli ne bi izvlekli kroglice oranžne barve. Dogodek, ki se v ponovitvah poskusa nikoli ne zgodi, imenujemo nemogoči dogodek. Če bi imeli v posodi 4 oranžne in 4 bele kroglice (slika 3), bi bila naključno izvlečena kroglica ali oranžne ali pa bele barve. Dogodek, ki se v nekaterih ponovitvah poskusa zgodi, v drugih pa ne, je slučajni dogodek. Slučajni dogodek»izvlečena kroglica je oranžna«se zgodi, če naključno (slučajno) izvlečemo kroglico oranžne barve, sicer pa ne. Tudi dogodek»izvlečena kroglica je bela«je slučajni dogodek. Če se vrnemo k uvodni nalogi, lahko sedaj povemo, da bo kroglica, ki jo bo v vsakem poskusu izvlekla Špela, ali bele ali pa oranžne barve. Pri metanju igralne kocke, ki ima 6 ploskev, je izid»pade 6 pik«eden izmed šestih enakovrednih izidov, zato se dogodek»pade 6 pik«zgodi slučajno. Spomni se še kakšnega primera gotovega, nemogočega in slučajnega dogodka. 4

5 VRSTE DOGODKOV Gotovi dogodek je dogodek, ki se zagotovo zgodi ob vsaki ponovitvi poskusa. Nemogoči dogodek je dogodek, ki se v poljubno številnih ponovitvah poskusa zagotovo ne zgodi. Slučajni dogodek je dogodek, ki se pri nekaterih ponovitvah poskusa zgodi, pri drugih pa ne. Statistična ali izkušenjska (empirična) verjetnost Rok je 15-krat vrgel kovanec. Pri tem je 6-krat padla številka. Izvajal je poskus»met kovanca«in ga je 15-krat ponovil. Dogodek»pade številka«je slučajni dogodek. Frekvenca dogodka»pade številka«je 6. FREKVENCA DOGODKA Frekvenca dogodka je število tistih ponovitev poskusa, v katerih se je zgodil izbrani slučajni dogodek. Količnik med frekvenco dogodka in številom vseh ponovitev poskusa imenujemo relativna frekvenca dogodka in je za prej omenjeni primer frekvenca dogodka 6 2 0,4. št. ponovitev poskusa 15 5 Roka je zanimalo, kaj se dogaja z relativno frekvenco pri velikem številu metov. Pri krožku so izvajali poskus»met kovanca«. Pet učencev je metalo kovanec tako, da je vsak vrgel kovanec 10-krat in štel, kolikokrat se je zgodil dogodek»pade številka«. Rezultate so zapisali v preglednico. Število vrženih številk pri desetih metih kovanca Frekvenca Relativna frekvenca 0,5 0,2 0,3 0,6 0,5 Nato je vsak vrgel kovanec 100-krat in štel, kolikokrat je padla številka. Rezultate so zapisali v preglednico. Število vrženih številk pri stotih metih kovanca Frekvenca Relativna frekvenca 0,54 0,49 0,5 0,46 0,55 Poskus so izvedli tudi z računalniško simulacijo. Pet učencev je opravilo simulacijo za 1000 metov in v preglednico zapisalo, kolikokrat je padla številka. Število vrženih številk pri tisoč metih kovanca Frekvenca Relativna frekvenca 0,487 0,506 0,504 0,495 0,518 5

6 Nato so opravili še simulacijo za metov in v preglednico zapisali, kolikokrat je padla številka. Število vrženih številk pri deset tisoč metih kovanca Frekvenca Relativna frekvenca 0,499 0,5037 0,4984 0,5016 0,4997 Poskusi ugotoviti, kaj se dogaja z relativno frekvenco in se o tem pogovori s sošolcem ali učiteljem. Ugotovimo, da se pri velikem številu ponovitev poskusa, torej pri velikem številu metov ( in več), relativna frekvenca dogodka»pade številka«približuje vrednosti 0,5. To vrednost imenujemo statistična ali izkušenjska (empirična) verjetnost. STATISTIČNA VERJETNOST Statistična ali izkušenjska verjetnost je vrednost, kateri se, če smo opravili dovolj veliko število ponovitev poskusa, približuje relativna frekvenca dogodka. POZOR! Namesto kovanca nikoli ne smemo metati risalnega žebljička. Razmisli, zakaj. Matematična verjetnost Roka zanima, kolikšna je verjetnost, da pri enem metu kovanca pade številka. Ne želi izvajati velikega števila ponovitev poskusa, zato prešteje vse možne izide poskusa. Pri izvajanju poskusa»met kovanca«lahko dobimo 2 različna izida:»pade številka«ali»pade motiv«. Ugoden izid poskusa je»pade številka«, torej je ugoden izid eden. 6 UGODNI IZIDI Ugodni izidi so tisti, pri katerih se opazovani dogodek zgodi, neugodni pa tisti, pri katerih se opazovani dogodek ne zgodi.

7 Rok je izračunal količnik med številom ugodnih izidov in številom vseh izidov. število ugodnih izidov za dani dogodek 1 število vseh izidov za ta dogodek 2 Verjetnost, da pri enem metu kovanca pade številka, je 1 ali 0,5 ali 50 %. 2 Verjetnost, da pri enem metu kovanca pade motiv, je prav tako 1 ali 0,5 ali 50 %. 2 Količnik med številom ugodnih izidov za dani dogodek v poskusu in številom vseh izidov za ta dogodek je matematična verjetnost dogodka. MATEMATIČNA VERJETNOST Matematična verjetnost je količnik med številom ugodnih izidov za dani dogodek v poskusu in številom vseh izidov za ta dogodek. Opazimo lahko, da je statistična verjetnost dogodka»pade številka«enaka matematični verjetnosti tega dogodka, zato lahko uporabljamo samo pojem verjetnost dogodka. Če dogodek označimo s črko A, lahko zapišemo verjetnost dogodka P(A). P(A) število ugodnih izidov število vseh izidov Verjetnost slučajnega dogodka je število, večje od 0 in manjše od 1. POMNI Verjetnost dogodka A zapišemo kot P(A). Probability v angleščini pomeni verjetnost. VERJETNOST Verjetnost dogodka je število, ki je večje ali enako 0 in manjše ali enako 1. Zapisano je z ulomkom, z decimalno številko ali odstotki. Verjetnost gotovega dogodka je enaka 1. Verjetnost nemogočega dogodka je enaka 0. Verjetnost slučajnega dogodka je število med 0 in 1. Razišči verjetnost slučajnega dogodka. DZ naloga 6.6 7

8 REŠENI PRIMERI Pri igri človek, ne jezi se je Špela 15-krat vrgla kocko. Pri tem je 3-krat padla šestica. a) Izračunaj relativno frekvenco dogodka»pade 6 pik«. b) Kolikšna je matematična verjetnost dogodka»pade 6 pik«? Rešitev: a) Špela je izvajala poskus»met igralne kocke«in ga je 15-krat ponovila. Dogodek»pade 6 pik«je slučajni dogodek. Frekvenca dogodka»pade 6 pik«je 3. Relativna frekvenca dogodka»pade 6 pik«je torej frekvenca dogodka 3 1 0,2. št. ponovitev poskusa 15 5 b) Pri izvajanju poskusa»met igralne kocke«lahko dobimo 6 različnih izidov:»pade 1 pika«,»padeta 2 pikipade 6 pik«. Ugoden izid poskusa je»pade 6 pik«, torej je ugoden izid eden. Verjetnost, da pri enem metu igralne kocke vržemo 6 pik, je 1, ker je 6 število ugodnih izidov za dani dogodek 1. število vseh izidov za ta dogodek 6 Zapišimo količnik še z decimalno številko. 1 0,16 0,17 6 Matematična verjetnost, da pri metu kocke pade 6 pik, je 1 oz. približno 0,17. 6 Mečem dve igralni kocki. Kolikšna je verjetnost dogodka»vsota pik na obeh kockah je 5«? a) Nariši kombinatorično drevo za vse možne izide. b) Izračunaj matematično verjetnost omenjenega dogodka. c) Opravi 100 poskusov in preštej, kolikokrat se je zgodil omenjeni dogodek. č) Izračunaj relativno frekvenco omenjenega dogodka za 100 poskusov. d) Primerjaj matematično verjetnost z relativno frekvenco. Rešitev: a) Narišemo kombinatorično drevo za met dveh kock. Vidimo, da je pri metu dveh kock vseh možnih izidov

9 b) Matematična verjetnost je količnik med številom ugodnih izidov za dani dogodek v poskusu in številom vseh izidov za ta dogodek. Število vseh izidov dogodka je 36, ugodni izidi za dogodek»vsota pik na obeh kockah je 5«pa so štirje: 1, 4 4, 1 2, 3 3, 2 Matematična verjetnost omenjenega dogodka je: število ugodnih izidov za dani dogodek 4 1 0,1 11,1 %. število vseh izidov za ta dogodek 36 9 Matematična verjetnost, da pri metu dveh kock na obeh kockah skupaj pade 5 pik, je

10 c) Opravimo 100 poskusov in število pik na kockah zapisujemo v preglednico. št. pik 1. kocke št. pik 2. kocke št. pik 1. kocke št. pik 2. kocke št. pik 1. kocke št. pik 2. kocke št. pik 1. kocke št. pik 2. kocke Nato preštejemo, kolikokrat se je zgodil dogodek»vsota pik na obeh kockah je 5«. V zgornji tabeli obarvamo stolpce z vsoto 5. Omenjeni dogodek se je zgodil 12-krat. To je le eden od možnih rezultatov. č) Relativna frekvenca dogodka je količnik med frekvenco dogodka in številom vseh ponovitev poskusa, zato je na osnovi ugotovitev iz zgornjih 100 poskusov: frekvenca dogodka To je le eden od možnih rezultatov. št. ponovitev poskusa d) Relativna frekvenca omenjenega dogodka (»vsota pik na obeh kockah je 5«) je %, matematična 100 verjetnost pa je 4 11,1 %. 36 Vidimo, da se pri omenjenem primeru matematična verjetnost in relativna frekvenca le minimalno razlikujeta. Rok je hkrati metal v zrak dva kovanca za 50 centov. a) Nariši kombinatorično drevo za vse možne izide. b) Izračunaj matematično verjetnost za dogodek A:»na obeh kovancih pade motiv«. c) Izračunaj matematično verjetnost za dogodek B:»na obeh kovancih pade številka«. č) Izračunaj matematično verjetnost za dogodek C:»na enem izmed kovancev pade številka, na drugem pa motiv«. d) Opravi 100 poskusov in preštej, kolikokrat se je zgodil dogodek A, kolikokrat dogodek B in kolikokrat dogodek C. e) Izračunaj relativno frekvenco za dogodke A, B in C za 100 poskusov. f) Primerjaj matematično verjetnost z relativno frekvenco. Rešitev: a) Narišimo kombinatorično drevo za met dveh kovancev. Vidimo, da so možni izidi 4. Š M Š M Š M Š = številka, M = motiv 10

11 b) Ugoden izid za dogodek A je eden, zato je matematična verjetnost za dogodek A število ugodnih izidov za dani dogodek 1 0,25 25 %. število vseh izidov za ta dogodek 4 Matematična verjetnost, da pri metu dveh kovancev na obeh kovancih padeta motiva, je 1 4. c) Tudi za dogodek B je ugoden izid eden, zato je matematična verjetnost za dogodek B število ugodnih izidov za dani dogodek 1 0,25 25 %. število vseh izidov za ta dogodek 4 Matematična verjetnost, da pri metu dveh kovancev na obeh kovancih padeta številki, je 1 4. č) Ugodna izida za dogodek C sta dva, zato je matematična verjetnost za dogodek C število ugodnih izidov za dani dogodek 2 1 0,50 50 %. število vseh izidov za ta dogodek 4 2 Matematična verjetnost, da pri metu dveh kovancev na enem pade številka, na drugem pa motiv, je 1 2. d) Opravimo 100 poskusov in izide zapisujemo v preglednico. številka številka številka motiv motiv številka motiv motiv Preštejmo, kolikokrat se je zgodil posamezni dogodek: motiv motiv Dogodek A se je zgodil 28-krat. številka številka Dogodek B se je zgodil 24-krat. številka motiv motiv številka Dogodek C se je zgodil 48-krat. To je le eden od možnih rezultatov. 11

12 e) Relativna frekvenca dogodka A je frekvenca dogodka 28 0,28. št. ponovitev poskusa 100 Relativna frekvenca dogodka B je frekvenca dogodka 24 0,24. št. ponovitev poskusa 100 Relativna frekvenca dogodka C je frekvenca dogodka 48 0,48. št. ponovitev poskusa 100 To je le eden od možnih rezultatov. f) Matematična verjetnost dogodka A je ,25 25 %, relativna frekvenca pa je 0,28 28 % Matematična verjetnost dogodka B je ,25 25 %, relativna frekvenca pa je 0,24 24 % Matematična verjetnost dogodka C je ,50 50 %, relativna frekvenca pa je 0,48 48 % Vidimo, da se matematična verjetnost in relativna frekvenca razlikujeta zelo malo, najbolj pri dogodku A in najmanj pri dogodku B. V podjetju so delavke za 8. marec obdarili s trobenticami. Iz cvetličarne so pripeljali 8 belih, 15 rdečih, 10 rumenih in 12 modrih trobentic. Trobentice, ki so zavite v neprozoren papir, bodo naključno razdelili med delavke, tako da bo vsaka ženska dobila eno rožico. a) Majina najljubša barva je bela. Kolikšna je verjetnost, da bo Maja dobila rožo bele barve? b) Mateji so všeč rdeče in rumene rože. Kolikšna je verjetnost, da bo Mateja dobila rožo rdeče ali rumene barve? c) Hana ne mara modrih rož. Kolikšna je verjetnost, da Hana ne bo dobila rože, ki je modre barve? Rešitev: Najprej ugotovimo skupno število pripeljanih trobentic: Vseh trobentic je torej 45. a) Ker je belih trobentic 8, je verjetnost, da bo izbrana trobentica bela, 8. Verjetnost, da bo Maja dobila 45 belo rožo, je b) Rdečih trobentic je 15, rumenih pa 10, skupaj jih je torej 25, zato je verjetnost, da bo izbrana trobentica rdeča ali rumena, Verjetnost, da bo Mateja dobila rdečo ali rumeno rožo, je 5 9. c) Trobentice, ki niso modre, so bele, rdeče in rumene, skupaj jih je Verjetnost, da bo Hana dobila rožo, ki ni modre barve, je

13 NALOGE ZA VAJO S števkami 1, 2 in 3 sestavi vsa možna trimestna števila, če ponavljanje števk ni dovoljeno. Nariši drevesni prikaz. Špela ima modro in belo krilo ter rumeno, rdečo in zeleno majico. Kako naj kombinira oblačila, da bo vsak dan drugače oblečena? Nariši drevesni prikaz. Vrtimo kolo sreče. Pozorno si oglej sliko in dopolni trditve tako, da bodo pravilne. a) Največja je verjetnost, da bo kazalec pokazal na polje, ki je obarvano. b) Verjetnost, da bo kazalec pokazal na zeleno obarvano polje, je. c) Verjetnost, da kazalec pokaže na polja, obarvana, je 1 8. Zapiši vrsto dogodka. a) Pri metu igralne kocke pade 8 pik. b) Izbrana oseba v 9. a razredu je deklica. c) V vrečki so same bele kroglice. Izvlečemo belo kroglico. č) Iz vrečke, v kateri je 6 rdečih in 5 belih kroglic, izvlečemo rdečo kroglico. Zapisano trditev označi s P, če je pravilna, in z N, če je napačna. Napačne trditve ustrezno popravi. a) Izid je sestavljeni dogodek. b) Frekvenca dogodka je število ugodnih izidov dogodka pri vseh poskusih. c) Relativna frekvenca je količnik med številom vseh ponovitev poskusa in frekvenco dogodka. č) Verjetnost dogodka je število, ki je večje ali enako 0 in manjše ali enako 1. d) Verjetnost dogodka pogosto zapišemo kot sorazmerje. Trditvi smiselno dopolni, da bosta pravilni. a) Poskus je vsako dejanje, ki ga opravimo. b) dogodek se ob enem od izvajanj poskusa zgodi, ob drugem izvajanju istega poskusa pa ne. 6 Špela ima v vrečki 16 bonbonov v ovitkih: 8 rdečih in 8 rumenih. Iz vrečke vzame 2 bonbona in ju ne vrne. Oba sta rdeča. Nato iz vrečke vzame tretji bonbon. Katera trditev je pravilna? a) Ne moremo povedati, katera barva bonbona je bolj verjetna. b) Enako verjetno je, da je bonbon rdeč ali rumen. c) Verjetneje je, da bo bonbon rdeč kot pa rumen. č) Verjetneje je, da bo bonbon rumen kot pa rdeč. Špela in Rok sta bila predlagana za predsednika šolskega parlamenta. Špela je dobila 80 % glasov, Rok pa 20 % glasov. Katera trditev je najbolj verjetna? a) Naključno izbran učenec je zagotovo glasoval za Špelo. b) Naključno izbran učenec je verjetno glasoval za Špelo. c) Naključno izbran učenec zagotovo ni glasoval za Špelo. Pri uri gospodinjstva pripravljajo obložene kruhke. Nabavili so eno vrsto kruha, tri vrste salam (posebno, šunko in milansko) ter dve vrsti sira (gavdo in edamec). Na vsak kos kruha so dali eno vrsto salame in eno vrsto sira. a) Nariši kombinatorično drevo in ugotovi, koliko različnih obloženih kruhkov so lahko pripravili. b) V obliki preglednice zapiši sestavine posameznega obloženega kruhka. c) Izračunaj verjetnost, da je na obloženem kruhku sir edamec. č) Kolikšna je verjetnost, da je na obloženem kruhku milanska salama? 13

14 Hkrati meči dve igralni kocki in za vsak met v preglednico zapiši število padlih pik na kockah. Poskus ponovi 100-krat. a) Kolikokrat sta obe kocki pokazali enako število pik? b) Kolikokrat je bila vsota pik na obeh kockah 3? c) Na osnovi ugotovitev, zapisanih v preglednici, izračunaj verjetnost za dogodek»vsota pik na obeh kockah je 3«. č) Na osnovi ugotovitev, zapisanih v preglednici, izračunaj verjetnost za dogodek»vsota pik na obeh kockah je manjša od 6«. Pri robotiki so izdelali robota, ki iz košare naključno izbere predmet. V košaro so položili geometrijska telesa s slike. Za poskus»met kovanca za 1 cent v zrak«najprej oceni izide, nato poskus tudi izvedi. a) Oceni, kolikokrat bo pri 500 metih kovanca padla številka. b) Na spletu poišči ustrezen simulator in poskus»met kovanca v zrak«izvedi 500-krat. Zapiši frekvenco dogodka»pade številka«. c) Na osnovi svojih meritev zapiši relativno frekvenco za dogodek»pade številka«. č) Primerjaj svojo oceno in dejansko relativno frekvenco dogodka. d) Izračunaj matematično verjetnost omenjenega dogodka. V škatli imamo 6 rdečih, 7 modrih, 3 zelene in 4 črne kroglice. Izračunaj verjetnost, da je: a) izvlečena kroglica rdeče barve, b) izvlečena kroglica zelene barve, c) izvlečena kroglica rumene barve. Iz kupa 32 igralnih kart (vsebuje 4 komplete naslednjih kart: kralj, dama, fant, as, 10, 9, 8, 7) 100-krat na slepo izvleci eno karto, jo poglej, zapiši, katera je, in karto vrni. a) Preriši razpredelnico in vanjo s črtičnim zapisom označi, katero karto si vsakič izvlekel. kralj dama fant as 10 pik 9 pik 8 pik 7 pik a) Kolikšna je verjetnost, da robot izbere oglato geometrijsko telo? b) Kolikšna je verjetnost, da robot izbere okroglo geometrijsko telo? c) Kolikšna je verjetnost, da robot izbere piramido? č) Kolikšna je verjetnost, da ima izvlečeno telo 15 robov? d) Kolikšna je verjetnost, da ima izvlečeno telo 8 oglišč? e) Ali robot lahko izbere predmet s tremi robovi? Kolikšna je verjetnost tega dogodka? Iz števk 7 in 8 sestavi vse trimestne številke, če je ponavljanje dovoljeno. Nariši drevesni prikaz. b) Zapiši relativno frekvenco dogodka A»izvlečena karta je kralj«. c) Izračunaj matematično verjetnost dogodka A. č) Primerjaj matematično verjetnost z relativno frekvenco. d) Izračunaj matematično verjetnost za dogodek»izvlečena karta je srčev kralj«. Na košarkarskem igrišču sta se Jaka in Nejc pomerila v izvajanju prostih metov. Jaka je vrgel na koš 60-krat in zadel 24 košev. Nejc je v 50 poskusih zadel 32-krat. a) Za vsakega igralca zapiši relativno frekvenco za dogodek»zadenem koš«. b) Kdo je bil v zadetkih uspešnejši? V dveh invalidskih delavnicah so pripravili srečelov. V prvi delavnici so izdelali 82 srečk, med katerimi jih zadene 54. V drugi invalidski delavnici so izdelali 264 srečk, med katerimi jih zadene 124. Vse srečke so namenili za srečelov. Kaj lahko raziskuješ? Zapiši tri raziskovalna vprašanja in nanje odgovori. 14

15

16