UNIVERZA V MARIBORU EKONOMSKO-POSLOVNA FAKULTETA Magistrsko delo Obročno plačevanje kapitalskih zavarovanj September 207 Martina Shundovska
UNIVERZA MARIBOR EKONOMSKO-POSLOVNA FAKULTETA Magistrsko delo Obročno plačevanje kapitalskih zavarovanj Installments of capital insurance Kandidat: Martina Shundovska Študijski program: Ekonomske in poslovne vede Študijska usmeritev: Finance in bančništvo Mentor: prof dr Janko Marovt Somentor: prof dr Miklavž Mastinšek Študijsko leto: 207 Lektorica: Melita Goljevšček Maribor, september 207
ZAHVALA Iskreno se zahvaljujem mentorju prof dr Janku Marovtu za čas, iskrene nasvete in podporo pri pisanju magisterske naloge Posebno zahvalo namenjam somentorju prof dr Miklavžu Mastinšku, ki mi je z idejami, s potrpežljivostjo in koristnimi nasveti vseskozi stal ob strani Največa zahvala pa vsekakor gre mojim staršem!
POVZETEK V Sloveniji se število sklenjenih življenjskih zavarovanj v zadnjih letih povečuje Sklenitev življenjskega zavarovanja pomeni dolgoročno finančno obvezo Ko želimo izbrati zavarovanje, ki bi najbolj ustrezalo našim kriterijem in zadovoljilo naše potrebe, se soočimo z različnimi težavami Najprej moramo ugotoviti, katera zavarovalnica nam nudi najboljše storitve, in katera vrsta zavarovanj nam najbolj ustreza Analizirati moramo, kolikšen znesek smo pripravljeni plačati, za kakšno obdobje se bomo zavarovali, kakšno zavarovalno vsoto bomo dobili, kolikšna je razlika, če denar vložimo na banko ali v zavarovalnico itn Na začetku pričujočega dela smo predstavili in opisali različne vrste rent: časovne rente, dosmrtne rente, odložene dosmrtne rente in začasne rente Računali smo njihove sedanje vrednosti in predstavili komutativna števila, to so oznake, s katerimi zamenjamo in poenostavljamo zapletene aktuarske izraze Različne vrednosti komutativnih števil smo predstavili v tablici smrtnosti, ki je priložena na koncu drugega poglavja in s pomočjo katere smo rešavali aktuarske probleme iz vsakdanjega življenja V tretjem poglavju smo obravnavali kapitalska zavarovanja Spoznali smo zavarovanje za doživetje, zavarovanje za primer smrti, začasno zavarovanje za primer smrti, poseben poudarek pa smo dali mešanemu zavarovanju, saj gre za zavarovanje, ki v zadnjem obdobju zbuja veliko zanimanja V zadnjem poglavju smo predstavili obročno odplačevanje kapitalskih zavarovanj Izpeljali smo formule za izračun letnih in mesečnih premij Ko se odločamo v izbiri zavarovanja in primerjamo različne tipe zavarovanj, moramo poznati njihove lasnosti in razlike med njimi Cilj magistrskega dela je predstaviti te lastnosti in razlike ter načelo enakovrednosti, ki pravi da mora biti znesek, ki ga vložimo danes, enakovreden tistemu, ki ga dobimo v prihodnosti V empiričnem delu smo s pomočjo načela enakovrednosti izpleljali in analizirali formule za posamezne vrste zavarovanj Te formule smo uporabili v konkretnih primerih S primerjavo le-teh smo ugotovili, katero zavarovanje je primernejše, koristnejše za določeno osebo Prišli smo do ugotovitve, da se hipoteze, ki smo jih podali v uvodnem poglavju, potrjujejo Ključne besede: zavarovalna premija, zavarovalna vsota, časovna renta, kapitalsko zavarovanje, tablica smrtnosti i
ABSTRACT The number of life contracts has been increasing in Slovenia in recent years Life insurance is a long-term financial commitment When we want to choose the insurance which best matches with our needs, we are dealing with various difficulties In order to satisfy our needs, we have to choose the insurance which is the most suitable for us and our budget First, we should determine which insurance company offers the best services and what type of insurance is the most appropriate for us We need to analyze how much we are willing to pay for the certain insurance, how long we would like to be insured for, how much of the insured sum we would receive, what is the main difference between investing our money in a bank and in an insurance company, etc At the beginning of the present work we introduced and described some types of annuities: time annuities, life annuities, deferred life annuities and temporary annuities We have calculated their present values and presented commutative numbers, ie symbols with which we replace and simplify complex actuarial terms The various values of the commutative numbers are presented in the mortality table, which is attached at the end of the second chapter, and which helps us solve the actuarial problems from everyday life In the third chapter, we have dealt with capital insurance We have presented longevity insurance, life insurance, temporary life insurance, and we have put special emphasis on mixed insurance, which has taken big interest by customers these days We have introduced, in the last chapter, installments of capital insurance We have deduced formulae for calculation of annual and monthly premiums When we are about to make a decision, which type of insurance is the most suitable for our needs, we have to know the main qualities and differences between them The purpose of our master thesis is to present properties of different types of insurance and differences between them through the principle of equivalence, which states that the amount which we invest today is equivalent to the one we obtain in the future In the empirical part, we have analyzed and determined through the principle of equivalence the general formulae which are given for several types of insurance We applied these formulae in concrete examples By comparing these examples, we found out what type of insurance is the appropriate, or more useful for a particular person Finally, we confirmed the hypotheses that are presented in the introductory chapter Key words: insurance premium, insurance sum, time annuity, capital insurance, mortality table ii
KAZALO VSEBINE UVOD ------------------------------------------------------------------------------------------------- Opis področja in opredelitev problema -------------------------------------------------------------------------------- 2 Namen, cilji in hipoteze magistrskega dela ---------------------------------------------------------------------------- 2 3 Predpostavke in omejitve raziskave ------------------------------------------------------------------------------------- 2 4 Predvidene metode raziskovanja ----------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 RENTE ----------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2 Časovne rente ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 22 Komutativna števila --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 23 Verjetnost smrti -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 24 Dosmrtne rente -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 24 Prenumerandne rente --------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 242 Postnumerandne rente -------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 25 Začasne rente ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 26 Odložene dosmrtne rente ------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 3 KAPITALSKA ZAVAROVANJA ---------------------------------------------------------------24 3 Zavarovanja za doživetje ------------------------------------------------------------------------------------------------- 25 32 Zavarovanje za primer smrti -------------------------------------------------------------------------------------------- 29 32 Začasno zavarovanje za primer smrti -------------------------------------------------------------------------------- 33 33 Mešano zavarovanje ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 36 34 Zavarovanje na trajni rok ------------------------------------------------------------------------------------------------ 40 4 OBROČNO PLAČEVANJE KAPITALSKIH ZAVAROVANJ --------------------------42 4 Letne premije ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 42 4 Zavarovalne rente ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 44 42 Zavarovanje za primer doživetja -------------------------------------------------------------------------------------- 45 43 Zavarovanje za primer smrti ------------------------------------------------------------------------------------------- 47 44 Začasno zavarovanje za primer smrti -------------------------------------------------------------------------------- 50 45 Mešano zavarovanje ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 46 Zavarovanje na trajni rok ---------------------------------------------------------------------------------------------- 53 iii
42 Mesečne premije ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 54 42 Dosmrtne in začasne rente -------------------------------------------------------------------------------------------- 54 422 Plačevanje premij 2-krat na leto (mesečno plačevanje) -------------------------------------------------------- 55 5 SKLEP -----------------------------------------------------------------------------------------------59 6 LITERATURA IN VIRI -------------------------------------------------------------------------6 iv
KAZALO SLIK Slika : Tablica smrtnosti 22 Slika 2: Vrednost aktuarskih oznak za i = 4 % 23 v
UVOD Opis področja in opredelitev problema Zavarovalništvo je ena od pomembnejših in uspešnejših gospodarskih dejavnosti na slovenskem trgu Država ima razvit zavarovalniški sektor in trg, zavarovalnice pa so izpostavljene izredno močni konkurenci in se vsak dan borijo za tržni delež Danes so najzanimivejša življenjska zavarovanja Življenjsko zavarovanje je pomembna sestavina finančnega portfelja vsakega posameznika Pred sklenitvijo zavarovanja in podpisom pogodbe z zavarovalnico si pogosto postavljamo več vprašanj; katero vrsto življenjskega zavarovanja naj izberemo, kakšna naj bo višina premije, zanimajo nas ključni razlogi za sklenitev posamezne vrste življenjskega zavarovanja Magistrsko delo obravnava različne tipe življenjskih zavarovanj in načine obročnega plačevanja premij Obstajajo različni tipi življenjskih zavarovanj V zadnjih letih se število življenjskih zavarovanj povečuje, največ je sklenjenih mešanih življenjskih zavarovanj Ljudje se vedno bolj odločajo poskrbeti za svojo varnejšo prihodnost in za prihodnost svojih najbližjih V nadaljevanju se bomo osredotočili na načine obročnega plačevanja kapitalskih zavarovanj Ko se zavarujemo, se ponavadi vprašamo, kolikšen znesek moramo plačati danes, da bi čez pet, deset ali petdeset let dobili dvakrat, trikrat ali desetkrat večji znesek Razvoj izdelkov in obvladovanje tveganja v zavarovalni industriji zahteva vedno več matematičnih orodij s posebnim poudarkom na aktuarskih razmišljanjih Težava je v tem, ker večina zavarovancev dejansko ne ve, zakaj je letni obrok tolikšen, kot je, in kakšen je dobiček zavarovalnice Osnova življenjskih zavarovanj je podatek o smrtnosti Če imamo podatek, koliko ljudi določene starosti znotraj neke skupnosti letno umre, obstaja možnost za zavarovanje teh ljudi za primer smrti ali doživetja (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962) Aktuar ne more opraviti izračuna za eno osebo, lahko pa ga za več oseb, ki sklenejo enako vrsto zavarovanja Na podlagi podatkov o smrtnosti se število živih oseb (l x ) iz leta v leto zmanjšuje, seštevek verjetnosti smrti in verjetnosti doživetja pa je vedno enak Za vsako državo obstaja določena tabela smrtnosti, tako dobimo zaporedje umiranja za prebivalstvo posamezne države
2 Namen, cilji in hipoteze magistrskega dela Namen magistrskega dela je predstaviti zavarovalno tehnično podlago obročnega plačevanja kapitalskih zavarovanj Najprej bomo spoznali različne vrste rent, potem pa se bomo ukvarjali s kapitalskimi zavarovanji V nadaljevanju se bomo posvetili postopku izračunavanja enkratne, letne ter mesečne premije Ključni cilj dela je preučiti in predstaviti načelo enakovrednosti Znesek, ki ga vložimo danes, mora biti enakovreden tistemu, ki ga dobimo v prihodnosti S pomočjo različnih primerov iz vsakdanjega življenja in z uporabo ustreznih matematičnih enačb bomo določili znesek zavarovalne premije za osebo, staro x let, za vse vrste življenjskih zavarovanj Zavarovalnica je dolžna izplačati zavarovancu določeno zavarovalnino, če se zgodi zavarovalni primer in če zavarovanec izpolnjuje predpisane pogoje zavarovalnice Drugi cilj je ugotoviti vsebinske razlike med enkratno, mesečno in letno premijo S pomočjo hipotez, naštetih v nadaljevanju, bomo prišli do zastavljenih ciljev naloge Hipoteze magistrskega dela so: H: Osebe lahko s pomočjo kapitalskih zavarovanj pridobijo varno naložbo za svojo prihodnost, na primer s pokojninskim zavarovanjem H2: S pomočjo življenjskih tabel lahko dobimo dejansko vrednost kapitalskih zavarovanj in premij H3: S pomočjo komutativnih števil je mogoče dobiti pregledno strukturo kapitalskih zavarovanj in premij Pričakujemo, da se bo v Sloveniji trend povečevanja števila sklenjenih življenjskih zavarovanj v prihodnosti nadaljeval in bo s tem sledil trendu razvoja zavarovalništva v drugih evropskih državah 3 Predpostavke in omejitve raziskave Predpostavljamo, da je začetno število oseb 00 000 Iz tabel smrtnosti bomo pridobili podatke o tem, koliko od teh 00 000 oseb bo živelo še 0, 20, 30 let Predpostavljamo, da bodo podatki, ki jih bomo razbrali iz tabel smrtnosti, resnični in pravilni V raziskavi se bomo omejili na starost 02 leti, kar pomeni, da bodo v le-to vključene osebe do 02 leta starosti Raziskava je omejena na sklepanje življenjskih zavarovanj, v njej bomo opazovali izbrane dejavnike: starost (x), žive osebe (l x ), mrtve osebe ( d x ) in komutativne številke:, C x, N x in M x 2
4 Predvidene metode raziskovanja Magistrska naloga je zasnovana tako, da vključuje različne matematične primere, s katerimi bomo razložili obročno plačevanje kapitalskih zavarovanj Nalogo bomo razdelili na dva dela V prvem delu bomo predstavili izračune sedanjih vrednosti prenumerandnih in postnumerandnih rent, v drugem pa kapitalska zavarovanja Posebej se bomo osredotočili na mešano življenjsko zavarovanje V nalogi bo poudarek predvsem na empiričnem delu Teoretični del temelji na poglobljenem proučevanju strokovne in znanstvene literature, na kratko so predstavljene najpomembnejše značilnosti vsakega zavarovanja Empirični del temelji na različnih primerih iz finančno-aktuarske matematike Predstavili in pojasnili bomo postopke reševanja problemov iz omenjenih primerov in vsebinski pomen končnih rezultatov Uporabili bomo natančne podatke o starosti, številu živih oseb, številu umrlih, ki jih bomo našli v tabelah smrtnosti, ki so objavljene na spletu Uporabljene so naslednje metode: Metoda deskripcije in komparacije je uporabljena v teoretičnem delu pri opredelitvi rente in kapitalskih zavarovanj; komparativna metoda je uporabljena pri preverjanju hipotez; metoda analiziranja je uporabljena na koncu vsakega primera 3
2 RENTE Rentno zavarovanje je namenjeno vsem, ki si želijo s vplačilom enkratnega zneska (premije) ali zaporedja zneskov (premij) zagotoviti izplačevanje (običajno mesečne ali letne) rente Poznamo različne tipe rent, na primer dosmrtne rente, ki se začnejo izplačevati takoj in trajajo dokler zavarovanec živi Drugi primer rent so odložene dosmrtne rente, ki se začnejo izplačevati čez določen čas in trajajo do smrti zavarovanca Še en primer rent so začasne rente, ki se začnejo izplačevati takoj in trajajo omejen čas (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 4) Glede na to, ali se rente izplačujejo ob začetku ali ob koncu časovne enote, delimo le-te na prenumerandne rente z izplačili ob začetkih časovnih enot in postnumerandnih rente z izplačilim ob koncih časovnih enot (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 4) 2 Časovne rente Vzemimo n zneskov v višini denarne enote, ki dospevajo v časih t+, t+2, t+3,, t+n Z a n bomo označili sedanjo vrednost n postnumerandnih zneskov v višini denarne enote Gre za (neto) sedanjo vrednost teh zneskov v času ene časovne enote pred dospetjem prvega zneska (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev, 204, str 23) Z i bomo označili efektivno obrestno mero na časovno enoto Naj bo i 0 Z v bomo označili sedanjo vrednost ene denarne enote, ki dospe čez eno časovno enoto Sledi, da je: v = +i Zneske, ki dospevajo v časih t +, t + 2,, t + n, razobrestimo v čas t in dobimo oziroma a n = v + v 2 + + v n a n = v + v 2 + + v n Zaporedje v, v 2, v 3 je geometrijsko s prvim členom v in količnikom sosednjih členov v Tako je 4
v + v 2 + + v n = v vn v vn = v v = vn v Ker je v = +i = + i = i, dobimo: a n = vn i Z a n označujemo sedanjo vrednost n prenumerandnih zneskov v višini denarne enote Gre za (neto) sedanjo vrednost teh zneskov v trenutku dospetja prvega zneska (v našem primeru je to čas t+) Zneske razobrestimo v čas t+ in dobimo a n = + v + v 2 + + v n in zato a n = vn v oziroma a n = vn v Obstaja smiselna povezava med a n in a n Če sedanjo vrednost n postnumerandnih zneskov a n naobrestimo za eno časovno enoto, dobimo sedanjo vrednost n prenumerandnih zneskov a n (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev, 204, str 24): a n = ( + i) a n Sedanjo vrednost n prenumerandnih zneskov lahko izračunamo tudi tako, da izračunamo sedanjo vrednost n postnumerandnih zneskov (vrednost v času t+), ki dospevajo v časih t + 2, t + 3, t + n in k dobljeni vrednosti prištejemo znesek v višini denarne enote (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev, 204, str 25): a n = a n + Če bi želeli uporabiti dobljeni formuli za izračun enkratne premije, ki bi jo morali vplačati, da si zagotovimo dosmrtno rento, bi naleteli na težavo Ne vemo namreč, kateri n naj bi v formuli uporabili Zgornje rente so odvisne le od časa trajanja le-teh, niso pa odvisne od oseb, ki bi te rente prejemale Oseba, ki se bo zavarovala, bo lahko živela še dolgo časa, lahko pa bo umrla kmalu po sklenitvi zavarovanja Odgovor na zgornji problem nam dajeta aktuarska matematika in zakon velikih števil Problema ne moremo rešit na ravni posameznika, saj so življenske dobe ljude različne 5
Vpeljimo še oznaki za končni vrednosti zneskov, ki jih bomo uporabili v nadaljevanju S s n označujemo končno vrednost n postnumerandnih zneskov v višini denarne enote Gre za vrednost teh zneskov v času dospetja zadnjega zneska S s n označujemo končno vrednost n prenumerandnih zneskov v višini denarne enote Gre za vrednost the zneskov v času ene časovne enote za dospetjem zadnjega zneska Med vrednostima s n in s n velja naslednja povezava (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev, 204): s n = ( + i) s n Zavarovalnica lahko zavaruje posameznika le v primeru, če obstaja veliko ljudi, ki se želi zavarovati Ta množica posameznikov bo vplačala tisto premijo, ki je potrebna, da bo zavarovalnica izpolnila svoje obveznosti Še preden bomo izračunali enkratno premijo, ki bi jo morali vplačati, da si zagotovimo dosmrtno rento, bomo vpeljali oziroma definirali matematična orodja, ki nam bodo v pomoč pri izračunih zavarovalnih premij 22 Komutativna števila Število živih oseb starosti x let bomo označili z l x Podatke o številu živih oseb l x bomo odčitali iz tablic smrtnosti Primer le-te, ki jo bomo uporabili v nadaljevanju, prilagamo k magistrski nalogi Omenimo, da je prve tablice smrtnosti izdelal angleški astronom Halley leta 693, kasneje pa so tablice smrtnosti izdelovali v zavarovalnicah na podlagi preteklih izkušenj (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 27) Ker je življenjska doba žensk in moških v povprečju različna, poznamo tablice smrtnosti posebej za moške in posebej za ženske Priložena tablica smrtnosti je tablica smrtnosti za moške Opazimo, da so v njej v prvem stolpcu navedene možne starosti oseb od x = 0 let do x = 99 let in da so v drugem stolpcu navedeni podatki za število živih oseb l x Tako podatek l 0 = 00 000 pomeni, da je 00 000 (živih) oseb starih 0 let V tablici smrtnosti so prikazane tudi druge vrednosti, ki nam bodo služile pri aktuarskih izračunih Te pomožne vrednosti (, N x, S x, C x, M x in R x ) imenujemo komutativna števila (commutation symbols = оznake s katerimi zamenjamo zapletene izraze) (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 35) Najprej bomo preučili komutativna števila, ki jih bomo uporabili pri izračunih premiji za rentna zavarovanja (glej stran ) Vrednosti, ki so navedene v tretjem stolpcu tablice smrtnosti, so izračunane po formuli (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 34): = l x v x 6
Z N x bomo označili seštevek vseh vrednosti od x do 99 (zadnji podatek v tretjem stolpcu tablice) Tako je N x vsota diskontiranih števil živih oseb (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 35): Iz zgornje enačbe sledi, da je N x = + + + +2 + + D 99 N x+ = + + +2 + + D 99 in zato N x N x+ = oziroma = N x N x+ Na primer D 40 = N 40 N 4 = 263 643,62 247 26,06 = 6 382,56 Sedaj pa še vpeljimo komutativna števila, katera bomo potrebovali pri izračunih premij za kapitalska zavarovanja (glej poglavje 3) Označimo z d x število umrlih oseb starosti x let Tako je d x = l x l x+ Te osebe umirajo skozi vse leto med x in na x+ rojstni dan Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da se vsa izplačila zavarovalnice udejanijo ob koncu danega leta Denimo, da zavarovalnica za vsako osebo, ki umre, izplača denarno enoto Skupaj bo tako izplačanih d x denarnih enot v času x+ rojstnega dne Ena denarna enota, ki dospe ob koncu x+ časovne enote, je v trenutku rojstva omenjenih oseb (x = 0) vredna v x+ denarnih enot Sledi, da je d x denarnih enot v tem trenutku vredno d x v x+ denarnih enot (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 37) Ta produkt, ki pomeni diskontirano število umrlih oseb, bomo označili s C x Tako je: C x = d x v x+ Vrednosti C x so navedene v sedmem stolpcu tablice smrtnosti V osmem stolpcu so navedene vrednosti M x Te vrednosti predstavljajo seštevek diskontiranih števil umrlih oseb Formula za M x je podobna formuli za N x, pri čemer vrednosti nadomestimo z vrednostmi C x (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 37): M x = C x + C x+ + C x+2 + + C 99 Kot smo to storili pri formuli za N x, lahko izpeljemo: C x = M x M x+ 7
Stolpec, ki sledi stolpcu za M x, podaja vrednosti R x, ki so definirane na naslednji način: R x = M x + M x+ + M x+2 + + M 99 Velja: M x = R x R x+ Z definiranimi komutativnimi števili si bomo pomagali pri aktuarskih izračunih, v katerih se pojavljajo zapleteni izrazi Še preden preidemo na konkretne primere, pa prikažimo nekaj povezav med, N x, C x in M x Vemo, da je C x = d x v x+ in d x = l x l x+ Formula za C x tako dobi drugačen zapis: C x = (l x l x+ )v x+ = l x v x+ l x+ v x+ = l x v x v l x+ v x+ = v + Tako je C x = v + Vemo, da je M x = C x + C x+ + C x+2 + + C 99 in itn C x = v +, C x+ = v+ +2, C x+2 = v+2 +3 Vstavimo in dobimo: Imamo torej: 23 Verjetnost smrti M x = v + + v+ +2 + v+2 +3 + = v ( + + + +2 + ) (+ + +2 + +3 + ) = vn x N x+ M x = vn x N x+ Iz tablice smrtnosti lahko odčitamo število živih oseb, starih x let Podatek lahko najdemo v tablici smrtnosti, v stolpcu za l x Torej je ustrezna vrednost za osebe, ki so stare x + let, l x+ Nekatere osebe bodo umrle med x in x+ letom Tako je Teh oseb, ki so umrle med x in x+ letom, je l x+ < l x 8
d x = l x l x+ Verjetnost, da oseba doživi v nadaljevanju opredeljeno starost, bomo označili s p x Verjetnost, da bo oseba, stara x let, doživela prihodnjo leto (x + let), je p x = l x+ l x Ustrezno verjetnost smrti bomo označili s q x Verjetnost, da bo oseba, stara x let, umrla prihodnje leto, je q x = d x l x Denimo, da je l 50 = 69 57 in l 84 = 6 685 (vrednosti odčitamo iz priložene tablice smrtnosti za moške) Denimo, da potrebujemo verjetnost doživetja naslednjega leta za osebe, stare 50 in 84 let Tako je in p 50 = l 5 = 68409 = 0,98406 l 50 6957 p 84 = l 85 = 547 = 0,8032 l 84 6685 Verjetnosti, da bosta osebi, ki sta stari 50 oziroma 84 let, umrli v prihodnjem letu, sta po vrsti in q 50 = d 50 = l 50 l 5 = 6957 68409 = 0,0594 l 50 l 50 6957 q 84 = d 84 = l 84 l 85 = 6685 547 = 0,8968 l 84 l 84 6685 Iz zgornjih enačb lahko ugotovimo, da je verjetnost smrti osebe, stare 84 let, višja od verjetnost smrti osebe, stare 50 let, kar je logično Opazimo, da je p 50 + q 50 =, saj je 0,98406 + 0,0594 = Podobno je saj je p 84 + q 84 =, 0,8032 + 0,8968 = 9
Relacija velja tudi v splošnem Dogodek, da bo oseba doživela naslednje leto ali bo umrla v naslednjem letu, je gotov Njegova verjetnost je : p x + q x = V našem magistrskem delu se bomo osredotočili na primere, ki obravnavajo verjetnost, da neka oseba doživi opredeljeno starost Zanimalo nas bo, kolikšna je verjetnost, da oseba, stara x let, doživi ali ne doživi x+n let Verjetnost, da oseba, stara x let, doživi x+n let, je enaka p x = l x+n n l x Verjetnost, da oseba, stara x let, ne doživi x+n let, je n q x = p x n = l x+n l x = l x l x+n l x Moški, star 40 let, doživi 60 let z verjetnostjo Verjetnost, da ta oseba umre, je p 40 = l 60 20 = 55973 = 0,7645 l 40 78653 q 40 = l 40 l 60 78653 55973 20 = = 0,28835 l 40 78653 Iz zgornje enačbe lahko ugotovimo, da bo od 000 moških, starih 40 let, okoli 72 moških doživelo starost 60 let 24 Dosmrtne rente Dosmrtna renta je renta, ki začne teči takoj ob sklenitvi zavarovanja in traja dokler zavarovanec živi 24 Prenumerandne rente Predpostavljamo, da zavarovalnica zavaruje osebe stare x let z dosmrtno prenumerandno rento Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je teh oseb l x torej ravno toliko, kot je po tablici smrtnosti oseb starih x let Privzemimo še, da plača vsak zavarovanec zavarovalnici enkratni znesek, ki ga imenujemo enkratna premija To premijo bomo označili z a x (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 42) Opomba: V mednarodnih aktuarskih notacijah se uporablja za prenumerandno življenjsko rento z označba a x Zavarovalnica se obveže, da bo vsakemu zavarovancu do smrti izplačevala prenumerandno letno rento v višini denarne enote Zavarovanih je l x oseb in če vsaka 0
položi premijo a x, bo skupaj zavarovalnici vplačano l x a x denarnih enot Na začetku prvega leta izplača zavarovalnica vsem zavarovancem rento v višini denarne enote Tako je izplačano skupaj l x = l x denarnih enot Na začetku drugega leta zavarovalnica spet izplača rento v višini denarne enote, pri čemer zavarovalnica ne bo izplačala rento l x ljudem, zato ker v prvem letu nekaj ljudi umre Predpostavljamo, da je umrlo toliko oseb, kot nam kaže podatek iz tablice smrtnosti To pomeni, da je na začetku drugega leta ostalo l x+ živih oseb Zavarovalnica na začetku drugega leta izplača l x+ = l x+ denarnih enot Podobno bo zavarovalnica na začetku tretjega leta izplačala l x+2 = l x+2 denarnih enot, na začetku četrtega leta pa l x+3 = l x+3 itn Po načelu ekvivalence glavnic mora biti vplačan znesek l x a x enakovreden skupnim izplačilom zavarovalnice To pomeni, da moramo razobrestiti izplačila na trenutek, ko so bile vplačane premije Izplačilo, ki je dospelo na začetku prvega leta, je danes vredno l x denarnih enot Izplačilo, ki je dospelo na začetku drugega leta, je danes vredno l x+ v denarnih enot Izplačilo, ki je dospelo na začetku tretjega leta, je skupaj danes vredno l x+2 v 2 denarnih enot Izplačilo, ki je dospelo na začetku četrtega leta, je danes vredno enot l x+3 v 3 denarnih Vsa ta izplačila so danes vredna l x + l x+ v + l x+2 v 2 + l x+3 v 3 + Vsota plačil zavarovancev je enakovredna vsoti izplačila zavarovalnice: l x a x = l x + l x+ v + l x+2 v 2 + l x+3 v 3 + Dobljeno enačbo pomnožimo z v x in dobimo: l x v x a x = l x v x + l x+ v x+ + l x+2 v x+2 + l x+3 v x+3 + Zgornjo enačbo lahko poenostavimo z uporabo komutativnih števil, ki smo jih vpeljali v poglavju 22 Ker je dobimo naslednjo enačbo: = l x v x, a x = + + + +2 + +3 +
Sledi, da je a x =N x Iz zadnje enačbe izračunamo enkratno premijo a x : a x = N x Zaključimo lahko, da je N x sedanja vrednost dosmrtne rente Dosmrtna renta traja dokler zavarovanec živi Če zavarovanec umre, se izplačila zavarovalnice ustavijo in s tem je zavarovanje prekinjeno (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 44) V nadaljevanju bomo prikazali nekatere primere izračunov za dosmrtne prenumerandne rente Primer : Simon, ki je star 60 let, si želi zagotoviti dosmrtno rento v višini 5 000 evrov letno, ki bodo izplačani ob začetku let Kakšna je sedanja vrednost dosmrtne rente v višini evro letno? Najprej ugotovimo, kakšna je vrednost dosmrtne rente z znesekom evro, če zavarovanje sklene oseba stara 60 let Iz tablice smrtnosti ugotovimo, da je a 60 = N 60 55 44,907 = = 0,45 D 60 5320,86 Če bi Simon vplačal zavarovalnici 0,45 evrov, bi prejemal evro na začetku vsakega leta V našem primeru se Simon zavaruje za rento v višini 5 000 letno, zato znaša enkratna premija A= 5 000 0,45 = 56 225 Pri izračunu smo predpostavili, da zavarovalnica ni obračunala dodatnih stroškov Enkratna premija v višini 56 225 evrov je sedanja vrednost dosmrtne prenumerantne rente 5 000 evrov letno Primer 2: Simon trenutno nima 56 225 evrov, zato se odloči, da bo plačal zavarovalnici nižjo premijo v višini 00 000 evrov Kolikšno življenjsko prenumerandno dosmrtno rento si bo Simon s tem vplačilom zagotovil? Spomnimo se, da si v primeru, če Simon položi 0,45 evrov, zagotovi prenumerandno dosmrtno rento v višini evro letno V nadaljevanju bomo izračunali rento, ki jo bo Simon dobil za premijo 00 000 evrov Označimo z X znesek, ki bi ga Simon prejemal na začetku vsakega leta do smrti, če vplača premijo 00 000 evrov Ker je X : = 00 000 : 0,45, dobimo 2
X = 00 000 0,45 = 9 60,54 Simon si torej z vplačilom 00 000 evrov zagotovi prenumerandno dosmrtno rento v višini 9 60,54 evrov letno 242 Postnumerandne rente Postnumerandna letna renta se od prenumerandne letne rente razlikuje v tem, da pri postnumerandnih renti zavarovalnica izplačuje zneske ob koncih let Tako dobi pri postnumerandnih renti vsak zavarovanec en (to je prvi) obrok manj Denimo, da izplačuje zavarovalnica na podlagi enkratne premije vsakemu zavarovancu do smrti denarno enoto ob koncu vsakega leta Označimo z α x premijo, ki jo mora vplačati zavarovanec, da si zagotovi opisano rento Sedanja vrednost take dosmrtne postnumerandne rente je za manjša od sedanje vrednosti ustrezne prenumerandne rente Tako je (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 46): α x = a x, kjer je a x enkratna premija (a x = N x ), ki bi jo zavarovanec vplačal v primeru prenumerandne rente Sledi, da je Spomnimo se, da je α x = N x = N x N x N x+ = V zgornjo enačbo namesto vstavimo N x N x+ in dobimo oziroma α x = N x (N x N x+ ) N x N x+ = N x N x + N x+ N x N x+ α x = N x+ 3
Primer 3: Simon, ki je star 60 let, razmišlja, da bi sklenil zavarovanje za dosmrtno rento v višini 5 000 evrov letno, ki bodo izplačani ob koncih let Kolikšno enkratno premijo mora Simon plačati zavarovalnici, da si zagotovi takšno rento? V primeru smo ugotovili smo da je a 60 = 0,45 Ker je α 60 = a 60, sledi, da je = 0,45 = 9,45 Do enakega rezultata pridemo, če uporabimo formulo za izračun premije pri postnumerandni renti: α 60 = N 6 = D 60 50 094,09 5320,86 = 9,45 Če si Simon želi zagotoviti dosmrtno postnumerandno rento v višini 5 000 evrov, mora zavarovalnici plačati premijo v višini A= 5 000 9,45 = 4 225 Primer 4: Trenutno Simon nima 4 225 evrov, lahko pa vplača 50 000 evrov Kakšno dosmrtno postnumerandno rento bi si s tem vplačilom zagotovil? Za dosmrtno rento z letnimi postnumerandnih zneski evro bi moral Simon vplačati enkratno premijo v višini α 60 = N 6 50 094,09 = D 60 5 320,86 = 9,45 Označimo z X rento, ki si jo bo Simon zagotovil, ko bo vplačal premijo 50 000 evrov Tako je in zato X : = 50 000 : 9,45 X = 50 000 9,45 = 5 30,67 Simon si bo z vplačilom 50 000 evrov zagotovil dosmrtno postnumerandno rento v višini 5 30,67 evrov letno Z dosedajnimi primeri smo obravnavali dosmrtne rente, torej rente, ki se začnejo takoj in trajajo do smrti V naslednjem poglavju bomo obravnavali rente, ki so časovno 4
omejene, hkrati pa trajajo do smrti samo v primeru, če smrt zavarovanca nastopi znotraj v naprej določenega obdobja 25 Začasne rente Začasna renta je renta, ki se izplačuje skozi vnaprej določeno in omejeno obdobje, hkrati pa traja do smrti zavarovanca, če se ta zgodi pred iztekom tega obdobja Denimo, da zavarovalnica na osnovi enkratne premije, ki jo bomo označili z a xn, izplača denarno enoto na začetku vsakega leta naslednjih n let Vzemimo, da se l x oseb starosti x, zavaruje za isti zavarovalni primer Vsaka od teh l x oseb položi zavarovalnici enkratno premijo a xn Skupno vplačilo zavarovancev je l x a xn Zavarovalnica bo izplačevala rento največ n let Na začetku prvega leta bo zavarovalnica izplačala rento z zneskom denarne enote za l x oseb Tako je skupno izplačilo l x = l x denarnih enot Na začetku drugega leta bo zavarovalnica izplačala rento za l x+ oseb z zneskom denarne enote Tako je skupno izplačilo l x+ = l x+ denarnih enot Na začetku tretjega leta bo zavarovalnica izplačala rento za l x+2 oseb z zneskom denarne enote Tako je skupno izplačilo l x+2 = l x+2 denarnih enot itn Na začetku n-tega leta bo zavarovalnica izplačala rento še živim zavarovancem Po tablici smrtnosti je teh zavarovancev še l x+n Tako bo zadnje izplačilo zavarovalnice znašalo l x+n = l x+n denarnih enot Vse vrednosti, ki jih zavarovalnica izplača ob začetku, 2, 3,, n-tega leta, moramo diskontirati na današnji dan Njihova skupna sedanja vrednost tako znaša: Tako je l x + l x+ v + l x+2 v 2 + +l x+n v n l x a xn = l x + l x+ v + l x+2 v 2 + +l x+n v n Če zgornjo enačbo pomnožimo s v x, dobimo: ali l x v x a xn = l x v x + l x+ v x+ + l x+2 v x+2 + +l x+n v x+n 5
a xn = + + + +2 + ++n Vemo, da je N x = + + + +2 + +D 99 in N x+n = +n + +n+ + +D 99 Tako je N x N x+n = + + + +2 + ++n Sledi, da je a xn = N x N x+n oziroma a xn = N x N x+n Primer 5: Primož, ki je star 30 let, se pogosto zelo slabo počuti in ne pričakuje, da bo živel še več kot 20 let Primož želi uživati rento v višini 800 evrov letno, ki bodo največ 20 let izplačevani ob začetku let, pri čimer se bodo izplačila prekinila v primeru Primoževe smrti Kakšna je sedanja vrednost te rente? a 3020 = N 30 N 50 = D 30 479 95,73 3 765,69 26 605,43 = 3,087 Primož si bo z vplačilom 3,087 evrov zagotovil začasno rento v višini evro letno ki bo izplačevana skozi 20 let (če smrt zavarovanca nastopi prej, izplačilo rente preneha) V omejenem primeru želi Primož uživati rento v višini 800 evrov Tako je sedanja vrednost te rente A = 800 3,087 =0 469,62 Ta renta v višini 800 evrov traja 20 let, vendar obstaja možnost, da preneha prej, če se smrt zavarovanca zgodi pred potekom teh 20 let Denimo, da z zavarovalnico (ali pogosteje banko) sklenemo pogodbo, po kateri le-ta na osnovi enkratnega pologa izplačuje 800 evrov naslednjih 20 let ob začetku vsakega leta V tem primeru ne gre za začasno rento, gre za časovno rento, ki smo jo obravnavali v poglavju 2 6
Sedanja vrednost opisane časovne rente je večja od sedanje vrednosti ustrezne (največ 20 let trajajoče) začasne rente Časovna renta se bo namreč izplačevala skozi celo obdobje 20 let, medtem ko je začasna renta prekinjena predčasno, če nastopi smrt zavarovanca znotraj dogovorjenega roka 20 let (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 53) Predpostavljamo, da je efektivna obrestna mera 4 % Iz tabele za i = 4 %, ki jo prilagamo, bomo odčitali sedanjo vrednost a 9 postnumerandne časovne rente v višini na časovno enoto, ki je izplačevana 9 časovnih enot (a 9 = 3,339) Spomnimo se, da je a n = + a n, kjer je a n sedanja vrednost prenumerandne časovne rente, ki je n časovnih enot izplačevana v višini denarne enote na časovno enoto Tako je a 20 = + a 9 = + 3,339 = 4,339 Ker je a 3020 = 3,087, lahko potrdimo, da je res sedanja vrednost pri začasni renti manjša od sedanje vrednosti ustrezne časovne prenumerandne rente: a 3020 < a 20 V primeru, da izplačila znašajo 800 evrov, lahko ugotovimo, da bo enkratna premija pri začasni renti iz našega primera manjša od zneska A = 800 3,087 = 0 469,62 B = 800 4,339 = 47,2, ki bi ga morali vplačati, da si zagotovimo ustrezno prenumerandno (20 let trajajočo) časovno rento Primer 6: Uroš, ki je star 50 let, razmišlja o nakupu začasne, 5 let trajajoče letne prenumerandne rente Kakšno rento bo prejemal, če bo vplačal enkratno premijo v višini 0 000 evrov? a 50 5 = N 50 N 55 = D 50 3 765,69 87 924,83 9 78,99 = 4,482 Uroš si bo z vplačilom 4,482 evrov zagotovil začasno rento v višini evro letno, izplačano prenumerandno skozi naslednjih 5 let Denimo, da Uroš plača zavarovalnici 0 000 evrov Velja razmerje: 7
X : = 0 000 : 4,482, kjer je X višina (letne) rente Tako je X = 0 000 4,482 = 2 23,5 Uroš si bo z vplačilom 0 000 evrov zagotovil začasno rento v višini 2 23,5 evrov, ki bo izplačevana skozi naslednjih 5 let ob začetku let (izplačila lahko prenehajo prej, v primeru, če predčasno nastopi Uroševa smrt) 26 Odložene dosmrtne rente V primeru, ko se začetek izplačevanja dosmrtne rente odloži za v naprej določen čas, govorimo o odloženi dosmrtni renti Pri tem se užitek rente odloži za določen čas, zavarovanec pa plača premijo v trenutku, ko sklene zavarovanje Denimo, da se l x oseb starosti x zavaruje z odloženo dosmrtno rento, ki se bo začela izplačevati čez n let in se bo v višini denarne enote izplačevala ob začetku vsakega leta vse do smrti zavarovanca Vsak od l x zavarovancev plača zavarovalnici premijo, ki jo bomo označili z n a x Tako plača l x oseb zavarovalnici l x n a x denarnih enot (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 48) Izračunajmo vrednost n a x Do nje bomo prišli z izenačitvijo vplačil zavarovancev z diskontiranimi izplačili zavarovalnice Prvo rento bo zavarovalnica izplačala čez n let Od prvotnih l x oseb jih bo v n letih nekaj umrlo, zato bo zavarovalnica čez n let (ob začetku n+ leta) izplačala skupaj l x+n = l x+n denarnih enot Čez n+ let (ob začetku n+2 leta) bo zavarovalnica izplačala rento v skupni višini l x+n+ = l x+n+ denarnih enot itn Vsa izplačila moramo diskontirati na dan, ko se vplačajo premije, dobljene zneske nato seštejemo Vrednost l x+n, ki dospeva čez n let, je vredna v času sklenitve zavarovanj l x+n v x denarnih enot Podobna je vrednost l x+n+, ki dospe čez n+ let, vredna sedaj l x+n v n+ denarnih enot itn Sledi, da je l x n a x = l x+n v n + l x+n+ v n+ + l x+n+2 v n+2 + Enačbo pomnožimo z v x in dobimo v x+n+2 + l x v x n a x = l x+n v x+n + l x+n+ v x+n+ + l x+n+2 Sledi, da je n a x = +n + +n+ + +n+2 + in zato n a x = N x+n Zaključimo lahko, da je 8
n a x = N x+n Zgornja enačba predstavlja formulo za izračun enkratne premije pri odloženi dosmrtni prenumerandni renti Denimo sedaj, da se za n let odložena renta izplačuje postnumerandno (ob koncu let s prvim izplačilom ob koncu n+ leta) Označimo z n α x enkratno premijo Prvo izplačilo bo zavarovalnica udejanila čez n+ let Skupaj bo izplačanih l x+n+ = l x+n+ denarnih enot Drugo izplačilo, ki bo dospelo čez n+2 let, bo skupaj znašalo l x+n+2 denarnih enot itn Tako je l x n α x = l x+n+ v n+ + l x+n+2 v n+2 + in zato l x v x n α x = l x+n+ v x+n+ + l x+n+2 v x+n+2 + Sledi, da je n α x = +n+ + +n+2 + in zato n α x = N x+n+ Zaključimo lahko, da je premija pri odloženi postnumerandni dosmrtni renti v višini denarne enote na časovno enoto (v našem primeru na leto) enaka n α x = N x+n+ Pri odloženih dosmrtnih rentah se lahko zgodi, da bo zavarovanec umrl že pred dogovorjenim rokom začetka izplačevanja rente V tem primeru se renta ne bo izplačevala in tudi zavarovančevi potomci nimajo pravice do uživanja le-te Lahko se tudi zgodi, da bo zavarovanec pred smrtjo prejel le nekaj obrokov V vsakem primeru se zavarovanje konča s smrtjo zavarovanca, zavarovalnica pa s smrtjo zavarovanca nima koristi Vplačilo (premijo) umrlega zavarovanca koristijo namreč drugi (še živi) zavarovanci (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 49) Vzemimo sedaj prenumerandno dosmrtno rento, ki je odložena za eno leto (n=) Tako je а x = N x+ Ker je premija pri ustrezni postnumerandni dosmrtni renti enaka α x = N x+, lahko zaključimo, da je α x = а x To pomeni, da je dosmrtna postnumerandna renta enaka za eno leto odloženi dosmrtni prenumerandni odloženi renti 9
Primer 7: Žan, ki je star 40 let, se želi od svojega 60 leta starosti naprej zavarovati z dosmrtno (odloženo) rento z zneski 6 000 evrov, ki bodo izplačani letno, prenumerandno (s prvim izplačilom čez 20 let) Žan bo enkratno premijo plačal takoj (vnaprej) Koliko znaša ta premija? 20 а 40 = N 60 55 44,907 = = 3,383 D 40 6382,56 Žan bi si z vplačilom 3,383 evrov zagotovil dosmrtno (odloženo) rento v višini od evro letno, ki bo začela teči čez 20 let (ko bo Žan star 60 let) V našem primeru želi Žan rento v višini 6 000 evrov letno, zato mora zavarovalnici vplačati 6000-krat več: A = 6 000 3,383 = 20 298 Premija, ki jo bo Žan vplačal vnaprej, znaša 20 298 evrov Primer 8: Pavel, ki je star 30 let, vplača zavarovalnici enkratno premijo v višini 30 000 evrov Kakšno dosmrtno (odloženo) prenumerandno rento si je s tem zagotovil od svojega 65 leta naprej? 35 а 30 = N 65 32 276,42 = =,23 D 30 26 605,43 Pavel bi si z vplačilom,23 evrov zagotovil dosmrtno (odloženo) prenumerandno rento v višini evro letno od svojega 65 leta starosti naprej Označimo z X rento, ki si jo je Pavel zagotovil z vplačilom premije 30 000 evrov Tako je Sledi, da je X : = 30 000 :,23 X = 30 000,233 = 24 732,07 Pavel se z vplačilom 30 000 evrov zagotovil za 35 let odloženo dosmrtno letno prenumerandno rento v višini 24 330,90 evrov 20
2
Slika :Tablica smrtnosti Vir: http://imftftnunsacrs/~rade/procenti_i_finansijepdf 22
Slika 2: Vrednost aktuarskih oznak za i = 4 % Vir: (Marovt, Aktuarski pristop k vrednotenju netveganih sredstev, 204) 23
3 KAPITALSKA ZAVAROVANJA Posamezniki se lahko odločajo in izbirajo med različnimi kombinacijami ter vrstami življenjskega zavarovanja V prejšnjem delu smo spoznali rentno zavarovanje Način izplačevanja zavarovalnine je eden od pomembnih kriterijev, ki določa vrste življenjskih zavarovanj Zavarovalnica lahko izplača zavarovancu zavarovalnino v enkratnem znesku, v mesečnih ali letnih rentah Ko je zavarovalnina izplačana v enkratnem znesku, govorimo o kapitalskih zavarovanj (Pavšič, 2004, str 50) V našem magistrskem delu bomo obravnavali kapitalska zavarovanja za primer smrti in primer doživetja ter se osredotočili na mešana kapitalska zavarovanja Glede na nevarnosti, ki krijejo posamezne vrste kapitalskih zavarovanj, poznamo različne vrste zavarovanj (Vrabič, 979, str 2): Zavarovanje kritičnih bolezni takšna oblika zavarovanj je namenjena kritju nevarnosti nastanka tiste bolezni, pri kateri zavarovanec potrebuje tujo pomoč Takšne vrste bolezni so: rak, infarkt itd Zavarovanje kritičnih bolezni je zelo drago in za to vrsto zavarovanj se odločajo predvsem samostojni podjetniki ali zelo premožne osebe ''Zavarovalna dota'' (zavarovanje po meri ali dodatno zavarovanje) z zavarovanjem dote zavarujemo dogodek doživetja ali uresničitve določenega dogodka (na primer poroke) Zavarovalnica izplača zavarovalno vsoto v primeru doživetja ali uresničitve določenega dogodka Zavarovanje dote je primerno za otroke, ki jim želijo starši zagotoviti določena sredstva v dobi odraščanja (šolnina) ali ob določenih dogodkih Ta vrsta zavarovanj je poznana tudi kot štipendijsko zavarovanje Naložbeno življenjsko zavarovanje v ponudbi naložbenih zavarovanj lahko izbiramo med naslednjimi oblikami naložbenih zavarovanj: enkratno naložbeno zavarovanje, naložbeno življenjsko zavarovanje, naložbeno zavarovanje za otroke Za vse tri oblike naložbenih zavarovanj je značilno, da združujejo življenjsko zavarovanje in varčevanje, vezano na gibanje vrednosti enot premoženja izbranih investicijskih skladov Omogočajo vam aktivnejši pristop k zavarovanju, saj poleg življenjskega zavarovanja na koncu dobite tudi vrednost vložkov v sklad Večinoma so to zavarovanja, pri katerih zavarovalec sam prevzema naložbeno tveganje, možne pa so tudi oblike z zajamčeno donosnostjo, pri katerih naložbeno tveganje vsaj delno prevzame zavarovalnica http://wwwzavpro-zavarovanjesi/zavarovanje_dotehtml 24
3 Zavarovanja za doživetje Predpostavljamo, da zavarovalnica zavaruje osebe za doživetje, ki so stare x let, pri čemer se osebi v primeru, da doživi x+n-to leto, izplača glavnica Obstaja tudi možnost, da zavarovana oseba umre, preden dopolni x+n let V tem primeru zavarovalnica ni dolžna izplačati nikakršnega zneska zavarovancu (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 55) Zavarovanje za doživetje je zavarovanje, kjer se zavarovalna vsota izplača pod pogojem, da zavarovanec doživi dogovorjen čas (čas, ki je predviden za doživetje) Denimo, da plača vsak zavarovanec zavarovalnici enkratno premijo, ki jo bomo označili z A xn Zavarovanih je l x oseb (s starostjo x) in če vsaka položi premijo A xn, bo zavarovalnici skupaj vplačanih A xn l x denarnih enot Obveznost zavarovalnice je izplačati zavarovalno vsoto v znesku denarne enote po n letih tistim osebam, ki bodo preživele Če je l x oseb starih x let, bo preživelo l x+n oseb naslednjih n let Teh l x+n oseb bo starih x+n let Zavarovalnica bo tem l x+n osebam, ki bodo preživele, izplačala l x+n = l x+n denarnih enot Po načelu ekvivalence glavnic mora biti vplačan znesek A xn l x enakovreden skupnim izplačilom zavarovalnice To pomeni, da moramo razobrestiti izplačila na trenutek, ko so bile vplačane premije Tako je A xn l x = l x+n v n Zgornjo enačbo pomnožimo z v x in dobimo: A xn v x l x = l x+n v x+n in zato A xn = +n Sledi, da je enkratna premija za zavarovanje glavnice (zavarovalne vsote) v višini denarne enote za primer doživetja enaka A xn = +n Primer 9: Sotir, ki je star 35 let, želi zavarovati zavarovalno vsoto (glavnico) v višini denarne enote, ki jo bo prejel, če doživi 50 let Tako je 25
A 355 = D 50 = 9 78,99 = 0,4674 D 35 20 927,30 Sotir bi si z vplačilom 0,4674 denarne enote zagotovil zavarovalno vsoto, če doživi 50 let Lahko se tudi zgodi, da Sotir umre prej (pred 50 letom), v tem primeru se zavarovanje v celoti ukine Zavarovanje se konča s smrtjo zavarovanca, pri čemer zavarovalnica nima koristi od denarja, ki ga je zavarovanec vplačal Premijo umrlega zavarovanca koristijo preostali zavarovanci Iz tega sledi, da je lahko zavarovanje za primer doživetja poceni, ker vplačano premijo umrlih zavarovancev koristijo tisti zavarovanci, ki doživijo dogovorjeno starost (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 56) Zastavimo si naslednje vplašanje Kakšen znesek mora komitent položiti na banko, da mu bo banka čez 5 let izplačala glavnico v višini denarne enote ne glede na to, ali komitent čez 5 let še živi ali je že umrl? Predpostavljamo, da je efektivna letna obrestna mera 4 % Iz tabele za i= 4 %, ki smo jo prikazali v prejšnjem poglavju, bomo odčitali sedanjo vrednost glavnice v višini evro, ki dospeva čez 5 let (v 5 = 0,5553) (Marovt, 204, str 68) Če torej komitent položi na banko 0,5553 denarne enote, bo čez 5 let prejel glavnico v višini denarne enote Če komitent umre pred časom, ki je opredeljen v pogodbi, denar ne propade Zaključimo lahko, da je enkratna premija za zavarovanje za primer doživetja nižja od ustrezne vloge pri banki, saj se po zavarovalni pogodbi za doživetje glavnica izplačuje samo v primeru doživetja (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 56) 0,5553 je sedanja vrednost glavnice denarna enota, ki je narasla po 5 letih pri efektivni letni obrestni meri 4 % 0,4674 je sedanja vrednost glavnice (zavarovalne vsote) denarna enota, ki je narasla po 5 letih pri zavarovanju za primer doživetja, če je sedaj zavarovanec star 35 let V zavarovalništvu ima sedanja vrednost drugačen pomen od sedanje vrednosti v finančni matematiki Sedanja vrednost v zavarovalništvu upošteva, če zavarovanec po dogovorjenem roku še živi Sedanjo vrednost denarne enote pri zavarovalni pogodbi za primer doživetja izračunamo po formuli A xn = +n To vrednost izračunamo v finančni matematiki, kjer ne upoštevamo možnosti, da lahko zavarovanec umre, drugače: Znesek denarna enota naraste v n letih na: A n = v n 26
G n = ( + i) n Če vložimo znesek denarna enota v banko pri 4 % letni efektni obrestni meri, bomo imeli po 20 letih G 20 =,04 20 = 2,92 denarnih enot Denimo, da oseba, stara 30 let, plača zavarovalnici določeno premijo Na koliko naraste glavnica denarna enota čez 20 let, če ima oseba pravico do zavarovalne vsote, če doživi starost 50 let? Zavarovalno vsoto za primer doživetja bomo označili z Z Oseba ima pravico do zavarovalne vsote pod pogojem, da doživi 50 let Zanima nas, kolikšna je zavarovalna vsota za primer doživetja, če znaša enkratna premija denarna enota Za premijo +n zavarovalna vsota denarna enota Postavimo razmerje Sledi, da je Z = Z : = : +n, +n Zgornja enačba se imenuje zavarovalno-tehnični faktor V našem primeru je x = 30 in n = 20 Tako je Z = D 30 26 605,43 = = 2,799 D 50 9 78,99 Iz zgornje enačbe lahko ugotovimo, da zavarovalno-tehnični faktor doseže čez 20 let vrednost 2,799 Zaključimo lahko, da zavarovalnica izplača zavarovancu višji znesek kot banka pod pogojem, da zavarovanec doživi starost, ki je predvidena za doživetje Pri zavarovanju za doživetje je treba vedno upoštevati, da se končna vrednost (zavarovalna vsota) ne obračunava po formuli ( + i) n D, temveč po formuli x Premija (sedanja vrednost +n zavarovalne vsote) za primer doživetja se ne obračunava iz v n, temveč po formuli +n (Vranić & Martić, Matematika za ekonomiste, 962, str 58) Vzemimo za primer moškega, starega 40 let Ta oseba se zavaruje za primer doživetja 50 let Premija zavarovalne vsote denarna enota je enaka: A 400 = D 40+0 D 40 = D 50 D 40 je 27