UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO LIDIJA GAČNIK

Transkripcija

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO LIDIJA GAČNIK

2

3 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA RAZREDNI POUK RAZISKUJEMO POLOVICO DIPLOMSKO DELO Mentorica: dr. Tatjana Hodnik Čadež, izr. prof. za didaktiko matematike Kandidatka: Lidija Gačnik Somentorica: dr. Vida Manfreda Kolar, asist. za didaktiko matematike Ljubljana, januar 2013

4

5 ZAHVALA Uspeh ni ključ do sreče, sreča je ključ do uspeha. Če imaš rad to, kar delaš, boš uspešen. (Albert Schweitzer) Zahvaljujem se mentorici dr. Tatjani Hodnik Čadež in somentorici dr. Vidi Manfredi Kolar za vso strokovno pomoč in dostopnost pri nastajanju diplomskega dela. Rada bi se zahvalila ravnateljicama, učiteljicam in učencem Osnovne šole Mirna in Osnovne šole dr. Pavla Lunačka Šentrupert, ki so mi omogočili zbiranje rezultatov za eksperimentalni del. Zahvaljujem se vsem domačim, najboljšemu stričku in prijateljem, ki so mi v času študija stali ob strani. Matjaž, iskrena hvala za vse spodbudne besede in objeme, ki me opogumljajo. Diplomsko delo posvečam svoji mami in očetu. Hvala za vsa vajina odrekanja v času mojega šolanja, potrpljenje in ljubezen.

6

7 POVZETEK Diplomsko delo z naslovom Raziskujemo polovico sestavljajo tri ključna poglavja: matematični problemi, geoplošča in deli celote. Matematični problemi pri učencih spodbujajo mišljenje in jih pripravljajo na reševanje vsakodnevnih problemskih situacij, zato bi jih morali učitelji bolj pogosto uporabljati in z njimi nadomestiti reševanje rutinskih nalog. Za reševanje problemov lahko uporabimo različne didaktične pripomočke, eden izmed njih je tudi geoplošča. Z njeno uporabo lahko pouk popestrimo in učencem omogočimo, da si lažje oblikujejo predstave in si snov hitreje zapomnijo. Matematične probleme na geoplošči lahko oblikujemo pri različnih vsebinah iz učnega načrta (npr. pri simetriji, dolžini, črtah), med drugim tudi pri vsebini o delih celote. Tako kot drugod tudi pri vsebini o delih celote učenci v 1. triletju spoznavajo in usvajajo pojme preko dejavnosti s konkretnim materialom. Ob njih ponovijo in obnovijo že znane pojme in razčistijo tiste predstave, ki niso najbolj jasne. Kasneje sledi postopen prehod na konkretne modele, diagrame in simbolični zapis. V empiričnem delu smo združili vsa tri ključna poglavja teoretičnega dela tako, da smo učencem zastavili problemsko situacijo na geoplošči, ki izhaja iz matematičnega sklopa aritmetike deli celote: kako geoploščo na čim več različnih načinov razdeliti na polovico. V raziskavi je sodelovalo 54 učencev iz 3., 4. in 5. razreda. Ugotavljamo, da spol ne vpliva na uspešnost reševanja problema; da so rešitve učencev 3. razreda najenostavnejše, učencev 5. razreda pa bolj kompleksne medtem ko učenci 3. razreda pojem polovice povezujejo predvsem s skladnostjo obeh delov, pa se učenci 5. razreda že zavedajo, da je pomembno, da sta polovici ploskovno enako veliki, pa čeprav nista nujno skladni; da so učenci uspešnejši pri prepoznavanju kot pri oblikovanju rešitev in da so učenci 3. razreda našli najmanj rešitev, učenci 5. razreda pa največ. KLJUČNE BESEDE: matematični problem, geoplošča, deli celote, polovica

8 INVESTIGATING A HALF The diploma paper Investigating a Half consists of three key chapters: mathematical problems, a geoboard and parts of a whole. Mathematical problems encourage thinking in students and prepare them for solving everyday problem situations, that is why teachers should use them more frequently and as a replacement for routine exercises. Different didactic tools can be used to solve problems, one of them being a geoboard. It can be used to make classes more interesting and enable pupils to form their perceptions and remember the subject easier. It is possible to create mathematical problems on a geoboard in connection with different topics from the curriculum (e.g. symmetry, length, lines), also with parts of a whole. As with other topics, pupils in the first triad learn about parts of a whole and new terms through activities. This helps them to revise already known terms and clear up those perceptions that might not have been completely understood. This is followed by a gradual transition to concrete models, diagrams and putting down symbols. In the empirical part we joined all three key chapters of the theoretical part so that the pupils were given a problem situation on a geoboard. The problem was from arithmetic parts of a whole: how to divide the geoboard in half in as many ways as possible. The survey included 54 pupils from the third, fourth and the fifth grade. We conclude that gender has no influence on solving the problem successfully; that solutions provided by the pupils from the third grade are simpler and those from the fifth grade more complex while the former pupils relate the concept of a half with the congruence of both parts, the latter, older pupils are already aware that the areas of the halves need to be of the same size, while they need not be necessarily congruent; that pupils are more successful in recognising than forming solutions and that students form the third grade found the least solutions and the ones from the fifth grade the most. KEY WORDS: mathematical problem, geoboard, parts of a whole, a half

9 KAZALO 1 UVOD MATEMATIČNI PROBLEM VRSTE MATEMATIČNIH PROBLEMOV Mialaretova kategorizacija Frobischerjeva kategorizacija problemov Primerjava Mialaretove in Frobischerjeve kategorizacije problemov REŠEVANJE MATEMATIČNIH PROBLEMOV Faze reševanja problemov DEJAVNIKI RAZUMEVANJA MATEMATIČNEGA PROBLEMA PRI UČENCIH GEOPLOŠČA OPREDELITEV GEOPLOŠČE IZDELAVA GEOPLOŠČE UPORABA GEOPLOŠČE GEOPLOŠČA IN UČNI NAČRT DELI CELOTE KOMPONENTE PRISTOPA ZA POUČEVANJE DELOV CELOTE DELI CELOTE IN UČNI NAČRT PRIMERJAVA CILJEV OD 3. DO 5. RAZREDA PRIMERI NALOG EMPIRIČNI DEL OPREDELITEV PROBLEMA Raziskovalna vprašanja Raziskovalne hipoteze... 53

10 5.2 METODOLOGIJA RAZISKOVANJA Raziskovalna metoda Raziskovalni vzorec Instrumentarij Postopki zbiranja podatkov REZULTATI IN INTERPRETACIJA Klasifikacija rešitev Analiza rešitev 1. naloge Analiza rešitev 2. naloge Primerjava rešitev 1. in 2. naloge Analiza rezultatov glede na spol POVZETEK UGOTOVITEV ZAKLJUČEK LITERATURA PRILOGE... 99

11 1 UVOD Teoretični del diplomskega dela zajema tri ključna poglavja. Prvo se nanaša na matematične probleme, ki so pomemben element poučevanja matematike, saj z njimi spodbujamo mišljenje in pripravljamo učence na reševanje problemskih situacij, ki so sestavni del vsakdanjega življenja. V tem delu so predstavljeni sestavni deli problema, vrste matematičnih problemov, faze reševanja problemov in dejavniki, ki vplivajo na reševanje problemov. Eden izmed didaktičnih pripomočkov, ki jih lahko uporabimo za problemski pristop k poučevanju matematike, je geoplošča, na katero se navezuje drugo ključno poglavje. V njem je predstavljeno, kaj je geoplošča, kdo jo je oblikoval, kako jo lahko izdelamo, kako se uporablja in kakšno vlogo ima v učnem načrtu. Zadnji del teoretičnega dela pa se nanaša na dele celote, s katerimi se vsakodnevno srečujemo, le da se tega pogosto ne zavedamo. Predstavljene so komponente znanja delov celote, vsebovanost delov celot v učnem načrtu in primeri nalog te vsebine za 3., 4. in 5. razred. Prikazana je tudi primerjava ciljev od 3. do 5. razreda kateri cilji se v učnem načrtu pri vsebini deli celote iz razreda v razred ponavljajo in kako se nadgrajujejo. Vsa tri ključna poglavja teoretičnega dela združimo v empiričnem delu, kjer raziščemo rešitve učencev 3., 4. in 5. razreda, katerim smo zastavili problemsko nalogo na geoplošči, ki izhaja iz matematičnega sklopa aritmetike deli celote: kako geoploščo na čim več različnih načinov razdeliti na polovico. Namen raziskave je ugotoviti, koliko različnih pravilnih rešitev dobijo učenci v 3., 4. in 5. razredu, kako široko razumejo pojem polovice v posameznem razredu, ali spol vpliva na uspešnost reševanja problema in pri čem so učenci uspešnejši pri oblikovanju ali pri prepoznavanju rešitev. 1

12 2 MATEMATIČNI PROBLEM Polya pravi, da poučevanje ni znanost. Je umetnost (Turunen, 2010, str. 121). Ljudje se na vsakem koraku srečujemo s problemi različnih vrst. Nekateri imajo probleme pri učenju, drugi s sošolci, starši, sodelavci Skratka, imamo jih prav vsi. Šola pa je institucija, ki naj bi učence s posredovanim znanjem in vzgojnimi elementi pripravila na življenje. In ker so problemi del življenja, je torej naloga šole, da učence pripravi tudi na reševanje le-teh. Eden izmed načinov, kako lahko to doseže, je tudi reševanje matematičnih problemov. Po Polyi (1969) je temeljni cilj poučevanja matematike v vsakem učencu, kolikor je to le mogoče, razviti dobre miselne navade, s katerimi se lahko soočijo z vsako vrsto problemov (Turunen, 2010). V učnem načrtu za matematiko (2011) je navedeno, da je matematika eden od temeljnih predmetov v osnovni šoli. Srečujemo jo na večini področij človekovega življenja. Njena prisotnost je na drugih predmetnih področjih vedno manj opazna, saj se skriva v tehnologiji, zato je zgolj rutinsko obvladovanje računskih postopkov pri določenih dejavnostih vse manj pomembno. Tako prihaja v ospredje razumevanje, medpredmetno povezovanje in uporaba matematičnega znanja ter zmožnost reševanja problemov. Oziroma kot pravi Cotič (2001), da matematike ne učimo samo zaradi števil in številskih operacij, ampak predvsem zaradi reševanja problemov. Kot temeljni predmet v osnovni šoli matematika razvija matematično kompetenco, to je sposobnost uporabe matematičnega načina razmišljanja za reševanje različnih matematičnih problemov in problemov iz vsakdanjega življenja (Žakelj, 2011). Z matematičnimi problemi so se ukvarjali že številni strokovnjaki, vendar ne poznamo neke splošne definicije matematičnega problema. Pri nas se s tovrstnimi problemi veliko ukvarja Cotič, ki pravi, da je v slovenski pedagoški znanosti problem definiran kot pretežno subjektivna pojmovna kategorija. V psihologiji govorijo o t.i.»problemskem prostoru«, to je o problemu, kakršnega vidi reševalec v sebi in se z njim identificira največkrat z namenom, da ga reši. Da je»nekaj«lahko problem, ne zadostuje le to dejansko»nekaj«(objekt), temveč mora biti pogojeno tudi s subjektivnim odnosom do tega objekta (Cotič, 1999). 2

13 Polya (1971) pravi, da bi problem načeloma lahko obstajal brez razmišljanja, vendar pa velja, da je njegov obstoj pravzaprav rezultat razmišljanja. O čem bi sploh razmišljali, če ne bi imeli problemov, ki jih želimo rešiti (Ambrus, 2010)? Za problem so tipične naslednje ZNAČILNOSTI: 1. nerešena problemska situacija, 2. subjektivna pomembnost situacije, 3. neobvladovanje situacije le z obstoječim predznanjem in izkušnjami, 4. občutek subjektivne spoznavne konfliktnosti, ki teži k rešitvi problema (Strmčnik, 1991, v Cotič, 1999).»Reševanje problemov je iskanje odgovorov na situacijo, ki je edinstvena in je zato posameznik ne more rešiti zgolj na osnovi spomina oz. obstoječega predznanja in osebnih izkušenj, temveč z miselnimi postopki. Problem je torej neželeno stanje napetosti, radovednosti, ki je notranje ali zunanje spodbujeno (Cencič, 1995, str. 101).«Jaušovec (1991) opisuje, da se posamezniku problem pojavi takrat, ko se znajde v notranjem ali zunanjem stanju, ki mu ne ustreza, vendar ne razpolaga s sredstvi, da bi ga spremenil in s tem dosegel želeni cilj. Večina literature navaja, da je vsak problem sestavljen iz treh delov, ki jih različno poimenujejo. Frobischer (1996) te tri komponente opredeli kot: nezaželeno začetno stanje, zaželeno končno stanje in ovira, ki preprečuje prehod začetnega v želeno končno stanje. Sestavni deli vsakega problema so torej: 1. ZAČETNO STANJE ali situacija, v kateri je dana vsebina problema z ustreznimi podatki in informacijami, 2. CILJ, ki ga mora reševalec doseči, 3

14 3. POT od začetnega stanja ali situacije do cilja, ki jo mora reševalec poiskati, da reši problem. ZAČETNO STANJE POT CILJ DIAGRAM 1: Komponente matematičnega problema (Frobischer, 1996) Cotič (1999) loči med dvema matematičnima problemoma: problemom vajo in problemom: 1. PROBLEM VAJA Pot od začetnega stanja do želenega cilja je tukaj znana. Cilj se lahko doseže z že obstoječim predznanjem in izkušnjami, saj reševalec že pozna strategijo reševanja. 2. PROBLEM Pot od začetnega stanja do cilja v tem primeru ni znana. Reševalec nima na razpolago ne postopka ne algoritma, ki bi ga zagotovo pripeljala do rešitve problema. Ista situacija je tako za nekoga lahko problem, za drugega pa le problem vaja. 4

15 PROBLEM VAJA: PROBLEM: ZAČETNO STANJE ZAČETNO STANJE pot JE znana pot NI znana CILJ CILJ DIAGRAM 2: Razlika med problemom in problemom vajo (prirejeno po Cotič, 1999) Primer: Matjažu, Roku in Tini je teta podarila 18 bombonov, ki so si jih pravično razdelili. Koliko bombonov je dobil Matjaž? ZAČETNO STANJE: Imamo 18 bombonov, ki si jih trije pravično razdelijo. Izračunaj, koliko bombonov dobi eden izmed njih. POT: 18 delimo s tri. CILJ: Izračunano število bombonov, ki jih je dobil Matjaž. DIAGRAM 3: Prikaz vseh treh komponent matematičnega problema s konkretnim primerom 5

16 Za učenca, ki je že osvojil deljenje s tri, je pot do cilja znana in zanj to ni več problem, ampak problem vaja. Za mlajšega učenca, pri katerem deljenje šele uvajamo in ki še ne pozna pravil oz. postopka deljenja, pa je ta naloga problem, saj je ne more rešiti le na osnovi spomina, temveč mora pri reševanju uporabiti miselne postopke. Za učenca, ki je deljenje s tri že osvojil, je torej zgornja naloga problem vaja. Če nalogo le malce preoblikujemo, tudi zanj postane problem: Matjažu, Roku in Tini je teta podarila bombone. Bili so različne barve 6 jih je bilo roza, 2 sta bila modra, 4 zeleni, trije beli in trije rumeni. Razdelili so si jih tako, da je vsak izmed njih dobil enako število bombonov. Koliko bombonov je dobil Matjaž? 2.1 VRSTE MATEMATIČNIH PROBLEMOV Matematičnih problemov je več vrst. Opredelimo jih lahko glede na pot in cilj. Glede na to klasifikacijo v matematično-didaktični literaturi največkrat zasledimo tri kategorije problemov. Podrobneje bom opisala Mialaretovo in Frobischerjevo kategorizacijo problemov, ki imata veliko skupnega MIALARETOVA KATEGORIZACIJA Cotič (1999) opisuje, da Mialaret loči med vodenimi, nevodenimi in nepopolnimi problemi: VODENI problemi: Pri vodenih problemih tekst že določa vrstni red reševanja. Najbolj preprost primer vodenega problema je problem, ki se ga reši samo z eno operacijo, in ga Mialaret poimenuje enostavni vodeni problem. 6

17 PRIMER: Mojca ima 7 znamk, njena prijateljica Tanja pa jih ima 4. Koliko znamk imata Mojca in Tanja skupaj? Vodeni problemi so lahko tudi sestavljeni. PRIMER: Petri je oče kupil 20 novih barvic. Doma je imela še 15 starih, 10 pa jih ji je podaril brat Marko. Vse skupaj je spravila v puščico. Prvi teden jih je v šoli izgubila 7, 6 pa jih je podarila sošolki, ki jih sploh ni imela. Koliko barvic ji je še ostalo? Učitelji velikokrat mislijo, da je učenec, ki je sposoben rešiti preprost vodeni problem, zmožen rešiti tudi sestavljen vodeni problem, vendar to ne drži. Sestavljene probleme je potrebno razstaviti na podprobleme. Pri tem je nujno, da se učencu postavljajo vprašanja. Tako se problemu zmanjša zahtevnost in učenci na razredni stopnji ga lažje rešijo. NEVODENI problemi Pri teh problemih iz teksta ni razviden postopek, s katerim se naloga lahko reši. Učenec mora sam odkriti pot oziroma poti, s katerimi bo dosegel cilj, ki je v tekstu določen. Ti problemi so zahtevnejši od vodenih problemov, saj je pri njih potrebno več miselnih naporov. PRIMER: Nastja je privarčevala 280 evrov. Kupiti si želi 3 majice, vsaka stane 12 evrov. Potrebuje še hlače, ki stanejo 43 evrov, čevlje, ki so 21 evrov dražji od hlač, in plašč, ki stane 5 evrov več kot hlače in čevlji skupaj. Ali ima Nastja dovolj denarja, da si kupi vse, kar potrebuje? 7

18 NEPOPOLNI problemi Te vrste problemi so predstavljeni s takimi situacijami, pri katerih sta odprta tako pot do cilja kot cilj sam. Pri takih problemih je toliko različnih poti in ciljev, kolikor je učencev oziroma skupin učencev, če poteka reševanje problemov v skupini. Lahko se tudi zgodi, da ista skupina učencev poišče več različnih rešitev istega problema. PRIMER: Sestavite nalogo za obseg, pri kateri si bo reševalec lahko pomagal z geoploščo FROBISCHERJEVA KATEGORIZACIJA PROBLEMOV Frobischer (Cotič, 1999) loči med tremi vrstami matematičnih problemov: problemi z zaprto potjo in zaprtim ciljem, problemi z odprto potjo in zaprtim ciljem ter problemi z odprto potjo in odprtim ciljem. Problemi z ZAPRTO POTJO in ZAPRTIM CILJEM ZAČETNO STANJE ZAPRTA POT ZAPRT CILJ DIAGRAM 4: Prikaz problema z zaprto potjo in zaprtim ciljem 8

19 PRIMER: Lucija je napihnila 11 balonov. Trije baloni so se predrli. Koliko napihnjenih balonov ji je še ostalo? Začetno stanje je 11 balonov, od tega trije predrti. Potrebno je izračunati, koliko napihnjenih balonov je še ostalo Luciji. Cilj je zaprt, saj je jasno določen; edina rešitev naloge je 8 balonov. Prav tako je zaprta pot, s katero dosežemo cilj, saj je strategija reševanja znana do odgovora pridemo le tako, da 11-im balonom, ki jih imamo na začetku, odštejemo tri, ki so se predrli. Pri reševanju teh problemov ugotovimo, ali učenec razume osnovne matematične pojme in postopke, ki jih hkrati tudi utrdimo in ponovimo. Zaradi tega naj bi se učenci najprej srečali s takimi problemi in šele kasneje naj bi sledilo uvajanje v naslednjo kategorijo problemov. Problemi z ODPRTO POTJO in ZAPRTIM CILJEM ZAČETNO STANJE ODPRTA POT ZAPRT CILJ DIAGRAM 5: Prikaz problema z odprto potjo in zaprtim ciljem 9

20 PRIMER: Na geoplošči 3 x 3 oblikuj čim več različnih pravokotnikov. Začetno stanje je geoplošča 3 x 3 in različni pravokotniki. Cilj je zaprt, ker je jasno opredeljen: učenec mora poiskati/oblikovati toliko različnih pravokotnikov, kot jih je, oziroma toliko, kot misli, da jih je. Učenec mora sam poiskati strategijo reševanja, zato je pot odprta. Nekateri učenci ne izberejo nobene strategije in iščejo različne pravokotnike zgolj slučajno. Nekateri pa imajo že sistematičen pristop pri oblikovanju rešitev. Da postanejo učenci pri teh vrstah problemov sposobni izbirati in izpeljati primerno strategijo, potrebujejo veliko nasvetov in izkušenj. Šele nato ga uvedemo v tretjo kategorijo problemov, kjer sta pot in cilj odprta. Problemi z ODPRTO POTJO in ODPRTIM CILJEM ZAČETNO STANJE ODPRTA POT ODPRT CILJ DIAGRAM 6: Prikaz problema z odprto potjo in odprtim ciljem 10

21 PRIMER: Raziskuj polovice na geoplošči 5 x 5. Ta problem se zelo razlikuje od prejšnjih dveh in od problemov, ki jih običajno dajemo učencem pri pouku matematike na razredni stopnji. Podano je le začetno stanje: različne polovice na geoplošči 5x5. Pot je odprta, saj si mora učenec sam poiskati strategijo reševanja. Tudi cilj je odprt, kar pomeni, da si ga mora učenec postaviti sam in nato raziskati situacijo, ki si jo je zastavil. Problem z odprto potjo in odprtim ciljem bi lahko poimenovali problem raziskava, saj učenec pri reševanju problema raziskuje izbira si cilje (npr. Koliko različnih polovic dobimo, če geoploščo 5 x 5 razdelimo z eno ravno črto?), ki jih nato poskuša doseči. Z določitvijo cilja se raziskovanje problema z odprto potjo in odprtim ciljem spremeni v oblikovanje novih problemov: problemov z zaprto potjo in zaprtim ciljem in problemov z odprto potjo in zaprtim ciljem. Osnovni namen takih problemov ni v razumevanju pojmov, ponavljanju snovi in različnih postopkov kot pri prvi in drugi kategoriji problemov, ampak v pridobivanju znanj o obravnavanju problemskih situacij. Predvsem skušamo učenca naučiti samostojnega razmišljanja v novih situacijah. 11

22 Povzemimo sedaj še enkrat z diagramom Frobischerjevo kategorizacijo problemov (Frobischer, 1994), ki jo je še dopolnila Hodnik (1995). PROBLEMI 1. Problemi z ZAPRTO potjo in ZAPRTIM ciljem. 2. Problemi z ODPRTO potjo. in ZAPRTIM ciljem. REŠEVANJE 3. Problemi z ODPRTO potjo in ODPRTIM ciljem. RAZISKOVANJE KONVERGENTNA AKTIVNOST DIVERGENTNA AKTIVNOST IŠČEMO POT DO CILJA Izberemo si CILJ in RAZISKUJEMO situacijo. 12

23 U PRIMERJAVA MIALARETOVE IN FROBISCHERJEVE KATEGORIZACIJE PROBLEMOV Če primerjamo Mialaretovo in Frobischerjevo kategorizacijo problemov, opazimo da sta si zelo podobni. Enakost pri obeh avtorjih lahko opazimo pri prvi in drugi kategoriji problemov. Pri tretji kategoriji problemov pa bi lahko rekli, da so Mialaretovi nepopolni problemi»prava podmnožica«frobischerjevih problemov z odprto potjo in odprtim ciljem. Pri nepopolnih problemih namreč Mialaret navaja le probleme, ki so vsebinsko vezani na učenčevo življenje in ne na matematične vsebine, medtem ko Frobischer navaja tako ene kot druge (Cotič, 1999). PROBLEMI KATEGORIJE MIALARET FROBISCHER I. vodeni problemi = problemi z zaprto potjo in zaprtim ciljem II. nevodeni problemi = problemi z odprto potjo in zaprtim ciljem III. nepopolni problemi problemi z odprto potjo in odprtim ciljem TABELA 1: Primerjava Mialaretove in Frobischerjeve kategorizacije problemov (Cotič, 1999) 13

24 2.2 REŠEVANJE MATEMATIČNIH PROBLEMOV Polya, eden največjih didaktikov matematike, ki se je ukvarjal s strategijo reševanja matematičnih problemov, je zapisal:»rešiti problem pomeni poiskati izhod iz določene težave: poiskati pot, ki pelje do zastavljenega cilja, kateri ni takoj dosegljiv. Reševanje problemov je specifična dejavnost razuma, razum pa je specifičen samo za človeka: torej je reševanje problemov osnovna človeška aktivnost«(polya, 1971, v Cotič, 1999, str. 6). S tem ko učimo učenca reševati in raziskovati probleme, ga pravzaprav učimo misliti. Tako kot ne obstajajo neke splošno veljavne zakonitosti in metode za učenje mišljenja pri posamezniku, tako ne obstajajo tudi vedno natančno določene in učinkovite metode za reševanje problemov (Cotič, Hodnik, 1995). Rutinske naloge so neizogiben in nujno potreben del pri poučevanju matematike. Poleg rutinskih nalog pa je prav tako zelo pomembno, da učence navajamo tudi na druge vrste problemov. Polya je poučevanje samo mehaničnega izvajanja rutinskih matematičnih operacij primerjal s kuharsko knjigo. Trdil je, da je tako poučevanje precej pod nivojem kuharske knjige, ker kuharski recepti marsikaj prepustijo kuharjevi fantaziji in presoji, medtem ko matematični recepti ničesar (Cotič, 1999). Cotič (1995) pa pri reševanju problemov pri matematiki na razredni stopnji opazi sledeče:»problemi«se rešujejo predvsem zato, da se z njimi utrjujejo računske operacije. Moralo bi biti obratno: otroke bi morali učiti raznih matematičnih znanj, da bodo z njihovo pomočjo lahko reševali čim različnejše življenjske probleme. Lee (2006) izpostavi še en element, ki je pomemben pri reševanju problemov ozračje v razredu. Voditi mora k odprtemu razmišljanju, ki spodbuja matematično diskusijo, pri kateri lahko učenci razmišljajo in izražajo svoje ideje. Pri tem je potrebno izpostaviti, da se ni potrebno bati»napačnih«odgovorov, saj včasih z njihovo pomočjo pridemo do pravilne rešitve (Turunen, 2010). Pri reševanju matematičnih problemov je pomembnih več elementov. Prvi je, da učitelj učencu ponudi nalogo, ki mu predstavlja matematični problem, in ga motivira za reševanje. Učitelj mora biti pripravljen z zanimanjem sprejeti rešene naloge. Učenec mora zaznati, da 14

25 učitelju ni vseeno, ali bo nalogo rešil ali ne. Veliko učencev namreč potrebuje podporo učitelja. Učitelj naj nato učenčevo delo ovrednoti. Lee (2006) pravi, da efektivna povratna informacija pomaga učencu bolje razumeti, kako napredovati pri svojem učenju in mu omogoča, da istočasno razmišlja in govori o nalogah, ki jih opravlja. Učitelj mora učencu posredovati povratno informacijo in ga opogumiti za nadaljnje delo. Zadnje, kar je zelo pomembno, je diskusija, ki ji je potrebno nameniti dovolj časa. Nujno je, da učitelj svoje učence in njihove matematične sposobnosti pri tem dobro pozna (povzeto po: Turunen, 2010) FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV Langus Kržič (2006) v svojem magistrskem delu povzame štiri faze reševanja problemov, ki jih je opredelil Polya (1984): razumevanje problema, zamisel načrta za rešitev problema, realizacija načrta, analiza reševanja. 15

26 Spodnji diagram prikazuje faze reševanja problema po Polyi (1984). MATEMATIČNI PROBLEM ANALIZA REŠITVE, PREGLED OPRAVLJENE POTI RAZUMEVANJE PROBLEMA URESNIČITEV NAČRTA PRIPRAVA NAČRTA ZA REŠITEV PROBLEMA DIAGRAM 7: Faze reševanja problema (prirejeno po Cotič, 1999) 1. RAZUMEVANJE PROBLEMA Pomembno je, da učenci razumejo problemsko situacijo. To lahko dosežejo s pomočjo konkretnega materiala, z grafičnim prikazom, z dramatizacijo ali pripovedjo. Učitelj mora učence navajati na uporabo vseh naštetih strategij, saj je pomembno, da učenci situacijo doživijo in tako matematični problem rešujejo bolj osebno. Ni dovolj le razumevanje problema, potrebna je tudi želja po tem, da se problem reši. Učenje reševanja problemov je namreč privzgajanje volje. Ko učenci rešujejo probleme, ki niso preveč enostavni zanje, se učijo vztrajati kljub neuspehu, zadovoljni so tudi z majhnim napredkom in iščejo idejo, na katero se osredotočijo, kolikor morejo. Prav zato je pomembno, da so problemi dobro izbrani. Ne smejo biti pretežki niti preveč enostavni. Biti morajo zanimivi ter življenjsko in privlačno 16

27 predstavljeni, da pritegnejo učenčevo pozornost. Dobro je, da učenci problem obnovijo s svojimi besedami in določijo ključne dele naloge (neznanko, podatke, pogoje) (Langus Kržič, 2006). Pri razumevanju problema in problemske situacije so pomembna vprašanja, s katerimi vzpostavimo odnos med danimi podatki. Učitelj lahko pomaga učencem s sledečimi vprašanji: Po čem nas sprašuje naloga oz. kaj želimo izvedeti? Kateri podatki so dani? Ali je morda kateri izmed podatkov odveč? 2. ZAMISEL NAČRTA ZA REŠITEV PROBLEMA Ta faza je pri reševanju problema najpomembnejša. Pot do načrta je lahko postopna in dolga, lahko pa se zamisel za načrt pojavi nenadoma kot preblisk. Učitelj naj učence s primernimi vprašanji nevsiljivo usmerja, da sami pridejo na tako misel oz. preblisk. Pri iskanju strategije reševanja učencem pomaga njihovo matematično predznanje ali izkušnje z reševanjem podobnih problemov (Langus Kržič, 2006). Pri izdelavi načrta je dobro, da jih učitelj spodbuja in usmerja z vprašanji: Ali ste že kdaj reševali podobno nalogo? Ali se spomnite, kako ste se lotili reševanja? Ali lahko tudi to nalogo rešimo na enak način? Kateri podatki so v nalogi pomembni? 17

28 3. REALIZACIJA NAČRTA Naloga učitelja je, da učence navadi na izdelavo načrta reševanja, ki ga morajo uresničiti in pri tem prikazati postopek reševanja z risbo. Učenci morajo načrt reševanja razumeti in ga med reševanjem ne smejo pozabiti. Preveriti morajo vsako zaporedno stopnjo in biti morajo prepričani, da je potek reševanja pravilen (Langus Kržič, 2006). Učitelj jih pri tem z vprašanji usmerja k razmišljanju: Ste dobro razmisli, kako si bodo sledile stopnje reševanja naloge? Ste prepričani, da je vsaka stopnja načrta pravilna? Kako veste, da je pravilna? 4. ANALIZA REŠEVANJA, PREGLED OPRAVLJENE POTI Ta faza je bistvenega pomena za popolnejše razumevanje problema in za odpravljanje napak, ki so se morda pojavile med reševanjem. Predvsem pa je pomembna zato, ker se v tej fazi učenci naučijo kritične analize dobljenega rezultata. Učitelj učence spodbuja k razmišljanju o morebitnih drugih poteh reševanja problema in o tem, kako bi se dalo dobljeni rezultat preveriti in s tem dokazati pravilnost izbire strategij reševanja. S tem, ko učenci ponovno preverjajo poti, po katerih so prišli do rezultata, si utrjujejo znanje in razvijajo sposobnosti za reševanje problemov. Morajo pa se zavedati, da pri vsakem problemu vedno ostane še kaj, kar bi lahko izboljšali oz. izpopolnili, če drugega ne, vsaj razumevanje samega problema. Učitelj mora navajati učence na razmišljanje o tem, da so matematični problemi povezani med seboj in še z marsičim drugim in niso le sami sebi namen (Langus Kržič, 2006). Učitelj lahko učence spodbudi, da sami oblikujejo probleme, pri katerih bi lahko ponovno izkoristili uporabljeni postopek ali uporabili dobljeni rezultat: Lahko preskusite dobljeni rezultat? Ali lahko preverite pot reševanja? 18

29 Ali lahko dobite rezultat tudi po drugi poti? Ali lahko uporabite pot reševanja te naloge pri reševanju kakšnega drugega problema? Učitelji bi se morali zavedati, da ni dovolj, da učencem strategije reševanja različnih matematičnih problemov le prikažejo ali da jih le enkrat z njimi uporabljajo. Matematične probleme je potrebno z učenci neprestano uriti. Analizirajmo matematični problem glede na zgoraj omenjene štiri faze reševanja problemov, ki jih je opredelil Polya. PROBLEM: Damjana, Lucija, Polona in Tjaša so najboljše prijateljice. Damjana je starejša od svojega brata, stara je 8 let. Lucija je 5 let mlajša kot Polona in Damjana skupaj. Tjaša je 2 leti starejša od Damjane, Polona pa je tri leta mlajša od Tjaše. Koliko so stare vse štiri prijateljice skupaj? RAZUMEVANJE PROBLEMA: Učenec mora problem najprej razumeti. Problemsko situacijo lahko v tem primeru približamo s konkretnim materialom (uporabimo slike 4-ih deklet). Učencem lahko pomagamo razumeti problem s sledečimi vprašanji: Po čem nas sprašuje naloga oz. kaj želimo izvedeti? Kaj lahko iz besedila razberemo o Damjanini starosti? Ali nam podatek, da je Damjana starejša od svojega brata, kaj koristi ali je odveč oz. je nepomemben? Kaj lahko iz besedila razberemo o Lucijini, Tjašini in Polonini starosti? 19

30 ZAMISEL NAČRTA ZA REŠITEV PROBLEMA: Pri izdelavi načrta lahko učitelj usmerja z naslednjimi vprašanji: Za katero Damjanino prijateljico bi lahko najhitreje ugotovili, koliko je stara? Starost katere prijateljice bomo poskušali ugotoviti potem, ko bomo vedeli, koliko let ima Tjaša? Ali bomo tako ugotovili starost vseh prijateljic? Kateri prijateljici moramo še določiti starost? Zakaj bomo šele na koncu ugotavljali Lucijino starost, če pa je bila omenjena že na začetku naloge? Primer uporabne skice načrta za rešitev problema: SLIKA 1: Skica načrta za rešitev problema REALIZACIJA NAČRTA: Učence je potrebno spodbujati, da si pri reševanju pomagajo z risbo. Razumeti morajo načrt in preverjati pravilnost vsake zaporedne stopnje. Učitelj jih lahko usmerja z naslednjimi vprašanji: Ste dobro razmisli, kako si bodo sledile stopnje reševanja naloge kaj boste izračunali na začetku, kaj na koncu? 20

31 Ali ste prepričani, da ste v skico pravilno vnesli vse pomembne podatke o starosti Damjane, Lucije, Polone in Tjaše? Postopek reševanja problema: Izhajali bomo iz podatka o Damjanini starosti, ki je edini znani podatek: DAMJANA: 8 let Vemo, da je Tjaša dve leti starejša od Damjane, torej: TJAŠA: 8 let + 2 leti = 10 let. Ker sedaj vemo, koliko je stara Tjaša, lahko določimo starost Polone, ki je od nje tri leta mlajša: POLONA: 10 let 3 leta = 7 let. In šele nazadnje lahko določimo starost Lucije, za katero smo potrebovali podatek o Polonini starosti: LUCIJA: 7 let + 8 let 5 let = 10 let. Sedaj lahko seštejemo, koliko so stare vse štiri prijateljice skupaj: 8 let + 10 let + 7 let + 10 let = 35 let. Vse štiri prijateljice so skupaj stare 35 let. ANALIZA REŠEVANJA, PREGLED OPRAVLJENE POTI: Pri tej fazi reševanja problema učenci utrjujejo svoja znanja in razvijajo sposobnosti za reševanje problemov. Potrebno je poudariti, da pri vsakem problemu ostane še kaj, kar bi lahko izboljšali, če drugega ne, pa razumevanje samega problema: Kako veste, da ste pravilno izračunali starost Tjaše, Polone in Lucije? Ali ste pravilno sešteli starost vseh štirih prijateljic skupaj? Preizkus dobljenega rezultata: DAMJANA: Ima 8 let. TJAŠA: Je stara 10 let, ker je 2 leti starejša od Damjane, ki ima 8 let. POLONA: Ima 7 let, ker je 3 leta mlajša od Tjaše, ki je stara 10 let. 21

32 LUCIJA: Je stara 10 let, saj je 5 let mlajša kot Damjana in Polona skupaj. Damjana ima 8, Polona 7 let. Če njuna leta seštejemo, dobimo 15. Od tega odštejemo še 5 let in dobimo starost Lucije 10 let. 2.3 DEJAVNIKI RAZUMEVANJA MATEMATIČNEGA PROBLEMA PRI UČENCIH Cotič (2001) opisuje naslednje glavne dejavnike, ki vplivajo na razumevanje problemov: OBLIKE PREDSTAVITVE Učenci bolje razumejo problem, če uporabimo dramatizacijo, pripoved in konkretno gradivo. Raziskave kažejo, da učenci s pomočjo konkretnega gradiva probleme bolje rešujejo kot brez njega. PRIMER: Matjaž, Blaž in Patricija so na tleh našli 18 frnikol, ki so si jih pravično razdelili. Koliko frnikol je dobil vsak? Učencem, ki jim zgornja naloga predstavlja problem, priložimo frnikole, ki so jim lahko v veliko pomoč pri reševanju, saj si z njimi približajo situacijo in tako problem lažje in hitreje rešijo. JEZIK Učenec mora jezik, ki se uporablja v problemu, razumeti. Razlog, da učenec ne reši določenega problema, ni nujno samo v tem, da ga ne razume v matematičnem smislu ali pa da je zanj miselno prezahteven. Lahko se zgodi, da učenec ne razume jezika besedila in zato problema ne more rešiti. Torej moramo paziti, da je jezik, ki ga uporabljamo, jasen, natančen in preprost ter povezan tako z izkušnjami kot z jezikovnimi kompetencami učenca. PRIMER 1: Določi razliko števil 10 in 8. 22

33 Razlog, da učenec ne reši zgornjega problema, še ne pomeni, da je zanj miselno prezahteven. Učenec lahko sicer zna izračunati: 10 8 = 2 Težava je lahko v tem, da učenec ne razume matematičnega jezika, torej ne pozna matematičnega izraza»razlika«, zato problema ne zna rešiti. Ker pa mu je izraz razlika domač iz vsakdanjega pogovornega jezika, lahko opazi razliko v zapisu števil 10 je dvomestno, število 8 pa enomestno število. PRIMER 2: Koliko nog imata skupaj mravlja in pajek? V primeru, da učenec ne reši zgornjega problema, še ne pomeni, da je zanj miselno prezahteven oz. da ga ne razume v matematičnem smislu. Učenec lahko sicer zna izračunati: = 14 ali 2 x x 4 = 14 Problem mu lahko v tem primeru predstavlja jezik. Ne razume oz. ne ve, da ima mravlja 6 in pajek 8 nog. Nima torej potrebnega znanja oz. informacij, da bi rešil problem. VRSTNI RED INFORMACIJ Vrstni red informacij v problemu velikokrat povzroči, da se učenec pri reševanju problema znajde v težavah. Pri vodenih problemih določa vrstni red reševanja že sam tekst, zato so taki problemi za učence lažji, medtem ko pri nevodenih problemih postopek reševanja ni pokazan v tekstu danega problema in morajo učenci sami odkriti pravilno pot za dosego cilja. PRIMER: Vodeni problem ZNAN VRSTNI RED: Teja ima 3 zelene, 4 rdeče in 3 rumene gumice. Koliko gumic ima Teja? Nevodeni problem VRSTNI RED NI ZNAN: Anja ima v svoji sobi 3 police za knjige. Na prvi polici ima 4 knjige manj kot na tretji. Na tretji polici ima 2 več kot na drugi. Na drugi polici ima zloženih 17 knjig. Koliko knjig ima Anja na vseh treh policah skupaj? 23

34 ŠTEVILSKI PODATKI Številski podatki lahko olajšajo ali otežijo reševanje matematičnega problema. V začetku šolanja je pomembno, ali je število, ki nastopa v matematičnem problemu, zapisano s številko ali besedo. Pri zapisu z besedo imajo namreč otroci težave pri reševanju. Zmede jih lahko tudi vrstni red informacij in podatkov v problemu. Učenci uspešneje rešujejo probleme z»manjšimi«števili. To pa seveda ne pomeni, da mu ne smemo ponuditi problemov z večjimi števili, ko je intelektualno dovolj zrel. 24

35 Dejavnike, ki vplivajo na razumevanje problema, lahko prikažemo tudi s spodnjim diagramom: DEJAVNIKI, ki vplivajo na razumevanje problema OBLIKA PREDSTAVITVE JEZIK VRSTNI RED INFORMACIJ ŠTEVILSKI PODATKI s konkretnim gradivom formulacija besedila vodeni problemi velikost števil verbalna vizualna abstraktna konkretna nevodeni problemi vrstni red števil v besedilu odnos z vsakdanjim zapis števil jezikom s številko uporabljeno z besedo besedišče DIAGRAM 8: Dejavniki, ki vplivajo na razumevanje problema (Cotič, 2001, str. 27) V teoretičnem delu poglavja o matematičnih problemih sledita še dva, in sicer o geoplošči in delih celote. To so tri področja, na katerih temelji tudi naš empirični del, kjer smo učencem pri vsebini delov celote zastavili matematični problem na geoplošči. 25

36 3 GEOPLOŠČA SLIKA 2: Geoplošča (vir: Geoploščo je izumil angleški matematik Caleb Gattegno ( ), ki je bil rojen v Aleksandriji v Egiptu. Napisal je več diplomskih del in doktoratov. Bil je učitelj matematike v Aleksandriji, ustanovil je Center za znanost in tehniko, Mednarodno komisijo za študije in napredke v matematiki ter združenje ATAM (Združenje za pomoč pri učnih težavah pri matematiki). Kasneje se je združenje preimenovalo v Združenje učiteljev matematike. Med letoma 1944 in 1988 je objavil skoraj 120 knjig in 500 člankov v znanstvenih in ostalih revijah. Ustvaril je pedagoške pripomočke za poučevanje branja (Besede v barvah), tujih jezikov (Tiha pot) in matematike (Številke v barvah). Zato da bi pri učencih razvil matematično razmišljanje skozi raziskovanje matematičnih problemov, pa je izumil geoploščo (wikipedia.org). 3.1 OPREDELITEV GEOPLOŠČE Geoplošča je matematični didaktični pripomoček. Sestavljena je iz določenega števila čepkov, pritrjenih v podlago, ki je lahko lesena ali plastična. Čepki so lahko pritrjeni v obliki kvadrata (čepki 3 3, 4 4 ali 5 5), tako da je na eni geoplošči število čepkov 9, 16 ali 25, ali v obliki kroga. Čepkov je lahko tudi več. 26

37 SLIKA 3: Geoplošča (9 čepkov) (vir: SLIKA 4: Geoplošča (25 čepkov) (vir: Slika 5: Geoplošča s čepki v obliki kroga (vir: Za oblikovanje geometrijskih oblik in matematičnih problemov na geoplošči se uporabljajo gumijaste elastike, ki se jih napenja okoli čepkov geoplošče. Dvodimenzionalno geometrijsko obliko iz plošče je mogoče prerisati na papir s pikicami, ki označujejo čepke na geoplošči (wikipedia.org). 27

38 3.2 IZDELAVA GEOPLOŠČE Za izdelavo geoplošče sem uporabila naslednje pripomočke in orodja: leseno ploščo (vezano furnirno ploščo) dimenzije cm, brusni papir, žeblje, svinčnik, ravnilo, kladivo, akrilne barve in čopiče. SLIKA 6: Orodja in pripomočki, ki sem jih uporabila za izdelavo geoplošče Ploščo debeline 1 cm sem najprej odžagala na mere cm. Odžagane robove sem površinsko obdelala z brusilnim papirjem. Na pripravljeno ploščo sem na sredino narisala kvadrat dimenzije cm. 28

39 SLIKA 7: Postopek izdelave geoplošče S pestrimi akrilnimi barvami sem pobarvala celotno površino plošče (kvadrat z eno in ostalo z drugo barvo). SLIKA 8: Postopek izdelave geoplošče 29

40 Ko se je barva posušila, sem znotraj kvadrata narisala 16 manjših kvadratov dimenzije 4 4 cm. SLIKA 9: Postopek izdelave geoplošče Kjer se črte sekajo, sem s kladivom pritrdila žeblje. Za eno geoploščo sem torej potrebovala 25 žebljev. SLIKA 10: Postopek izdelave geoplošče 30

41 SLIKA 11: Geoplošča končni izdelek 3.3 UPORABA GEOPLOŠČE Manfreda Kolar in Hodnik Čadež (2010) izpostavita dva načina, kako lahko učitelji uporabljajo nov didaktični material oz. kako se lahko nanj odzovejo. Svoje poučevanje lahko prilagodijo glede na didaktični material ali obratno didaktični material prilagodijo glede na svoj način poučevanja. Učitelji matematike ne sprejmejo z lahkoto novega didaktičnega materiala v svojo prakso poučevanja. Običajno ga prilagodijo ciljem, ki jih skušajo doseči torej prilagodijo uporabo didaktičnega materiala v svoj ustaljen pristop učenja matematike. Avtorici s tega vidika opišeta dva možna odziva na nov didaktični material. Geoplošča se torej v razredu lahko uporablja na dva načina: 1. NAČIN UPORABE GEOPLOŠČE Učitelj prilagodi nov didaktični material na obstoječe okoliščine: Geoplošča je uporabljena za dosego učnih ciljev iz učnega načrta, ki so bili v preteklosti prav tako doseženi, vendar z uporabo drugih didaktičnih materialov. Učni cilj ''učenci oblikujejo trikotnik'' je lahko dosežen z risanjem oblike, z izrezom iz papirja ali uporabo novega didaktičnega materiala geoplošče. 31

42 Na ta način ne vplivamo na razvoj novega učnega cilja, vendar okrepimo obstoječega z uporabo novega didaktičnega materiala. 2. NAČIN UPORABE GEOPLOŠČE Učitelj se prilagodi novemu didaktičnemu materialu: Učitelj uporabi dodatne možnosti in uporabi novi didaktični material za reševanje problemov. Učenci lahko raziskujejo, koliko različnih trikotnikov je možno tvoriti na 3 x 3 geoplošči. Predstavitev pojma mnogokotnika je torej obogatena z aktivnostjo, ki ne bi bila mogoča brez uporabe didaktičnega materiala. Takšna prilagoditev učenja novemu didaktičnemu materialu je mogoča le v primeru, da so učitelji odprti za nove ideje in nove problemsko-orientirane pristope pri učenju matematike. Avtorici povzameta, da je prilagoditev novemu didaktičnemu materialu smiselna pod določenimi pogoji. Učitelj mora biti odprt za uporabo novih stvari z namenom izboljšanja poučevanja in učenja matematike. Geoploščo lahko uporabljamo tako pri rednem pouku kot tudi pri dodatnih in dopolnilnih dejavnostih. Za naloge na geoplošči potrebujemo elastične gumice različnih velikosti, ki jih napenjamo okoli žebljičkov. PRIMERI NALOG: I. UČITELJ PRILAGODI NOV DIDAKTIČNI MATERIAL NA OBSTOJEČE OKOLIŠČINE 1. Na geoplošči v velikosti 5 x 5 oblikuj: a) največji možni trikotnik in b) najmanjši možni pravokotnik. 32

43 2. Na geoplošči v velikosti 5 x 5 oblikuj najmanjši možni kvadrat: a) spodaj desno in b) zgoraj levo. 3. Na geoplošči v velikosti 5 x 5 oblikuj največji možni pravokotnik in izračunaj njegov obseg in ploščino. Razdalja med dvema žebljičkoma predstavlja 10 cm. II. UČITELJ SE PRILAGODI NOVEMU DIDAKTIČNEMU MATERIALU 1. Geoploščo razdeli na polovico. Na eni polovici oblikuj lik, nato pa s sosedom zamenjaj geoploščo. Oblikuj drugo polovico geoplošče tako, da bo lik simetričen. Oba narišeta simetrične like. 2. Na geoplošči prikaži: a) čim daljšo lomljeno črto (naj se ne seka), b) 5 ravnih črt, ki se ne sekajo. 33

44 3. Oblikuj sledeče like na geoploščo. a) b) c) Zapiši, koliko stranic imajo liki: a) b) c) 4. Na geoplošči 5 x5 poišči čim več različnih: a) kvadratov, b) pravokotnikov, c) trikotnikov. 3.4 GEOPLOŠČA IN UČNI NAČRT V učnem načrtu (2011) je geoplošča omenjena enkrat, in sicer pri didaktičnih priporočilih. Predlagana je kot didaktično sredstvo v prvem in drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju. V treh naključno izbranih delovnih zvezkih za matematiko za 3., 4., in 5. razred sem preverila prisotnost nalog iz geoplošče. 34

45 3. RAZRED: Pregledala sem delovni zvezek Tretji koraki v matematiko 3 1. del (2012). Našla nisem nobene naloge, kjer bi bila prisotna geoplošča. 4. RAZRED: Pregledala sem delovni zvezek Svet matematičnih čudes 4, 2. del (2012). Zasledila sem eno nalogo, kjer je omenjena geoplošča. Naloga je na strani 23 pri temi obdelava podatkov in sklopu prikazi: Izpolni preglednico. Lik Št. oglišč Št. stranic Ime lika A 4 B 6 C 3 Č 8 Na vsaki sliki geoplošče nariši ustrezen lik. LIK A LIK B LIK C LIK Č 35

46 5. RAZRED: Pregledala sem delovni zvezek Svet matematičnih čudes 5, 1. del (2011). Zasledila sem eno nalogo, kjer je prisotna geoplošča. Navedena je na strani 39 pri temi geometrija sklop geometrijska telesa in liki: Na slike geoplošč nariši po 4 različne like: a) trikotnike b) štirikotnike c) petkotnike Če povzamemo: trije naključno izbrani delovni zvezki skupaj vsebujejo le 2 nalogi, pri katerih je prisotna geoplošča. Menim, da je to zelo malo in da ta podatek ni ravno spodbuden za vključitev omenjenega didaktičnega pripomočka v pouk matematike. Tukaj je pomembna vloga učitelja. Le-ta se mora potruditi in za učence sestaviti tudi takšne naloge, ki vključujejo uporabo didaktičnih pripomočkov oz. geoplošče. 36

47 4 DELI CELOTE Deli celote so del našega vsakdanjega življenja. S tem pojmom se pogosto srečujemo, le da se tega ne zavedamo. Velikokrat se znajdemo v situaciji, kjer je potrebno kaj pravično razdeliti na več enakih delov (bombone, čokolado, denar, zemljišča ). Z uvajanjem pojma deli celote pričnemo v 2. razredu. Znanje se nato iz razreda v razred nadgrajuje. Tako kot drugod tudi pri vsebini o delih celote učenci v 1. triletju spoznavajo in usvajajo pojme preko dejavnosti s konkretnim materialom. Ob njih učenci ponovijo in obnovijo že znane pojme in razčistijo tiste predstave, ki niso najbolj jasne. Kasneje sledi postopen prehod na konkretne modele, diagrame in simbolični zapis, kar je podrobneje razloženo v nadaljevanju. Tako kot pri ostalih vsebinah iz učnega načrta lahko učitelj tudi pri tej oblikuje zanimive matematične probleme. Eden od načinov problemskega pristopa k obravnavanju delov celote je tudi geoplošča. 4.1 KOMPONENTE PRISTOPA ZA POUČEVANJE DELOV CELOTE Payne (1993) meni, da znanje o delih celote sestoji iz naslednjih komponent, ki jih mora učenec usvojiti in med seboj povezati: KONKRETNI MATERIAL Učenci se pogosto srečujejo z deli celote. Pride do situacij, ko si morajo nekaj (lahko je to čokolada, pica, torta idr.) pravično razdeliti s sestro, bratom, prijateljem Znanje o delih celote mora izhajati iz praktičnih izkušenj učenca. Temeljiti mora na konkretnih predmetih, s katerimi se srečuje v vsakdanjem življenju. S pomočjo konkretnega materiala učenec oblikuje prave predstave, saj take predmete lahko prime in si jih ogleduje. 37

48 MATEMATIČNI POJMI IN TERMINOLOGIJA Delo s konkretnim materialom nadgradimo s spoznavanjem matematičnih pojmov in terminologije s tega področja: CELOTA Da si učenci pojem celota lažje predstavljajo, ga vpeljemo s konkretnim materialom (npr. s čokolado). Cela čokolada predstavlja celoto. Če čokolado odlomimo, jo razdelimo na različne dele celote. Preko razlage in pogovora učenci spoznajo, da je lahko celota nekaj velikega ali majhnega. Spodaj imamo majhno in veliko čokolado. Vsaka zase predstavlja celoto. SLIKA 12: Primer različno velikih celot PRAVIČNA DELITEV IN POIMENOVANJE DELA CELOTE Pojem polovica je v vsakdanji uporabi večkrat napačno uporabljen (npr. Ti si že včeraj dobil čokolado, tako da dobiš danes manjšo polovico, Blaž pa dobi večjo.). Učenci morajo spoznati, da je delitev pravična le takrat, ko celoto razdelimo na dva oz. na več enakih delov. SLIKA 13: Nepravična in pravična delitev na dva enaka dela 38

49 Priporočena je ponazoritev delov celot s pomočjo trakov, ki pomagajo pri primerjanju in poimenovanju delov celote. Učencem razložimo, da imena izvirajo iz števila, ki celoto deli (npr. če je celota razdeljena na tri enake dele, se del celote imenuje tretjina). Pri tem moramo učence opozoriti na pojma polovica in četrtina, ki nista direktno izpeljana iz imena. KONKRETNI MODELI Realne predmete postopoma zamenjamo s konkretnimi modeli, ki so njihova reprezentacija (npr. geoplošča; karton, razdeljen na enake dele idr.). Z njimi si lahko učenci lažje predstavljajo jabolko, pico, čokolado, Učenci z njihovo pomočjo lažje razumejo in oblikujejo predstave o deljenju celote na enake dele. SLIKA 14: Geoplošča konkretni model DIAGRAMI Naslednja komponenta uvajanja delov celote so diagrami, ki so abstraktnejši od konkretnih modelov. Učenci morajo najprej usvojiti branje in risanje le-teh, zato na začetku potrebujejo veliko pomoči. Pri njihovem spoznavanju je nujno potrebno povezovanje tako s konkretnim materialom kot tudi s konkretnimi modeli. 39

50 Na začetni stopnji ponudimo učencu diagrame, ki so razdeljeni na enake dele celote. Zahtevnost kasneje stopnjujemo tako, da ponudimo celoto, razdeljeno na različne dele. Učenec mora ugotoviti, kolikšen del celote predstavlja posamezni del. Leja Nadja Janja Tanja Aljaž Marko Tine Žiga SLIKA 15: Celota je razdeljena na enake dele SLIKA 16: Celota je razdeljena na različne dele SIMBOLI Ko so vse ostale komponente že zelo dobro usvojene, vpeljemo zadnjo simbolno raven uvajanja delov celote. Učenci morajo tako do te faze že znati poimenovati dele celote, z njimi šteti in jih primerjati. Z zapisom s simbolom se deli celote preimenujejo v ulomek. Kolikšen del celote je pobarvan? polovica 4.2 DELI CELOTE IN UČNI NAČRT V učnem načrtu (2011) zasledimo dele celote v sklopu racionalnih števil pri temi aritmetika in algebra. Učenci se z vsebino o delih celote srečajo v drugem razredu. Za ta razred je naveden 40

51 cilj, da učenci prepoznajo, opišejo in poimenujejo polovico, tretjino in četrtino na konkretnih primerih (torta, čokolada idr.). V nadaljevanju so našteti cilji, ki naj bi jih pri vsebini o delih celote dosegli učenci v posameznih razredih. Učni načrt deli cilje na obvezne in izbirne. Obvezni cilji so namenjeni vsem učencem, saj njihovo doseganje predstavlja splošno izobrazbo ob zaključku osnovnošolskega izobraževanja. Izbirne cilje izbira učitelj glede na zmožnosti in interese učencev. Namenjeni so poglabljanju in dodajanju znanja. V zapisu ti dve vrsti ciljev ločimo tako, da so obvezni cilji zapisani pokončno, izbirni pa ležeče. 1. Učni načrt matematike predpisuje naslednje cilje, ki naj bi jih pri vsebini o delih celote dosegli učenci v 3. razredu: prepoznajo celoto in dele celote na modelu in sliki, delijo celoto na enake dele (na modelu in sliki), poimenujejo del celote (iz konkretnih primerov) in ga zapišejo v obliki ulomka (npr. četrtina, ; polovica, ). V didaktičnih priporočilih je zapisano, naj dele celote obravnavamo samo na konkretni in slikovni ravni. 2. Za 4. razred predpisuje učni načrt matematike naslednje cilje, ki naj bi jih dosegli učenci pri vsebini o delih celote: na modelu in sliki delijo celoto na enake dele (polovica, tretjina ipd.), zapišejo dele celote z ulomkom (npr.,, ipd.), na modelu in sliki določijo celoto, če je dan del celote, izračunajo vrednost enega dela celote, če je znana celota (npr. od 18 = ), določijo vrednost celote, če je znan njen del (npr. od = 5), na modelih in na sliki prepoznajo ekvivalentne zapise delov celote (npr. = ); 41

52 V didaktičnih priporočilih je zapisano, da imajo sprva»ulomki«samo imenovalec ena (1), od tod pa se napreduje do desetiških ulomkov. 3. Učni načrt matematike predpisuje naslednje cilje, ki naj bi jih pri vsebini o delih celote dosegli učenci v 5. razredu: določijo, kolikšen del celote prikazuje dana slika ali model, grafično ali z modelom ponazorijo dele celote, izračunajo del od celote (npr. od 15 = ), uporabijo strategijo računanja z deli celote pri reševanju besedilnih nalog, na modelu in na sliki prepoznajo dele celote, ki so večji od celote, in jih zapišejo v matematični obliki (npr. ena torta in pol: 1 ; dve jabolki in četrt 2 ), s pomočjo modelov in slike seštevajo in odštevajo dele celote. V didaktičnih priporočilih je zapisano, da je»računanje«z deli celote v 5. razredu le na konkretni in slikovni ravni. V tem razredu je predlagano seštevanje in odštevanje enakih delov celote, pri čemer moramo biti pozorni na ekvivalentne zapise delov celote (npr. od torte smo pojedli ostale so nam oziroma torte). 4.3 PRIMERJAVA CILJEV OD 3. DO 5. V spodnji tabeli je prikazano, kateri cilji se v učnem načrtu pri vsebini deli celote iz razreda v razred ponavljajo in kako se nadgrajujejo. Predstavljeni so vsi cilji tako obvezni kot tudi izbirni (le-te prepoznamo po tem, da imajo poleg številke zraven še zvezdico). V tabeli so cilji oštevilčeni. Posamezne števke predstavljajo naslednje cilje: Učenci: 1 => prepoznajo celoto in dele celote; 2 => delijo celoto na enake dele; 3 => poimenujejo del celote in ga zapišejo v obliki ulomka; 42

53 4 => določijo celoto, če je dan del celote; 5 => izračunajo vrednost dela celote, če je znana celota; 6 => določijo vrednost celote, če je znan njen del; *7 => na modelih in na sliki prepoznajo ekvivalentne zapise delov celote; 8 => uporabijo strategijo računanja z deli celote pri reševanju besedilnih nalog; *9 => na modelih in na sliki prepoznajo dele celote, ki so večji od celote in jih zapišejo v matematični obliki; *10 => s pomočjo modelov in slike seštevajo in odštevajo dele celote. CILJ * * * RAZRED 3. R X X X 4. R X X X X X X 5. R X X X X X X TABELA 2: Primerjava ciljev iz učnega načrta od 3. do 5. razreda pri vsebini deli celote ANALIZA TABELE Cilja, ki se pojavljata v vseh treh razredih, sta navedena pod št. 2 in 3. Učenci morajo od 3. do 5. razreda torej znati deliti celoto na enake dele ter poimenovati del celote in ga zapisati z ulomkom. Seveda se težavnost nalog za doseganje teh dveh ciljev iz razreda v razred stopnjuje. V 3. razredu so naloge podkrepljene s konkretnimi primeri, učenci zapisujejo enostavne ulomke, ki predstavljajo le en del celote (, ). V 4. razredu iz konkretnih primerov preidemo na modele in slike, tudi zapisovanje ulomkov postane zahtevnejše, saj le-ti ne predstavljajo več samo le enega dela celote (,, ). V 5. razredu ponazorijo dele celote z modelom ali grafično, ulomki se lahko iz prejšnjega razreda nadgradijo z izbirnim 43

54 ciljem, ki je zapisan pod št. 9 (na modelu in sliki prepoznajo dele celote, ki so večji od celote, in jih zapišejo v matematični obliki; npr. 2 ). Iz tabele je razvidno, da se cilj št. 5 pojavi tako v 4. kot tudi v 5. razredu. V obeh razredih morajo znati učenci izračunati vrednost dela celote, če je znana celota. V četrtem razredu računajo vrednost le enega dela celote (npr. od 20 = ), v petem pa tudi vrednost več delov celote (npr. od 24 = ). Ostalih 7 ciljev se pojavi le v določenem razredu. Cilj št. 1 le v tretjem, cilja št. 4 in 5 ter izbirni cilj št. 7 le v četrtem in cilj št. 8 in izbirna cilja št. 9 in 10 le v petem razredu. Sicer se predvideva, da vse, kar učenec osvoji v 3. razredu, nadgrajuje. Gre le za zapise ciljev. 4.4 PRIMERI NALOG Spodaj so prikazani primeri in analize nalog iz vsebine deli celote za 3., 4. in 5. razred, ki sem jih za 3. in 5. razred oblikovala sama. Primere nalog za 4. razred sem deloma povzela iz učbenika in delovnega zvezka (Svet matematičnih čudes 4, 2012). 3. RAZRED 1. Poveži like z napisanim delom celote, ki ga prikazujejo. TRETJINA ČETRTINA ŠESTINA 44

55 2. Sestre Nina, Nastja in Nataša bodo skupaj pojedle čokolado. Pravično si jo bodo razdelile. Z rdečo barvo pobarvaj, kolikšen del čokolade bo dobila Nina, z oranžno bravo Nastjin delež in z modro barvo delež čokolade, ki pripada Nataši. Napiši odgovor. O: 3. Dopolni. osmina ANALIZA NALOG Pri prvi nalogi je potrebno prepoznati del celote na sliki in ga povezati z ustreznim izrazom. Druga naloga od učenca zahteva, da deli celoto na tri enake dele. Pri tretji nalogi mora učenec poimenovati del celote oziroma ga zapisati v obliki ulomka. Pri vseh treh nalogah si še vedno pomaga s konkretnimi in slikovnimi prikazi. Nivo zahtevnosti se od prve do tretje naloge stopnjuje. Pri prvi nalogi mora učenec del celote le prepoznati, pri drugi mora celoto deliti, 45

56 kar je miselno zahtevnejše od prve naloge. Najzahtevnejša je zadnja naloga, kjer mora učenec samostojno poimenovati del celote ali ga zapisati z ulomkom. 4. RAZRED Primeri nalog (1., 2., 3. in 5.) so iz učbenika in delovnega zvezka (Svet matematičnih čudes 4, 2012): 1. Pobarvaj dele celote. 46

57 2. V okence vpiši, kolikšen delež celote je pobarvan. 3. Narisana je 1/3 vseh znamk v Majinem albumu. Koliko znamk je v Majinem albumu? Doriši znamke v album. O: 4. Izračunaj vrednost dela celote. od 32 = od 64 = od 54 = 47

58 5. Poveži. Bodi pozoren/-a, ali lahko kateri slikovni prikaz dela celote povežeš z več kot enim simbolnim zapisom. ANALIZA NALOG Prvi dve nalogi sta podobni nalogam, ki so prikazane za tretji razred. Zahtevnejše so v tem pogledu, da se v števcu ulomka ne pojavlja le število ena. Na modelu delijo celoto na enake dele in zapišejo dele celote z ulomkom. Pri tretji nalogi je na sliki dan del celote, učenci pa morajo določiti celoto. Ta naloga še vedno temelji na konkretnih predstavah, saj si učenci pomagajo tako, da dorišejo znamke. Naslednja naloga je zahtevnejša, saj ni podkrepljena z realnimi predmeti iz vsakdanjega življenja. Pri 4. nalogi gre torej zgolj za izračun. Podano imamo celoto in del celote, katere vrednost je potrebno izračunati (učenec izhaja iz računske operacije deljenja). Pri zadnji nalogi učenci povezujejo slikovni prikaz s simbolnim zapisom delov celote. Naloga je zahtevnejša, problemskost se kaže v tem, da se lahko nekatere slikovne prikaze poveže z več kot enim simbolnim zapisom. Učenci pri tej nalogi prepoznavajo ekvivalentne zapise delov celote. Tudi pri teh primerih nalog se torej težavnost iz naloge v nalogo stopnjuje. 48

59 5. RAZRED 1. Zapiši, kolikšen del celote je pobarvan. 2. Pobarvaj kroge tako, da bo tretjina zelenih, četrtina rdečih in šestina modrih. Zelenih krogov je. Rdečih krogov je. Modrih krogov je. Nepobarvanih krogov je. 3. Izračunaj: od 36 = od 12 = od 21 = od 32 = od 39 = od 45 = 49

60 4. Anja je stara 8 let. To je dedkove starosti. Koliko je star njen dedek? O: 5. V matematični obliki zapiši, kolikšen del celote je pobarvan. 6. Seštej rdeči in modri del celote. + = 50

61 ANALIZA NALOG Pri prvih dveh nalogah gre za ponovitev znanja, ki so ga učenci usvojili že v prejšnjih razredih. Tudi tretja naloga je na prvi pogled podobnega tipa kot 4. naloga za 4. razred. Razlikuje se v tem, da se v števcu ulomka, ki je podan, ne pojavlja več le število 1. Naloga je zahtevnejša, saj mora učenec tu združiti dve računski operaciji. Najprej mora uporabiti računsko operacijo deljenja in nato še množenja ( npr. od 36 = bo izračunal tako, da bo najprej 36 delil s 4; količnik bo zmnožil s 3 in tako dobil želeni rezultat). Pri četrti nalogi imamo besedilno nalogo, pri kateri je potrebno uporabiti strategijo računanja z deli celote. Problemskost naloge se kaže v tem, da mora učenec iz besedila izpisati pomembne podatke, nato pravilno oblikovati in izračunati račun. Zadnji dve nalogi sta zahtevnejši in na tej razvojni stopnji učencu predstavljata problem, saj se s podobnimi nalogami srečajo šele v 6. razredu (lahko ju uporabimo kot dodatni nalogi). Pri 5. nalogi se kaže problemskost v tem, da mora učenec na sliki prepoznati dele celote, ki so večji od celote, in jih zapisati v matematični obliki (npr. 1 ). Pri zadnji nalogi s pomočjo slike seštevajo dele celote. 51

62 5 EMPIRIČNI DEL 5.1 OPREDELITEV PROBLEMA Ljudje se na vsakem koraku srečujemo s problemi različnih vrst. Nekateri imajo probleme pri učenju, drugi s sošolci, starši, sodelavci Skratka, imamo jih prav vsi. Šola pa je institucija, ki naj bi učence s posredovanim znanjem in vzgojnimi elementi pripravila na življenje. In ker so problemi del življenja, je torej naloga šole, da učence pripravi tudi na reševanje le-teh. Tudi deli celote nam pogosto predstavljajo problem, le da se tega ne zavedamo. Velikokrat se znajdemo v situaciji, kjer je potrebno kaj pravično razdeliti na več enakih delov (npr. bombone, čokolado, denar, zemljišča ). Z uvajanjem pojma deli celote sicer pričnemo v 2. razredu. V prvem triletju učenci spoznavajo in usvajajo pojme preko dejavnosti s konkretnim materialom. Kasneje sledi prehod na konkretne modele, diagrame in simbolični zapis. Eden izmed načinov problemskega pristopa k obravnavanju vsebine deli celote je geoplošča. Učencem smo zastavili problemsko situacijo na geoplošči, ki izhaja iz matematičnega sklopa aritmetike deli celote. Zanimalo nas je, v čem se razlikujejo rešitve istega matematičnega problema na geoplošči pri učencih 3., 4. in 5. razreda RAZISKOVALNA VPRAŠANJA Zastavili smo si naslednja raziskovalna vprašanja: Koliko različnih pravilnih rešitev pri reševanju matematičnega problema na geoplošči bodo dobili učenci v 3., 4. in 5. razredu? Kako široko razumejo pojem polovice učenci v 3., 4. in 5. razredu? Ali spol vpliva na uspešnost reševanja problema? Ali so učenci uspešnejši pri prepoznavanju ali pri oblikovanju rešitev problema? 52

63 5.1.2 RAZISKOVALNE HIPOTEZE Iz zgoraj naštetih raziskovalnih vprašanj smo izpeljali naslednje raziskovalne hipoteze: H1: Učenci 3. razreda bodo dobili najmanj rešitev problema, učenci 5. razreda največ. H2: Rešitve učencev 3. razreda bodo najenostavnejše, učencev 5. razreda pa bolj kompleksne, saj bodo poleg enostavnih ravnih vsebovale tudi lomljene črte. H3: Spol ne bo vplival na uspešnost reševanja problema. H4: Učenci bodo uspešnejši pri prepoznavanju kot pri oblikovanju rešitev. 5.2 METODOLOGIJA RAZISKOVANJA RAZISKOVALNA METODA Pri raziskovanju smo uporabili deskriptivno metodo neeksperimentalnega pedagoškega raziskovanja RAZISKOVALNI VZOREC Raziskavo smo opravili na dveh šolah na Dolenjskem: konec aprila na Osnovni šoli Mirna in v začetku maja na Osnovni šoli dr. Pavla Lunačka Šentrupert. V njej je sodelovalo 54 učencev 3., 4. in 5. razreda, od tega polovica učenk in polovica učencev. Iz vsake šole je bilo vključenih 27 učencev: 9 iz 3., 9 iz 4. in 9 iz 5. razreda. Vzorec je bil naključno izbran in priložnosten. Starši so za učence podpisali izjavo, da le-ti smejo sodelovati v raziskavi. 53

64 5.2.3 INSTRUMENTARIJ Za učence smo pripravili dve različni nalogi (priloga 1 in 2). Priloga 1 prikazuje prvo nalogo, kjer so učenci na geoplošči oblikovali čim več različnih polovic, ki so jih nato preslikali na list. Ko so končali, so dobili še drugo nalogo, ki jo prikazuje priloga 2. Tu so morali učenci izmed štirih predlaganih polovic prepoznati pravilne in jih obkrožiti. Drugo nalogo smo jim zastavili zato, da bi ugotovili, ali so uspešnejši pri oblikovanju ali pri prepoznavanju rešitev. Učenci so si pri reševanju obeh nalog lahko pomagali z geoploščo in elastikami POSTOPKI ZBIRANJA PODATKOV Raziskavo smo izpeljali v času jutranjega varstva, med poukom in po pouku. Vsi učenci so imeli za reševanje na voljo enako časa (15 min). Naenkrat so problem reševali trije učenci. Na začetku smo vodili kratek pogovor. Spraševali smo jih, ali so morali že kdaj s kom kakšno stvar deliti; ali so si že kdaj morali s kom deliti čokolado na polovico; ali so kdaj razmišljali o tem, na koliko načinov bi lahko to storili Povedali smo jim, da bodo na geoplošči poskušali najti čim več različni polovic, ki jih bodo nato zapisali na list. Da bi jim problem približali, smo jim ga podali preko zgodbe o deklici Evi, ki je za rojstni dan dobila čokolado, ki je bila zanjo prevelika, zato se je odločila, da bo polovico podarila bratu Roku. S pomočjo geoplošče in elastike smo nato učencem prikazali, da se lahko z gumico tudi malce poigrajo in s tem morda najdejo kakšno polovico (gumico smo naključno peljali po geoplošči tako, da je predstavljala lomljeno črto). Vsak učenec je nato dobil svojo geoploščo, elastične gumice in delovni list (priloga 1) za zapisovanje rešitev problema. Ko so končali, so dvignili roko in dobili drugo nalogo (priloga 2), kjer so morali prepoznati pravilne predloge polovic. Ves čas so imeli pri sebi tudi prvi delovni list, saj nas je zanimalo, ali bo kdo izmed učencev nanj naknadno (ko bo videl predloge polovic) vrisal še kakšno rešitev. Njihovo delo smo opazovali in opažanja spoti beležili. 54

65 5.3 REZULTATI IN INTERPRETACIJA KLASIFIKACIJA REŠITEV Vse zbrane rešitve smo analizirali na podlagi dveh kriterijev, znotraj katerih se rešitve klasificirajo v različne nivoje. Ti se stopnjujejo glede na kompleksnost (npr. v 1. nivo sodijo enostavne rešitve, v 2. nivo kompleksnejše ). Ločimo torej 2 kriterija: 1. KRITERIJ => Glede na tip črte, ki deli obliko na pol. Rešitve smo uvrstili v posamezne nivoje na podlagi dveh vrst poti med dvema žebljičkoma: ŽEBLJIČEK SOSEDNJI ŽEBLJIČEK Pot, ki potuje od žebljička do sosednjega žebljička. Primeri: ŽEBLJIČEK NESOSEDNJI ŽEBLJIČEK Pot, ki potuje od žebljička do nesosednjega žebljička. 55

66 Primeri: Na podlagi vključenosti teh dveh vrst poti v rešitev problema smo le-te razvrstili v 4 NIVOJE: 1. NIVO: Nelomljena črta, ki je sestavljena le iz poti tipa žebljiček sosednji žebljiček. 2. NIVO: Lomljena črta, ki je sestavljena iz vodoravnih in/ali navpičnih poti tipa žebljiček sosednji žebljiček. 3. NIVO: Lomljena črta, ki je sestavljena iz poti tipa žebljiček sosednji žebljiček, od katerih vsaj ena poteka diagonalno. 4. NIVO: Črta, ki vsebuje vsaj eno pot tipa žebljiček nesosednji žebljiček. Primeri za 1. NIVO: 56

67 Primeri za 2. NIVO: Primeri za 3. NIVO: Primeri za 4. NIVO: 2. KRITERIJ => Glede na to, ali sta nastali polovici skladni ali ne. Upoštevajoč 2. kriterij smo na podlagi skladnosti nastalih polovic rešitve razvrstili v 3 NIVOJE: 1. NIVO: Polovici sta v enem kosu in sta skladni. 2. NIVO: Polovici sta v enem kosu in nista skladni. 3. NIVO: Polovici nista v enem kosu. 57

68 Primeri za 1. NIVO: Primeri za 2. NIVO: Primeri za 3. NIVO: 58

69 5.3.2 ANALIZA REŠITEV 1. NALOGE Učenci so najprej reševali 1. nalogo: Eva je za rojstni dan dobila čokolado. Za njo je bila prevelika, zato se je odločila, da bo polovico podarila svojemu bratu Roku. Pred seboj imaš geoploščo, ki predstavlja Evino čokolado. Poišči čim več možnosti, kako čokolado razdeliti na pol. Rešitve, ki jih boš dobil na geoplošči, prenesi na list. Ko so učenci našli rešitev višjega nivoja (2., 3. ali 4), sem jih vprašala, kako vedo, da je to polovica. Odgovori so bili zelo podobni: Ker je osem kvadratkov na eni in osem na drugi strani. Preštel/-a sem kvadratke. Ker je simetrično. a) ANALIZA REZULTATOV UČENCEV 3. RAZREDA Učenci 3. razreda so večinoma rešili problem obeh nalog že po dobrih petih minutah. 18 učencev 3. razreda je skupaj odkrilo 30 različnih rešitev. Vse rešitve so bile pravilne. 59

70 SLIKA 17: Vse različne rešitve učencev 3. razreda Dobljene rešitve smo za vsakega učenca posebej razvrstili v prej opredeljene nivoje po 1. kriteriju: št. rešitev NIVOJI SKUPNO ŠT. učenci REŠITEV 1 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 4 60

71 8 4 / / / / / / / / / / / / / / / / / 4 / / / / / / 2 10 SKUPAJ SKUPAJ V % 72,0 14,0 9,7 4,3 100 TABELA 3: Prikaz rešitev učencev 3. razreda z vidika 1. kriterija 18 učencev 3. razreda je skupaj našlo 93 rešitev. Vse so bile pravilne. Najmanjše skupno število rešitev, ki jih je našel posamezni učenec, je 3. Največje skupno število rešitev, ki jih je našel posamezni učenec, je 10. Trije učenci so našli 3 rešitve, 9 učencev 4, en učenec 6, 4 učenci 8 in en učenec 10 rešitev. Največ rešitev - 67 sodi v 1. nivo, kar predstavlja 72 % vseh dobljenih rešitev, 13 rešitev v 2. nivo, kar predstavlja 14 % vseh rešitev, 9 rešitev v 3. nivo, kar predstavlja 9,7 % vseh dobljenih rešitev in najmanj 4 rešitve v 4. nivo, kar predstavlja 4,3 % vseh dobljenih rešitev tretješolcev. Rešitve 1. nivoja je našlo vseh 18 učencev. Pri tem nivoju so lahko odkrili največ 4 rešitve. 13 učencev je našlo vse rešitve 1. nivoja, ostalih pet po tri rešitve. Rešitve 2. nivoja je našlo 5 učencev. Rešitve 3. nivoja so našli trije učenci, skupaj so našli 9 rešitev 3. nivoja. Rešitve 4. nivoja sta našla 2 učenca. Skupaj sta dobila 4 rešitve, od tega vsak po dve. Rešitve samo enega nivoja je našlo 11 učencev, rešitve dveh nivojev 4 učenci in rešitve treh nivojev 3 učenci. Nihče ni našel rešitve vseh štirih nivojev. Rešitve 1. nivoja je dobilo 11 učencev (št. 1-11), rešitve 1. in 2. nivoja sta dobila dva učenca (št. 12 in 13), rešitve 1. in 3. nivoja je našel en učenec (št. 13), eden učenec (št. 14) je dobil rešitve 1. in 4. nivoja. Rešitve 1., 2. in 3. nivoja sta našla dva učenca (št. 16 in 17). Eden učenec (št. 18) je našel rešitve 1., 2., in 4. nivoja. 61

72 Poglejmo še tabelo, kjer smo dobljene rešitve razvrstili za vsakega učenca posebej v prej opredeljene nivoje po 2. kriteriju. št. rešitev NIVOJI SKUPNO ŠT. učenci REŠITEV 1 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / SKUPAJ SKUPAJ V % 87,1 9,7 3,2 100 TABELA 4: Prikaz rešitev učencev 3. razreda z vidika 2. kriterija Od vseh 93 rešitev jih največ - 81 sodi v 1. nivo, kar predstavlja 87,1 % vseh dobljenih rešitev, 9 rešitev v 2. nivo, kar predstavlja 9,7 % vseh dobljenih rešitev in najmanj 3 rešitve v 3. nivo, kar predstavlja 3,2 % vseh dobljenih rešitev tretješolcev. Rešitve 1. nivoja je našlo 62

73 vseh 18 učencev. Najmanjše število rešitev 1. nivoja, ki jih je dobil posamezni učenec, je 3, največje 8. Rešitve 2. nivoja so našli 3 učenci. Najmanjše število rešitev 2. nivoja, ki jih je dobil posamezni učenec, je 2, največje 4. Rešitve 3. nivoja sta našla dva učenca. Najmanjše število rešitev 3. nivoja, ki jih je dobil posamezni učenec, je 1, največje 2. Rešitve samo enega nivoja je našlo 14 učencev, rešitve dveh nivojev 3 učenci in rešitve vseh treh nivojev 1 učenec. Rešitve le 1. nivoja je našlo 14 učencev (št. 1-14). Rešitve 1. in 2. nivoja dva učenca (št. 15 in 16), rešitve 1. in 3. nivoja en učenec (št. 17), rešitve 1., 2. in 3. nivoja prav tako en učenec (št. 18). b) ANALIZA REŠITEV UČENCEV 4. RAZREDA Učenci 4. razreda so reševali probleme obeh nalog večinoma 5 10 minut. Ker so bili učenci naključno izbrani, je vzorec tega razreda zajemal kar nekaj učencev, ki niso ravno najboljši pri reševanju matematičnih problemov. To je tudi razlog, da so rezultati le malce kompleksnejši v primerjavi s 3. razredom. 18 učencev 4. razreda je odkrilo 46 različnih rešitev, od teh je bilo 16 nepravilnih, 30 pa je bilo pravilnih. V nadaljevanju smo se osredotočili le na pravilne rešitve, ki so prikazane na spodnji sliki. 63

74 SLIKA 18: Vse različne rešitve učencev 4. razreda Dobljene rešitve smo za vsakega učenca posebej razvrstili v prej opredeljene nivoje po 1. kriteriju: št. rešitev NIVOJI SKUPNO ŠT. učenci REŠITEV 1 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 9 64

75 10 4 / 2 / / / / / / / / / / / SKUPAJ SKUPAJ V % 67, 7 12,1 10,1 10,1 100 TABELA 5: Prikaz rešitev učencev 4. razreda z vidika 1. kriterija 18 učencev 4. razreda je skupaj našlo 99 pravilnih rešitev. Najmanjše skupno število rešitev, ki jih je našel posamezni učenec, je 3. Največje skupno število rešitev, ki jih je našel posamezni učenec, je 9. En učenec je našel 3 rešitve, 5 učencev 4, 4 učenci 5, 3 učenci 6, 3 učenci 7, en učenec 8 in en učenec 9 rešitev. Največ rešitev - 67 sodi v 1. nivo, kar predstavlja 67,7 % vseh dobljenih rešitev, 12 rešitev v 2. nivo, kar predstavlja 12,1 % vseh dobljenih rešitev, najmanj pa jih sodi v 3. oz. v 4. nivo, kjer so učenci skupaj našli po 10 rešitev, kar predstavlja 2-krat po 10,1 % vseh dobljenih rešitev četrtošolcev. Rešitve 1. nivoja je našlo vseh 18 učencev. Pri tem nivoju so lahko našli največ 4 rešitve, kar je uspelo 14 učencem, trije so našli 3 rešitve in eden 2 rešitvi. Rešitve 2. nivoja so našli 4 učenci. Skupaj so našli 12 rešitev. Eden učenec je našel 1, eden 2, eden 4 in eden 5 rešitev. Rešitve 3. nivoja je našlo sedem učencev. Skupaj so našli 10 rešitev 3. nivoja, od tega štirje učenci po eno rešitev in trije po dve rešitvi. Rešitve 4. nivoja je našlo 7 učencev. Skupaj so našli 10 rešitev, od tega štirje učenci po eno rešitev in trije po dve rešitvi. Rešitve samo enega nivoja je našlo 6 učencev, rešitve dveh 6 učencev in rešitve treh 6 učencev. Nihče ni našel rešitev vseh štirih nivojev. Rešitve le 1. nivoja je našlo 6 učencev (št. 1 6), rešitve 1. in 2. nivoja trije učenci (št. 7, 8, 9), rešitve 1. in 3. nivoja en učenec (št. 10). Dva učenca (št. 11, 12) sta našla rešitve 1. in 4. nivoja, rešitve 1., 2. in 3. nivoja en učenec (št. 13). Pet učencev (št ) je našlo rešitve 1., 2., in 4. nivoja. 65

76 Sledi tabela, kjer smo dobljene rešitve razvrstili za vsakega učenca posebej v prej opredeljene nivoje po 2. kriteriju: št. rešitev NIVOJI SKUPNO ŠT. učenci REŠITEV 1 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / SKUPAJ SKUPAJ V % 83,8 12,1 4,1 100 TABELA 6: Prikaz rešitev učencev 4. razreda z vidika 2. kriterija Od vseh 99 rešitev jih največ 83 sodi v 1. nivo, kar predstavlja 83,3 % vseh rešitev, 12 rešitev v 2. nivo, kar predstavlja 12,1 % vseh rešitev, in najmanj 4 rešitve v 3. nivo, kar predstavlja 4,1 % vseh dobljenih rešitev četrtošolcev. Rešitve 1. nivoja je našlo vseh 18 66

77 učencev. Rešitve 2. nivoja je našlo 5 učencev. Skupaj so dobili 12 rešitev. Rešitve 3. nivoja so našli 3 učenci. Skupaj so našli 4 rešitve 3. nivoja. Rešitve le enega nivoja je našlo 11 učencev, rešitve dveh nivojev 6 učencev in rešitve vseh treh nivojev 1 učenec. Rešitve le 1. nivoja je našlo 11 učencev (št. 1 11). Rešitve 1. in 2. nivoja so našli 4 učenci (št ). Rešitve 1. in 3. nivoja sta našla 2 učenca (št. 16 in 17). Rešitve 1., 2. in 3. nivoja je našel en učenec (št. 18). c) ANALIZA REŠITEV UČENCEV 5. RAZREDA Učenci 5. razreda so večinoma za reševanje obeh nalog porabili ves čas, ki jim je bil na voljo (15 min). Nekateri izmed njih bi, če bi jim dopuščal čas, zagotovo našli še kakšno rešitev več. 18 učencev 5. razreda je odkrilo 83 različnih rešitev, od tega 11 nepravilnih in 72 pravilnih. Osredotočili se bomo le na pravilne, ki so prikazane na spodnjih treh slikah. SLIKA 19: Različne rešitve učencev 5. razreda 1. del 67

78 SLIKA 20: Različne rešitve učencev 5. razreda 2. del SLIKA 21: Različne rešitve učencev 5. razreda 3. del 68

79 Dobljene rešitve smo za vsakega učenca posebej razvrstili v prej opredeljene nivoje po 1. kriteriju: št. rešitev NIVOJI SKUPNO ŠT. učenci REŠITEV 1 4 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / SKUPAJ SKUPAJ V % 38,9 31,2 19,7 10,2 100 TABELA 7: Prikaz rešitev učencev 5. razreda z vidika 1. kriterija 18 učencev 5. razreda je skupaj našlo 157 rešitev. Najmanjše skupno število rešitev, ki jih je našel posamezni učenec, je 4. Največje skupno število rešitev, ki jih je našel posamezni 69

80 učenec, je 27. Trije učenci so našli 4 rešitve, 2 učenca 5, 2 učenca 6, 2 učenca 7, 3 učenci 8, 1 učenec 9, 1 učenec 10, en učenec 12, en učenec 13, en učenec 14 in en učenec 27 rešitev. Največ rešitev 61 sodi v 1. nivo, kar predstavlja 38,9 % vseh rešitev, 49 rešitev v 2. nivo, kar predstavlja 31,2 % vseh rešitev, 31 v 3. nivo, kar predstavlja 19,7 % vseh rešitev in najmanj 16 v 4. nivo, kar predstavlja 10,2 % vseh dobljenih rešitev petošolcev. Rešitve 1. nivoja je našlo vseh 18 učencev. Pri tem nivoju so lahko našli največ 4 rešitve, kar je uspelo 11 učencem, trije so našli 3 rešitve in štirje 2 rešitvi. Rešitve 2. nivoja je našlo 14 učencev. Skupaj so našli 49 rešitev. Dva učenca sta našla 1, štirje 2, pet 4, eden 5 in dva 7 rešitev. Rešitve 3. nivoja je našlo osem učencev. Skupaj so našli 31 rešitev 3. nivoja, od tega en učenec 1, trije 2, dva 4 in dva 8 rešitev. Rešitve 4. nivoja so našli 3 učenci. Skupaj so odkrili 16 rešitev, od tega eden 2, eden 3 in eden 11. Rešitve le enega nivoja so našli 3, rešitve dveh nivojev 7, rešitve treh nivojev 6 in rešitve štirih nivojev 2 učenca. Rešitve le 1. nivoja so našli 3 učenci (št. 1, 2, 3), rešitve 1. in 2. nivoja 7 učencev (št. 4 10), rešitve 1., 2. in 3. nivoja 5 učencev (št ), rešitve 1., 3., in 4. nivoja en učenec (št. 16). Dva učenca (št. 17 in 18) sta našla rešitve vseh štirih nivojev. Sledi tabela, kjer smo dobljene rešitve razvrstili za vsakega učenca posebej v prej opredeljene nivoje po 2. kriteriju: št. rešitev NIVOJI SKUPNO ŠT. učenci REŠITEV 1 4 / / / / / / / / / / / / / 8 70

81 / / / / / / SKUPAJ SKUPAJ V % 66,9 28,7 4,4 100 TABELA 8: Prikaz rešitev učencev 5. razreda z vidika 2. kriterija Od vseh 157 rešitev jih največ 105 sodi v 1. nivo, kar predstavlja 66,9 % vseh rešitev, 45 rešitev v 2. nivo, kar predstavlja 28,7 % vseh rešitev, in najmanj - 7 rešitev v 3. nivo kar predstavlja 4,4 % vseh dobljenih rešitev petošolcev. Rešitve 1. nivoja je našlo vseh 18 učencev, rešitve 2. nivoja je našlo 13 učencev. Skupaj so našli 45 rešitev. Rešitve 3. nivoja so našli 4 učenci. Skupaj so našli 7 rešitev 3. nivoja, od tega trije učenci po 1 rešitev in en učenec 4 rešitve. Rešitve le enega nivoja so našli 4 učenci, rešitve dveh nivojev 11 učencev in rešitve vseh treh nivojev 3 učenci. Rešitve le 1. nivoja so dobili 4 učenci (št. 1 4), Rešitve 1. in 2. nivoja 10 učencev (št. 5 14), rešitve 1. in 3. nivoja 1 učenec (št. 15 ), rešitve 1., 2. in 3. nivoja 3 učenci (št. 16, 17 in 18). č) PRIMERJAVA REŠITEV UČENCEV 3., 4. IN 5. RAZREDA I. Z VIDIKA 1. KRITERIJA Sledi tabela, ki predstavlja število rešitev učencev posameznih razredov glede na 4 nivoje 1. kriterija: 71

82 ŠT. REŠITEV razred SKUPAJ nivo SKUPAJ TABELA 9: Rešitve 1. naloge učencev 3., 4. in 5. razreda z vidika 1. kriterija Oglejmo si še graf, ki prikazuje število rešitev učencev posameznih razredov na podlagi 4-ih nivojev 1. kriterija: razred 4. razred 5. razred NIVO 2. NIVO 3. NIVO 4. NIVO GRAF 1: Prikaz števila rešitev 1. naloge učencev 3., 4. in 5. razreda z vidika 1. kriterija Iz tabele in grafa je razvidno, da so učenci našli največ rešitev 1. nivoja, nato 2., 3. in najmanj rešitev 4. nivoja. Najmanj kompleksnih rešitev (2., 3. in 4. nivo) so našli učenci 3. razreda, nekaj več učenci 4. razreda, največ kompleksnih rešitev pa so našli učenci 5. razreda. Z vidika 1. kriterija so torej rešitve 3. razreda najenostavnejše, 4. razreda malenkost kompleksnejše, najkompleksnejše so rešitve 5. razreda. Glede upadanja št. rešitev iz nivoja v nivo lahko iz grafa razberemo, da pri 3. in 4. razredu izstopa 1. nivo, ki mu sledi strm padec pri 2., 3. in 4. nivoju. V 5. razredu upadanje ni tako neenakomerno, št. rešitev iz nivoja v nivo namreč upada bolj postopno. 72

83 ŠT. REŠITEV II. Z VIDIKA 2. KRITERIJA Sledi tabela, ki predstavlja število rešitev učencev posameznih razredov glede na 3 nivoje 2. kriterija: razred SKUPAJ nivo SKUPAJ TABELA 10: Rešitve 1. naloge učencev 3., 4. in 5. razreda z vidika 2. kriterija Oglejmo si še graf, ki prikazuje število rešitev učencev posameznih razredov na podlagi 3 nivojev 2. kriterija: razred 4. razred 5. razred NIVO 2. NIVO 3. NIVO GRAF 2: Prikaz števila rešitev 1. naloge učencev 3., 4. in 5. razreda z vidika 2. kriterija Učenci so našli največ rešitev 1. nivoja, nato 2. in najmanj rešitev 3. nivoja. Najmanj kompleksnih rešitev (2. in 3. nivo) so našli učenci 3. razreda, nekaj več učenci 4. razreda, največ kompleksnih rešitev pa so našli učenci 5. razreda. 73

84 Tudi z vidika 2. kriterija je iz tabele in grafa razvidno, da so rešitve 3. razreda najenostavnejše, 4. razreda malenkost kompleksnejše, najkompleksnejše pa so rešitve 5. razreda. Glede upadanja št. rešitev iz nivoja v nivo lahko z grafa razberemo, da pri 3. in 4. razredu pride do največjega padca že med 1. in 2. nivojem (2. in 3. nivo imata zelo nizke vrednosti). Pri 5. razredu je ta prehod iz nivoja v nivo bolj postopen, še vedno pa je 3. nivo zelo slabo zastopan. Zaključimo lahko, da so učenci pojem polovice večinoma razumeli tako, da morata biti polovici skladni in v enem kosu (to lahko sklepamo iz največjega deleža rešitev 1. nivoja). Precej manj učencev je pojem polovice razumelo malce širše, torej da sta polovici še vedno v enem kosu, vendar ni potrebno, da sta skladni (rešitve 2. nivoja). Zelo malo učencev (rešitve 3. nivoja) pa je pojem polovica razumelo v vsej svoji širini, torej da ni potrebno, da je polovica iz enega kosa. Deleži rešitev pri 3. nivoju so zelo nizki. To bi lahko pripisali tudi dejstvu, da so učenci pri teh rešitvah težje preverili enakost obeh polovic oz. določili, kateri deli pripadajo določeni polovici ANALIZA REŠITEV 2. NALOGE Ko so učenci prenehali z reševanjem 1. naloge, so dobili še 2. nalogo. Reševali so jo zato, da bi odkrili, ali so učenci uspešnejši pri oblikovanju (1. naloga) ali pri prepoznavanju (2. naloga) rešitev, kjer je geoplošča že razdeljena na pol. 2. naloga je bila zastavljena tako: Tudi Rok je poskušal pomagati Evi pri delitvi čokolade. Predlagal ji je naslednje načine, kako si jo lahko razdelita na pol. Obkroži tiste predloge, za katere misliš, da so pravilni. 1. MOŽNOST 2. MOŽNOST 3. MOŽNOST 4. MOŽNOST 74

85 Učenec je moral med ponujenimi rešitvami prepoznati prave (1., 3. in 4. možnost) in jih obkrožiti. Pravilne rešitve nalog z vidika obeh kriterijev predstavljajo 1. in zadnji nivo. Po 1. kriteriju 1. možnost vsebuje le sosednje povezave (žebljiček sosednji žebljiček), 3. in 4. možnost pa tudi nesosednje povezave (žebljiček nesosednji žebljiček). Po 2. kriteriju 1. možnost deli geoploščo na dva skladna dela, medtem ko pri 3. in 4. možnosti polovici nista v enem kosu. Z izborom zgornjih primerov smo želeli raziskati, ali bodo učenci prepoznali najenostavnejše in najzahtevnejše rešitve ter na podlagi teh rezultatov primerjati, ali so učenci uspešnejši pri prepoznavanju ali pri oblikovanju rešitev. Rezultate 2. naloge smo analizirali le z vidika enega kriterija, saj bi ne glede na izbor dobili enake rezultate. Odločili smo se, da bomo analizirali z vidika 2. kriterija. Pravilni predlogi rešitev spadajo v sledeče nivoje izbranega kriterija: 1. možnost => 1. nivo 3. in 4. možnost => 3. nivo a) ANALIZA REŠITEV 3. RAZREDA rešitev št. PRAVILNIH rešitev št. NAPAČNIH rešitev učenec 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 1 / 5 1 / 6 1 / 7 1 / 8 1 / 9 1 / 10 1 / 11 1 / 12 1 / 13 1 / 14 3 / 15 1 / 16 1 / 17 2 / 18 1 / SKUPAJ TABELA 11: Prikaz rešitev 2. naloge učencev 3. razreda

86 Nihče izmed 18 učencev 3. razreda ni obkrožil napačne rešitve. 16 učencev je prepoznalo eno pravilno rešitev, 1 učenec dve in le eden vse tri rešitve. Vseh 18 učencev je prepoznalo in obkrožilo 1. možnost rešitve, tretjo ponujeno možnost sta obkrožila dva učenca, četrto pa eden. b) ANALIZA REŠITEV 4. RAZREDA rešitev št. PRAVILNIH rešitev št. NAPAČNIH rešitev učenec 1 1 / 2 2 / 3 3 / / 6 1 / 7 2 / 8 2 / 9 1 / 10 1 / 11 2 / 12 1 / 13 2 / / 16 1 / 17 2 / 18 3 / SKUPAJ TABELA 12: Prikaz rešitev 2. naloge učencev 4. razreda 18 učencev 4. razreda je skupaj obkrožilo 30 ponujenih rešitev, od katerih sta bile dve napačni, 28 je bilo pravilnih. 10 učencev je prepoznalo eno pravilno rešitev, 6 učencev dve in 2 vse tri rešitve. Vseh 18 učencev je prepoznalo in obkrožilo 1. možnost rešitve, 3. ponujeno možnost so obkrožili 4 učenci, 4. možnost 6 učencev. 76

87 c) ANALIZA REŠITEV 5. RAZREDA rešitev št. PRAVILNIH rešitev št. NAPAČNIH rešitev učenec 1 3 / 2 3 / 3 2 / 4 2 / 5 2 / 6 2 / 7 2 / 8 3 / 9 1 / / 13 2 / 14 2 / 15 2 / 16 2 / 17 2 / 18 1 / SKUPAJ TABELA 13: Prikaz rešitev 2. naloge učencev 5. razreda 18 učencev 5. razreda je skupaj obkrožilo 38 ponujenih rešitev, od katerih sta bile dve napačni, 26 je bilo pravilnih. 3 učenci so prepoznali eno pravilno rešitev, 12 učencev dve in 3 vse tri rešitve. Vseh 18 učencev je prepoznalo in obkrožilo 1. možnost rešitve, 3. ponujeno možnost je obkrožilo 10 učencev, 4. možnost 8 učencev. č) PRIMERJAVA REŠITEV 3., 4. IN 5. RAZREDA Sledi tabela, kjer je prikazano število učencev, ki so obkrožili pravilne rešitve 2. naloge. Odstotki v vodoravni smeri predstavljajo delež učencev, ki so obkrožili določeno možnost (54 učencev je 100 %), odstotki v navpični smeri pa prikazujejo delež pravilno obkroženih rešitev v posameznem razredu (54 obkroženih rešitev predstavlja 100 %). 77

88 ŠT. UČENCEV razred SKUPAJ SKUPAJ V možnosti % 1 (1. nivo) (3. nivo) ,6 4 (3. nivo) ,8 SKUPAJ SKUPAJ V % 38,9 51,9 66,7 TABELA 14: Pravilne rešitve 2. naloge vseh treh razredov z vidika 2. kriterija razred 4. razred 5. razred MOŽNOST (1. nivo) 3. MOŽNOST (3. nivo) 4. MOŽNOST (3. nivo) GRAF 3: Primerjava števila pravilnih rešitev 2. naloge vseh treh razredov z vidika 2. kriterija Vsi učenci so pravilno prepoznali rešitev 1. nivoja. 3. možnost (3. nivo) je prepoznalo 16 učencev (29,6 %), od tega jih je bilo najmanj iz 3. razreda 2, dva več 4 iz 4. razreda in 10 iz 5. razreda. 4. možnost je prepoznalo 15 učencev (27,8 %), od tega jih je bilo najmanj iz 3. razreda 1, 6 iz 4. razreda in 8 iz 5. razreda. Iz tabele in grafa je razvidno, da učenci 3. razreda najdejo najmanj rešitev, iz 4. nekaj več, v 5. jih prepoznajo največ. Iz razreda je v razred je vse več učencev prepoznavalo kompleksnejše rešitve (3. in 4. možnost), še vedno pa je delež prepoznanih rešitev za 1. nivo (100 % v vseh treh razredih) bistveno večji od deleža za 3. in 4. možnost (3. nivo), ki je pri 3. možnosti 29,6 %, pri 4. možnosti pa 27,8 % v vseh treh razredih skupaj. 78

89 ŠT. UČENCEV Spodnja tabela in graf prikazujeta deleže učencev posameznih razredov glede na to, ali so odkrili le eno rešitev, dve rešitvi ali vse tri rešitve: razred št. rešitev 1 (1. nivo) 2 (1. in 3. nivo) 3 (1. in 3. nivo) SKUPAJ SKUPAJ V % , , , TABELA 15: Primerjava deležev učencev glede na število pravilno obkroženih rešitev 2. naloge razred 4. razred 5. razred (1. nivo) 2 (1. in 3. nivo) 3 (1. in 3. nivo) GRAF 4: Primerjava deleža učencev glede na število pravilno obkroženih rešitev 2. naloge Iz zgornje tabele in grafa je razvidno, da je največ (53,7 %) učencev obkrožilo le eno rešitev (1. možnost). 35,2 % učencev je obkrožilo 2 pravilni rešitvi 2. naloge (1. in 3. možnost), najmanjši delež (11,1 %) pa pripada učencem, ki so obkrožili vse tri pravilne rešitve 2. naloge (1., 3. in 4. možnost). 79

90 Največ učencev je torej prepoznalo le enostavno rešitev 1. nivoja. Manjši delež pripada učencem, ki so poleg najenostavnejše rešitve 1. nivoja, prepoznali tudi eno rešitev 3. nivoja (1. in 3. možnost). Najmanjši delež pa zajemajo učenci, ki so prepoznali vse tri pravilne rešitve, torej eno rešitev 1. nivoja in obe rešitvi 3. nivoja (1., 3. in 4. možnost). Ti rezultati nam pokažejo, da večina učencev teh treh razredov prepozna le polovice, ki so skladne. Le nekateri izmed njih pa prepoznavajo tudi kompleksnejše rešitve, torej tiste, kjer polovice niso skladne in so sestavljene iz več delov. Prav tako opazimo, da je razkorak med št. učencev, ki so odkrili le 1 rešitev oz. 2 (3) rešitve največji v 3. razredu, v 4. razredu vrednosti bolj enakomerno upadajo, še vedno pa prevladuje 1. skupina otrok, v 5. razredu pa delež učencev z zgolj 1 odkrito rešitvijo sploh ni več najvišji (več je učencev s po 2 odkritima rešitvama) PRIMERJAVA REŠITEV 1. IN 2. NALOGE Pri 1. nalogi so morali učenci samostojno oblikovati rešitev, pri 2. nalogi pa so izmed štirih ponujenih rešitev morali prepoznati pravilne. Pričakovali smo, da bodo učenci lažje prepoznali rešitve, kot pa jih samostojno oblikovali, saj je pri prepoznavanju rešitev potrebno le preveriti, ali je le-ta pravilna, pri oblikovanju pa moramo rešitev najprej najti, šele nato sledi preverjanje pravilnosti rešitve. V spodnji tabeli je prikazano, kako so učenci reševali 1. in 2. nalogo na podlagi 2. kriterija. Če je učenec našel vsaj eno rešitev 1. oz. 3. nivoja, je označeno z x. NIVO UČENEC 3. r. 4. r. 5. r. 1. naloga 2. naloga 1. naloga 2. naloga 1. naloga 2. naloga x x x x x x x 2 x x x x x x x 3 x x x x x x x 4 x x x x x x x 5 x x x x x x x 6 x x x x x x x 7 x x x x x x x 80

91 8 x x x x x x x 9 x x x x x x 10 x x x x x x x 11 x x x x x x x 12 x x x x x x x 13 x x x x x x x x 14 x x x x x x x x 15 x x x x x x x x 16 x x x x x x x x x 17 x x x x x x x x x x x 18 x x x x x x x x x x SKUPAJ TABELA 16: Primerjava rešitev 1. in 2. naloge vseh treh razredov z vidika 2. kriterija Vseh 18 učencev iz vseh treh razredov je oblikovalo (pri 1. nalogi) in prepoznalo (pri 2. nalogi) rešitev 1. nivoja. V 3. razredu sta pri 1. nalogi dva učenca oblikovala rešitev 3. nivoja (št. 17 in 18). Pri 2. nalogi pa je rešitev 3. nivoja prepoznal le eden izmed njiju (št. 17). Le en učenec (št. 14) je prepoznal rešitev 3. nivoja, ni je pa sam oblikoval. V 4. razredu so pri 1. nalogi rešitev 3. nivoja oblikovali 3 učenci (št. 16, 17 in 18). Dva izmed njiju sta rešitev istega nivoja pri 2. nalogi tudi prepoznala (št. 17 in 18). Poleg njiju sta rešitev prepoznala še dva učenca (št. 11 in 13), ki je pa nista sama oblikovala. V 5. razredu so pri 1. nalogi rešitev 3. nivoja oblikovali 3 učenci (št. 15, 16 in 18). Dva izmed njih (št. 15 in 16) sta rešitev istega nivoja pri 2. nalogi tudi prepoznala. Poleg njiju je rešitev prepoznalo še 13 učencev tega razreda (št. 1 8, 10, in 17), ki pa rešitve 3. kriterija pri 1. nalogi niso oblikovali. 81

92 ŠT. UČENCEV ŠT. UČENCEV naloga - oblikovanje rešitev 2. naloga - prepoznavanje rešitev razred 4. razred 5. razred GRAF 5: Prikaz oblikovanja in prepoznavanja rešitev 3. nivoja 2. kriterija Iz tabele in grafa lahko razberemo, da so učenci malenkost boljši pri prepoznavanju kot pri oblikovanju rešitev. To se deloma pokaže pri rešitvah učencev 4. razreda, predvsem pa pri rešitvah učencev 5. razreda, kjer je razlika izrazita. Ne moremo pa iz zgornjih podatkov zaključiti, da oblikovanje lika pri posamezniku zagotavlja tudi njegovo prepoznavanje, saj vidimo, da so bili v vseh treh razredih posamezniki, ki niso prepoznali oblike določenega nivoja kot pravilne, čeprav so jo predhodno oblikovali. Spodnji graf prikazuje število učencev, ki so prepoznali rešitev 3. nivoja, niso pa je oblikovali: razred 4. razred 5. razred učenci GRAF 6: Prikaz št. učencev, ki so prepoznali rešitev 3. nivoja, niso pa je oblikovali 82

93 SKUPAJ V 3. razredu je en učenec prepoznal nalogo 3. nivoja, ni pa je samostojno oblikoval. V 4. razredu sta bila dva taka učenca, v 5. razredu pa jih je bilo kar 13. Niče izmed učencev ni naknadno, torej po tem, ko je videl predloge rešitev pri 2. nalogi, popravil oz. dodal kakšne rešitve k 1. nalogi ANALIZA REZULTATOV GLEDE NA SPOL V tem poglavju bomo analizirali rezultate učenk in učencev in jih med seboj primerjali. Osredotočili se bomo na rešitve 1. naloge z vidika 1. in 2. kriterija. Rešitve bomo najprej analizirali po posameznih razredih, na koncu pa sledi še primerjava rezultatov učenk in učencev vseh treh razredov skupaj. Potrebno je poudariti, da je bilo št. deklic enako št. dečkov. a) 3. RAZRED 1. KRITERIJ 2. KRITERIJ UČENEC nivo nivo nivo nivo nivo nivo nivo 1 3 / / / 3 3 / / 2 4 / / / 4 4 / / 3 4 / / / 4 4 / / 4 4 / / / 4 4 / / 5 4 / / / 4 4 / / 6 4 / / / 4 4 / / / / 4 4 / / 8 4 / 4 / 8 8 / / / 8 8 / / SKUPAJ TABELA 17: Prikaz rešitev učencev 3. razreda 83

94 SKUPAJ 9 učencev 3. razreda je skupaj našlo 43 rešitev. Z vidika 1. kriterija največ njihovih rešitev 32 sodi v 1. nivo, 3 v 2. nivo in 6. v 3. nivo. Z vidika 2. kriterija vse rešitve učencev 3. razreda sodijo v 1. nivo. Rešitev 2. in 3. nivoja niso odkrili. 1. KRITERIJ 2. KRITERIJ UČENKA nivo nivo nivo nivo nivo nivo nivo 1 3 / / / 3 3 / / 2 3 / / / 3 3 / / 3 4 / / / 4 4 / / 4 4 / / / 4 4 / / 5 4 / / / 4 4 / / / / / 7 4 / / / / / / SKUPAJ TABELA 18: Prikaz rešitev učenk 3. razreda Pri deklicah je situacija naslednja: 9 učenk 3. razreda je skupaj našlo 50 rešitev. Z vidika 1. kriterija največ njihovih rešitev 33 sodi v 1. nivo, 10 v 2. nivo, 3 v 3. nivo in 4 v 4. nivo. Nobena izmed učenk ni našla rešitve vseh 4-ih nivojev. Z vidika 2. kriterija največ rešitev, 38, sodi v 1. nivo, 9 v 2. nivo in 3 v 3. nivo. Sledita še primerjalna grafa deklic in dečkov po nivojih glede na oba kriterija: 84

95 ŠT. UČENCEV ŠT. UČENCEV nivo 2. nivo 3. nivo 4. nivo deklice dečki GRAF 7: Primerjava št. deklic in dečkov po nivojih z vidika 1. kriterija V 3. razredu so učenke z vidika 1. kriterija dobile več kompleksnih rešitev kot učenci. Vseh 9 deklic in 9 dečkov je našlo rešitev 1. nivoja. Rešitev 2. nivoja so našle 3 deklice in 2 dečka. Rešitev 3. nivoja je našla ena deklica in dva dečka, rešitev 4. nivoja pa sta našli dve deklici. Nihče izmed dečkov ni našel rešitve 4. nivoja nivo 2. nivo 3. nivo deklice dečki GRAF 8: Primerjava št. deklic in dečkov po nivojih z vidika 2. kriterija Tudi z vidika 2. kriterija so bile pri tretješolcih uspešnejše deklice. Vseh 9 deklic in 9 dečkov je našlo rešitev 1. nivoja. Rešitev 2. in 3. nivoja so našle le deklice, in sicer rešitev 2. nivoja 3 učenke, rešitev 3. nivoja pa ena učenka. 85

96 SKUPAJ SKUPAJ b) 4. RAZRED 1. KRITERIJ 2. KRITERIJ UČENEC nivo nivo nivo nivo nivo nivo nivo 1 3 / / / 3 3 / / 2 4 / / / 4 4 / / 3 4 / / / 4 4 / / / / / 5 4 / 2 / 6 6 / / 6 4 / / / / 7 3 / / / 8 2 / / / SKUPAJ TABELA 19: Prikaz rešitev učencev 4. razreda 9 učencev 4. razreda je skupaj našlo 49 rešitev. Z vidika 1. kriterija največ njihovih rešitev 32 sodi v 1. nivo, 4 v 2. nivo, 6. v 3. nivo in 7 v 4. nivo. Nihče izmed učencev ni našel rešitve vseh 4-ih nivojev. Z vidika 2. kriterija največ rešitev, 42, sodi v 1. nivo, 4 v 2. nivo in 3 v 3. nivo. 1. KRITERIJ 2. KRITERIJ UČENKA nivo nivo nivo nivo nivo nivo nivo 1 4 / / / 4 4 / / 2 4 / / / 4 4 / / 3 4 / / / 4 4 / / 86

97 ŠT. UČENCEV / / 5 5 / / / / / 6 4 / / / / / 8 3 / / 9 4 / / / SKUPAJ TABELA 20: Prikaz rešitev učenk 4. razreda. Pri deklicah je situacija naslednja: 9 učenk 4. razreda je skupaj našlo 50 rešitev. Z vidika 1. kriterija največ njihovih rešitev 35 sodi v 1. nivo, 8 v 2. nivo, 4 v 3. nivo in 3 v 4. nivo. Nobena izmed učenk ni našla rešitve vseh 4-ih nivojev. Z vidika 2. kriterija največ rešitev 41 sodi v 1. nivo, 8 v 2. nivo in 1 v 3. nivo. Nobena učenka ni našla rešitve vseh treh nivojev. Sledita še primerjalna grafa deklic in dečkov po nivojih glede na oba kriterija nivo 2. nivo 3. nivo 4. nivo deklice dečki GRAF 9: Primerjava št. deklic in dečkov po nivojih z vidika 1. kriterija V 4. razredu so bili z vidika 1. kriterija učenci in učenke pri reševanju precej izenačeni. Vseh 9 deklic in 9 dečkov je našlo rešitev 1. nivoja. Rešitev 2. nivoja so našle 3 deklice in 1 deček. Rešitev 3. nivoja so našle 3 deklice in 4 dečki, rešitev 4. nivoja pa so našle 3 deklice in 4 dečki. 87

98 SKUPAJ ŠT. UČENCEV nivo 2. nivo 3. nivo deklice dečki GRAF 10: Primerjava št. deklic in dečkov po nivojih z vidika 2. kriterija Tudi z vidika 2. kriterija so bili pri četrtošolcih rezultati učenk in učencev precej izenačeni. Vseh 9 deklic in 9 dečkov je našlo rešitev 1. nivoja. Rešitev 2. nivoja so našle 3 deklice in 2 dečka, rešitve 3. nivoja pa sta našla 2 dečka in 1 deklica. c) 5. RAZRED 1. KRITERIJ 2. KRITERIJ UČENEC nivo nivo nivo nivo nivo nivo nivo 1 4 / / / 4 4 / / / / / / / / / / / / / 8 8 / / / / / / / / / / SKUPAJ TABELA 21: Prikaz rešitev učencev 5. razreda 88

99 SKUPAJ 9 učencev 5. razreda je skupaj našlo 72 rešitev. Z vidika 1. kriterija največ njihovih rešitev 32 sodi v 1. nivo, 26 v 2. nivo in 14 v 3. nivo. Nihče izmed njih ni dobil rešitve 4. nivoja in nihče ni našel rešitve vseh 4-ih nivojev. Z vidika 2. kriterija največ rešitev 49 sodi v 1. nivo, 22 v 2. nivo in 1 v 3. nivo. 1. KRITERIJ 2. KRITERIJ UČENKA nivo nivo nivo nivo nivo nivo nivo 1 4 / / / 4 4 / / 2 4 / / / 4 4 / / / / / / / / / / / / 7 2 / / 4 SKUPAJ TABELA 22: Prikaz rešitev učenk 5. razreda Pri deklicah je situacija sledeča: 9 učenk 5. razreda je skupaj našlo 85 rešitev. Z vidika 1. kriterija največ njihovih rešitev 29 sodi v 1. nivo, 23 v 2. nivo, 17 v 3. nivo in 16 v 4. nivo. Dva učenca sta našla rešitve vseh štirih nivojev. Z vidika 2. kriterija največ rešitev 56 sodi v 1. nivo, 23 v 2. nivo in 6 v 3. nivo. Rešitve vseh treh nivojev sta našla dva učenca. Sledita še primerjalna grafa deklic in dečkov po nivojih glede na oba kriterija: 89

100 ŠT. UČENCEV ŠT. UČENCEV nivo 2. nivo 3. nivo 4. nivo deklice dečki GRAF 11: Primerjava št. deklic in dečkov po nivojih z vidika 1. kriterija V 5. razredu so bile z vidika 1. kriterija učenke nekoliko uspešnejše od učencev. Vseh 9 deklic in 9 dečkov je našlo rešitev 1. nivoja. Rešitev 2. nivoja je našlo 6 deklic in 8 dečkov. Rešitev 3. nivoja je našlo 5 deklic in 3 dečki. Rešitev 4. nivoja dečki niso našli, našle pa so jih 3 deklice nivo 2. nivo 3. nivo deklice dečki GRAF 12: Primerjava št. deklic in dečkov po nivojih z vidika 2. kriterija Z vidika 2. kriterija so bil pri petošolcih rezultati učenk in učencev precej izenačeni. Vseh 9 deklic in 9 dečkov je našlo rešitev 1. nivoja. Rešitev 2. nivoja je našlo 6 deklic in 7 dečkov, rešitve 3. nivoja pa so našle 3 deklice in 1 deček. 90

101 č) ANALIZA REZULTATOV 3., 4. IN 5. RAZREDA Pod točko a, b in c smo primerjali rešitve glede na nivoje, sedaj pa si bomo ogledali še skupno število rešitev ne glede na globino oz. kvaliteto le-teh. UČENCI UČENKE 3. R R R SKUPAJ TABELA 23: Prikaz števila rešitev učenk in učencev vseh treh razredov razred 4. razred 5. razred dečki deklice GRAF 13: Prikaz števila rešitev učenk in učencev vseh treh razredov Kot lahko razberemo iz zgornje tabele in grafa, so skupaj učenke dobile 21 rešitev več kot učenci. Našle so 185 rešitev, učenci pa 164. V 3. razredu so učenci dobili 43 rešitev, učenke pa 7 več, torej 50. V 4. razredu so učenke našle 1 rešitev več kot učenci, ki so jih našli 49. V 5. razredu pa je razlika v številu rešitev najbolj opazna, saj so učenke dobile 13 rešitev več kot učenci. Smiselno je opozoriti, da je razlika v tem razredu tako očitna zaradi učenke št. 9, ki je našla kar 27 rešitev (glej tabelo 19). Tako z vidika št. rešitev kot z vidika doseženih nivojev oz. z vidika kompleksnosti so učenke reševale nekoliko bolje od učencev predvsem 3. in 5. razreda. Toda če povzamemo, so razlike 91