9. vaja: RAČUN EJNE NOSILNOSTI AB PLOŠČ PO ETODI PORUŠNIH LINIJ S pomočjo analize plošč po metodi porušnih linij določite mejno obtežbo plošče, za katero poznate geometrijo, robne pogoje ter razporeditev in količino armature. 1. ZASNOVA Obravnavamo ploščo debeline 16 cm, katere geometrija in uporabljeni materiali so predstavljeni spodaj. Potrebna količina vzdolžne armature v plošči je bila določena po načelih projektiranja na mejna stanja nosilnosti, pri čemer so bile največje obremenitve v plošči izračunane s pomočjo Hahnovih oz. Stiglat/Wippel-ovih razpredelnic (glej razdelka 2 in 3). UPORABLJENI ATERIALI: - beton C25/30: fck = 2.5 kn/cm2 - armatura B500: fyk = 50 kn/cm2 7.00 vrtljivo podprti rob prosti rob 7.00 1
2. OBTEŽBA Stalna obtežba: talna obloga (naravni kamen): 2 cm cementni estrih: 5 cm toplotna + zvočna izolacija: 5 cm AB plošča: 16 cm omet: 2 cm Koristna obtežba: 0.02 28 = 0.05 24 = 0.16 25 = 0.02 18 = 0.56 kn/m 2 1.2 kn/m 2 0.05 kn/m 2 4.0 kn/m 2 0.36 kn/m 2 g = 6.17 kn/m 2 3.0 kn/m 2 q = 3.0 kn/m 2 Projektna obtežba (osnovna kombinacija vplivov za SN): q Ed = 1.35 g + 1.5 q q Ed = 12.83 kn/m 2 3. OBREENITEV IN DIENZONIRANJE PLOŠČ 3.1. POZ P1 štiristransko podprta AB plošča 3.1.1. Zasnova in obtežba vrtljivo podprti rob q d 7.00 3.1.2. Obremenitev (uporaba Hahn-ovih razpredelnic) ε = l y /l x = 7/4 = 1.75 K d = q Ed l x l y = 12.83 4 7 = 359 kn pozitivni momenti v polju: predpostavimo 50 % vpetost 2
vrtljivo podprti rob q d xy xm ym l y = 1/2 + 1/2 delno vpeti rob (50%) l x K 1 1 d 359 1 1 = + 16.5 knm/m 1 2b 2 = + mxm mxm 2 20.3 23.2 K 1 1 d 359 1 1 = 5.6 knm/m 1 2b 2 + = + mym mym 2 66.4 62.3 K 1 1 d 359 1 1 = = 13.0 knm/m 1 2b 2 + = + mxy mxy 2 ± 27.1 ± 28.2 xm, d = ym, d = xy, d ± negativni momenti ob podporah: predpostavimo 100 % vpetost vrtljivo podprti rob q d l y ye l x Kd 359 ye, d = = = 24.2 knm/m izravnava s sosednjo ploščo! m 14.8 2b ye 3
3.2. POZ P2 dvostransko podprta AB plošča: 3.2.1. Zasnova in obtežba prosti rob 3.2.2. Obremenitev (uporaba Stiglat/Wippel-ovih razpredelnic) ε = l y /l x = 4/4 = 1.0 K d = q d l x l y = 12.83 4 4 = 205.3 kn A d = a K d, xy = so,su = ± 0.5 A d pozitivni momenti v polju in na prostem robu: predpostavimo 50 % vpetost delno vpeti rob (50%) xm ym yrm l y = 1/2 + 1/2 xrm xy l x A d K 1 1 d 205.3 1 1 = + 10 8 2 = + mxr mxr 2 9.1 15.6 Kd 205.3 = = 12.3 knm/m 10 m 16.7 xr, d = yr,d = xm, d = ym,d = xm Kd = so,su = ± 0.5 a 2 17.8 knm/m 10 8 205.3 ( a + ) = ± 0.5 ( 0.25+ 0.155) = 20.8kNm/m xy, d ± negativni momenti ob podporah: predpostavimo 100 % vpetost vpeti rob 2 yem 0.83l y xe-min l y xer l x 4
Kd 205.3 yem, d = = = 21.3 knm/m izravnava s sosednjo ploščo! m 9.65 8 yem Kd 205.3 xe-min,d = = = 26.3 knm/m izravnava s sosednjo ploščo! m 7.81 xer, d = m K d 8 xer 8 xe-min 205.3 = = 25.6 knm/m 8.01 3.3. Povzetek izračunanih obremenitev v plošči s pomočjo tabel 5
3.4. Račun obremenitev v plošči z KE Idealiziran računski model plošče v programu SAP2000 pred in po avtomatski generaciji mreže KE: ovojnica max xx,ed [knm/m] ovojnica min xx,ed [knm/m] max xx,ed = ovojnica max yy,ed [knm/m] min xx,ed = ovojnica min yy,ed [knm/m] 6
maxyy,ed = ovojnica max xy,ed [knm/m] maxyy,ed = minyy,ed = ovojnica min xy,ed [knm/m] minyy,ed = 7
3.5. Dimenzioniranje P1 in P2 Preglednica za dimenzioniranje pravokotnega prečnega prereza na osno-upogibno obremenitev: PRILOŽITE LISTE -8a-, -8b-, Z IZRAČUNO POTREBNE ARATURE. 8
3.6. Skica armature POZ P1 spodnja arm. zgornja arm. POZ P2 spodnja arm. zgornja arm. 9
4. ANALIZA NOSILNOSTI PLOŠČ PO ETODI PORUŠNIH LINIJ 4.1. Splošno Analiza plošč po metodi porušnih linij nam omogoča, da določimo mejno obtežbo plošče pri znani geometriji, robnih pogojih in armiranju plošče. Postopek: 1. predpostavimo porušnico oz. porušni mehanizem plošče 2. porušno ploščo obtežimo z virtualno obtežbo (δw = 1.0) 3. izračunamo virtualno delo zunanjih ( z ) in notranjih sil ( n ) 4. iz zveze z = n izračunamo mejno obtežbo (q crit ) obravnavane plošče 4.1.1. Določitev porušnega mehanizma Napotki: 1. rušnice so običajno ravne in se končajo na robu plošče 2. rušnice ležijo vzdolž osi vrtenja porušnega mehanizma 3. osi vrtenja ležijo vzdolž podprtih robov plošče, sekajo nepodprte vogale in prečkajo stebre 4. osi vrtenja sosednjih togih odsekov imajo skupno presečiščno točko (lahko v neskončnosti) 5. vzdolž vpetih robov plošče poteka negativna rušnica 4.1.2. Račun virtualnega dela zunanjih in notranjih sil Virtualno delo zunanjih sil: z = qδwda+ Virtualno delo notranjih sil: n obmocja = φ qrδwds + Pδw A s nds ali vzdolž s rušnic n = φy xdy +φx ydx, x = As, xfykzs vzdolž y x rušnic 10
4.2. Virtualno delo zunanjih sil za POZ P1 Potek rušnic ter izbrana območja: δw =0 Ob2 Ob1 δw =1.0 Ob3 7( 1-α-β) Ob4 Ob5 območje Ob1: δw =0 δw =0.333 Ob1 z,1 1 4 = qδwda = q 3 2 Ob1 δw = 1.0 7( 1-α- β) območje Ob2: δw = 0.333 Ob2 δw =0 δw = 1.0 7( 1-α- β) z,2 1 2 = qδwda = q 3 2 Ob2 11
območje Ob3: δw =0 1 z,3 = qδwda = q 2 71 2 Ob3 ( α β) δw = 0.5 Ob3 δw = 1.0 7( 1-α- β) območje Ob4: δw =0 z,4 1 2 = qδwda = q 3 2 Ob4 δw = 1.0 7(1- α-β) δw = 0.333 Ob4 območje Ob5: δw = 0 z,5 1 4 = qδwda = q 3 2 Ob5 δw =1.0 7( 1-α-β) Ob5 δw = 0.333 z = i z, i = z,1 + 2z,2 + 2z,3 + 2z,4 + z,5 12
4.3. Virtualno delo notranjih sil za POZ P1 Potek rušnic ter izbrana mrežna armatura v plošči: Ru1 Ru2 Ru3 7( 1-α-β) Ru4 Ru5 Ru6 rušnica Ru4: 7(1-α-β) 7( 1-α-β) y,335 Ru4 Ru4 x,335 2.0 2.0 n,4 = φy,4 x,335dy +φx,4 y,335d 0 0 x = x,335 = y,335 = 335 = 13
rušnica Ru3: 2.0 7 = φy,3 n,3 x,335d y = Ru3 7(1-α-β) x,335 Ru3 y,335 7(1- α-β) rušnica Ru6: y,524 = φx,6 = 4 n,6 y,524d 0 x = rušnica Ru1: 2.0 1.2 Ru1 x,466 x,335 Ru1 y,335 7(1-α-β) 7(1-α-β) Če rušnica pod kotom 45 : 1.2 1.2 2.0 = φ + +φ + n,1, φ = 45 y,1 x,466dy x,335dy x,1 y,361dx y,335dx 1 = 0 1.2 0 1.2 14
Če rušnica pod kotom >45 (f 1 >45 ): 1.2 1.2 2.0 = φ + +φ + n,1, φ > 45 y,1 x,466dy x,335dy x,1 y,361dx y,335dx 1 = 0 1.2 0 1.2 Če rušnica pod kotom <45 (f 1 <45 ): y 1.2 2.0 = φ + +φ + n,1, < 45 y,1 x,466dy x,335dy x,1 y,361dx y,335dx 1 0 y 0 1.2 φ = Virtualno delo notranjih sil za POZ1: n, φ 45 = 2n,1, 1 45 + n,3 + 2n,4 + 1< φ < n,6= n, φ 45 = 2n,1, 1 45 + n,3 + 2n,4 + 1> φ > n,6= 15
4.4. Kritična obtežba q za POZ P1 Formule za izračun 'q' v celici E5 (ostale celice sorodno): IZRAČUN OBTEŽBE 'q': - Če je α > 0.2857 (2*(0.5*(1.2*$C$4+(7*E$4-1.2)*$C$5)+1/(7*E$4)*(24/(70*E$4)*$C$7+(2-24/(70*E$4))*$C$5))+1*(7*(1-E$4-$D5))*$C$5+2*(1/2*7*$D5*$C$5+1/(7*$D5)*2*$C$5)+1/(7*$D5)*4*$C$6)/(14/3*(3-E$4-$D5)) (2*(0.5*(1.2*$C$4+(7*E$4-1.2)*$C$5)+1/(7*E$4)*(24/(70*E$4)*$C$7+(2-24/(70*E$4))*$C$5))+1*(7*(1-E$4-$D5))*$C$5+2*(1/2*7*$D5*$C$5+1/(7*$D5)*2*$C$5)+1/(7*$D5)*4*$C$6) (14/3*(3-E$4-$D5)) = q = n (virt. delo not. sil) = z (virt. delo zun. sil) n = 2*n,1+n,3+2*n,4+n,6 2*(0.5*(1.2*$C$4+(7*E$4-1.2)*$C$5)+1/(7*E$4)*(24/(70*E$4)*$C$7+(2-24/(70*E$4))*$C$5)) 1*(7*(1-E$4-$D5))*$C$5 2*(1/2*7*$D5*$C$5+1/(7*$D5)*2*$C$5) 1/(7*$D5)*4*$C$6 - Če je α <= 0.2857 (2*(0.5*(1.2/2*7*E$4*$C$4+(7*E$4-1.2/2*7*E$4)*$C$5)+1/(7*E$4)*(1.2*$C$7+0.8*$C$5))+1*(7*(1-E$4-$D5))*$C$5+2*(1/2*7*$D5*$C$5+1/(7*$D5)*2*$C$5)+1/(7*$D5)*4*$C$6)/(14/3*(3-E$4-$D5)) 2*(0.5*(1.2/2*7*E$4*$C$4+(7*E$4-1.2/2*7*E$4)*$C$5)+1/(7*E$4)*(1.2*$C$7+0.8*$C$5))+1*(7*(1-E$4-$D5))*$C$5+2*(1/2*7*$D5*$C$5+1/(7*$D5)*2*$C$5)+1/(7*$D5)*4*$C$6) (14/3*(3-E$4-$D5)) = 2*n,1 = n,3 = 2*n,4 = n,6 = q = n (virt. delo not. sil) = z (virt. delo zun. sil) n = 2*n,1+n,3+2*n,4+n,6 2*(0.5*(1.2/2*7*E$4*$C$4+(7*E$4-1.2/2*7*E$4)*$C$5)+1/(7*E$4)*(1.2*$C$7+0.8*$C$5)) 1*(7*(1-E$4-$D5))*$C$5 2*(1/2*7*$D5*$C$5+1/(7*$D5)*2*$C$5) 1/(7*$D5)*4*$C$6 = 2*n,1 = n,3 = 2*n,4 = n,6 16
4.5. Virtualno delo zunanjih sil za POZ P2 δw =0 4γ δw = 1.0 4γ δw rob δw =0 os vrtenja 4.6. Virtualno delo notranjih sil za POZ P2 4.7. Kritična obtežba q za POZ P2 Formule za izračun 'q' v celici E5 (ostale celice sorodno): 17