UNIVERZA V MARIBORU EKONOMSKO-POSLOVNA FAKULTETA Delo dplomskega projekta AKTUARSKI PRISTOP K ODPLAČEVANJU KREDITOV Avgust, 2017 Tna Cvtanč
UNIVERZA V MARIBORU EKONOMSKO-POSLOVNA FAKULTETA Delo dplomskega projekta AKTUARSKI PRISTOP K ODPLAČEVANJU KREDITOV Actuaral approach to credt payment Kanddat: Tna Cvtanč Študjsk program: Ekonomske n poslovne vede Študjska usmertev: Fnance n bančnštvo Mentor/ca: prof. dr. Janko Marovt Jezkovno pregledal/a: Polona Krajnc, unv. dpl. profesorca slovenščne Študjsko leto: 2016/2017 Marbor, avgust 2017
ZAHVALA Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Janku Marovtu za strokovno pomoč n usmertve pr nastajanju tega dplomskega projekta. Hvala tud družn za vso podporo, spodbudne n poztvne besede na moj študentsk pot.
POVZETEK V dplomskem projektu smo obravnaval odplačevanje kredtov z uporabo aktuarskega prstopa. Aktuarsk prstop se uporablja za vrednotenje netveganh sredstev n je poenoten šrom sveta. V prvem delu dplomskega projekta smo se spoznal z osnovnm aktuarskm formulam n oznakam. Izpeljal smo formule za sedanjo n končno vrednost postnumerandnega n prenumerandnega zaporedja vplačl (zplačl). Defnral smo letno efektvno n nomnalno obrestno mero, dskontn faktor v, anutete, povedal smo, kaj so to večne n kaj odložene rente. V drugem delu dplomskega projekta smo defnral kredtno blanco ter spoznal dve metod za zračunavanje te, n scer s perspektvno n retrospektvno metodo. V nadaljevanju smo zdelal amortzacjsk načrt na konkretnem prmeru kredta, s čmer smo obrok, namenjen odplačlu kredta, razdell na del, k je namenjen plačlu obrest, n del, k je namenjen plačlu glavnce kredta. Spoznal smo tud amortzacjsk sklad, katerega posebnost je, da z obrok odplačujemo zgolj obrest za kredt, ne pa tud glavnce. Glavnca kredta je poplačana na koncu obdobja odplačevanja kredta. Ključne besede: kredt, obrok, postnumerandno zaporedje, prenumerandno zaporedje, amortzacjsk načrt, amortzacjsk sklad. ABSTRACT In the Bachelor's thess we have focused on loan repayment usng actuaral approach. Actuaral approach s used for evaluatng low-rsk assets and s known and used throughout the world. In the frst part of the Bachelor's thess we learned about basc actuaral formulas and sgns. We derved formulas for present and future values of annuty-mmedate and annuty-due. We defned annual effectve nterest rate, dscount factor v, annutes, perpetutes and deferred annutes. In the second part of the Bachelor's thess we defned loan balance and two approaches used to compute the balance of the loan the prospectve method and the retrospectve method. We constructed an amortzaton schedule, whch separates each nstallment nto two parts. One part s used to offset the nterest and the remanng part s used to reduce the prncpal. Furthermore, we constructed a snkng fund, where a loan s served by payment of nterest on a perodc bass, and a lump sum that s equal to the orgnal prncpal s pad at the end of the loan perod. Keywords: loan, nstallment, annuty-mmedate, annuty-due, amortzaton schedule, snkng fund.
KAZALO 1 UVOD...1 1.1 OPIS PODROČJA IN OPREDELITEV PROBLEMA...1 1.2 CILJI IN HIPOTEZE DIPLOMSKEGA PROJEKTA...1 1.3 PREDPOSTAVKE IN OMEJITVE...2 1.4 PREDVIDENE METODE ZA RAZISKOVANJE...2 2 PERIODIČNI DENARNI TOKOVI...3 2.1 LETNA EFEKTIVNA OBRESTNA MERA...3 2.2 DISKONTNI FAKTOR v...4 2.3 SEDANJA VREDNOST POSTNUMERANDNIH PLAČIL...4 2.4 KONČNA VREDNOST POSTNUMERANDNIH PLAČIL...6 2.5 ANUITETE...7 2.6 SEDANJA VREDNOST PRENUMERANDNIH PLAČIL...8 2.7 KONČNA VREDNOST PRENUMERANDNIH PLAČIL...9 2.8 VEČNE RENTE...11 2.9 ODLOŽENE RENTE...13 3 AMORTIZACIJA...18 3.1 OSTANEK DOLGA...18 3.2 AMORTIZACIJSKI NAČRT...24 3.3 AMORTIZACIJSKI SKLAD (ANG. SINKING FUND)...29 4 SKLEP...35 5 LITERATURA IN VIRI...36
KAZALO TABEL TABELA 1: AMORTIZACIJSKI NAČRT... 26 TABELA 2: AMORTIZACIJSKI NAČRT (PRIMER)... 28 TABELA 3: AMORTIZACIJSKI SKLAD... 31 TABELA 4: AMORTIZACIJSKI SKLAD (PRIMER)... 34
1 UVOD 1.1 Ops področja n opredeltev problema Z dplomskm projektom bomo preučl aktuarsk prstop k odplačevanju kredtov. Kredt so že od nekdaj zelo pomemben del gospodarstva. So glavna n tradconalna aktvnost bank, so razlog za njhov nastanek. Kredt nam omogočajo, da s potrošnjo razdelmo skoz določeno časovno obdobje. Denar ma svojo ceno, zato na zposojena sredstva plačamo obrest. Obrestno mero zražamo v odstotkh. Všna obrest je odvsna od več dejavnkov, na prmer od všne zposojenh sredstev, dolžne odplačevanja sredstev, bontetne ocene td. Po svetu poznamo več razlčnh prstopov odplačevanja kredtov. V Slovenj poznamo dekurzvn n antcpatvn načn obrestovanja ter razlčne tpe obrestovanj (enostavno, konformno n relatvno obrestovanje td.). Ta deltev obrestovanj na razlčne načne n tpe v svetu n povsod uveljavljena. Za razlko od tega je aktuarsk prstop k vrednotenju netveganh sredstev, k je predmet dplomskega dela, poenoten v zavarovalncah doma n po svetu. 1.2 Clj n hpoteze dplomskega projekta Clj dplomskega projekta je zdelava amortzacjskega načrta z aktuarskm prstopom za konkreten prmer kredta. To bomo dosegl z vmesnm clj, kot sta opredeltev aktuarskh oznak n zpeljava aktuarskh formul. Hpotez, k smo s ju postavl pr psanju dplomskega projekta, sta: 1. Aktuarsk prstop je prmeren prstop vrednotenja netveganh sredstev. 2. Formule, k jh bomo zpeljal za časovn nterval enega leta, lahko uporabmo tud za druga krajša obdobja. 1
1.3 Predpostavke n omejtve V dplomskem projektu se bomo omejl na zračunavanje kredtov po obrestno obrestn metod. 1.4 Predvdene metode za razskovanje Pr psanju dplomske naloge bomo uporabl metodo zbranja podatkov. Podatke bomo prdobl s preučevanjem zbrane lterature. Z deskrptvno metodo bomo opsal vse pojme, postopke, zpeljave n rezultate. Z metodo analze podatkov bomo podrobneje analzral konkretne prmere kredtov. 2
2 PERIODIČNI DENARNI TOKOVI 2.1 Letna efektvna obrestna mera Efektvna obrestna mera na časovno enoto nam pove, kolko odstotkov od posojene al zposojene glavnce bomo prejel al plačal v oblk obrest na eno časovno enoto. Zarad enostavnost bomo od sedaj naprej predpostavljal, da je (osnovna) časovna enota eno leto. Letno efektvno obrestno mero bomo označeval s črko. Poleg efektvne obrestne mere poznamo tud nomnalno obrestno mero. Rekl bomo, da je (2) letna nomnalna obrestna mera, k je obračunana polletno, če je (2) 2 polletna efektvna obrestna mera. Podobno je (4) letna nomnalna obrestna mera, k je obračunana četrtletno, če je (4) četrtletna efektvna obrestna mera. Prav tako je (12) 4 letna nomnalna obrestna mera, k je obračunana mesečno, če je (12) mesečna efektvna obrestna mera. Prmer: Naj bo letna nomnalna obrestna mera 12 %. 12 Če je obračunana polletno, kar pomen, da je (2) = 12 %, sled, da je polletna efektvna obrestna mera. (2) 2 = 6 % Če je obračunana četrtletno, kar pomen, da je (4) = 12 %, sled, da je (4) 4 = 3 % četrtletna efektvna obrestna mera. Če je obračunana mesečno, kar pomen, da je (12) = 12 %, sled, da je (12) 12 = 1 % mesečna efektvna obrestna mera. 3
2.2 Dskontn faktor v Z v bomo označl sedanjo vrednost (vrednost v času t = 0) 1 (ene) denarne enote, k dospe čez eno časovno enoto (čez eno leto, ozroma v času t = 1). Če v tem trenutku (v času t = 0) vložmo v denarnh enot n zato v času t = 1 prejmemo 1 (eno) denarno enoto, velja, da je Sled, da je n v(1 + ) = 1. v = 1 1 + = 1 v 1. 2.3 Sedanja vrednost postnumerandnh plačl Z a n označujemo neto sedanjo vrednost (vrednost v času t = 0) postnumerandnega zaporedja zneskov v všn 1 (ene) denarne enote. Gre za zneske, k dospevajo v čash t = 1, t = 2, t = 3,, t = n. Denarn tok a n 1 1 1... 1 1 t (čas) 0 1 2 3... n 1 n Vse zneske razobrestmo v čas t = 0 n dobmo: a n = v + v 2 + v 3 + + v n. 4
Ker je zaporedje v, v 2, v 3,, v n geometrjsko zaporedje s prvm členom v n kolčnkom sosednjh členov v sled, da je (Indhar, Kavkler, & Mastnšek, 1997): n zato Iz lahko zaključmo, da je a n = v [ 1 vn 1 v ] a n = 1 vn. 1 v 1 1 1 = (1 + ) 1 = v a n = 1 vn, 0. Zgornjo formulo smo zpeljal ob (smselnem) pogoju, da je 0. Če je = 0, potem je očtno a n = n. Če želmo poudart, da smo pr zračunu sedanje vrednost uporabl efektvno obrestno mero, potem namestno oznake a n včash uporabmo oznako a n. Prmer: Izračunajte sedanjo vrednost postnumerandne rente z letnm anutetam v všn 150 evrov, v obdobju peth let, z letno efektvno obrestno mero 9 %. Denarn tok a n 150 150 150 150 150 t (čas) 0 1 2 3 4 5 n = 5 = 9 % a n = 1 (1+) n 150a 5 = 150 [ 1 (1,09) 5 ] = 583,45 evrov 0,09 5
2.4 Končna vrednost postnumerandnh plačl S s n bomo označeval končno vrednost (vrednost v času t = n) postnumerandnega zaporedja zneskov v všn 1 (ene) denarne enote. Gre za zneske, k dospevajo v čash t = 1, t = 2, t = 3,, t = n. Denarn tok 1 1 1... 1 1 t (čas) Sedanjo vrednost (vrednost v času t = 0) a n naobrestmo za n časovnh enot (za n let) n dobmo Ker je 0 1 2 3... n 1 n lahko zaključmo, da je s n = a n (1 + ) n. 1 (1 + a ) n n =, s n = (1 + )n 1. Dobljena formula velja ob pogoju, da je 0. Če je = 0, potem velja, da je a n = s n = n. Prmer: Izračunajte končno vrednost postnumerandne rente z letnm anutetam v všn 150 evrov, v obdobju peth let, z letno obrestno mero 9 %. Denarn tok s n 150 150 150 150 150 t (čas) 0 1 2 3 4 5 6
n = 5 = 9 % s n = (1+)n 1 150s 5 = 150 [ (1,09)5 1 ] = 897,71 evrov 0,09 Do stega rezultata prdemo, če uporabmo formulo s n = a n (1 + ) n. Tako je 150s 5 = 583,45 (1,09) 5 = 897,71 evrov. 2.5 Anutete Anutete, k jh bomo označeval s črko P, so perodčn (enak) znesk, k dospevajo ob enakh časovnh ntervalh. Tako ločmo mesečne anutete, četrtletne anutete, letne anutete td. Pšemo jh nad časovno premco. Denarn tok P P P... P P 0 1 2 3... n 1 n t (čas) Prmer: Na bank vzamemo kredt v všn 25.000 evrov za nakup avtomobla. Letna nomnalna obrestna mera, k jo obračunamo mesečno, je 12 %. Kredt bomo odplačal z mesečnm postnumerandnm anutetam v obdobju naslednjh 5 let. Prv obrok bomo plačal en mesec po odobrtv kredta. Kolko znaša mesečna anuteta? Denarn tok t (čas) 25.000 P P P P P P P.P P.P P.P P.P 0 12 24 36 48 60 7
= 12 % n = 5 let Mesečna efektvna obrestna mera: 12 % 12 = 1 % Števlo obdobj odplačevanja: 5 12 = 60 25.000 = P a 60 0.01 25.000 = P [ 1 (1,01) 60 ] 0,01 P = 25.000 0,01 1 1,01 60 P = 556,11 evrov Odgovor: Mesečna anuteta znaša 556,11 evrov. 2.6 Sedanja vrednost prenumerandnh plačl Z a n bomo označl neto sedanjo vrednost (vrednost v času t = 0) prenumerandnega zaporedja zneskov v všn 1 (ene) denarne enote. Gre za zneske, k dospevajo v čash t = 0, t = 1, t = 2,, t = n 1. Denarn tok a n 1 1 1 1... 1 t (čas) 0 1 2 3... n 1 n Zneske razobrestmo v čas t = 0 n dobmo a n = 1 + v + v 2 + v 3 + + v n 1. 8
Dobljeno vsoto geometrjskega zaporedja s prvm členom 1 n kolčnkom v seštejemo, da dobmo Formula velja, če je Ker je a n = 1 vn 1 v. 1 v 0. 1 v = 1 1 1 + = 1 +, lahko zaključmo, da formula velja natanko tedaj, ko je 0. Če je = 0, je očtno a n = n. Sedanjo vrednost a n prenumerandnega zaporedja zneskov lahko dobmo tud tako, da sedanjo vrednost postnumerandnega zaporedja zneskov naobrestmo za eno časovno enoto (eno leto): a n = (1 + ) a n. Prav tako pa lahko sedanjo vrednost a n prenumerandnega zaporedja zneskov dobmo tako, da sedanj vrednost n 1 postnumerandnh zneskov v všn 1 (ene) denarne enote prštejemo 1 (eno) denarno enoto: a n = 1 + a n 1. 2.7 Končna vrednost prenumerandnh plačl S s n bomo označeval končno vrednost (vrednost v času t = n) prenumerandnega zaporedja zneskov v všn 1 (ene) denarne enote. Gre za zneske, k dospevajo v čash t = 0, t = 1, t = 2,, t = n 1. Denarn tok 1 1 1 1... 1 s n t (čas) 0 1 2 3... n 1 n 9
Končno vrednost prenumerandnega zaporedja zneskov s n dobmo tako, da sedanjo vrednost prenumerandnega zaporedja zneskov a n naobrestmo za n časovnh enot (n let): Ker je s n = a n (1 + ) n. sled, da je s n = a n = 1 (1 + ) n 1 v 1 (1 + ) n, 1 v (1 + ) n = (1 + )n 1. 1 v Končno vrednost s n prenumerandnega zaporedja zneskov lahko dobmo tud tako, da končno vrednost postnumerandnega zaporedja zneskov naobrestmo za eno časovno enoto (eno leto): s n = (1 + ) s n. Prav tako pa lahko končno vrednost s n prenumerandnega zaporedja zneskov dobmo tako, da od končne vrednost n + 1 postnumerandnh zneskov v všn 1 (ene) denarne enote odštejemo 1 (eno) denarno enoto: s n = s n+1 1. Prmer: Podjetje žel ustvart pokojnnsk načrt za 55-letno delavko. Izplačano bo dobla 7.000 evrov postnumerandno vsako leto, 15 let po upokojtv. Upokojla se bo čez 10 let, ko bo stara 65 let. Podjetje pokojnnsk načrt fnancra s prenumerandnm plačl naslednjh 10 let. Če je letna efektvna obrestna mera 5 %, kakšna je všna zneska, k ga mora podjetje vsako leto vplačat? Najprej zračunamo sedanjo vrednost pokojnnskh anutet, k jh bo prejela delavka. Pr tem»sedanja vrednost«pomen vrednost v času upokojtve delavke. P a 1 (1 + ) n n = P 7.000a 15 = 7.000 [ 1 (1,05) 15 ] 0,05 7.000a 15 = 72.657,61 evrov 10
Dobljena vrednost mora bt enaka prhodnj vrednost vplačl podjetja R s 10, kjer je R letno vplačlo podjetja. s n = (1 + )n 1 1 v s 10 = (1,05)10 1 1 1 (1 + 0,05) s 10 = (1,05)10 1 1 (1,05) 1 s 10 = 13,20678716 Iz sled, da je R s 10 = 72.657,61 R = 72.657,61 = 5.501,54 evrov. 13,20678716 Odgovor: Podjetje mora na začetku vsakega leta naslednjh 10 let vplačat 5.501,54 evrov. 2.8 Večne rente Večno rento (ang. perpetuty) določa neskončno zaporedje anutet. Sedanjo vrednost večne postnumerandne rente, kjer znesk v všn 1 (ene) denarne enote dospevajo v čash t = 1, t = 2, t = 3 bomo označeval z a. Sedanjo vrednost večne prenumerandne rente, kjer znesk v všn 1 (ene) denarne enote dospevajo v čash t = 0, t = 1, t = 2 bomo označeval z a. Za zračun sedanje vrednost večne rente moramo upoštevat, da je lmta natanko tedaj, ko je lm n vn = 0, 1 < v < 1. 11
Sedanja vrednost večne rente, kjer anutete dospevajo postnumerandno: Ker je sled a = lm n a n, a 1 (1 + ) n = lm. n Opazmo lahko, da je > 0 natanko tedaj, ko je 0 < v < 1. Sled, da če je > 0. Zaključmo lahko, da je v n = (1 + ) n n 0, če je > 0. a = 1, Sedanja vrednost večne rente, kjer anutete dospevajo prenumerandno: Ker je sled n zato če je > 0. a = lm n a n, 1 v n a = lm n 1 v a = 1 1 v, 12
2.9 Odložene rente Odložene rente (ang. deferred annutes) so tste, pr katerh se prvo plačlo zvede na določen datum v prhodnost. Z m a n bomo označeval sedanjo vrednost (vrednost v času t = 0) rente z znesk v všn 1 (ene) denarne enote, k dospevajo v čash t = m + 1, t = m + 2,, t = m + n. Vrednost a n m dobmo tako, da vrednost a n razobrestmo za m časovnh enot. Tako je n zato m a n = v m a n a n m = v m [ 1 vn ] ozroma a n m = vm v m+n. Formula velja, če je 0. Opazmo lahko, da je zato lahko zaključmo, da je Ker je sled, da je n zato m a n = (1 vm+n ) (1 v m ) m a n = a m+n a m. m a n = v m a n, v m a n = a m+n a m a m+n = a m + v m a n. Izpeljal smo formulo za zračun sedanje vrednost postnumerandnega zaporedja zneskov v všn 1 (ene) denarne enote, k dospevajo v čash t = 1, t = 2,, t = m + n., 13
Denarn tok 1 1... 1 1... 1 t (čas) SV a m 0 1 2... m m + 1... m + n a m+n v m a n a n Če sedanj vrednost a n postnumerandnega zaporedja zneskov v všn 1 (ene) denarne enote, k dospevajo v čash t = 1, t = 2,, t = n, prštejemo sedanjo vrednost n a m za n časovnh enot odložene rente, k traja m časovnh enot, dobmo še eno formulo za zračun vrednost a m+n : a m+n = a n + v n a m. Podobno zpeljemo formulo za zračun sedanje vrednost odložene rente pr prenumerandnem zaporedju anutet v všn 1 (ene) denarne enote, kjer te zapadejo v čash m, m + 1,, m + n 1 (glej spodnjo skco): Če enačb n m a n = a m+n a m. a m+n = a m + v m a n a m+n = a n + v n a m pomnožmo z 1 +, potem dobmo formul: n a m+n = a m + v m a n a m+n = a n + v n a m. 14
Denarn tok 1 1 1... 1 1... 1 t (čas) 0 1 2... m m + 1... m + n 1 m + n SV a m a m+n v m a n a n Če enačb a m+n = a m + v m a n n a m+n = a n + v n a m pomnožmo z (1 + ) m+n, dobmo enačb (glej spodnjo skco): s m+n = (1 + ) n s m + s n n s m+n = (1 + ) m s n + s m. Denarn tok 1 1... 1 1... 1 t (čas) 0 1 2... m m + 1... m + n SV s m+n s n 15 s m (1 + ) n s m
Podobno lahko zpeljemo naslednj enačb: n s m+n = (1 + ) n s m + s n s m+n = (1 + ) m s n + s m. Denarn tok 1 1 1... 1 1... 1 t (čas) 0 1 2... m m + 1... m + n 1 m + n SV s m+n s n s m (1 + ) n s m Iz enačbe za prhodnjo vrednost (vrednost v času t = n) postnumerandnega zaporedja anutet v všn 1 (ene) denarne enote sled, da je s n = a n (1 + ) n, s m+n = (1 + ) m+n a m+n. Enačbo pomnožmo z v m n dobmo za poztvna cela števla m n n. v m s m+n = (1 + ) n a m+n 16
Denarn tok 1 1... 1 1... 1 t (čas) 0 1 2... n n + 1... m + n Vrednost v času n a m+n (1 + ) n a m+n s m+n v m s m+n 17
3 AMORTIZACIJA 3.1 Ostanek dolga Predstavljajmo s kredt, k ga bomo odplačal v naslednjh n časovnh enotah z n postnumerandnm anutetam. Ločmo dva prstopa ozroma metod zračuna ostanka dolga (blance kredta): prospektvna metoda n retrospektvna metoda. Prospektvna metoda je usmerjena v prhodnost. Z njo zračunamo ostanek dolga kot sedanjo vrednost vseh prhodnjh odplačl. Retrospektvna metoda je usmerjena v preteklost. Z njo zračunamo ostanek dolga kot nakopčeno vrednost kredta v času ocenjevanja zmanjšanega za nakopčeno vrednost vseh že plačanh odplačl do sedaj (do časa ocenjevanja). Prospektvna n retrospektvna metoda sta ekvvalentn. Označmo: L všna najetega kredta, A anuteta, efektvna obrestna mera na časovno enoto, n števlo časovnh enot. Ker je sled, da je L = Aa n, A = L. a n Ostanek dolga v času t = m bomo označeval z B m. Ostanek dolga v času t = 0 je (očtno) enak L = B 0. 18
Ostanek dolga je neposredno po m-t plačan anutet po prospektvn metod enak: ozroma B m = Aa n m B m = La n m. a n Pr uporab retrospektvne metode naprej zračunamo nakopčeno vrednost kredta v času m, kar zapšemo: L(1 + ) m. Nakopčena vrednost plačanh anutet v času m je: As m. Sedaj lahko ostanek dolga po retrospektvn metod zapšemo kot: Dokaz, da sta metod ekvvalentn: Aa (1 n + vn )m As m = A [1 = A [ 1 vn m ] = Aa n m. L(1 + ) m As m. (1 + ) m (1 + )m 1 ] Denarn tok B m L = B 0 A A... A... A t (čas) 0 1 2 m n 19
Prmer 1: Stanovanjsk kredt v všn 500.000 evrov bomo odplačal v 20 leth z 240 enakm mesečnm postnumerandnm obrok. Pr tem je nomnalna letna obrestna mera, k jo obračunamo mesečno, 5 %. Po 24. odplačlu bo banka zvšala nomnalno letno obrestno mero na 5,5 %. Izpšmo podatke: L = 500.000 evrov n = 240 1 (12) = 5 % m = 24 2 (12) = 5,5 % a) Za kolko se po sprememb pogojev poveča mesečn obrok, če rok, v katerem mora bt kredt odplačan, ostane enak (20 let)? Najprej zračunajmo: a 240 0,05 12 = 1 (1 + 0,05 12 ) 240 0,05 12 = 151,5253131 Mesečn obrok A za prvh 24 mesecev znaša: A = 500.000 a 240 0,05 12 = 500.000 151,5253131 3.299,78 evrov. S prospektvno metodo zračunamo ostanek dolga neposredno po odplačanem 24. obroku. Če ne b pršlo do spremembe pogojev, b bl preostanek dolga odplačan z 216 postnumerandnm mesečnm anutetam A evrov. Ostanek dolga tako znaša: Aa 216 0,05 12 = 3.299,78 1 (1 + 0,05 12 ) 216 0,05 12 20
= 3.299,78 142,2406613 469.362,89 469.363 evrov. Retrospektvna metoda: 500.000 (1 + 0,05 24 12 ) 3.299,78s 240,05 = 12 = 552.470,6678 3.299,78 25,18592053 469.362,67 469.363 evrov. Če zaokrožmo rezultat na celo števlo, dobmo enak rezultat pr obeh metodah. Do razlke pr vmesnh rezultath je pršlo zarad zaokroževanja. Po zvšanju nomnalne letne obrestne mere znaša nov mesečn obrok: B = 469.363 a 216 0,055/12 Ker je = 469.363 136,9269622 3.427,83 evrov. 3.427,83 3.299,78 = 128,05 evrov lahko zaključmo, da se mesečn obrok povša za 128,05 evrov. b) Kolko več časa b blo potrebnega za odplačlo kredta, če b mesečn obrok po sprememb pogojev ostal nespremenjen? Recmo, da je m preostalo števlo mesečnh obrokov. Veljat mora: a m 0,055 12 = a 216 0,05. 12 Tako je 1 (1 + 0,055 12 ) m 0,055 12 = 142,2406613 21
n zato 1 0,651936364 = (1 + 0,055 12 ) m. Enačbo logartmramo, da dobmo log(1 0,651936364) = m log (1 + 0,055 12 ). Tako je log(1 0,651936364) m = log (1 + 0,055 12 ) m 230,7898 231. Ker je 231 216 = 15, b se čas odplačevanja ob všj obrestn mer n nespremenjen anutet podaljšal za 15 mesecev. Prmer 2: Janez vzame pr Bank A stanovanjsk kredt v vrednost 1.000.000 evrov. Kredt bo odplačan z 240 enakm postnumerandnm mesečnm odplačl v naslednjh 20 leth pr letn nomnaln obrestn mer 4 %, k je obračunana mesečno. Potem ko Janez odplača 24. mesečn obrok, ponud Banka B Janezu kredt po letn nomnaln obrestn mer 3,5 %, obračunan mesečno, k bo odplačan v enakem obdobju (v naslednjh 216 mesech), prav tako postnumerandno. Če žel Janez refnancrat kredt, mora Bank A plačat kazen v všn 1,5 % od preostale (neodplačane) vrednost kredta. Al naj Janez refnancra kredt, če n drugh stroškov refnancranja? Izpšmo podatke: L = 1.000.000 evrov n = 240 1 (12) = 4 % m = 24 2 (12) = 3,5 % k = 1,5 % 22
Najprej zračunamo: a 240 0,04 12 = 1 (1 + 0,04 12 ) 240 0,04 12 = 165,0218582 Mesečn obrok, k ga plačuje Janez Bank A, znaša: A = 1.000.000 a 240 0,04 12 = 1.000.000 165,0218582 6.059,80 evrov. Ker je a 216 0,04 12 = 1 (1 + 0,04 12 ) 216 0,04 12 = 153,7993761, znaša preostanek dolga neposredno po 24. anutet 6.059,80a 216 0,04 12 = 6.059,80 153,7993761 931.993,46 evrov. Če se Janez odloč za refnancranje kredta, s mora pr Bank B zposodt: 931.993,46 1,015 = 945.973,36 evrov. Ker je a 216 0,035 12 = 1 (1 + 0,035 12 ) 216 0,035 12 = 160,0867219, b bla všna mesečnega obroka pr Bank B 23
B = 945.973,36 a 216 0,035 12 = 945.973,36 160,0867219 5.909,13 evrov. Odgovor: Ker je všna mesečna obroka pr Bank B nžja kot pr Bank A, se Janezu zplača kredt refnancrat. 3.2 Amortzacjsk načrt Če je kredt odplačan po amortzacjsk metod, potem je vsak obrok sestavljen z dveh delov: 1. obrest, k jh plačamo za obdobje med dvema obrokoma, n scer od osnove, k nastane neposredno po plačlu tekočega (predhodnega) obroka; 2. razdolžnne al odplačlne kvote, k je razlka med obrokom n obrestm; gre za znesek, s katerm zmanjšamo glavnco. Vzemmo kredt, k bo odplačan v n časovnh enotah z n (enakm) postnumerandnm obrok v všn 1 (ene) denarne enote. Denarn tok a n 1 1 1... 1 1 t (čas) 0 1 2 3... n 1 n Všna najetega kredta je neto sedanja vrednost prhodnjh odplačl: a n. Obrest, k jh odplačamo s prvm obrokom, znašajo 1 vn a n = = 1 v n. 24
Prva razdolžnna je razlka med obrokom n prvm obrestm: 1 (1 v n ) = v n. Ostanek dolga po odplačlu prvega obroka znaša a n vn = 1 vn v n = 1 vn (1 + ) = 1 vn 1 = a n 1. Obrest, k jh plačamo z drugm obrokom, znašajo razdolžnna pa a n 1 = 1 vn 1, 1 (1 v n 1 ) = v n 1. Ostanek dolga neposredno po plačlu drugega obroka znaša a n 1 vn 1 = 1 vn 1 v n 1 = 1 vn 1 (1 + ) = 1 vn 2 = a n 2. Postopek nadaljujemo do zadnje vrstce amortzacjskega načrta, k je prkazan v Tabel 1. 25
Tabela 1: Amortzacjsk načrt Čas Obrok Obrest 0 1 1 2 1 a n = 1 v n a n 1 = 1 v n 1 t 1 a n +1 = 1 v n +1 n Skupaj 1 a 1 = 1 v Čas Razdolžnna Ostanek dolga 0 1 v n a n a n v n = a n 1 2 v n 1 a n 1 v n 1 = a n 2 t v n +1 a n +1 v n +1 = a n n Skupaj v a 1 v = 0 26
Prmer: Izdelajmo amortzacjsk načrt za kredt v vrednost 10.000 evrov, k mora bt odplačan v 6 leth s 6 enakm letnm postnumerandnm obrok pr letn efektvn obrestn mer 6 %. Najprej zračunamo: 1 (1 + 0,06) 6 a 6 = 0,06 0,06 = 4,917324326. Letn obrok znaša A = 10.000 a 6 0,06 = 10.000 4,917324326 2.033,63 evrov. Obrest: 1. leto: 10.000 0,06 = 600 evrov 2. leto: 8.566,37 0,06 513,98 evrov 3. leto: 7.046,72 0,06 422,80 evrov 4. leto: 5.435,89 0,06 326,15 evrov 5. leto: 3.728,41 0,06 223,70 evrov 6. leto: 1.918,48 0,06 115,11 evrov Razdolžnna: 1. leto: 2.033,63 600,00 1.433,63 evrov 2. leto: 2.033,63 513,98 1.519,65 evrov 3. leto: 2.033,63 422,80 1.610,83 evrov 4. leto: 2.033,63 326,15 1.707,48 evrov 5. leto: 2.033,63 223,70 1.809,93 evrov 6. leto: 2.033,63 115,11 1.918,52 evrov Ostanek dolga: 0. leto: 10.000 evrov 1. leto: 10.000 1.433,63 8.566,37 evrov 2. leto: 8.566,37 1.519,65 7.046,72 evrov 3. leto: 7.046,72 1.610,83 5.435,89 evrov 4. leto: 5.435,89 1.707,48 3.728,41 evrov 27
5. leto: 3.728,41 1.809,93 1.918,48 evrov 6. leto: 1.918,48 1.918,52 0 evrov Amortzacjsk načrt je prkazan v Tabel 2. Tabela 2: Amortzacjsk načrt (prmer) Čas Obrok Obrest 0 1 2.033,63 600,00 2 2.033,63 513,98 3 2.033,63 422,80 4 2.033,63 326,15 5 2.033,63 223,70 6 2.033,63 115,11 1 Skupaj 12.201,78 2.201,74 Čas Razdolžnna Ostanek dolga 0 10.000 1 1.433,63 8.566,37 2 1.519,65 7.046,72 3 1.610,83 5.435,89 4 1.707,48 3.728,41 5 1.809,93 1.918,48 6 1.918,52 0,00 Skupaj 10.000,00 1 Do razlke med vrednostma 12.201,78 2.201,74 n 10.000,00 je pršlo zarad zaokroževanja. 28
3.3 Amortzacjsk sklad (ang. snkng fund) Kredt lahko odplačujemo tud s perodčnm (enakm) plačl obrest na prvotno vrednost kredta n s končnm odplačlom glavnce kredta, k ga plačamo ob koncu obdobja odplačevanja. Posojlojemalec perodčno vplačuje enake zneske v amortzacjsk sklad, da se ob koncu dogovorjenega obdobja nabere vrednost, enaka glavnc kredta. Zamslmo s kredt v všn a n denarnh enot. Po metod amortzacjskega sklada plačuje posojlojemalec za vsako obdobje znesek v všn a n = 1 vn n s tem odplačuje obrest. Predpostavmo, da amortzacjsk sklad kopč obrest pr efektvn obrestn mer. Iz sled, da je a n = x s n x = a n s n = 1 v n (1 + ) n 1 = 1 vn v n 1 = 1 vn 1 v n 1 = 1 vn 1 v n v n = v n. Da se nakopč vrednost a n v času n, mora bt vsak obrok v amortzacjsk sklad enak a n = v n. s n 29
Celotn znesek (obrest n depozt), k ga mora posojlojemalec plačat ob koncu vsake časovne enote, je (1 v n ) + v n = 1. V Tabel 3 je prkazano odplačevanje kredta v všn a n denarnh enot po metod amortzacjskega sklada. Pr tem je n števlo postnumerandnh vplačl v amortzacjsk sklad. Vdmo lahko, da so plačane obrest konstantne n enake 1 v n denarnh enot skoz celotno obdobje odplačevanja kredta, medtem ko se pr amortzacjsk metod s časom zmanjšujejo. Znesek, s katerm plačujemo obrest, se ne spremnja zarad prsluženh obrest v amortzacjskem skladu. Med časoma t 1 n t so prslužene obrest v amortzacjskem skladu enake: v n s 1 = v n [(1 + ) 1 1] = v n +1 v n. Če to vrednost odštejemo od (konstantnega) odplačla obrest, dobmo neto plačane obrest 1 v n (v n +1 v n ) = 1 v n +1, kar je enako kot plačane obrest v času t pr amortzacjsk metod (Tabela 1). V Tabel 3 je prkazan amortzacjsk sklad. 30
Tabela 3: Amortzacjsk sklad Čas Obrok Obrest 1 1 2 1 a n = 1 v n a n = 1 v n t 1 a n = 1 v n n Skupaj 1 a n = 1 v n v Čas Depozt v amortzacjsk sklad Blanca amortzacjskega sklada 1 2 v n v n v n s 1 = v n v n s 2 t v n v n s n Skupaj v n v v n s n = a n 31
Prmer: Sestavmo amortzacjsk sklad za kredt v vrednost 10.000 evrov, odplačan v 6 leth s 6 enakm postnumerandnm obrok pr letn efektvn obrestn mer 6 %. Izpšmo podatke: L = 10.000 evrov n = 6 = 6 % Plačlo obrest je enako čez celotno obdobje odplačevanja kredta n znaša: 10.000 0,06 = 600 evrov. Izračunajmo: s 6 0,06 = (1 + 0,06)6 1 0,06 = 6,975318538 Depozt v amortzacjsk sklad: x = 10.000 s 6 0,06 = 10.000 6,975318538 1.433,63 evrov. Celotna vrednost obroka torej znaša 600 + 1.433,63 = 2.033,63 evrov. Čez 6 let se v amortzacjskem skladu nakopčjo obrest v vrednost 1.398,22 evrov, kar je razlka med obrestm, plačanm po metod amortzacjskega sklada, n obrestm, plačanm po metod amortzacje 3.600 2.201,78 = 1.398,22 evrov. Blanca amortzacjskega sklada: 1. leto: x s 1 = 1.433,63 evrov 2. leto: x s 2 = 1.433,63 (1+0,06)2 1 2.953,28 evrov 0,06 3. leto: x s 3 = 1.433,63 (1+0,06)3 1 4.564,10 evrov 0,06 4. leto: x s 4 = 1.433,63 (1+0,06)4 1 6.271,58 evrov 0,06 5. leto: x s 5 = 1.433,63 (1+0,06)5 1 8.081,51 evrov 0,06 32
6. leto: x s 6 = 1.433,63 (1+0,06)6 1 0,06 Obrest amortzacjskega sklada: 10.000 evrov 1. leto: 0 evrov 2. leto: x s 1 = x = 0,06 1.433,36 86,02 evrov 3. leto: x s 2 = 0,06 1.433,63 1,062 1 177,20 evrov 0,06 4 leto: x s 3 = 0,06 1.433,63 1,063 1 273,85 evrov 0,06 5. leto: x s 4 = 0,06 1.433,63 1,064 1 376,29 evrov 0,06 6. leto: x s 5 = 0,06 1.433,63 1,065 1 484,89 evrov 0,06 V Tabel 4 je prkazan amortzacjsk sklad. 33
Tabela 4: Amortzacjsk sklad (prmer) Čas Obrok Obrest Depozt v amortzacjsk sklad 1 2.033,63 600,00 1.433,63 2 2.033,63 600,00 1.433,63 3 2.033,63 600,00 1.433,63 4 2.033,63 600,00 1.433,63 5 2.033,63 600,00 1.433,63 6 2.033,63 600,00 1.433,63 Skupaj 12.201,78 3.600,00 8.601,78 Čas Obrest amortzacjskega sklada Blanca amortzacjskega sklada 1 0,00 1.433,63 2 86,02 2.953,58 3 177,20 4.564,10 4 273,85 6.271,58 5 376,29 8.081,51 6 484,89 10.000,00 Skupaj 1.398,25 34
4 SKLEP Pr psanju dplomskega projekta smo dosegl zadane clje. Opredell smo aktuarske oznake n zpeljal aktuarske formule. Spoznal smo formule za sedanje n končne vrednost postnumerandnega zaporedja n prenumerandnega zaporedja perodčnh zneskov. Postnumerandno zaporedje anutet se najpogosteje uporablja pr odplačevanju kredtov. To pomen, da pr odplačevanju kredta obrok zapadejo v plačlo ob koncu določenega časovnega obdobja. Pr prenumerandnem zaporedju pa obrok zapadejo v plačlo ob začetku določenega časovnega obdobja. Defnral smo efektvno obrestno mero, pr čemer smo najpogosteje uporabljal letno efektvno obrestno mero. Računal smo tud z efektvnm obrestnm meram, k so ble preračunane na časovna obdobja, krajša od enega leta (na prmer mesečna, četrtletna, polletna efektvna obrestna mera). Izpeljal smo formule za večne rente, to so rente brez datuma dospetja, n formule za odložene rente. Kot osrednj clj dplomskega projekta smo zdelal amortzacjsk načrt. Tega smo na konkretnem prmeru predstavl v oblk tabele. Prav tako smo zdelal amortzacjsk sklad ter ga, enako kot v prejšnjem prmeru, na konkretnem prmeru kredta predstavl v oblk tabele. Na podlag razskanega lahko obe hpotez, k smo ju navedl v uvodu dplomskega dela, sprejmemo. Ugotovl smo, da je aktuarsk prstop k obračunavanju netveganh sredstev prmeren prstop. Formule, k smo jh zpeljal za časovn nterval enega leta, lahko uporabmo tud za druga krajša obdobja. 35
5 LITERATURA IN VIRI 1. McCutcheon, J. J., & Scott, W. F. (1989). An Introducton to the Mathematcs of Fnance. Velka Brtanja: Butterworth-Henemann. 2. Breznk, K., & Marovt, J. (2014). Praktkum z poslovno-fnančne matematke. Marbor: Fakulteta za naravoslovje n matematko. 3. Capnsk, M., & Zastawnak, T. (2010). Mathematcs for Fnance: An Introducton to Fnancal Engneerng (2. zdaja). London: Sprnger. 4. Zma, P., & Brown, R. (2011). Mathematcs of Fnance (2. zdaja). New York: McGraw-Hll Educaton. 5. Promslow, S. D. (2015). Fundamentals of Actuaral Mathematcs (3. zdaja). Chchester: Wley. 6. Wa-Sum, C., & Yu-Kuen, T. (2010). Fnancal Mathematcs for Actuares. Asa: McGraw-Hll Educaton. 7. Indhar, S., Kaukler, I., & Mastnšek, M. (2002). Matematka za ekonomste (1. del). Marbor: Ekonomsko poslovna fakulteta. 8. Marovt, J. (2014). Aktuarsk prstop k vrednotenju netveganh sredstev. Marbor: Fakulteta za naravoslovje n matematko. 36