resitve.dvi

Transkripcija

1 FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so naloge. Nalog je 6, vsaka ima dva dela, ki sta vredna po tock, torej skupaj 2 tock. Na razpolago imate 2 uri. Naloga a. b. Skupaj Skupaj

2 . (2) Limite. a. () Zaporedje naj bo dano z rekurzivno formulo a = in a n+ = p 3a n Pokazite, da je zaporedje omejeno s 3 in narascajoce. Sklepajte, da je zaporedje konvergentno in izracunajte njegovo limito. Resitev Omejenost dokazemo z matematicno indukcijo. Po deniciji je a < 3. Recimo, da je a n < 3. Potem je a n+ = p 3a n < p 3 3 = 3 Po matematicni indukciji neenacba velja za vse n. Za dokaz monotonosti opazimo s a n+ 3 = > ; a n a n ker je a n < 3. Zaporedje torej narasca. Oznacimo Limita zaporedja mora ustrezati enacbi a = lim n a n a = p 3a Ta enacba ima resitvi a = in a = 3. V postev pride le a = 3. { Indukcijska predpostavka 2 tocki. { Omejenost 2 tocki. { Indukcijska predpostavka 2 tocki. { Monotonost 2 tocki. { Limita 2 tocki. b. () Izracunajte lim log Resitev Upostevali bomo, da je lim log = ; kar takoj sledi iz L'Hospitalovega pravila. Racunamo po L'Hospitalu lim log = lim = lim = lim = 2 log ( ) ( ) log log ( ) log ( ) 2 2( ) 2

3 { Skupni imenovalec 2 tocki. { Poenostavitev imenovalca 2 tocki. { Odvajanje 2 tocki. { Preverjanje predpostavk za L'Hospitala 2 tocki. { Rezultat 2 tocki. 3

4 2. (2) Med mestoma A in B zelimo speljati cesto. Cesta je lahko ravna, le reko, ki tece med A in B, mora most preckati pravokotno. Po ravnem delu ceste se lahko peljemo s hitrostjo c, na mostu pa s hitrostjo c 2. Dolzina mosta je d, oddaljenost mesta A od reke je d, oddaljenost mesta B od reke pa d 2. V vodoravni smeri sta mesti oddaljeni a. B d 2 River Cam d A a a. () Izracunajte cas, ki ga porabimo za voznjo med A in B kot funkcijo koordinate polozaja mosta. Nato se prepricajte, da bo cas najmanjsi, ko bosta obe cesti z reko oklepali enak kot. Resitev Razdalja med A in mostom je d 2 + 2, razdalja med B in mostom je d (a ) 2, most pa je dolzine d. Glede na dane hitrosti bo celoten cas enak T () = Odvajamo po. Dobimo d c + d c 2 + d (a ) 2 c T () = c d (a ) c d (a ) 2 Minimum bo dosezen, ko bo odvod enak. Z nekaj racunanja je ta zahteva enaka d = (a ) d 22 + (a ) 2 Na levi in desni pa sta ravno kosinusa kotov, ki ju cesti oklepata s smerjo reke. Kota morata biti torej enaka. { Razdalja A in B do mosta 2 tocki. { Casa od A in B do mosta 2 tocki. { Celoten cas 2 tocki. { Odvod 2 tocki. { Enakost kotov 2 tocki. b. () Poiscite, za katerega bo cas najmanjsi in se prepricajte, da ste res nasli minimum. 4

5 Resitev Ce reko stisnemo na sirino, se bosta cesti \staknili". Pri optimalnem bo kot enak in bomo dobili pravokotni trikotnik s katetama a in d +d 2. Izenacimo tangense (ali pa se spomnimo na starega Talesa) in dobimo enacbo Sledi d = d + d 2 a = a d d + d 2 Potebujemo se drugi odvod funkcije T () iz a. Z odvajanjem dobimo T () = d 2 2 c (d ) + d2 3=2 (d (a ) 2 ) 3=2 Drugi odvod je povsod pozitiven, kar pomeni, da je funkcija konveksna. S tem smo tudi pokazali, da smo nasli minimum. { Pravokotni trikotnik 2 tocki. { Tales 2 tocki. { 2 tocki. { Drugi odvod 2 tocki. { Konveksnost in sklep 2 tocki. 5

6 3. (2) Integriranje a. () S pomocjo integracije per partes izracunajte Z =4 tg 4 d Resitev Racunamo Z =4 tg 4 d = Z =4 sin sin 3 d cos 4 Z =4 = sin3 =4 3 cos 3 = 3 sin cos =4 tg 2 d Z =4 d = { Izbira F 2 tocki. { Izbira g 2 tocki. { Integriranje 2 tocki. { Odvajanje 2 tocki. { Rezultat 2 tocki. b. () Z uvedbo nove spremenljivke izracunajte Z d cosh Resitev Uporabimo novo spremenljivko e = u, torej e d = du. Racunamo Z d cosh = Z Z 2 du u(u + u ) du = 2 u 2 + = 2arctg(u) = 2 { Nova spremenljivka 2 tocki. { Pretvorba funkcije 2 tocki. { Meje 2 tocki. { Nedoloceni integral 2 tocki. { Rezultat 2 tocki. 6

7 4. (2) Med tockama A in B na povrsju zemlje skopljemo raven predor dolzine 2d in vanj polozimo tirnice, po katerih lahko pelje vlak brez trenja. Naj bo (t) razdalja vlaka od sredine predora v trenutku t. Ko je vlak v tocki A, je ta razdalja d. Gibanje vlaka pod vplivom teznosti opisuje diferencialna enacba _ = s 4k 3 p d 2 2 ; kjer je masna gostota zemlje in k gravitacijska konstanta. a. () Naj bo () = d. Poiscite resitev diferencialne enacbe. Resitev Enacbo najprej prepisemo v obliko _ pd 2 2 = ; kjer je Integriramo in dobimo Iz zacetnega pogoja sledi torej c = =2. Sledi torej = s 4k 3 arcsin(=d) = t + c arcsin( ) = c ; d = sin(t 2 ) ; (t) = d cos(t) { Pretvorba na obliko za integriranje 2 tocki. { Integriranje 2 tocki. { Enacba za konstanto 2 tocki. { Konstanta 2 tocki. { Resitev 2 tocki. b. () Ker predpostavljamo, da ni trenja, bo vlak sam od sebe peljal od tocke A do tocke B. Izracunajte cas, ki je za to potreben. Resitev Iz a. preberemo, da je arcsin(=d) = t 2 Ko bo vlak na sredi predora, bo =. Razberemo, da za to potreben cas zadosca enacbi torej je t = 2 t = 2 Cas od sredine predora do tocke B bo enak casu od A do sredine predora. Sledi, da je potreben cas =. 7

8 { Ideja, kako razbrati cas 2 tocki. { Uporaba a. 2 tocki. { Enacba za t 2 tocki. { Utemeljitev, da je cas do sredine enak ostanku casa 2 tocki. { Rezultat 2 tocki. 8

9 5. (2) Naj bo dan enotski vektor e v prostoru in kot 2 [; ). a. () Naj bo vektor pravokoten na e in y vektor, ki ga dobimo tako, da zasucemo okrog osi e za kot in velja (; y; e) >. Pokazite, da je y = cos + sin (e ) Resitev Vektor y lezi v ravnini pravokotni na e. To ravnino napenjata vektorja in e, torej je y = + (e ) Poiskati moramo koecienta in. Mnozimo najprej enacbo skalarno z. Ker je (; y) = cos (vektorja sta enotska), je cos = Upostevali smo, da je (e ; ) =. Mnozimo se skalarno z y. Dobimo = cos 2 + (e; ; y) Upostevamo (e; ; y) = (; y; e) = sin. Sledi cos 2 = sin ali = sin. Formula trivialno drzi za =. { Zapis z linearno kombinacijo 2 tocki. { Mnozenje z 2 tocki. { 2 tocki. { Mnozenje z y 2 tocki. { 2 tocki. b. () Naj bo zdaj poljuben vektor in y vektor, ki ga dobimo tako, da zasucemo za kot okrog osi e in bo (e; ; y) >. Izracunajte y. Namig Zapisite tako, da bo pravokoten na e. = e + Resitev Vektor e bo pravokotna projekcija vektorja na e, torej Sledi e = (; e) e = (; e) e Ko zasucemo, se zasuce le komponenta pravokotna na e. Upostevamo a. in sledi y = (; e) e + cos + sin (e ) = (; e) e + cos ( (; e) e) + sin (e ) ; ker je e = e. Zlahka preverimo, da je (e; ; y) >. { Zapis z linearno kombinacijo 2 tocki. { 2 tocki. { Opazka, da se zasuce le 2 tocki. { Zapis zasukanega 2 tocki. { Rezultat 2 tocki. 9

10 6. (2) Dana naj bo matrika A = a. () Poiscite lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A. Resitev Karakteristicni polinom je z niclama P () = 2 + 2( + ) = in 2 = 2 Pripadajoca lastna vektorja sta = (; ) in 2 = (; ). { Determinanta 2 tocki. { Karakteristicni polinom 2 tocki. { Nicli 2 tocki. { Prvi lastni vektor 2 tocki. { Drugi lastni vektor 2 tocki. b. () Naj bo Q = p 2 p 2 p 2 p 2 Pokazite, da je A = Q 2 Q in uporabite to enakost za izracun A n za poljuben n. Resitev Najprej ugotovimo, da je Q = p 2 p 2 p 2 p 2 ; torej je matrika inverzna sama sebi. Enakost dokazemo tako, da matrike preprosto zmnozimo. Oznacimo = 2 Potenco izracunamo kot A n = (QQ ) n = QQ QQ QQ = Q n Q = Q ( n ) ( 2) n = + 2 (( )n ( 2) n ) 2 (( )n ( 2) n )) Q 2 (( )n ( 2) n ) + 2 (( )n ( 2) n ) { Inverz Q 2 tocki. { Preverjanje enakosti 2 tocki. { Ideja s krajsanjem 2 tocki. { Potenca diagonalne matrike 2 tocki. { Rezultat 2 tocki.