NENAVADNA FUNKCIJA Z RAČUNALNIKOM
|
|
- Marjeta Lesjak
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN Letnik 26 (1998/1999) Številka 4 Strani Martin Juvan: NENAVADNA FUNKCIJA Z RAČUNALNIKOM Ključne besede: matematika, analiza, računalništvo, funkcije, naravna števila, rekurzija. Elektronska verzija: c 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c 2010 DMFA založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
2 Računalništvo I NENAVADNA FUNKCIJA Z RAČUNALNIKOM V prejšnji številki Preseka (Nenavadna funkc ija, Presek 26 št. 3, str ) smo spoz nali nekatere zanimive lastnosti funk cije F, ki smo jo definirali rekurzivno z naslednjimi pr edpisi: F(l ) = 1 in F (2n) = F (n), F (2n + 1) = F (n) + F(n + 1) za ti 2': 1. Tokr at si bomo ogledali nekaj ra č una lnišk i h pro gramov, s katerimi si lahko pomagamo pri raziskovanju lastnosti te funk cije. S programi bomo t udi pr ever ili od govor e na nekat era vprašanj a, na kat era smo s t eoret ičnim razrnislekom odgovori li že v prejšnj i številki Preseka. Začnimo s programom v logu, s katerim za dano nar avno število n izrač unamo vr ednost F (n): TO F :n IF :n < 2 [OUTPUT 1] jbaza rekurzije TEST (REMAI NDER :n 2) = O ;Ali j e argument s od? 1FT [OUTPUT F :n/ 2] ; Da. IFF [OUTPUT (F ( :n- l) /2) + (F ( :n+l) /2) ] ; Ne. END V gornjem pro gramu računamo vrednost funkcij e neposredno iz definicije. P ri taki nep osredni uporabi rekurzivnih definicij moramo bit i vedno pr evidni, saj se hitro pr imeri, da večkrat pokl ičemo funk cijo z ist im argument om. To pa pomeni odve čno delo in včasih je t ega dodatnega dela to liko, da pro gram post ane pr ak ti čno neuporaben. Ker je v našem primeru baza rekurzije le F (l ) = 1, je pr i izračunu vrednosti F(n) funkcija F poklican a z argumentom n = 1 natanko F (n) -krat. Že pri izr ačunu F (9) vrednost F(l) računamo npr. 4-krat. Ker pa funk cija F pri majhnih šte vilih ne zavzame velikih vr ednost i, je za majhna šte vila napisani pr ogram še vedno dovolj učinkovit. Z gornjim programom lahko tudi sestavimo tabelo vrednosti funk cije F za števila od 1 do 16. Vrednosti zlagamo v seznam s, tega pa na koncu izpišemo : MAKE "s [] MAKE "i O REPEAT 16 [MAKE "i :i+l MAKE "s LPUT F :i :s] PRINT :s Gornji ukazi tako izpišejo
3 I Ra čunaln ištvo S program om lahko tudi ugotovimo, koliko je F(1 999). Ukaz print F 1999 izpiše 49, toliko, kolikor smo n ar ač un ali t udi v že omenjenem pr ispevku v pr ejšnji šte vilki Preseka. V nadaljevanju si b omo ogledali, kako lahko vr ednosti funkcije F r ač u namo še pr ecej hitreje. Eden od možnih pr istopov je, da vrednosti, ki jih i zračunamo, sproti shranjujemo, npr. v tabelo. Poglejmo, kako na ta način s programo m v programske m jeziku pascal po i š čemo najve čjo vrednost, ki jo funk cija F zavzame na številih od 1 do program NenavadnaFunkcija; { Poišče n aj večj o vredn ost funkcije F na šte vi1i1j od 1 do meja. } const meja = 1999; var F : array [1..meja] of integer; { tab ela vrednosti funkcije F } i: integer; max : integer ; b egin { Izra čun am o vrednosti funk cije F od 1 do meja. } F [l ] := 1; for i:=2 t o meja do if odd(i) t hen F[i].- F[i div 2] + F [i div 2 + 1] e lse F [i].- F[i div 2]; { Med vrednostm i p oi ščem o najve čjo. } max := F [I ]; fo r i:= 2 t o meja d o if F [i]>max then max := F[i]; { Izpišem o podatke o n aj večji vredn osti. } write ln('najvecja vrednost funkcije od 1 do ',meja,' je ',max,'.'); write('ta vr ednost je dosezena pri nas lednjih st evilih :') ; for i:=l t o meja d o if F [i]=max t hen write(i:5) ; writ eln ; end. Ko pr ogram poženemo, ta izpiše Na j vecja vr ednost funkcije od 1 do 1999 je 144. Ta vr edno st je dosezena pri naslednj i h stevilih:
4 Ra čuna lništvo I Seveda so odgovori enaki tist im, ki smo jih s kar precej dolgim in za pletenim razmislekom naš li v prejšnji številki P reseka. Račun anj e zaporednih vr ed nosti funkcije s sprotnim shranjevanjem vred nosti v t abelo je u č i nkov i t post op ek, kad ar želimo i z r a č u n at i vrednosti funkcije pri pr vih nekaj številih. Da dobimo novo vrednost, moram o le preverit i parn ost argumenta in moreb iti sešteti dve že znani vred nost i. Slaba stran postopka pa je, da pot rebuje precej pomnilnika za tabelo vred nosti, kar omejuje njegovo uporabnost. Po lovico tabele lah ko prihranimo, če v njej hr animo le vrednost i funkcije pr i lihih argumentih. Vredn ost pri sodem argument u potem do bimo tako, da argument delimo z 2, dokl er je sod, ko pa postan e lih, vrednost funk cije preb eremo iz t ab ele. Na ta nači n nekoliko p ove čam o čas, ki ga pot rebujemo za i zr ačun naslednje vrednosti, hkrati pa razpolovimo koli čino potrebnega pomnilnika. Kodiranj e programa, ki up orab lja opisano spre membo, vam p r epu š čam za vajo. Kako pa bi i zr ač un a li vrednost funkcije F pri velikih ar gument ih, recimo F (l ) ali pa F ( )? S shranjevanjem vrednosti v tabelo si ne moremo pomagati, saj bi potreb ovali res ogromno tabelo, pa t udi i z r ač u n manjših vrednost i bi nam vzel kar nekaj č asa. P a sa j nas pr ejšnj e vrednosti sploh ne zanimajo. Poskusimo lah ko s pro gram om v logu, ki smo ga napisali na z ačet ku prispevka, a po nekaj minu tah obupamo, sa j ni videti, da bi se rač u nanje kaj kmalu končalo. No, res je, da je logo pro gramski jezik, ki se t o l mač i. P rogrami v jezikih, ki se pr evajajo, taka sta npr. pascal in C, so obič aj no bistveno hitrejši. Tako lahko rekurzivn o definicijo funk cije za pišemo kot pr ogr am v pascalu ali C-ju. Poskusite, got ovo vam bo uspelo. Č e vas skrbi predolgotrajno r a č un anj e, lah ko uporabite še kakšen dodatni "trik". V tabeli lah ko pr ipravite vredn osti funkcije za "majhne" argumente, recimo do 10000, in te vnaprej i z r ač u n an e vrednosti uporabite kot (raz širjeno) bazo rekur zije. Poskusit e lahko t udi s shranjevanjem vmesnih rezultatov. Vse vrednost i fun kcije F, ki jih i zračunate (t udi tiste z vmesnih korakov), sk upaj s pripad aj očim argumentom shranjujete v t ab elo. Ko vas zanima vr ednost F (n ), najp rej pogledate po tabeli, ali ste to vrednost morda že i zr ačun a l i. Tako zagotov it e, da za vsak argument vrednost fun kcije r ač un a te le enkrat (seveda pa se lahko zgodi, da vam če z čas po veliko opravljenih r ačun ih v t ab eli zmanjka prost ora). Za konec prispevka pa si bomo ogledali tisto pr avo metodo za raču nanje vrednosti funkcije F pri velikih argumentih. Posto pek bo malce zvit, a preprost, zelo hiter in ne bo zahteval nobenega dod atnega pr ostora. Recimo, da bi rad i i z rač u n ali vrednost F(n). Iskano vred nost bomo zapisali
5 I Ra ču n aln ištv o kot celoštevilsko linearn o kombinacijo dveh zapo rednih vrednost i funkcije F : F (n) = a - F (m) + b - F (m + 1). Na začetku vzamemo kar m = n, a = 1 in b = O. Nato število m razpolovimo in i z r aču namo nova koeficient a. P ri tem lo č imo dve možnost i. Če je št evilo m sodo, m = 2m', potem velja F (m) = F (m' ) in F (m + 1) = = F (m' ) + F (m' + 1). Tako dob imo F (n) = a -F(m) + b F(m + 1) = (a + b). F (m' ) + b F(m' + 1). Če pa je število m liho, m = 2m' + 1, potem imamo F(m) = F (m' ) + F (m' + 1) in F(m + 1) = F(m' + 1). Tedaj velja F (n ) = a F (m ) + b F (m + 1) = a F (m' ) + (a + b). F (m' + 1). V obe h primerih lahko torej F (n) zapišemo kot kombinacijo vred nost i F (m' ) in F (m' + 1), pr i čeme r nova koeficient a na zelo preprost n ačin i z računam o iz prejšnjih dveh. Zapi šimo pr ogram v programskem jeziku C, ki za i zr ačun vr ednosti funkcije F upor ablja zgoraj opisa ni post op ek. #include <stdio.h> 1* Hiter izračun vr ednost i funkcije F. Deluje hitro tudi za velike vrednosti argumenta. *1 unsigned l ong F(unsigned long); int ma i n (v oi d) { unsigned long n; 1* argument *1 } do { printf ( "Vpisi vr edno st argumenta (O za konec) : II) ; scanf("%lu", &n) ; if (n!= O) printf("f (%lu) = %lu\n\n", n, F(n) ) ; } whi l e (n! = O); return O;
6 /* Herehrzivm in brez tabele kahma vrebpost F(m). */ unsigned long F[unsignd long m) C unsigned long a= 1, b 0; /* IeParianta zue: isirane wednost = a*f(rn)+b*p(m+i). */ while (m > 1) I if (m % 2 PI 0) a +- b; else b += a; a /= 2; 3 return a + b; /* F(1) = ~ (2) = 1 */ $e rm eno m a l a opci-0. ~~ jezik C p0l;na nepreddm dalga cth &it& (tip'~~iped la&. Ns wbnih - r spmmdjivka tipa obiajno 432 him, tdw da je naj-ja vmhmt, ki ja 1- ahrdmo vmjcz, enaka p2-1 = ti. 'kbo psd take* tip ne pcma. ) - ( dolga eepa (tip loqkt) sicer mawmnejo 3!2 bitw, a najve2zj;a vmdmst, ki jo hldm shraimo v sprtmmdjivb tegs tipa, je 2$l- 1 = 2 247' Ce bi garnji program napisali v (turbo) pdu, t h z njim ne bi mogli %&mati M.ednoa9ti F( ), saj je argument fimkcije pmdik in bi prislo do p ~ ~ t vwdi e. bi sprogradmti b 1.aEwlagje s MaSmin do- Btevili ali pa plw uporabo rdmmiq prervila oprfsvti s twin- in papirjem.
MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večREKONSTRUKCIJA DREVES – 2. del
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 27 (1999/2000) Številka 3 Strani 138 141 Martin Juvan: REKONSTRUKCIJA DREVES 2. del Ključne besede: računalništvo, programiranje,
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večDOLŽNIK: MARJAN KOLAR - osebni steč aj Opr. št. St 3673/ 2014 OSNOVNI SEZNAM PREIZKUŠENIH TERJATEV prij ava terjatve zap. št. št. prij. matič na števi
DOLŽNIK: MARJAN KOLAR - osebni steč aj Opr. St 3673/ 2014 OSNOVNI SEZNAM PREIZKUŠENIH TERJATEV prij ava terjatve zap. prij. matič na številka firma / ime upnika glavnica obresti stroški skupaj prij ava
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večSENCOMER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 1 Strani 16 19, IV Marijan Prosen: SENCOMER Ključne besede: astronomija, senca, višina sonca.
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večDiapozitiv 1
9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večSPECIJALNA BOLNICA ZA MEDICINSKU REHABILITACIJU KRAPINSKE TOPLICE Ured za centralno naručivanje Tel. (049)
PA BR 147884430 Hum Na Sutli 13.05.2019 0830 BO JO 147858624 Hum na Sutli 29.05.2019 0815 JU BO 147474917 Pregrada 09.07.2019 0800 DL MA 148427658 Sv Križ Začretje 09.07.2019 0745 ST ŠT 148037359 K.oplice
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži večeAsistent izpis
Datum in čas: 28. 9. 2016 07:26:49 4.ag 27. 9. 2016 4.ag Elektrotehnika (ELE) 7. ura Preizkus znanja 10. 10. 2016 4.ag Matematika (MAT) 3. ura 18. 10. 2016 4.ag Računalništvo - izbirni (RAči) 9. ura (13:40-14:25)
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži večVOLILNA ŠTEVILA
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 2 Strani 98 105 Bojan Hvala: VOLILNA ŠTEVILA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija:
Prikaži večOrganizacija, letnik 43 Razprave številka 4, julij-avgust 2010 Vpliv pro jekt ne zre lo sti or ga ni za ci je na us pe šnost pri pra ve evrop skih pro
Vpliv pro jekt e zre lo sti or ga i za ci je a us pe šost pri pra ve evrop skih pro jek tov Mar ja Kraj ik 1, Mir ko Mar kič 2 1 Ku rir ska pot 2c, Slo ve ski Ja vor ik, 4270 Je se i ce, marjakrajik@yahoo.com
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večSvet elektronika 195.indd
LCD ti mer z iz re dno niz ko po ra bo in zu na njim pro že njem Avtor: Ju re Mi keln E-pošta: stik@svet-el.si Bral ci na še re vi je se ver jet no spom ni jo na ših ti mer jev. Spr va smo na re di li
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večPoštnina plačana pri pošti 8275 Škocjan Številka 122 Letnik 14 Kimovec september 2008 Naši koraki Glasilo Občine Škocjan Cesta za 5...
Poštnina plačana pri pošti 8275 Škocjan Številka 122 Letnik 14 Kimovec september 2008 Glasilo Občine Škocjan Cesta za 5... Drage občanke in občani Občine Škocjan! Stroji so ponovno zabrneli v Dolnji Stari
Prikaži večNEPOSREDNO OPAZOVANJE Z DALJNOGLEDOM IN FOTOGRAFIRANJE NAVIDEZNEGA VENERINEGA PREHODA PREK SONCA
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 31 (2003/2004) Številka 5 Strani 290 293 Andrej Kregar: NEPOSREDNO OPAZOVANJE Z DALJNOGLEDOM IN FOTOGRAFIRANJE NAVIDEZNEGA
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M17178111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 1 Četrtek, 1. junij 2017 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večDelavnica Načrtovanje digitalnih vezij
Laboratorij za načrtovanje integriranih vezij Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Digitalni Elektronski Sistemi Osnove jezika VHDL Strukturno načrtovanje in testiranje Struktura vezja s komponentami
Prikaži večDatum in kraj
Ljubljana, 5. 4. 2017 Katalog znanj in vzorci nalog za izbirni izpit za vpis na magistrski študij Pedagoško računalništvo in informatika 2017/2018 0 KATALOG ZNANJ ZA IZBIRNI IZPIT ZA VPIS NA MAGISTRSKI
Prikaži večMERE SREDNJE VREDNOSTI
OPIS PODATKOV ENE SPREMENLJIVKE frekvenčne porazdelitve in mere srednje vrednosti as. dr. Nino RODE Uni-Lj. Fakulteta za socialno delo O ČEM BOMO GOVORILI NAMEN OPISNE STATISTIKE Kako opisati podatke OPIS
Prikaži večDiapozitiv 1
Pogojni stavek Pogojni (if) stavek Tip bool Primerjanje Uranič Srečo If stavek Vsi dosedanji programi so se izvajali zaporedoma, ni bilo nobenih vejitev Program razvejimo na osnovi odločitev pogojnega
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java-rekurzija.ppt
Pesmica Živel je mož, imel je psa, lepo ga je učil. Nekoč ukradel mu je kos mesa, zato ga je ubil. Postavil mu je spomenik in nanj napisal: Živel je mož, imel je psa, lepo ga je učil. Nekoč ukradel mu
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži več20.5 zajedno.roz
Raspored za. tjedan 0..-..0..a Razrednik/ca : ija Gosler : - : : - :0 : - 0:0 0: - :0 : - :00 :0 - :0 : - :0 : - : 6:00-6: v v -. Grupa - Elearn - - - 0 Lj Lj,log,et - - - 0 - - 0 - - Lum Gum -,umj,fil
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večOBLAČNA KAPA NA HRIBU – Razlaga z računom
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 2 Strani 74 79, V Jože Rakovec: OBLAČNA KAPA NA HRIBU Razlaga z računom Ključne besede: fizika,
Prikaži večPREDMETNIK : S P L O Š N A G I M N A Z I J A
P R E D M E T N K S P L Š N E G M N A Z J E Razreda: 4. a in 4. b Predmet 1. 2. 3. 4. Skupno Maturitetni Tedensko število ur število ur standard bvezni predmeti Slovenščina SL 4 4+0,5* 4 4+1 560+52 560
Prikaži večVST: 1. kviz
jsmath Učilnica / VST / Kvizi / 1. kviz / Pregled poskusa 1 1. kviz Pregled poskusa 1 Končaj pregled Začeto dne nedelja, 25. oktober 2009, 14:17 Dokončano dne nedelja, 25. oktober 2009, 21:39 Porabljeni
Prikaži večO PERFEKTNIH (POPOLNIH) KVADRIH
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 035-6652 Letnik 28 (2000/200) Številka 3 Strani 40 47 Ivan Vidav: O PERFEKTNIH (POPOLNIH) KVADRIH Ključne besede: enačbe. matematika,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večOrganizacija, letnik 43 Predlogi za prakso številka 6, november-december 2010 Po men in te gri ra nih IS pri na čr to va nju, vo de nju in nad zo ru p
Po men in te gri ra nih IS pri na čr to va nju, vo de nju in nad zo ru proi zvod nje Si mon Oman 1, An ton Čižman 2 1 Poly com d.o.o., Po lja ne nad Škof jo Loko 76 d.o.o., Poly com d.o.o., Po lja ne nad
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večPravni interes za ustavnosodno presojo zakonov in drugih predpisov
Revus Journal for Constitutional Theory and Philosophy of Law / Revija za ustavno teorijo in filozofijo prava 4 2005 Svoboda izražanja Pravni interes za ustavnosodno presojo zakonov in drugih predpisov
Prikaži večCelotniPraktikum_2011_verZaTisk.pdf
Elektrotehniški praktikum Osnove digitalnih vezij Namen vaje Videti, kako delujejo osnovna dvovhodna logi na vezja v obliki integriranih vezij oziroma, kako opravljajo logi ne funkcije Boolove algebre.
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži več2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki
2.1 Osnovni pojmi 2 Nim Ga²per Ko²mrlj, 2. 3. 2009 Denicija 2.1 P-poloºaj je poloºaj, ki je izgubljen za igralca na potezi. N- poloºaj je poloºaj, ki je dobljen za igralca na potezi. Poloºaj je kon en,
Prikaži večMicrosoft Word - vaje2_ora.doc
II UKAZI 1. Napišite zaporedje ukazov, ki vrednost enobajtne spremenljivke STEV1 prepiše v enobajtno spremenljivko STEV2. Nalogo rešite z neposrednim naslavljanjem (zaporedje lahko vsebuje le 2 ukaza v
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Š i f r a k a n d i d a t a : ržavni izpitni center *M15178112* SPOMLNSKI IZPITNI ROK Izpitna pola 2 Četrtek, 4. junij 2015 / 90 minut ovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali
Prikaži večStrojna oprema
Asistenta: Mira Trebar, Miha Moškon UIKTNT 2 Uvod v programiranje Začeti moramo razmišljati algoritmično sestaviti recept = napisati algoritem Algoritem za uporabo poljubnega okenskega programa. UIKTNT
Prikaži večpastoralni tecaj 2008 popravki:pastoralni tecaj 2008.qxd.qxd
SLOVENSKI PASTORALNI SVET 42. PASTORALNI TEČAJ ZBORNIK Ure di li Kar men Per ko, Ra fo Pi no sa, Ana Sliv ka, Gre gor Ku nej ZVONIM PRI PRA VIH VRA TIH? MARIBOR 2008 Predavatelji: s. Ana Sliv ka FMM Rafo
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večDODATEK_F8
COMARC/B F.8 F.8 Tabela polj/podpolj s stopnjo obveznosti za posamezen bibliografski nivo V tabeli je podana obveznost polj/podpolj (o - obvezen podatek, p - obvezen podatek, če obstaja, in n - neobvezen
Prikaži večVzpostavitev več nivojske varnostne infrastrukture S pomočjo Elektro Maribor, McAfee SIEM, CISCO ISE, NGFW Zorna Varga, Sfera IT d.o.o in Klemen Bačak
Vzpostavitev več nivojske varnostne infrastrukture S pomočjo Elektro Maribor, McAfee SIEM, CISCO ISE, NGFW Zorna Varga, Sfera IT d.o.o in Klemen Bačak, Sfera IT d.o.o. 1 Priprava na: Vzpostavitev več nivojske
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večKAKO BRATI IN UPORABITI REZULTATE PRIMERJALNE ANALIZE PRIMERI ZA ODVAJANJE IN ČIŠČENJE ODPADNE VODE ag. Sta ka Cerkve ik, I štitut za jav e služ e
KAKO BRATI IN UPORABITI REZULTATE PRIMERJALNE ANALIZE PRIMERI ZA ODVAJANJE IN ČIŠČENJE ODPADNE VODE ag. Sta ka Cerkve ik, I štitut za jav e služ e KAJ JE PRIMERJALNA ANALIZA? Primerjalna analiza je sklop
Prikaži večrr03.qxd
PROSTOR, REGIJA, RAZVOJ REGIONALNI RAZVOJ 6 1 2 REGIONALNI RAZVOJ 6 PROSTOR, REGIJA, RAZVOJ 4 REGIONALNI RAZVOJ 6 PROSTOR, REGIJA, RAZVOJ Ure di li: Ja nez Nared Katarina Polajnar Horvat Nika Raz pot nik
Prikaži večRešene naloge s srednješolskega računalniškega tekmovanja 1990
1990.1.1 3] 1 1990.1.1 14. republiško tekmovanje v znanju računalništva (1990) NALOGE ZA PRVO SKUPINO Ko se računalnik vključi v komunikacijsko mrežo, ne pozna R: 6 drugih računalnikov, ki so vključeni
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - petek A-sambolicbeganovic [Read-Only] [Compatibility Mode]
KAKO PRI POUČEVANJU MATEMATIKE UPORABLJAM INTERAKTIVNO TABLO? Amela Sambolić Beganović SGGEŠ Ljubljana ŠOLSKI CENTER LJUBLJANA, Srednja lesarska šola amela.beganovic@guest.arnes.si Sirikt 2009, 17.4.2009
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večPredmetnik dvopredmetnega pedagoškega študijskega programa 2. stopnje Slovenski jezik in književnost Predmetnik je sestavljen iz: obveznih predmetov (
Predmetnik dvopredmetnega pedagoškega študijskega programa 2. stopnje in književnost Predmetnik je sestavljen iz: obveznih predmetov ( 26 ), nabora izbirnih predmetov ( 6 ), PDP-modula, obveznega magistrskega
Prikaži večIskanje ničel funkcij z metodo bisekcije Imejmo podano funkcijo f(x), ki ji želimo poiskati ničle, to je presečišča z x-osjo, kjer je vrednost f(x)=0.
Iskanje ničel funkcij z metodo bisekcije Imejmo podano funkcijo f(x), ki ji želimo poiskati ničle, to je presečišča z x-osjo, kjer je vrednost f(x)=0. Včasih lahko ničle določimo analitično, pogosto pa
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večSlide 1
Tehnike programiranja PREDAVANJE 10 Uvod v binarni svet in računalništvo (nadaljevanje) Logične operacije Ponovitev in ilustracija Logične operacije Negacija (eniški komplement) Negiramo vse bite v besedi
Prikaži večSvet elektronika 184m.indd
Elek tro ni ka za za čet ni ke - Na pa ja nje elek tron skih ve zij II. (18) Avtor: Bojan Kovač E-pošta: bojan@svet-el.si Ko si pri skr bi mo vir eno smer ne na pe to sti, ki jo še do dat no zgla di mo
Prikaži večNAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite
NAJRAJE SE DRUŽIM S SVIČNIKOM, SAJ LAHKO VADIM ČRTE IN KRIVULJE, PA VELIKE TISKANE ČRKE IN ŠTEVILKE DO 20. Preizkusite znanje vaših otrok in natisnite vzorčne strani iz DELOVNIH LISTOV 1 v štirih delih
Prikaži večeAsistent izpis
Datum in čas: 5. 1. 216 11:27:23 Seznam ocenjevanj znanja za oddelek 3. a Obdobje: od 15. 1. 216. do 1. 6. 216. 2. 1. 216 3. a Psihologija - izbirni 3. letnik (PSI-I2) 7. ura 29. 1. 216 3. a Matematika
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večPodatkovni model ER
Podatkovni model Entiteta- Razmerje Iztok Savnik, FAMNIT 2018/19 Pregled: Načrtovanje podatkovnih baz Konceptualno načtrovanje: (ER Model) Kaj so entite in razmerja v aplikacijskem okolju? Katere podatke
Prikaži večAPS1
Algoritmi in podatkovne strukture 1 Visokošolski strokovni študij Računalništvo in informatika Abstraktni podatkovni tipi Jurij Mihelič, UniLj, FRI Podatkovni tipi Razvil Pascal, Oberon itd. Software is
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večTEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 5 Strani 264 271 Ivan Vidav: TEORIJA ŠTEVIL IN VERJETNOSTNI RAČUN Ključne besede: matematika,
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži večGeoritem qxd
JANI KOZINA PROMETNA DOSTOPNOST V SLOVENIJI 1 2 PROMETNA DOSTOPNOST V SLOVENIJI 4 PROMETNA DOSTOPNOST V SLOVENIJI LJUBLJANA 2010 Knji` na zbir ka Geo ri tem, ISSN 1855-1963, UDK 91 PROMETNA DOSTOPNOST
Prikaži večDNEVNIK
POROČILO PRAKTIČNEGA USPOSABLJANJA Z DELOM PRI DELODAJALCU DIJAKA / DIJAKINJE. ( IME IN PRIIMEK) Izobraževalni program FRIZER.. Letnik:.. oddelek:. PRI DELODAJALCU. (NASLOV DELODAJALCA) Šolsko leto:..
Prikaži večDELI ZA TOVORNI PROGRAM AKCIJSKE CENE HENGST FILTROV AKCIJA TRAJA OD DO *VKLJUČENI SO FILTRI GORIVA, OLJA, ZRAKA, KABINE IN OSTALI
DELI ZA TOVORNI PROGRAM AKCIJSKE CENE HENGST FILTROV AKCIJA TRAJA OD 01.03. DO 15.04. 2018. *VKLJUČENI SO FILTRI GORIVA, OLJA, ZRAKA, KABINE IN OSTALI FILTRI PROIZVAJALCA HENGST *CENE NE VSEBUJEJO DDV
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večKAKO VELIKA SO ŠTEVILA
KAKO VELIKA SO ŠTEVILA V teh vajah i bomo ogledali nekaj primerov, ko v vakdanjem življenju naletimo na zelo velika števila. Uporabili bomo zmožnot programa DERIVE, da zna računati poljubno velikimi celimi
Prikaži večMicrosoft Word - ARRS-MS-FI-06-A-2010.doc
RAZPIS: Javni razpis za sofinanciranje znanstvenoraziskovalnega sodelovanja med Republiko Slovenijo in Republiko Finsko v letih 2011-2012 (Uradni list RS, št. 49/2010) Splošne opombe: Obrazec izpolnjujte
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži več